TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. 04. (MACK SP) Sendo 0 o centro da circunferência de raio 1 então x = BC, vale:

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1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 01. Obter o valor de x na figura: 0. Com base na figura abaixo é correto afirmar: 01) h = m 0) h = m 04) a = (1 + ) m 08) O triângulo ACD é isósceles 16) O lado AC mede 6m 0. (UFSC) Dois pescadores P 1 e P estão na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra margem. Sabendo que P 1 P = 6 m, os ângulos BP 1 P = e BP P 1 = e que tg = e tg = 4, a distância entre as margens (em metros) é: 04. (MACK SP) Sendo 0 o centro da circunferência de raio 1 então x = BC, vale: 05. (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD da figura. Conhecendo-se o ângulo, o comprimento L do lado AB, em centímetros, é: Dados: h = 1 cm ; y = 1cm; = 0 D C y h A L B x E

2 06. (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos α)x (4cosαsen β)x + sen β= 0, sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo. Pode-se afirmar que as medidas de α e β são, respectivamente: a) e 8 8 b) e 6 c) e 4 7 d) e 6 e) e (UFRGS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 10 com a margem do rio.sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de a) 40 b) 40 c) 45 d) 50 e) (ENEM 010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (4 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km b) 1,9 km c),1 km d),7 km e) 5,5 km

3 09. (ENEM 011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual α. A figura ilustra essa situação: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 0 e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será a) m b) m. c) 000 m. d) 000m. e) 000 m. 10. Na cidade de Pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo?(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,8 tg74º =,4) 11. (UEL 011) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P 1, um barco ancorado no horizonte norte na posição B. Nesta posição P 1, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 90, como mostrado na figura ao lado. Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a partir da posição P. Neste novo ponto de observação P, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 45. Qual a distância P B aproximadamente? a) 1000 metros b) 1014 metros c) 1414 metros d) 1714 metros e) 414 metros 1. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x AD = x DC= x - 8 BD = y B A 0 60 D C

4 1. (UFPR 01) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 0 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar? a) 75 o. b) 60 o. c) 45 o. d) 0 o. e) 15 o 14. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 0º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa? (sen 0º = 0,4; cos 0 = 0,9; tg 0º = 0,6) 15. Determine o valor de x e y na figura abaixo: GABARITO , d 07. b 08. c 09. b m 11. c d m 15. x = 100 y = 100

5 TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 01. (UFRGS 01) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 0. A medida da diagonal menor do losango é: a) b) c) 4 d) e) 4 0. (UFSM) O grupo de alunos participará de uma trilha em uma reserva ecológica. A equipe deverá sair do ponto A e chegar até o ponto C, conforme a figura. Como o percurso não poderá ser feito diretamente, os alunos deverão sair de A e passar por B para, depois, chegar a C. Com isso, a distância, em km, a ser percorrida pelos estudantes é igual a a) b) c) ( d) ( e) 6 1) 6 ) (ACAFE 01) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 60km e AC = 110km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura a seguir. Assim, a distância aproximada entre B e C, em km, é: a) 90 km b) 100, km c) 95,4 km d) 48,9 km 04. Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é: Dica: Se + = 180, sen = sen a) 50 m b) 50 6 / m c) 50 m d) 5 6 m e) 50 6 m

6 05. (UFPEL) A Secretaria de Turismo de Pelotas disponibiliza mapas da cidade nos postos de pedágio. O mapa abaixo localiza alguns pontos importantes da cidade de Pelotas. Unindo os pontos correspondentes à Universidade Católica de Pelotas (UCPel), à Prefeitura Municipal e à Santa Casa, tem-se uma figura geométrica de vértices A, C e H, onde AC, CH e AH medem, respectivamente,, 5 e 7 unidades de comprimento. De acordo com os textos e seus conhecimentos, é correto afirmar que o ângulo oposto ao maior lado dessa figura mede Dica: Se + = 180, cos = - cos a) 150 b) 0. c) 60. d) 15. e) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol L e mede o ângulo L  C = 0. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo L Bˆ C = 75. Quantas milhas separam o farol do ponto B? 07. (FUVEST) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma P.A Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 10, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a: a) 5 b) 45 c) 75 d) 105 e) (UFRGS 010) As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a, e 1. Os cossenos de seus ângulos internos são, portanto: a),, b),, c),, d),, e),, 8

7 09. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem cm e 5cm e formam um ângulo de 45. Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede: a) 4 b) 11 c) d) 1 e) (UFSM 010) Entre os pontos A e C, localizados na margem de um lago, será estendido um cabo com boias sinalizadoras que demarcará a parte permitida para o passeio de pedalinhos. Para a compra do material a ser utilizado, é necessário determinar a distância entre esses pontos. A medição direta da distância entre Ae C não pode ser realizada, pois fica sobre a superfície do lago. Assim, marcou-se um ponto B intermediário, de modo que as distâncias entre Ae B e entre B e C pudessem ser feitas sobre terra firme. Sabendo que a distância entre Ae B é 100 metros, que a distância entre B e C é 60 metros e que o ângulo com vértice em B determinado por A, B e C é 10 graus, a distância entre A e C, em metros, é a) 10. b) 140. c) 150. d) 155. e) (FUVEST) ABC é um triângulo equilátero de lado 4; AM = MC =, AP = e PB = 1. O perímetro do triângulo APM é: a) b) c) d) e) Num triângulo ABC, tem-se que AB = 5cm, AC = 7cm e BC = 6cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC. 1. (FUVEST) Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo ACB intercepta a semi-circunferência. O comprimento da corda AD é: 14. (MACK) Na figura, o raio da circunferência de centro B é o dobro do raio da circunferência de centro A. Se x é a medida do ângulo ACB, então: a) 0 < x 0 C b) 45 < x 60 c) 0 < x 45 d) 60 < x 90 A B e) x > 90

8 15. (FGV) A figura abaixo mostra a trajetória de Renato com seu barco. Renato saiu do ponto A e percorreu 10 km em linha reta, até o ponto B, numa trajetória que faz 50º com a direção norte. No ponto B, virou para o leste e percorreu mais 10 km em linha reta, chegando ao ponto C. Calcule a distância do ponto A ao ponto C. Dados: sen 0º = 0,4, cos0º = 0,940. GABARITO 01. c 0. c 0. c 04. a 05. e d 08. c 09. d 10. b 11. a R 14. d 15. Observando a figura abaixo temos DBˆ A 50º, ABˆ C 140º e CÂB BĈA 0º. Fazendo AC = x temos, pela lei dos senos, Assim, x = 0cos0º = 00,94 = 18,8. AC = 18,8 km.

9 ESTUDO DE ARCOS 01. Um arco de 00 equivale em radianos a: a) 5 b) c) 4 10 d) 9 e) 6 0. (UEPG-PR) O arco de medida de a) 4º Quadrante b) º Quadrante c) º Quadrante d) 1º Quadrante e) n.d.a. 7 rad tem sua extremidade pertencente ao: 4 0. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9h 10min. 04. (UFPEL) Nossa época, marcada pela luz elétrica, por estabelecimentos comerciais abertos 4 horas e prazos apertados de trabalho, que muitas vezes exigem o sacrifício dos períodos de sono, pode muito bem ser considerada a era do bocejo. Estamos dormindo menos. A ciência mostra que isso contribui para a ocorrência de males como diabete, depressão e obesidade. Por exemplo, quem não segue a recomendação de dormir, no mínimo, 8 horas por noite tem 7% mais risco de se tornar obeso. Revista Saude n 74, junho 006 [adapt.]. Uma pessoa que durma a zero hora e siga a recomendação do texto acima, quanto ao número mínimo de horas diárias de sono,acordará às 8 horas da manhã. O ponteiro das horas, que mede 6 cm de comprimento, do despertador dessa pessoa, terá descrito, durante seu período de sono, um arco de circunferência com comprimento igual a a) 6 cm b) cm c) 6 cm d) 8 cm e) 18 cm f) I.R. 05. (ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado mineirinho, conseguiu realizar a manobra denominada 900, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação 900 refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que no caso, corresponde a a) uma volta completa b) uma volta e meia c) duas voltas completas d) duas voltas e meia e) cinco voltas completas 06. Obter a medida em graus dos seguintes arcos: a) b) 6 c) 7 4

10 07. Converta em radianos: a) 60 o b) 10 o c) 150 o d) 5 o 08. (UDESC 01) O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos deste relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 0 minutos é: a) b) c) d) 18 e) O pêndulo de um relógio tem comprimento 0cm e faz o movimento ilustrado na figura. Qual o comprimento de arco AB? 10. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de 1000º? a) 70º b) 80º c) 90º d) 00º e) 10º 11. Transformando 1º em radianos, obtemos: a) b) c) 0 d) 15 e) 1 1. (ENEM 01) Em 0 de fevereiro de 011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 14 0 a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1 equivale a 60 e 1 equivale a 60. A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude na forma decimal é a) 14,0.

11 b) 14,05. c) 14,0. d) 14,0. e) 14, (UFRGS 01) Um disco de raio 1 gira ao longo de uma reta coordenada da direção positiva, como representado na figura abaixo. Considerando-se que o ponto P está inicialmente na origem, a coordenada de P, após 10 voltas completas, estará entre a) 60 e 6 b) 6 e 64 c) 64 e 66 d) 66 e 68 e) 68 e Calcule e na figura a seguir: 15. (UFPA) Quantos radianos o ponteiro dos minutos de um relógio percorre em 50 minutos? GABARITO 01. d 0. a d 05. d a) 10 b) 0 c) a) rad b) rad c) rad d) rad e b 11. a 1. b 5 1. b 14. L 1cm 0,4 rad 15.

12 SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ARCO 01. Para que valores de m a equação cos x = m 5 admite solução. a) - 1 m 1 b) - m 5 c) m d) < m < e) 1 < m < 0. Determine o valor de: a) sen 150 b) cos 10 c) sen 0 π π sen π cos sen d) cos π 0. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações para arcos medidos em radianos: I) sen 1 < sen II) cos 1 < cos III) cos 1 < sen 1 Quais são verdadeiras? a) apenas I b) apenas II c) apenas III d) apenas I e II e) I, II e III 04. Determina o valor de: a) tg 10 b) tg 10 c) tg Sabendo que sen x e que x, calcule cos x (F.C.Chagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x. a 1 são verdadeiras para todo x real, se e somente se: a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1 c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1 e) n.d.a. 07. (PUC RS 010) Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se funções trigonométricas. A expressão sen x + cos x 5 envolve estas funções e, para x, seu valor é: a) 7 b) c) 1 d) 5 e) 5

13 08. (ENEM 010 ) Um satélite de telecomunicações, t minutos apos ter atingido sua orbita, esta a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por 5865 r(t) 1 0,15.cos(0,06t).Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de a) km. b) km. c) km. d) km. e) km. 09. Determine o valor das expressões abaixo: a) sen 90º.cos 0º cos180º.sen 70º sen 0º cos Determine o valor de a) sen10 b) sen40 c) sen15 d) cos10 e) cos40 f) cos A equação sen x = m 5 admite solução para: a) m b) 1 m 4 c) -1 m 1 d) < m < e) 0 m 1 b) sen π cos π cos.sen 0º sen π π 1. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01) Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do º quadrante senx cos4x 0) A expressão para x = 0 o vale 1 sen 5x 04) Sabendo que 6 é raiz da equação sen x m. sen x + = 0, o valor de m é 1/ 08) A expressão sen160 o + sen180 o + sen00 o vale ) No intervalo x, se sen x, o valor de cos x é ) Se sen x + cos x = 1, então sen x.cos x é igual a (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir quando 7 sen x y, é:

14 5 14. (UFCE ) Se x, podemos afirmar que: a) cos x > 0 e sen x > 0 b) cos x > 0 e sen x < 0 c) cos x < 0 e sen x > 0 d) cos x < 0 e sen x < (Fuvest-SP) Os valores máximos e mínimo da função f( x) 1 sen x são, respectivamente: a) e 1 b) 1 e 0 c) 1 e 1/ d) e 0 e) e 1/ 01. c 0. a) 1/ b) 04. a) b) GABARITO c) 1/ d) / 0. a y c) /5 06. d 07. b b 09. a) b) a) b) c) d) e) f) 11. a c 15. c

15 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 01. (UNIP) Se um ângulo pertencente ao o quadrante e sen = a) b) 1/ c) - d) e). Podemos afirmar que sec α é: 0. Assinale V ou F a) O valor numérico de y na expressão tg 40º cos0º y é. sen 870º sec11π b) Se sec x 5 e x,, então tg x cotgx é igual a. π 14π c) tg sec 1 4 d) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec x + tg x) é Determine o valor de: a) sec 60 o b) cossec 150 o c) cotg 15 o 04. Sendo a) sen x b) tg x c) cotg x d) sec x e) cossec x cos x 1 π e < x <, determinar o valor de: (IFSC 01) Para incentivar seus alunos a aprender matemática, um professor propõe um jogo, no qual cada aluno recebe uma carta com uma expressão matemática e cujo resultado é um número natural. Um aluno é sorteado para iniciar a rodada e esse deve escolher um colega para desafiar. Ambos colocam suas cartas na mesa e o que tiver a carta de menor valor está fora do jogo. O professor distribui novas cartas entre os alunos que permaneceram no jogo e uma nova rodada se inicia. O processo se repete até restar um único aluno, que será o vencedor. Suponha que em uma das rodadas a distribuição das cartas tenha ocorrido conforme abaixo: x x, para x x tg.cossec π ANA : 4 MARIA :log 11. log11 1 sec 10.tg BRUNO :.sec x 10cotgx π, para x x.cossecx log7 log CARLA : log

16 Sabendo que Bruno foi sorteado para iniciar a rodada, assinale no cartão-resposta a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Bruno continuará no jogo independente de quem desafiar, pois nesta rodada sua carta é a de maior valor. 0) Bruno sairá do jogo independente de quem desafiar, pois nesta rodada sua carta é a de menor valor. 04) Se Maria for desafiada por Bruno, ela continuará no jogo. 08) Se Bruno desafiar Ana, então Ana sairá do jogo. 16) Para prosseguir no jogo, Bruno não deve desafiar Carla (UEPG) Considerando que x rad e y rad, assinale o que for correto ) cotg y < cos x 0) sec x < tg y 04) cos y < tg x 08) sen x < cos y 07. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão a) 0 b) sec a c) sen a d) 1 e) tg a sen cos a. tga.cosseca a.cotga.sec x,obtém-se: 08. (UFSC) O valor numérico da expressão cos x 4x tg - senx cotg x.cossecx sec 8x, para x= π é: 5π 5π e 09. (UEPG) Se A cos.sen sec 5π 01) A é um número natural 0) A.B > 0 04) B pertence ao intervalo [-1, ] 08) A + B = 1,5 sen 164º.cos10º. tg 5º B, assinale o que for correto. tg 7º.sen 884º.cos50º 16) A < 0 B 10. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão: sen 0º cos10º. cossec150º cotg 0 sec 00º tg 60º cotg 5º 11. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão (sec x - tg x)(sec x + tg x) sen x é igual a: a) cos x b) 1 + sen x c) cos x - sen x d) sec x + cos x e) n.d.a. 1. (UDESC) A expressão trigonométrica dada por a) cotg x cos x sen x. tg x cos x é uma identidade trigonométrica com termo:

17 b) cotg x c) cosec x d) sec x e) tg x 1. (UFSC) Dado sen x e que x 5 0,, calcule o valor numérico da expressão: sec x.cotg x cossecx. tg x 6.sen x.cossec x Se x e y são números reais tais que x x 4 e e. tg x y, então: sec x tg x.sec x a) y = e x b) y = e x (1 + tg x) x e c) y cos x x e d) y sec x π sec x tg x 15. Para todo número real x, tal que 0 < x <, a expressão cosx cotg x a) sen x. cotg x b) sec x. cotg x c) cos x. tg x d) sec x. tg x e) sen x. tg x é equivalente a: GABARITO 01. d 0. a) V b) F c) F d) V 0. a) b) c) a) 15 4 b) y 15 c) 15 d) 4 e) e a 1. d c 15. d

18 01. Determine o valor de sen 75 cos 15. OPERAÇÕES ENTRE ARCOS 5 0. (UDESC) A expressão trigonométrica dada por sen x é uma identidade trigonométrica com o termo: a) cos x b) cos x c) sen x d) sen x e) sen x + cos x 0. O valor de cos 10 o cos 50 o sen 10 o. sen 50 o 04. (FURG 010) Ao sair de um quiosque (em A) na praia do Cassino, um turista avista um navio parado (em N), sob um ângulo de 0º. Ele caminha em linha reta pela praia, em direção aos Molhes da Barra e instala seu guarda-sol (em B) a 1.500m do quiosque. Nesse ponto, ele avista o mesmo navio sob um ângulo de 45º, conforme a figura abaixo. A distância do navio ao guarda-sol, em metros, é de: a) b) 750 c) d) 75 6 e) (UDESC 011) No dia primeiro de janeiro de 011, ocorrerá a cerimônia de posse do(a) novo(a) Presidente(a) da República. Um dos atos solenes desta cerimônia é a subida da rampa do Palácio do Planalto, sede do governo brasileiro que pode ser vista na Figura. Suponha que essa rampa possua uma elevação de 15º em relação à sua base e uma altura de m. Então o(a) novo(a) Chefe de Estado, ao subir toda a rampa presidencial, percorrerá uma distância de: a) 6 1m b) 8 8m

19 c) 6 m d) 6 6m e) 4 m 06. (UDESC) Seja x um arco tal que a) x. Suponha que π sen x, então cos x é: 4 b) c) d) 4 5 e) O valor de sen 15 o. cos 15 o é: 08. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: ) Se cos x = e x, o valor de cos(x) é ) Sendo sen x e sen y, 0 < x, y <, então sen (x y) é igual a ) A expressão (sen x + cos x) é equivalente a 1 + sen x 08) Para x, y R, vale sen (x + y) = sen x + sen y 09. (UFRGS) Se cos x sen x = 1, então sen (x) é igual a a) 0,15 b) 0,5 c) 0,5 d) 0,75 e) (UEL 010) Num triângulo retângulo ABC temos os ângulos internos  = 15 e B = 75. O valor da razão BC é: a) + b) sen 5 c) d) e) 1 AC

20 cossecx sec x 11. Sabendo que 5, então o valor de (sen x + cos x) é: sec x cossecx 7 a) 5 b) 7 c) 5 d) 1 e) 1. (FEI-SP) Se tg x + cotg x =, calcule sen (x). 1. (MACK-SP) Se sen 10 o + cos 10 o = a, então o valor de sen 55 o é igual a: a) a b) 1 a c) a d) a e) a 14. (FUVEST) O valor de (tg 10 o + cotg 10 o ). sen 0 o é: 15. (FATEC) Sendo a b = 60 o, calcule o valor de: E = (cos a + cos b) + (sen a + sen b) GABARITO a 0. 1/ 04. c 05. d 06. d 07. 0, d 10. a 11. a 1. / 1. a

21 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 01. Assinale V ou F: a) ( ) A afirmação está correta? π Supondo que uma partícula tem o deslocamento dado pela equação S(t) 5.cos π.t em que t está em segundos e s em metros, então essa função tem período de segundos e seu conjunto imagem é Im(s) = [ 1, 1]. b) ( ) O período da função f(x) sen x cosx é. 0. O gráfico na figura é o da função f: [0, 4] R, definida por: a) f(x) = sen x b) f(x) = cos x c) f(x) = sen x d) f(x) = sen x x e) f(x) = sen 0. (IFSC 01) Considere a função g de domínio real, definida por g(x) = 5 + sen (x). Assinale no cartãoresposta o número correspondente à proposição correta ou à soma das proposições corretas. 01) O valor máximo da função é igual a. 0) A função g tem período igual a. 04) A imagem da função g é o intervalo real [-8,-]. 08) g() = g( ) 16) O gráfico de g passa pelo ponto (0, 5). ) A função g é par. 04. (UFRGS 01) A função f é definida por f(x) = sen(x) e g é uma função cujo gráfico não intercepta o gráfico de f, quando representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. Entre as alternativas que seguem, a única que pode representar g(x) é a) sen x b) log x c) x d) x + e) + x 05. Determine o conjunto imagem das seguintes funções abaixo: a) f(x) 4 + sen (x) x b) f(x) = sen π 06. (UFRGS 010) O período da função definida por f(x) sen x é: π π 5π a) b) c) 6 d) e)

22 07. (UEPG) A respeito do gráfico, que representa uma função periódica do tipo f(x) = a + b.sen (cx), definida em R, assinale o que for correto: 01) f(x) = 1 + sen (x) 0) A imagem de f é [, 1] 04) O período da função é π π 08) f (UFSM) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos,. t em reais, de acordo com a lei C( t) sen com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos máximo e mínimo desse produto são a)0 e 00 b) 00 e 10 c) 00 e 80 d) 0 e 80 e) 10 e (UFPEL) Senóide é o nome que se dá à curva que representa a função y = sen x, cuja imagem é [-1, 1] e o período é, conforme ilustra o gráfico abaixo. Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o período (p) e a imagem (Im) da função y = sen (x) são respectivamente. a) p = 6 e Im = [ -, ] π b) p = e Im = [ -, ] c) p = 4 e Im = [-, ] d) p = e Im = [-1, 1] e) p = e Im = [-, ] f) I.R π 10. (FEI-SP) O período da função y 5.cos.4x é dado por: a) /5 b) 1/ c) / d) /

23 11. (IFSC 01) Após uma experimento físico, pesquisadores concluíram que determinado tipo de onda propaga-se segundo a função. t f( t). sen 6 na qual t é o tempo em segundo, t 0. Sobre a função f(t), assinale no cartão resposta o número correspondente à proposição correta ou à soma das proposições corretas. 01) A imagem da função é o intervalo real [ 1, 1]. 0) f(t) < 0 t k, k R. 04) O gráfico da função não intercepta o eixo das abscissas. 08) f(t) é uma função par. 16) f(t) é uma função crescente em todo o seu domínio. ) O valor máximo da função é igual a (UFPR 011) Suponha que a expressão P sen.. t descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 0 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 10 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa para t = 0 s; t = 0,75 s. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? 1. (PUC RS) Em uma animação, um mosquitinho aparece voando, e sua trajetória é representada em um plano onde está localizado um referencial cartesiano. A curva que fornece o trajeto tem equação y = cos(bx + c). O período é 6, o movimento parte da origem e desenvolve-se no sentido positivo do eixo das abscissas. Nessas condições, podemos afirmar que o produto.b.c é a) 18 b) 9 c) d) e) 14. (UFSC) Assinale a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a m de uma parede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede e esta sombra tem 17 m de altura. Se a altura do poste é de 0 m, então a inclinação dos raios solares, em relação ao plano horizontal, é de 45 o. 1 0) Se sen a, então sen 5 a sen 88 a é. 04. Os gráficos das funções f(x) = sen(4x) e x g(x) têm exatamente pontos em comum, para x no intervalo (0, /). 4 08) Para ser verdadeira a desigualdade tg(x).sec(x) < 0, x deve estar localizado no segundo ou no quarto quadrante. 15. (UFSC) As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula π h(t) 8 4. sen. t, 1 em que t é o tempo medido em horas. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

24 01) O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m. 0) O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 1h. 04) O período de variação da altura da maré é de 4 horas. 08) O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre e 10 horas. GABARITO 01. a) F b) F 0. e e 05. a) [1, 7] b) [- 1, 5] 06. b d 09. b 10. b a) 100 mmhg e 80 mmhg b) 0,75 segundos 1. e

25 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 01. (UFSC) Determine, em graus, o valor real x, que satisfaz a equação: sen x 5senx + =0 para 0. (UFSC 01) A Afirmação seguinte está CORRETA? A equação log (cos x) 1 tem exatamente duas soluções no intervalo 0,. 0. Resolver no intervalo 0 x <, a equação cos x = sen x 04. Resolver, no intervalo 0 x <, as seguintes equações: a) sen x = 1 b) cos x = 0 1 c) sen x = d) cos x = e) sen x sen x 4 = (ACAFE) Analise as afirmações a seguir. I) sen 50 o = sen 10 o II) o valor real de x, em graus, que satisfaz a equação sen x + 4sen x + = 0, para 0 < x < é 90 o. III) Sendo sen x = k 1, então, 0 k. π π sen sen 0º.sen IV) Sendo A =, então A 1 π π cos.sen cos π 4 É (são) correta(s) a(s) afirmações. a) I III IV b) I II IV c)apenas III d) II III IV e) II III 06. Determinar o número de soluções da equação sen x cos x = sen x no intervalo 0 x <. π 0 x. 07. (UDESC) A solução da inequação sen(x) > 1 no intervalo 0 x é: a) S x R / x ou x b) S x R / x c) S x R / x ou x d) S x R / x ou x e) S x R / x 6 6

26 08. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 0 x π na equação: 1 cos x + sen x = 0 é: 09. (UECE) Quantas raízes tem a equação cos x sen x = 0 no intervalo 0 x? 10. (FUVEST) A soma das raízes da equação sen x cos 4 x = 0 que estão no intervalo [0, ], é: a) b) c) 4 d) 6 e) (UFSC 010) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 6 01) Sabendo que tg x 5e que x, então cosx Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então o valor numérico do cosseno do maior ângulo agudo é 5. 1 tg x 04) Para todo x real, x.k., onde k é um número inteiro qualquer, vale sen x cos x. 1 tg x 0, o número de soluções da equação cosx 0 é. 08) No intervalo 1. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S) ) A medida em radianos de um arco de 5º é rad. 6 0) A menor determinação positiva de um arco de 1000 é ) Os valores de m, de modo que a expressão sen x = m 5 exista, estão no intervalo [,]. 08) sen x > cos x para x ) Se tg x = e x, então o valor de sen x cos x é igual a. 4 5 ) Se sen x 0, então cossec x 0. 64) A solução da equação sen x + sen x = para 5 0 x é x ou x (UEPG-PR) Seja sen x = 1, com x 1ºQ, então, é correto afirmar que: 01) cos x sen x = 0 0) cos x = 0 04) sec x. cotg x = 0 08) sec x = 16) tg x = (UFPEL) Dada a equação: cos x Se 0 x, é correto afirmar que sec x é igual a: a) b) sen x cos x sen x 1 1

27 c) d) 1 e) 15. (UFSC 011) A afirmação está correta? A equação senx cosx 0 admite 4 soluções no intervalo 0,. GABARITO não 0. 11, a) S b) S. c) S. d) S. e) S a b c b 15. não