AULA 1. Estabilidade de Sistemas de Potência 1) INTRODUÇÃO. Definição:

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1 AULA ) INTODUÇÃO Defnção: Um sstema elétrco de potênca é dto ESTÁVEL quando todas as máqunas síncronas lgadas ao sstema em uma determnada condção ncal, voltam ao sncronsmo após uma dada perturbação. A defnção de establdade está portanto lgada aos concetos de condção ncal e perturbação. Não se pode dzer que um determnado sstema é estável. É necessáro defnr para que tpo de falta, por qual duração e em quas condções ncas este sstema será estável. O período medatamente após uma perturbação é chamado período TANSITÓIO. A característca deste período é osclatóra. Desta forma, quando as osclações são amortecdas o sstema é consderado estável, caso contráro, ele será consderado INSTÁVEL. Com esta defnção, as osclações não amortecdas são consderadas nstáves, mesmo sabendo que, matematcamente, uma função puramente senodal é uma função estável. As perturbações que podem ocorrer em um dado sstema são nfntas. ode-se dvdr estas perturbações em fortes e fracas. O curto crcuto em uma determnada lnha do sstema é consderado, na maora das vezes, uma forte perturbação. A perda de uma grande undade geradora ou de uma lnha mportante também são consderadas grandes perturbações. Já a varação peródca da carga durante o da, que afeta também a establdade do sstema, é consderada uma pequena perturbação. A dvsão das perturbações em fortes e fracas é mportante para defnr a forma matemátca de tratar o problema. Após uma grande perturbação, se o sstema for estável, o novo ponto de operação estará dstante do ponto ncal. Desta forma, a não lneardade das equações que regem as máqunas devem ser levadas em consderação. Como não exste solução analítca para um sstema de equações dferencas não lneares, só é possível resolver o problema através da ntegração numérca das equações que defnem o sstema. Este problema é chamado na lteratura de ESTABILIDADE TANSITÓIA. or outro lado, para uma pequena perturbação, o sstema va osclar em torno do seu ponto de equlíbro ncal e, consderando o sstema estável, voltar às condções ncas ou em algum ponto muto próxmo. Desta forma, admtndo-se a lnearzação das equações em torno deste ponto, passa-se à solução de um sstema de equações dferencas lneares, ou seja, todas as técncas lgadas aos sstemas lneares podem ser utlzadas. Este problema lnearzado é chamado ESTABILIDADE DINÂMICA. Um dos pontos mas mportantes no estudo da establdade de um sstema é a defnção dos crtéros ou das perturbações que o sstema deve suportar. Como fo dto, nenhum sstema é estável para qualquer condção. É fundamental que se defna Ivan Camargo

2 em quas condções ele deve ser estável, ou seja, em quas condções ncas, para que defeto e durante quanto tempo. O estudo da proteção do sstema é também muto mportante, uma vez que a proteção defne exatamente o tempo de abertura, ou elmnação do defeto. Quanto mas rápda a proteção, maor será o lmte de establdade transtóra do sstema. Fnalmente, as condções ncas, ou pré-defeto, também nfluencam a establdade do sstema. Um sstema carregado tem uma margem de establdade menor que um sstema sem carga. Da mesma forma, uma máquna absorvendo potênca reatva também tem uma menor capacdade de suportar perturbações. EXEMLO. Dado o sstema smplfcado da fgura, determnar, em função da tensão do gerador e do motor, a potênca transferda na lnha de transmssão. G M Fgura Solução: Eq. Eg Em I = jx Tomando a tensão no motor como referênca fasoral: Eq. I Eg / Em / 0 = X / 90 A potênca complexa é, por defnção, dada pelo produto do fasor de tensão pelo conjugado da corrente. A potênca atva (), por sua vez, é dada pela parte real da potênca complexa. Eq. 3 = e ( Eg. I *) Então: Eg Em Eq. 4 = e( Eg * ) jx Ivan Camargo

3 Eq. 5 Como Eq. 6 Então Eg EgEm = e( / 90 / 90 ) X X j e θ = cos θ + jsen θ Eq. 7 = EgEm cos( 90 ) X ou Eq. 8 = EgEm X sen A potênca máxma transmtda entre dos pontos é função do módulo da tensão entre as barras e do seno do ângulo de defasagem entre elas. EXEMLO Dado um sstema composto por um gerador, um transformador e uma lnha, lgados a um barramento nfnto. Suponha que a tensão neste barramento seja gual a pu. Calcular o ângulo de carga do gerador quando este está submetdo aos seguntes carregamentos; a) S = 00 MVA, fp = 0,9 ndutvo; b) S = 0 MVA, fp = 0,9 ndutvo; e c) S = 00 MVA, fp = 0,9 capactvo. Dados: Gerador: S = 00 MVA; 3,8 kv, X d = 0,5 pu; Transformado: S = 00 MVA, 3,8/500 kv, X T = 0%; e Lnha: 500kV, X LT =0,5 Ω/km, 00 km. Solução a) Dagrama Unflar Trafo Lnha de Transm. Barramento Infnto Gerador Fgura b) Transformação para pu em uma base comum: Escolhendo S(base) = 00MVA, tem-se: X d = 0,5 pu, Ivan Camargo 3

4 X T = 0,0 pu e, para lnha de transmssão: X LT onde = 0, 5* 00 Z BASE Z V BASE 500 BASE = = = BASE 00 S X LT = 0,04 pu 500Ω A reatânca equvalente é, portanto: X = X d + X T + X LT = 0,9 pu. c) Cálculo da corrente: ara a prmera condção tem-se: S = 00MVA, fp = 0,9 ndutvo, portanto, em pu: S = pu. Como Eq. 9 I S = * V / arccos( 0, 9) então: I = = / 584, nos outros dos exemplos o procedmento é o mesmo mudando, respectvamente, o valor do módulo e o snal do ângulo. d) Cálculo da tensão nterna da máquna: Eq. 0 E = V + jxi ortanto: E = 56, / 3, 04 A defasagem entre a tensão no barramento nfnto e a tensão nterna da máquna é de aproxmadamente 3 graus nestas condções. Fazendo as mesmas contas para o tem b e c, tem-se: E = 03, /, 47 e E = 0, 9 / 6, 63 Observa-se dretamente deste exemplo que a tensão nterna da máquna depende em módulo e ângulo do carregamento do sstema. EXEMLO 3 Ivan Camargo 4

5 Supondo que o regulador de tensão da máquna faça com que a tensão nos seus termnas permaneça constante e gual a pu. Calcular a defasagem angular entre a tensão nterna e o barramento nfnto, para o prmero carregamento do exemplo anteror. Solução: a) Dagrama Unflar: E=/tetaº V= / 0º Trafo Lnha de Transm. Barramento Infnto Gerador Fgura 3 b) O cálculo da corrente vem dretamente do exemplo anteror: I = / 584,. c) A potênca será: = 0,9 pu. ortanto: X. θ = arcsn = 7, 3 V. E Ivan Camargo 5

6 AULA ) Modelo Matemátco Elementar Como a máquna síncrona é um corpo grante, sua posção é determnada pelas equações mecâncas de rotação. Antes de falar da equação de balanço, va-se fazer uma pequena revsão das equações báscas da mecânca de translação e em seguda de rotação. ) TANSLAÇÃO As grandezas físcas podem ser dervadas de três grandezas fundamentas: comprmento (dado em metro [m]); massa (dada em qulograma [kg]); e tempo (dado em segundos [s]). A partr destas grandezas podem se dervar todas as outras das quas va-se destacar: velocdade aceleração força momento trabalho v dx = [m/s] dt d x a = d t [m/s ] F Q = ma [kg.m/ s ] ou [N] ou [newton]; = mv [kg.m/s] ou [Ns]; otênca W = F. dx [kg.m / s ] ou [J] ou [joule]; = dw [kg.m / s 3 ] ou [W] ou [watt]. dt Observa-se da defnção, que a velocdade é gual à taxa de varação do espaço com o tempo. A aceleração é a taxa de varação da velocdade. A força aplcada em um corpo de massa m produz uma aceleração a. O momento, ou a quantdade de movmento de um corpo de massa m é gual ao seu produto pela velocdade. O trabalho é gual a ntegral do produto escalar da força pela dstânca e, fnalmente, que a potênca é gual a taxa de varação temporal do trabalho. Além destas grandezas fundamentas pode-se anda dervar expressões que relaconem estas grandezas entre s, por exemplo: Ivan Camargo 6

7 F m dv dq = = dt dt a força é gual a varação do momento com o tempo F = dw, dx é também gual à varação do trabalho com o deslocamento; dw Fdx = = = Fv, dt dt a potênca é gual a força vezes a velocdade; = mav = Qa, ou ao produto da quantdade de movmento pela aceleração. Outro conceto mportante no estudo de establdade é o da energa cnétca. A energa cnétca, por defnção, é gual ao trabalho necessáro para trar um corpo de massa m do repouso e colocá-lo a uma velocdade v. W Fdx m dv v = = dx = m vdv = m vdv = Qv dt 0 ou W = m v ) OTAÇÃO or defnção, ângulo é gual a relação entre o comprmento do arco e o rao da crcunferênca. Ou seja: θ = s r [radanos] ou [rad]. A undade radano é admensonal já que é dada pela relação de dos comprmentos, no entanto, é mportante manter a undade para não se perder a sensbldade físca da defnção de ângulo. As defnções de velocdade angular e aceleração angular decorrem dretamente da defnção do ângulo: θ = d [rad/s] dt d d θ α = = dt d t [rad/s ] As relações entre deslocamento, velocdade e aceleração angular e suas componentes tangencas (a uma dstânca r do centro) são dadas por: s = rθ v = r a = rα O conjugado é defndo r como sendo o produto vetoral do rao pela força: r T = r F. Consderando o conjugado total produzdo por forças nfntesmas ao longo de uma massa, tem-se: r r T = r df [Nm] ou [J/rad] Ivan Camargo 7

8 Dmensonalmente, conjugado e trabalho têm a mesma undade já que o módulo dos dos corresponde ao produto de força e dstânca. No entanto, fscamente, os dos são completamente dferentes. O prmero, trabalho, é um escalar (dado pelo produto escalar de dos vetores), portanto é um número. O segundo é um vetor, dado pelo produto vetoral do rao e da força. ara o prmero, a projeção do deslocamento na dreção da força que é mportante. No segundo, o mas mportante é a sua ação ortogonal. ara dervar uma expressão semelhante à le de Newton para movmentos rotaconas, parte-se da equação da aceleração para uma partícula dm. df = a. dm se a força for aplcada a uma massa stuada a uma dstânca r do centro, vem: df = rα. dm O conjugado produzdo por esta força é dado por: dt = r. df = r α. dm Defnndo momento de nérca J como: J =. [kg.m ] r dm Obtém-se a relação entre conjugado e aceleração para um corpo grante: T = Jα Fca clara, portanto, a relação entre as grandezas de um movmento translaconal e rotaconal. Força e conjugado, massa e momento de nérca e aceleração e aceleração angular. O trabalho executado por um conjugado é dado por: dw = F. dx = F. r. dθ W = T. dθ [J] ou, dervando dos dos lados: dw T = [J/rad] d θ Como = dw dt e então:. dt = T. dθ ortanto: = T Fnalmente, a energa cnétca de uma massa em rotação é dada por: esumndo: = W J. d θ = s r 0 ou W = J ângulo, [radano]; θ = d dt velocdade angular, [rad/s]; = d dt α aceleração angular, [rad/s ]; r r T = F conjugado, [Nm] ou [J/rad]; J = r dm momento de nérca, [kgm ]; M = J constante de nérca, [kgm /s]; T = Jα Le de Newton para movmento rotaconal; e Ivan Camargo 8

9 W = J energa cnétca, [J]. Ivan Camargo 9

10 AULA 3 3) Equação Swng Como o problema de establdade analsa o comportamento das máqunas síncronas do sstema para uma determnada perturbação, a melhor grandeza para se avalar se o sstema é ou não estável é a posção angular da máquna. A relação entre conjugado e posção angular é dada por: Eq. T J d θ a = = Jθ&& dt J/rad onde θ é o ângulo mecânco (real) do exo em relação a uma referênca fxa, J é o momento de nérca de todas as massas lgadas ao exo do gerador, e T a é o conjugado acelerante. Consderando o funconamento da máquna como gerador, o conjugado acelerante é postvo quando o conjugado mecânco da turbna é maor que o conjugado elétrco de frenagem. Então é adotado como convenção a segunte expressão para o conjugado acelerante: Eq. Ta = Tm Te ou seja, quando o conjugado mecânco é maor que o elétrco a aceleração é postva, caso contráro, ocorre uma desaceleração do gerador. Em regme permanente, o conjugado elétrco é gual ao mecânco e o gerador funcona com aceleração nula e velocdade constante. Em vez de se consderar o ângulo mecânco real da máquna, é mas convenente consderar a varação do ângulo mecânco em relação a uma referênca grando à velocdade síncrona, ou seja, defnndo: Eq. 3 θ = + θ + t 0 m rad vem: θ& = + & rad/s m e: && θ = && m rad/s Ivan Camargo 0

11 ortanto, pode-se escrever a equação swng da mesma forma consderando o ângulo mecânco em relação a uma referênca grando à velocdade síncrona ( ). Eq. 4 J&& = T N.m m a Além dsto, é também mas convenente consderar o ângulo elétrco da máquna em vez do ângulo mecânco: Eq. 5 p e = m rad onde p é o número de pólos da máquna. Em termos do ângulo elétrco, a equação swng fca: Eq. 6 J & = p & N.m T a onde o índce do ângulo fo suprmdo para smplfcar a notação. Ao longo deste texto a posção do rotor em relação a uma referênca grando à velocdade síncrona em radanos elétrcos é denomnada smplesmente. Esta mesma equação pode ser reescrta em termos da potênca acelerante da máquna. Multplcando os dos lados da equação por, tem-se: Eq. 7 M & = p & W a Onde M, como fo vsto, é a chamada constante de nérca de todas as massas lgadas ao exo do gerador. Exstem dversas formas alternatvas de se escrever a mesma equação, prncpalmente levando em consderação as dferentes formas de se obter o dado da constante de nérca da máquna. Em algumas máqunas este valor é fornecdo como W, em undades do sstema nglês (slug). A transformação deste valor para undades do MKS está claramente detalhada nas referêncas [] e [] e não va ser redscutda aqu. É mportante, em um sstema, que todas as máqunas estejam referencadas a uma mesma base de potênca. Dvdndo-se a equação swng por uma potênca aparente de base, tem-se: Ivan Camargo

12 Eq. 8 M ps & a = = au B3 S pu B3 onde todas as grandezas estão em valores reas menos a potênca que, agora, está em pu. ode-se também defnr a base do torque para colocar a outra equação em valores por undade: Eq. 9 T e a equação em pu fca: Eq. 0 B J p SB3 = N.m S T m & a = = Tau pu B3 TB Colocando esta equação em termos da energa cnétca da máquna obtém-se uma grande smplfcação. Lembrando que: Eq. W = J m J onde o índce m na velocdade angular caracterza esta grandeza como mecânca. ara se obter a energa cnétca da máquna, basta multplcar e dvdr a equação do torque em pu pela velocdade angular mecânca nomnal ( m ): Eq. J p m m S m B3 & = T & pu au como a relação entre a velocdade angular mecânca e elétrca é dada pelo número de pares de pólos: Eq. 3 então: p = m rad elétrcos/s Eq. 4 W T au S && = pu B3 Defne-se então a relação entre a energa cnétca da máquna e a sua potênca aparente nomnal como o H da máquna: Eq. 5 H = W SB3 s Ivan Camargo

13 ode-se observar que dmensonalmente, a relação entre energa e potênca é segundo, portanto, o H da máquna corresponde ao tempo necessáro para a máquna sar do repouso e atngr a sua velocdade síncrona quando se aplca em seus termnas a sua potênca aparente nomnal. Esta grandeza é nteressante porque ela não vara muto de máquna para máquna. ara turbo geradores ela está na faxa de 3 a 0 segundos. ara hdro-geradores ela é da ordem de a 4 segundos. Valores típcos de H podem ser tomados como: H turbo = 6 H hdro = 3 s s Com esta defnção, a equação dferencal que defne a posção elétrca do rotor da máquna em relação a uma referênca grante à velocdade síncrona, é dada smplesmente por: Eq. 6 H T au && = pu Esta equação dferencal de segunda ordem pode ser transformada em duas outras de prmera ordem: Eq. 7 & = rad/s Eq. 8 H T au & = pu Neste sstema de equações dferencas, todas as grandezas, com exceção do torque, estão em valores reas. Esta equação, nesta forma, va ser utlzada ao longo do curso. É nteressante notar que com esta forma normalzada em função do conjugado mecânco de base e da energa cnétca da máquna, ambos funções da velocdade angular mecânca, a expressão fnal fca ndependente do número de pólos da máquna (p). É também mportante lembrar que H é dado em função da potênca aparente de base da máquna. ara se analsar um sstema é necessáro colocar todas as máqunas em uma base comum de potênca, então o valor relatvo dos H s do sstema vão varar bastante de acordo com a potênca nomnal das máqunas. EXEMLO Ivan Camargo 3

14 Dado um sstema com três máqunas de potênca aparente nomnal gual a 4000 MVA, 000 MVA e 00 MVA. Se a energa cnétca em pu das máqunas for respectvamente 3, 4 e 6 segundos, colocar estes H s em uma base comum. (S base = 000MVA). Solução: Usando a base de potênca aparente dada vem: H H S maq base ( ) u =. = = s S ( sst ) 000 H u base = = 4 s 000 H u 3 = = 0, 6 s 000 É fácl perceber que quanto menor a máquna mas rápda será a sua varação de velocdade para uma determnada perturbação. Fnalmente, outra forma de se escrever a mesma equação, também muto encontrada na lteratura, leva em consderação que em pu a velocdade angular é sempre próxma da undade, ou seja: u = pu então: = T T pu au u au au logo, H au & pu Ivan Camargo 4

15 AULA 4 Conjugado Mecânco O conjugado mecânco de um gerador é, normalmente, fornecdo por uma turbna térmca ou hdráulca. Em ambos os casos ele é função da velocdade. Quanto melhor for representado o sstema mecânco, melhores serão os resultados em estudos de Establdade. No entanto, não será consderado neste curso detalhes do funconamento da turbna. Característcas como altura, vazão, densdade do fludo e rendmento não serão analsadas. Va-se analsar apenas a nfluênca do regulador de velocdade, ou seja, va-se, neste tem, dferencar as máqunas com e sem regulador de velocdade. a) Sem regulador de velocdade Neste caso o sstema de njeção de fludo na turbna permanece nalterado havendo uma mudança na velocdade, ou seja, as válvulas da turbna térmca e os gates das turbnas hdráulcas permanecem nalterados havendo uma varação na carga. A relação entre conjugado e velocdade é dada pela relação fundamental entre potênca e conjugado: Eq. 9 Dferencando esta equação: T m m = N.m m Eq. 30 ou dt m T d T m m = m + m N.m m m d Eq. 3 dtm = dm m m m d próxmo da velocdade síncrona, tem-se: m N.m Eq. 3 dtm = dm m d m N.m Ivan Camargo 5

16 consderando que a máquna não tenha regulador, ou seja, que a potênca mecânca njetada na turbna permaneça aproxmadamente constante: Eq. 33 d m = 0 W ortanto: Eq. 34 dt m m = d Colocando esta equação em pu, consderando o torque de base prevamente defndo: Eq. 35 dt = d pu mu mu ou seja, próxmo à velocdade nomnal, a relação entre o conjugado e a velocdade em pu é uma reta com declvdade gual a -, conforme a fgura abaxo: N.m T(pu) w(pu) fgura Esta curva mostra que no caso da máquna sem regulador uma dmnução na velocdade da ordem de %, provoca um aumento no conjugado mecânco também da ordem de % em pu. A declvdade negatva da curva Tx é estável. Se por um motvo qualquer a velocdade decrescer, o conjugado mecânco cresce, aumentando a aceleração da máquna e fazendo com que a velocdade volte ao seu valor ncal. b) Com regulador de velocdade A característca do regulador de velocdade é a de atuar nas válvulas ou gates das turbnas de forma a acentuar esta característca Tx do sstema, ou seja, para uma queda na velocdade de %, o regulador, em vez de aumentar o conjugado mecânco em apenas %, aumenta muto mas de forma a forçar a velocdade a voltar a seu valor de regme o mas rápdo possível. Ivan Camargo 6

17 ara sto é feto um ajuste na declvdade da característca Tx da máquna. Este ajuste pode ser feto da forma que o projetsta quser, respetando os lmtes da máquna e mantendo a característca estável do sstema, ou seja, uma declvdade negatva. ara que uma varação na carga seja absorvda de forma proporconal por todas as máqunas do sstema, o valor da declvdade da curva, chamada droop characterstc, é normalzado. Nos EUA este valor é ajustado em 5% e na Europa o valor usado é de 4%. Esta característca sgnfca que para uma queda de 5% na velocdade haverá um aumento de 00% no conjugado mecânco. Matematcamente, a equação da reta é dada por: Eq. 36 T = m O valor de, na equação acma está dado em (rad/n.m.s). Colocando em pu na base da potênca aparente da máquna, vem: N.m Eq. 37 T = T T 0 N.m m = m 0 rad/s então, multplcando pela velocdade para se obter uma expressão em termos da potênca, vem: Eq. 38 m = 0 ( ) 0 W Dvdndo-se pela potênca de base: Eq. 39 mu = S B3 ara se obter a declvdade em pu é necessáro que a velocdade também esteja em pu. ara sto, dvde-se o segundo termo por : pu Eq. 40 mu = S Defnndo, então: B3 u pu Ivan Camargo 7

18 Eq. 4 u = S B3. pu então: mu = u pu u É este valor ( u ), em pu, que é normalzado na Europa e nos Estados Undos em 4 e 5 % respectvamente. A curva característca do conjugado em relação a velocdade, da máquna com regulador de velocdade fca, então: Tm T m m fgura : com regulador Esta regulação de velocdade é de regme permanente. Se todas as máqunas tverem a mesma regulação, uma varação da carga va se dvdr gualmente entre as máqunas. Como fo vsto, o valor da declvdade em pu, é dado na base da potênca aparente nomnal da máquna, desta forma, colocando todos os reguladores na mesma base do sstema, da mesma forma que fo feto para o H no tem anteror, as declvdades relatvas vão ser dferentes e a carga va se dstrbur proporconalmente a potênca nomnal de cada máquna. As constantes de tempo do sstema mecânco são, em geral, de ordem de grandeza bem superor que as elétrcas, desta forma, para uma análse ncal smplfcada, é bastante razoável que se consdere que a potênca mecânca fornecda à máquna permaneça constante durante o período transtóro. EXEMLO Ivan Camargo 8

19 Colocar em uma base comum (000MVA, p.ex.) o droop das três máqunas do exemplo anteror, supondo que eles sejam guas a 5%. Solução SB3 ( ss) = 0,05. =,5% S ( maq) u B3 Da mesma forma: u = 5% e 3u = 50%. Como era de se esperar, a dvsão de uma varação de carga se dá proporconalmente à potênca de cada máquna. Ivan Camargo 9

20 5) Conjugado Elétrco Fo vsto anterormente que: Eq. 4 H Tm Te & = pu A análse do conjugado mecânco já fo feta, e, neste tem, va-se fazer uma análse smplfcada do conjugado elétrco. O conjugado elétrco de uma máquna pode ser dado pela segunte expressão geral: T Eq. 43 Te = L [ ] { [ ( θ θ )]}[ ] N.m Onde [] é o vetor de correntes da máquna e [L(θ)] a sua matrz de ndutânca, que é uma função da posção do rotor θ. ercebe-se, então, que o conjugado é função de todas as correntes que crculam na máquna. Estas correntes, por sua vez, dependem das condções do sstema no qual a máquna está lgada. Além dsto, vsto que o conjugado é função da matrz de ndutânca, ele é também função do carregamento magnétco da máquna, ou seja, da sua saturação. Uma smplfcação sgnfcatva na expressão do conjugado é obtda utlzando a transformada de ark. De fato, os enrolamentos do estator podem ser representados por dos enrolamentos fctícos d e q em sncronsmo com o rotor. Com esta representação a matrz de ndutânca da máquna dexa de ser função da posção do rotor e a expressão para o conjugado elétrco pode ser dada por: Eq. 44 T λ λ e = d q q d N.m onde λ d = L d d + km F F + km D D Wb e λ q = L q q + km Q Q Wb Ivan Camargo 0

21 são os fluxos concatenados com os enrolamentos d e q. Uma revsão completa da teora de máqunas síncronas e da transformada de ark será vsta no decorrer do curso, por enquanto va-se fazer uma análse smplfcada. O conjugado elétrco pode ser consderado em dversos níves de aproxmação. Uma prmera aproxmação óbva é obtda desprezando-se os enrolamentos amortecedores de exo dreto e em quadratura. Neste caso, o conjugado passa a ser smplesmente uma função da teração do fluxo produzdo pelo rotor e pelo estator. O fluxo produzdo pelo enrolamento de campo é função da fmm produzda por este enrolamento, ou seja, pelo número de espras e pela corrente de crculação F. Este fluxo é portanto constante e gra à velocdade síncrona. O fluxo produzdo pelo estator é uma composção dos fluxos produzdos por cada uma das fases. A defasagem das espras no entreferro e a defasagem das tensões geradas no tempo produzem o campo magnétco grante da máquna que pode ser vsto como uma fmm grando à velocdade síncrona e de módulo constante. A teração entre estes dos fluxos produz um conjugado que é função do ângulo de defasagem entre eles. Um dagrama fasoral mostra de forma smplfcada esta teração. Chamando de E a tensão produzda pela varação do fluxo produzdo pelo rotor F nas bobnas do estator. Chamando de A o fluxo produzdo pela reação da armadura, ou seja, pela crculação de corrente no estator. O fluxo resultante no entreferro será a soma vetoral destes dos componentes. O fasor de tensão termnal da máquna V será dado pela dervada do fluxo resultante, ou seja, V estará fasoralmente estará atrasado em relação a de 90 graus. A fgura abaxo mostra o dagrama fasoral em regme permanente da máquna. Ivan Camargo

22 A F E I V Fgura 4 Este dagrama representa a máquna síncrona de pólos lsos em regme permanente. O crcuto elétrco equvalente está mostrado na fgura abaxo: I jx E V Fgura 5 Este dagrama em regme permanente ajuda a nterpretar o que ocorre na máquna na ocorrênca de uma perturbação (um curto crcuto por exemplo). A corrente do estator (I) se altera, no entanto, pode-se supor que o fluxo produzdo pelo campo permanece aproxmadamente constante, já que as constantes de tempo do enrolamento de campo são relatvamente grandes. Desta forma, pode-se supor que a tensão produzda por este fluxo (E) também permanece constante. A reatânca efetva da máquna depende da corrente nos dversos enrolamentos. Desprezando o efeto dos enrolamentos amortecedores esta reatânca é dada por X d. Desta forma, com estas smplfcações, pode-se representar a máquna por uma tensão constante atrás da reatânca transtóra de exo dreto, conforme a Fgura 3. Ivan Camargo

23 I X d E V Fgura 6 Supondo que E e V permaneçam constantes, a potênca elétrca fornecda pela máquna se torna função exclusva do ângulo de defasagem entre elas: Eq. 45 = VE X sen d Este modelo é chamado modelo clássco da máquna. Apesar de muto smplfcado ele é de grande utldade para se avalar os prncpas concetos do problema de establdade. W EXEMLO 3 Calcular E e de uma máquna operando lgada a um barramento nfnto (V = pu), fornecendo uma potênca atva de 0,8 pu com um fator de potênca 0,8 ndutvo. A reatânca transtóra da máquna é de 0%. Solução: Tomando V como referênca: V = / 0 pu S = = pu fp S = S / ar cos( 0, 8) = / 36, 9 pu I S = * = / 36, 9 pu V E = E/ = V + jx d I = 34, / 83, pu Como durante o período transtóro o módulo das tensões V e E permanecem constantes, a potênca elétrca fornecda pela máquna será uma função do seno do ângulo de defasagem entre elas: = 5,65 sen. Ivan Camargo 3

24 Ivan Camargo 4

25 Coefcente de Sncronzação Como fo vsto no exemplo anteror, consderando que a máquna opere lgada a um barramento muto forte (uma barra nfnta) pode-se supor que durante o período transtóro o módulo da tensão nterna da máquna E e a do barramento nfnto permanecem constantes. Desta forma, a potênca é uma função do ângulo de defasagem entre elas: Eq. 46 E V =. X + X sen d onde X é a reatânca da lgação entre a máquna e o barramento nfnto. Consdera-se que a máquna esteja fornecendo ncalmente uma determnada potênca 0 que corresponde a um determnado ângulo ncal 0. Havendo uma varação na potênca fornecda haverá também uma varação no ângulo do rotor ( ). Eq. 47 = 0 = + 0 rad Eq. 48 = = + ortanto: Eq = sen( + ) Desenvolvendo o seno da soma: W 0 0 W 0 0 max W Eq = ( sen + sen ) max cos cos W Consderando uma pequena varação do ângulo: Eq. 5 0 Então: sen e cos Smplfcando a equação 5 vem: Eq. 5 = max cos 0 W Defnndo coefcente de sncronzação como: Eq. 53 = cos = Então: s max Eq. 54 = s 0 = Da defnção de coefcente de sncronzação (Eq. 8), observa-se que para que ele seja postvo é necessáro que: Eq π / 0 0 Ivan Camargo 5

26 O coefcente de sncronzação postvo corresponde ao funconamento estável da máquna, ou seja, um aumento na potênca mecânca da turbna provoca uma aceleração da máquna que provoca o aumento do ângulo. Este aumento provoca o aumento da potênca elétrca fornecda que tende a equlbrar a potênca mecânca. O lmte = π / é chamado lmte de establdade estátca ou de regme permanente. Freqüênca Natural de Osclação da Máquna Síncrona Dada uma perturbação em um sstema, os rotores das dversas máqunas nterlgadas vão osclar em torno de um novo ponto de funconamento (ou de um novo ângulo ) até que as osclações sejam amortecdas. Além da osclação do rotor com o sstema, haverá uma sére de outras osclações, por exemplo, a osclação das dversas massas conectadas ao exo. Cada uma destas osclações têm uma freqüênca natural, ou um modo natural de osclação. Neste tem, va-se calcular a freqüênca natural de osclação de um rotor (consderado um corpo rígdo) em relação ao sstema, representando a máquna pelo seu modelo clássco e que a osclação seja sufcentemente pequena para que se possa lnearzá-la em torno de um ponto. ara sto, consdera-se uma máquna lgada a um barramento nfnto através de uma lnha sem perdas (ou seja, através de uma reatânca pura X ). Deseja-se calcular a varação angular em função do tempo para uma pequena perturbação. artndo-se da equação swng, tem-se: Eq. 56 H m e && = pu Da defnção de pequena osclação em torno de um ponto (Eq. ), vem: Eq. 57 && = && já que: & 0 = 0 Então, a equação swng pode ser reescrta como: Eq. 58 H && = m e 0 e pu Consderando que antes da perturbação o sstema estvesse em regme permanente, a potênca mecânca é gual a potênca elétrca ncal, ou seja: Eq. 59 = 0 pu Então: Eq. 60 m e H && = e pu Como fo vsto (Eq. 9), o coefcente de sncronzação relacona a varação da potênca elétrca com a varação do ângulo, portanto, fazendo esta mudança de varáves: Ivan Camargo 6

27 Eq. 6 H && + s = 0 pu que é uma equação dferencal de segunda ordem lnear. EXEMLO esolva a equação 6: Solução: && = s H Defnndo: s osc =, vem: H && = osc, esta equação tem váras soluções, uma delas é dada por: = Ksen osct De fato: & = K osc cos osc t, e && = K osc sen osct = osc, cqd. ortanto, desprezando-se os amortecmentos, o ângulo da máquna va osclar em torno de um valor ncal 0 com uma freqüênca osc. Esta freqüênca é chamada Freqüênca Natural de Osclação. A freqüênca natural de osclação depende do ponto ncal de operação da máquna ( s ) e da nérca da máquna. A ordem de grandeza pode ser faclmente avalada supondo determnadas condções ncas. EXEMLO Avalar a ordem de grandeza da freqüênca natural de osclação de uma máquna lgada a um barramento nfnto. Solução: s osc = H como: = s cos max 0 Supondo um ângulo ncal pequeno: EV s X d + X Supondo anda que a potênca máxma seja gual a potênca nomnal ( pu), com um H=4s, vem: = 377x osc x4 = 6, 86 rad/s osc Então: f osc = = Hz π ode-se observar que para uma máquna maor, = e H = 0, por exemplo, a freqüênca de osclação permanece aproxmadamente a mesma. Consderando o valor ncal do ângulo um pouco maor, observa-se que a freqüênca natural não muda. Ivan Camargo 7

28 Generalzando-se, pode-se afrmar que esta freqüênca está sempre na faxa de a 4 Hz. Este exemplo confrma que a análse transtóra de um sstema elétrco está na ordem de segundo, desta forma, as constantes de tempo muto pequenas como as constantes subtranstóras da máquna e as constantes de tempo mecânca, muto grandes, podem ser desprezadas nesta prmera análse smplfcada. EXEMLO 3 Escrever as equações dferencas do problema massa/mola da fgura abaxo. Determnar K e B de forma a se ter um amortecmento crítco se uma força (f(t)), aplcada a massa M for um degrau untáro. mola (K) x M B Fgura 7 Solução: Consderando uma força f(t) aplcada no corpo de massa M, vem dretamente: Eq. 6 f t M d ( ) = x B dx dt + dt + Kx A solução da equação homogênea é dada por: x = e st portanto: &x = se st e &&x = s e st Substtundo, obtém-se a equação característca do sstema: ( Ms + Bs + K ) e st = 0, ou B K Eq. 63 s + s + = 0, cuja solução é dada por: M M B B 4K s, = ± M M M A solução será puramente osclatóra quando a parte real da raz for gual a zero, ou seja B=0, e ela será puramente amortecda quando a parte magnára for gual a zero, ou seja: B 4 KM EXEMLO 4 Transformar o problema anteror na forma de equação de estado do tpo: &x = Ax + Bu Ivan Camargo 8

29 Solução: Fazendo uma mudança de varáves: x = x e x = dx dt vem: Mx& + Bx + Kx = f ( t ) e &x = x Em forma matrcal: x& B / M K / M x f ( t ) x& = 0 x + 0 É fácl observar que os autovalores da matrz A são guas às raízes da equação característca do sstema. De fato, da defnção de autovalores: det A λ I = 0 B K λ det M M = 0 λ B K Eq. 64 λ λ + = 0 M M Smlar a Eq. 8. Ivan Camargo 9

30 Máquna Contra Barramento Infnto (Modelo Clássco) Um barramento nfnto já fo defndo. É uma barra do sstema onde o módulo da tensão e a freqüênca não varam. Em um sstema real, não exste nenhum barramento com estas característcas. Em geral, a saída de grandes undades geradoras pode ser consderada um barramento nfnto quando o defeto analsado ocorrer a uma dstânca elétrca razoável deste ponto. Consderando uma máquna representada pelo seu modelo mas smples, ou seja, por uma fonte de tensão constante atrás de uma reatânca. Esta máquna está conectada através de uma lnha a um barramento nfnto. A equação swng será dada por: Eq. 65 H d = m e pu dt Deve ser determnada uma expressão para a potênca elétrca e mecânca, de preferênca em função de para se obter a curva (t). A forma mas smples de se obter estas expressões consste em fazer as seguntes aproxmações: # A potênca mecânca permanece constante durante o período transtóro; # O amortecmento é desprezível; # A máquna síncrona pode ser representada por uma tensão constante atrás da reatânca transtóra; # O ângulo mecânco do rotor concde com a fase da tensão nterna; e # A carga pode ser representada por uma mpedânca constante. Estas consderações em conjunto formam o chamado modelo clássco para os estudos de establdade. Como, por defnção, não está representado nem o regulador de tensão, nem o regulador de velocdade, a prmera osclação determna a establdade do sstema. Se o valor de crescer ndefndamente para uma determnada perturbação, o sstema será nstável. or outro lado, se atngr um valor máxmo e dmnur, então o sstema será consderado estável. Ivan Camargo 30

31 Das consderações acma, fca claro que não haverá amortecmento na curva do ângulo nterno da máquna em função do tempo. Suponha o sstema abaxo dado pela defnção do modelo clássco: V t V/0 E/ X d Z L Z s Fgura 8 Como, da defnção do modelo, as tensões nterna da máquna e do barramento nfnto são constantes, é convenente fazer uma redução das barras do sstema à barras de tensão constante. Usando a transformação Y-, a fgura 7- pode ser colocada como: E/ V/0 I y y 0 y 0 Fgura 9 É nteressante notar que y 0 não nterfere no problema de establdade porque está conectado ao barramento nfnto, ou seja, não mporta o seu valor a tensão permanecerá constante. ara se obter a potênca elétrca fornecda pelo gerador basta fazer: Eq. 66 = e( E. I*) A corrente é dada em função da matrz Y por: Eq. 67 I I Y = Y Y Y E. V Onde os termos Y j são os valores complexos da matrz Y bus. Lembrando da formação desta matrz tem-se: Ivan Camargo 3

32 Eq. 68 Y = y0 + y = Y / θ Y = y = Y / θ Usando a barra em cma das varáves para caracterzar o número complexo. Fazendo a substtução da expressão de I na fórmula da potênca e tomando a parte real, tem-se:(obs.: Aqu a smplfcação = e(ei*) = e(e*i) fo utlzada) Eq. 69 = E Y cosθ + EVY cos( θ ) O prmero termo corresponde ao produto da tensão nterna da máquna ao quadrado pela parte real da admtânca própra da barra: Eq. 70 G = Y cosθ = e[ Y ] O ângulo θ corresponde a fase da admtânca de lgação entre a máquna e o barramento nfnto. Se esta admtânca for puramente ndutva, o seu valor será gual a 90 graus. ara smplfcar a notação toma-se: π Eq. 7 γ = θ então, substtundo esta defnção em Erro! Fonte de referênca não encontrada.) e lembrando que: π Eq. 7 cos( ( γ )) ( γ ) = sen obtém-se: Eq. 73 = GE + EVY sen( γ ) ou = C + M sen( γ ) A curva x, consderando a resstênca e a carga conectada à máquna é, então, uma senóde defasada de γ rad no exo horzontal e de C do exo vertcal, como mostra a fgura abaxo: rad M + C C γ Ivan Camargo 3

33 Fgura 0 ara o caso sem carga local e com resstênca desprezível, C = γ = 0 e a curva x se apresenta como fo vsta nos tens anterores. EXEMLO Uma máquna é conectada a um barramento nfnto através de um transformador e um crcuto duplo de lnha de transmssão. Consderando os seguntes dados: V = /0; X d = 0, pu; X T = 0, pu; X LT = 0,4 pu e H = 5 s. A máquna opera ncalmente com tensão termnal gual a,05 pu fornecendo uma potênca atva de 0,8 pu. Determnar a equação swng da máquna nestas condções. Solução: a) Crcuto equvalente j0, j0, j0,4 j0,4 E/ /0 b) Cálculo da matrz de admtânca y Fgura = = j, 0 pu j0, 5 Y = y = j, 0 Y = j, 0 Então: C = γ = 0 e = EVY sen = Esen c) Determnação do valor ncal do ângulo: V = / 0 V t = 05, /θ e = 0, 8 pu X LT ( X T + ) então: θ = arcsen( ) = 3, o VV t d) Determnação da corrente I Vt V = X = 0, 8034/ 5, 9o e) Determnação da tensão nterna E: Ivan Camargo 33

34 E = Vt + jx d I =, / 09, o f) Equação Swng:, * 0, = sen =, sen pu 0, 5 && = ( ) = 37, 7( 0, 8, ) H sen m rad/s Como já fo observado, mesmo neste exemplo muto smplfcado, a equação dferencal que descreve a posção relatva do rotor é não lnear. A sua solução só é possível por métodos de ntegração numérca. EXEMLO Qual sera a equação swng se houvesse um curto crcuto trfásco na saída de uma das lnhas. Consdere que a mpedânca para o neutro seja gual a 0, pu, puramente reatva. Solução: a) Crcuto Equvalente j0, j0, j0,4 E/ j0, /0 Fgura b) Transformação Y. ara fazer esta transformação, é mas convenente trabalhar com admtânca, já que: Eq. 74 Y YY = Y Neste caso partcular tem-se: Y = = j3, 333 j0, 3 Y = = j5, 0 j0, e tomando a barra de referênca como índce 0: Ivan Camargo 34

35 Y 0 = = j0, 0 j0, Substtundo em(0) tem-se: Y j3, 33* j5, 0 = = j0, 909 pu j3, 33 j5, 0 j0, 0 As outras admtâncas podem ser calculadas da mesma forma, no entanto, para este problema partcular elas não apresentam nteresse já que por defnção as tensões no barramento nfnto e na máquna permanecem constantes. c) Equação Swng Dretamente da defnção: =, * 0, 909* sen = 00, sen pu então: && = 37, 7( 0, 8 00sen, ) rad/s EXEMLO 3 Se a proteção atuar elmnando a lnha defetuosa (e o defeto) qual será a nova equação swng? Solução: a) O crcuto equvalente sem uma lnha pode ser vsualzado na fgura acma, e o cálculo da admtânca e da potênca é dreto. Obtém-se então a segunte equação: && = 37, 7( 0, 8 587sen, ) EXEMLO 4 Calcular o ângulo delta em função do tempo para os três exemplos anterores consderando um tempo de abertura da lnha de 50 ms. Calcular por tentatva e erro qual o tempo de abertura crítco. Varar os parâmetros da máquna (H e X d ) para ver a sua nfluênca no tempo crítco. Analsar o artgo do Concorda baseado nestes resultados. Solução: Tem que elaborar um programa de ntegração passo a passo. Utlzar as equações dadas e as condções ncas obtdas nos exemplos anterores. Usando o MATLAB tem-se: tspan = [0.]; x0 = [ 0.368]'; [t,x] = ode3('swng',tspan,x0); plot(t,x(:,)); Ivan Camargo 35

36 functon xponto = swng(t,x) % smulação da equação swng - exemplo fouad xponto = zeros(,); % parâmetros =.587; =.00; tab = 0.5; wr = 377; H = 5; m = 0.8; % equações f(t > tab) xponto() = (wr/(*h))*(m - *sn(x())); xponto() = x()-; else xponto() = (wr/(*h))*(m - *sn(x())); xponto() = x()- ; end; Fgura 3 Neste exemplo não há tempo crítco uma vez que o curto crcuto é muto amenzado pela mpedânca. Consderando um curto-crcuto franco, tem-se: e = 0 durante o curto. ara o tempo de abertura gual a 0,5 segundos o sstema é nstável. ara t = 0,4 ele volta a ser estável como lustra a fgura abaxo: Ivan Camargo 36

37 Fgura 4 O tempo crítco deste exemplo é gual a 40 ms. Ivan Camargo 37

38 Crtéro das Áreas Iguas A establdade de uma máquna contra um barramento nfnto ou de duas máqunas osclando uma contra a outra pode ser avalada de forma smplfcada pelo chamado método das áreas guas. A representação do sstema é feta pelo modelo clássco. artndo-se da equação swng pode-se mostrar que a área sobre a curva () é proporconal à velocdade relatva da máquna. ortanto, a partr de: Eq. 75 H && m e a = = pu Multplcando-se os dos lados por d, ou duas vezes a velocdade angular tem-se: dt Eq. 76 d d dt dt H d = a dt rad /s 3 Colocando em termos da velocdade e lembrando a defnção de dervada de uma função ao quadrado tem-se: Eq. 77 ou anda: Eq. 78 d d dt dt d = = = H d a Integrando e trando a raz quadrada: Eq. 79 H d a dt rad /s 3 rad /s max = a d rad/s H o Se a condção para garantr a establdade do sstema é que a velocdade relatva (em relação à referênca grante prevamente defnda) seja gual a zero, então: Eq. 80 max d = 0 rad/s a 0 Esta ntegral pode ser nterpretada como a área da potênca acelerante em função do ângulo delta. Esta área corresponde a dferença entre a potênca mecânca e elétrca quando ambas são traçadas em função do ângulo delta. No caso do modelo clássco, com a potênca mecânca constante e a potênca elétrca função do seno do ângulo de carga esta área é faclmente vsualzada na fgura abaxo: Ivan Camargo 38

39 m 0 Fgura 5 No caso dos três exemplos analsados na aula anteror, é fácl observar as áreas de aceleração e desaceleração da máquna. É nteressante notar que, neste exemplo, mesmo que não haja abertura da lnha ou a elmnação do defeto, o sstema contnua estável. Consderando um curto trfásco mas severo, por exemplo, sem nenhuma mpedânca de defeto, a potênca elétrca entregue ao sstema durante o curto se anula, neste caso, se não houver a atuação da proteção, o sstema perderá a establdade. Neste novo exemplo, as curva que caracterzam o problema são as senódes prédefeto e pós defeto, já que durante o defeto a potênca elétrca é constante (gual a zero). A fgura abaxo mostra esta stuação caracterzando as áreas de aceleração e desaceleração: max max A m A 0 c m Fgura 6 Observa-se desta fgura que para que o sstema seja estável é necessáro que a área de desaceleração seja maor que a área de aceleração ( A A ). No lmte, quando as duas áreas são guas, a velocdade se anula exatamente no momento em que a aceleração ra mudar de snal. Este ponto é chamado o lmte de establdade transtóra. ode-se determnar o ângulo crítco de abertura gualando-se as áreas A e A. Explctando o valor de c, obtém-se: m Eq. 8 c = cos { [ ( m 0 ) + r cos m r cos 0 ]} r r max Onde: max = otênca máxma pré-defeto; max = otênca máxma durante o defeto; pu Ivan Camargo 39

40 max = otênca máxma após o defeto; r = max / max ; r = max / max ; m 0 = sen ( ) ; e m max m π = sen ( ) > EXEMLO max Calcular o ângulo crítco de abertura dos exemplos anterores consderando a potênca elétrca transmtda durante o curto gual a zero. Solução: Dos exemplos anterores tem-se: m = 0,8 pu; max =, pu; max = 0; e max =,5787 pu. ortanto: r = 0; e r = 0,704.Então: 0 =,09; e m = 49,55. Colocando na expressão do ângulo crítco tem-se: c =74,08 graus. É nteressante notar que a obtenção do ângulo crítco não mplca no conhecmento do tempo crítco de abertura. ara se ter este tempo é necessáro ntegrar as equações dferencas do ângulo em função do tempo e obter o valor do tempo que corresponde ao ângulo crítco. Este ângulo crítco fo calculado no exemplo anteror e corresponde (da Fgura 7) a aproxmadamente,3 rad, ou 75 graus. O tempo crítco de abertura é uma nformação essencal no estudo da establdade de um sstema uma vez que determna a rapdez necessára para o seu sstema de proteção. As áreas A e A podem também ser nterpretadas como a varação da energa cnétca do rotor da máquna. De fato, da defnção de trabalho no movmento rotaconal, vem: = Eq. 8 W Td 0 Colocando esta equação em pu e consderando que a velocdade não é muto dferente da síncrona, pode-se substtur o conjugado desta expressão pela potênca acelerante e a energa cnétca acumulada quando a potênca acelerante é postva tem que ser pelo menos gual a energa cnétca de desaceleração, ou seja as áreas e da fgura acma. É também nteressante notar que transtoramente o ângulo pode assumr valores maores que 90 graus. # Método das áreas guas aplcado a duas máqunas fntas. ara se analsar duas máqunas osclando entre s é necessáro equvalentar as duas máqunas consderando esta máquna equvalente osclando contra um barramento nfnto. ara sto é necessáro uma constante de nérca equvalente, uma potênca mecânca equvalente e uma potênca elétrca equvalente. Tomando as equações swngs de duas máqunas, tem-se: J Ivan Camargo 40

41 Eq. 83 && = ( ) H m e fazendo: então: Eq. 84 && = ( ) H m e = rad && = H H a a rad/s H H Multplcando os dos lados por vem: ( H + H ) Eq. 85 H H ( H + H ) && H ( m ) e H ( m ) e = earranjando a equação e chamando: Eq. 86 H eq = H H H + H H + H s Eq. 87 meq = H H H m m + H pu Eq. 88 vem: Eq. 89 eeq H eq = H H H e e + H && = pu meq eeq Observa-se que a nérca equvalente corresponde a uma composção das nércas das máqunas em paralelo, portanto, corresponde a um valor menor que a nérca de qualquer uma das máqunas. É claro também que, consderando uma máquna com nérca nfnta, esta equação volta a sua formulação ncal. É possível equvalentar um conjunto de máqunas contra um barramento nfnto. Neste caso, em vez da nérca equvalente ser gual ao paralelo das nércas, ele equvale à soma das nércas, ou seja, à sua dsposção em sére. O modelo clássco, apesar de todas suas smplfcações, é de grande nteresse para a compreensão do fenômeno de establdade entre máqunas. No próxmo tem va-se estender este conceto do modelo clássco a um sstema multmáquna. pu Ivan Camargo 4

42 AULA 9 Modelo Clássco para um Sstema Multmáqunas As hpótese báscas contnuam as mesmas do modelo da máquna contra barramento nfnto: # otênca mecânca consderada constante; # Amortecmento desprezível; # Máquna representada pelo modelo da tensão constante atrás da reatânca transtóra (X' d ); # O ângulo de carga () concde com a posção do rotor; e # As cargas são representadas por mpedânca constante. Este modelo é lmtado ao estudo da prmera osclação (frst swng) já que todos amortecmentos elétrcos e mecâncos são desprezados. Uma forma aproxmada de consderar este amortecmento sera a nclusão de um termo de amortecmento (D) na equação swng, ou seja, um termo proporconal à velocdade: Eq. 90 H d d + D = dt dt m e Este coefcente representa os amortecmentos elétrcos e mecâncos do sstema. Um valor razoável, sugerdo por Crary, é de a 3 pu. A representação da carga por mpedânca constante smplfca bastante as equações do sstema: torna o sstema passvo (ou seja, representado por uma matrz YBUS que pode ser reduzda às barras nternas das máqunas). Esta representação é aproxmada já que o comportamento da carga com a tensão depende, evdentemente, das característcas da carga. As três formas usuas de representação da carga são: potênca constante, corrente constante, e mpedânca constante. A Fgura, abaxo, descreve a varação da potênca consumda pela carga em função da varação da tensão: (pu) Z cte I cte cte pu V(pu) Fgura 7: Característca da carga Ivan Camargo 4

43 Em estudos de fluxo de carga, a carga é representada pela potênca constante. Em estudos de establdade, usando programas bem elaborados, as cargas podem ser representadas por uma composção dos três modelos. Evdentemente a representação detalhada das cargas deve se restrngr às maores cargas do sstema. A representação correta das cargas é muto mportante para um estudo de establdade. No modelo clássco, multmáqunas, as cargas são ncalmente representadas pela sua potênca quando é rodado um fluxo de carga. Em seguda, com o valor das tensões nos barramentos de carga e da sua potênca o valor da mpedânca (ou admtânca) equvalente é obtdo e a matrz de admtânca é alterada de forma a ncorporar estes valores. Fnalmente esta mesma matrz é reduzda às barras nternas dos geradores transformando o sstema passvo em uma matrz smples de conexão entre as barras de geração. As tensões nternas dos geradores também é calculada a partr dos resultados do fluxo de carga. Um esquema equvalente do sstema de potênca com n geradores pode ser vsto na Fgura abaxo: X' d E L X' d E SISTEMA L X' dm L n E m Fgura 8: epresentação Smplfcada do Sstema As equações que descrevem o sstema passvo e lnear podem ser colocadas em sua forma matrcal: Eq. 9 I = [ Y ]E BUS Onde [Y BUS ] é a matrz de admtânca de barra do sstema reduzdo às barras de geração. I é o vetor dos fasores das correntes njetadas nas n barras, e E o vetor dos fasores das tensões nternas. A potênca elétrca fornecda a cada nstante pelas fontes (com varando de a n ) é dada por: Eq. 9 = e( E. I *) Substtundo o valor da corrente complexa conjugada da expressão acma tem-se: Ivan Camargo 43

44 Eq. 93 = E G + n j= ( ) E E Y j j cos( j + ) θ ( =, n) j onde: Eq. 94 Y /θ = G + = Y jb Eq. 95 Y /θ = G + j = Yj j j jb j Ou anda: Eq. 96 = E G + n j= ( ) E E [ B sen( ) + G cos( )] j j j j j A potênca mecânca é calculada a partr da potênca elétrca no nstante ncal e mantda constante. Eq. 97 m n = E0 G + E0E j0[ Bj sen( 0 j0 ) + Gj cos( 0 j0 )] j= ( ) A equação swng a ser resolvda, dvdda em duas equações de prmera ordem será dada por: Eq. 98 H & + D = & = m e Estas equações têm que ser resolvdas, em função do tempo, consderando que a matrz [Y BUS ] sofre alterações devdo a defetos, aberturas de lnhas, perdas de cargas, ou qualquer outro problema que venha a ocorrer no sstema elétrco. A resolução, passo a passo de um problema de establdade é bastante nteressante uma vez que esclarece as dfculdades de cada passagem. or outro lado mostra que a elaboração de um programa que execute estas passagens não é complcado. Evdentemente, pode-se sofstcar bastante um programa de establdade no entanto este modelo smples mostra os concetos prncpas. Na bblografa exstem dversos problemas resolvdos. No lvro do Stagg [4] tem a resolução de um problema de cnco barras, no do Stevenson [0] aparece a resolução de um problema semelhante de três barras. Va-se detalhar, a segur o problema de 9 barras do Anderson & Fouad []. Ivan Camargo 44

45 EXEMLO Analsar a establdade transtóra do sstema da fgura abaxo consderando que ocorra um curto-crcuto na barra 7 e que a proteção atue elmnando o defeto em 50 ms. Fgura 3: Exemplo de estudo de establdade Transtóra com 9 barras O prmero passo é a obtenção dos dados do sstema. Os dados de lnha e de transformadores estão mostrados na Tabela. Os dados de lnha são normalmente dados em função do comprmento da lnha, em Ω/km para resstênca e reatânca e em nf/km para capactânca. O transformador é representado pela sua reatânca de dspersão e é dado em pu na base da sua potênca nomnal. Como ambos lgam duas barras, eles são chamados de elementos de lgação e um dentfcador tpo = ou tpo =, defne em termos de programação o que é a lgação. Tabela : Dados de lgação de para tpo resstenca reatanca =LT (ohm/km) (ohm/km) cap(nf/km) comp.(km) =T (pu) (pu) Snom(MVA) Da mesma forma, são necessáros os dados de barra. Tabela : Dados de barra Ivan Camargo 45