Cartografia Projeções Cartográficas

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1 Cartografia Projeções Cartográficas Prof. João Fernando Custodio da Silva Departamento de Cartografia www2.fct.unesp.br/docentes/carto/joaofernando

2 Introdução Queremos representar o mundo - de proporções quilométricas - em traços desenhados em proporções milimétricas; Para isto, construímos cartas e mapas. A construção de uma carta exige o estabelecimento de um método; Este método deve obedecer à regra a cada ponto da superfície da Terra corresponde um ponto da carta e vice-versa.

3 O Processo Cartográfico Objeto: Terra Modelo do objeto Esfera (plani&alti) Elipsoide (plani&alti) Geoide (altitudes) Superfície de Projeção Cone Cilindro Plano Superfície de representação Globo (esfera) Mapa, carta (plano)

4 Sistemas de projeções Diversos métodos podem ser empregados para se obter essa correspondência de pontos, constituindo os chamados "sistemas de projeções (SP). SP é um conjunto de princípios e leis que garantem a unicidade da correspondência objeto (Terra) e imagem (mapa/carta). A teoria das projeções compreende o estudo dos diferentes sistemas que se fundamentam em princípios e leis matemáticas (Cartografia Matemática).

5 A natureza das distorções ou deformações cartográficas A correspondência entre a superfície da Terra e o mapa não pode ser exata (*) (perfeita) por dois motivos básicos: Uma transformação de escala deve ocorrer: a correspondência 1/1 é fisicamente impossível e durante o processo de redução das dimensões ocorre perda de informação (generalização); A superfície curva da Terra não se ajusta a um plano sem a introdução de alguma espécie de deformação ou distorção (esticar ou rasgar a superfície curva). (*) exato x acurado x preciso!

6 Problema fundamental O problema fundamental das projeções cartográficas é a representação (do todo ou de parte) da superfície (irregular) da Terra em um plano. A solução para este problema é a adoção de formas geométricas regulares para representar, em proporções menores, a verdadeira forma da Terra.

7 Figuras de referência Duas figuras geométricas regulares são adotadas, de acordo com a aplicação desejada: um elipsóide de revolução uma esfera As superfícies destas formas (figuras) são as referências para os elementos da superfície terrestre a representar.

8 Não há solução perfeita. E daí? Para se obter a coincidência da casca de uma tangerina (curva) com a superfície plana de uma mesa, as duas superfícies têm de ser distorcidas. Optando-se por conservar plana a mesa e adaptando-se a casca (curva), é necessário partir, esticar e ajustar os pedaços da casca, dispondo-os na mesa (plano). Observa-se que a figura formada sobre a mesa (imagem) representará o objeto (tangerina) com imperfeição, pois os movimentos necessários ao melhor ajuste causam torções e alongamentos, de modo que a forma e as dimensões ficam alteradas desproporcionalmente. É uma simplificação grosseira do problema das projeções cartográficas, mas expressa claramente a impossibilidade de uma solução perfeita (projeção livre de deformações). A solução (imperfeita) é desenvolver e usar um método que cause as menores deformações possíveis.

9 Aproximação, simplificação, praticidade Evita-se o problema da representação imperfeita, mediante a construção de representações tridimensionais do elipsóide ou da esfera, como é o caso do globo (escolar); Entretanto, por conveniência e praticidade, o mapa construído sobre uma superfície plana resiste, pois inegavelmente o mapa plano é mais fácil de ser produzido e manuseado (mãos e máquinas).

10 O mapa ideal O ideal seria construir uma carta que representasse perfeita e rigorosamente a superfície da Terra. Tal carta teria as seguintes propriedades: Manutenção da verdadeira forma das áreas a serem representadas (conformidade); Inalterabilidade das áreas (equivalência); Constância das relações entre as distâncias dos pontos representados e as distâncias dos seus correspondentes (eqüidistância).

11 O mapa possível As propriedades do mapa ideal seriam facilmente conseguidas se a superfície da Terra fosse plana ou desenvolvível (no plano, sem deformações). A solução será, portanto, construir uma carta que, sem possuir todas as condições ideais, possua aquelas que satisfaçam a determinado objetivo. Assim, é necessário, ao se fixar o sistema de projeção escolhido, considerar a finalidade da carta que se quer construir (manter forma, área ou distância). Deve-se aceitar que, rigorosamente, a escala não é uniforme em todas as direções.

12 A metodologia viável Geralmente, a representação cartográfica é feita sobre uma superfície plana o plano de representação (PR) no qual se desenha o mapa. O problema básico consiste em relacionar pontos da superfície física terrestre (SFT) ao plano de representação (PR).

13 Superfícies envolvidas A realidade é a Superfície de referência Superfície de projeção SFT, q é a verdadeira forma da Terra, que é Geóide (altitudes) Elipsóide (lat long geodes) Esfera (lat long geográfica) Plano Cone Cilindro Irregular (modelagem matemática) Irregular (NMM) Regular (a, f) Regular (raio) Figuras geométricas regulares (2D e 3D) Superfície de representação Plano 2D

14 Etapas gerais da representação: SFT, MRT e PR Compreende as seguintes etapas: Adoção de um modelo matemático de referência para a Terra (MRT): a esfera ou elipsóide de revolução (esferóide achatado nos pólos); Projetar todos os elementos da superfície terrestre (SFT) sobre o modelo escolhido (MRT); Relacionar os pontos do modelo de referência (MRT) com o plano de representação (PR), escolhendo-se um sistema de coordenadas (origem, escala, posição e orientação);

15 Planimetria e Altimetria Os elementos cartografáveis podem ser tangíveis (físicos, materiais: águas, vias, edificações, cercas etc); e convencionais (divisas político-administrativas, p. ex.; são intangíveis e invisíveis); todos são detalhes planimétricos. Alturas e altitudes do terreno são qualidades intrínsecas às formas do terreno. São mensuradas unidimensionalmente e representadas por toda a extensão do mapa (por curvas de nível, por cores hipsométricas etc capítulos seguintes neste curso).

16 Altimetria (H e h) e ondulação geoidal (N) A altitude de um ponto qualquer na SFT pode ser expressada de duas maneiras: Ortométrica (H) é a distância contada desde o ponto, ao longo da vertical do lugar, até a superfície do geóide, que é a superfície de referência para contagem das altitudes; Geométrica (h) é a distância contada desde o ponto, ao longo da perpendicular, até a superfície do elipsóide; H = h N (aproximada).

17 Ondulação geoidal no Brasil N = h H -35m < N < -10m -10m < N < +10m +10m < N < +35m

18 Erro médio de N Foram utilizadas 804 RRNN; Erro médio padrão de +/- 0,32m para as áreas mais desenvolvidas do país.

19 Recapitulando... Os sistemas de coordenadas são necessários para expressar a posição de pontos sobre uma superfície (elipsóide, esfera ou um plano). É com base em determinados sistemas de coordenadas que descrevemos geometricamente a superfície terrestre nos levantamentos (destinados à execução de medições para a determinação da forma e dimensões da Terra). Para o elipsóide ou esfera, usualmente empregamos um sistema de coordenadas cartesiano (OXYZ) e curvilíneo (paralelos e meridianos). No plano, em geral, se usa um sistema de coordenadas cartesianas X e Y. Para complementar a localização (coords lat long) de um ponto na SFT necessitamos ainda de uma terceira coordenada: a altitude.

20 Projeção cartográfica É um método de se efetuar o relacionamento matemático entre um ponto na SFT e o seu correspondente no PR (mapa). O método deve definir claramente o relacionamento matemático, de tal modo que, geralmente, o próprio método identifica a projeção.

21 Classificação das PC As projeções cartográficas são classificadas de acordo com os tipos e as características: ( a ) Quanto ao modelo matemático; ( b ) Quanto à situação do PV; ( c ) Quanto à superfície de projeção; ( d ) Quanto à situação da superfície de projeção; ( e ) Quanto às propriedades.

22 (a) Quanto ao modelo matemático Geométrica Analítica Convencional

23 Quanto ao modelo matemático: Geométrica Geométrica Perspectiva (exemplos adiante) Gnomônica: PV no centro Estereográfica: PV no MR (antípoda) Ortográfica: PV no infinito Pseudoperspectiva (ex.: cilíndrica equatorial estereográfica) É uma projeção perspectiva na qual se recorre a algum artifício, de maneira a se obter determinada propriedade.

24 Quanto ao modelo matemático: Analítica Analítica Simples ou regulares cilíndrica equatorial conforme Mercator equidistante azimutal Modificadas ou irregulares (equivalente de Bonne)

25 Quanto ao modelo matemático: Convencional Convencional (Mollweide) São as que se baseiam em princípios arbitrários, puramente convencionais, em função dos quais se estabelecem suas expressões matemáticas.

26 Projeções perspectivas: quanto à situação do PV ( b ) estereográfica

27 Pseudo-perspectiva Cilíndrica equatorial estereográfica PV percorre o Equador situando-se no antimeridiano do ponto a projetar.

28 Projeções analíticas São aquelas que não têm sentido geométrico, em conseqüência das leis matemáticas introduzidas, visandose conseguir determinadas propriedades.

29 Projeções convencionais São as que se baseiam em princípios arbitrários, puramente convencionais, em função dos quais se estabelecem suas expressões matemáticas. Projeção de Mollweide.

30 Superfícies desenvolvíveis: cone e cilindro

31 ( c ) Quanto à superfície de projeção Planas ou azimutais (zenitais): vértice do cone pertence ao plano; Desenvolvível: Cônicas: serve de base para as demais; Cilíndricas: vértice do cone está no infinito.

32 ( d ) Quanto à situação da superfície de projeção PV ou eixo; Contato.

33 ( d ) Quanto à situação da superfície de projeção (PV ou eixo) Planas (azimutais) Polar Equatorial ou meridiana Horizontal ou oblíqua Por desenvolvimento (cônicas e cilíndricas) Normal ou equatorial Transversal ou meridiana Horizontal ou oblíqua

34 Planas, cônicas e cilíndricas Planas Polar Equatorial Oblíqua Cônicas Normal Transversa Oblíqua Cilíndrica Equatorial Transversa Oblíqua

35 ( d ) Quanto ao tipo de contato entre as superfícies de projeção e de referência Tangentes Secantes

36 ( e ) Quanto às propriedades Equidistantes (conservam as distâncias) Meridianas (meridianos), transversais (paralelos), azimutais (ortodrômicas: círculos máximos) Equivalentes (conservam as áreas) Conformes (conservam as formas, os ângulos) Afiláticas (não conservam nenhuma das propriedades anteriores)

37 Esfera-modelo e.m. é uma esfera desenhada na escala da projeção e que serve como construção auxiliar para a obtenção das projeções geométricas; Considera-se portanto a Terra esférica; O raio da e.m. é o raio da Terra dividido pelo módulo da escala (r = R/E); É uma abordagem mais simples para iniciar os estudos das projeções cartográficas.

38 Coeficiente de deformação (CD) É a razão entre uma determinada grandeza na projeção e a sua homóloga na e.m. ; CD = ab / a b ; E = AB / a b ab: dimensão na carta; a b = dimensão na e.m. = AB / E; AB: dimensão na SFT; ab = a b CD = (AB CD) / E

39 Resumo Um ponto na SFT e um ponto no PR. Sistema de projeção (SP). Natureza da deformação. Representação e figuras de referência. Mapa ideal e mapa possível (aproximado). SFT => MRT => SP => PR (planim. e altimetria). Projeções cartográficas e classificações. Esfera-modelo (e.m.). Coeficiente de deformação (CD).

40 Conclusão A Cartografia evoluiu mesmo com a limitação intrínseca de oferecer uma representação apenas aproximada da superfície terrestre. Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico criou condições para que o grau de aproximação tenha chegado a um nível de aceitação para as necessidades humanas. Por isso, o seu valor foi reconhecido no passado e atualmente é uma ferramenta científica e tecnológica prática e indispensável para a tomada de decisão em um grande variedade de áreas de interesse da sociedade humana.

41 Até a próxima aula Continuação do estudo das projeções cartográficas e o Sistema UTM Prof. João Fernando