SOLUÇÃO SÉRIE PARA O CAMPO ELÉTRICO INDUZIDO POR ESTIMULADORES MAGNÉTICOS NA GEOMETRIA SLINKY GENERALIZADA

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1 SOLUÇÃO SÉIE PAA O CAMPO ELÉTICO IDUZIDO PO ESTIMULADOES MAGÉTICOS A GEOMETIA SLIKY GEEALIZADA MACÍLIO EITOSA, EDUADO OTAA Grupo de otônica, Dep. de Eetrônica e Sistemas, Centro de Tecnoogia e Geociências, Universidade edera de Pernambuco. Av. Acadêmico éio amos, Cidade Universitária, ecife, PE, Brasi. E-mais: marciiofeitosa@uo.com.br,fontana@ufpe.br Abstract Magnetic stimuation is a technique to ecite bioogica tissues b means of a time-varing magnetic fied. This induced eectric fied can depoarie the ce membrane so as to evoe an action potentia that propagates aong neurons, eventua being transmitted to other neurons or to a muscuar ce. Design of a magnetic stimuator requires modeing of the impuse propagation aong the nerve ce, as we as numerica simuations for coi design optimiation to determine adequate ecitation eves as we as the degree of focaiation on a given target ce. In this paper we report on a new methodoog to cacuate the stimuation fied for the case of the traditiona sin coi geometr, that great reduces computation time, thus faciitating simuation studies of the dnamics of eectric impuse propagation aong a nerve ce. Kewords Biomagnetics, Biomedica appications of eectromagnetic radiation, Biomedica engineering, euromuscuar stimuation. esumo A estimuação magnética consiste na ecitação de tecidos orgnicos por um campo magnético variáve no tempo. o desenvovimento dessa técnica, interesse crescente tem sido devotado na iteratura ao emprego de estimuadores magnéticos na configuração sin (moa feíve de brinquedo), devido à possibiidade de mehor focaiação magnética, reativamente a outras configurações. este trabaho é desenvovida uma soução série para o cácuo do campo eétrico induido em uma configuração Sin generaiada váida para um número arbitrário de espiras do estimuador, computacionamente eficiente para o projeto e estudo da dinmica do sistema. Paavras-chave Efeitos bioógicos da radiação eetromagnética, Bioeetromagnetismo, Cácuo de campos eetromagnéticos. Introdução A estimuação magnética de tecidos nervosos é uma técnica que vem ganhando importncia eevada para médicos e demais profissionais de saúde, principamente para aquees que atuam na área fisioterápica ou de reabiitação neuromuscuar. É uma ferramenta que, da mesma forma que a estimuação eétrica, auiia no diagnóstico e no tratamento de agumas doenças que afetam o sistema nervoso [] mas, devido a características particuares, tem se sobressaído sobre esta técnica tradiciona. Seu princípio consiste em estimuar tecidos através de um campo eétrico induido por um campo magnético eterno, variáve no tempo. O campo eétrico induido pode despoariar a membrana ceuar e iniciar a propagação de um potencia de ação, que pode atingir outra céua nervosa ou uma céua muscuar, causando uma contração da mesma. A característica que torna a estimuação magnética mais atrativa é o fato de o campo magnético penetrar regiões eetricamente isoadas, como as camadas de gordura e ossos, praticamente sem sofrer atenuação []-[]. Devido à ata impedncia eétrica dessas regiões, a densidade de corrente eigida para se conseguir uma ecitação efetiva, a- través da estimuação com contato eétrico direto, é eevada e capa de produir irritações na pee e queimaduras. O projeto de um estimuador magnético envove a modeagem da dinmica de propagação do impuso eétrico ao ongo da fibra nervosa, necessária para se estabeecer o níve mínimo de estímuo, mas também envove o estudo de como a geometria das bobinas afeta a focaiação do campo. É nesse conteto que o presente trabaho se torna reevante, pois, através de uma nova formuação matemática, diminui o esforço computaciona necessário à simuação do campo gerado para cada geometria de bobina proposta. Modeo Dinmico da Membrana de uma Céua ervosa A dinmica da propagação de um distúrbio eétrico ao ongo de um neurônio ou de uma fibra nervosa pode ser descrita com o auíio do modeo desenvovido por odgin-ue [3], indicado na ig., no qua o aônio, isto é, a fibra nervosa ao ongo da E L E K E a g L I () g K g a c m V () r i I( + ) V+ ( ) ig. Modeo de parmetros distribuídos para a membrana de um aônio.

2 qua o estímuo se propaga, é modeado como uma inha de transmissão de parmetros distribuídos. esse modeo os canais iônicos para o sódio, o potássio e os demais íons envovidos no processo são representados por condutncias (g a, g K e g L respectivamente) que são funções não-ineares da tensão entre as faces da membrana [3]. As paredes da membrana são modeadas eetricamente como as pacas de um capacitor cuja capacitncia por unidade de comprimento é dada por c m e a soução iônica presente no interior do aônio é representada por um resistor cuja resistência por unidade de comprimento é r i. As diferentes concentrações iônicas nas souções interna e eterna da céua produem tensões de equiíbrio para cada íon. Estas são representadas por fontes de tensão contínuas E a, E K, e E L, associadas aos gradientes iônicos produidos peos íons a, K e demais íons envovidos. Para o caso de uma fibra nervosa ocaiada ao ongo do eio, sob a ação de um campo eétrico E induido magneticamente, o potencia eétrico através da membrana V satisfa a equação diferencia Λ V V E V τ + Λ, () t onde as constantes de espaço e tempo são dadas respectivamente por r Λ m ri, () τ r m c m, (3) com r m representando a resistência transmembrana equivaente para o modeo. Essa resistência é uma função não inear do potencia de membrana. Podemos observar que () tem, a princípio, a estrutura de uma equação de difusão devido a sua segunda derivada no espaço e primeira derivada no tempo. De fato, se a intensidade do estímuo (representado peo gradiente ongitudina da componente na direção do campo eétrico induido) for inferior a determinado vaor, o distúrbio de tensão produido em um ponto da membrana vai se difundir ongitudinamente, mas sem se propagar. Esse distúrbio causará apenas um pequeno desvio na tensão de equiíbrio da membrana a qua se re-estabeece ogo em seguida. Eiste, no entanto, um vaor imiar para a tensão de membrana que, se for superado devido à intensidade do estímuo, um potencia de ação irá se propagar como uma onda não amortecida cuja veocidade depende de parmetros intrínsecos ao nervo []. 3 Estudo da Geometria Sin Generaiada Como pode ser observado em (), o termo responsáve pea estimuação é a derivada em da componente do campo eétrico eterno. Esse termo, que representa a função de ativação, depende da configuração geométrica da bobina de estimuação, aém da distribuição tempora do puso de corrente produido pea descarga de um banco de capacitores e controado por um dispositivo semicondutor de ata potência. a-se necessário então um estudo detahado sobre qua configuração possibiita acançar estímuos mais efetivos e mais focaiados, utiiando-se um mínimo de energia. Em agumas pesquisas o uso da bobina circuar cássica []-[5] é bastante difundido (ig.), mas outros resutados da iteratura a respeito do tema indicam que as bobinas do tipo sin apresentam mehor rendimento []. essa geometria, as espiras são todas de mesmo raio e têm um ponto em comum. A geometria estudada no presente trabaho, mostrada na ig.3 é uma generaiação da configuração sin, em que os raios, correntes e incinações reativas das espiras são arbitrários. O nome sin foi adotado por ichard James em 93 para designar um conhecido brinquedo por ee criado, que tem a forma de uma moa feíve. A configuração Sin tra como benefício a diminuição do espahamento atera do campo usado para estimuação, aém de minimiar a possibiidade de estímuo de outros nervos que se encontrem próimo ao nervo avo []. Em estudos anteriores [6] mostramos que, para a geometria sin de duas espiras, se mantivermos o ápice da bobina a uma distncia fia do nervo, obtemos uma distribuição do gradiente ongitudina do campo eétrico com uma argura rms mínima para um nguo de aproimadamente 7º entre o pano das espiras e a superfície de trabaho (ig.). esses mesmos estudos, observamos que essa bobina, para esse mesmo nguo, concentra o gradiente do campo em uma região aproimadamente 35% menor que a região ecitada por uma bobina circuar convenciona [6]-[7]. ig.. Apicação do puso magnético no nervo mediano, utiiandose uma bobina circuar cássica.

3 i 3 r 3 X (a) X X θ r X i i α r r r i i X ig.3. Geometria da configuração Sin generaiada. (b) Modeo Teórico α Em busca de uma configuração de bobinas que permita a geração de um campo de estimuação mais efica, foram reaiados estudos sobre como a geometria das bobinas afeta esse campo. As variáveis envovidas nesses estudos foram o número de espiras na bobina, o nguo que cada espira fa com a superfície de trabaho (pano paraeo àquee onde está posicionado o nervo avo do estímuo), o raio de cada espira e a intensidade e a forma de onda da corrente que percorre cada espira. Esses parmetros estão detahados na Tabea I. Cada nova espira adicionada à bobina é definida de forma uniformiada de acordo com os parmetros citados com reação a um sistema de coordenadas rotacionado em torno do eio como indicado na ig.5a. Essa uniformiação permitiu uma redução no trabaho de se descrever cada bobina individuamente em função do pano cartesiano origina. oi considerada a determinação do campo eétrico induido devido a uma configuração de espiras circuares, onde a -ésima espira possui um raio r e é percorrida por uma corrente i. Todas as espiras eative rms wih Stationar ape Variabe ape Ange(degrees) ig.. Largura rms reativa do gradiente do campo eétrico induido ao ongo do nervo. têm um ponto em comum na origem do sistema do aboratório. O sistema representa o sistema de coordenadas da -ésima espira, desviada de um nguo α do pano. A formuação convenciona para o cácuo do campo eétrico em um determinado ponto do espaço devido a uma dada distribuição de corrente, que emprega integrais eípticas, eige um grande esforço computaciona o que introdu um ongo atraso nas simuações numéricas da dinmica do potencia de ação. Devido a isso, foi desenvovida uma epressão anaítica para o campo eétrico induido bem como para sua derivada espacia usada como fonte de estímuo em (). Em uma aproimação quase estática, o campo eétrico induido por uma espira percorrida por uma corrente é dado por [8] A E () t onde A representa o vetor potencia magnético, que pode ser escrito da forma com µ 0 A i φ r ig.5. (a) Geometria e parmetros de definição de uma dada espira na configuração Sin generaiada. (b) Vetores de definição de uma espira na configuração Sin generaiada. φ (, u ) φ α, (5)

4 em que Assim, π r cosφdφ, (6) X X 0 ' X X ' r. (7) µ 0 E π di r' (, u ) φ. (8) Os vetores unitários mostrados na ig.5b obedecem às reações com TABELA I. PAÂMETOS PAA A COIGUAÇÃO SLIKY GEEALIZADA. Parmetro Definição X Locaiação do centro da -ésima espira. X Vetor posição do ponto de observação. α Ânguo entre o pano da espira e o pano. r aio da -ésima espira. i Corrente que percorre a -ésima espira. Sistema de coordenadas do aboratório. Sistema de coordenadas da -ésima espira, θ, φ Coordenadas esféricas no sistema,, Vetores unitários do sistema. φ r sin φ + cosφ, (9) cos φ + sin φ, (0) cos α + sinα. () O vetor posição do ponto de observação no sistema pode ser obtido em função do sistema de coordenadas por X X. () Utiiando a reação e com base na ig.5, e com,, Vetores unitários do sistema obtém-se r, φ Vetores unitários (radia e aimuta), no pano. X ( X X ) ( X X ), (3) r ( cos α + sinα ) () X + +, (5) ( cosα + sinα ) r r. (6) Substituindo-se (9) em (8), com o emprego de () e considerando-se apenas a componente de interesse no campo eétrico induido, teremos µ 0 E π onde E com di r ( cosα + sinα r ) ( u ) / (7) sin α + cosα u. (8) A derivada de (7) pode ser posta na forma µ ( cosα + sinα r ) 0 di r ( u ), (9) ( ) / u r +, (0) ( ) / u π cosφ dφ, () 3/ / + ( ) φ 0 r r u cos π ( cosφ) dφ () 3/ / + ( ) φ 0 r r u cos e u cosθ. (3) As equações (9)-(3) representam uma generaiação da formuação integra para o cácuo do campo de estimuação gerado por uma bobina do tipo sin. Essa formuação demanda um eevado esforço computaciona no cácuo da distribuição do gradiente pois, para cada ponto no espaço, é necessário o cácuo de três integrais numéricas. A formuação integra pode ser evitada peo uso de uma epansão em harmônicos esféricos [8] para o inverso do denominador de (7). De acordo com o teorema da adição para harmônicos esféricos [8], 0 m r< + > * π π Υm (, φ ') Υm ( θ, φ ), () X X ' + r com Y m representando o harmônico esférico de índices (,m). Inserindo () em (6) e apicando-se as propriedades de ortogonaidade dos harmônicos esféricos [9], obtém-se onde < ( u ) r a P ( u ), > + (5) ( ) ( )!! a, (6) ( + )!

5 com P + representando o poinômio associado de Legendre de índices (+,). Substituindo-se (5) em (5), obtemos a epressão para o campo eétrico induido de (). O gradiente ongitudina desse campo é obtido após agumas manipuações agébricas, podendo ser epresso no sistema na forma de d ( cosα + α r ) µ 0 di sin G, (7) como counas em uma matri, como indicado a seguir. I ma I ma I ma Sina Sina Sina t 0 t0 t0 LOOP (33) σ σ σ aio aio aio Ang Ang Ang Onde, para cada uma das espiras, temos: onde temos G r a a r + +, r, r < >, (8) Ima - Ampitude máima do puso gaussiano de corrente; Sina - Sina dependente do sentido da corrente; t 0 - Centróide do puso gaussiano de corrente; σ - Desvio padrão do puso de corrente; aio - aio da espira; Ang - Ânguo de incinação da espira com reação ao pano. e ( + 3) P + + ( sinα cos α ) P +, (9) ( sin cosα ) P P α. (30) Para se evitar probemas computacionais no cácuo das derivadas dos poinômios de Legendre, particuarmente para vaores específicos de e eevados vaores do índice, nas equações (9) e (30) as derivadas primeira e segunda dos poinômios foram epressas como combinações dos poinômios de Legendre [9] da seguinte forma: (3) ( u ) [ u P ( u ) P ( u )] P u e {[ ] ( ) ( )} ( u ) ( ) u ( + ) P u + P u. (3) P ( u ) 5 Discussão oram reaiadas simuações computacionais no ambiente Mathcad 3 para cacuar a distribuição espacia do campo eétrico induido bem como do seu gradiente, tanto para a formuação integra como para a formuação série baseada nas epansões de Legendre. esses cácuos foram utiiadas as funções disponíveis no ambiente para o cácuo das integrais e das funções de Legendre. Apesar de o agoritmo desenvovido aceitar quaquer distribuição tempora para os pusos de corrente apicado às espiras, optamos por pusos gaussianos para as simuações. Os parmetros de definição de cada espira são informados ao agoritmo O agoritmo iniciamente define as funções que serão utiiadas: os poinômios de Legendre e suas derivadas primeira e segunda, os poinômios associados de Legendre e a derivada tempora do puso gaussiano de corrente. Em seguida são definidas as coordenadas esféricas do sistema de coordenadas rotacionado em função do sistema cartesiano fundamenta. Só então o campo eétrico é cacuado bem como a sua derivada ongitudina. Esta função é utiiada como entrada em () e então o potencia de membrana é cacuado. Para o caso da epansão poinomia, as epressões em série foram truncadas quando a precisão do resutado chegou a 0.%. Essa foi a mesma toerncia adotada no cácuo das integrais numéricas reaiado peo Mathcad. Observou-se que a soução série permitiu uma redução no tempo de computação de um fator de peo menos 0 reativamente à formuação integra. Esta vantagem se torna ainda maior quando o número de espiras na bobina aumenta. De fato, para um eevado número de espiras de corrente (>0), a formuação integra torna-se praticamente inviáve. oi observada uma desvantagem no uso da formuação por epansão de Legendre, na qua cada termo da epansão do campo eétrico, apesar de ser uma função contínua, possui derivada descontínua para a -ésima espira quando a distncia do centro da espira até um ponto no espaço é igua ao raio da espira. Obviamente, se todos os termos da série fossem incuídos, este probema não ocorreria. o entanto, quando a série é truncada, a derivada do campo se torna descontínua nessa condição. Para o caso onde todas as espiras se encontram no hemisfério superior e o nervo avo se encontra no hemisfério inferior, paraeo ao eio, no pano 0, esse probema não ocorre. O probema de descontinuidade pode ser resovido epandindo-se a derivada de (6) com respeito à variáve. Esse procedimento, no entanto, re-

6 quer o emprego dos poinômios utra-esféricos de Gegenbauer [9], e ainda está em desenvovimento. 6 Concusões oi desenvovido um método computaciona eficiente para o cácuo do gradiente espacia do campo eétrico induido por estimuadores na configuração Sin generaiada. O método consiste no cácuo do campo, e do seu gradiente, através de uma epansão em série baseada nos poinômios de Legendre, ao invés do cácuo por integrais eípticas. Apesar de aguns probemas terem sido encontrados, como o aparecimento de agumas descontinuidades no cácuo do gradiente em situações específicas, o procedimento se mostrou bem mais eficiente, reduindo o tempo de simuação em até 0 vees. Este método está sendo utiiado em estudos de otimiação e projeto de estimuadores magnéticos com boa focaiação de campo para apicações em nervos periféricos. O comportamento em tempo rea da dinmica das fibras nervosas sob infuência do campo induido está sendo estudado e novos resutados serão pubicados em breve. Biomedica Engineering, vo.50, no., pp , ov [8] J. D. Jacson, Cassica Eectrodnamics, 3rd. edition. ew Yor, John Wie & Sons Inc., 999, pp. 7-. [9] Arfen and Weber, Mathematica Methods for Phsicists, 5th. edition. United States, Academic Press, 00, pp eferências Bibiográficas [] J. Mamivuo,. Ponse, Bioeectromagnetism: principes and appications of bioeectric and biomagnetic fieds, Oford Universit, Oford, 995. [] C. en, P. P. Tarjan, and D. B. Popovic, A ove Eectric Design for Eectromagnetic Stimuation The Sin Coi, IEEE Transactions on Biomedica Engineering, vo., no. 9, pp , Sep [3] A. L. odgin and A.. ue, "A quantitative description of membrane current and its appication to conduction and ecitation in nerve", Journa of Phsioog, no. 7, pp.500-5, 95. [] M. George, E. M. Wassermann and. M. Prost, "Transcrania magnetic stimuation: a neuropschiatric too for the st centur", Journa of europschiatric and Cinica eurosciences, vo. 8, pp , 996. [5] J. uohonen, Transcrania magnetic stimuation: modeing and new techniques, esini Universit of Technoog, 998. [6] M. A.. eitosa and Eduardo ontana, Prospects for the Deveopment of a Magnetic Stimuation Device for uman Tissue, Proceedings of the 005 Internationa Microwave and Optoeectronics Conference. Brasíia 005. v.. p. -. [7] Kai-siung su, Sriantan S. agarajan, and Dominique M. Durand, Anasis of Efficienc of Magnetic Stimuation, IEEE Transactions on