BOA PROVA! Carmelo, 28 de setembro de Prova Teórica

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1 Carmel, 28 de setembr de 2016 Prva Teórica O temp dispnível é 5 hras. Cada prblema deve ser respndida em diferentes páginas, nã misturar prblemas em uma faceta. Pedir mais flhas se tal fr necessári. Pdem-se utilizar tdas as flhas de rascunh que frem necessárias. Cntud estas nã se devem entregar cm flha de respsta. A crreçã ds prblemas será anónima, pr iss as flhas de respsta nã devem cnter nenhum dad que pssa identificar (a) alun(a). O talã abaix preenchid deve ser entregue junt cm as flhas de respsta. Tdas as flhas de respsta deverã estar numeradas da seguinte frma: númer da página / númer ttal de páginas. BOA PROVA! Sbrenme: Nme: País: Númer de flhas entregues: Assinatura

2 Prva Teórica Prblema Nº 1 PROVA TEÓRICA Prblema Nº 1 O LIGO n an das Ondas Gravitacinais (e n seu centenári). Albert Einstein desenvlveu a Teria Relatividade Geral (RG) numa série de artigs que publicu entre 1915 e Esta teria alteru cnceit newtnian de espaç, temp e de gravitaçã. A equaçã para camp gravitacinal na RG descreve cm a massa e a energia mdificam a gemetria d espaç-temp. Nas palavras d grande físic Jhn Wheeler: " A matéria diz a espaç-temp cm se curvar. O espaç-temp diz à matéria cm se mver." Entre utras cisas, a RG prevê a existência de fenómens/fenômens exótics cm s buracs negrs e as ndas gravitacinais. Os buracs negrs sã bjets tã massivs que curvam espaç-temp de maneira que nem a luz pde escapar deles. As ndas gravitacinais sã scilações d espaç-temp que se prpagam à velcidade da luz. A passagem de uma nda gravitacinal mdifica espaç-temp de tal md que uma distância L entre dis pnts se vê alterada pr uma quantidade L. A defrmaçã (strain) h de uma nda gravitacinal é definida cm quciente entre ambs, h= Δ L (1) L Em geral estas ndas sã muit puc intensas, a mens que as massas e acelerações envlvidas sejam extremamente altas. Os melhres candidats a fntes de ndas gravitacinais bserváveis sã bjets astrnómics/astrnômics extrardináris, cm pr exempl sistemas de estrelas binárias muit próximas que rdam a grande velcidade. Mesm assim, as ndas prduzidas sã tã fracas que se duvidu pr muit temp que se pudessem detectar diretamente. Segund a RG, a ptencia P emitida na frma de ndas gravitacinais pr um sistema binári é dada aprximadamente pr P c3 (π h f r ) (2) G nde h é a defrmaçã a uma distância r da fnte e f é a frequência d sinal detectad. G = 6,67x10-11 N m 2 /kg 2 é a cnstante de gravitaçã universal e c = 3,00x10 8 m/s é a velcidade da luz. Devid à fraca intensidade d sinal prduzid pelas ndas gravitacinais, a bservaçã direta deste fenómen/fenômen é um desafi que necessitu avançs tecnlógics excepcinais. Rnald Drever, Rainer Weiss e Kip Thrne estã entre s primeirs cientistas que prpuseram a detecçã de ndas gravitacinais através da interfermetria. Fi entã criad prjet LIGO (Light Interfermeter Gravitatinal-wave Observatry), que é cnstituíd atualmente pr dis bservatóris: Lig Hanfrd e LIGO Livingstn que se encntram a uma distância de 3002 km um d utr. Estes bservatóris pdem ser visualizads cm dis micrfnes gigantes que permitem detectar as vibrações gravitacinais d espaç-temp d mesm md que um micrfne detecta as vibrações das ndas snras. Cada bservatóri é cmpst pr dis braçs perpendiculares entre si, cada um cm 4,0 km de cmpriment. O efeit de uma nda gravitacinal é reduzir as distâncias numa direçã e aumentar simultaneamente as distâncias na direçã perpendicular. Deste md, quand uma nda gravitacinal passa pel interferómetr/interferômetr, cmpriment ds braçs scila cm a mesma frequência da nda gravitacinal: quand cmpriment de um ds braçs diminui, d utr braç aumenta, e vice-versa. Para medir esta defrmações prduzidas pela nda gravitacinal é usad um sistema cnstituíd principalmente pr um LASER e pr váris espelhs (Fig.1). Para reduzir as vibrações prduzidas pel mei envlvente s espelhs estã pendurads numa suspensã quádrupla similar a uma cmbinaçã de pênduls. XXI Olimpíada Iber-americana de Física, Carmel, Uruguai, /4

3 Prva Teórica Prblema Nº 1 Fig. 1 - Esquema d interferómetr/interferômetr Imediatamente após uma atualizaçã d equipament (Advanced LIGO) cncluída em agst de 2015, LIGO teve seu grande dia em 14 de setembr de Nesse dia fi bservada uma nda gravitacinal pela primeira vez na história, mesm a temp de celebrar s 100 ans da previsã teórica de ndas gravitacinais realizada pr Einstein. O sinal detectad pels dis bservatóris está mstrad na Fig.2 (defrmaçã h em funçã d temp). As ndas gravitacinais fram detectadas primeir n LIGO Livingstn e 6,9 ms mais tarde n LIGO Hanfrd. A análise d sinal cncluiu que as ndas gravitacinais bservadas eram cmpatíveis cm ndas geradas n claps de um sistema binári de dis buracs negrs cm massas aprximadas m A = 35 M S e m B = 30 M S, nde M S = 2,0x10 30 kg é a massa d Sl. A este event deu-se nme de GW (Gravitatinal Wave 2015 September 14). A descberta fi anunciada publicamente n dia 11 de fevereir de 2016, juntamente cm a publicaçã d artig científic crrespndente na revista Physical Review Letters, inaugurand assim a nva era da astrnmia de ndas gravitacinais. Fig. 2 Sinal detectad ns bservatóris LIGO. Defrmaçã (strain) h em funçã d temp t. XXI Olimpíada Iber-americana de Física, Carmel, Uruguai, /4

4 Prva Teórica Prblema Nº 1 Neste prblema serã explrads alguns aspets da física d event GW PARTE 1. Escutar univers : Detecçã de ndas gravitacinais. (2 pnts) 1a) (0,9 pnts) Para ter uma nçã da sensibilidade d LIGO, cnsidere uma abelha cm 0,10 g de massa que se encntra a 10 m de um ds espelhs. Determine deslcament d que a abelha prduz nesse espelh devid à atraçã gravítica que exerce. Cnsidere um mdel simplificad n qual espelh se encntra suspens num pêndul simples de cmpriment 1,0 m. Este tip de perturbaçã n instrument designa-se pr ruíd newtnian. d 1,0 m 10 m Fig. 3 Diagrama para a parte 1a. 1b) (0,4 pnts) A partir da infrmaçã d sinal bservad (Fig.2), determine deslcament máxim d espelh quand passu a nda gravitacinal. Cmpare esta distância cm a calculada na pergunta anterir e cm a rdem de magnitude de um prtã/prótn (igual a 1 femtómetr/femtômetr). 1c) (0,7 pnts) Determine a direçã da fnte que riginu as ndas gravitacinais. Cm este bjetiv, calcule ângul entre vetr psiçã da fnte e plan perpendicular a segment de reta que une s dis bservatóris. (Cm a infrmaçã dispnível só pdems determinar um arc pssível para a lcalizaçã da fnte.) θ fuente LIGO Hanfrd LIGO Livingstn Fig. 4 Diagrama para a parte 1c (fra de escala) XXI Olimpíada Iber-americana de Física, Carmel, Uruguai, /4

5 Prva Teórica Prblema Nº 1 PARTE 2. Dança cósmica : Sistemas bináris. (3,5 pnts) Cnsidere um sistema binári frmad pr duas estrelas cm massas m A e m B. Cada uma se mve num mviment circular unifrme em trn d centr de massa d sistema. A distância entre as duas estrelas é a. Cnsidere um mdel newtnian sem crreções relativistas. 2a) (1,3 pnts) Determine a frequência f de rtaçã d sistema. 2b) (0,7 pnts) Determine módul da velcidade de cada estrela v A e v B, em funçã da distância a e das massas m A e m B. 2c) (0,9 pnts) Determine a energia mecânica d sistema E, em funçã da distância e das massas. 2d) (0,6 pnts) De acrd cm que calculu até agra, se pr algum mtiv sistema perder energia: 2d1) Cm varia a distância entre as estrelas? Aumenta, diminui u se cnserva? 2d2) Cm varia a frequência? 2d3) Cm varia a velcidade? Justifique as suas respstas. PARTE 3. Música das esferas : Radiaçã das ndas gravitacinais. (2,5 pnts) De acrd cm a teria newtniana da gravidade, s sistemas bináris deveriam ser estáveis, mantend-se perpetuamente em órbita. N entant, de acrd cm a RG, certs sistemas acelerads emitem ndas gravitacinais cm as cargas elétricas aceleradas também emitem ndas eletrmagnéticas. Ist significa que s sistemas gravitacinais nã sã estáveis: devid à emissã da radiaçã gravitacinal, sistema perde energia e, cnsequentemente, a distância entre s crps diminui. Este prcess pde ser estudad, de uma frma aprximadamente quase-estática, utilizand apenas a física newtniana, até a distância entre as estrelas ser igual à mínima distância de órbita estável (ISCO, innermst stable circular rbit). De acrd cm a RG, a ISCO = 6G M c 2, nde M é a massa ttal d sistema. Quand sistema atinge este pnt, s crps cmeçam a cair rapidamente da direçã um d utr, e é necessári utilizar a RG (e super-cmputadres) para prever seu mviment exat. Finalmente dá-se uma clisã entre s dis crps, e se frem bjets cmpacts (cm estrelas de neutrões/nêutrns, buracs negrs, etc.), acabam pr se fundir num bjet que cntinua emitind ndas gravitacinais até se estabilizar. Supnha que em t = 0, s dis buracs negrs se encntram a uma distância muit grande, de tal frma que a energia mecânica d sistema se pde cnsiderar praticamente nula, E 0 = 0. A interagir gravitacinalmente, eles cmeçam a rbitar em trn d seu centr de massa. Através d mecanism de radiaçã gravitacinal sistema perde energia de md que em t = t ISCO a distância entre s dis buracs negrs é a = a ISCO. Para s dis buracs negrs crrespndentes a event bservad n instante t = t ISCO : 3a) (0,7 pnts) Determine a distância entre eles. 3b) (0,6 pnts) Determine a frequência de rtaçã d sistema. 3c) (0,6 pnts) Determine módul da velcidade de cada burac negr. 3d) (0,6 pnts) Determine a energia gravitacinal libertada pel sistema entre t = 0 e t = t ISCO. PARTE 4. Cnclusã : Claps e diminuiçã da massa. (2 pnts) Depis de t = t ISCO, sistema binári clapsu em apenas 20 ms, e s buracs negrs fundiram-se num só cm uma massa m = 62 M S.. 4a) (0,7 pnts) Determine a ptência irradiada pel sistema durante esses 20 ms. Expresse essa ptência num múltipl da luminsidade d Sl (L S = 3,85x10 26 W). 4b) (1,3 pnts) A partir da ptência calculada e da amplitude d sinal detectad (Fig.2), estime a distância, em ansluz, a que se encntrava sistema binári que geru as ndas gravitacinais bservadas. (Segund a Fig.2, a frequência d sinal bservad na regiã de máxima amplitude d sinal é aprximadamente 150 Hz.) XXI Olimpíada Iber-americana de Física, Carmel, Uruguai, /4

6 Prva Teórica Prblema Nº 2 PROVA TEÓRICA Prblema Nº 2 Smartphne: um labratóri de bls. Os smartphnes u telefnes inteligentes trnaram-se, ns últims ans, mnipresentes e a sua utilizaçã fi bem mais lnge d que inicialmente previst, send utilizads inclusive n ensin da Física. A capacidade de prcessament destes dispsitivs, em cnjunt cm s sensres incrprads, cnverteram-ns em verdadeirs labratóris prtáteis, capazes de medir diferentes quantidades físicas cm a aceleraçã, a velcidade angular, camp magnétic, a luminsidade, a pressã e utras. O acelerómetr/acelerômetr e girscópi sã ds seus sensres mais utilizads. O primeir mede a aceleraçã e segund mede a velcidade angular. Ambs s sensres sã tri-axiais u seja sã cnjunts de três sensres que medem as três cmpnentes rtgnais de cada quantidade, segund um sistema de eixs de referência slidári cm dispsitiv, tal cm se mstra na figura 1; eix ds z é perpendicular a ecrã/à tela d smartphne. Fig. 1 Ejes cnvencinales de un smartphne. Parte 1: Sensr de aceleraçã. (4 pnts) O acelerómetr/acelerômetr é um sensr micrscópic que mede, na realidade, frça pr unidade de massa. A O acelerómetr/acelerômetr é um sensr k micrscópic que, de uma frma m simplificada, se pde mdelar cm uma eje del sensr partícula de massa m (massa de prva) ligada a uma mla cm cnstante elástica k. d Quand sistema é acelerad, a massa de prva mve-se e deixa a psiçã de equilíbri. Para determinar deslcament Fig. 2 Esquema simplificad de um acelerómetr/acelerômetr da massa de prva e, cnsequentemente, cm tecnlgia capacitiva. determinar a aceleraçã pdem ser usadas diferentes tecnlgias cm piezeléctrica, piezresistiva u capacitiva. Pdems entender funcinament de um acelerómetr/acelerômetr que se baseia na tecnlgia capacitiva cm a mntagem ilustrada na Fig. 2, nde uma placa metálica quadrada de área A e massa desprezável está ligada a uma massa de prva e é paralela a uma segunda placa metálica fixa, frmand um cndensadr/capacitr de capacidade Cx. Quand a frça da mla é nula, as placas estã separadas pr uma distância d. O eix d sensr é definid cm a direçã em que a massa de prva tem liberdade para se mvimentar (neste cas a direçã a lng d cmpriment da mla). Em td este prblema cnsidere que as frças electrstáticas sã desprezáveis. N nss cas vams cnsiderar um acelerómetr/acelerômetr simplificad que se baseia na tecnlgia dissipativa cm se mstra na Fig. 2. XXI Olimpíada Iberamericana de Física, Carmel, Uruguai, /3

7 Prva Teórica Prblema Nº 2 1a) (0,6 pnts) Cnsiderand que eix d sensr permanece hrizntal, determine deslcament s da placa à esquerda n cndensadr/capacitr quand sistema se mve cm uma aceleraçã cnstante a para a direita. Cnsidere que s deslcaments para a direita sã psitivs. 1b) (1,7 pnts) Determine C x cm uma funçã linear da aceleraçã cnsiderand s << d. A capacidade C x quand s = 0 define-se cm send C 0. [Sugestã: Recrde que se u << 1, entã (1 + u) n 1 + n u.] O cndensadr/capacitr C x liga-se a um utr cndensadr/capacitr fix C 0. O sistema frmad pr C x e C 0 permanece islad e carregad de md a que quand s = 0, a diferença de ptencial entre as placas ds cndensadres/capacitres seja V 0. 1c) (1,7 pnts) Mstre que a diferença de ptencial V s entre as placas ds cndensadres/capacitres é, aprximadamente, uma funçã linear da aceleraçã d sensr e é dada pr V s = V 0 ( 1 + β a). Determine β em funçã ds parâmetrs d acelerómetr/acelerômetr. Parte 2: Princípi de equivalência. (1,8 pnts) Uma das ideias mais brilhantes de Einstein é princípi de equivalência qual afirma que, num sistema islad, é impssível distinguir entre um camp gravitacinal e um referencial nã-inercial (acelerad). Supnha que acelerómetr/acelerômetr é clcad n chã de um elevadr/ascensr cm seu eix rientad verticalmente e para cima. Determine a aceleraçã a reprtada pel sensr ns seguintes cass: 2a) (0,6 pnts) elevadr/ascensr permanece em repus em relaçã à Terra; 2b) (0,6 pnts) elevadr/ascensr está em queda livre; 2c) (0,6 pnts) elevadr sbe cm aceleraçã a. Parte 3: Pêndul físic (4,2 pnts) Uma barra de cmpriment L e massa M pde rdar livremente num plan vertical, em relaçã a um eix que passa pr um ds seus extrems. N utr extrem é fixad um smartphne de tal frma que seu eix y apnte para eix de rtaçã, eix z é paralel a eix de rtaçã e eix ds x é perpendicular à barra. O smartphne tem massa m e pde ser tratad cm uma massa pntual que se encntra à distância L d eix de rtaçã. Cnsidere que mment de inércia ttal da barra e d smartphne é I. Cnsidera-se um utr sistema cartesian (x, y ), cm rigem n eix de rtaçã, send x eix hrizntal cm se indica na figura 3. O acelerómetr/acelerômetr d smartphne dá s valres de a x, a y e a z e girscópi reprta s valres da velcidade angular ω x, ω y e ω z. É imprtante destacar que para esta cnfiguraçã d sistema se tem sempre, em tds s instantes, a z = 0, ω x = 0 e ω y = 0 independentemente das cndições iniciais. Determine a psiçã d smartphne n sistema de referencia (x, y ), em funçã ds parâmetrs d pêndul (M, L, m, I) e das medidas efetuadas cm telemóvel/celular (a x, a y, e ω z ) num cert instante de temp. XXI Olimpíada Iberamericana de Física, Carmel, Uruguai, /3

8 Prva Teórica Prblema Nº 2 y' O' M,L,I x' y m x Fig. 3 Barra cm smartphne que pde girar livremente em relaçã à rigem de crdenadas O'. XXI Olimpíada Iberamericana de Física, Carmel, Uruguai, /3

9 Prva Teórica Prblema Nº 3 PROVA TEÓRICA Prblema Nº 3 Prpulsr magnethidrdinâmic. Um prpulsr magnethidrdinâmic elementar (MHD), que cnsiste em uma caixa ca de cmpriment L, largura a e altura h, é submers em um fluid cm cndutividade elétrica σ (a cndutividade é definida cm invers da resistividade). A face inferir e a superir da caixa sã metálicas e estã ligadas a uma fnte de crrente cntínua cm diferença de ptencial V, que estabelece uma crrente elétrica perpendicular às placas. As faces de dimensões L e h, sã dis ímanes/ímãs retangulares nã cndutres, de md que dentr da caixa se estabelece um camp magnétic de módul B, que será dit aprximadamente unifrme, hrizntal na direçã indicada na figura 1. Fig. 1 - Vista em perspectiva d prpulsr MHD. Fig. 2 - Vista traseira d prpulsr MHD. XXI Olimpíada Iber-americana de Física, Carmel, Uruguai, /2

10 Prva Teórica Prblema Nº 3 a) (1,4 pnts) Para que prpulsr seja impulsinad para a direita, determine se a placa superir é psitiva u negativa, justificand a sua respsta. Escreva a expressã para a frça aplicada pel prpulsr MHD sbre fluid. b) (2,8 pnts) Para par de ímanes/ímãs cnsiderads, a intensidade d camp magnétic depende da distância a, e é dada pr B(a) = a, nde a é dad em metrs e B em Tesla. Esta relaçã linear é válida para distâncias cmpreendidas entre 0,005 m e 0,025 m. Escreva a expressã para a distância a entre s ímanes/ímãs para qual a frça gerada pel prpulsr MHD é máxima e determine seu valr. Determine valr d camp magnétic para essa distância. c) (1,4 pnts) Se cnstrói um prpulsr MHD para funcinar em água salgada, cm a largura a calculada n item anterir, cmpriment L = 12 cm e altura h = 2,0 cm. A fnte é uma bateria de V 0 = 9,0 V e resistência interna r i = 1,1 Ω. A cndutividade elétrica da água salgada é σ = 4,8 Ω -1 m -1. Escreva a expressã para a intensidade de crrente elétrica e determine seu valr. Determine a frça gerada pel prpulsr MHD. d) (4,4 pnts) Cnstrói-se um pequen barc de brinqued que é impulsinad pel prpulsr MHD d item anterir. O barc é uma caixa prismática de 10 cm de largura, 6 cm de altura e cm mesm cmpriment d prpulsr (Fig. 3). A massa ttal d barc, incluind a bateria e prpulsr é m = 215 g. A mver-se, a água se põe a mviment d barc cm uma frça de arrast/atrit que é da frma F a = 1 2 ρ C A v2, nde ρ=1, kg/m 3 é a densidade da água cm sal, C é ceficiente de arrast, que depende d frmat d barc, e vale nesse cas C=1,2, A é a área frntal em cntat cm a água e v é a velcidade relativa entre barc e a água. Escreva a expressã para a velcidade terminal (aceleraçã nula) cm que barc viaja e determine seu valr. 6,0 cm h a 10 cm Fig. 3 - Dimensã d barc de brinqued L = 12 cm XXI Olimpíada Iber-americana de Física, Carmel, Uruguai, /2