DINJO MIZUMUKAI NETO TAXA DE JUROS: ABORDAGEM EMPÍRICA E ESTIMAÇÃO DE MODELOS EM TEMPO CONTÍNUO

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE RIBEIRÃO PRETO DINJO MIZUMUKAI NETO TAXA DE JUROS: ABORDAGEM EMPÍRICA E ESTIMAÇÃO DE MODELOS EM TEMPO CONTÍNUO Ribeirão Preto 2011

2 I UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE RIBEIRÃO PRETO DINJO MIZUMUKAI NETO TAXA DE JUROS: ABORDAGEM EMPÍRICA E ESTIMAÇÃO DE MODELOS EM TEMPO CONTÍNUO Monografia de Trabalho de Conclusão do Curso de Matemática Aplicada a Negócios, pela Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto e Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto, da Universidade de São Paulo, para obtenção do título de Bacharel e Matemática Aplicada a Negócios. Orientador: Prof. Dr. Milton Barossi Filho Ribeirão Preto 2011

3 II RESUMO MIZUMUKAI NETO, D. Taxa de Juros: Abordagem Empírica e Estimação de modelos em tempo contínuo. Monografia (Graduação) Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto e Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo, Ribeirão Preto, Temos como objetivo verificar a influencia da taxa de juros na economia e mercado financeiro brasileiro. Em seguida verificamos os métodos de estimação para os modelos de equações diferenciais estocásticas, estimamos parâmetros para os modelos para as taxa de juros de curto prazo, a taxa CDI-CETIP, através do método GMM, baseando se em Chan, Karolyi, Longstaff & Sanders(1992), o modelo CKLS. Finalmente avaliamos os resultados obtidos. Palavra chave: Taxa de juros, Modelos de difusão e Método de momentos generalizados.

4 III ABSTRACT MIZUMUKAI NETO, D. Taxa de Juros: Abordagem Empírica e Estimação de modelos em tempo contínuo. Monograph (Graduation) Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto e Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo, Ribeirão Preto, We aim to check the influence of interest rates in the economy and the Brazilian financial market. Then we found the estimation methods for stochastic differential equation models, estimate parameters for the models for the interest rate of short-term, the CDI-CETIP through GMM method, based on Chan, Karolyi, Longstaff& Sanders (1992), the CKLS model. Finally we evaluate the results. Keywords: Interest rate, diffusion models and generalized method of moments.

5 IV LISTA DE FIGURAS FIGURA I Evolução da Taxa SELIC comparada com a Taxa CDI...15 FIGURA II Sigla de negociação no mercado futuro DI...20

6 V LISTA DE TABELAS Tabela I - Resultados: Estimação de Modelos Alternativos para a Taxa de Juros de Curto Prazo utilizando método GMM...28

7 VI LISTA DE EQUAÇÕES Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação Equação

8 7 SUMÁRIO Resumo...II Abstract...III Lista de Figuras...IV Lista de Tabelas...V Lista de Equações...VI Sumário...VII Introdução...9 Capítulo 1 Motivação econômica: mercado da taxa de juros A taxa de juros Dívidas Públicas Mercado Financeiro Mercado Monetário SELIC e a Taxa SELIC Taxa SELIC e a Inflação CETIP e a Taxa CDI-CETIP A Relação entre a Taxa CDI-CETIP e a Taxa SELIC Mercado de crédito Mercado de capitais e mercado cambial Mercado de Renda Fixa Poupança CDB Títulos públicos Tesouro Direto Mercado de derivativos Mercado futuro de taxas DI Hedge Swaps...20 Capítulo 2 Formulações matemáticas do problema e preliminares Introdução as equações diferenciais estocásticas Modelos para taxas de juros de curto prazo Modelo de Merton...22

9 Modelo de Vasicek Modelo de CIR Modelo de Dothan Modelo de GBM Modelo de Brennan-Schartz Modelo de CIR VR Modelo de CEV...23 Capítulo 3 Métodos de estimação para as equações diferenciais estocásticas Dados discretos x equações diferenciais contínuas Estimação de Máxima verossimilhança para os parâmetros de difusão Método GMM Método de momentos generalizados...26 Capítulo 4 Aplicação na modelagem da taxa de juros Dados utilizados e resultados obtidos...28 Capítulo 5 Conclusões...29 Capítulo 6 - Referencia Bibliográficas...31

10 9 Introdução A taxa de juros é uma das variáveis mais importantes para o mercado financeiro e para a macroeconomia. Em geral, representa a remuneração pela alocação de capital de alguma forma, seja por bancos ou entidades financeiras e, é determinada pela relação entre oferta e demanda de moeda. No mercado financeiro, a taxa de juros influencia grande parte dos mercados que o compõe assim como os instrumentos financeiros negociados nesses mercados. No mercado monetário, a taxa de juros é parâmetro de referência para os títulos públicos (títulos livre de risco), como NTN Notas do tesouro nacional, LTN Letras do tesouro nacional e também para títulos emitidos por estados e municípios. É valido ressaltar que a negociação desses papéis visa um maior controle da liquidez monetária da economia. No mercado de capitais, a taxa de juros influencia, diretamente, o mercado de ações, mercados futuros, mercados de opções e mercado de renda fixa. Podemos destacar o contrato futuro de DI Depósitos interbancários, utilizando a taxa CDI certificado de depósitos interfinanceiros como benchmark. Além disso, podemos destacar também o Swap pré-di, que são contrato entre duas partes utilizando a taxa CDI do dia. Para a proteção de oscilações da taxa de juros em aplicações ou captações das instituições financeiras, utilizam-se, geralmente, estratégias de hedge envolvendo contratos futuros de DI. Devido a sua grande influência, o estudo do comportamento da taxa de juros leva a um controle mais eficiente para avaliação de contratos e investimentos, formulações de estratégias e também para gerenciamento de risco. Na literatura, o estudo do comportamento da taxa de juros está fundamentada em equações diferenciais estocásticas, que utilizam processos estocásticos em tempo contínuo. As equações diferenciais estocásticas surgiram no século XX, na investigação de problemas de engenharia e física. A primeira equação diferencial estocástica referiase a movimento browniano de uma partícula de fluido. Atualmente existem diversas aplicações de equações diferenciais estocásticas em varias áreas como economia, biologia, telecomunicações e astronáutica. As equações diferenciais estocásticas, aplicadas a finanças e economia, são utilizadas para apreçamento e modelagem de instrumentos financeiros. Merton (1990)

11 10 foi pioneiro na utilização desse instrumental. Focando a estimação de taxa de juros de curto prazo, podem ocorrer modificações nos coeficientes da equação para obter modelos alternativos. Além da replicação dos processos, existe outro problema para as equações diferenciais estocásticas, a estimação dos parâmetros desconhecidos dos processos de difusão. Seja ela paramétrica ou não-paramétrica, existe uma atenção especial ao estimador verificando vieses e eficiência. Como os dados coletados, são em frequência discreta, e os modelos utilizam processos estocásticos em tempo contínuo, há uma dificuldade em estimar os coeficientes desconhecidos para os processos de difusão. Para a resolução desse problema, existem vários estudos e métodos de estimação de parâmetros. Para a busca de estimadores eficientes, consistentes e não-enviesados, existem alguns procedimentos empíricos. Podem se destacar o Método Generalizado dos Momentos (GMM) de Hansen (1982) e os que utilizam a função de verossimilhança, como método de Quase-máxima verossimilhança, que gera estimadores com o menor erro quadrático médio possível, e também o e, estendido por Hansen e Scheinkman (1995) e Duffie e Glynn (1997). Para a estimação dos coeficientes, é preciso obter dados que apresentam regularidade e estabilidade. No mercado financeiro brasileiro existem vários tipos de taxa de juros, com a TIR taxa referencial de juros, TBF - taxa financeira básica, as TBC e TBAN - taxas do Banco Central, TJLP taxa de juros de longo prazo. As mais conhecidas são a SELIC e a taxa CDI - CETIP. Todas elas reguladas e supervisionadas pelo Banco Central do Brasil. Para a escolha da taxa de juros na estimação do modelo, deve haver uma maior atenção na influência da inflação e de fatores externos, ou seja, que a taxa escolhida seja, instantaneamente livre de risco. Logo, a taxa de juros diária é a mais indicada para esse estudo, devido a sua regularidade e estabilidade. A taxa de certificados de depósitos interbancários, a taxa CDI é a mais indicada para a modelagem. Trata-se de uma taxa vigente nas operações diárias entre instituições financeiras, usada como referência em taxa livre de risco (benchmark). Como essas operações são registradas e liquidadas na Central de Custódia e Liquidação Financeira de Títulos CETIP, o CDI é também denominado CDI - CETIP. Essa taxa é regulamentada pelo banco central, logo a taxa SELIC diária influencia a taxa CDI do dia seguinte.

12 11 Há vários estudos que envolvem a estimação de taxa de juros de curto prazo. Os modelos CIR de Cox, Ingersoll e Ross (1985) foram testados por Brown e Schaefer (1994) utilizando taxas de juros da Inglaterra. Evan et al (1994) utilizando o modelo de Ösnstein-Uhlenbeck, utilizando taxas de juros da Inglaterra e dos EUA. O estudo mais importante, que alem de testar, comparou os modelos alternativos foi o estudo de Chan, Karolyi, Longstaff e Sanders (1992), que deu origem ao modelo CKLS. Nesse estudo foram utilizadas taxas referentes às notas do tesouro para 180 dias. Baseado no modelo CKLS e utilizando métodos computacionais, este trabalho tem por objetivo verificar as aplicações einfluencias mais importantes da taxa de juros no mercado financeiro. Apresentar modelos que utilizam processos estocásticos em tempo continua para o estudo da dinâmica da taxa de juros de curto prazo, a taxa CDI - CETIP. Estimar os coeficientes de modelos de difusão propostos, utilizando o método dos momentos generalizados para as formulações dos modelos. Finalizando, observamos os resultados obtidos e verificamos a qualidade dos resultados dos modelos estimados, principalmente em replicar a taxa de juros brasileira de curto prazo.

13 12 Capitulo 1 - Motivação Econômica: O mercado de taxas de juros A taxa de juros De maneira geral, a taxa de juros pode ser entendida como o preço da alocação do dinheiro, onde o captador faz um empréstimo de um aplicador, e paga uma remuneração para o aplicador sobre o capital emprestado. Essas operações, em nível macro e microeconômico garante a liquidez monetária da economia e rentabilidade financeira a partir dos investimentos. No Brasil, a taxa de juros mais importante é a SELIC, definida pelo Banco Central e COPOM Dívidas Públicas Com objetivo de financiar o orçamento público (gastos que não são pagos pela arrecadação de impostos), o tesouro nacional negocia diversos papéis para a captação de recursos, que são conhecidos como títulos de dívida pública. Sua remuneração pode ser pré-fixada, pós-fixado ou referenciada por vários índices econômico, principalmente a taxa SELIC. Pode se destacar NTN Notas do tesouro nacional, LTN Letras do tesouro nacional entre outros. Esses títulos geralmente são negociados com Investidores, Bancos, Fundos de Pensão entre outros. A capacidade de o país saldar essas dívidas (títulos) com os credores e denominada Nota de Risco e através de Agencias de classificação de Risco, dentre as mais conhecidas Standard&Poor s, Fitch e Moody s. Atualmente, temos vários países da Europa com problemas para honrar seus compromissos com os investidores, dentre eles a Grécia, que eventualmente pode aplicar um default na divida (Moratória) com os investidores. Outro caso, foi os EUA, que perdeu recentemente seu AAA, classificação máxima, para o AA+ pela agência Standard&Poor s, afetando diretamento o Mercado Financeiro, principalmente o de Capitais.

14 Mercado Financeiro A taxa de juros no mercado financeiro se lastreia no mercado monetário, de crédito e capitais e Cambial. Ela serve tanto de referência (mercado de crédito e mercado monetário), como de influência (mercado cambial e de capitais) Mercado Monetário As operações financeiras de curto e curtíssimo prazo caracterizam o mercado monetário. Essas operações proporcionam um controle da liquidez monetária e através de um balanço geral dessas operações, define a taxa de juros básica pretendida pela política econômica. Nelas são negociados papéis (títulos), que são caracterizados pela alta liquidez na negociação e prazos de resgate curtos, que tem a taxa de juros como referência. Os títulos que mais se destacam são os títulos emitidos pelo tesouro nacional e os certificados de depósitos interfinanceiros. Os Certificados de depósitos interbancários - CDI, são operações de venda e compra de títulos entre as instituições financeiras. Nelas as instituições negociam aplicações e captação de capital, para garantir as reservas de dinheiro, caso a instituição necessite de dinheiro ouinvestimento, caso a instituição tenha capital excedente SELIC e a Taxa SELIC O Sistema Especial de Liquidação e de Custódia, SELIC é o depositário central dos títulos emitidos pelo Tesouro Nacional e pelo Banco Central do Brasil. É ela que faz todo o processo de emissão, resgate, pagamento da remuneração e custódia dos títulos. Todos os títulos são escriturais. A taxa SELIC é taxa de juros que servirá de referência (benchmark) no mercado financeiro brasileiro. Essa taxa é estabelecida pelo COPOM Comitê de Política Monetária. O COPOM através de reuniões, analises e estudos, definem a taxa SELIC que vigorará no mês definindo como META. Cabem então todas as operações diárias lastreadas pela taxa SELIC estarem próximas a meta diariamente. Ou seja, a taxa Selic é a taxa referencia para todas as

15 outras, seja TIR taxa referencial de juros, TBF - taxa financeira básica, as TBC e TBAN - taxas do Banco Central, TJLP taxa de juros de longo prazo e CDI Taxa SELIC e a Inflação Inflação é um processo pelo qual ocorre aumento generalizado nos preços dos bens e serviços, provocando perda do poder aquisitivo da moeda. Isso faz com que o dinheiro valha cada vez menos, sendo necessária uma quantidade cada vez maior dele para adquirir os mesmos produtos. Para combater o descontrole da inflação o governo utiliza taxa SELIC. Para controlar o aumento da inflação no país, o governo aumenta a taxa visando conter o descontrole da meta da inflação. Consequentemente reduzindo a circulação do dinheiro e expansão dos créditos concedidos. Reduzindo a taxa de juros, o governo aquece a economia, aumentando a circulação do dinheiro, consumo da população, procura de financiamentos e crédito, portanto provocando um possível aumento na inflação. Atualmente a taxa de juros brasileira de 11,5% é a mais alta do mundo, atraindo investidores além dos locais, investidores estrangeiros, trazendo como consequência o combate da inflação e também da valorização da moeda. A inflação é mensurada a partir de índices, sendo os mais conhecidos o IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), que é medido mensalmente pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) CETIP e a Taxa CDI-CETIP CETIP - Central de Custódia e de Liquidação Financeira de Títulos é umasociedade anônima brasileira criada para fornecer um sistema eletrônico de registro, custódia e liquidação financeira no mercado de títulos privados. A Empresa é a maior depositária de títulos privados de renda fixa da America latina. Os Certificados de depósitos interbancários - CDI são operações de venda e compra de títulos entre as instituições financeiras. Nelas as instituições negociam aplicações e captação de capital, para garantir as reservas de dinheiro, caso a instituição necessite de dinheiro ou investimento, caso a instituição tenha capital excedente.

16 15 Através das negociações interbancárias registrada na CETIP, é divulgada diariamente a Taxa DI over ou mais conhecida como taxa CDI CETIP, que é a taxa de juros de curto prazo mais importante para o mercado brasileiro A Relação entre a Taxa CDI-CETIP e a Taxa SELIC Podemos comparar a taxa CDI-CETIP com a taxa SELIC, de tal maneira que a SELIC é a taxa vigente no mercado monetário, definida pelo BC, banco central, e que lastreia (benchmark) todas as outras taxas de juros. Já a taxa CDI-CETIP é a taxa vigente para as operações interbancáriase suas operações feitas no dia (D0) só são aplicando as devidas taxas no d+1 (D1). Portando a taxa CDI-CETIP é reflexo da taxa SELIC anterior. Podemos considerar também que a taxa SELIC definida pelo COPOM em suas reuniões, influencia diretamente, não só as taxa CDI-CETIP, como também no mercado futuro da DI. Figura I Evolução da Taxa SELIC comparada com a Taxa CDI.

17 Mercado de Crédito Basicamente o mercado de crédito concede empréstimos e financiamentos de curtíssimo e curto prazo para pessoas físicas e empresas. Essas operações são realizadas por instituições financeiras e tem as taxas de juros como referência, seja ela a CDI- CETIP ou/e SELIC. Basicamente a instituição financeira dispõe de um crédito para os clientes. Seja ele um cliente pessoa física ou pessoa jurídica, ele pode negociar com a instituição financeira e adquirir o tipo de crédito que ele necessita. Geralmente pessoas físicas utilizam esse crédito seja para consumo próprio e pessoas jurídicas para o capital de giro da empresa. Podemos citar: Desconto Bancário de Títulos Créditos Rotativos Hot Money Empréstimo para capital de giro CDC Crédito direto ao consumidor Cheque especial e Cartões de Créditos Mercado de Capitais e Mercado Cambial De maneira geral, o investimento é o que caracteriza esses mercados. No mercado de capitais, são negociados títulos representativos de capital de empresas (Ações, por exemplo) e de operações de crédito sem intermediação financeira. Já no Mercado Cambial ocorrem as operações de compra e venda entre países e as conversões das respectivas moedas internacionais. De certa forma, a taxa de juros vigente influencia de maneira que caso ela seja alta, a pessoa pode investir mais os seus recursos adquirindo os títulos negociados (mercado de capitais) e também atrair investidores estrangeiros (mercado cambial). Quanto maior for a taxa de juros local, mais será a procura de investimentos em renda fixa (títulos de divida, poupança e CDB) tanto pelos investidores locais, quanto investidores estrangeiros. Em consequência no mercado cambial, quanto maior a entrada de dinheiro no país, maior será a valorização da moeda, no caso o Real, frente a

18 17 outras moedas, no caso a mais importante, a moeda americana (dólar), influenciando na queda da cotação da mesma. Um exemplo atual, no dia 31/08/2011, o COPOM, surpreendeu os mercados reduzindo a taxa SELIC em 12% ante 12,5%. De maneira geral, o mercado esperava a manutenção da taxa, porem com a redução da taxa, o mercado precificou essa mudança, e tivemos no dia seguinte o índice IBOVESPA valorizando 2,87% e os índices que são mais influenciados pela mudança na taxa, índice imobiliário e bancário avançando 6,2% e 5,82% respectivamente, destacando as ações ITUB4 Itaú Unibanco PN valorizando 6,83% e PDGR3 - PDG Realt ON valorizando 7,28%. No mesmo dia o DOW JONES registrou uma desvalorização de -1,03%. Consequentemente, com um aumento eventual dataxa SELIC pelo COPOM, podemos verificar uma precificação negativa nos mercados de capitais, com os setores bancário e construção civil, os mais afetados Mercado de Renda Fixa Em busca de um investimento livre de risco, o Mercado de Renda Fixa abrange todo o tipo de investimentos que remunera o capital investido, seja pré ou pós-fixado. Abaixo citamos os mais importantes Poupança Modalidade mais conhecida entre a população, devido à facilidade e sua divulgação, a poupança remunera o investidor aplicando a TR (Taxa Referencial) da data de aplicação mais 0.5% ao mês. De certa maneira, o dinheiro investido é na verdade um empréstimo ao banco. Cabe ao banco honrar seus compromissos com o investidor, caso o banco tenha alguma problema financeiro e não consiga horar seus compromissos, o FGC Fundo Garantidor de Crédito garante para o investidor um montante de até R$70.000,00.

19 CDB O Certificado de Deposito Bancário, CDB, É um título de crédito emitido por instituições financeiras que tem como objetivo captar recursos de investidores, passando posteriormente esses aos clientes da própria instituição financeira na forma de empréstimos. Os CDBs consistem em um depósito a prazo determinado com rentabilidade pre-fixada ou pós-fixada. Os prefixados tem sua rentabilidade expressa em taxas de juros e os pós-fixados são atrelados a algum índice (Geralmente a CDI vigente) como correção, mais taxas de juros referentes ao ano, com prazo mínimo de um mês Títulos públicos Tesouro Direto São papéis emitidos pelos poderes públicos federais, estaduais ou municipais. Um dos principais objetivos dessa emissão é os governos poderem financiar as suas dívidas, pagando remuneração com taxas prefixadas ou pós-fixadas. As instituições financeiras interessadas compram esses títulos, emprestando recursos aos governos e colocam esses papéis nas carteiras dos fundos de investimento, remunerando o investidor. Os riscos dos títulos públicos é o risco dos governos não honrarem os compromissos assumidos. Tesouro Direto foi criado em 7 de janeiro de 2002 pelo Tesouro Nacional, em parceria com a Companhia Brasileira de Liquidação e Custódia (CBLC) com objetivo de tornar popular o acesso ao investimento em títulos públicos, possibilitando sua compra por parte das pessoas físicas. Os Principais titulos ofertados pelo Tesouro Direto são: 1. Letras do Tesouro Nacional (LTN): títulospré fixadocom rentabilidade definida (taxa fixa) no momento da compra. 2. Letras Financeiras do Tesouro (LFT): títulos pós fixado com rentabilidade vinculada à taxa de juros básica da economia (taxa SELIC). 3. Notas do Tesouro Nacional série C (NTN-C): títulospós fixado com rentabilidade vinculada à variação do IGP-M. 4. Nota do Tesouro Nacional série B (NTN-B): títulopós fixado com rentabilidade vinculada à variação do IPCA.

20 19 5. Nota do Tesouro Nacional série B (NTN-B Principal): títulopós fixado com rentabilidade vinculada à variação do IPCA. 6. Nota do Tesouro Nacional série F (NTN-F): título com rentabilidade prefixada, definida no momento da compra Mercado de Derivativos Os instrumentos financeiros que se derivam a partir de um ativo, são chamados de Derivativos. Basicamente, são contratos (compromissos) firmados entre duas partes, comprador e vendedor, e que são baseados no preço ou valor futuro desses ativos, como por exemplo, um contrato utilizando o preço futuro de uma ação, por exemplo. Nesse mercado, além das operações de investimentos, pode se destacar a operação de hedge, que é uma proteção diante as possíveis e inesperadas variações no preço dos ativos Mercado Futuro da DI Depósitos Interbancários Os derivativos de DI Depósitos Interbancários, têm como referencia a taxa CDI-CETIP de 1 dia. Esses contratos são fixados na BM&F Bovespa em R$ ,00, sendo negociados em PU preço unitário. O PU de um contrato futuro é obtido dividindo o valor do contrato por seu fator de rendimento, obtido pela taxa over média diária acumulada até a data de vencimento do instrumento financeiro. Quando as taxas de juros do mercado sobem, maior é o fator, determinando um PU menor para o contrato. Ao contrário, quando as taxas DI caem, maior é o PU do contrato.

21 Na BMF&BOVESPA os contratos de DI depósitos interbancários, são negociados na sigla 20 Figura II Sigla de negociação no mercado futuro DI Exemplo DI1F12, DI1J20, entre outras. Na BMF&BOVESPA, atualmente, o mercado futuro do DI é um dos mais importantes, sendo negociados contratos até o ano de Hedge Para a proteção de possíveis variações da taxas de juros, os investidores podem fazer operações inversas no mercado futuro DI. Por exemplo, se um banco tem uma divida atrelada a taxa CDI, ele pode abrir uma posição de venda no mercado e logo caso a taxa suba, o investidor irá ter um ganho em cima do contrato e suprir o endividamento ocasionado pela alta da taxa. E caso o investidor tenha, por exemplo, um capital emprestado baseado na taxa de juros CDI, caso haja uma expectativa na queda da taxa, o investidor pode abrir uma posição de compra e proteger seu investimento Swaps Os swaps são acordos estabelecidos entre duas partes visando a troca de fluxos de caixa futuros por certo período de tempo, obedecendo a uma metodologia de cálculo previamente definida. Os swaps com taxas de juros são baseados na taxa de CDI- CETIP.

22 21 Capitulo 2 - Formulações Matemáticas do Problema e preliminares 2.1 Equações diferenciais estocásticas Partindo do pressuposto que o movimento da taxa de juros é um processos estocástico em tempo contínuo, o objetos básicos da modelagem para as mesmas, são as equações diferenciais estocásticas, representadas pela seguinte forma geral: d = + ( ) (1) Em que µ(t, X t ) representa a parte determinista do processo (drift instantâneo), σ(t, X t ) é o componente estocástico (volatilidade) do processo, e W t é a representação para o processo de Wiener ou Movimento Browniano. Esta representação é útil, pois permite definimos a evolução das trajetórias do processo X t através de uma representação dada por uma integração estocástica. 2.2 Modelos para taxas de juros de curto prazo Formulações distintas para os processos de drift µ e da volatilidade σ, na equação diferencial estocástica, dão origem a processos com propriedades diferenciadas. Estas propriedades permitem representar uma ampla classe de processos utilizados em aplicações em finanças. Focando na modelagem de taxas de juros de curto prazo, uma série de especificações alternativas podem ser propostas para a modelagem de taxa de juros de curto prazo. A partir da equação diferencial (2) Podemos obter diversos modelos como os apresentados abaixo.

23 Modelo CIR SV (1985): Em que r é a taxa de juros, dw é um processo de Wiener ou Movimento Browniano, t a variável tempo e α, β, σ γ =1/2, parâmetros. (3) Modelo CIR VR (1980): Em que r é a taxa de juros, dw é um processo de Wiener ou Movimento Browniano, t a variável tempo e σ e γ =3/2 parâmetros. (4) Modelo CEV (1975) Em que r é a taxa de juros, dw é um processo de Wiener ou Movimento Browniano, t a variável tempo e β, σ e γ =0 parâmetros. (5) Modelo Brennan-Schwartz (1980) Em que r é a taxa de juros, dw é um processo de Wiener ou Movimento Browniano, t a variável tempo e α, β, σ e γ =1 parâmetros. (6)

24 Modelo GBM (1973) Em que r é a taxa de juros, dw é um processo de Wiener ou Movimento Browniano, t a variável tempo e β, σ e γ =1 parâmetros. (7) Modelo Dothan (1973) Em que r é a taxa de juros, dw é um processo de Wiener ou Movimento Browniano, t a variável tempo e σ e γ =1 parâmetros. (8) Modelo Merton (1973) Em que r é a taxa de juros, dw é um processo de Wiener ou Movimento Browniano, t a variável tempo e α, σ e γ =0 parâmetros. (9) Modelo Vasicek (1973) Em que r é a taxa de juros, dw é um processo de Wiener ou Movimento Browniano, t a variável tempo e α, β, σ e γ =1 parâmetros. (10)

25 24 Capítulo 3 - Métodos de estimação para as equações diferenciais estocásticas 3.1 Equações diferenciais Estocásticas x Dados discretos: o problema da estimação A busca de estimadores para as equações diferenciais estocásticas é um tema muito importante, não só para a própria taxa de juros, como também de diversos ativos, não só financeiro, mas também de outras naturezas. Uma preocupação é a não existência de soluções fechadas para encontrar estimados para os modelos, como também o uso de dados discretos aplicado em modelos em tempo contínuo. Podemos citar diversos métodos de estimação, onde podemos citar, o Método Generalizado dos Momentos (GMM), Máxima Verossimilhança, Método dos Momentos Simulados, Inferência Indireta e entre outros. Para a estimação dos parâmetros, a forma mais adequada de é utilizando a função de verossimilhança, devido às condições de regularidade, consistência e eficiência dos estimadores. Porem a falta de soluções fechadas dificulta a estimação a partir da função de verossimilhança, pois a própria função é formulada a partir da densidade de transição da solução dos modelos. Com isso, é necessário utilizar aproximações para construirmos uma função de verossimilhança, utilizando no caso método de Quase-Máxima verossimilhança, por exemplo. Pode utilizar do recurso das condições de momentos para estimação. A estimação utilizando o Método Generalizado dos Momentos, GMM, emprega a discretização simples do processo. Contudo, o método de momentos generalizados é caracterizado por consistência e eficiências assintóticas, e com a falta de especificação, acaba não sendo uma solução ótima.

26 3.2 - Estimação de Máxima verossimilhança para os parâmetros de difusão 25 Seja (Ω,, P), um espaço de probabilidade onde é uma filtragem, e um espaço paramétrico. Definindo o processo de Markov{, 0 como única solução forte para equação diferencial estocástica abaixo: d = + ( ) (11) Sendo :, coeficiente de drift, coeficiente de difusão do processo para um conjunto compacto, e um movimento browniano. Considere a medida de probabilidade gerada pelo processo estocástico {, 0, no espaço { C[0,T], } onde C[0,T], representa o espaço de funções continuas denotadas pela norma do supremo. E representando a - álgebra de borel. Definimos como operador da esperança sobre as medidas induzidas pelo processo de Wiener, e. Na definição do processo estocástico {, 0, assumindo as condições de Lipschitz e condições de crescimento linear. Pode verificar que a função não depende do parâmetro, sendo uma constante que pode ser estimada a partir do processo de markov e utilizando o fato que (12) Assumindo que teta seja conhecido e igual a 1, caso processo seja de forma continua o problema para estimação de é tratado abaixo, quando admitimos que apenas as realizações discretas de processos de Markov são disponíveis. Supondo que esses dados são contínuos, a função de máxima verossimilhança pode ser definidasomente se as condições abaixo forem satisfeitas: (1) se em (13) (2) (14)

27 26 Portanto, temos a função de máxima verossimilhança como: (15) Onde = log, onde é a derivada de Radon-Nikodyn Método GMM Método de Momentos Generalizados O GMM, método de momentos generalizado (Hansen 1982) é utilizado para a estimação de parâmetros para diversos modelos. O método desse modelo em relação aos outros modelos de estimação é que ele dispensa a informação da distribuição do processo e da hipótese de normalidade e seus estimadores e erros padrões são consistentes. Para ser válida, a distribuição tem de ser ergódiga e estacionária. A partir da equação d = + ( ) (16) Temos aplicando + (17) ²( ) (18) Podemos simplificar a equação denotando = e para uma função g(.) escrevemos da seguinte maneira = Logo os erros podem ser apresentados da seguinte forma: = + ) (19) = ²( ) (20)

28 Assumindo que e sejam ortogonais a um grupo de variáveis instrumentais, logo, 27 (21) (,,, (22) Logo o estimador GMM é encontrado através da substituição de pela contrapartida amostral, assumindo um conjunto de T observações discretas em que temos: (23) Em seguida minimizamos a seguinte forma quadrática: (24) Em que é a matriz peso simétrica positiva que converge para matriz simétrica positiva e não estocástica. Portanto influencia no estimador de GMM. Hansen 1982 mostra que a escolha ótima de é encontrada pelo inverso da matriz densidade espectral na frequência zero. Assim onde: (25) Utilizando a matriz, a distribuição de é dada por: (26) Onde é a matriz jacobiana de em relação. O estimador de GMM é não-viesado e consistente. E para a utilização, o estimador GMM é assintoticamente eficiente devido as suas condições de ortogonalidade.

29 28 Após os parâmetros que minimizam a forma quadráticaestarem estimados, é feito um teste para verificar a qualidade do ajusteobtido, utilizando um teste de hipótese construído a partir de x. Testamos a hipótese nula do modelo estimado a partir da seguinte expressão: (27) Onde v é o numero de momentos e é o numero de parâmetros. Capitulo 4 - Aplicação na modelagem da taxa de juros 4.1 Dados utilizados e resultados obtidos α β σ² γ J-STAT Full SE ( ) ( ) ( ) Merton SE ( ) ( ) Vasicek SE ( ) ( ) ( ) CIR SR SE ( ) ( ) ( ) Dothan SE ( ) GBM SE ( ) ( ) Brennan-Schwarz SE ( ) ( ) ( ) CIR VR SE ( ) CEV SE ( ) ( ) ( ) Tabela I - Resultados: Estimação de Modelos Alternativos para a Taxa de Juros de Curto Prazo utilizando método GMM.

30 29 Inicialmente o método de GMM foi aplicado à série de taxa de juros de curto prazo brasileira, com o intuito de replicar o artigo de CKLS. A série utilizada refere-se à taxa CDI diária no período de 01/01/2009 a 28/12/2010. Diferentemente do modelo CKLS, foram utilizados dados diários para evitar o problema de discretização, como também para livrar de influencias como a da inflação no período. Seguindo o modelo CKLS, estimamos os parâmetros para os modelos contínuos proposto pelo estudo. A Tabela I contém os resultados referentes às estimativas dos parâmetros dos modelos de difusão obtidos pelo método GMM. Estes resultados indicam que é possível de se verificar um processo de reversão à média na série de taxa de juros de curto prazo, no caso a Taxa CDI-CETIP. Podemos verificar pelos resultados que nenhum modelo foi rejeitado e é possível verificar que o estimador de GMM tende a ser viesado para pequenas amostras. Capitulo 5 - Conclusões A Taxa de juros é uma variável macroeconômica de suma importância para o mercado financeiro,seja em todos os seus mercados, como mercado monetário, mercado de capitais, cambial, e futuros. A uma grande preocupação no estudo do seu comportamento para facilitar oentendimento do comportamento do mercado financeiro. Cabe lembrar que a taxa de juros de curto prazo é instantaneamente livre de risco (limitada a influencia da inflação) e é o ativo que melhor se adapta ao apreçamento e que além de ser importante para o seu próprio comportamento, é de extrema importância para seus derivativos, como mercado futuro da DI, mercado de capitais, entre outros. Diretamente ou indiretamente, o aumento ou diminuição das Taxa base, a taxa SELIC, incide diretamente nas variações de suas taxas derivativas, no caso sendo bastante importante para esse estudo, pois a meta SELIC, acaba sendo vigente para as outras taxas, no caso, a taxa de juros de curto prazo, a CDI-CETIP Em busca de encontrar um estudo adequado para o comportamento da taxa de juros, na literatura a diversos modelos que utilizam uma variável central a partir de um modelo de difusão.

31 30 Para a replicação das mesmas, as equações diferenciais estocásticas são ideais para o estudo da dinâmica. Utilizando processos estocásticos em tempo continuo e utilizando a taxa de juros de curto prazo com variável central. Sendo assim o processo de difusão é aplicado para o uso da mesma. Na procura de encontrar modelos que reproduzem o comportamento da taxa de juros de curto prazo, estimamos os parâmetros das equações diferenciais estocásticas a partir de dados discretos (no caso dados divulgados diariamente), encontra se um problema para estimar parâmetros para os modelos em tempo contínuo utilizando dados discretos. Baseando no modelo CKLS, estimamos os parâmetros para os diferentes modelos proposto utilizando o GMM método de momentos generalizados, que nos mostra uma reversão a média. A Partir de todos os resultados e estudos obtidos, o objetivo desse estudo não é a aplicação e replicação dos modelos estimados, mas sim do estudo da importância da taxa de juros no mercado financeiro e também a procura de modelos e métodos para encontrar uma maneira ideal ou próxima da dinâmica da mesma, que fica evidenciado a partir dos resultados obtidos.

32 31 Capitulo 7 - Referencias Bibliográficas ASSAF NETO, A. Mercado financeiro. 6ª. ed. São Paulo: Atlas, BASAWA, I.V. & PRAKASA RAO, B.L.S. (1980). Statistical Inference for Stochastic Processes. London: Academic Press. BLACK, Fischer & SCHOLES, Myron (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, v. 81: BROZE, Laurence, SCAILLET, Olivier & ZAKOÏAN, Jean-Michel (1995). Testing for Continuous-Time Models of the Short-Term Interest Rate. Journal of Empirical Finance, v. 2: CHAN, K.; KAROLYI, G.; LONGSTAFF, F. & SANDERS, A. An Emp irical Comparison of Alternative Models of Short-Term Interest Rate. Journal of Finance, v.xlvii: p , COCHRANE, John (2001). Asset Pricing. Princeton : Princeton University Press. COX, J., INGERSOLL, J. e ROSS, S. A Theory of the Term Structure of Interest Rates, Econometrica, v.53, p , DARIO, A.G.; BAROSSI, M. Estimação de modelos em tempo contínuo: taxa de juros de curto prazo e simulações de Monte Carlo, DELL AQUILLA, R., RONCHETTI, E. & TROJANI, F., Robust GMM Analysis of Models for the Short Term Interest Rates. Journal of Empirical Finance, v.10, p , DOTHAN, L.U. On the Term Structure of Interest Rates, Journal of Financial Economics, v.6, p.59-69, HANSEN, Lars Peter (1982). Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators. Econometrica, v. 50 : HANSEN, Lars Peter & Scheinkman, José A. (1995) Back to the Future: Generating Moment Implications for Continuous-Time Markov Processes. Econometrica, v. 63: LA ROCQUE, E O mercado de juros brasileiro: uma contribuição para a modelagem de mercados de juros e futuros em economias instáveis. Pontífice universidade católica. LACUS, S. M. Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations, University of Milan, 2008.

33 32 MERTON, R. The Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science, v.4, p , MERTON, Robert (1990) Continuous-Time Finance, 2a. ed., Malden, MA: Blackwell Publishers. PARISI, F. Tasas de Interés Nominal de Corto Plazo em Chile: Una Comparación Empírica de sus Modelos. Cuadernos de Economia, v. 35: p , KLEBANER, F. C. Introduction to stochastic calculus with applications, Monash University, 2004.