UNESP Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá

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1 UNESP Fculdde de Engenhri do Cmpus de Gurtinguetá Gurtinguetá

2 MARCOS SEITI SUZUKI ANÁISE ESTRUTURA DE TREIÇAS ESPACIAIS NO SOFTWARE EXCE UTIIZANDO O MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS Trblho de Grdução presentdo o Conselho de Curso de Grdução em Engenhri Mecânic d Fculdde de Engenhri do Cmpus de Gurtinguetá, Universidde Estdul Pulist, como prte dos requisitos pr obtenção do diplom de Grdução em Engenhri Mecânic. Orientdores: Prof. Dr. Fernndo de Azevedo Silv Gurtinguetá

3 S968 Suzui, Mr Seiti Análise estruturl de treliçs espciis no softwre Ecel utilizndo o método dos elementos finitos / Mr Seiti Suzui Gurtinguetá : [s.n],. 4 f : il. Bibliogrfi: f. Trblho de Grdução em Engenhri Mecânic Universidde Estdul Pulist, Fculdde de Engenhri de Gurtinguetá,. Orientdor: Prof. Dr. Fernndo de Azevedo Silv. Teori ds estruturs. Método dos elementos finitos I. Título CDU 64.4

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5 de modo especil, os meus pis pelo poio e conselhos que contribuírm pr meu progresso.

6 AGRADECIMENTOS Em primeiro lugr grdeço Àquele que não possui nome, ms é conhecido por vários nomes, à minh fmíli pel pciênci e poio que me judou chegr este momento, o meu orientdor, Prof. Dr. Fernndo de Azevedo Silv pel jud, poio e conselhos que form fundmentis pr relizção deste trblho, todos os professores dest conceitud instituição pelo comprtilhmento de conhecimentos que se mostrrm de grnde vlor e úni, todos os funcionários d instituição, às mizdes d fculdde e os migos de repúblic pelo compnheirismo nos bons e mus momentos.

7 Fç o que tem que fzer e deie os outros discutirem se é certo ou não. Bill Wtterson

8 SUZUKI, M. S. Análise estruturl de treliçs espciis no softwre Ecel utilizndo o método dos elementos finitos.. 4 f. Trblho de Grdução (Grdução em Engenhri Mecânic) Fculdde de Engenhri do Cmpus de Gurtinguetá, Universidde Estdul Pulist, Gurtinguetá,. RESUMO O presente trblho tem finlidde de desenvolver um progrm pr relizr nálise estruturl de treliçs espciis. O progrm ser implementdo é bsedo nos conceitos do método dos elementos finitos e utilizou os recursos de progrmção do Visul Bsic for Applictions (VBA) pr o Softwre Ecel. Sendo o Ecel um softwre de fácil cesso, bio custo, cpcidde de relizr cálculos mtriciis e com recursos vnçdos de progrmção VBA é possível desenvolver um solução econômic, eficiente e precis pr nálise estruturl de treliçs espciis. Primeirmente é presentdo o método dos elementos finitos e treliç espcil. N sequenci é desenvolvido lguns lgoritmos importntes pr serem usdos durnte o desenvolvimento do progrm lém do uso de lguns recursos do VBA. E pr vlidr qulidde, eficiênci e precisão de seus resultdos, estes são comprdos com o consgrdo softwre comercil Ansys. PAAVRAS-CHAVE: Treliç espcil. Elementos Finitos. Progrmção em VBA. Simulção Numéric. Método dos

9 SUZUKI, M. S. Structurl nlysis of spce truss in Ecel softwre using the finite element method.. 4 f. Monogrph (Undergrdute Degree in Mechnicl Engineering) Fculdde de Engenhri do Cmpus de Gurtinguetá, Universidde Estdul Pulist, Gurtinguetá,. ABSTRACT The following pper mens to develop progrm to me structurl nlysis of spce trusses. The progrm to be implemented ws bsed on the concepts of the finite element method nd used the progrming resources of Visul Bsic for Applictions (VBA) for the Ecel Softwre. Being Ecel softwre of esy ccess, low t, cpcity to me mtri clcultions nd with dvnced resources of VBA progrming, it is possible to develop n economic solution, efficient nd precise for structurl nlysis of spce trusses. Firstly is presented finite elemento method nd the spce truss. Then is developed few importnt lgorithms to be used during the development of the progrm nd lso the use of few resources of VBA. And to vlidte the qulity, efficiency nd precision of the results, these re compred with the estblished commercil softwre Ansys. KEYWORDS: Spce Truss. Numeric Simultion. Finite Element Method. Progrmming in VBA.

10 ISTA DE FIGURAS Figur Domínio... Figur Gerção de Mlh... Figur Tronco Cônico... Figur 4 Deslocmento nodl em função do comprimento... Figur 5 Convergênci dos elementos pr solução et...4 Figur 6 Tensão em função do comprimento...4 Figur 7 Mtriz ordem mn...6 Figur 8 Vetor-colun ordem m...6 Figur 9 Vetor-linh ordem n...6 Figur Mtriz Identidde...7 Figur Mtriz Trnspost...7 Figur Mtriz multiplicd por esclr...8 Figur Adição e Subtrção ds mtrizes...8 Figur 4 Multiplicção entre mtrizes...9 Figur 5 Sistem de equções...9 Figur 6 Sistem equções n form mtricil...9 Figur 7 Solução por meio de operções elementres... Figur 8 Obtenção de mtriz invers... Figur 9 Refleão do ponto (,y,z) nos três plnos...5 Figur Refleão o eio X...6 Figur Refleão n Origem...7 Figur Rotção em torno do eio Z...7 Figur Mtriz no Ecel...4 Figur 4 º Psso pr operção com mtriz no Ecel...4 Figur 5 º Psso pr operção com mtriz no Ecel...4 Figur 6 º Psso pr operção com mtriz no Ecel...4 Figur 7 Som no Ecel...4 Figur 8 Esclr no Ecel...4 Figur 9 Multiplicção no Ecel...4 Figur Determinnte no Ecel...4 Figur Mtriz invers no Ecel...4 Figur Trnspost no Ecel...4

11 Figur Elemento mol...4 Figur 4 Dois elementos mol...44 Figur 5 Digrm de corpo-livre...45 Figur 6 Elemento brr elástic...47 Figur 7 Tronco cônico do Eemplo Figur 8 Plnilh pr solução do Eemplo Figur 9 Discretizção do tronco cônico do Eemplo Figur 4 Plnilh usndo s equções (8), (8), (85) e (56) (Eemplo 4)...54 Figur 4 Mtriz de rigidez com condição de contorno plicd no Ecel (Eemplo 4)...55 Figur 4 - Invers no Ecel (Eemplo 4)...55 Figur 4- Vetor dos crregmentos nodis (Eemplo 4)...56 Figur 44 Deslocmento nodis no Ecel (Eemplo 4)...56 Figur 45 Pós-processmento no Ecel (Eemplo 4)...57 Figur 46 Deslocmentos nodis em função do comprimento (Eemplo 4)...58 Figur 47 Tensões em função do comprimento (Eemplo 4)...58 Figur 48 () Treliç não idel (b) Treliç idel...59 Figur 49 Estrutur não rígid...6 Figur 5 Estrutur rígid...6 Figur 5 Treliç simples...6 Figur 5 Treliç rígid com geometri qudriláter...6 Figur 5 Tipos de Treliç pln...6 Figur 54 Treliç espcil...6 Figur 55 Treliç espcil, totlmente montd no chão, do Centro de Eposições do Anhembi dis ntes de ser erguid por guindstes...6 Figur 56 Vist ére do Centro de Eposições do Anhembi...6 Figur 57 Vist intern do Centro de Eposições do Anhembi...6 Figur 58 Junt esféric MERO...6 Figur 59 Junt em cruzet...6 Figur 6 Junt com pont mssd...6 Figur 6 Estrutur no sistem globl XYZ...64 Figur 6 - Elemento no sistem locl yz...64 Figur 6 Ângulos diretores de um elemento...65 Figur 64 Jnel de código do Visul Bsic...69 Figur 65 Brr de ferrments do Visul Bsic...7

12 Figur 66 Ci de ferrments de controle...7 Figur 67 Grv Mcros...7 Figur 68 Jnel Grvr Mcro...7 Figur 69 Prr Grvção...7 Figur 7 Eecutr Mcro...7 Figur 7 Jnel Eecutr Mcro...7 Figur 7 - Módulo...7 Figur 7 Modo Design...7 Figur 74 Botão de Comndo...7 Figur 75 Proprieddes...7 Figur 76 Jnel de Proprieddes...74 Figur 77 Editor Visul Bsic pr o Botão de Comndo...75 Figur 78 Botão de Rotção...75 Figur 79 Jnel de Propriedde do Botão de Rotção...76 Figur 8 Fórmuls ds Mtrizes de rotção e trnslção e Zoom...79 Figur 8 Mtrizes de rotção e trnslção e Zoom...79 Figur 8 Coordends do nó...8 Figur 8 Coordends projetds no plno Z...8 Figur 84 Elementos e nós...8 Figur 85 - Elementos e nós...8 Figur 86 Coordends dos elementos projetdos no plno Z...8 Figur 87 Representção gráfic no Ecel...84 Figur 88 Tel dos ddos iniciis...88 Figur 89 Treliç - Eemplo Figur 9 Informções do Eemplo 5 n plnilh do Ecel...89 Figur 9 Representção gráfic d treliç (Eemplo 5)...9 Figur 9 Mtrizes gerds pr solução do Eemplo Figur 9 Resultdos (Eemplo 5)...9 Figur 94 - Representção gráfic d deformção (Eemplo 5)...9 Figur 95 Deslocmento nodis vi Ansys (Eemplo 5)...9 Figur 96 Forçs e Tensões iis em cd elemento vi Ansys (Eemplo 5)...9 Figur 97 Reções dos nós vi Ansys (Eemplo 5)...9 Figur 98 Representção gráfic d deformção vi Ansys (Eemplo 5)...9 Figur 99 Treliç espcil (Eemplo 6)...94

13 Figur - Representção gráfic d treliç Espcil (Eemplo 6)...95 Figur - Representção gráfic d deformção (Eemplo 6)...96 Figur - Representção gráfic d deformção vi Ansys (Eemplo 6)...96 Figur Treliç espcil (Eemplo 7)...98 Figur 4 - Representção gráfic d deformção (Eemplo 7)... Figur 5 - Representção gráfic d deformção vi Ansys (Eemplo 7)... Figur 6 Plnilh Ddos...5 Figur 7 - Coordends...6 Figur 8 Nós dos Elementos...6 Figur 9 Gráfico d Treliç...7 Figur Trnsldr, Rotcionr e Zoom...7 Figur Outrs informções...8 Figur - Solução...8 Figur Ab resultdo...9 Figur 4 Gráfico de deformção...9 Figur 5 Mtrizes... Figur 6 Céluls ocults... Figur 7 Céluls ocults...

14 ISTA DE QUADROS Qudro Principis funções do Ecel pr cálculo mtricil...4 Qudro Fórmuls Eemplo Qudro Fórmuls Eemplo Qudro 4 Tipos de Vriáveis (Fonte: Ajud do Visul Bsic)...76 Qudro 5 Estruturs de Controle...78 Qudro 6 Reções Ansys e Plnilh (Eemplo 5)...94 Qudro 7 Deslocmentos nodis Ansys e Plnilh (Eemplo 5)...94 Qudro 8 Forçs e tensões iis Ansys e Plnilh (Eemplo 5)...94 Qudro 9 Ddos do Eemplo Qudro - Ddos do Eemplo Qudro Resultdo do Eemplo 6 reções nodis...95 Qudro Resultdo do Eemplo 6, deslocmentos nodis...95 Qudro - Resultdo do Eemplo 6, forç e tensão il...96 Qudro 4 Coordends (Eemplo 7)...97 Qudro 5 Elementos (Eemplo 7)...97 Qudro 6 - Resultdo do Eemplo 7, reções nodis...98 Qudro 7 - Resultdo do Eemplo 7, deslocmentos nodis...99 Qudro 8 - Resultdo do Eemplo 7, forçs e tensões iis...99 Qudro 9 Céluls Número de elementos e Numero de nós... Qudro Fórmuls coluns G, H e I... Qudro Fórmuls colun X... Qudro Fórmuls colun AA, AB e AC... Qudro Fórmuls colun AD, AE e AF... Qudro 4 Fórmuls colun AG, AH e AI... Qudro 5 Fórmuls colun AJ e AK... Qudro 6 Fórmuls colun AN e AO... Qudro 7 Fórmuls colun AP e AQ... Qudro 8 Fórmuls colun AR e AS...

15 ISTA DE ABREVIATURAS E SIGAS CAD CAE MEF VBA - Computer Aided Design - Computer Aided Engineering - Método dos Elementos Finitos - Visul Bsic for Applictions

16 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...7 CONCEITOS TEÓRICOS EEMENTOS FINITOS...8. Histórico (SORIANO, )...8. Teori do Método dos Elementos Finitos Funcionmento do Método de Elementos Finitos..... Comprção entre soluções ets e soluções por Elementos Finitos..... Procedimentos geris pr nálise por elementos finitos...5 ÁGEBRA MATRICIA E EXCE...6. Nomenclturs Usds...7. Operções com Mtrizes...8. Sistem de Equções e Mtrizes Soluções Obtenção de Sistems Equivlentes trvés de Operções Elementres Inversão de mtriz....5 Trnsformções ineres Refleões Rotção Trnslção Projeção Escl Uso do Ecel MATRIZ DE RIGIDEZ, EEMENTO TIPO MOA E BARRA Elemento Mol iner Elemento Brr Elástic Energi de Deformção e º Teorem de Cstiglino TREIÇA Treliç Pln Treliç Simples Treliçs Espciis...6

17 5. Formulção do Elemento finito pr problems de Treliç Espcil Sistem de Coordends ocis e Globis Mtriz Trnsformd VBA NO EXCE E AGORITMOS Grvr um Mcro Ci de Ferrments de Controle Declrndo Vriáveis Declrndo Arrys ou Mtrizes Estruturs de Controle Algoritmos RESUTADOS CONCUSÃO... REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS... BIBIOGRÁFIA...4 APÊNDICE A...5 A. Uso d Plnilh...5 A. Fórmuls d Plnilh...6 A. Código Fonte...

18 7 INTRODUÇÃO O Método de Elementos Finitos (MEF) é um eficiente método numérico de resolução de problems em meios contínuos. Método muito difundido e utilizdo pr resolução de elementos mecâni, eletromgnéti, fluidos e trnsferênci de clor. Porém foi n nálise de elementos mecâni que este método mis se desenvolveu e é mis difundido. Modernos softwres de nálise de problems de engenhri, conhecidos como CAE (Computer Aided Engineering), usufruem do MEF. Alguns eemplos destes softwres são o Ansys, Nstrn, Abqus, Cosmos entre outros. Antes d evolução d computção os problems de engenhri erm nlisdos em escl reduzid em lbortórios, o que er muito dispendioso. Apesr dos conceitos d bse do MEF ter origindo em medos de 9 su plicção prátic er inviável, porque pr tingir precisão necessári os cálculos mtriciis erm demsidmente grndes pr serem relizdos mnulmente. Somente com o dvento do computdor, no pós-guerr (décd de 95 em dinte) que o MEF começou ser utilizd e desenvolvid efetivmente. Atulmente nálise lbortoril de muitos problems de engenhri deirm de ser necessários, pois os resultdos computcionis utilizndo MEF são tão próimos do rel que se podem considerr etos no rmo d engenhri, isso tem reduzido muito o custo dos projetos. Este trblho irá mostrr plicção dos conceitos de MEF n nálise de qulquer estrutur treliçd por meio do softwre Microsoft Ecel e recursos de progrmção do Visul Bsic for Apliction (VBA). O Ecel está presente n miori dos computdores que utilizm pltform Microsoft Windows, portnto nálise de problems de engenhri propost no trblho possui grnde portbilidde de um computdor pr outro. O Ecel possui recursos de clculo mtricil, recursos de progrmção por meio do VBA entre outrs ferrments que fcilit plicção do MEF. Este trblho está voltdo pr nálise de treliçs espciis e tem o intuito de mostrr recursos do softwre Ecel pr nálise do problem físico usndo MEF.

19 8 CONCEITOS TEÓRICOS EEMENTOS FINITOS. Histórico (SORIANO, ) A teori do MEF surgiu em 955 como evolução d nálise mtricil de modelos reticuldos (concebid no início d décd de 9 n indústri eronáutic britânic), juntmente com disponibilidde dos computdores digitis devido necessidde de projetr estruturs de modelos contínuos. Foi concebido inicilmente por engenheiros eronáuti com intenção de relizr nálises de distribuição de chps d s do vião. Formuldo pioneirmente por Argyris e Kesley em 955 (republicd em 96) e por Turner, Clough, Mrtin e Topp (956). Em 96 Gllgher, Pdlog e Bijlrd form os primeiros relizr nálise tridimensionl de tensões por MEF, foi qundo se considerou tmbém o efeito d tempertur em sólidos de form comple. Em 96 Gllgher e Pdlog introduzirm o deslocmento de vigs e plcs o MEF, foi considerdo o efeito d não lineridde geométric e determinção de crgs crítics. As primeirs formulções té então erm feitos por formulção diret, pois prti de um bordgem físic e intuitiv e utilizv os princípios dos deslocmentos. Não tinh critério que grntisse convergênci pr solução et. Em 96 Melosh present o MEF prtindo d minimizção d grndez esclr funcionl d energi potencil totl. Em 965 Veubue presentou formulção do método prtindo de outrs funcionis d mecânic dos sólidos deformáveis. Porém bse do método já hvi sido formuld por ord Ryleigh em 87, Wlther Ritz em 99 e por Richrd Cournt em 94, percebeu-se então que o MEF é um cso prticulr do método de Ruleigh-Ritz. Denominou-se este método como formulção vricionl. A formulção vricionl permitiu resolução de diversos problems em meios porosos, trnsferênci de clor e eletrostáti, lém dos de meio continuo. Em 967 Zieniewicz e Cheug publicm o primeiro livro inteirmente dedicdo o método de elementos finitos.

20 9 Após formulção vricionl verific-se que o método pode ser formuldo diretmente prtir de equções diferenciis e respectivs condições de contorno de problem continuo com plicção do método de Glerin que é um dos métodos de resíduos ponderdos. Foi denomindo formulção de resíduos. Portnto, s equções lgébrics podem ser obtids trvés de formulções direts, vricionl ou residul.. Teori do Método dos Elementos Finitos Ele é bse d tecnologi CAE (Computer Aided Engineering) que uili no projeto e nálises de problems envolvendo estruturs mecânics (unidimensionl, bidimensionl, tridimensionl) lineres ou não-lineres, dinâmics ou estátics, trnsferênci de clor, eletromgnético, etc. O método é um form econômic pr obter resultdos e nálise desses problems, pois muits vezes dispens construção de modelos em escl e relizção de diversos ensios dispendiosos. O Método dos Elementos Finitos (MEF), às vezes chmdo de Análise de Elementos Finitos, segundo Hutton (4) é um técnic computcionl pr obter soluções proimds de problems de vlores de contorno, comumente usdo n engenhri. Apesr de obter um solução proimd pode-se considerr et n engenhri, grçs os vnços tecnológi lcnçdos. Os problems de vlor de contorno são equções diferenciis com um ou mis vriáveis dependentes, ests vriáveis precism stisfzer certs restrições, s chmds condições de contorno. Os problems de vlores de contorno tmbém são conhecids como problems de vriável de cmpo. Vriáveis de cmpo são vriáveis dependentes d equção diferencil. E s condições de contorno são vriáveis de cmpo com vlores específi. Pr cd problem físico eiste um tipo de vriável de cmpo, lguns eemplos são o deslocmento, tempertur, o fluo de clor entre outros.

21 .. Funcionmento do Método de Elementos Finitos Pr melhor ilustrr o funcionmento do MEF considere um volume feito de um mteril (ou mteriis) com proprieddes físics conhecids, como mostr Figur (). Este volume represent o domínio de um problem de vlor de contorno ser resolvido. Pr simplificr ssume-se um cso bidimensionl com um vriável de cmpo genericmente representdo por, y que está definid em qulquer ponto P, y qulquer que sej equção (ou equções) que rege o domínio, e é cpz de stisfzer etmente qulquer ponto. Ou sej, é cpz de obter soluções ets pr qulquer que sej o ponto y P, dentro do domínio. Porém pr obter soluções em domínios de geometri comple é demordo e pode ser inviável. Pr estes csos o MEF propõe um poderos técnic pr obtenção de soluções proimds e junto d computção digitl é possível encontrr soluções pr problems de engenhri compleos com bo precisão. Figur Domínio (dptdo de HUTTON st ed. p. ) Considerndo gor um elemento tringulr de tmnho finito representndo um subdomínio como mostr Figur (b). A vriável de cmpo segundo Hutton (4) pr este subdomínio será:, y N, y N, y N, y ()

22 Onde, e serão vlores d vriável de cmpo (incógnits ou condições de contorno) pr os respectivos nós, e e N, N e N são funções de interpolção pr estes nós. O problem foi simplificdo e limitdo um pequeno subdomínio representdo por três nós, su solução é mis fácil e rápid de ser encontrd, pois geometricmente é mis simples. Porém é simples demis pr representr todo o domínio pr isso é crido diversos elementos finitos tringulres conforme Figur (c), desse modo proim-se mis do domínio originl e consequentemente proimndo d solução et. Os diversos elementos finitos interligdos pelos nós grntem continuidde d vriável de cmpo. Hutton (4) diz que no cso de um descontinuidde, um gp, no domínio pode significr um seprção de mteril em problems estruturis ou diferentes temperturs pr um mesmo nó no cso d trnsferênci de clor. A continuidde ds vriáveis de cmpo é necessári pr formulção dos elementos finitos, e por este motivo que muitos problems utilizm vriáveis de cmpos que não interessm o usuário. No cso de problems estruturis são usdos o deslocmento como vriável de cmpo pr formulção do elemento finito, porém o interesse mior está ns deformções e tensões. A deformção é definid em termos d primeir derivd do deslocmento e deformção não é continu o longo do domínio. E de cordo com intensidde dest descontinuidde é possível verificr precisão e convergênci d solução obtid... Comprção entre soluções ets e soluções por Elementos Finitos O processo de representção do domínio por elementos finitos é conhecido como gerção de mlh (em inglês meshing) e o resultdo dest gerção de mlhs de elementos finitos são s mlhs de elementos finitos (em inglês finit element mesh). Gerlmente, são usdos elementos que não possuem ldos curvos o que torn impossível gerr um mlh de elementos que cubrm todo o domínio conforme Figur.

23 Figur Gerção de Mlh (dptdo de HUTTON st ed. p. 4) Ao diminuir o tmnho dos elementos e consequentemente umentndo su quntidde ess nov representção será cpz de brnger melhor o domínio. Intuitivmente está sendo feito um refinmento (incremento) d mlh de elemento finito e por consequênci convergindo solução pr solução et. Pr eemplificr tl crcterístic considere um tronco cônico sólido engstdo em um etremidde e sujeit um crregmento n outr etremidde conforme mostr Figur. Figur Tronco Cônico (dptdo de HUTTON st ed. p. 5) Foi consider como elementos finitos brrs cilíndrics de comprimentos iguis vrindo somente s áres conforme mostr Figur (b). A seguir estão lguns gráfi mostrndo o comportmento do sistem pr solução et e pr diferentes quntiddes de elementos finitos empregdos. Pr obtenção d solução et é necessário relizr integrção do rio o longo do comprimento pr encontrr o deslocmento. Obvimente pr este problem solução não é tão comple, ms pr problems com geometri mis detlhd

24 solução et é inviável. Os gráfi seguir ilustrrão eficiênci e precisão do MEF. A Figur 4 mostr o deslocmento rel do tronco e dos elementos finitos o longo do comprimento. Note que qunto mior o número de elementos finitos miores convergênci pr curv d solução et isso pode ser melhor visto n Figur 5. N Figur 6 é possível perceber descontinuidde eistente no MEF pr este problem, tensão não é continu como o deslocmento.,5, Delt Rel Delt (MEF) pr elementos Delt (MEF) pr elementos Delt (MEF) pr 5 elementos Delt (MEF) pr elementos Vrição de Delt,5 Delt,,5,,4,6,8, Figur 4 Deslocmento nodl em função do comprimento

25 4,5 Convergênci do Delt Solução Et Delts,,78,89,9 Delt (=),5,,4,79,5,4 5 5 Nº de Elementos Figur 5 Convergênci dos elementos pr solução et Tensão Tensão (MEF) pr elemento Tensão (MEF) pr elemento Tensão (MEF) pr 5 elemento Tensão (MEF) pr elemento 8 Tensão 6 4,5,5,5 Figur 6 Tensão em função do comprimento O refinmento pr este problem poderi ser feito com mis de elementos, porém é necessário o usuário compreender s necessiddes eigids pr cd projeto e dependerá tmbém d eperiênci e conhecimento teórico de cd engenheiro. embrndo que qunto mior o refinmento mior será o uso de cpcidde e tempo

26 5 computcionl lém do custo mior com mão-de-obr e dependendo do projeto nlisdo esse refinmento não se fz necessário vi depender do engenheiro sber prioridde... Procedimentos geris pr nálise por elementos finitos As etps descrits seguir, de cordo com Moveni () e Hutton (4), são seguids pr o uso do MEF, mesmo os softwres comerciis seguem tis pssos pesr de às vezes não estrem tão evidentes. As etps são: Fse de Pré-Processmento descreve e define o problem, nest fse inclui: ) Crir e discretizr o domínio em elementos finitos, ou sej, dividir o problem em nós e elementos, conhecido tmbém como gerção de mlhs; ) Usr um função que descrev o fenômeno físico do comportmento de um elemento; ) Desenvolver equções pr o elemento; 4) Montr mtriz globl de rigidez; 5) Aplicr s condições de contorno, condições iniciis e crregmentos; 6) Definir proprieddes dos elementos; Citndo um máim d computção, grbge in, grbge out em português entr lio, si lio. Est fse é mis importnte, se o problem for definido errdo não é esperd um solução corret. Fse de Solução 7) Achr solução ds equções lineres ou não-lineres desse modo obtendo os resultdos nodis, como tmbém os vlores de deslocmento nos diferentes nós (no cso de problems estruturis) ou s diferentes temperturs nos nós (no cso de problems de trnsferênci de clor). Pós-processmento 8) Obter outrs informções, como tensões principis, fluo de clor, modelos dinâmi nimdos, modelos coloridos, etc. Cberá o engenheiro dizer se solução está stisftóri e condizente com teori já conhecid.

27 6 ÁGEBRA MATRICIA E EXCE Antes de dr continuidde o desenvolvimento do método fz-se necessário presentção de conceitos bási de clculo mtricil, e como este trblho propõe o uso do Ecel com o MEF, será eplicdo, qundo possível, o uso de mtriz no Ecel. O uso de mtriz é muito comum no meio computcionl pr resolver sistems de equções lineres e relizr trnsformções lineres. A mtriz é um tbel bidimensionl de ordem mn(m linhs e n coluns) e no cso unidimensionl são chmdos de vetor. Tnto mtriz qunto o vetor estão dentro de um ctegori chmd rry n progrmção de computdores. Os rry mntêm elementos de ddos de mesmo tipo, pode ssumir dimensões miores que mtriz (bidimensionl), cd elemento possui um posição dentro do rry, e pr cessr determindo elemento é necessário conhecer su posição identificd por índices no cso ds mtrizes e vetores els são representds d seguinte form:... n.. n A m m... mn Figur 7 Mtriz ordem mn v v V v m Figur 8 Vetor-colun ordem m V v v v n Figur 9 Vetor-linh ordem n Por conveniênci s mtrizes serão representds por colchetes [] e os vetores {} por chves. Por meio dos índices conhece-se posição de cd elemento no cso do elemento n primeir linh e segund colun d mtriz d Figur 7 é o elemento representdo pelos índices e.

28 7. Nomenclturs Usds Mtriz qudrd são s mtrizes de ordem nn. Digonl principl d mtriz são todos os elementos ij d mtriz qudrd onde i=j. Digonl secundári d mtriz são todos os elementos ij d mtriz qudrd de ordem n onde i+j=n+. Mtriz identidde I n são mtrizes qudrds de ordem nncom digonl principl formd por elementos iguis e os outros elementos igul, conforme mostr Figur I n... Figur Mtriz Identidde A mtriz identidde qundo multiplicd por outr mtriz de ordem comptível não lter mtriz, por eemplo, MI n =M=I m M sendo mtriz M de ordem mn. Mtriz invers, mtriz A - é dit invers de A qundo o produto entre s mtrizes result n mtriz identidde (AA - =I). Sendo A mtriz de ordem mncom elementos ij trnspost A t será de ordem n m e elementos ji, ou sej, os elementos d linh de A são s coluns de A t e s coluns de A são s linhs de A t, conforme mostr Figur. A m m... n.. n trnspost t A... mn Figur Mtriz Trnspost n n m m nm inlterd. Note que digonl principl, qundo mtriz for qudrd, permnece Mtriz simétric ocorre qundo A=A t, portnto só ocorre em mtrizes qudrd.

29 8. Operções com Mtrizes Multiplicção por esclr é possível efetur um multiplicção de um mtriz por um número esclr rel qulquer, pr isso bst multiplicr todos os elementos d mtriz pelo número. A divisão pode ser feit multiplicndo o inverso do número esclr os elementos d mtriz. Porém nunc se deve dividir um número esclr por um mtriz. Vej Figur.... n..... n.. A m m... mn m m... Figur Mtriz multiplicd por esclr n n mn Adição e subtrção entre mtrizes são feits somente entre mtrizes de mesm ordem, considere A e B, mbs s mtrizes, de ordem m n somndo (ou subtrindo) os elementos de mesm posição. Ou sej, A±B=C onde os elementos c ij = ij ±b ij. Vej o resultdo n Figur. A B m m n n mn b b bm b b b m b b b n n mn m b b b m Figur Adição e Subtrção ds mtrizes m b b b m n n mn b b b n n mn Multiplicção entre mtrizes só pode ser feit se, e somente se, mtriz A de ordem mpmultiplicr um mtriz B de ordem pn, mtriz resultnte dest operção será mtriz C de ordem mnonde os elementos c ij são ddos pel equção (): c ij b b... i j i O resultdo será conforme Figur 4. j ip b pj ()

30 9 pn p p n n mp m m p p b b b b b b b b b AB pn mp n m n m p mp m m p mp m m pn p n n p p p p pn p n n p p p p b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Figur 4 Multiplicção entre mtrizes. Sistem de Equções e Mtrizes Os sistems de equções são fcilmente representdos n form mtricil, e consequentemente podem ser mnuseds e resolvids no computdor. Considere um sistem de equções genéric representd n Figur 5: m n mn m m n n n n c c c Figur 5 Sistem de equções Pr representr n form de mtriz o sistem de equções cim, um mtriz representrá os coeficientes ds equções mntendo su posição n linh e n colun correspondente, ess mtriz irá multiplicr mtriz colun (ou vetor) com s vriáveis, ess multiplicção será igul à mtriz colun contendo os termos independentes. A prênci finl do sistem de equções d Figur 5 n form de mtriz será conforme Figur 6. m n mn m m n n c c c Figur 6 Sistem equções n form mtricil

31 Um dos pré-requisitos pr que um sistem de equções líner tenh um únic solução é quntidde de incógnits ser igul à quntidde de equções, portnto s mtrizes gerlmente serão qudrds e terão ordem mncom m=n..4 Soluções De cordo com Figur 6 é possível obter solução do sistem de equções liner simplesmente encontrndo invers d mtriz e multiplicndo o vetor com termos independentes. Aqui será presentdo um método pr obtenção d solução do sistem de equções mtricil..4. Obtenção de Sistems Equivlentes trvés de Operções Elementres Dois sistems são ditos equivlentes se um sistem de equções possui mesm solução do outro. E é possível obter sistems equivlentes relizndo s seguintes operções elementres: I Permut entre dus equções. II Multiplicção de um equção por um número rel diferente de zero. III Substituição de um equção previmente multiplicd por número rel diferente de zero e somd à outr equção. E por meio do uso sucessivo e finito desss operções elementres é possível chegr à solução do sistem. Eemplo Vej seguir um eemplo do procedimento. Tods s operções são descrits indicndo linh que está sofrendo lterção e operção que est sendo feit. Abio cd linh está sendo multiplicd por um número pr que todos os coeficientes de sejm iguis.

32 z y z y z y No cso de permut entre linhs o procedimento é conforme mostrdo bio. A linh e serão trocds entre si z y z y z y Substituição de equções somd com outr equção é mostrd bio z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y Note que bio d digonl principl formrm-se zeros, té este ponto o processo é conhecid como Eliminção de Guss. Agor será relizdo substituições por equções somds com outr equção previmente multiplicd por um vlor rel, diferente de zero, pr obter zeros cim d digonl principl. 7 5 z y z y z y 8 z y z y z y z y z y z y

33 Note que o procedimento ser seguido é zerr s vriáveis bio d digonl principl e depois zerr s vriáveis cim d digonl principl, o resultdo será mtriz identidde. y z Portnto solução do sistem é o sistem equivlente representdo pel mtriz identidde que é obtid por meio do uso finito de operções elementres. Pr fcilitr visulizção gerlmente o sistem de equções é representdo usndo um mtriz com os coeficientes e os termos independentes seprds por um trço verticl conforme figur seguir. m m n n mn c c operções elementres cm s s sm Figur 7 Solução por meio de operções elementres.4. Inversão de mtriz Outr form de obter solução do sistem de equções pode ser trvés d invers d mtriz, como é mostrdo n sequênci bio. X C A () A AX A C I X (4) A C (5) D mesm form que um sequênci finit de operções elementres pode trnsformr um mtriz n mtriz identidde, mtriz identidde pode ser trnsformd n mtriz invers usndo ess mesm sequênci de operções. Pr fcilitr visulmente o processo mtriz identidde é colocd do ldo d mtriz ser invertid seprd por um trço verticl. Conforme mostr Figur 8.

34 A I A I elementres operções Figur 8 Obtenção de mtriz invers Eemplo Pr eemplificr será usd mtriz do sistem do Eemplo z y z y z y Pr comprovr que est é mtriz invers, situdo no ldo direito do trço verticl, bst multiplicá-l pel mtriz dos coeficientes. O resultdo será mtriz identidde A solução do sistem pode ser obtid usndo equção (5) z y Eistem csos em que mtriz não possui invers, ou sej, o sistem não possui um únic solução ou simplesmente não possui solução. O sistem liner pode receber s seguintes clssificções qunto à solução:

35 4 Pr o cso do sistem liner comptível determindo eistirá um únic solução, mtriz com os coeficientes será inversível. E solução n form mtricil tem seguinte prênci: z y Pr o sistem liner comptível indetermindo eistirá mis de um solução, gerlmente infinits. Costum ter menos equções que o número de vriáveis, portnto não possui invers. O resultdo pós sequênci de operções elementres terá seguinte prênci: z y Pr o sistem liner incomptível não eistirá solução, portnto não terá invers. Gerlmente possui igulddes incoerentes. O resultdo pós sequenci de operções elementres terá seguinte prênci: z y.5 Trnsformções ineres As trnsformções lineres são funções que trblhm com espços vetoriis, ou sej, são funções vetoriis. Seu uso é muito comum em softwres que trblhm com gráfi vetorizdos como softwres CAD e jogos. Sejm V e W espços vetoriis, um trnsformção liner se s seguintes proprieddes ocorrerem: I T(u+v)=T(u)+T(v) Sistem iner -Comptível (possui solução) -Incomptível -Determindo (possui um solução) -Indetermindo (possui mis de um solução)

36 5 II T(u)=T(u) pr V v u, e R. N computção o uso ds trnsformções lineres se dá trvés d form mtricil. A seguir lgums trnsformções mis utilizds..5. Refleões.5.. Refleão em relção os plnos coordendos Figur 9 Refleão do ponto (,y,z) nos três plnos A equção (6) refere-se refleão o plno XOY, equção (7) o plno XOZ e equção (8) o plno YOZ. z y (6) z y (7) z y (8)

37 6.5.. Refleão em relção os eios coordendos Figur Refleão o eio X z y (9) z y () z y ()

38 7.5.. Refleão n origem Figur Refleão n Origem z y ().5. Rotção Figur Rotção em torno do eio Z As equções (), (4) e (5) representm rotção em torno do eio z, y e respectivmente.

39 8 z y sen sen z z z z () z y sen sen (4) z y sen sen y y y y (5).5. Trnslção A trnslção é feit conforme equção (6), é necessário umentr um linh no vetor ds coordends, y e z devido o tmnho d mtriz trnsformção. z y v v v z y (6) Os v, v y e v z serão os vlores somdos às respectivs coordends. Um form lterntiv pr trnslção é: z y v v v z y (7).5.4 Projeção Est trnsformção é mis utilizd pr que elementos tridimensionis sejm eibidos no monitor, plotter, etc. A mtriz trnsformção bio represent projeção

40 9 no plno z=. Pr projetr em outros plnos bst usr mtriz identidde e substituir o vlor por zero no respectivo plno ser projetdo. (8) y z A equção (8) represent um projeção prlel ortogonl. As linhs d vist d projeção são prlels entre si e perpendiculr o plno de projeção. Eistem dus forms de projeção s prlels e em perspectivs. Dentro desss ctegoris eistem subctegoris. Somente citndo lguns tipos eistem isométric, bi-métric e tri-métric esss estão n ctegori projeções prlels, s projeções perspectivs s linhs d projeção convergem pr um ponto, conhecido como ponto de fug..5.5 Escl Trnsformções usndo escls são usds pr redução e umento de objetos. v v y y v z z (9) Outr form de usr escl é multiplicr o vetor por um vlor esclr..6 Uso do Ecel Neste tópico será presentdo o uso do Ecel pr relizr cálculos mtriciis. Cd linh e colun ds céluls do Ecel podem ser considerds linhs e coluns de um mtriz. A Figur mostr vlores destcdos no qudro vermelho e pode ser considerd um mtriz de ordem. Esses vlores são os mesmo usdos nos Eemplo e Eemplo.

41 4 Figur Mtriz no Ecel Serão mostrds lgums operções que pode ser feit com mtrizes. De form gerl s operções com mtrizes no Ecel seguem os seguintes pssos: º Psso: Selecionr céluls vzis com quntidde de linh e coluns d mtriz resultnte, conforme Figur 4. Figur 4 º Psso pr operção com mtriz no Ecel º Psso: Digitr n brr de formuls fórmul. Figur 5 º Psso pr operção com mtriz no Ecel º Psso: Segurr os botões Ctrl+Shift e depois perte Enter. Figur 6 º Psso pr operção com mtriz no Ecel Note presenç de chves em torno d fórmul, n brr de formul, ess é representção de mtriz no Ecel. Qulquer modificção n fórmul dess nov mtriz é preciso selecionr tods s céluls envolvids. O qudro bio mostrrá lgums operções que pode ser feits no Ecel em português.

42 4 Qudro Principis funções do Ecel pr cálculo mtricil Operção Brr de Formul Eemplo Som =Céluls+Céluls Produto Esclr Produto Mtricil Determinnte =Esclr*Céluls =MATRIZ.MUT(Céluls;Céluls) =MATRIZ.DETERM(Céluls) Figur 7 Som no Ecel Figur 8 Esclr no Ecel Figur 9 Multiplicção no Ecel Mtriz Invers Trnspost =MATRIZ.INVERSO(Céluls) =TRANSPOR(Céluls) Figur Determinnte no Ecel Figur Mtriz invers no Ecel Figur Trnspost no Ecel O determinnte é o único cso de operção com mtriz que não necessit seguir os pssos nteriores.

43 4 4 MATRIZ DE RIGIDEZ, EEMENTO TIPO MOA E BARRA O clculo mtricil é form pel qul o MEF trblh. E por ess rzão foi dotdo e populrizou-se no meio computcionl. A mtriz de rigidez é mtriz de mior importânci dentro do método. É nel que estão embutids s principis informções pr solução do problem, como tipo de elemento finito usdo, geometri, propriedde dos mteriis, coneão entre os elementos, ou sej, mtriz de rigidez trduz o comportmento do sistem. Conforme o estimulo eterno tunte sobre o sistem ser nlisdo, mtriz de rigidez mostrrá como o sistem regirá. Os estímulos eternos são diversos, pr cd tipo de problem pode ser empregdo um ou mis tipo, lguns eemplos são: crregmento, forç, fluo de clor, etc. O uso do termo rigidez é bem proprido, pois mtriz mostrrá tmbém o qunto é difícil ou fácil tirr o sistem de seu estdo inicil, de form prlel pode-se comprr mtriz de rigidez o módulo de rigidez d mol, qunto mior seu vlor mis difícil é pr comprimi-l ou trcioná-l e qunto menor o vlor mis fácil é pr deformá-l. O uso d mol nests nlogis não é um coincidênci, el é utilizd como form comprtiv nos estudos mis bási de MEF e Resistênci dos Mteriis. 4. Elemento Mol iner MEF. Este é o elemento mis simples e comumente usdo pr introduzir no estudo do A mol liner como um mero dispositivo mecânico é cpz de suportr esforços iis somente, e su deformção, qundo submetido trção ou compressão, é diretmente proporcionl forç plicd, representd pel equção (). F () onde F é forç, é constnte de proporcionlidde conhecid como constnte de

44 4 Figur Elemento mol (dptdo de HUTTON st ed. p. ) A formulção do elemento mol é feito de por meio direto, sem necessidde de demonstrção mtemátics ou cálculos compleos. Os elementos conectm-se pelos nós i e j estes podem sofrer deslocmento u i e u j cusds pels forçs f i e f j respectivmente. Por conveniênci é rbitrdo direção do eio coordendo coincidente com deformção il do elemento. Por enqunto será trtdo somente o sistem de coordends unidimensionl. As equções seguir descrevem o comportmento do sistem: Substituindo () em (): u j u () i f u j u ) () ( i Pr o equilíbrio f f f f reescrevendo equção () pr termos i j i j ds forçs em cd nó: f i f j u u ) () ( j i u u ) (4) ( j i As equções () e (4) form um sistem de equções que escrits n form mtricil será: ui fi u j f j De form simplificd será epress como: Onde, u f (5) e (6) (7) e

45 44 Onde [ e ] represent mtriz de rigidez do sistem, {u} é o vetor com os deslocmentos nodis e {f} é o vetor com s forçs nodis do elemento. A mtriz de rigidez (7) é de ordem signific que o elemento possui deslocmentos nodis ou grus de liberdde. Um sistem ou elemento que possui N grus de liberdde corresponderá um mtriz de rigidez qudrd de ordem NN. Est foi representção de um único elemento e pr o csos em que é feit representção de um elemento isoldmente do resto do sistem são usdos os termos sistem locl ou do elemento. Por eemplo, [ e ] é mtriz de rigidez do elemento ou mtriz de rigidez do sistem locl, isso ocorre tmbém com o sistem de coordends eistirá um sistem de coordends locl pr cd elemento. A solução do problem reduz-se um simples clculo mtricil do tipo: u f (8) e O elemento mol formuld isoldmente não possui solução, seri necessário restrição do seu movimento em um dos nós ou conectdo outro elemento de um sistem mior. Ao tentr resolver este sistem mtricil será encontrdo um sistem liner comptível indetermindo. E como é necessári um solução em específico é necessário restringir o movimento em um ou mis nós. E esss restrições são s chmds condições de contorno. Até o momento foi nlisdo o elemento individulmente do sistem globl. Porém pr encontrr solução do sistem globl é necessário relcionr elemento outro, pr isso é necessário montr o sistem de equções mtricil globl que será chmdo de sistem globl. Pr mostrr o desenvolvimento d solução será mostrdo no eemplo seguir: Eemplo Considere um sistem formdo por dus mols, definido conforme Figur 4: Figur 4 Dois elementos mol (dptdo de HUTTON st ed. p. )

46 45 O sistem possui nós (portnto deslocmentos ou grus de liberdde), os elementos mol estão conectds por um dos nós. Anlisndo cd elemento individulmente encontr-se o seguinte digrm de corpo-livre. Figur 5 Digrm de corpo-livre (dptdo de HUTTON st ed. p. 4) Considerndo o digrm de corpo-livre individulmente de cd elemento em equilíbrio epress-se condição de equilíbrio pr cd mol usndo equção (5). () () () () f f u u (9) () () () () f f u u () É possível notr lgums relções entre o sistem globl com os sistems locis cim, que são: () U u () () () U u u () () U u () O sistem globl possui mtriz de rigidez globl d ordem, já que possui nós e portnto grus de liberdde. Desse modo é necessário tornr mtriz de rigidez do sistem locl pr o tmnho comptível (). Pr isso dicion-se (zeros) ns respectivs linh e coluns ds mtrizes locis no qul flt representção d vriável deslocmento. O sistem deste eemplo ficrá do seguinte modo: () () f f U U U (4) () () f f U U U (5) Fzendo som de (4) e (5) encontr-se:

47 46 () () () () f f f f U U U (6) Pelo digrm de corpo-livre é possível sber: () F f (7) () () F f f (8) () F f (9) Fzendo s devids substituições de (7), (8)e (9) em (6) encontr-se o seguinte sistem globl: F F F U U U (4) A mneir simplificd de representr o sistem é: } { } ]{ [ F U K (4) Note que form usds letrs minúsculs nos elementos do sistem locis e miúsculs pr o sistem globl, lém de numerções pr diferencir nós dos elementos mol. Pr encontrr solução do sistem flt plicr condição de contorno. Considere que o nó está engstdo, portnto não sofrerá deslocmento. Pr plicr condição de contorno bst eliminr s linhs e coluns d mtriz e dos vetores n posição correspondente o nó restringido, neste cso o s linhs d mtriz de rigidez e vetores e colun d mtriz de rigidez. O sistem mtricil ficrá: F F U U (4) Agor bst inverter mtriz de rigidez e multiplicr pelo vetor ds forçs. F F U U (4)

48 47 4. Elemento Brr Elástic O elemento brr elástic ou simplesmente brr tmbém conhecid como Spr, in ou Truss (treliç) é muito similr mol, porém possui um formulção mis gerl, tmbém possui mis plicções, como estruturs treliçds, pórti bidimensionis e tridimensionis. Suport somente esforços iis como o elemento mol. Pr fzer formulção deste elemento finito é necessário relizr lgums considerções: - brr é ret - o mteril obedece lei de Hooe - s forçs plicds ocorrem somente ns sus etremiddes - sofre somente esforços iis. Torção, momento e fleão não são trnsmitidos o longo dos elementos devido sus coneões. Pr isso ocorrer considerm-se os elementos conectdos por pinos ou junts esférics, permitindo rotção dos elementos em torno do nó. A formulção seguir é presentd por Hutton (4, p. ). A Figur 6 represent um brr de comprimento, o deslocmento il é coincidente coordend. Os nós e loclizdos ns etremiddes e o deslocmento o longo d brr é descrito por um função u(), o nó está engstdo e não sofre deslocmento. A função nos nós e stisfz u i (=)= e u j (=)=. Est é um função continu u() que pode ser epress em termos de u i e u j e considerndo eistênci ds funções de interpolção N i () e N j () encontr-se função (44). u N ( ) u N ( ) u (44) i i j j Figur 6 Elemento brr elástic (dptdo de HUTTON st ed. p. )

49 contorno: Pr encontrr s funções de interpolção serão usdos os seguintes vlores de u ( ) u i u ) u j 48 ( (45) Usndo s equções (44) e (45) encontr-se os seguintes condições de contorno que precism stisfzer s funções de interpolção. N ( ) N ( ) (46) i j N i ( ) N j ( ) (47) Por se trtr de um elemento com grus de liberdde pode-se usr um polinômio liner pr descrever cd função de interpolção: N i N j ( ) b b ( ) (48) (49) Aplicndo s condições (46) e (47) ns funções (48) e (49) encontr-se: A função u() reescrit ficrá: N form mtricil: N i ( ) (5) ( ) (5) N j u ( ) ui u j (5) ui u ( ) N i ( ) N j ( ) (5) u j A prtir dos conceitos de resistênci dos mteriis, um brr de secção A, cumprimento e sofrendo um crregmento P ddo por: F d d (54) AE Considerndo o elemento com secção constnte o será: F (55) AE Onde E é o modulo de elsticidde do mteril. A constnte de rigidez d mol equivlente será: AE (56) F

50 Gerlmente é usdo deformção do mteril nos cálculos d resistênci do mteril, como formulção trblh com deslocmento é necessário relcionr deformção com o deslocmento. Considerndo brr elástic com um deformção uniil sbe-se que: Aplicndo (5) em (57): 49 du (57) d u j ui (58) A tensão il, pel lei de Hooe, é dd por: A forç il é: u j ui E E (59) AE F A u j ui (6) Considerndo s forçs nodis f i e f j em equilíbrio f i +f j =, trvés de (6) tem-se: AE f i u j u i (6) AE f j u j u i (6) Epressndo o sistem formdo por (6) e (6) n form mtricil: AE A mtriz de rigidez é dd por: u i fi u j f j AE (6) e (64) 4. Energi de Deformção e º Teorem de Cstiglino A formulção seguir é presentd por Hutton (4, p. 8). Outr form de se obter formulção de que envolve deslocmento dos nós é trvés do uso d Energi de Deformção combindo com o º Teorem de Cstiglino. O trblho mecânico de deformção W de um ponto o ponto é ddo por:

51 onde: Reescrevendo (66): W W F 5 dr (65) dr di dyj dz (66) F di y y F dyj y z z F dz Considerndo um elemento só com deformção uniil, F= o trblho mecânico pr um únic direção é ddo por: z (67) W d (68) Aplicndo (56) em (69): Aplicndo (55) em (69): W (69) AE W (7) AE F W (7) AE AE F W AE (7) W V (7) Onde V é o volume deformdo d brr e é energi de deformção por unidde de volume u e. A energi de deformção por unidde de volume é dd por: u e d A energi de deformção U é dd por: (74) U n W i i No cso uniil com um únic crg sendo plicd: U W V (76) O º Teorem de Cstiglino firm que derivd prcil d energi de deformção em relção o deslocmento do nó i é igul forç plicdo neste nó: (75)

52 U fi i Combinndo s equções (58), (59) e (74): 5 (77) u j ui AE U V E A E A u j uiu j u Aplicndo o º Teorem de Cstiglino em relção cd nó: U fi i U f j AE AE j u u j j u u Note que s equções (79) e (8) são iguis (6) e (6). O Eemplo 4 mostr utilizção dos conceitos do elemento brr e os procedimentos utilizdos em MEF trvés do Ecel. i i i (78) (79) (8) Eemplo 4 Será usdo um tronco cilíndrico cônico, s informções já form usds nteriormente no tópico.., vej Figur 7. Figur 7 Tronco cônico do Eemplo 4 (dptdo de HUTTON st ed. p. 6) O rio o longo do cone é ddo por: A áre A() o longo de será: A r r (8) r r r r r r (8)

53 5 Atrvés d equção (54) o deslocmento devido à forç F é ddo por: i i F F d d A E E i i r r r (8) F E ( r r ) r i ( r r ) r i ( r r ) (84) Usndo o Ecel e s equções (84) e (59) pr obter o deslocmento e tensão o longo do comprimento será obtido o resultdo d Figur 8. Está é solução et do problem. Figur 8 Plnilh pr solução do Eemplo 4 As céluls mrcds em mrelo podem ser modificds, fcilitndo vlição de tron côni cilíndri de dimensões e proprieddes diferentes por meio itertivo. Pr fcilit reprodução d plnilh bio no Qudro estão descrito s fórmuls mis relevntes. Os termos em destque em negrito serão os úni vlores mudrem em cd célul. Qudro Fórmuls Eemplo 4 Céluls Fórmuls A9 =$B$4/+A8 B9 =$E$*$B$4^/(PI()*$E$*$H$4)*(/($H$-A9*$H$4)-/($H$-$A$8*$H$4)) C9 =B9*$E$/$B$4 Pr o uso de MEF s seguintes etps form eecutds:

54 5 Pré-processmento Discretizr o domínio d solução em elementos finitos (gerção de mlh), brr será discretizd em nós e elementos conforme Figur 9. A etidão do problem será dd pel quntidde de nós e elementos dotdos. Está sendo ssumindo elementos de comprimentos iguis e nós, s áres médis estipulds são dds por: i i i A A A (85) Figur 9 Discretizção do tronco cônico do Eemplo 4 (dptdo de HUTTON st ed. p. 6) Usr o elemento mis proprido pr descrever o comportmento do sistem, neste cso será o elemento do tipo brr elástic já formuld nteriormente, descrit pelo sistem mtricil (6). Montr mtriz rigidez globl: K eq (86)

55 54 Pr obter solução será plicd condição de contorno. Como brr está engstd, portnto u = tmbém é informdo que n outr etremidde d brr possui um crregmento F. Então o sistem de equções lineres fic: F u u u u u u (87) Completndo outr prte d plnilh e usndo s equções (8), (8), (85) e (56), o resultdo será como presentdo n Figur 4. Figur 4 Plnilh usndo s equções (8), (8), (85) e (56) (Eemplo 4) Pr fcilit reprodução d plnilh no Qudro estão descrito s fórmuls mis relevntes. Os termos em destque em negrito serão os úni vlores mudrem em cd célul. Qudro Fórmuls Eemplo 4 Céluls Fórmuls E8 = E9 =SE(($B$4/$H$+E8)>$B$4;$B$4;$B$4/$H$+E8) F8 =$B$-E8*$H$4/$B$4 G8 =PI()*F8^ I9 =(G8+G9)/ J9 =I9*$E$/($B$4/$H$)

56 55 Pr plicr condição de contorno n mtriz de rigidez elimin-se ª linh e ª colun d mtriz, já que no nó um seu deslocmento está restrito, n plnilh ficrá d seguinte form de cordo com equção mtricil (87): Figur 4 Mtriz de rigidez com condição de contorno plicd no Ecel (Eemplo 4) Fse de Solução Resolver o sistem de equções, pr resolver o sistem de equções lineres bst inverter mtriz de rigidez descrito em (87) (já com condição de contorno plicd) e multiplicá-l pelo vetor ds forçs nodis. ' Onde K eq ' u ' K f ' (88) eq é invers d mtriz de rigidez com s condições de contorno. A mtriz invers pelo Ecel usndo função MATRIZ.INVERSO será: O vetor ds forçs nodis será: Figur 4 - Invers no Ecel (Eemplo 4)

57 56 Figur 4- Vetor dos crregmentos nodis (Eemplo 4) Multiplicndo mtriz e o vetor com função MATRIZ.MUT será obtid os deslocmentos. Figur 44 Deslocmento nodis no Ecel (Eemplo 4) Pós-processmento No pós-processmento serão obtids outrs informções. A informção que pode ser obtid trvés dos deslocmentos é tensão norml, dd pel equção (59). Atrvés do Ecel será obtido o seguinte resultdo:

58 57 Figur 45 Pós-processmento no Ecel (Eemplo 4) Outr informção que pode ser obtid são s forçs de reção R i nos nós d brr, fornecid por: f u K R eq (89) Tem-se então: F u u u u u u u R R R R R R R (9) Obtém-se solução: 5 4 F R R R R R R R (9)

59 58 Pr verificr convergênci dos ddos vej os gráfi bio:,4, MEF com elementos,,8 Delt,6,4,,5,5,5 Figur 46 Deslocmentos nodis em função do comprimento (Eemplo 4),5,5 Tensão,5,5,5,5,5 Figur 47 Tensões em função do comprimento (Eemplo 4)

60 59 5 TREIÇA Segundo Beer e Johnston Júnior (98) treliç é um tipo de estrutur d engenhri comumente usdo em construção de prédios e pontes onde se busc um solução o mesmo tempo prátic, econômic e estétic. Um treliç idel consiste de brrs rets conectds e rticulds ns junts. Conectds somente ns etremiddes, sendo ssim, nenhum brr é continu pós um junt, como mostr Figur 48 (b) diferentemente d Figur 48 () em que o segmento AB é constituído de um únic brr. Figur 48 () Treliç não idel (b) Treliç idel (dptdo de BEER e JOHNSTON JÚNIOR ed.) As crgs ns treliçs são plicds ns junts, rrmente são plicds o longo ds brrs, pois sus brrs são delgds e não resistem tis esforços. As junts podem ser unids por pinos, sold, rebites ou prfusos, porém pr efeito didático els são considerds pinds e rticulds. Dest form os úni esforços suportdos pel treliç são os esforços iis. Os mteriis utilizdos n su construção podem ser tubos de ço, lumínio, perfil, brrs de metl, estruturs de mdeir, etc. N nálise desss estruturs gerlmente ignor-se o peso d estrutur, pois crg plicd gerlmente é muito mior. 5. Treliç Pln As treliçs plns ou bidimensionis são estruturs treliçds em que todos seus elementos podem ser representdos num mesmo plno.