Sistemas óticos com dois espelhos

Transcrição

1 Revista Brasileira de Ensin de Física, v. 34, n. 3, 3307 (0) Sistemas ótics cm dis espelhs (Optical systems with tw mirrrs) M.F. Ferreira da Silva Departament de Física, Universidade da Beira Interir, Cvilhã, Prtugal Recebid em 0/5/0; Aceit em 9/8/0; Publicad em //0 Estudam-se váris sistemas ótics rmads pr dis espelhs. Palavras-chave: ótica gemétrica, espelhs, cavidades óticas, micrscópis e telescópis reletres. Sme ptical systems with tw mirrrs are studied. Keywrds: gemetrical ptics, mirrrs, ptical cavities, relecting micrscpes and telescpes.. Intrduçã N ensin tradicinal da ótica gemétrica, é usual encntrar ns livrs de text estud ds espelhs. Naturalmente, esse estud cmeça pels espelhs plans, e mstra-se que tais espelhs prduzem apenas imagens virtuais, direitas e cm mesm tamanh d bjet. Um ds exempls mais cmuns relativs a espelhs plans é de dis espelhs situads um à rente d utr; para um bjet clcad entre s espelhs, este sistema dá rigem a uma sucessã ininita de imagens virtuais, tdas direitas e cm mesm tamanh d bjet, situadas em psições cada vez mais aastadas. Quand estud ds espelhs é generalizad de rma a incluir s espelhs esérics, mstra-se que estes espelhs pdem prduzir imagens reais u virtuais, direitas u invertidas, e maires u menres d que bjet. Entre s exempls, cntud, diicilmente encntrams mais d que um espelh eséric. A grande mairia ds manuais [-0] cmbinam, mais tarde, espelhs cm lentes, mas exempls cm dis u mais espelhs esérics sã muit rars [-5]. Neste trabalh mstram-se alguns exempls simples cm dis espelhs esérics. Além de pssuírem um interesse pedagógic genuín, estes exempls levam a algumas aplicações interessantes, cm as cavidades óticas de ressnância, e pdem servir de preâmbul para estud de algumas utras aplicações cncretas, cm s telescópis reletres de Newtn, Gregry u Cassegrain e micrscópi de relexã de Burch. ms@ubi.pt.. Frmulaçã d prblema À semelhança d exempl reerid de dis espelhs plans, vams pôr s espelhs esérics um à rente d utr. Cada imagem rmada pr um ds espelhs vai ser um bjet para utr espelh, pel que devems esperar também ininitas imagens. Tend em cnta caráter mais diversiicad das imagens prduzidas pr um espelh eséric, as primeiras perguntas naturais sã, entã, as seguintes: Cm serã estas ininitas imagens? Reais u virtuais? Direitas u invertidas? Maires u menres d que bjet? Outra pergunta que pderia surgir é esta: As imagens vã aparecer em pnts cada vez mais aastads, cm n cas de dis espelhs plans? Ou vã manter-se pert ds espelhs indeinidamente? (Esta questã pde ser imprtante se desejarms bservar as imagens em detalhe.) Clar que, se ist sse realmente pssível, seria de esperar uma situaçã alg cmplexa, cm as imagens demasiad pert umas das utras, que pderia diicultar a sua visualizaçã. Finalmente, depis de pensar um puc sbre assunt, pderia surgir uma nva pergunta: Haverá alguma maneira de evitar que se prduzam ininitas imagens, de rma a nã bter um aglmerad cnus de imagens? Serã estas algumas das perguntas a que tentarems respnder aqui. Em particular, interessar-ns-á a última destas questões. É clar que, se desejams que númer de imagens seja init, terems de prcurar imagens que se repitam, ist é, imagens que cincidam cm bjets anterires. Esse será, eetivamente, nss bjetiv principal. Para reduzir enrme espetr de pssibilidades, e simpliicar um puc prblema, cnsiderarems ape- Cpyright by the Sciedade Brasileira de Física. Printed in Brazil.

2 3307- Silva nas pares de espelhs semelhantes, u seja, espelhs que tenham a mesma distância cal em valr abslut ( ). E tmarems =, que equivale a esclher uma escala de distâncias especíica. Seguirems as cnvenções usuais [-0] para s sinais da distância bjet (que designarems ), distância imagem (que designarems i) e aument lateral (que designarems m), arems us implícit da aprximaçã paraxial e ignrarems s eeits de aberraçã esérica. Cmeçarems apresentand dis cass particulares muit imprtantes. Estes cass irã servir nã só para perceberms melhr prblema, mas também para preparar caminh para estud de utrs exempls mais gerais. 3. Primeir cas especial: um sistema simétric e cncal Dis espelhs côncavs A e B de distância cal = + sã clcads um à rente d utr, separads pr uma distância d = = r = + (rai de curvatura de cada espelh). Desta rma centr de curvatura C dum espelh cincide cm vértice V d utr espelh, e c F d espelh A cincide cm c d espelh B (diz-se que sistema é cncal). O bjet O (real) clca-se a uma distância d vértice V A d espelh A. Supõe-se 0 < < (ver Fig. ). Cmeçams pr analisar s rais que partem d bjet em direçã a espelh A. Primeira relexã n espelh A. Tems + = = i A i i =. () Esta primeira imagem é virtual (i < 0), pel que se encntra à direita d espelh A. Vejams seu tamanh. m = i = >. () A primeira imagem é direita, mair que bjet. Esta imagem vai exercer papel de bjet (real) para espelh B: = i = + =. (3) Primeira relexã n espelh B. Tems + = i B = i =. (4) i Esta segunda imagem é real (i > 0), pel que se encntra à direita d espelh B. Mais precisamente, cm i + = = d, ela está lcalizada na mesma psiçã d bjet. Vejams tamanh desta imagem. m = i = ( ) m = m m =. (5) A segunda imagem está invertida e tem mesm tamanh d bjet. Esta imagem vai exercer papel de bjet (real) para espelh A; cm a sua psiçã e tamanh cincidem cm própri bjet (a única dierença é que está invertida), tds s cálculs anterires serã aprveitads a seguir. Segunda relexã n espelh A. Tems i 3 = e m 3 = <. (6) Esta terceira imagem é virtual, está situada n mesm lugar (e tem mesm tamanh) da primeira imagem, mas está invertida. Vai exercer papel de bjet (real) para espelh B. Segunda relexã n espelh B. Tems i 4 = e m 34 =. (7) Esta quarta imagem é real, está situada n mesm lugar (e tem mesm tamanh) d bjet e é direita. Ou seja, cincide precisamente cm bjet. Cm a quarta imagem e bjet cincidem, as psterires relexões ns espelhs A e B nã vã prduzir nvas imagens. Na Fig. mstra-se bjet e as suas quatr imagens (I, I, I 3, I 4 ) através de um diagrama de rais. Desta igura deve icar clar, usand princípi de inversã ds rais luminss, que nã vale a pena analisar s rais que partem d bjet na direçã d espelh B: eles vã simplesmente gerar as mesmas imagens já descritas, só que numa rdem inversa (I, I, I 3, I 4). Assim, cnclui-se que este sistema de dis espelhs dá rigem a apenas quatr imagens: duas reais (uma idêntica a bjet e utra na mesma psiçã dele, mas invertida) e duas virtuais (uma direita e utra invertida, lcalizadas pr trás d espelh mais próxim d bjet e maires d que ele). Os sistemas de espelhs que prduzem um númer init de imagens, em vez de um númer ininit cm seria de esperar, recebem nme de ressnantes.

3 Sistemas ótics cm dis espelhs Espelh B Espelh A Esta imagem vai exercer papel de bjet (real) para espelh B: CA = VB F d = = r O = I4 = I 4 I = I CB = VA I = I 3 Eix Ótic I3 = I Figura - Diagrama de rais para dis espelhs côncavs em psiçã simétrica e cncal. O que é verdadeiramente curis neste sistema de espelhs é que a psiçã d bjet entre s dis espelhs é ttalmente arbitrária. Ou seja, nã sms brigads a clcar bjet numa psiçã especial para que a ressnância crra. Entre as aplicações mais imprtantes desta cniguraçã especíica pdems reerir as cavidades óticas ressnantes cncais [6-9], nrmalmente usadas na implementaçã de lasers para s quais se deseja bter um md transversal de grande pureza. 4. Segund cas especial: um sistema simétric e cncêntric Dis espelhs côncavs A e B de distância cal = + sã clcads um à rente d utr, separads pr uma distância d = 4 = r = +4 (diâmetr de curvatura de cada espelh). Desta rma centr de curvatura C d espelh A cincide cm centr de curvatura d espelh B (diz-se que sistema é cncêntric). O bjet O (real) clca-se precisamente n centr C (ver Fig. ). Analisarems s rais que partem d bjet em direçã a espelh A; pr simetria, nã é precis analisar s rais que partem d bjet em direçã a espelh B. = 4 i =. (0) Primeira relexã n espelh B. Tems + = i B = i = i =. () Esta segunda imagem é real (i > 0) e encntrase, nvamente, na mesma psiçã d bjet. Vejams tamanh desta imagem. m = i = m = m m =. () Vems entã que a segunda imagem cincide ttalmente cm bjet. Lg, as psterires relexões ns espelhs A e B nã vã prduzir nvas imagens. Assim, este sistema dá rigem a apenas duas imagens reais, uma idêntica a bjet e utra na mesma psiçã dele, mas invertida. É também um sistema ressnante. Nã é tã curis cm cas anterir prque a ressnância só crre numa psiçã muit particular d bjet: quand este é clcad n pnt médi entre s dis espelhs. As cavidades óticas ressnantes cncêntricas [6-9] cnstituem uma das principais aplicações deste sistema (mais uma vez, na implementaçã de lasers). Na Fig. mstra-se bjet e as suas imagens através dum diagrama de rais. As imagens I e I resultam das relexões que cmeçam n espelh A; as imagens I e I resultam das relexões que cmeçam n espelh B. Espelh B Espelh A Primeira relexã n espelh A. Tems + = i A = i = i =. (8) VB FB C O = I = I I = I FA VA Eix Ótic Esta primeira imagem é real (i > 0) e encntrase na mesma psiçã d bjet. Vejams seu tamanh. m = i = =. (9) A primeira imagem é invertida e tem mesm tamanh d bjet. d = 4 = r = r = Figura - Diagrama de rais para dis espelhs côncavs em psiçã simétrica e cncêntrica, cm bjet n centr.

4 Silva 5. Um cas mais geral: sistema simétric Dis espelhs côncavs A e B de distância cal = + sã clcads um à rente d utr, separads pr uma distância d. O bjet O (real) clca-se a uma distância d vértice d espelh A (ver Fig. 3). Este sistema cnstitui uma extensã ds dis sistemas anterires. Cm antes, cmeçams pr analisar s rais que partem d bjet em direçã a espelh A. Primeira relexã n espelh A. Tems i = + = i A i = (3) m = i =. (4) Dependend d valr de, esta primeira imagem pderá ser real u virtual, e mair u menr d que bjet. Em qualquer cas, ela vai exercer papel de bjet para espelh B = d i = d = d d Primeira relexã n espelh B. Tems + = i B = i d d i = d d d d +. (5) (6) m = i = d d + m = m m = d d +. (7) Impms agra a cndiçã de que esta imagem se rme na mesma psiçã d bjet; que se pretende é evitar que se prduzam ininitas imagens: i + = d d d = d, (8) d d + e após uma álgebra simples btém-se (d )( d + d) = 0. (9) Esta equaçã ica autmaticamente satiseita, para qualquer valr de, se d = ; é esse cas cncal já analisad na seçã 3. Supnhams que d. Entã d + d = 0 = d ± d(d 4). (0) Esta equaçã só terá sluções se d 4. A situaçã d = 4 crrespnde a cas cncêntric já estudad na seçã 4 (se d = 4, btém-se cm única sluçã = ). Supnhams d > 4; nesse cas, resultam duas sluções distintas para = d d(d 4) ; + = d + d(d 4). () Estas duas psições para bjet estã à mesma distância d pnt médi entre s espelhs (centr d sistema), e satisazem as seguintes relações, acilmente demnstráveis a partir das Eqs. (0) e () < < < d < + < d ; () + + = d ; + = d ; d d = ; d + d = + ; (3) = d = + ; + + = d = ; (4) + lim = ; lim + = + ; d 4 + d 4 + lim = + ; d + lim + = +. (5) d + Assim, a psiçã está entre c e centr de curvatura d espelh A, enquant que + está entre centr de curvatura e c d espelh B. N limite d 4 +, estas psições aprximamse ds centrs de curvatura respetivs; n limite d +, elas aprximam-se ds cs respetivs. As relações () (5) permitem-ns cnsiderar estas duas psições cm psições cmplementares. Estudems primeir a psiçã =. Tems, substituind a primeira das relações () nas Eqs. (3), (4), (6) e (7), e usand as Eqs. () a (4), i = = +, (6) m = = + <, (7) i = d d d d + = + = ( ) ( ) = = +, (8)

5 Sistemas ótics cm dis espelhs m = d d + = ( ) + = ( ) = >. (9) As expressões (6) e (7) mstram que a primeira imagem crre na psiçã +. É uma imagem real, situada entre centr de curvatura e c d espelh B. É uma imagem invertida e mair d que bjet (se d 4 +, seu tamanh aprxima-se d d bjet, e se d + trnase tã grande quant quiserms). As expressões (8) e (9) mstram que a segunda imagem crre na psiçã d bjet (pr cnstruçã; cnvém bservar que d + = ). É uma imagem real, situada entre centr de curvatura e c d espelh A. É uma imagem direita e mair que bjet (quand d 4 + seu tamanh aprxima-se d tamanh d bjet, e quand d + trna-se tã grande quant quiserms). Assim, clcand bjet na psiçã (mais pert d espelh A) e após duas relexões (cmeçand pel espelh A), resultam duas imagens reais, ambas maires d que bjet, uma invertida na psiçã cmplementar e a utra direita na mesma psiçã d bjet. As relexões psterires nã arã mais d que repetir este mecanism: inversã e ampliaçã ( atr de aument em cada relexã é igual a + / ). Cnclui-se que este sistema permite-ns ampliicar cnsideravelmente tamanh das imagens de um bjet, send únic limite natural ixad pelas dimensões ds espelhs. Passems a estudar agra a psiçã = +. Substituind a segunda das relações () nvamente nas Eqs. (3), (4), (6) e (7), e após usarms as Eqs. () a (4), btems m + = d + d + + = = ( + ) = ( + ) <. (33) Lg, a primeira imagem crre na psiçã. É uma imagem real e invertida, lcalizada entre centr de curvatura e c d espelh A. A segunda imagem crre na psiçã d bjet. É uma imagem real e direita, situada entre centr de curvatura e c d espelh B. Ambas as imagens sã menres d que bjet (quand d 4 + s seus tamanhs aprximam-se d tamanh d bjet, e quand d + trnam-se tã pequenas quant quiserms). Assim, clcand bjet na psiçã + (mais lnge d espelh A) e após duas relexões (cmeçand pel espelh A), resultam duas imagens reais, ambas menres d que bjet, uma invertida na psiçã cmplementar e a utra direita na mesma psiçã d bjet. Tdas as relexões psterires limitam-se a repetir este mecanism: inversã e reduçã ( atr de reduçã em cada relexã é igual a / + ). Cnclui-se que este sistema permite-ns reduzir cnsideravelmente tamanh das imagens de um bjet. E que é que pdems dizer ds rais que vã na direçã d espelh B? A relaçã + + = d permitens cncluir que a sluçã = para s rais que viajam d bjet para espelh B crrespnderá à sluçã = + para s rais que viajam d bjet para espelh A; e a sluçã = + para s rais que viajam d bjet para espelh B crrespnderá à sluçã = para s rais que viajam d bjet para espelh A. Dit de utra rma: nã tems de analisar s rais que vã para espelh B, prque esses rais vã prduzir as mesmas imagens que acabáms de encntrar. i + = + + =, (30) Espelh B I4 Espelh A I m + = + = + < m + < 0, (3) VB FB I 3 I CB CA O I I 4 FA Eix Ótic VA I I3 i + = d + d + d + d + + = = +( + ) ( + ) = + + =, (3) r = d > 4 Figura 3 - Cas mais geral de dis espelhs côncavs em psiçã simétrica (aqui, cm bjet na psiçã ). Mstram-se apenas quatr imagens maires e quatr imagens menres. r =

6 Silva Cncluams entã: a clcar um bjet entre s dis espelhs, numa das psições e + encntradas (para d > 4), as relexões que cmeçam n espelh mais próxim d bjet dã rigem a uma sucessã de imagens cada vez maires, enquant que as relexões que cmeçam n espelh mais aastad d bjet dã rigem a uma sucessã de imagens cada vez menres. Tdas estas (ininitas) imagens sã reais e estã lcalizadas na mesma psiçã d bjet (send imagens direitas) u na psiçã cmplementar (send imagens invertidas). A Fig. 3 resume tds estes resultads. 6. Outr cas mais geral: sistema assimétric Um espelh côncav A de distância cal A = + e um espelh cnvex B de distância cal B = sã clcads um à rente d utr, separads pr uma distância d. O bjet O (real) clca-se a uma distância d vértice d espelh A (ver Fig. 4). Cmeçams pr estudar s rais que partem d bjet na direçã d espelh A. Primeira relexã n espelh A. Tems i = + = i A i = (34) m = i =. (35) Esta primeira imagem vai exercer papel de bjet para espelh B: = d i = d + d = d Primeira relexã n espelh B. Tems + = i B = + i d + d i = d + d d d. (36) (37) m = i = d d m = m m = d d. (38) Impms a cndiçã de que esta imagem se rme na mesma psiçã d bjet i + = d d + d d d = d, (39) e após um cálcul simples btém-se (d + ) + (d + ) = 0 = d + ± d 4. (40) Só há sluções se d. O cas d = nã tem interesse ísic (se d =, btém-se cm única sluçã = : bjet teria de ser clcad n vértice d espelh B). Supnhams d > ; resultam entã duas sluções distintas para = d + d 4 + = d + + d 4 ;. (4) Apenas uma destas sluções ( ) representa uma psiçã pssível para um bjet real. As seguintes relações sã acilmente demnstráveis a partir das Eqs. (40) e (4) < < < d < + < d + ; (4) + + = d + ; + = d + d + d = ( )( ) ; (43) d d = ( ) ; = d + = + ; (44) lim = ; d + lim = + ; d + lim + = + ; d + lim + = +. (45) d + Assim, a psiçã está entre s dis espelhs, e a psiçã + está à esquerda d espelh B. N limite d +, ambas as psições aprximam-se d vértice de B ( pela direita e + pela esquerda); n limite d +, aprxima-se d c d espelh A pela esquerda, e + aprxima-se d c d espelh B pela direita. Ou seja, está sempre entre c e centr de curvatura d espelh A, enquant que + está sempre entre vértice e c d espelh B. Clquems, pis, bjet na psiçã =. Substituind a primeira das relações (4) nas Eqs. (34), (35), (37) e (38), e usand as Eqs. (4) a (44), resulta i = = +, (46) m = = + <, (47)

7 Sistemas ótics cm dis espelhs i = d + d d d = ( )( ) ( ) =, (48) que este sistema permite-ns aumentar cnsideravelmente tamanh das imagens de um bjet; únic limite natural é ixad pelas dimensões ds espelhs. m = d d = ( ) ( ) = <. (49) Espelh B I3 I4 Espelh A I O Destas expressões pdem bter-se alguns resultads. A primeira imagem crre na psiçã +. É uma imagem virtual pis está pr trás d espelh B, entre vértice e c desse espelh. É uma imagem invertida e mair d que bjet (se d +, seu tamanh aprxima-se d d bjet, e se d +, trna-se tã grande quant quiserms). A segunda imagem crre na psiçã d bjet (pr cnstruçã; além diss, é ácil veriicar que i + = d). É uma imagem real, situada entre c e centr de curvatura d espelh A. É uma imagem invertida e mair d que bjet (se d +, seu tamanh aprxima-se d d bjet, e se d +, trna-se tã grande quant quiserms). A segunda imagem vai exercer papel de bjet (real) para espelh A; cm a sua psiçã cincide cm própri bjet (a única dierença é que está invertida), tds s cálculs anterires serã aprveitads a seguir. Segunda relexã n espelh A. Tems i 3 = = + ; m 3 = ( ) 3 >. (50) Esta terceira imagem é virtual, está n mesm lugar que a primeira imagem, mas é mair e está direita. Vai exercer papel de bjet (virtual) para espelh B. Segunda relexã n espelh B. Tems i 4 = ; m 34 = ( ) 4 >. (5) Esta quarta imagem é real, está lcalizada na mesma psiçã d bjet, e é direita e mair d que ele. Assim, clcand bjet na psiçã e após quatr relexões (cmeçand pel espelh A) resultam quatr imagens (duas reais e duas virtuais), tdas maires d que bjet; duas imagens sã invertidas, as utras duas sã direitas. As relexões psterires nã arã senã repetir este mecanism de inversã e ampliaçã a cada duas relexões, send atr de aument em cada duas relexões sempre igual a ( + / ). Cnclui-se FB I 3 I VB CA I 4 I I d > FA r = Eix Ótic Figura 4 - Cas mais geral de dis espelhs (um côncav, utr cnvex) em psiçã assimétrica. Mstram-se apenas quatr imagens maires e quatr imagens menres. Neste mment deve ser clar, usand princípi de inversã ds rais luminss, que nã vale a pena analisar s rais que partem d bjet na direçã d espelh B: eles simplesmente vã gerar imagens semelhantes às já descritas, só que numa rdem inversa e cm reduçã em vez de ampliaçã. Na Fig. 4 mstra-se bjet e algumas das suas imagens sucessivas. Cnclusã inal: a clcar um bjet entre um espelh côncav ( = +) e utr cnvex ( = ), na psiçã encntrada (para d > ), as relexões que cmeçam n espelh côncav dã rigem a uma sucessã de imagens cada vez maires, enquant que as relexões que cmeçam n espelh cnvex dã rigem a uma sucessã de imagens cada vez menres. Tdas estas (ininitas) imagens estã lcalizadas na mesma psiçã d bjet (send, prtant, reais) u nutra psiçã pr trás d espelh cnvex (send, prtant, virtuais). Metade das imagens sã direitas, a utra metade sã invertidas. 7. Diiculdades e aplicações cncretas Os dis exempls anterires mstram que, cm um arranj de dis espelhs esérics, pderia cnstruir-se, em princípi, um sistema que ampliasse (reduzisse) tamanh das imagens de um bjet. A análise eetuada permite cncluir que, para cnseguirms uma ampliaçã u reduçã cnsiderável sem aumentar a distância entre s espelhs, devem crrer várias relexões sucessivas. N entant, s dis exempls apresentam diiculdades sérias na sua implementaçã. Um prblema evidente resulta da impssibilidade de prjetar num ecrã VA

8 Silva qualquer uma das imagens virtuais prduzidas; utr prblema é que, se tentams prjetar uma das imagens reais, ecrã passará a cnstituir um bstácul para s rais luminss e impedirá que crram múltiplas relexões. Para cmplicar ainda mais, teríams de descbrir uma maneira de separar as imagens ampliadas das imagens reduzidas (e também as imagens ampliadas entre si, e as imagens reduzidas entre si). Nenhum destes três prblemas é de ácil resluçã. Felizmente, engenh tem permitid superar, pel mens parcialmente, estas barreiras. O micrscópi de relexã de Burch (ver Fig. 5) e s telescópis reletres desenhads pr Newtn, Gregry u Cassegrain sã alguns ds exempls que leitr interessad pde agra estudar em detalhe [3, 0, ]. Estas aplicações apresentam uma vantagem signiicativa em relaçã as micrscópis e telescópis de reraçã: estã livres de aberraçã crmática, já que as caraterísticas da imagem nã dependem d cmpriment de nda da luz usada. Objet Espelh B Espelh A À cular Eix Ótic Figura 5 - Esquema básic da bjetiva num micrscópi de relexã de Burch. 8. Cnclusões Fram apresentads alguns exempls de sistemas cm dis espelhs esérics. Apesar de terem um clar interesse pedagógic, este tip de exempls nã é cmum ns livrs de text de ísica geral u de ótica gemétrica. Depis de analisar dis cass particulares (reletres cncais e reletres cncêntrics), estudáms dis cass mais gerais, um simétric e utr assimétric. Mencináms a relaçã entre s primeirs dis cass e as cavidades óticas de ressnância cncal e cncêntrica, respetivamente as suas duas principais aplicações; reerims também as diiculdades inerentes à aplicaçã ds dis cass mais gerais n desenh de sistemas de ampliaçã e reduçã. Finalmente, indicáms que algumas destas diiculdades têm sid ultrapassadas, nmeadamente n micrscópi de relexã de Burch e ns telescópis de relexã (Newtn, Gregry, Cassegrain), cuja análise pde encntrar-se acilmente na literatura. Reerências [] M. Alns y E.J. Finn, Física (Addisn-Wesley Iberamericana, Argentina, 995), p [] H. Bensn, University Physics (Wiley, New Yrk, 996), rev. ed., p [3] J.D. Cutnell and K.W. Jhnsn, Physics (Wiley, New Yrk, 004), 6th ed., p [4] D. Halliday, R. Resnick and K.S. Krane, Physics (Wiley, New Yrk, 00), 5th ed., p [5] A. Hudsn and R. Nelsn, University Physics (Saunders Cllege, Philadelphia, 990), nd ed., p [6] F.J. Keller, W.E. Gettys and M.J. Skve, Physics: Classical and Mdern (McGraw-Hill, New Yrk, 993), nd ed., p [7] L.S. Lerner, Physics r Scientists and Engineers (Jnes and Bartlett, Sudbury, Massachusetts, 996), p [8] R.A. Serway and J.W. Jewett Jr., Physics r Scientists and Engineers with Mdern Physics (Brks/Cle, Belmnt, 004, 6th ed.), p [9] P.A. Tipler, Física (Editrial Reverté, Barcelna, 996), 3 a ed., p [0] H.D. Yung, University Physics, 8th ed., ext. vers. with Mdern Physics (Addisn-Wesley, Reading, Massachusetts, 99), p [] R. Gladkva and N. Kutylvskaya, Selected Questins and Prblems in Physics (MIR, Mscw, 989), p. 35. [] I.P. Gurskii, Elementary Physics: Prblems and Slutins (MIR, Mscw, 987), p. 43, 435. [3] M. Katz, Intrductin t Gemetrical Optics (Wrld Scientiic, New Jersey, 00), p. 9-9, 8-9. [4] S.P. Myasnikv and T.N. Osanva, Selected Prblems n Physics (MIR, Mscw, 990), p [5] V. Zubv and V. Shalnv, Prblems in Physics (MIR, Mscw, 989), p [6] E. Hecht, Optics (Addisn-Wesley, San Francisc, 00), 4th ed., p [7] H. Kgelnik and T. Li, Applied Optics 5, 550 (966). [8] G. Lauer, Intrductin t Optics and Lasers in Engineering (Cambridge University Press, Cambridge, 996), p [9] O. Svelt, Principles Lasers (Plenum Press, New Yrk and Lndn, 998), 4th ed., p [0] M. Brn and E. Wl, Principles Optics (Cambridge University Press, Cambridge, 999), 7th (expanded) ed., p , 84. [] F.L. Pedrtti, L.M. Pedrtti and L.S. Pedrtti, Intrductin t Optics (Prentice-Hall, New Jersey, 007), 3rd ed., p