VICENTE, S. A. S. Universidade Presbiteriana Mackenzie. tel

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1 VICENTE, S. A. S. Universidade Presbiteriana Mackenzie Rua da Consola pr Escola de Engenharia tel Consola So- Brasil silmara@mackenzie.br Os Problemas de Atribuiuma varia Problemas de Transporte, que grande representatividade dentro dos problemas de otimiza. Modelos matem foram estudados para resolu de problema com a fun soluo poss -lo. O objetivo deste trabalho o Problema de Atribui consiste em otimizar um sistema, com a tarefa de minimizar os custos, considerando a atribui n tarefas a m agentes, de forma que a atribui agente possui um custo especifico. Para encontrar uma solu estudado o m Problemas de Atribui. Modelos Matem. Minimizar Custos. Otimiza fun melhor solu dentre as poss Hoje existe uma preocupa f maneira de gerenciar e coordenar as atividades nos locais. JOSEPH, M. A.. Universidade Presbiteriana Mackenzie Rua Joaquim de Almeida, 371 tel Mirand S- Brasil moniquejoseph@hotmail.com TSAN HU, O. R. Universidade Presbiteriana Mackenzie Rua da Consola prescola de Engenharia tel Consola S- Brasil oshu@yahoo.com setor, cargos e funcion como Kaisen, Kanban, Sistema e 6 de otimizar e resolver da melhor forma determinados problemas em uma empresa, possibilitando manter o ambiente em equil atingir os objetivos propostos. Por t problemas mais especcomo os problemas de otimiza Um exemplo desse tipo de problema e que o foco desse trabalho qual tem como objetivo otimizar a atribui tarefas em m importante, pois pode ser utilizado como aplica de muitos outros problemas de otimiza, como o problema quadr, como por exemplo, distribui viagens de assist 1999 apud SENNE, LORENA e SALOM A maioria desses problemas de otimiza intrat suficiente para tornar invi exatos. Nesses casos m utilizados para procurar a melhor solu e em um tempo computacional razo principais m : Algoritmo

2 Gen trabalho, como foi dito anteriormente,estudar o Problema de Atribui-lo a partir do m. Este resoluencontra a solu O Problema de Transporte consiste na distribui origem, ou seja, o seu ponto de produ destino, os mercados consumidores, de maneira que o custo final do transporte seja m Considera-se que mmero de origens e n o de destinos, que para transportar um item da origem i para o destino j existe um custo c ij e que x ij a quantidade do produto a ser deslocado da origem i para o destino j. Deve-se levar em conta tamb representada por b j, e a i, que na origem i. (ARENALES et al., 2007). A Ilustra 1 representa o modelo de um problema de transporte. Ilustra1. Rede de transporte Fonte: adaptado de Arenales et al (2007, p.21). 3.1 M O M usado para a resolu diversos problemas pr de alocade tarefas. Para que se possa utilizar este m uma matriz, a qual deve conter os custos resultantes da designa a um agente. O m ou maximizar o valor final do problema, este pode ser para determinar a menor dist numa viagem, ou o menor investimento num projeto, ou como um exemplo de problema de maximiza funcion rendimentos. Essa matriz, definida como matriz-custo deve ser quadrada, ou seja, n x n, como mostra a Ilustra 2, sendo C ij o custo de atribuir a tarefa i para o agente j C = Ilustra2. Matriz-custo n x n. Fonte: Rodrigues, Vieira e Agustini (2005). O custo total de todas as tarefas atribu instala encontrar o melhor resultado, m chamado de aloca Abaixo segue as etapas para a aplica algoritmo. (ROGRIGUES, VIEIRA e AGUSTINI, 2005). Etapa 0: Construir a matriz com os custos relacionados a atribui cada uma das n tarefas a cada uma das m m diferente de m, deve-se criar uma linha ou coluna fantasma de forma que o n igual o n Etapa 1: Buscar o valor m subtra-lo de todos os valores da mesma linha; Etapa 2: Encontrar o valor m e subtra-lo de todos os valores da mesma coluna; Etapa 3: Riscar com o menor n tra os valores 0 das linhas e colunas da matriz. A quantidade de tra igual a n. Etapa 4: Se a quantidade m cobrir os zeros for igual a n, a solu encontrada, caso contr Etapa 5: Identificar o menor n sido riscado, subtra-lo de todos os demais que n tenham sido riscados e som-lo com os que foram riscados tanto verticalmente quanto horizontalmente. Retornar Para utiliza que tr que a matriz-custo deve ser quadrada. Para problemas que nse criar um agente ou uma tarefa fict influencie na solu problema deve ser de minimiza para fazer a transforma minimizaar as entradas da

3 matriz por (-1). A terceira restrino caso de utiliza softwares, que os n inteiros, para que arredondamentos nam no resultado. Em casos que essa restri satisfeita, deve-se multiplicar os valores da matriz por uma pot (ROGRIGUES, VIEIRA e AGUSTINI, 2005). Para o desenvolvimento do algoritmo foi criado um problema fict investidor que possui quatro im Ele recebeu propostas de cinco locat investidor deve designar os quatro im forma a maximizar o total a ser recebido. A Tabela 1 representa os valores que os locat propuseram. Tabela 1. Valores (R$) propostos para o aluguel Fonte: Autoria pr. Primeiramente, como o problema maximizaeve-se multiplicar os valores por -1 para que se transforme em problema de minimiza atendida, portanto, criar uma casa fantasma com valores zeros designados a ela de forma a n resultado (Etapa 0). A Tabela 2 representa essas duas mudan Tabela 2. Matriz para que seja aplicado o M H Fonte: Autoria pr Aplicando o Mtodo H a) A Tabela 3 representa o menor valor de cada linha. Tabela3. Menores custos em cada linha (Case 2) Fonte: Autoria pr b) A Tabela 4 representa a subtra menores valores de cada linha dos valores de cada uma das respectivas linhas. Tabela 4. Valores resultantes da subtra menores custos de cada linha dos custos da respectiva linha (Case 2) Fonte: Autoria pr a) A Tabela 5 representa o menor valor de cada coluna. Tabela 5. Menores custos em cada coluna (Case 2) F onte: Autoria pr b) A Tabela 6 representa a subtra menores valores de cada coluna dos valores de cada uma das respectivas colunas. Tabela 6. Valores resultantes da subtra menores custos de cada coluna dos custos da respectiva coluna (Case 2) onte: Autoria pr A Tabela 7 representa o n de linhas que cortam os zeros. Tabela 7. No de linhas para cortar os zeros (Case 2). F

4 Fonte: Autoria pr Como o menor n encontrado para cortar os zeros4, que que 5 ( valor de n), deve-se seguir para a etapa 5. O menor nero n. A Tabela 8 mostra a matriz resultante a partir da soma de 300 aos n verticalmente quanto horizontalmente e a subtra300 dos n linhas. Tabela 8 Resultado obtido pela subtraa do valor 300 (Case 2) Fonte: Autoria pr A Tabela 9 representa o n de linhas que cortam os zeros. Tabela 9. N zeros (Case 2) Fonte: Autoria pr Como o menor n encontrado para cortar os zeros4, ainda menor que cinco deve-se seguir novamente para o passo 5. O menor n 75. A Tabela 1 mostra a matriz resultante a partir da soma de 75 aos n verticalmente quanto horizontalmente e a subtra 75 dos n linhas. Tabela 10. Resultado obtido pela subtra do valor 75 (Case 2) Fonte: Autoria pr A Tabela 11 representa o n m Tabela 11. N os zeros do segundo ciclo das etapas (Case 2) Fonte: Autoria pr Como o menor n s encontrado para cortar os zeros 5, a solu A Tabela 12 mostra a solu Tabela 12. Solu Fonte: Autoria pr Os zeros resultantes representam a melhor solu para o investidor. Interpretando a Tabela 12, temse que a casa 4 deve ser designada para o locat 5, a casa 1 poderia ser designada para o locat ou 5, como o 5 deve alugar a 4, a casa 1 deve ser atribu ao locat 1 e 3, como deve ser a 1, a casa 3 deve ser alugada pelo locat locat nenhuma casa, uma vez que a casa cinco fantasma. Esses resultados aparecem na Tabela 21 em vermelho. O resultado finalum recebimento de aluguel m,00. A Ilustra 4 mostra o resultado obtido.

5 A matriz de custo O bot Quadro 1. Solu Fonte: Autoria pr O algoritmo utilizado para a implementa uma varia por James Munkres na d h existiam poucos computadores dispon algoritmo era calculado manualmente (PILGRIM, 2009). O prot rodando Visual Basic. Esta planilha foi escolhida devido amplamente utilizado. O tamanho da matriz de custo foi limitado a 200 linhas por 200 colunas, no entanto este tamanho pode ser ampliado facilmente. O algoritmo apresentado por Pilgrim (2009) foi traduzido para Visual Basic e sofreu algumas altera de algumas melhorias. As Etapas 0 e 1 s calculadas na prs Excel e as demais sdas em Visual Basic, rodando no MS Excel, sendo que a resposta na pr Um incremento ao algoritmo usu maximizaa minimiza matriz de custo. No caso de se desejar calcular a maximiza custo s se executar a Etapa 1 do algoritmo. Outro incremento foi ajustar automaticamente o tamanho da matriz, no caso da quantidade de linhas serem diferentes da quantidade de colunas. Neste caso s com valores zero para formar uma matriz quadrada. Na tela de entrada est, as quais silustra 3. Nome dos par Tamanho da matriz em linhas e em colunas Op Ilustra3. Entrada de dados na planilha. Fonte: Cda tela do autor. Apmetros serem definidos, o bot deve ser apertado de forma a rodar o programa. A solu com n e do problema no campo valor total, como mostrado na Ilustra 6 que segue. Foi utilizado mais um problema fict validar a implementa consiste em maximizar o rendimento de trabalhadores numa f Ilustra4. Matriz Solu Fonte: C da tela do autor. LU Cada vez mais a otimiza parte do dia a dia das pessoas e os estudos em m, devido sua import A determina diversos problemas como, atribui minas em f funcion signific empresas em geral. Decidir em que m alocada cada tarefa, buscando sempre o menor

6 custo, ou o maior rendimento de sua equipe de trabalho, ou qual a melhor forma de aumentar seu ganho nas suas loca import A implementa enorme para o trabalho uma vez que tornou possero de vari inexistente. Para problemas maiores, que o processo manual seria praticamente imposs consegue-se solureduzido. Dessa forma, o programa pode ser utilizado para resolver diversos problemas de designa diferentes tamanhos, conseguindo chegar na resposta ARENALES, M. et al. Pesquisa Operacional para cursos de engenharia. Rio de Janeiro: Elsevier, LORENA, L. A. N. Heur Problemas de Otimiza Dispon >. Acesso em: 05 out MOURA, A.; SCARAFICCI, R.; SILVEIRA, R.; SANTOS, V. T de grades hor In: Simp Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), 36., 2004, S... S ABREPO, p NARCISO, M. G.; LORENA, L. A. N. Algoritmo gen generalizado de atribui: Simp de Pesquisa Operacional (SBPO), 31., 1999, Juiz de Fora... Juiz de Fora: ABREPO, p PILGRIM, R. A. Munkres' Assignment Algorithm Modified for Rectangular Matrices. Disponivel em: < html>. Acesso em: 03/03/2009. RODRIGUES, L. B.; VIEIRA, F. B. P.; AGUSTINI, E. O m para o problema da aloca Universidade Federal de Uberl revista, n Dispon < artigos/artigolaisflavianoedson.pdf>. Acesso em: 20 set