FERRAMENTA COMPUTACIONAL DE APOIO AO ENSINO DO MÉTODO DE ANÁLISE HIERÁRQUICA EM CURSOS DE GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

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1 FERRAMENTA COMPUTACIONAL DE APOIO AO ENSINO DO MÉTODO DE ANÁLISE HIERÁRQUICA EM CURSOS DE GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Marcelo Ruy (UFU-FACIP) Verica Marconi Freitas de Paula (UFU-FACIP) No exercício de suas funções, o engenheiro de produção está constantemente avaliando e optando por cursos de ação que envolvem o estabelecimento de trocas e compensações entre múltiplos critérios conflitantes. Atualmente, um dos métodos maiis utilizados para a resolução deste tipo de problema é o Método de Análise Hierárquica (AHP). Ele permite a quantificação de diversos aspectos subjetivos da decisão, possibilitando seu tratamento objetivo. Assim, não há motivos para que o ensino deste método seja negligenciado durante a graduação. Muito embora o AHP tenha princípios simples e intuitivos, sua operacionalização demanda a utilização de ferramentas computacionais, assim como qualquer método quantitativo. O objetivo do presente trabalho é propor uma ferramenta computacional de apoio ao ensino do AHP em nível de graduação. Os cálculos do método foram implantados no Microsoft Excel 2007, programando-se funções na sua linguagem, o Visual Basic. Todas as funções foram testadas com relação à sua correção, aplicando-os a diversos problemas com resultados conhecidos disponíveis na literatura. O resultado foi uma ferramenta simples e com os algoritmos necessários para se executar as etapas quantitativas principais do AHP. Palavras-chaves: Ensino de Engenharia de Produção; Pesquisa Operacional; Decisão Multicriterial; AHP.

2 1. Introdução Segundo Tsouflas & Pappis (2008), a Decisão Multicriterial é uma área da Pesquisa Operacional (PO) que estuda métodos de escolha de alternativas de ação que levam em consideração um conjunto de objetivos e critérios que podem ser multidimensionais e conflitantes. É ideal em situações quando é necessário determinar uma solução onde nenhuma alternativa é melhor em todos os critérios. Önüt, Kara & Işik (2009) explicam que a Decisão Multicriterial é dividida em dois ramos, dependendo do número de alternativas em consideração (finito ou infinito). Nos métodos de Tomada de Decisão com Múltiplos Objetivos, as alternativas não são pré-determinadas, mas determinadas a partir de um conjunto de funções objetivo contínuas a serem otimizadas, sujeitas a uma série de restrições. Nos métodos de Tomada de Decisão com Múltiplos Atributos, um número finito de alternativas é avaliado em relação a uma série de atributos, normalmente difíceis de serem quantificados. De acordo com Kahraman (2008), a Tomada de Decisão com Múltiplos Atributos pode ser decomposta em duas correntes principais: (i) métodos compensatórios (quando um alto desempenho em um atributo pode parcialmente compensar um baixo desempenho em outro); (ii) métodos não compensatórios ou de sobreclassificação. Estudos de Sipahi & Timor (2010) indicam que um dos métodos compensatórios mais utilizados e que experimentou um crescimento exponencial nos anos recentes é o Método de Análise Hierárquica (Analytic Hierarchy Process AHP). O AHP permite a quantificação de diversos aspectos subjetivos da decisão, possibilitando seu tratamento objetivo. Nele, gera-se um vetor com a mensuração das prioridades relativas de um conjunto de elementos em relação a um determinado objetivo (SAATY, 1990). Suas principais vantagens, com relação a outros métodos compensatórios são: (i) possibilidade de manipular com facilidade atributos intangíveis, bastando uma noção qualitativa de importância entre os elementos em consideração (NIEMIRAA & SAATY, 2004); (ii) permite detectar e calcular o grau de inconsistências nos julgamentos do tomador de decisão (MUSINGWINI & MINNITT, 2008); (iii) permite derivar de dados tanto quantitativos, quanto qualitativos, vetores de prioridades que possuem propriedade de escala de razão (FORMAN & SELLY, 2001). Tipicamente, os usos do AHP envolvem escolha, priorização ou avaliação de alternativas. Alguns exemplos de aplicações em Engenharia de Produção são: seleção de fornecedor; problemas de localização; seleção de sistemas ERP; escolha de projetos e concepções de produtos; avaliação da cadeia de suprimentos; avaliação ambiental de produtos, processos e plantas industriais; medição de desempenho; análise de portfólio; e em conjunto com as matrizes do QFD, a análise SWOT e o BSC. O que explica, em grande parte, sua popularidade na solução de uma ampla gama de problemas é fato de o AHP ser facilmente entendido. Ele conjuga rigor matemático com um método intuitivo de estruturação e resolução de problemas com múltiplos critérios. Na realidade, como a lista anterior deixa claro, no exercício de suas funções, o engenheiro de produção está constantemente avaliando e optando por cursos de ação que envolvem o estabelecimento de trocas e compensações entre múltiplos critérios conflitantes. Assim, não 2

3 há motivos para que o ensino deste ou de outros métodos multicritério sejam negligenciados durante a graduação. Por outro lado, muito embora o AHP tenha princípios simples e intuitivos, sua operacionalização demanda a utilização de ferramentas computacionais, assim como qualquer método quantitativo. Obviamente, há no mercado excelentes softwares de AHP, inclusive gratuitos. Contudo, em se tratando de ensino, o mais importante não é o resultado final ou a produtividade na aplicação da ferramenta, mas entendimento da base matemática dos cálculos efetuados e o porquê de sua utilização. Có & Farias Filho (2007), apoiados em um caso prático, obtiveram evidências de que o uso de ferramentas computacionais aplicadas na solução passo a passo de problemas interdisciplinares (como os exemplos apresentados na lista anterior) rende uma estratégia de ensino-aprendizagem eficaz e motivadora. Dessa maneira, o objetivo do presente trabalho é propor uma ferramenta computacional de apoio ao ensino do AHP em nível de graduação. Optou-se por implantar os cálculos do AHP no Microsoft Excel 2007, programando-se funções na sua linguagem, o Visual Basic (VBA), devido ao fato de a planilha eletrônica ser amplamente difundida e também muito valorizada pelo mercado de trabalho. Para se atingir esse objetivo, a seguinte metodologia foi adotada. Inicialmente, foi empreendida uma pesquisa bibliográfica na literatura de AHP, de forma a se levantar os requisitos quantitativos do método. A seguir, foram pesquisados métodos numéricos e algoritmos capazes de resolver os problemas arrolados no passo anterior. Nas situações onde houve mais de um algoritmo para se atingir um mesmo objetivo, optou-se por aquele que a literatura evidenciava como o melhor ou mais adequado. Em um terceiro momento, tais algoritmos foram programados em VBA e implementados no Excel Por fim, todos foram testados com relação à sua correção, aplicando-os a diversos problemas com resultados conhecidos disponíveis na literatura. Este trabalho encontra-se estruturado em três partes. A primeira versa a respeito do AHP e suas principais etapas. A segunda mostra os algoritmos necessários para a execução das etapas quantitativas deste método. Na última parte são apresentadas as considerações finais do trabalho. Adicionalmente, o Apêndice mostra o primeiro e principal algoritmo transcrito para a linguagem de programação VBA. Infelizmente, por uma restrição de espaço, não é possível apresentar os demais algoritmos em VBA no Apêndice (são mais três). Os interessados podem solicitar aos autores deste artigo, via , a planilha em Excel com todos eles. 2. O Método de Análise Hierárquica Segundo Saaty (2005), o AHP é uma teoria de medida relativa, principalmente para critérios intangíveis. Nesta abordagem, uma escala de prioridades é derivada de comparações entre os elementos aos pares. Nos métodos de medição tradicionais, tem-se uma escala prévia, onde cada elemento é comparado, um a um, com a escala. De acordo com Forman & Selly (2001), o AHP é baseado em três axiomas: comparação recíproca, homogeneidade e independência. O primeiro axioma declara que a comparação dos elementos A e B, relativamente ao elemento C a que eles se ligam na hierarquia, deve ser o inverso da comparação de B com A. Por exemplo, se A é 5 vezes maior que B em certa propriedade, B é 1/5 maior que A nesta mesma propriedade. O segundo axioma expressa que, ao se construir uma hierarquia de objetivos, os elementos devem ser agrupados em níveis de 3

4 tal forma que os agrupamentos não contenham elementos com mais de uma ordem de grandeza de diferença. O terceiro axioma é necessário para que o problema possa ser estruturado como uma hierarquia. Ele afirma que os julgamentos ou prioridades dos elementos de um nível não podem depender dos níveis inferiores. Caso isto não ocorra, temse uma rede e deve-se utilizar o Método de Análise em Redes (Analytic Network Process ANP), que é uma generalização do AHP (SAATY, 2005). Goodwin & Wright (2004) resumem o AHP em quatro etapas principais: - Etapa 1: montar a hierarquia de decisão; - Etapa 2: comparar critérios e alternativas aos pares. Isto é utilizado para se determinar a importância relativa dos critérios em relação ao objetivo e para se determinar o desempenho de cada alternativa com relação aos critérios; - Etapa 3: Transformar as comparações aos pares em pesos (ou vetores de prioridade) e avaliar a consistência dessas comparações; - Etapa 4: Sintetizar as prioridades globais das alternativas por meio de um modelo aditivo linear (devido ao axioma 3). A etapa 1 consiste em se estruturar o problema por meio de uma hierarquia. Esta indica a relação entre os elementos de um nível com aqueles do nível imediatamente inferior. Em sua raiz, encontra-se o objetivo do problema sendo estudado. Suas ramificações são os diversos critérios e alternativas em consideração. É importante notar que a comparação dos elementos de um nível qualquer é feita com relação a sua contribuição ao nível imediatamente acima. A etapa 2 consiste da comparação aos pares dos elementos de um mesmo nível hierárquico com relação a seu impacto no elemento do nível superior a que eles se unem (elemento de controle). Assim, as alternativas são comparadas entre si com relação a cada um dos critérios. Para cada critério, uma matriz de comparações aos pares é construída. Existirão tantas matrizes quanto o número de critérios. A última comparação é com relação à importância relativa dos critérios no objetivo. Aqui é necessária uma única matriz. As perguntas feitas para se completar essas matrizes são do tipo: considerando o objetivo, qual critério é mais importante, X ou Y, e quanto mais importante? ; considerando o critério X, qual alternativa é preferível, A ou B, e quanto mais?. A intensidade das comparações é feita utilizando-se a escala fundamental de números absolutos de 1 a 9 de Saaty. Os valores da escala são: 1 igual; 3 moderada; 5 forte; 7 muito forte; e 9 extrema. Os números pares são utilizados como valores intermediários. Números racionais (por exemplo: 3,5) podem ser utilizados para diminuir a inconsistência das respostas. Para a construção de cada uma das matrizes de comparações aos pares, deve-se se seguir a seguinte lógica. Sempre se compara a dominância (ou importância) do elemento da linha sobre o elemento da coluna, respectivamente aos seus impactos no elemento de controle. Caso a importância do elemento da linha seja menor do que a importância do elemento da coluna, usa-se o recíproco (1/2, 1/3 etc.). Dessa forma, a ij = 1/a ji. A comparação de um elemento com ele mesmo é 1, assim a diagonal da matriz é sempre igual a um (a ii =1). Saaty (2004) explica a lógica deste sistema de medição. Ao fazer comparações aos pares entre elementos homogêneos, proporções são estimadas utilizando-se a escala fundamental de números absolutos. Por exemplo, ao se comparar duas alternativas com respeito a um critério, a menor alternativa ou a inferior funciona como a unidade de medida daquele critério. Para 4

5 estimar a maior, como um múltiplo daquela unidade, atribui-se a ela um número absoluto da escala fundamental. Este processo é repetido para cada par. Ao invés de atribuir dois números w i e w j e determinar a razão w i /w j, atribui-se um único número de 1 a 9 para representar a razão (w i /w j )/1. O número absoluto da escala é uma aproximação para a razão (w i /w j ). A escala derivada fornece w i e w j. Este é o ponto central da abordagem de medida relativa do AHP. A etapa 3 consiste em se determinar, a partir das matrizes de comparações, a importância relativa de cada elemento sobre o seu elemento de controle (pesos ou vetores de prioridade) e julgar a consistência das matrizes. Por consistência quer se dizer que, por exemplo, se A é duas vezes mais importante que B e B três vezes mais importante que C, A deveria ser seis vezes mais importante que C. Obviamente em situações reais é muito difícil haver uma consistência perfeita. O método AHP permite certo grau de inconsistência e também mostra como calculá-la. Para cada matriz, calculam-se seu maior autovalor (λ max ) e seu respectivo autovetor v. Por fim, determinam-se os pesos w (importância relativa) de cada elemento do nível sobre o elemento de controle normalizando-se o vetor v (por exemplo, pela divisão de cada um de seus elementos pela sua soma). Entretanto, antes de se aceitar estes valores de w, faz-se necessário avaliar se as comparações fornecidas pelo decisor são consistentes. Para isso, calcula-se a razão de consistência (CR) das respostas. Se este índice for maior que certo limite, aquela matriz tem que ser refeita. Segundo Saaty (2005), os valores admissíveis para a razão de consistência são em torno de 5% para matrizes de ordem 3, em torno de 8% para matrizes de ordem 4 e em torno de 10% para as matrizes de ordem maior ou igual a 5. A fórmula de cálculo de CR é dada abaixo, onde n é a ordem na matriz e RI é um índice tabelado, cujos valores são para matrizes de ordem 3 até 15, respectivamente: 0,52; 0,89; 1,11; 1,25; 1,35; 1,40; 1,45; 1,49; 1,51; 1,54; 1,56; 1,57; 1,59. CR = ( max n)/(n 1)/RI A última etapa do método AHP consiste em sintetizar as prioridades obtidas por meio de um modelo aditivo linear. Considerando que haja i critérios e j alternativas, a nota final N m da m- ésima alternativa é dada pela equação abaixo, onde o índice k indica o k-ésimo critério. i N w a sujeito a : w 1 m k km k k 1 k 1 i 3. Os Algoritmos Principais do AHP Esta seção mostra os algoritmos necessários para a implementação computacional da etapa 3 do AHP, uma vez que as etapas 1 e 2 são qualitativas e a etapa 4 pode ser facilmente resolvida utilizando-se as funções nativas do Excel (por exemplo, somarproduto ) Cálculo dos Vetores de Prioridade Para o cálculo do maior autovalor e seu respectivo autovetor, foi utilizado o método da potência (POOLE, 2004). Seja A uma matriz quadrada de ordem n com um autovalor dominante max, o método consiste dos seguintes passos: 1) Faça V 0 um vetor inicial do R n cuja maior componente seja 1; 2) Repita os seguintes passos para j = 1, 2,... : 5

6 a) Calcule B j = A V j 1 ; b) Seja F j a componente de B j com o maior valor absoluto; c) Faça V j = (1/F j ) B j. Para a maioria das escolhas de V 0, F j converge para o autovalor dominante max e V j converge para o respectivo autovetor dominante v. Uma vez obtido o autovetor, este deve ser normalizado. Existem duas maneiras de se normalizar o autovetor para o cálculo das prioridades. A primeira consiste em se dividir cada elemento do autovetor pela sua soma. Este é o chamado modo distributivo de síntese. O segundo é denominado de modo ideal, onde cada um de seus elementos é dividido pelo maior dos valores presentes. É digno de nota que a prioridade das alternativas com relação aos critérios admitem ambos os tipos de normalização. Por outro lado, as prioridades dos critérios em relação ao objetivo devem ser normalizadas pelo modo distributivo apenas. Grosso modo, o modo distributivo indica a dominância de cada alternativa sobre as demais e o modo ideal indica o desempenho de cada alternativa relativo ao benchmark de cada critério. Assim, normalmente utiliza-se o modo distributivo quando o objetivo da análise é fazer previsões ou priorizar alternativas. Se o propósito for escolher uma única alternativa, o modo distributivo somente será mais adequado se as demais alternativas ainda forem relevantes após a escolha. Caso contrário, o modo ideal deverá ser o preferido. O algoritmo em VBA que calcula o maior autovalor e seu respectivo autovetor, bem como as prioridades nos dois modos de síntese encontra-se no Apêndice. A figura 1 abaixo ilustra sua utilização. Figura 1 - Exemplo da Utilização da Planilha para o Cálculo dos Vetores de Prioridades É importante registrar que há outros tipos de algoritmos para a derivação de prioridades baseados na minimização de uma função erro, tal como o método dos mínimos quadrados e mínimos quadrados logarítmicos. Estes não foram considerados, devido ao fato de Saaty (2003), dentre outros, argumentarem que não são métodos válidos (ver seção 3.4) Cálculo da Razão de Consistência 6

7 Dado o algoritmo para a determinação do maior autovalor e seu autovetor, o cálculo da razão de consistência é bastante simples; basta adicionar ao código a fórmula apresentada na seção 2. A figura 2 abaixo ilustra sua utilização. Figura 2 - Exemplo da Utilização da Planilha para o Cálculo da Razão de Consistência 3.3. O Tratamento de Matrizes de Comparações aos Pares Inconsistentes O terceiro tópico trata das matrizes de comparações aos pares cujas razões de consistência são maiores que os valores permissíveis, conforme explicado na seção 2. Uma solução é identificar e alterar o elemento da matriz que provoca a maior perturbação no maior autovalor da matriz de comparações aos pares. Contudo, este tipo de estratégia, além de tender a ser lenta e ineficiente, pois vários elementos podem estar causando a inconsistência, também tem o revés de basear os cálculos apenas neste(s) elemento(s) problemático(s). Um modo mais eficiente consiste em utilizar toda a informação contida na matriz para processar os cálculos e, adicionalmente, alterar todos os elementos da matriz simultaneamente. Por meio de um processo iterativo, constituído de pequenos passos, chega-se até uma matriz com consistência pré-estabelecida que retém o máximo de informação da matriz original. Nesta linha de abordagens, um método prático e eficiente foi proposto por Zeshui & Cuiping (1999). Resumidamente, este método consiste dos seguintes passos: - Passo 1: fazer k = 0; - Passo 2: determinar o maior autovalor max da matriz A (k) = a ij (k), seu respectivo autovetor normalizado no modo distributivo w 1 (k), w 2 (k),..., w n (k) e a razão de consistência CR (k) ; - Passo 3: se a razão de consistência CR (k) for maior que a desejada, determinar a matriz A (k+1) por meio da expressão a ij (k+1) = (a ij (k) ) (w i (k) /w j (k) ) 1,com 0,9 < < 1, somar 1 a k e retornar ao passo O Tratamento de Matrizes de Comparações Aos Pares Incompletas O método AHP se caracteriza por exigir que os elementos de um mesmo nível hierárquico sejam comparados dois a dois com relação ao seu impacto no nível imediatamente superior a que eles se unem. Dessa forma, uma matriz de comparações de n elementos necessita de n(n 1)/2 comparações aos pares. Na realidade, se todas as comparações fossem perfeitamente consistentes, só haveria a necessidade de n 1 delas. Entretanto, o método parte do pressuposto que, em se tratando de critérios intangíveis, uma consistência perfeita é 7

8 impossível. Dessa forma, a redundância fornecida pelas comparações adicionais serve para diminuir o impacto da inconsistência das respostas. É nesse ponto que Saaty (2003) frisa a necessidade do cálculo do maior autovalor da matriz. Este seria o único método de derivação de prioridades que tem o efeito de tirar a média dessas inconsistências. O autor demonstra que as prioridades calculadas a partir do maior autovalor são insensíveis a desvios moderados da consistência perfeita (representados pela razão de consistência da matriz). Contudo, este aspecto positivo do AHP, de possibilitar a derivação de prioridades a partir de julgamentos moderadamente inconsistentes, em algumas situações práticas se torna um ônus, pois o número de comparações aos pares pode ser muito elevado. Dessa forma, têm sido estudados diversos métodos de derivação de prioridades que objetivam diminuir a quantidade de comparações aos pares exigidas. De acordo com Carmone, Kara & Zanakis (1997) o algoritmo de Harker é um dos mais práticos para a derivação de prioridades de matrizes incompletas. Estes autores demonstraram, por meio de um extensivo estudo de simulação de Monte Carlo, que neste método é possível deixar de responder aleatoriamente até 50% das comparações aos pares e, ainda assim, derivar vetores de prioridade muito próximos daqueles de uma matriz completa. Obviamente, quanto maior o número de comparações, mais próximos daqueles da solução completa serão os vetores de prioridade obtidos. Resumidamente, o algoritmo substitui todos os elementos que faltam por zeros. A seguir, contabiliza-se o número de zeros por linha da matriz. Esse valor é somado ao elemento da diagonal desta linha. Para essa nova matriz, calcula-se seu maior autovalor e respectivo autovetor normalizado pelo modo distributivo. Os elementos faltantes são aproximados pelo valor a ij = w i /w j, onde w representa o autovetor normalizado. De posse desta matriz reconstruída, é possível empreender todas as operações estudadas até agora. A figura 3 mostra esquematicamente este procedimento , ,19 0, * * 0, ,15 0,07 w ,15 5 * ,15 5 0, , * ,07 7 0, Figura 3 Diagrama Esquemático do Algoritmo para o Tratamento de Matrizes Incompletas 4. Considerações Finais O objetivo do presente trabalho foi propor uma ferramenta computacional de apoio ao ensino do AHP para cursos de engenharia de produção em nível de graduação. Esse objetivo foi alcançado levantando-se os requisitos quantitativos do método e determinando-se os algoritmos mais adequados para desempenhá-los, bem como os implantando no Microsoft Excel 2007, por meio da programação de funções na linguagem Visual Basic. As funções foram testadas, aplicando-as a diversos problemas disponíveis em livros e artigos de AHP, cujos resultados numéricos eram conhecidos de antemão. Dessa maneira, foi possível detectar eventuais falhas e garantir a correção da programação. O resultado obtido foi uma planilha eletrônica com as principais etapas quantitativas do AHP incorporadas e uma ferramenta 8

9 computacional simples de ser utilizada, pois basta o conhecimento em como operar funções matriciais no Excel para executá-la. A expectativa é que o uso desta ferramenta gere os seguintes benefícios: - Facilite a execução das etapas algebricamente intensivas do AHP sem, no entanto, negligenciar os aspectos teóricos, tanto matemáticos quanto computacionais, deste método; - Seja uma oportunidade para os alunos ampliarem seu conhecimento em Excel além do nível básico, por exemplo, a criação de funções personalizadas neste software; - Promova a interdisciplinaridade, mostrando como conteúdos do ciclo básico (neste caso, álgebra linear e introdução à computação) podem ser utilizados na solução de problemas práticos de engenharia, com vistas a estabelecer uma estratégia de ensino-aprendizagem eficaz e motivadora para os discentes. Referências CARMONE, F.J.; KARA, A.; ZANAKIS, S.H. Monte Carlo investigation of incomplete pairwise comparison matrices in AHP. European Journal of Operational Research, 102, p , CÓ, F.A.; FARIAS FILHO, J.R. Uma Estratégia Construtivista e Interdisciplinar de Ensino Simulando a Dinâmica de uma Fila. In: XXVII Encontro Nacional de Engenharia de Produção. p.1-9, FORMAN, E., SELLY, M.A. Decision by Objectives: how to convince others that you are right. Singapore: World Scientific Publishing, GOODWIN, P., WRIGHT, G. Decision Analysis for Management Judgment. 3 rd Edition. West Sussex: John Wiley & Sons, KAHRAMAN, C. Multi-Criteria Decision Making Methods and Fuzzy Sets. In: KAHRAMAN, C (org.). Fuzzy Multi-Criteria Decision Making: Theory and Applications with Recent Developments. New York: Springer, MUSINGWINI, C.; MINNITT, R.C.A. Ranking the efficiency of selected platinum mining methods using the analytic hierarchy process (AHP). In: International Platinum Conference Platinum in Transformation, 3, Proceedings The Southern African Institute of Mining and Metallurgy, 2008, p NIEMIRAA, M.P.; SAATY, T.L. An Analytic Network Process model for financial-crisis forecasting. International Journal of Forecasting, 20, p , ÖNÜT, S.; KARA, S.S.; IŞIK, E. Long term supplier selection using a combined fuzzy MCDM approach: A case study for a telecommunication company. Expert Systems with Applications, v.36, p , POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, SAATY, T.L. The Analytic Hierarchy and Analytic Network Processes for the Measurement of Intangible Criteria and for Decision-Making. In: FIGUEIRA, J.; GRECO, S.; EHRGOTT, M. (eds.). Multiple Criteria Decision Analysis: State of Art Surveys. New York: Springer, p ,

10 SAATY, T. L. Fundamentals of the analytic network process - dependence and feedback in decision-making with a single network. Journal of Systems Science and Systems Engineering, 13 (2), p , SAATY, T. L. Decision-making with the AHP: Why is the Principal Eigenvector Necessary. European Journal of Operational Research, 145, p.85 91, SAATY, T. L. The Analytic Hierarchy Process. Pittsburgh: RWS Publications, SIPAHI, S.; TIMOR, M. The analytic hierarchy process and analytic network process: an overview of applications. Management Decision, v. 48, n. 5, p , TSOULFAS, G. T.; PAPPIS, C. P. A model for supply chains environmental performance analysis and decision making. Journal of Cleaner Production, v.16, p , ZESHUI, X.; CUIPING, W. A consistency improving method in the analytic hierarchy process. European Journal of Operational Research, 116, p , ANEXO Option Base 1 Function Prioridades(A, tipo) n = Application.WorksheetFunction.Count(A) NCol = n ^ (1 / 2) ReDim Vzero(NCol, 1) As Double Vzero(1, 1) = 1 For i = 2 To NCol Vzero(i, 1) = 0 Next i V = Vzero For j = 1 To 1000 B = Application.WorksheetFunction.MMult(A, V) C = Application.WorksheetFunction.Max(B) D = Application.WorksheetFunction.Min(B) E = Abs(D) F = Application.WorksheetFunction.Max(C, E) G = 1 / F V = Application.WorksheetFunction.MMult(B, G) Next j Select Case tipo Case Is = distributivo 10

11 X = Application.WorksheetFunction.Sum(V) Y = 1 / X w = Application.WorksheetFunction.MMult(V, Y) Case Is = ideal X = Application.WorksheetFunction.Max(V) Y = 1 / X w = Application.WorksheetFunction.MMult(V, Y) End Select Prioridades = w End Function 11