MODELANDO NUVENS DE PONTOS TRIDIMENSIONAIS COMO MISTURAS DE GAUSSIANAS

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1 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 01. MODELANDO NUVENS DE PONTOS TRIDIMENSIONAIS COMO MISTURAS DE GAUSSIANAS Sidnei da Silva Filho, Paulo Drews Jr., Silvia Botelho, Pedro Nun ez Centro de Cie ncias Computacionais, Universidade Federal de Rio Grande (FURG) Rio Grande, RS, Brasil Dpto. Tecnologı a de los Computadores y las Comunicaciones, Universidade de Extremadura Cace res, Espanha s: sidneifilho13@gmail.com, paulodrews@furg.br, silviacb@furg.br, pnuntru@unex.es Abstract This paper proposed an adaptable model applied to 3D data using Gaussian Mixture Models. Nowadays, scanner capable to acquire large point cloud are accessible. However, it is a hard tasks deal with this information due the amount of points and the redundancy. Thereby, this paper presents an efficient preprocessing step using the Point Cloud Library, focused in point simplification and noise removal. An algorithm based in split-and-merge approach is proposed in order to estimate a Gaussian Mixture Model. It aim to deal with local minimum and initialization problem of the classic Expectation-Maximization algorithm. This approach also aim to improve the performance and repeatability. Several model selection criteria are evaluated in order to improve the efficiency of the method. The results show the system is able to estimate Gaussian Mixture Models, with a reduced computational cost. Keywords Expectation-Maximization, Gaussian Mixture Models, 3D Point Cloud, Change Detection, Object Segmentation. Resumo Este artigo propo e o uso de misturas de Gaussianas como um modelo adapta vel para dados tridimensionais. Hoje em dia, equipamentos com capacidades de obter grandes nuvem de pontos esta o cada vez mais acessı veis. Pore m, e uma tarefa difı cil lidar com a grande quantidade de informac a o e a redunda ncia desses dados. Assim, o presente trabalho apresenta uma etapa de pre -processamento de maneira eficiente usando a Point Cloud Library, focado no algoritmo de simplificac a o e reduc a o de ruı do. Um algoritmo baseado em uma abordagem split-and-merge e utilizado para estimar Misturas de Gaussianas, visando ultrapassar restric o es de mı nimo local e inicializac a o do algoritmo Expectation-Maximization, bem como melhorar o desempenho e repetibilidade do me todo. Diversos crite rios de selec a o de modelos foram avaliados, levando em conta as misturas estimadas e o custo computacional. Os resultados mostram que o sistema proposto consegue estimar de maneira satisfato ria as Misturas de Gaussianas, com custo computacional reduzido. Palavras-chave Expectation-Maximization, Misturas de Gaussianas, Nuvem de Pontos 3D, Detecc ao de Mudanc a, Segmentac ao. 1 Introduc a o O problema de modelar nuvem de pontos tridimensionais e importante em diferentes contextos, dentre eles destaca-se a robo tica (Drews Jr et al., 010). Obter uma informac a o de mais alto nı vel se torna necessa rio, visto o tamanho tipico de nuvens de pontos, milhares de pontos, as vezes milho es. Assim, obter uma abordagem que permita tratar nuvem de pontos em mais alto nı vel pode reduzir o custo computacional de diversas aplicac o es como detecc a o de lugares XX, de mudanc as (Andreasson et al., 007). Nos campos de processamento de informac a o e ana lise de dados, as Misturas de Gaussianas sa o estudadas e aplicadas (Bishop, 007). No contexto de nuvem de pontos tridimensionais surge como uma alternativa de modelagem, dada a complexidade tı pica desse tipo de dado. Ale m disso, ela ainda fornece um modelo probabilı stico dos dados de maneira compacta (Drews Jr et al., 010). Pore m, uma das limitac o es e o alto custo computacional para obter a mistura de uma nuvem tridimensional tı pica, como mostrado em (Nu n ez et al., 010). Quando o nu mero de componentes da Mistura de Gaussianas e conhecido a priori o problema e reduzido e o custo computacional tambe m, consequentemente. Nesse caso, pode-se aplicar o algoritmo Expectation-Maximization (EM) (Dempster et al., 1977). Embora, tal algoritmo na o garanta um mı nimo global, ou seja, a melhor representac a o. Ele tipicamente converge para modelos representativos, mesmo quando a inicializac a o e aleato ria (Figueiredo and Jain, 00). Pore m, em nuvens de pontos tridimensionais adquiridas por sensores de uso tı pico em robo tica, como laser scanner, par este reo ou sensores de profundidade, na o se tem conhecimento algum sobre o nu mero de formas a serem modeladas, nem mesmo uma estimativa. Assim, de modo a ultrapassar essa limitac a o, bem como a restric a o de o timo local do algoritmo EM, foi proposto recentemente uma abordagem baseada em split-andmerge (Li and Li, 009). Tal abordagem sofreu alterac o es de modo a melhor se aplicar ao presente problema. Ainda assim, esse me todo e dependente de alguma me trica que indique o momento exato para parar o 3073

2 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 01. processo de split-and-merge. Logo, alguns critérios de seleção mais importantes da literatura serão comparados de modo a mostrar qual é mais adequado ao algoritmo proposto. Este trabalho está dividido da seguinte maneira. Na Seção, são discutidos os trabalhos para modelagem de nuvem de pontos. Na Seção 3, é feita uma breve revisão sobre Mistura de Gaussianas e sobre o algoritmo EM. Na Seção 4, é abordado o algoritmo proposto para estimar os parâmetros da Mistura. Na Seção 5, avalia o algoritmo e os critérios de seleção utilizados em alguns experimentos realizados com nuvens de pontos tridimensionais adquiridas em ambientes reais. Finalmente, na Seção 6, são discutidas conclusões e direções futuras. Trabalhos Relacionados O problema de modelar nuvem de pontos tridimensionais é tratado em diferentes áreas com destaque para a computação gráfica, visão computacional e robótica. Dentro da computação gráfica, as abordagens típicas utilizam triangulação, de modo a construir malhas. Essas permitem uma representação detalhada da nuvem, porém, quando não se conhece a normal e a vizinhança, sua construção acaba ficando custosa. Outro problema que aparece é a presença de ruído e outliers que corrompem a construção. Em (Vieira et al., 010) foi proposto um método para remoção de ruído em uma malha, com ela já construída, o que embora melhore suas características ainda fica sujeito as dificuldades de obtenção. Outra abordagem para representar nuvem de pontos tridimensionais é a construção de superfícies implícitas (Bloomenthal, 1997). Ele permite extrair as bordas das superfícies representadas por nuvem de pontos com custo computacional muito baixo, como mostrado em (Vieira et al., 01), além de permitir operações sobre conjuntos e segmentação de uma maneira eficiente. Embora seja um método interessante, em situações quando a superfície não é fechada o método pode encontrar dificuldade de representação. Além disso, o método utiliza uma grade de ocupação tridimensional que pode restringir a representação a um bounding box limitado. O uso de formas básicas (Schnabel et al., 007), quádricas (Pauling et al., 009) e superquádricas (Drews Jr et al., 010) pode ser uma possibilidade, embora o custo de estimação seja elevadíssimo, sendo assim restrito a um pequeno subconjunto como mostrado em (Drews Jr et al., 010). Nesse contexto, agrupamentos utilizando misturas de Gaussianas surgem como uma alternativa. Embora as maiores restrições ao uso desse método estejam relacionadas com o tempo de processamento, principalmente pelo uso do algoritmo EM (Dempster et al., 1977). Além disso, o método sofre com a necessidade de se conhecer previamente o número de Gaussianas presentes nos dados, o que não é conhecido tipicamente. Nesse caso, algumas abordagens como o trabalho de (Figueiredo and Jain, 00) propõem metodologias iterativas que são muito custosas para grandes volumes de dados, caso das nuvem de pontos tridimensionais. O problema de overfitting também é um problema, devido a suposição da misturas de Gaussianas de que os dados foram gerados por fontes Gaussianas. Assim, o presente trabalho busca alternativas ao EM para estimar a mistura, bem como um critério de seleção de um bom modelo (Hu and Xu, 004). 3 Estimando Misturas de Gaussianas Uma breve revisão sobre mistura de Gaussianas e sobre o algoritmo de estimação EM será feita. 3.1 Mistura de Gaussianas Dado um conjunto X de variáveis aleatórias de dimensão d e uma Mistura de Gaussianas com K componentes. A função de densidade de probabilidade da Mistura pode ser definida por: Φ(X = x Θ k ) = k π i φ(x = x θ i ), x R d, (1) onde cada θ i corresponde ao conjunto de parâmetros definidas pela i-ésimo componente, e π i (0, 1)(i = 1,,.., K), onde K π i = 1. O vetor Θ k = (π 1, π,..., π k, θ 1, θ,..., θ k ) é o conjunto de todos os parâmetros da Mistura. Na mistura, cada componente φ(x θ i ) é uma função de probabilidade Gaussiana definido como: 1 φ(x θ i ) = (π d ) Σ i 1 e 1 (x µi)t Σ 1 i (x µ i), () onde µ i é um vetor média e a Σ i é a matriz de covariância definida positiva e θ i = (µ i, Σ i ) representa os parâmetros das Gaussianas. Especificamente, dado um conjunto de dados S = {x t } N t=1 de uma Mistura de Gaussianas com tamanho N, os parâmetros de Θ k são estimados maximizando o logaritmo da seguinte função de verossimilhança, a qual pode ser expressa como: L(S Θ k ) = logp(s Θ k ) N = log φ(x t Θ k ) (3) = t=1 t=1 N K log π i φ(x t θi). 3074

3 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA O Algoritmo EM O Expectation-Maximization (EM) (Dempster et al., 1977) é um algoritmo capaz de encontrar o máximo local da função de máxima verossimilhança das Misturas de Gaussianas. O EM possui duas etapas iterativas: E-Step: Nessa etapa é determinada a probabilidade a posteriore de cada ponto pertencer a cada Gaussiana da Mistura, além disso é feita uma nova estimativa para o valor da função de verossimilhança, para tal são utilizadas as equações [1] e []. Uma pequena variação foi usada denominada Deterministic Annealing EM (DAEM) (Ueda and Nakano, 1998), que realiza alterações apenas nesse passo do EM. Esse método adiciona um parâmetro 1/β [1, ) na equação para calcular a probabilidade dos pontos, denominado temperatura, onde k é uma das K Gaussianas da mistura: P (k x i ) = (π k φ(x i, θ k )) β ( N t=1 π kφ(x i, θ t )). (4) β A medida que 1/β aumenta, P (k x i ) 1/N, ou seja, um determinando ponto tende a pertencer a todas as Gaussianas com a mesma probabilidade. Geralmente se inicializa o β = 0.9 até a convergência, logo incrementa-se o valor de β em 0.05 até o valor de β = 1. M-Step: Nessa etapa, maximiza-se os valores das componentes da Mistura, com base nas probabilidades calculadas pela equação [4]. A atualização dos valores das componente é dado pelas seguintes equações, para cada componente: π k = 1 N P (k x i ), N N µ k = P (k x i)x i N P (j x i), (5) Σ k = N P (k x i)(x i µ k )(x i µ k ) t N P (k x. i) 4 Abordagem proposta O presente trabalho se baseia em uma variação do algoritmo EM, porém busca uma maneira de determinar o número de componentes das Gaussianas K. A Figura 1 ilustra a abordagem proposta. Inicialmente, em uma etapa de préprocessamento, a nuvem de pontos é simplificada e ruídos são removidos usando a biblioteca PCL (Rusu and Cousins, 011). Após, é utilizada uma versão do algoritmo Split-EM (Li and Li, 009) com uso do DAEM (Ueda and Nakano, 1998), para se evitar ótimos locais e obter o número correto de Gaussianas da Mistura. Porém, uma dificuldade é determinar o critério de parada do algoritmo. Logo, é feita uma comparação entre três critérios de seleção mais aceitos na literatura, identificando qual deles é o melhor para estimar a mistura de Gaussianas em uma Nuvem de Pontos, com overfitting de modelo. Figura 1: Visão Geral da Metodologia Proposta 4.1 Pré-processamento de Nuvem de Pontos 3D O método utilizado se baseia em uma etapa prévia de pré-processamento. Na qual, algoritmos de simplificação e remoção de ruído das nuvens são responsáveis por remover pontos redundantes e ruídosos. Uma nuvem de pontos é uma estrutura de dados não ordenada, na qual não se tem informação a respeito da topologia, assim esse problema de remoção torna-se difícil. Essas nuvens também possuem um grande quantidade de pontos, afetando assim o tempo de execução de algoritmos, mesmo esses tendo baixa complexidade computacional. Além disso, mesmo com sensores precisos como laser scanners modernos, existem outliers e ruído nas leituras, o que deve ser tratado visto que afetam em muito a estimativa da mistura de Gaussiana. Esse trabalho baseou-se no uso da biblioteca para fazer a manipulação da nuvem de pontos chamada PCL (Rusu and Cousins, 011), essa possui vários algoritmos para manipulação, com implementações eficientes e estado-da-arte. Para diminuir a quantidade de pontos da nuvem, foi utilizado um algoritmo de simplificação que utiliza Voxel Grid 3D (caixas 3D no espaço) (Rusu and Cousins, 011), esse é utilizado para representar conjuntos de pontos da nuvem. Após a criação dos voxels, calcula-se o centroide dos mesmos, onde este irá substituir o conjunto de 3075

4 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 01. pontos do respectivo voxel. Quanto maior o voxel maior será o conjunto de pontos, consequentemente maior será a simplificação. O tamanho do voxel foi encontrado com base em experimentos, considerando para tal a resolução do sensor utilizado nos mesmos. Os valores simplificam uma grande quantidade de pontos sem perder excessivamente informação geométrica. Foram encontrados os seguintes valores, que indicam a largura do voxel no espaço (65cm no plano x, 65cm no plano y, 65cm no plano z). Para remover os ruídos e outliers, foi utilizado o algoritmo Statistical Outlier Removal proposto por (Rusu et al., 008). Esse algoritmo propõe uma análise estatística sobre a vizinhança de cada ponto, e remove aqueles que não satisfazem o critério proposto. Este baseia-se no cálculo da distribuição de probabilidade dos pontos. Para cada ponto, calcula-se a distância média para todas as distribuições vizinhas que são criadas. Assumindo que a distribuição é uma distribuição Gaussiana com média e desvio padrão. Todos os pontos cuja posição estão fora dos intervalos definidos pelas distribuições, podem ser considerados como ruído ou outlier. Este algoritmo precisa de dois parâmetros para ser executada,a quantidade de distribuições e o desvio padrão das mesmas. Esse valores foram baseados em valores determinados por (Rusu et al., 008). O número de distribuições considerados é igual a 80 e o desvio padrão igual a Algoritmo do Split-EM Este trabalho propôs uma alteração no algoritmo SplitMerge-EM proposto por (Li and Li, 009), para se adaptar melhor ao problema de estimar a mistura de gaussianas de uma nuvem de pontos tridimensional. Como foi comentando em seções anteriores, não se conhece a priori o número de Gaussianas da Mistura. Assim, o trabalho propôs a inicialização da mistura inicial, com apenas um componente, com π igual a 1, µ igual a média dos pontos da nuvem e Σ a matriz de covariância da nuvem de pontos. Para se obter o número correto de Gaussianas da Mistura, divide-se dinamicamente as Gaussianas que não foram estimadas corretamente. Para isso, é necessária uma distinção entre a estimação correta e a errada. Utiliza-se um critério de separação de uma Gaussiana com base em entropia. Entropia é uma medida de desordem de um sistema. É aplicada em campos da física, teoria da informação e matemática (P. Antonio and Juan, 006). Em geral, a entropia de uma variável X pode ser dada pela seguinte equação: H(X) = E x [log(p(x))]. (6) De forma similar, para um ponto que pertence a uma Gaussiana Y, esta tem uma entropia máxima em relação a todas as distribuições de igual variância. A entropia máxima é dada pela seguinte equação: H max = 1 log[(π)d Σ ] (7) Dado um conjunto de pontos S = {x i } N e a densidade local estimada φ(x θ i ) da i-ésima componente da mistura. A entropia da i-ésima componente e a entropia máxima da i-ésima componente podem ser representadas pelas seguintes equações, respectivamente: H i = 1 N i logφ(x t θ i ) (8) N i t=1 H i max = 1 log[(π)d Σ ] (9) A taxa de Sp i entre H i (X) e H max i(x), pode ser usada para medir a diferença entre a densidade estimada anteriormente φ(x; Θ k ) e a densidade atual φ(x θ i ) da i-ésima componente da mistura. A Gaussiana da mistura que possuir a menor taxa e que for menor que 1, será dividida em outras duas Gaussianas, com π split = πi, as médias serão calculadas usando o algoritmo do K-means (Ueda and Nakano, 1998) e a matriz de covariância será calculada usando a Equação 5. O algoritmo proposto neste trabalho tem a seguinte estrutura: 1. Iniciar a mistura de Gaussianas com 1 componente, atualizar os valores usando o EM e computar o valor de L Θk.. Split: Dado o k atual e os parâmetros Θ k, separar a Gaussiana de menor taxa Sp i, em duas Gaussianas. Então usar o EM para atualizar os parâmetros da Θ split e para a mistura atual de k+1 Gaussianas. E computar o valor de L Θsplit. 3. Se L Θsplit > L Θk, aceita a nova mistura, e atualiza a mistura para Θ k+1 e volta para o passo anterior. A cada ciclo atualiza-se os valores da mistura, identificando qual Gaussiana irá ser separada, baseado na medida de entropia. No final do ciclo utiliza-se um critério de seleção para identificar se a mistura esta representando bem a nuvem de pontos Critérios de Seleção Os critérios de seleção são utilizados na literatura para se determinar quando obtêm-se um bom modelo, onde o número de parâmetros é reduzido e a representação é otimizada. Na verdade, esses 3076

5 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 01. me todos buscam um bom trade-off entre nu mero de para metros do modelo e precisa o de representac a o. Para o caso de modelos de misturas, o objetivo e minimizar a equac a o abaixo: Θ k = argmin(l(s Θk )), (10) onde L(S Θk ) e o resultado do crite rio de selec a o e Θk e a mistura de Gaussianas com k componentes. Esses crite rios te m a seguinte forma L(S Θk ) = log(p(s Θk )) + P (k), onde S e o conjunto de dados, no caso a nuvem, e P e uma func a o de penalizac a o que e incrementada a medida que o k aumenta. Estes tem como caracterı stica fundamental otimizar uma func a o que relaciona o logaritmo da verossimilhanc a (calculado com o EM), com o nu mero de para metros da mistura, afim de evitar o overfitting. Tre s crite rios mostrados abaixo sa o avaliados neste trabalho. BIC (Bayesian Information Criterion) (Fraley and Raftery, 1998): n L(S Θk ) = logp(s Θk ) + ln(n ). (11) Figura : Plataforma de Experimentos: robo Robex e o sistema de percepc a o 3D baseado no scanner laser Hokuyo URG-30LX. MDL (Minimum Description (Figueiredo and Jain, 00): 5.1 Length) L(S Θk ) = logp(s Θk ) + (1) n + k X N αi k N k(n + 1) log( ) log( ). 1 AIC (Akaike Information Criterion) (Akaike, 1974): L(S Θk ) = logp(s Θk ) + n. (13) Cada um desses crite rios possuem uma equac a o que o caracteriza. O n e o nu mero de para metros da mistura (Ververidis and Kotropoulos, 005) e o N e a quantidade de pontos na nuvem. Esses crite rios sa o aplicados dentro do algoritmo do Split-EM como condic a o de parada. 5 Experimentos Resultados com a PCL Nesta sec a o iremos mostrar os resultados que foram obtidos com a PCL, na simplificac a o e remoc a o de ruı dos de uma nuvem de pontos, capturada dem um ambiente real pelo robo Robex. Na Figura 3 tem-se a nuvem de pontos inicial que foi capturada com o robo Robex, com todos os pontos. Depois de fazer a simplificac a o e remoc a o dos ruı dos com a PCL, obte m-se a nuvem de pontos da Figura 4. Na tabela 1 ilustra alguns dados que foram gerados, analisando o nu mero de iterac o es do EM e o tempo de execuc a o para estimar a mistura com e sem a PCL. Com base nos dados identificamos que com o uso da PCL, obteve-se uma grande reduc a o no custo computacional e tambe m no nu mero de iterac o es do algoritmo EM padra o. Os experimentos foram realizados em um PC com processador Intel CoreDuo.4GHz, memo ria DDR 4GB e sistema operacional Ubuntu A plataforma de robo tica mo vel utilizadas para capturar as nuvens de pontos tridimensionais em ambientes reais foi o sensor 3D do robo Robex (Gutie rrez et al., 011). Este sensor consiste de um laser Hokuyo URG-30LX rotacionado por um motor de passo, onde sua resoluc a o e configura vel pelo sistema de percepc a o que o robo possui. Fig. ilustra o robo Robex e um sensor D de baixocusto, baseado no laser de alcance D Hokuyo 1. 1 Uma simples ca mera USB e usada para adquirir as informac o es RGB de cada ponto 3D, mas esta informac a o na o e usada no algoritmo de estimac a o. Figura 3: Nuvem de Pontos com pontos. 3077

6 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 01. Figura 4: Nuvem de Pontos depois de ser feita a simplificação e remoção dos ruídos com 1.19 pontos. Tabela 1: Resultados com a PCL. Iterações EM Tempo (seg) Sem PCL Com PCL Comparação entre os Critérios de Seleção Foram capturadas duas nuvens de pontos em ambientes reais com o robô Robex para fazer os experimentos de validação do algoritmo proposto e dos critérios de seleção. Foi utilizado o algoritmo proposto para estimar as misturas de Gaussianas junto com cada critério de seleção. Na figuras 5 e 6 são mostradas imagens do ambiente que foi capturada a Nuvem de Pontos, de maneira a permitir um melhor entendimento da nuvem de pontos adquirida. Nas figuras, são mostrados resultados das mistura de Gaussianas que foram estimadas usando cada critério de seleção. Os elipsoides coloridos nas imagens correspondem as Gaussianas. No experimento A, obtido em um ambiente de escritórios no qual foi colocada uma caixa mostrado na Figura 5, o critério BIC encontrou uma Mistura com 15 Gaussianas, o AIC com 15 Gaussianas e o MDL com 8 Gaussianas. Pode-se notar que a representação obtida pelo MDL é mais compacta mas mesmo assim, consegue representar os objetos presentes nos dados de maneira distintiva. No experimento B, obtido em um ambiente de escritórios no qual foi colocada uma pessoa mostrado na Figura 6. O critério BIC encontrou uma Mistura com 15 Gaussianas, o AIC com 15 Gaussianas e o MDL com 10 Gaussianas. Embora, a representação obtida pelo MDL não seja tão compactada quanto no resultado anterior, ainda assim é menor e mais representativa. Assim, o critério que melhor identificou as misturas foi o MDL proposto por (Figueiredo and As imagens das Misturas de Gaussianas foram geradas utilizando o software Matlab, onde foram utilizados 1.5 desvios padrões para definir o volume das Gaussianas Figura 5: Experimento A: a) Imagem de uma sala com uma caixa, b) Nuvem de Pontos 3D do ambiente, capturada com o robô Robex, c) Mistura estimada com BIC, d) Mistura estimada com AIC, e) Mistura estimada com MDL. Jain, 00). Este conseguiu identificar uma mistura que representa bem a nuvem de pontos, com um número menor de componentes em relação aos outros critérios analisados. A Tabela ilustra alguns dados com relação ao número de Iterações do EM e ao tempo de estimação da mistura. Tabela : Comparação entre os Critério de Seleção. Iterações EM Tempo (seg) Critérios/Exp. A B A B BIC MDL AIC Com base nos dados da tabela, confirmou-se que o MDL é o melhor critério de seleção dentre os outros que foram comparados. Este conseguiu obter a melhor mistura de Gaussianas das Nuvens de Pontos, com o menor número de Gaussianas e com o menor custo computacional. 3078

7 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 01. MDL (Figueiredo and Jain, 00), BIC (Fraley and Raftery, 1998) e AIC (Akaike, 1974). O MDL foi o que obteve o melhor resultado nos experimentos, sendo capaz de identificar uma boa mistura Mistura com menor custo computacional. Trabalhos futuros serão guiados na implementação eficiente do algoritmo utilizando paralelismo em placas gráficas, na utilização do presente algoritmo para representação de nuvem de pontos 3D servindo como base para algoritmos de SLAM e de detecção de mudança. Além disso, um estudo mais detalhado da precisão do presente método também será avaliado, bem como a utilização de algoritmos incrementais. Agradecimentos Este trabalho contou com o apoio da ANEEL/CEEE-D, FURG, dos colegas do NAUTEC - Grupo de Automação e Robótica Inteligentes da FURG e do Robolab - Robotics and Artificial Vision Laboratory da Universidad de Extremadura. Referências Akaike, H. (1974). A new look at the statistical model identification, IEEE Transactions on Automatic Control 19(6): Figura 6: Experimento B: a) Imagem de uma sala com uma pessoa, b) Nuvem de Pontos 3D do ambiente, capturada com o robô Robex, c) Mistura estimada com BIC, d) Mistura estimada com AIC, e) Mistura estimada com MDL. 6 Conclusões Este trabalho propôs uma metodologia para representação de nuvem de pontos tridimensionais baseada em mistura de Gaussianas. Algoritmos no estado-da-arte foram utilizados para realizar um pré-processamento na nuvem de pontos tridimensionais, onde se consegue simplificar uma grande quantidade de pontos sem perda excessiva de informação geométrica, com custo computacional baixo. Um novo algoritmo baseado em Expectation- Maximization, metodologia split-and-merge e otimização foi proposta para estimar uma mistura de Gaussianas. Esta não sofre com problemas de mínimos locais, além de ser eficiente na estimação, visto os tempos considerados em trabalhos no estado-da-arte (Drews Jr et al., 010). Além disso uma comparação entre critérios de seleção, utilizados para identificar a melhor Mistura de Gaussianas de uma Nuvem de Pontos 3D, também foi efetuado. Os algoritmos escolhidos são os algoritmos mais utilizados na literatura da área: Andreasson, H., Magnusson, M. and Lilienthal, A. J. (007). Has something changed here? autonomous difference detection for security patrol robots, Proceedings of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), pp Bishop, C. M. (007). Pattern Recognition and Machine Learning, Springer. Bloomenthal, J. (1997). Introction to Implicit Surfaces, Morgan Kaufmann Publishers Inc. Dempster, A. P., Laird, N. M. and Rubin, D. B. (1977). Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algorithm, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) 39(1): Drews Jr, P., Núñez, P., Rocha, R., Campos, M. and Dias, J. (010). Novelty detection and 3D shape retrieval using superquadrics and multi-scale sampling for autonomous mobile robot, Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA), Anchorage, Alaska, USA, pp Figueiredo, M. and Jain, A. (00). Unsupervised learning of finite mixture models, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 4(3):

8 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 01. Fraley, C. and Raftery, A. E. (1998). How Many Clusters? Which Clustering Method? Answers Via Model-Based Cluster Analysis, The Computer Journal 41(8): Gutiérrez, M., Martineta, E., Sánchez, A., Rodríguez, R. and Núñez, P. (011). A costefficient 3D sensing system for autonomous mobile robots, Proc. of XII Workshop of Physical Agents 011 (WAF 011), Albacente, Spain. Hu, X. and Xu, L. (004). Investigation on several model selection criteria for determining the number of cluster, Neural Information Processing - Letters & Reviews 4(1): Li, Y. and Li, L. (009). A novel split and merge EM algorithm for Gaussian mixture model, Fifth Internacional Conference on Natural Computation, 009. ICNC 09 6: Ververidis, D. and Kotropoulos, C. (005). Emotional speech classification using gaussian mixture models, Circuits and Systems, 005. IS- CAS 005. IEEE International Symposium on, pp Vol. 3. Vieira, A. W., Alves Neto, A., Guimarães Macharet, D. and Campos, M. F. M. (010). Mesh denoising using quadric error metric, XXIII Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image Processing (SIBGRAPI 10), Gramado, RS, Brazil. Vieira, A. W., Drews Jr., P. and Campos, M. (01). Efficient change detection in 3D environment for autonomous surveillance robots based on implicit volume, The 01 IEEE International Conference on Robotics and Automation, (ICRA 1). Núñez, P., Drews Jr, P. Bandera, A., Rocha, R., Campos, M. and Dias, J. (010). Change detection in 3D environments based on Gaussian Mixture Model and robust structural matching for autonomous robotic applications, Proceedings of IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), pp P. Antonio, E. F. and Juan, M. S. (006). Color image segmentation through unsupervised gaussian mixture models, Lecture Notes in Computer Science 4140: Pauling, F., Bosse, M. and Zlot, R. (009). Automatic segmentation of 3D laser point clouds by ellipsoidal region growing, in S. Scheding (ed.), Australasian Conference on Robotics and Automation (ACRA). Rusu, R. B. and Cousins, S. (011). 3D is here: Point Cloud Library (PCL), IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA), Shanghai, China. Rusu, R., Marton, Z., Blodow, N., Dolha, M. and Beetz, M. (008). Towards 3D point cloud based object maps for household environments, Robotics and Autonomous Systems 56(11): Schnabel, R., Wahl, R. and Klein, R. (007). Efficient RANSAC for point-cloud shape detection, Computer Graphics Forum 6(): Ueda, N. and Nakano, R. (1998). Deterministic annealing EM algorithm, Neural Networks 11():