TEORIAS, TÉCNICAS E SIMULAÇÕES EM PROCESSOS ALEATÓRIOS - Marco Antonio Leonel Caetano PROCESSOS FILAS

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1 PROCESSOS FILAS VIII. - Itrodução Cogestioameto é um feômeo atural em sistemas reais. Um serviço tora-se cogestioado se há mais pessoas ( iformações ) do que o servidor ( ou servidores ) pode ateder. As quatro características comus de tais sistemas são: () Etrada do Processo: Algus fatores precisam de especificações completas tais como, origem da chegada, tipo de chegada e itervalo de tempo das chegadas. () Mecaismo de Serviço: As icertezas evolvidas o mecaismo de serviço são: úmero de servidores; úmero de clietes atedidos em qualquer tempo; duração do serviço. As variáveis aleatórias são esseciais para represetar estas características. 53

2 (3) Disciplia da Fila: São regras de atedimeto do servidor para o cliete tais como: "primeiro a chegar, primeiro atedido", "último chegar, primeiro atedido" e "seleção aleatória de prioridades para o serviço". (4) Número de Filas: Quado há mais de um servidor e o atedimeto é eecutado de forma paralela. Das quatro características ateriores, vamos simplificar e utilizar apeas três descritas da seguite forma: Distribuição da Etrada / Distribuição do tempo de serviço / úmero de servidores Algumas otações padrões usadas para estas características são: GI: "geeral idepedet" etradas para as distribuições arbitrárias. M: para distribuição de Poisso ou Epoecial. D: para um tamaho de tempo de atedimeto costate. E k : Distribuição Gamma. Vamos aalisar aqui somete os casos ode a etrada é Poisso, o tempo de atedimeto é epoecial e há "s" servidores, ou : M / M / s O processo estocástico etão será modelado pelas seguites características: (a) Número de Clietes o Sistema: Q(t) será o úmero de clietes o sistema ( tamaho da Fila). Q(t) é cotíuo o tempo. (b)tempo de Espera: W(t) será o tempo de espera de um cliete a fila. W(t) é cotíuo o tempo. (c) Período de Ocupação: Itervalo etre cosecutivos trabalhos atedidos pelo servidor. VIII. - Um Modelo Geral de Filas etão: Assumido-se Q(t) o úmero de clietes o sistema o tempo t, e defiido: P () t = P Q() t = [ ] 54

3 dp0 () t = λ0p0() t + μp() t dt (VIII.) dp () t = ( λ + μ) P() t + λ P () t + μ+ P+ () t dt ode λ é a taa de chegada de clietes o período Δt e μ a taa de atedimeto do servidor(s) o mesmo período. As codições iiciais são:, = 0 P ( 0) = 0, 0 Para t +, 0 = λ0p0() t + μp() t (VIII.) 0 = ( λ + μ ) P ( t) + λ P ( t) + μ P ( t) + + rearrajado o primeiro termo de (VIII.) tem-se: P () t = λ P0 () t μ 0 para =, o segudo termo de (VIII.) será: (VIII.3) portato, μ P () t = ( λ + μ ) P () t λ P () t = λ P () t (VIII.4) P () t = λλ P0 () t μμ Assim, para =,, 3,... (VIII.5) e μ P () t = λ P () t (VIII.6) λλλ 0... λ P () t = P0 () t (VIII.7) μμμ... μ 3 Para obter P 0 (t), basta lembrar o fato que: P j = j= 0 portato, +... P0 () t = + λλλ λ = μμμ... μ 0 3 (VIII.8) (VIII.9) Etão podemos defiir que para o período estacioário do processo, teremos: 55

4 P () t = + λλλ λ = μμμ... μ 0 3 (VIII.0) λλλ 0... λ P () t = P0 () t >0 (VIII.) μμμ... μ 3 VIII.3 - A Fila M/M/ Cosidere um sistema de filas o qual as chegadas ocorrem o tempo segudo um processo de Poisso com parâmetro λ. Estes clietes são servidos por um simples servidor e seu tempo de serviço é uma variável aleatória idepedete e ideticamete distribuída. A distribuição desta variável aleatória é epoecial com média μ = /μ C, ode μ c é a média do tempo de atedimeto do cliete e μ é a média da distribuição epoecial do tempo de atedimeto. Cosiderar aida que os clietes são atedidos a ordem de chegada ( o primeiro que chega é o primeiro atedido ). Feita estas cosiderações, assumimos que: P () t = P[ Q() t = ] λ = λ μ = μ etão, dp0 () t = λp0() t + μp() t dt dp () t = ( λ+ μ) P() t + λp () t + μ P+ () t 0 dt (VIII.) Vamos defiir que a itesidade de tráfego do sistema (fator de utilização) será: ρ = λ = Chegada / Serviço (VIII.3) μ Coforme visto ates, P0 () t = + λλλ λ [...]... = + ρ+ ρ + ρ + = = μμμ μ Etão, 3 3 ( + ρ+ ρ + ρ +...) = ρ 56

5 P0 ()= t ρ {probabilidade do sistema estar oscioso} (VIII.4) P(>0)=ρ {probabilidade do sistema estar ocupado} Como ates também, λλλ 0... λ P () t = P0() t = ρ P0 () t (VIII.5) μμμ... μ 3 Etão, P ()= t ( ρρ ) 0 (VIII.6) Assim, P0 () t = ρ (VIII.7) P () t = ρρ ( ) Aplicado o limite, t +, percebe-se que a distribuição de P (t) é geométrica e a média e variâcia de uma distribuição geométrica são: ρ EP ( () t ) = ρ {úmero médio de clietes o sistema} (VIII.8) ρ VP ( () t) = ( ρ) P () t = P Q() t =, podemos escrever: e como [ ] ( ()) EQt ( ()) VQt ρ = = ρ ρ ( ρ) (VIII.9) Assumiremos agora que W(t) é o tempo de espera do cliete já defiido ates. W(t) é dado pela soma de variáveis aleatórias as quais são idepedetemete e ideticamete distribuídas, com desidade de probabilidade epoecial f( ) = μe μ, 0 (VIII.0) ode é o tempo de espera de cada cliete. A soma da desidade de probabilidade epoecial é chamada desidade de probabilidade Gamma, da forma: μ μ g ( ) = e 0 (VIII.) ( )! 57

6 No limite, para +, F ( ) = PW ( ) = Temos aida que, F( 0) = PQ ( = 0) = ρ e df( ) μ = ( ρρ ) e d df( ) d = ( ρ) = λ e = ( μ λ) ( ρ) e = λ μ ( ρ) + = e μ μ ( )! ( μ) μ ( )! ( λ) ( )! (VIII.) μ = λ( ρ) e (VIII.3) mostrado que o limite a distribuição do tempo de espera é também epoecial. A média e variâcia para o tempo de espera W(t) pode ser obtido de (VIII.3): EWt ( ( )) = μ VWt ( ( )) = μ ρ ( ρ) ρ( ρ) ( ρ) (VIII.4) A relação iteressate etre a distribuição de Poisso e a Epoecial é que, quado o úmero de chegadas segue a distribuição de Poisso com média λ, o itervalo etre duas chegadas segue a distribuição epoecial egativa com média /λ. Eemplo - : É razoável assumir que chegadas de uma cabie telefôica é um processo de Poisso com média por hora. Uma distribuição epoecial com média miutos é uma boa aproimação para a distribuição do atedimeto das chamadas. () Qual a probabilidade de uma chamada ecotrar liha ocupada? Solução: Seja Q o tamaho da fila. Sabemos que 58

7 mas, ( () ) PQt ( () ) ( ) PQt 0 = = 0 = ρ = ρ ρ = λ = razão de chegada / razão de atedimeto μ Temos aida que um atedimeto é feito a cada miutos, etão usado regra de três, atedimeto mi 60 mi chegado a μ = 30 atedimetos em hora. Logo, λ PQt ( ( ) 0) = = = = 04. μ 30 5 () Qual é o tamaho médio da fila quado ela é formada? Solução: ( () () 0) EQt Qt EQt ( ()) ( 0) ρ ( ρ) = = = = = 67. PQt () ρ ρ 06. (3) A compahia telefôica deseja istalar outra cabie se o tempo de espera de cada cliete for superior a 3 miutos. De quato deve aumetar as chegadas à cetral para justificar a seguda cabie? Solução: ρ λ EWt ( ()) = = 3 μ( ρ) μμ ( λ) para ecotrar a taa de atedimeto μ basta uma regra de três, ode atedimeto mi μ mi sedo portato, μ = 0.5. Etão: λ 3 ( ) λ (. 05 λ) ou seja, o úmero médio de chamadas é de 0.3 por miuto. Em uma hora serão 59

8 = 8 chamadas. Logo, para a ova cabie ser istalada, deverá aumetar de 6 o úmero de chamadas por hora. VIII.4 - A Fila M/M/s Ao cotrário do item aterior, agora temos um úmero "s" de servidores (s ), ou seja, o sistema agora trabalha em paralelo e idepedetemete. As chegadas são um processo de Poisso com parâmetro λ e o tempo de serviço epoecial com média μ c =/μ. Etão μ = /μ c e o modelo será: s. μ s μ = (VIII.5). μ s ode o primeiro termo idica o úmero de clietes maior que servidores e o segudo úmero de clietes meor que servidor. Assim, como visto ates sedo: P () t = P[ Q() t = ] Portato, dp0 () t = λp0() t + μp() t dt dp () t = ( λ+ μ) P() t + λp () t + ( + ) μp+ () t dt 0 s dp () t = ( λ+ sμ) P() t + λp () t + sμp+ () t dt s (VIII.6) da mesma forma a seguda equação é quado o úmero de clietes é meor que servidor e a terceira equação quado úmero de clietes maior que servidor. Para este caso, a itesidade de tráfego será: λ ρ = s μ (VIII.7) Para o regime estacioário dp(t)/dt = 0, têm-se as equações: r s s s ( s ) +. s ( ) P0 () t = r 0 r! + ρ ρ ρ = s! s s. ρ. P0 ( t) P () t = s! ( s) ( s. ρ). P0 ( t) P () t = ( s )! (VIII.8) 60

9 O tamaho médio da fila o caso M / M / é: ρ. Ps ( t) E( Q( t) ) = ρ ( ) e o tempo de espera médio ( ( t) ) E W Ps ( t) = s. μ. ( ρ) (VIII.9) (VIII.30) Comparação etre M / M / e M / M / com mesmo ρ Para M / M / : EQ ( () t) = ρ ( + ρ)( ρ) (VIII.3) Para M / M / : EQ ( t) ρ () = ρ (VIII.3) Etão, comparado as médias: ρ ρ ρ EQ ( () t) EQ ( () t) = = ( + ρ)( ρ) ( ρ) + ρ 0 (VIII.33) ou seja, mometaeamete, com mesma itesidade de tráfego, um sistema com simples servidor resulta em meor tamaho de fila esperado do que servidores. Eemplo - : Um supermercado tem 3 caias. O tempo de serviço para cada cliete é epoecial com média 5 miutos e pessoas chegam um processo de Poisso com razão 30/hora. () Qual a probabilidade dos caias estarem ocupados? s = 3 μ c = 5 μ = = μ c 5 30 λ = = 60 Etão a itesidade de tráfego será: 6

10 ρ= = etão a probabilidade, P[ ( Q() t 3) ] = P0() t P() t P() t P0() t = ; P () t = ; P () t = ; P3() t = Logo, 65 P [( Q(t) 3) ] = = ou 58.5% 068 () Qual o úmero médio de pessoas esperado para serem atedidas? ρ. P3 ( t) EQt ( ()) = = 35. ρ ( ) (3) Qual o tempo médio de espera dos clietes? P3 () t EWt ( ( )) = = miutos. ( ) 5 ρ Eemplo 3: Um laboratório tem dois computadores servidores de equivalete capacidade. Cálculos que chegam aos computadores tem um tempo de serviço de atedimeto epoecial com média 3 miutos. Os trabalhos são de dois tipos: Uiversitários e Eteros. Os trabalhos Uiversitários chegam ao laboratório a razão de 8/hora e Eteros 5/hora. É vatagem utilizar um computador eclusivamete para trabalhos Uiversitários e outro para os Eteros? Solução: Cosiderado cada computador idividual, como simples servidor: Para W: 6

11 etão, 8 λ = = μ c = 3 μ = = μ c 3 λ 9 ρ = = μ 0 ( ()) EW t 90 = 3 ( 90) = 7miutos Para W: 5 λ = = μ = 3 ρ λ 3 = = μ 4 34 EW ( () t) = = 9miutos 34. Quado os dois computadores W e W estão trabalhado jutos: λ= λ + λ = = 055. μ = 3 λ 3 33 ρ = =. = μ 0 40 Logo, P () t = t 73 ; P () = ; EWt ( ( )) = EW ( ( t) + W( t)) = 645. miutos. Claramete é muito melhor trabalhar um sistema com duplo servidores do que computadores isolados. 63

12 VIII.5 - Números Pseudo-Aleatórios Nesta seção, vamos itroduzir o leitor à geração de úmeros ditos pseudoaleatórios, para a partir de etão utilizá-los a simulação de redes. Os úmeros pseudoaleatórios, são assim deomiados uma vez que, a partir de um úmero aleatório é criada uma regra de formação os quais esses ovos úmeros são gerados. Serão citados, em particular para utilização futura, dois métodos de geração de úmeros pseudo-aleatórios: - Método do Quadrado Médio. - Método da Cogruêcia Multiplicativa. Método do Quadrado Médio A regra de formação para os úmeros pseudo-aleatórios este caso é : Tomar "m" dígitos itermediários do quadrado do úmero aterior da série ( ) de m dígitos. Vamos emprestar o seguite eemplo sugerido o livro "GPSS - Modelagem e Simulação de Sistemas" [ ] : Cosiderado 0 = 387 etão m = 4. Elevado ao quadrado, 0 = Etão, tomado-se os quatro algarismos cetrais: = 6977, seguido-se sucessivamete: 0 = = = 6977 = = 6785 = = = = 30 LLLL 4 A variação do úmero gerado, vai de 0 até m dígitos 9, ou seja: m = úmero pseudo-aleatório [0 ; 99] m = 3 úmero pseudo-aleatório [0 ; 999] m = 4 úmero pseudo-aleatório [0 ; 9999] e assim sucessivamete. Para colocar o úmero gerado sempre detro do itervalo [0;], basta dividi-lo pelo máimo úmero que pode ser gerado. Assim, 64

13 = = = = = = = = Efetuada esta mudaça para o itervalo [0 ; ], podemos etão utilizá-lo em fuções de distribuições de probabilidades. Método da Cogruêcia Multiplicativa A relação de cogruêcia de uma seqüêcia de úmeros i iteiros ão egativos, meores que M é: = k ( M) +. mod. ode M: úmero iteiro; k : iteiro etre zero e M. 0 : iteiro etre zero e M. Este método apreseta a desvatagem da seqüêcia gerada se repetir após M passos. Sedo assim, a seqüêcia tem um período M de repetições, que os obriga a iiciar com valores altos para M. Como eemplo, ovamete tomaremos o livro " GPSS - Modelagem e Simulação de Sistemas": Para k = 7, 0 = 7 e M = 56, têm-se: 3 4 = 7 7 ( mod. 56) = 89 = 7 89 ( mod. 56) = 43 = 7 43 ( mod. 56) = 45 = 7 45 ( mod. 56) = 59 LLLLLLLLLLL 65

14 Da mesma forma que o método aterior, a variação dos úmeros gerados vai de zero a M-. A mudaça este caso para o itervalo [0;], é feita através da divisão do úmero por M-. Assim, = = = = = = = = Os úmeros M, ormalmete são utilizados da forma M = p q. Neste caso, p pode ser cosiderado como úmero de dígitos do sistema de umeração e q o úmero de dígitos da palavra do computador. Como as palavras são 8, 6 ou 3 bits e a umeração este caso é biária, os valores de M podem assumir,,. Um outro fator importate que o leitor ão pode esquecer, é a relação de cogruêcia etre dois úmeros. Dizemos etão, que um úmero é cogruete a um úmero y módulo M: se y ( mod.m ) (-y) é divisível por M. Esta fução módulo é fácil de ser ecotrada em qualquer liguagem computacioal. Como eemplo: 34 0 ( mod.3 ) uma vez que (34-0 ) = 4 é divisível por 3. VIII.6 - Simulação de Distribuições de Probabilidades Na seção aterior, verificamos como gerar úmeros pseudo-aleatórios etre 0 e. Nesta seção, estes úmeros serão utilizados para ecotrar os valores para as 66

15 distribuições acumuladas de probabilidades, de fudametal importâcia a simulação de filas. Simulação para Distribuição Uiforme Detalhes desta distribuição foram forecidos o capítulo II, de revisão da teoria de probabilidades, e ão serão repetidos esta seção. A fução desidade de probabilidade para a Distribuição Uiforme um itervalo [a,b] é: f( ) = para [a,b]. b a A distribuição acumulada pode ser ecotrada da seguite forma: F f ydy b a dy y a ( ) = ( ) = = a = b a b a a a Logo, temos que será gerado com distribuição uiforme se: = a+ ( b a). F( ) ode F() é assumido como um úmero pseudo-aleatório, gerado etre 0 e, com por eemplo, um dos dois métodos itroduzidos a seção aterior. Simulação para Distribuição Epoecial A fução desidade este caso é : f( ) = α. e α para α > 0 e [0, ) e f() = 0 caso cotrário, ou seja, 0. A fução distribuição acumulada, pode ser ecotrada através de: y F ( ) = f( ydy ) = α. e α dy= e α 0 0 Isolado, temos: = ( F ) α l ( ) Pode-se lembrar que a média da distribuição epoecial é /α e que F() varia o itervalo [0,]. Assim, (-F()) também varia o itervalo [0,] e a fórmula para ecotrar debaio da distribuição epoecial será: = μl(f()) 67

16 ode F() é um úmero pseudo-aleatório. Simulação para Distribuição Normal Como já foi visto a fução desidade de probabilidade da distribuição Normal é: ( y μ) / σ f (y) = e ode - < < πσ e μ é a média e σ o desvio padrão. Para ormalizar os valores obtidos por, basta fazer: y z = μ σ ode a média μ é zero e o desvio padrão σ é. A fução desidade etão será: f( z) e z / = π que é uma fução tabulada. A fução desidade acumulada é : z / F ( ) = e dz π Uma maeira bem simples de ecotrar um úmero com distribuição ormal, é utilizar a seguite fórmula: ( F ) z= ( ) 6. σ+ μ ode F() é a soma de úmeros uiformemetes distribuídos. Simulação para Distribuição de Poisso A fução de distribuição de probabilidade de Poisso é: e λ k λ P ( = k) = k! ode λ é a média e k =,,3,... A distribuição acumulada será: F ( ) = P ( = i) i= 0 A forma de geração de úmeros com distribuição de Poisso será: ) Buscar F(), úmero aleatório ormalmete distribuído com média zero e variâcia. 68

17 ) Calcular + = λ λf( ). Este úmero terá distribuição de Poisso com média λ. Eemplo4: Vamos gerar 0 úmeros com distribuição Epoecial e de Poisso e comparar as probabibilidades "reais" geradas pelos simuladores com as probabilidades "teóricas", através das leis de probabilidades. Para tato, para os seguites úmeros gerados: Poisso Epoecial MÉDIA: Qual a difereça etre a simulação e a probabilidade teórica? Vamos etão motar a tabela de classes para efeito de comparação das duas probabilidades. Primeiramete 69

18 temos que motar o rol dos úmeros, ou seja, colocá-los em ordem crescete ou decrescete. Escolhemos a ordem crescete para a distribuição epoecial. Etão, Posteriormete calculamos a amplitude para estes dados, ou seja, a difereça etre o maior dado e o meor, que este caso será: R=87.5 Após isto, calculamos a amplitude das classes, que é ecotrada dividido-se a ampitude dos dados pelo úmero de classes desejado. Neste caso, vamos escolher =5 classes. Etão, 87.5 h = = Partido-se do primeiro dado, motamos a tabela de classes, que será: Dados Reais Epoecial Negativa Teórica classes Freq.absoluta Freq. relativa probabilidade Freq.absoluta Como já foi calculado, a média da distribuição epoecial foi T=4.56. A distribuição epoecial egativa é goverada pela fórmula: t T P(t) = e T A probabilidade de t estar compreedido etre itervalos de potos é facilmete calculado, uma vez que, P T T T T ( t t t ) = e dt = e = e e t T t t t t t t t 70

19 Assim, a peúltima colua da tabela de classes foi motada da seguite forma: Probabilidade Epoecial Teórica P P P P P.63 T T (.63 t 0) = e e = T T ( 0 t 37.5) = e e = T T ( 37.5 t 54.95) = e e = T T ( t 7.39) = e e = T T ( 7.39 t 89.83) = e e = Multiplicado agora esses valores pela quatidade de dados, obteremos a última colua da freqüêcia absoluta teórica. Podemos ver que os valores são bem próimos do simulado, o que atesta a boa performace do simulador. VIII.7 - Simulação de Filas A Figura VIII. mostra as variáveis ecessárias para a simulação e aálises de filas com um servidor. As variáveis que podem ser observadas são: - Volume de Chegada: Número de clietes ou processos que chegam em determiado tempo. - Itervalo etre Chegadas: Itervalo de tempo etre o fim da chegada do último processo e o iício do ovo processo. O pior caso é cosiderar esse tempo com distribuição epoecial. 7

20 Volume de Chegadas Itervalo de tempo etre as Chegadas Hora de Chegada Tamaho da Fila Iício do Atedimeto Tempo de Permaecia o sistema Servidor Fim do Atedimeto Hora de Partida Figura VIII. - Simulação de Filas - Hora de Chegada: A hora em que o processo chegou a fila. -Iício do Atedimeto: É o máimo valor etre a hora de chegada do processo e fim do atedimeto do processo (-). O pior caso é o atedimeto com distribuição uiforme quado o itervalo tem distribuição epoecial. -Fim do Atedimeto: É o iício do atedimeto somado ao tempo de duração dimiuído de uma uidade de tempo. Se o tempo é em miutos com uma casa decimal, etão a uidade de tempo é 0. mi., se for casas decimais a uidade de tempo é 0.0 mi. -Tempo de Permaêcia: É o fim do atedimeto meos o tempo de chegada. Como eemplo vamos supor um modelameto de tal forma que o sistema ão comporte o volume de chegadas e cosequetemete surgem filas. Assim, por eemplo: Tempo de Chegada: Distribuição Epoecial com média μ = 3 mi. Números pseudo-aleatórios pelo método da cogruêcia multiplicativa. Semete: = 7 {O volume de chegadas é o úmero aleatório} Tempo de Atedimeto: Distribuição Uiforme o Itervalo [5 mi.;7mi.] Números pseudo-aleatórios pelo método dos quadrados médios. 7

21 Semete: a = 56 M = 8. k = 7. As Figuras VIII. a VIII.6 apresetam a situação do sistema por cerca de 0 horas. Em especial, a Figura VIII.5 apreseta o tempo de permaêcia sempre em curva ascedete mostrado um colapso total, e cosequetemete, um aparecimeto de filas icotrolável Volume de Chegadas Itervalo etre Chegadas (miutos) Hora de Chegada (miutos) Hora de Chegada (miutos) Figura VIII. - Volume de Chegadas Figura VIII.3 - Itervalo de Tempo as Chegadas Tempo de Atedimeto (miutos) Tempo de Permaecia No Sistema (miutos) Hora de Chegada (miutos) Figura VIII.4 - Tempo de Atedimeto Hora de Chegada (miutos) Figura VIII.5 - Tempo de Permaêcia o sistema 73

22 30 Tamaho da Fila (quatidade de processos) Hora de Chegada (miutos) Figura VIII.6 - Tamaho da Fila para μ =3. A tabela a seguir mostra uma pequea parte das simulações apresetadas os gráficos das Figuras VIII. a VIII.6 e o desempeho umérico das variáveis. o vol. it.cheg. hor.ch. dur. iic.ated. hor.part. temp.perm. tam. fila Tabela VIII. - Simulação de Filas 74

23 Vamos supor que, ao ivés de3 miutos, a média do tempo de chegada suba para μ = 7, ou seja, o sistema fica mais adequado ao volume de chegadas. 0 Tamaho da Fila (quatidade de processos) Hora de Chegada (miutos) Figura VIII.7 - Tamaho da fila para μ = 7 Agora, a Figura VIII.7 mostra ao cotrário da Figura VIII.5, um sistema em que o tamaho das filas é cotrolável, pois o tempo de chegada de processos são iferiores à média de atedimeto. Na verdade, para sistemas cogestioados, a saída imediata é o alocameto de mais servidores, aumetado a velocidade de atedimeto em relação ao volume de chegadas. Como foi visto a Figura VIII.6, o sistema fica cogestioado quado a média de chegada é de μ = 3 miutos e o atedimeto etre 5 e 7 miutos. Uma ova simulação pode ser realizada supodo-se que ao ivés de um servidor o sistema possui dois servidores. A Figura VIII.8 mostra o desempeho comparativo etre os dois tipos de sistemas. O tamaho da fila como pode-se perceber reduz drasticamete quado dois servidores são colocados a operar em lugar de um. Neste caso os dois servidores foram supostos tedo a mesma distribuição uiforme com atedimeto etre 5 a 7 miutos. 75

24 30 Um Servidor Dois Servidores Tamaho da Fila (quatidade de processos) Hora de Chegada (miutos) Figura VIII.8 - Filas com Dois Servidores Um outro ceário é quado o sistema possui diferetes tipos de equipametos, os quais trabalham com velocidades diferetes. Um eemplo simulado é apresetado a Figura VIII.9 ode um servidor trabalha com distribuição uiforme com tempo de 5 a 7 miutos e o outro trabalha com distribuição uiforme com tempo de 5 a 30 miutos. Servidores com mesmo tempo de atedimeto Servidore com Diferetes tempos de Atedimeto 6 Tamaho da Fila (quatidade de processos) Hora de Chegada (miutos) Figura VIII.9 - Servidores com Tempo de Atedimeto Diferetes 76

25 O resultado, como era de se esperar, é uma fila de espera maior do que quado os dois servidores tem mesma capacidade de atedimeto, porém a fila resultate aida é muito meor do que quado o sistema possui apeas um servidor. Como comparação etre a simulação e a aálise da teoria de Filas apresetadas o iício deste capítulo, tomaremos as equações (VIII.) com = 0, ou seja, desejamos fazer uma aálise para um tamaho de fila com 0 processos a espera. O sistema será assumido ode as chegadas ocorrem segudo um processo de Poisso com parâmetro λ = 0. e atedimeto segudo distribuição epoecial com média μ = Ou seja, os processos chegam um itervalo de tempo de 0. miutos e são atedidos em 0.74 miutos Probabilidade P0 P 0.0 P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P Tempo (miutos) Figura VIII.0 - Aálise da Probabilidade do Tamaho da Fila. A Figura VIII.0 apreseta o resultado ode, percebe-se que quato mais o tempo passa a probabilidade da fila aumetar também aumeta. Assim, por eemplo, depois de 0 miutos, o tamaho mais provável da fila é acima de 9 processos. Observado o resultado da simulação a Figura VIII., percebe-se a cocordâcia etre a teoria de filas e o resultado observado. 77

26 .00 Tamaho da Fila (umero de processos) Tempo (miutos) Figura VIII. - Simulação de Filas Pela Figura VIII., cofirma-se o que pode ser observado a Figura VIII.0, ode esperava-se um tamaho de fila acima de 9 processos, o que realmete ocorre. A Figura VIII.0 pode ser obtida através da itegração umérica das equações VIII. utilizado itegrador de Ruge-Kutta de quarta ordem com os parâmetros λ e μ já forecidos. VIII.8 - O Método de Mote Carlo Nas seções ateriores foi descrito como simular úmeros regidos pelas diversas distribuições de probabilidades. A filosofia disto é que ao gerar úmeros que são regidos pela distribuição adequada, poderemos simular certos evetos a atureza com grau de precisão maior do que outros métodos determiísticos. Uma maeira de simular evetos, pricipalmete aqueles com diâmica estocástica é utilizar o método de Mote Carlo. Os passos para seu uso são bem simples e ituitivos. Passo : Escolhe-se uma distribuição de probabilidade que, comprovadamete pela estatística, descreve as perturbações aleatórias. 78

27 Eemplo: Distribuição Normal ou Gaussiaa. f () = e πσ ( μ) / σ Passo : Gera-se a fução distribuição acumulada F(), ou seja,.0 F () = f () Distribuição de Probabilidade f() Distribuição Acumulada de Probabilidade úmero aleatório gerado uiformemete F() valor de ecotrado com distribuição ormal variável variável Passo 3: Gera-se um úmero aleatório uiforme F(). Passo 4: Procura-se a tabela de classes da acumulada ode ele pertece. Eemplo: A seguir é apresetada uma tabela da distribuição ormal f() com sua distribuição acumulada F() para o itervalo [-5,5]. f() F()

28 A seguir foram gerados pelo método de Mote Carlo 0 úmeros aleatórios com distribuição gaussiaa. Coforme eplicado ateriormete, o úmero da direita é aleatório com distribuição gaussiaa e o da esquerda, varre-se a tabela da distribuição acumulada gaussiaa. Núm.Uiforme Núm.Gaussiao F() () O Cálculo de Áreas Uma aplicação muito iteressate e bastate utilizada com o método de Mote Carlo é o cálculo de itegrais de difícil resolução aalítica, sedo uma delas, o cálculo de áreas. Para ecotrar áreas utilizado o método de Mote Carlo devemos seguir os seguites passos: Passo : Gera-se um par de variáveis aleatórias idepedetes e uiformes: = radom; 80

29 y = radom; Passo : Testa a fução desejada a ser itegrada f(). Passo 3: Se y gerado aleatóriamete for y f(), etão o úmero de potos é somado e fazemos N = N +, caso cotrário gera-se outro para até a desigualdade ser satisfeita. Passo 4: No fial, a área será correspodete à probabilidade dos potos gerados cair embaio da fução f(), ou, N p = N: total de potos que satisfaz a fução f(). : total de potos gerados. Passo 5: Multiplica-se "p" pelo retâgulo da fução C(B-A) e a área etão será: Area = C(B A) N Eemplo: Calcular a itegral de f()= para o itervalo [0,] pelo método de Mote Carlo. O resultado dos potos gerados é apresetado o gráfico abaio. O resultado aalítico é facilemete ecotrado como Área = 0.5. Neste eemplo o resultado obtido pelo método foi de Área Mote Carlo = para =000 potos gerados f()

30 O programa a seguir, elaborado em liguagem turbo pascal, eemplifica como utilizar o método de Mote Carlo o cálculo de áreas. program itegral(ar); uses crt; var i, soma,um:iteger;,y,area,liminf,limsup,fator,maxy,ff:real; ar: tet; {===========================================} fuctio efe (is:real):real; var au,au:real; begi { au:=ep(is); au:=ep(-is); efe:=si(is)*(au-au)/;} efe:=is; ed; {===========================================} begi assig(ar,'ar.dat'); rewrite(ar); radomize; clrscr; {////////////////////////////////////////} um:=000; LIMINF:=0; LIMSUP:=; MAXY:=; FATOR:=MAXY*(LIMSUP-LIMINF); {////////////////////////////////////////} soma:=0; for i:= to um do 8

31 begi :=LIMSUP*radom; y:=maxy*radom; ff:=efe(); if y < efe() the begi soma:=soma+; writel(ar,:4:,' ',y:4:,' ',ff:4:); ed; writel(i:5,' ', soma/i:0:5); ed; area:=fator*soma/um; writel('area = ',area:0:5); ed. VIII.9 - Aplicações do Método de Mote Carlo O Modelo do Crescimeto Logístico O modelo logístico é aplicado com freqüêcia a ecologia e biologia para represetar o crescimeto de populações ( aimais, células tumorais, pragas, etc.) O modelo é muito simples e uma das represetações se baseiam a equação diferecial: & = ρ () ρ () ( ) ode ρ () : taa de atalidade ρ m () : taa de mortalidade m Se for assumido que a taa de atalidade é uma fução liear decrescete, ρ ) = a b ( e a taa de mortalidade é uma fução liear crescete de : ρ ) = a b m ( + com a, a >0 e b, b >0. O crescimeto da população será: (( a a ) ( b + b ) ) = ( r s) & = 83

32 com os valores de r e s sedo: r = a a s = b + b Se o tempo for descotado do processo, pode-se observar que eistem duas possibilidades para a população: : pode ascer um idivíduo { eveto N } : pode morrer um idivíduo { eveto M } Se ocorrer o eveto N, etão = i + i + Se ocorrer o eveto M, etão = i + i As probabilidades serão proporcioais às taas de ascimeto e morte P(N) ρ () = a b P(M) ρ m () = a + b Desde que estes evetos são mutuamete eclusivos, a b P(N) = p = a + a b b P(M) = p = ( ) ( ) ( a + a ) ( b b ) a + b Podemos a partir dessas equações simular o crescimeto de uma população, ode por eemplo podermos adotar os seguites valores dos parâmetros: (0) = 69 a = 0.7 b = a = 0. b = Com estes parâmetros teremos a correspodete equação diferecial: & = com r = 0.5 e s = Vamos seguir os seguites passos de simulação: Passo: Para o iício, = 69 (0.7)(69) (0.0045)(69 ) p = = 0.64 ( )(69) ( )(69 ) p = 0.64 = Passo : Obtém-se um úmero aleatório u, com distribuição uiforme [0,]. Passo 3: Se u p o próimo eveto é ascimeto (N) = + ; 84

33 Se u>p o próimo eveto é morte (M) = - ; Etão teremos o seguite resultado da simulação passo Tam. Pop. P(N) P(M) u Eveto M N M O Modelo do Abalo Sísmico Num período de 600 aos, mais ou meos 330 terremotos ocorreram a região cetral da Itália possuido itesidade o epicetro () acima de 6 a escala. Em adição, pode ser modelado como distribuição epoecial, = b + αl( l(f) ) ode os parâmetros são b: localização α: escala (dispersão) F: úmero com distribuição uiforme em [0,]. Um abalo sísmico em uma região específica (icluído o epicetro) é represetado por itesidade (y), segudo a lei de ateuação: 0 ψ zφ y = l + lψ ψ0 z0 ode z deota a distâcia do epicetro. Como eemplo, vamos fazer uma simulação para uma determiada região da Itália com os valores de parâmetros abaio z 0 : distâcia da liha isosísmica = 9.5 Km 0 : itesidade epicêtrica = 0 ψ 0 = ψ =.5 φ =.3 α = 0.9 b = 6 85

34 Vamos também supor que z ~ U[3 Km,5Km] e ecotrar a distribuição de probabilidade de y por simulação de Mote Carlo. Vamos calcular y para 0 aos, supodo que cada iteração é um ao e ao mesmo tempo, gerar potos de coordeadas com distribuição para as variáveis ~N(0,) e y~n(0,). Com isso estaremos simulado a localização de cada terremoto itesidade o epicetro itesidade a regiã o distâ cia a liha isosí smica tempo (aos) localizaç ã o y AFRICA localizaç ão 86

35 0 Isolihas de Itesidade localizaç ã o y localizaç ão 87

36 A simulação aterior pode ser repetida e variada utilizado o software Matlab 5.0 através do programa a seguir: hold off %==============costates============================ z0=9.5; 0=0; psi0=; psi=.5; fi=.3; % %itervalo para dist. uif. da distacia do epicetro z a=; b=8; % %parametros para a distribuicao de Gumbel para a itesidade %do terremoto escala=0.9; loc=6; %NUMERO DE ANOS PARA SIMULACAO aos=0; %==================================================== rad('seed',sum(00*clock)) for i=::aos F=rad; z(i)=a+(b-a)*rad; (i)=loc+escala*log(-log(f)); y(i)=(i)-(/log(psi))*log(+((psi-)/psi0)*((z(i)*(fi)^(0- (i)))/z0-)); ed; plot(,'-k'); hold o plot(y,':k'); plot(z,'--k'); grid; label('tempo (aos)') leged('itesidade o epicetro','itesidade a região','distâcia a liha isosísmica') pause; for i=::0 for j=::0 ites(i,j)=0; lug(i,j)=0; lugy(i,j)=0; ed; ed; j=; for i=::aos lug(i,j)=z(i)+rad; lugy(i,j)=z(i)+rad; 88

37 ites(roud(lug(i,j)),roud(lugy(i,j)))=(i); ed; hold off load topo cotour(0:359,-89:90,topo,[0 0],'k') set(gca,'lim',[0 50],'ylim',[0 50]) hold o for i=:: plot((5-lug(:,i)),(38+lugy(:,i)),'pk') hold o ed; grid; label('localização '); ylabel('localização y'); tet(0,0,'africa'); pause; hold off cotour(ites,'k') set(gca,'lim',[0 0],'ylim',[0 0]) grid; label('localização '); ylabel('localização y'); title('isolihas de Itesidade'); pause; hold o colormap(gray) surf(ites) shadig iterp view(5,30) hidde off grid; label('localização ') ylabel('localização y') zlabel('itesidade do EPICENTRO') 89

38 EXERCÍCIOS - Observe o seguite modelo diâmico para uma fila ifiita com = 0,,: dp0 dt dp dt dp dt = λp + μp 0 = ( λ+ μ) P + λp + μp = μp + λp 0 a) Ecotrar P0, P e P para o modelo acima o caso estacioário. b) Se a probabilidade de ão ter ehum trabalho em fila for P0=0.57 e a razão de chegada é λ=0.8 trab./mi., qual o tempo médio de espera para um trabalho ser atedido? c) Qual a probabilidade de mais de trabalhos estarem a fila de espera? - Uma uiversidade possui um computador de grade porte como servidor para ateder as áreas de geografia, matemática, física e computação. As taas de chegada λ e de atedimeto μ são: Chegada - λ Atedimeto - μ Geografia /50 /5 Matemática /30 /0 Física /0 / Computação /5 /4 Calcular o tamaho esperado das filas para cada tipo de clietes. Neste caso, se fosse o aalista, qual área deveria utilizar o computador fora do epediete para evitar filas? 90

39 3- A figura mostra uma rede de computadores com um servidor e 4 micros ligados a ele. A taa de atedimeto desta rede é de micro/segudo, sedo que em um segudo 3 micros ficam em fila. Com base este fato: Servidor a) Motar as equações da diâmica das probabilidades. b) Simular o sistema para um tempo fial de 0 segudos. c) Fazer os gráficos das variações das probabilidades o tempo. d) Justificar através dos gráficos a partir de que istate todas as probabilidades toramse estacioárias. e) A rede teria um desempeho melhor se ao ivés de 4 micros tivesse apeas 3? Respoda isto com uma ova simulação e gráficos agora com apeas 3 micros. 9