Cálculo Financeiro com Excel

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1 Um dos conceitos mais importantes em finanças é o do valor do dinheiro no tempo 1. Este conceito diz que um real recebido hoje é mais valioso que um real recebido daqui a um ano. Pelo menos duas razões podem ser apontadas para explicar esse conceito: a) O real que recebemos hoje pode ser investido para se obter mais do que um real daqui a um ano; b) O real que recebemos hoje é seguro (está no nosso bolso!). Enquanto que o real que receberemos no ano que vem tem risco, pois não temos total segurança de que o receberemos realmente Valor Futuro de um Investimento realizado hoje Suponha que um investidor aplique R$100 em um banco a 5% ao ano. Depois de um ano terá na sua conta R$105: R$100 iniciais, que chamaremos de principal, mais R$5 de rendimentos (ou juros). O valor futuro (VF) 2 dos R$100 a 5% durante um ano é R$105. Agora suponha que nosso investidor aplique os fundos no banco durante cinco anos. Quanto terá no final de cinco anos? A resposta é R$127,63. Este valor é obtido do seguinte modo: a) O investidor começa com R$100, ganha R$5 de rendimentos durante o primeiro ano, tendo no final do primeiro ano R$105: P * (1 + r), onde P é o principal investido e r, a taxa de juros 3 ( Interest Rate ). b) Desta forma, ele começa o segundo ano com R$105, ganha R$5,25 e acaba com R$110,25 na sua conta no final do segundo ano, ou seja, o principal no segundo ano é substituído de R$100 para R$105, que é o VF do primeiro ano. Desta forma, seu lucro do segundo ano é maior, pois o investidor ganha rendimentos sobre os rendimentos recebidos no primeiro ano, ou seja: P * (1 + r) * (1 + r) 100 * (1 + 0,05) 2 = R$110,25 1 Em inglês: Time Value of Money (TVM). 2 Em inglês: Future Value (FV). 3 Em inglês: Interest Rate (r). A nota técnica,, foi elaborada em 2016 pelo departamento de Direção Financeira, da Divisão de Pesquisa do ISE Business School, para servir como base de discussão e não como exemplo de práticas administrativas adequadas ou inadequadas. É proibida a reprodução, total ou parcial, a transmissão em forma alguma (eletrônica, mecânica, fotocópia, gravação ou outro procedimento) sem autorização por escrito do ISE Business School. Edição: 22/02/2016.

2 c) Esse processo continua e, no começo de cada ano, o montante reinvestido é maior que o montante investido do período anterior. Assim, são também maiores os rendimentos recebidos (R$5,51 no terceiro ano; R$5,79 no quarto e R$6,08 no quinto ano). d) o total de rendimentos recebidos nos cinco anos é de R$27,63 e, portanto, nosso investidor tem na sua conta bancária R$127,63. Em geral, o valor futuro no final de n períodos é obtido aplicando a seguinte fórmula: Onde: VP VF n = VP * (1 + r) n (1) Valor presente ou principal ou montante inicial investido. r Taxa de juros do período, em decimais (por exemplo, 9% = 0,09). n VF n Número de períodos. Valor futuro no final de n períodos. Aplicando esta fórmula ao nosso exemplo anterior, obteremos que: VF 5 = 100 * (1,05) 5 = 100 * 1,2763 = R$127,63 A fórmula é bastante simples de ser usado no Microsoft Excel: Algumas explicações adicionais sobre a fórmula: Por que o VP é negativo? Ele é negativo porque quando aplicamos o dinheiro em um banco, por exemplo, há uma saída de caixa ou um fluxo de caixa negativo. O resultado da fórmula deve ser então positivo, dado que é uma entrada de caixa (o banco está nos repagando o investimento com juros). O Tipo da transação denota se os pagamentos intermediários são feitos no início ou no final do período. Em geral, os instrumentos financeiros sempre utilizam o final do ano como padrão. Conforme pode-se ver acima, a fórmula na planilha está se referenciando às células, não aos valores propriamente ditos. Você poderia substituir cada uma das células na fórmula pelos seus valores. Fazemos desta forma para dar mais dinamismo à sua planilha, dado que você poderá atualizar os valores na planilha e o VF será automaticamente atualizado. Se você tivesse colocado os valores já dentro da fórmula, teria que abrir a fórmula e mudar os parâmetros. 2

3 FN-515-PB Observação Importante sobre a sua versão do Excel: Não esqueçamos que, se o Excel está em inglês, as fórmulas devem ser escritas também em inglês. Além disso, deve-se tomar cuidado com o uso das vírgulas e ponto-e-vírgulas para separar os argumentos dentro de uma fórmula. Na versão acima, o Excel está utilizando o padrão americano onde o separador decimal é um ponto e os argumentos das fórmulas são separados por uma vírgula. Na versão brasileira do Excel, devemos usar ponto-e-vírgula (;) como separador de parâmetros dentro da fórmula. 1.1 Períodos inferiores a um ano Suponha agora que investimos R$100 durante 6 anos e três meses a 4% ao ano. Como um trimestre é igual a 0,25 anos (1/4 de ano), o valor futuro do nosso investimento é obtido utilizando a fórmula (1), mas o exponente é um número decimal, em vez de um número inteiro. VF 6,25 = 100 * (1,04) 6,25 = 100 * 1,2778 = R$127, Rendimentos pagos várias vezes ao ano Um investimento pode pagar rendimentos mais de uma vez por ano, ou seja, semestralmente, trimestralmente, etc. Suponha que investimos R$100 em um depósito à prazo de cinco anos e juros de 5% ao ano a serem pagos semestralmente (2,5% por semestre). Portanto, o número de pagamentos que recebemos é dez e os rendimentos semestrais são 2,5%. Suponha também que não retiramos os rendimentos do depósito, ou seja, os reinvestimos para que os rendimentos gerem novos rendimentos. A fórmula geral é: Onde: VF = VP * ( 1 + r m ) VP Valor presente ou quantia inicial que investimos. m * n r Taxa de rendimentos anual simples, expressa em decimais (por exemplo, 5% = 0,05). (2) m Número de pagamentos por ano (por exemplo, semestral m = 2). n Número de anos que dura o investimento. 3

4 No nosso exemplo, o resultado é: VP = 100 * 1 + 0, R$128,01 Poderíamos utilizar diretamente a fórmula (1) usando dados por período. No nosso exemplo, dados por semestre: r (semestral) = 2,5% (ao invés de 5% anuais); número de períodos = 10 semestres, ao invés de 5 anos. Assim, teríamos: Se os rendimentos são pagos no final de cada período, ou seja, não são reinvestidos, o valor futuro torna-se R$127,63, que é menor do que os R$128,01 anterior. O valor futuro maior que nosso investidor obtém quando os rendimentos são pagos semestralmente é consequência da maior frequência com que os rendimentos são reinvestidos. Ou seja, passando de uma capitalização anual para uma capitalização semestral, aumentamos o valor futuro do investimento. Teste o leitor, com os mesmos dados, considerando que a capitalização (frequência com que os juros são reinvestidos) é semanal. Para isso, você terá que ajustar o número de períodos e a taxa de juros. Você verá que o valor futuro do investimento aumentará para R$128, Valor presente de uma quantia a ser recebida no futuro No item anterior, vimos como calcular o valor futuro de um investimento. Agora veremos como realizar o processo inverso, ou seja, quanto temos que investir hoje para obter uma dada quantia no futuro. O montante que deveríamos investir hoje chama-se valor presente (VP) 4. Para obter a fórmula do valor presente, partimos da já conhecida fórmula do valor futuro (1) e resolvemos para VP: VF = VP * (1 + r) n VP = VF (1 + r) n Exemplo: Suponha que um investidor precise de R$ para pagar sua casa daqui a três anos. Quanto ele precisará investir agora para obter essa quantia daqui a três anos se a taxa de rendimentos é constante e igual a 5% a.a.? O investidor colocará seu dinheiro em uma aplicação sem risco (um título público), que paga os rendimentos somente no final (chamado título bullet ). Aplicando a fórmula (3), vemos que precisará investir R$ (3) VP = = R$ (1+0,05) Em inglês: Present Value (VP).

5 FN-515-PB O valor presente também é chamado valor descontado e a taxa de juros, taxa de desconto. Analisando a fórmula, podemos concluir que, quanto maior é a taxa de desconto (rentabilidade obtida), menor é o valor presente ou a quantia a ser investida. Assim como, quanto mais longo é o investimento, menor também será a quantia a investir hoje para obter um dado valor futuro. Adicionalmente, os mesmos critérios que mencionamos no item anterior sobre períodos fracionais e sobre taxas de rendimentos semestrais, trimestrais, etc. aplicam-se para o cálculo do valor presente de um investimento. Por exemplo, o valor presente de R$100 daqui a três anos e seis meses, descontados a uma taxa de 4% ao semestre (rendimentos a serem pagos semestralmente), pode ser calculado da seguinte forma: VP = = ( 1,04) 7 1,3159 = R$75,99 Da mesma forma que fizemos para o valor futuro, faremos também para o valor presente: Lembrando que o valor resultante da fórmula no Microsoft Excel é negativo, pois reflete uma saída de caixa (investimento). 3. Rentabilidade de um investimento Suponha que investimos R$100 por três anos. No final dos três anos, receberemos R$120. Qual é a rentabilidade deste investimento? A resposta é simples, basta resolver a equação (3) para r. VP = No Microsoft Excel, teríamos: VF = (1 + r) n (1 + r) 3 r = 6,27% 5

6 O cálculo da rentabilidade quase sempre é feito com calculadora, dado n que fazer manualmente pode vir complicar. Mesmo sabendo disso, se você tiver a curiosidade de fazer os cálculos, você terá que realizar os seguintes passos: 1 VP = VF (1 + r) n = VF r = ( VF ) - 1 (1 + r) n VP VP Em resumo, em um investimento, podemos calcular: Quanto temos que investir agora (valor presente) para obter os R$120 no futuro. Quanto obteremos no futuro (valor futuro) pelos R$100 investidos agora. Qual é a rentabilidade obtida se investimos R$100 agora e recebemos R$120 no futuro. 4. Investimento com vários recebimentos ou fluxos Até agora estudamos investimentos com um único fluxo de caixa, ou seja, todo o dinheiro é retirado no final do investimento. A partir deste ponto, estudaremos investimentos nos quais ocorrem vários fluxos de caixa (vários recebimentos). O exemplo típico é um título financeiro. Suponha que compramos um título com as seguintes características: Valor de Face de R$ Isto é o que obteremos no vencimento do título, ou seu valor futuro 5. O título vence daqui a três anos, portanto n = 3 anos. Cupom de Juros anual de 5% ao ano calculada sobre o Valor de Face. Ou seja, recebemos um pagamento de R$500 anualmente. A rentabilidade do título é de 6% ao ano 6. Esta é a rentabilidade que obteremos pelo nosso investimento. Ela vem tanto do pagamento de cupons anuais quanto da valorização do valor do título ao longo do tempo. Por exemplo, dado que a taxa do cupom de juros é 5% a.a., para termos uma rentabilidade de 6% a.a. precisaremos que o título tenha alguma valorização. Ou seja, eu deveria comprá-lo hoje a um preço menor que R$ Quanto deveríamos pagar por este título para obter uma rentabilidade anual de 6%? Basta encontrar o valor presente de todos os fluxos de caixa que receberemos. Utilizamos a fórmula (3) para cada um dos fluxos do título. Onde: VP = FC 1 FC 2 + (1 + r) 1 2 (1 + r) + + FC n (1 + r) n VP é o valor presente ou preço que pagamos pelo investimento ou pelo título. FC são os fluxos de caixa 7 que esperamos receber durante a vida do investimento. r é a rentabilidade (retorno) do investimento. 1 n (4) 6 5 O Valor de Face também pode ser chamado de Principal ou de Valor Nominal. 6 Essa rentabilidade, no caso dos títulos financeiros, pode ser chamada também de Yield to Maturity (YTM). 7 Em inglês: Cash Flows (CF).

7 FN-515-PB No nosso exemplo, o resultado seria: VP = R$9.732,70 (1 + 0,06) 1 (1 + 0,06) 2 (1 + 0,06) 3 Resolver isto de forma manual é bastante complicado, por isso é recomendável que se use uma planilha ou uma calculadora financeira. Aqui, podemos utilizar dois métodos distintos. O primeiro é mais parecido com o que já estivemos fazendo nos exemplos anteriores: usaremos uma fórmula. O outro, apesar de ser mais trabalhoso, é mais visual e maleável, pois permite que os fluxos intermediários sejam diferentes entre si. Método 1: Fórmula do Microsoft Excel Atente que agora estamos preenchendo o valor dos pagamentos intermediários (cupons), que são calculados como 5% de R$10.000,00 (valor de face). Método 2: Via Fluxo de Caixa Neste método, colocamos os fluxos de caixa futuros (ou valores futuros) na frente do seu respectivo ano de recebimento e depois trazemos aquele FV (coluna E) para o valor presente (coluna F). Se você recordar da fórmula (3), o VP do título é a soma dos valores presentes de cada um dos seus fluxos. Uma conclusão importante é que um investimento vale o valor presente dos fluxos que promete. Em linguagem mais técnica, diz-se que o preço de um ativo financeiro deve ser igual aos fluxos que esse ativo promete descontados a uma taxa/rentabilidade que queremos neste investimento. 7

8 O procedimento de avaliação anterior que consta na fórmula (4) é conhecido por fluxo de caixa descontado 8. É uma das ferramentas essenciais em finanças e recomendamos ao leitor que a entenda completamente, pois lhe será muito útil no futuro 9. Suponha que não sabemos qual é a rentabilidade do título anterior e que queremos achá-la sabendo que o preço do título no mercado agora é R$9.732,70. Conforme fizemos das outras vezes, basta isolar r na equação (4). Porém, mesmo algebricamente, essa operação não é simples, portanto recomenda-se fortemente o uso de planilhas ou calculadoras financeiras. Aqui também podemos utilizar os dois métodos anteriores. Método 1: Fórmula do Microsoft Excel Em finanças, esta rentabilidade anual recebe o nome técnico de taxa interna de retorno (TIR) 10, que também pode ser chamada de taxa anual efetiva. Observe-se que essa rentabilidade procede de duas fontes: da taxa anual de 5% ao ano, ou seja, de R$500 sobre R$10.000,00. da valorização do título, já que pagamos R$9.732,70 e no final obteremos R$10.000,00. Método 2: Via Fluxo de Caixa Há pouco falamos sobre o valor de um investimento e mencionamos que ele vale os seus fluxos de caixa descontados. Ou seja, ao pagarmos R$9.732,70 no título do exemplo acima, estaríamos pagando o preço justo, a soma dos valores presentes de seus fluxos de caixa futuros, se quiséssemos um rendimento de 6% ao ano. Digamos que o valor do título no mercado seja aqueles mesmos R$9.732, Se eu requerer uma taxa de rendimento mínima de 7% ao ano nos meus investimentos, o preço que estaria disposto a pagar pelo título será menor que o preço de mercado 12. Se eu fosse menos exigente e estivesse de acordo com um rendimento de 5% ao ano, eu estaria disposto a pagar até mais pelo título. Assim, a única taxa na qual faria com que os fluxos de caixa futuros sejam iguais ao valor de mercado é 6% ao ano. A essa taxa, portanto, eu estaria desembolsando 8 8 Em inglês: Discounted Cash Flows (DCF). 9 A utilização do FCD é muito importante na avaliação de compras ou investimentos. Alguns exemplos são crediário, financiamento imobiliário, financiamento de veículo, para falar alguns. É através desta técnica que você saberá se deve pagar à vista ou tomar o financiamento para compra de algum bem. No âmbito corporativo, essa é a técnica utilizada para avaliação de projetos de investimento e para a avaliação de empresas (Valuation). 10 Em inglês: Internal Taxa of Return (IRR) 11 Isso implica que a taxa de rendimento implícita que o mercado requer desse título é 6% a.a. 12 Confira essa afirmação. Faça as contas!

9 FN-515-PB R$9.732,70 hoje para obter algo que também vale este mesmo valor no futuro. Desta forma, podemos concluir que se somarmos o valor presente dos fluxos e subtrairmos o valor pago pelo título na data da sua compra, o valor líquido deve ser zero. Esse é exatamente o conceito de Valor Presente Líquido (VPL). Mais tecnicamente, a taxa interna de retorno (TIR) do título, ou seu rendimento, é aquela que faz com que seu valor presente líquido (VPL) seja zero. Isso é exatamente o que é feito na planilha abaixo. Para tanto, adicionamos o ano 0 à planilha feita anteriormente e verificamos manualmente qual seria o rendimento (célula B11) que faria com que o VPL fosse zero, que é exatamente os 6% a.a. Vejamos agora um caso um pouco mais complexo. Suponha que o título anterior pague um cupom de juros de R$250 semestralmente, ao invés dos R$500 anualmente. Suponha também que paguemos por este título a mesma quantia que antes, R$9.732,70. Qual é a rentabilidade obteremos? Qual é a TIR desse investimento? Basta utilizar a fórmula (4), mas agora teremos seis fluxos em vez de três, já que o título paga seis taxas em vez de três: 9.732,70 = (1 + r) 1 2 (1 + r) (1 + r) (1 + r) 4 (1 + r) 5 (1 + r) 6 Fazendo os cálculos, obtermos que r = 2,993% por semestre. Abaixo o cálculo pelos dois métodos: É importante ressaltar que a rentabilidade que obtivemos agora é rentabilidade ao semestre e não ao ano, já que os fluxos que consideramos são semestrais e não anuais. Pois bem, quanto é, em termos anuais, uma rentabilidade semestral de 2,99%? Para responder a isso, temos que anualizar a rentabilidade semestral. 9

10 5. Anualizando as rentabilidades Para anualizar uma rentabilidade semestral, trimestral, etc. há dois procedimentos: aquele utilizado nos Estados Unidos e aquele utilizado na Europa. a) Taxa anual simples (TAS) ou rentabilidade simples : esse é o procedimento utilizado nos Estados Unidos. Basta multiplicar a rentabilidade semestral por dois e assim obteremos a rentabilidade anual. A fórmula geral é: onde: TAS = r periodo * m (5) r periodo é a rentabilidade por período de pagamento. Por exemplo, rentabilidade por semestre, trimestre, etc. m é o número de períodos por ano. Por exemplo, m = 2 quando o pagamento é semestral, m = 4 quando é trimestral, etc. No nosso exemplo, o resultado é: TAS = 2,99% * 2 = 5,98% ao ano b) Taxa interna de retorno (TIR) ou rentabilidade efetiva: é o procedimento utilizado na Europa. A fórmula geral é: Se tomarmos o mesmo exemplo anterior, teríamos: TIR = (1 + r periodo ) m -1 (6) TIR = (1 + 0,0299)² - 1 = 6,08% Qual procedimento utilizar para anualizar rentabilidades? E aconselhável utilizar a TIR, já que é uma medida mais precisa da verdadeira rentabilidade anual que o investidor recebe. Além disso, é a taxa comumente utilizada no Brasil. No entanto, pode-se utilizar perfeitamente a TAS, desde que estejamos conscientes de que é uma rentabilidade simples. Para comparar a rentabilidade de dois títulos, devemos calcular as suas TIR s e compará-las. Também podemos calcular sua TAS s e compará-las. Mas não devemos comparar a TAS de um título com a TIR de outro, pois estaremos comparando bananas com maçãs: rentabilidade simples com rentabilidade efetiva. E isso é um erro grave. A TIR é a medida comum da rentabilidade dos investimentos. Serve, entre outras coisas, para comparar rentabilidades. Vejamos um exemplo. Suponha que a poupança nos dê rendimentos de 5% ao ano, a serem pagos anualmente, e uma segunda poupança nos dá 4,90% ao ano, mas a serem pagos mensalmente (ou seja, nos dá rendimentos mensais de 4,9%/12 = 0,408%). Qual é mais rentável? Basta aplicar a fórmula (6): TIR conta anual = (1 + 0,05) 1-1 = 5,00% TIR conta mensal = (1 + 0,049/12) 12-1 = 5,01% Em inglês: Simple Annual Taxa (SAR) ou Annual Percentage Taxa (APR).

11 FN-515-PB 6. Investimentos com fluxos de caixa de diferentes tamanhos: VPL e TIR Suponha que montamos um negócio e investimos inicialmente R$100. Esse será o primeiro cash flow, que consideramos que é realizado no ano 0. Esperamos que o negócio produza os seguintes cash flows do ano 1 a 4: R$10, + R$20, + R$30, + R$40, respectivamente. No ano 5, liquidamos o negócio e esperamos obter 60. Qual rentabilidade teremos obtido? Podemos representar os fluxos de caixa da seguinte forma: Para calcular a rentabilidade, podemos utilizar os mesmos dois métodos anteriores. O cálculo da rentabilidade do título (ou TIR) é feita na célula C11. O método 2 (via fluxo de caixa) utiliza essa mesma TIR para trazer os FVs (coluna C) para PVs (coluna D). Cada uma das fórmulas de desconto utilizadas pode ser vista nas colunas E e F. Como já sabíamos, o Valor Presente Líquido, utilizando a TIR como taxa de desconto, é zero (célula D9). Agora, e se nos oferecerem esses mesmos fluxos de caixa futuros, porém queremos uma rentabilidade mínima de 6% ao ano. Quanto pagaríamos por esses fluxos de caixa? A resposta é R$110,07. Este é o significado de Valor presente (VP). Para calculá-lo, utilizamos a fórmula VPL ( Valor Presente Líquido ) O Microsoft Excel denominou a fórmula como VPL, porém ela NÃO calcula o VPL que aprendemos anteriormente. Esta fórmula calcula somente o valor presente dos fluxos futuros, a partir do ano 1. 11

12 Os argumentos da fórmula, conforme a descrição contida na célula D12, são: A taxa de desconto ou rentabilidade que queremos obter no nosso investimento. No nosso exemplo, 6%, célula C10. Os fluxos de caixa do ano 1 a 5, que constam nas células C3 a C7. Importante: Não inclua o fluxo inicial negativo do ano 0. A fórmula VPL calcula somente o Valor Presente de fluxos a partir do ano 1. A propósito, podemos ver que, como pagamos no início R$100 em vez de R$101,38, a rentabilidade que teremos obtido será ligeiramente maior que 10%. Uma vez calculado o Valor Presente (VP) dos fluxos, podemos calcular o Valor Presente Líquido (VPL), que é a diferença entre o Valor Presente (o que deveríamos ter pago) e o investimento inicial (o que realmente pagamos). O VPL nos diz quantos reais a mais ganhamos no nosso investimento, ou seja, além da rentabilidade de 6% requerida. Em outras palavras, investimos R$100 com a esperança de ganhar 6% ao ano, mas obtivemos esses 6% ao ano e ainda R$10,07 adicionais. Pode-se dizer que, quando há VPL positivo, há criação de valor para a empresa. O VPL é como um presente não esperado que recebemos. Dizer que um investimento tem um VPL positivo é o mesmo que dizer que o investimento tem uma rentabilidade superior à rentabilidade esperada para o investimento (que podemos denotar por k). Uma vez calculado o Valor Presente (VP) dos fluxos, podemos calcular o Valor Presente Líquido (VPL), que é a diferença entre o Valor Presente (o que deveríamos ter pago) e o investimento inicial (o que realmente pagamos). O VPL nos diz quantos reais a mais ganhamos no nosso investimento, ou seja, além da rentabilidade de 6% requerida. Em outras palavras, investimos R$100 com a esperança de ganhar 6% ao ano, mas obtivemos esses 6% ao ano e ainda R$10,07 adicionais. Pode-se dizer que, quando há VPL positivo, há criação de valor para a empresa. O VPL é como um presente não esperado que recebemos. Dizer que um investimento tem um VPL positivo é o mesmo que dizer que o investimento tem uma rentabilidade superior à rentabilidade esperada para o investimento (que podemos denotar por k). 12

13 FN-515-PB Nunca é demais esclarecer este ponto: Quando o Microsoft Excel usa a fórmula VPL, o que ele está realmente calculando é o PV. Para calcular o VPL, deve-se subtrair do PV obtido o investimento inicial realizado no momento 0. Na planilha acima, somamos as células D3 a D8, que é o mesmo que somar o PV (soma das células D4 a D8) e somarmos o valor negativo do investimento inicial (célula D3). 7. Cálculos com número infinito de fluxos: Perpetuidade Consegue-se, matematicamente, demonstrar que quando o número de fluxos que recebemos é infinito, a fórmula (4) do desconto de fluxos transforma-se em: P = onde FC é o fluxo de caixa produzido pelo investimento que se supõe perpétuo, ou seja, será recebido por infinitos períodos; e k é a rentabilidade que esperamos obter do investimento também por infinitos períodos. Esta fórmula é conhecida pelo nome de Perpetuidade. Suponha, por exemplo, que uma ação promete um dividendo de R$5 e nós queremos obter uma rentabilidade de 10% nessa ação. Quanto devemos pagar por ela? FC P ou preço da ação = R$5 /0,10 = R$50. Se, ao contrário, achamos que ela vale somente R$40, qual rentabilidade que implicitamente estamos requerendo? Basta isolar o k na fórmula (7). Assim, obteremos: k = CF/VP = R$5 / R$40 = 12,5%. Observe que esta é a fórmula tradicional que costumamos usar para calcular a rentabilidade de qualquer investimento. Mas, cuidado, isto é certo somente se o número de fluxos (recebimentos) for infinito, ou se no final do investimento voltamos a recuperar os R$40 que investimos inicialmente. k (7) Se os fluxos (recebimentos) aumentam anualmente a uma taxa constante g, a fórmula (7) transforma-se em: P = FC k - G (7) onde g é a taxa de crescimento dos cash flows, em porcentagem. 13

14 Suponha que compramos um apartamento do qual esperamos obter um aluguel anual de R$10.000, atualizado pela inflação, que prevemos ser de 5% ao ano. Quanto deveríamos pagar pelo apartamento se queremos obter uma rentabilidade nominal 15 de 10% ao ano. P ou preço = R$ = R$ = R$ ,10 0,05 0,05 Mas, vale insistir que essa rentabilidade de 10% ao ano será atingida somente se conseguirmos recuperar integralmente o investimento inicial (R$ ) ao vendermos o apartamento, ou se realmente recebermos este aluguel ad-infinitum. 8. Resumo 1. Um dos conceitos básicos em finanças é o do valor do dinheiro no tempo, que diz que um real recebido hoje tem mais valor que um real recebido daqui a um ano, já que o real que recebemos hoje pode ser investido para obter mais do que um real no futuro e dado que há incerteza nesse recebimento exatamente de que ele deverá ser feito no futuro. 2. O Valor Futuro (VF) de um investimento nos diz quanto dinheiro teremos no final do período investido, dado que aplicamos uma quantia inicial (Valor presente ou VP) durante n períodos. A fórmula para achar o VF é: VF n = VP * (1 + r) n 3. O Valor presente (VP) de um investimento nos diz quanto temos que investir hoje, dada uma rentabilidade (r), para obter uma determinada quantia de dinheiro (Valor futuro, VF) no final de n períodos. Calcula-se da seguinte forma 16 : VP = VF (1 + r) n 4. O investidor deveria ser indiferente entre receber a quantia hoje (VP) ou receber a quantia no final de n períodos (VF), se não houvesse risco de ele não recebê-la no futuro (risco de crédito). 5. A partir da fórmula anterior, podemos calcular a rentabilidade que é obtida por um investidor que investe uma quantia inicial (VP) e obtém uma quantia no final de n períodos (VF). Basta isolar r na fórmula do VP. 6. O valor presente e a rentabilidade de um investimento que tem vários fluxos de caixa podem ser calculados através do desconto dos fluxos de caixa, conforme mostrado abaixo: VP = FC 1 FC 2 + (1 + r) 1 2 (1 + r) + FC 3 3 (1 + r) + + FC n (1 + r) n 7. Um investimento vale o valor presente dos fluxos que promete. Em linguagem mais técnica, diz-se que o preço de um ativo financeiro deve ser igual aos fluxos que esse ativo promete, descontados a uma taxa ou rentabilidade que esperamos deste investimento Rentabilidade nominal é aquela formada pela rentabilidade real mais a inflação do período. Dado que estamos considerando a inflação nos fluxos (recebimentos) deveríamos descontar todos esses fluxos a uma taxa nominal, ou seja, que considera a inflação. 16 Como fizemos anteriormente, as fórmulas de VP e VF são exatamente as mesmas. Por isso, não faz sentido decorar ambas. Entenda uma delas e a outra vem de presente, dado que basta isolar a variável que se quer para chegar na outra fórmula.

15 FN-515-PB 8. O Valor Presente Líquido (VPL) de um investimento é igual ao valor presente dos fluxos que promete menos o investimento inicial. O VPL é a rentabilidade em reais adicional acima da rentabilidade k que se esperava obter do investimento. 9. Para anualizar uma rentabilidade semestral, trimestral, etc., há dois procedimentos: a) Taxa anual simples (TAS): É o procedimento utilizado nos Estados Unidos. TAS = r * m b) Taxa interna de retorno (TIR), que é o procedimento utilizado na Europa e no Brasil. Recomendamos usar a TIR ao invés da TAS. TIR = (1 + r) m O valor presente de um número infinito de recebimentos no futuro, ou de uma perpetuidade, é calculada da seguinte forma: onde k é a rentabilidade que esperamos obter do investimento. Se os fluxos crescem a um ritmo g, o cálculo transforma-se em: 9. Palavras clave em inglês e português Annual rate or annualized rate Cash flow (CF) Discounted Value Discount Rate Discounted cash flow (DCF) Future Value (FV) Interest Rate Internal Rate of Return (IRR) Net Present Value (NPV) Payments per year Present Value (PV) Return (r) Simple annual rate (SAR) Simple return Time Value of money (TVM) Time Value of money (TVM) P = P = FC k FC k - g Taxa de juros anual ou anualizada Fluxo de caixa Valor descontado Taxa de desconto ou rentabilidade do investimento Desconto de fluxos de caixa (DFC) Valor futuro Taxa de juros Taxa interna de retorno (TIR) ou taxa efetiva Valor presente líquido (VPL) Número de pagamentos por ano Valor presente (VP) Rentabilidade ou Retorno Taxa anual simples (TAS) ou rentabilidade anual simples Rentabilidade simples ou Retorno Simples Valor do dinheiro no tempo (VDT) Valor do dinheiro no tempo (VDT) 15

16 Anexo 1 Exercícios para verificação de compreensão Nota promissória de uma empresa com prazo de 18 meses. Valor nominal, que obteremos no vencimento, é de R$ (e que inclui os rendimentos). Quanto devemos pagar pela nota promissória para obter uma rentabilidade de 4%? 2. Quanto devemos pagar se quiser que a rentabilidade seja de 5% ao ano? 3. Quanto devemos pagar para que a rentabilidade seja de 4% ao ano, sendo que nota promissória tem vencimento em 12 meses? 4. Letra do Tesouro Nacional, vencimento 12 meses. Não tem pagamentos intermediários (cupons). O valor de face é R$ Você paga R$ por ela. Qual rentabilidade obtida no vencimento? 5. Com os mesmos dados, que rentabilidade é obtida em 18 meses? 6. Você investe R$ em uma aplicação de três anos a 4% ao ano. O rendimento é pago no final. Quanto você receberá? 7. Com os mesmos dados, quanto você receberá se o prazo for de 5 anos? 8. Título público com vencimento em 10 anos. Valor nominal R$ Taxa anual de 4% ao ano (R$40 por ano). Quanto você deve pagar para obter uma rentabilidade de 4%? 9. Mesmos dados. Quanto você deve pagar para obter uma rentabilidade de 5%? 10. Mesmos dados que no item 8. Quanto você deve pagar para obter uma rentabilidade de 3%? 11. Título público com vencimento em 10 anos. Valor nominal R$ Taxa anual de 4% ao ano (R$40 ao ano). Você o compra por R$950. Qual rentabilidade anual obterá no vencimento? 12. Mesmos dados. Você o compra por R$900. Qual rentabilidade anual obterá no vencimento? 13. Mesmo título que no exercício 8. Título público com vencimento em 10 anos. Valor nominal R$ Mas agora a taxa anual de 4% (R$40 ao ano) é paga semestralmente (R$20 por semestre). Se você pagar R$1.000, que rentabilidade semestral obterá no vencimento? 14. Mesmos dados que no item 13. Que rentabilidade anual simples obteve? 15. Mesmos dados que no item 13. Que rentabilidade anual efetiva ou TIR obteve? Calcular a TIR, o VP e o VPL dos investimentos A, B, C e D, cujos fluxos esperados e taxa de rentabilidade requerida constam no quadro abaixo. 17 O gabarito está no Anexo 2.

17 FN-515-PB Anexo 1 (Continuação) Projeto K A 10% B 10% C 10% D 10% A ação ABC promete um dividendo de R$1 / ano. Você não espera que o preço da ação suba nem caia no futuro. Você gostaria que esse investimento tivesse um retorno k de 10%. Que preço deveria pagar pela ação? 18. Mesmos dados. Você espera que o dividendo de R$1 aumente 3% a cada ano. Que preço deveria pagar pela ação? 19. Você comprou um apartamento por R$ Você espera obter um aluguel de R$ no primeiro ano, com um aumento anual de 5%. Que rentabilidade obtém? 20. Você comprou um apartamento por R$ Você espera obter um aluguel de R$ /ano. Você também espera que, em média, o apartamento se valorize 5% ao ano durante os próximos 10 anos. Que rentabilidade terá obtido se, no final de 10 anos, suas previsões se cumprirem e o apartamento for vendido? 17

18 Anexo 2 Soluções 1. R$9.428, R$9.294,30. Moral da história, para obter mais rentabilidade deve pagar um menor preço. 3. R$9.615,38. Moral da história, se o prazo é menor, deve pagar mais. 4. 2,75%. 5. 1,82%. Moral da história, se paga o mesmo e o prazo é maior, a rentabilidade é menor. 6. R$11.248, R$12.166,55. Moral da história, quanto maior for o prazo, maior será o VF que receberá. 8. R$ Não é necessário calculá-lo, se recebe 4% ao ano e R$1.000 no final, deve pagar também R$1.000 no início. 9. R$922,78. Para obter uma maior rentabilidade tem que pagar menos no início. Moral da história, quando a taxa de rendimentos sobe, o preço do título cai. 10. R$1.085,30. Moral da história, quando a taxa de rendimentos cai, o preço do título sobe ,64% ,31%. Outra vez, para obter mais rentabilidade é necessário pagar menos %. Não é necessário calculá-lo, se paga R$1.000 no início e recebe R$1.000 no final, e em média n é 2% semestral, terá obtido uma rentabilidade de 2% semestral ,00% ,04%. 16. Projeto IRR VP VPL A 10,0% R$100,0 R$0,0 B 11,3% R$110,3 R$10,3 C 8,6% R$34,7 - R$5,3 D 13,1% R$123,9 R$23,9 17. R$10, R$14, % ,12%. 18