Álgebra abstrata aplicada: alguém duvida?

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1 Álgebra abstrata aplicada: alguém duvida? IM-UFBA 22 de outubro de 2014

2 Álgebra é a ciência do cálculo das grandezas abstratas, representadas por letras. Álgebra é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas.

3 De onde surge a necessidade de fazer operações (contas, cálculos) em conjuntos não necessariamente numéricos?

4 Mais de 3000 áreas aplicam a Matemática regularmente. Computação, Engenharia, Física, Química e Economia. Linguística, Medicina, Biologia e Psicologia. Pelo menos metade dos matemáticos, nos Estados Unidos, trabalham em outras áreas.

5 Aplicações da álgebra Modelos lineares na Economia, Administração e na Engenharia. Computação gráfica e processamento de imagens. Criptografia. Sistemas dinâmicos. Mecânica quântica, eletromagnetismo, relatividade. Cruzamento de organismos e genética. Simetria molecular na química inorgânica.

6 Apresentação 1 Como montar uma dieta equilibrada para a perda de peso 2 3 4

7 Apresentação 1 Como montar uma dieta equilibrada para a perda de peso 2 3 4

8 Uma equipe de cientistas da Universidade de Cambridge desenvolveu uma dieta para pacientes obesos nos anos 80. A fórmula da dieta é uma combinação equilibrada de carboidratos, proteínas, gordura, vitaminas, minerais, etc. Para atingir as quantidades e as proporções desejadas de cada nutriente foi necessário introduzir a dieta uma grande variedade de tipos alimentares. Cada tipo alimentar fornecia muitos ingredientes da dieta mas não na proporção desejada.

9 O leite desnatado é uma grande fonte de proteínas mas contém muito cálcio. A farinha de soja é usada para se obter parte das proteínas porque contém pouco cálcio. A farinha de soja contém muita gordura. O soro de leite talhado tem menos gordura em porporção ao cálcio. O soro de leite contém caiboidratos demais...

10 Problema em pequena escala Table: Quantidade (gramas) fornecidas por 100 gramas de ingredientes Nutrientes(gramas) Leite desnatado Farinha de soja Soro de leite Quantidade fornecidas pela dieta (dia) Proteína Carboidrato Gordura 0 7 1,1 3 Problema: Determinar uma combinação de leite desnatado, farinha de soja e soro de leite de modo a obter as quantidades diárias exatas de proteínas, carboidratos e gordura para a dieta.

11 Solução: Sejam x 1, x 2 e x 3 os números de unidades (100 gramas) de leite desnatado, farinha de soja e soro de leite, respectivamente. A equação vetorial é: x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 = b em que a i é a i-ésima coluna da tabela, ou seja, a 1 = 52, a 2 = 34, a 3 = , 1 b é a última coluna da tabela anterior, ou seja, 33 b = 45 3

12 Solução: Sejam x 1, x 2 e x 3 os números de unidades (100 gramas) de leite desnatado, farinha de soja e soro de leite, respectivamente. A equação vetorial é: x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 = b em que a i é a i-ésima coluna da tabela, ou seja, a 1 = 52, a 2 = 34, a 3 = , 1 b é a última coluna da tabela anterior, ou seja, 33 b = 45 3

13 , , , , 233 Com precisão de três casas decimais, a dieta requer 0, 277 unidades de leite desnatado, 0, 392 unidades de farinha de soja e 0, 233 unidades de soro de leite de modo a obter as quantidades desejadas de protéinas, carboidratos e gordura.

14 , , , , 233 Com precisão de três casas decimais, a dieta requer 0, 277 unidades de leite desnatado, 0, 392 unidades de farinha de soja e 0, 233 unidades de soro de leite de modo a obter as quantidades desejadas de protéinas, carboidratos e gordura.

15 Considerações Para que a solução seja fisicamente viável, os valores x 1, x 2 e x 3 não podem ser negativos. Com um número grande de nutrientes necessários possivelmente será preciso uma quantidade maior de tipos alimentares (para que exista solução não negativa). O fabricante da dieta de Cambridge conseguiu fornecer 31 nutrientes, em quantidades precisas, usando apenas 33 ingredientes. Técnicas de programação linear são utilizadas em problemas desse tipo.

16 Considerações Para que a solução seja fisicamente viável, os valores x 1, x 2 e x 3 não podem ser negativos. Com um número grande de nutrientes necessários possivelmente será preciso uma quantidade maior de tipos alimentares (para que exista solução não negativa). O fabricante da dieta de Cambridge conseguiu fornecer 31 nutrientes, em quantidades precisas, usando apenas 33 ingredientes. Técnicas de programação linear são utilizadas em problemas desse tipo.

17 Apresentação 1 Como montar uma dieta equilibrada para a perda de peso 2 3 4

18 Em uma certa espécie de gado os animais podem ser pretos ou marrons, de uma única cor ou pintados. Sabe-se que preto é dominante e marrom recessivo e que monocromático é dominante sobre pintado.

19 Assim, existem 4 possíveis tipos de gado neste rebanho: 1 a = Preto. 2 b = Preto pintado. 3 c = Marrom. 4 d = Marrom pintado. Devido a dominância, em um cruzamento de um gado preto pintado com um marrom temos um gado preto. Podemos simbolizar esse cruzamento por: b c = a.

20 Assim, existem 4 possíveis tipos de gado neste rebanho: 1 a = Preto. 2 b = Preto pintado. 3 c = Marrom. 4 d = Marrom pintado. Devido a dominância, em um cruzamento de um gado preto pintado com um marrom temos um gado preto. Podemos simbolizar esse cruzamento por: b c = a.

21 a b c d a a a a a b a b a b c a a c c d a b c d S = ({a, b, c, d}, ) é um semigrupo ( é associativa e d é o elemento neutro). Além disso, a tabela é simétrica em relação a diagonal principal, portanto é comutativa.

22 a b c d a a a a a b a b a b c a a c c d a b c d S = ({a, b, c, d}, ) é um semigrupo ( é associativa e d é o elemento neutro). Além disso, a tabela é simétrica em relação a diagonal principal, portanto é comutativa.

23 Apresentação 1 Como montar uma dieta equilibrada para a perda de peso 2 3 4

24 Na floresta de sequóias da Califórnia, um tipo de rato-do-mato fornece até 80% da dieta da coruja malhada que é o principal predador do rato-do mato.

25

26 Vamos denotar as populações de corujas e ratos-do-mato, em k-meses por C k e R k respectivamente (medidos em milhares). Exemplo: C 0 = 15 e R 0 = 14 significa que existiam 15 mil corujas e 14 mil ratos quando o estudo foi iniciado.

27 Vamos denotar as populações de corujas e ratos-do-mato, em k-meses por C k e R k respectivamente (medidos em milhares). Exemplo: C 0 = 15 e R 0 = 14 significa que existiam 15 mil corujas e 14 mil ratos quando o estudo foi iniciado.

28 Sendo p é um parâmetro positivo a ser especificado, suponha C 1 = (0, 5)C 0 + (0, 4)R 0 R 1 = pc 0 + (1, 1)R 0 represente a população de corujas e de ratos após 1 mês, C 2 = (0, 5)C 1 + (0, 4)R 1 R 2 = pc 1 + (1, 1)R 1 represente a população de corujas e de ratos após 2 mês.

29 Sendo p é um parâmetro positivo a ser especificado, suponha C 1 = (0, 5)C 0 + (0, 4)R 0 R 1 = pc 0 + (1, 1)R 0 represente a população de corujas e de ratos após 1 mês, C 2 = (0, 5)C 1 + (0, 4)R 1 R 2 = pc 1 + (1, 1)R 1 represente a população de corujas e de ratos após 2 mês.

30 Após k+1 meses... C k+1 = (0, 5)C k + (0, 4)R k R k+1 = pc k + (1, 1)R k As equações acima representam a evolução da população de corujas e de ratos no tempo.

31 Após k+1 meses... C k+1 = (0, 5)C k + (0, 4)R k R k+1 = pc k + (1, 1)R k As equações acima representam a evolução da população de corujas e de ratos no tempo.

32 De forma equivalente, ( ) 0, 5 0, 4 x k+1 = p 1, 1 }{{} A ( ) Ck em que x k =. R k x k

33 Problema: Determinar a evolução desse sistema quando o parâmetro predatório é 0, 104.

34 Neste caso, em que x k = ( Ck ( ) 0, 5 0, 4 x k+1 = 0, 104 1, 1 }{{} A ). Ou equivalentemente, R k x k em que x 0 = ( C0 R 0 x 1 = Ax 0 x 2 = Ax 1 = A 2 x 0 x 3 = Ax 2 = A 3 x 0. x k = Ax k 1 = A k x 0 ).

35 Neste caso, em que x k = ( Ck ( ) 0, 5 0, 4 x k+1 = 0, 104 1, 1 }{{} A ). Ou equivalentemente, R k x k em que x 0 = ( C0 R 0 x 1 = Ax 0 x 2 = Ax 1 = A 2 x 0 x 3 = Ax 2 = A 3 x 0. x k = Ax k 1 = A k x 0 ).

36 Exemplo x 0 = ( ) x 1 = Ax 0 =? x 2 = A 2 x 0 =?. x 100 = A 100 x 0 =? Computacionamente a razão entre as populações de corujas e ratos é aproximadamente 0, para k suficientemente grande.

37 Exemplo x 0 = ( ) x 1 = Ax 0 =? x 2 = A 2 x 0 =?. x 100 = A 100 x 0 =? Computacionamente a razão entre as populações de corujas e ratos é aproximadamente 0, para k suficientemente grande.

38 Problema: Vale para qualquer x 0? A Álgebra Linear nos dá essa resposta!!!!!!!!

39 Problema: Vale para qualquer x 0? A Álgebra Linear nos dá essa resposta!!!!!!!!

40 Prova Os autovalores da matriz dos coeficientes A são: λ 1 = 1, 02 e λ 2 = 0, 58. Como autovetores associados temos, respectivamente: ( ) ( ) 10 5 v 1 = e v 13 2 =. 1

41 Um x 0 inicial pode ser escrito como x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2. Suponha c 1 0. Então, para k 0, x k = A k x 0 = c 1 A k v 1 + c 2 A k v 2 = c 1 (λ 1 ) k v 1 + c 2 (λ 2 ) k v 2 = c 1 (1, 02) k v 1 + c 2 (0, 58) k v 2 Para k suficientemente grande (0, 58) k é praticamente zero. Disso, x k c 1 (1, 02) k v 2 = c 1 (1, 02) k ( ) ( 10 Conclusão 1: x k é aproximadamente um múltiplo de 13 seja, para cada 10 mil corujas existem cerca de 13 mil ratos. ), ou

42 Um x 0 inicial pode ser escrito como x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2. Suponha c 1 0. Então, para k 0, x k = A k x 0 = c 1 A k v 1 + c 2 A k v 2 = c 1 (λ 1 ) k v 1 + c 2 (λ 2 ) k v 2 = c 1 (1, 02) k v 1 + c 2 (0, 58) k v 2 Para k suficientemente grande (0, 58) k é praticamente zero. Disso, x k c 1 (1, 02) k v 2 = c 1 (1, 02) k ( ) ( 10 Conclusão 1: x k é aproximadamente um múltiplo de 13 seja, para cada 10 mil corujas existem cerca de 13 mil ratos. ), ou

43 Um x 0 inicial pode ser escrito como x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2. Suponha c 1 0. Então, para k 0, x k = A k x 0 = c 1 A k v 1 + c 2 A k v 2 = c 1 (λ 1 ) k v 1 + c 2 (λ 2 ) k v 2 = c 1 (1, 02) k v 1 + c 2 (0, 58) k v 2 Para k suficientemente grande (0, 58) k é praticamente zero. Disso, x k c 1 (1, 02) k v 2 = c 1 (1, 02) k ( ) ( 10 Conclusão 1: x k é aproximadamente um múltiplo de 13 seja, para cada 10 mil corujas existem cerca de 13 mil ratos. ), ou

44 Além disso, x k+1 c 1 (1, 02) k+1 v 2 = (1, 02)c 1 (1, 02) k v 2 (1, 02)x k Conclusão 2: Assintoticamente as duas componentes de x k (os números de corujas e de ratos) crescem com fator de cerca de 1, 02 por mês, uma taxa mensal de crescimento de 2%.

45 Além disso, x k+1 c 1 (1, 02) k+1 v 2 = (1, 02)c 1 (1, 02) k v 2 (1, 02)x k Conclusão 2: Assintoticamente as duas componentes de x k (os números de corujas e de ratos) crescem com fator de cerca de 1, 02 por mês, uma taxa mensal de crescimento de 2%.

46 Apresentação 1 Como montar uma dieta equilibrada para a perda de peso 2 3 4

47 Por que é legal! Bônus: Por que estudar álgebra? É útil em diversas áreas! Como a arte, a Álgebra não precisa representar objetos ou coisas reais. Ao contrário, uma de suas marcas registradas é afastar-se da realidade. Pelo menos da realidade imediata.

48 Por que é legal! Bônus: Por que estudar álgebra? É útil em diversas áreas! Como a arte, a Álgebra não precisa representar objetos ou coisas reais. Ao contrário, uma de suas marcas registradas é afastar-se da realidade. Pelo menos da realidade imediata.

49 Por que é legal! Bônus: Por que estudar álgebra? É útil em diversas áreas! Como a arte, a Álgebra não precisa representar objetos ou coisas reais. Ao contrário, uma de suas marcas registradas é afastar-se da realidade. Pelo menos da realidade imediata.

50 Por que é legal! Bônus: Por que estudar álgebra? É útil em diversas áreas! Como a arte, a Álgebra não precisa representar objetos ou coisas reais. Ao contrário, uma de suas marcas registradas é afastar-se da realidade. Pelo menos da realidade imediata.

51 Referências Lay, David C. Álgebra Linear e suas aplicações, LTC, Lidl, Rudolf.; Pilz, Gunter. Applied Abstract Algebra, Springer,

52 Obrigada pela atenção!

53 In[1]:= Exit In[1]:= Out[1]= In[2]:= Out[2]= In[3]:= A 0.5, 0.4, 0.104, , 0.4, 0.104, 1.1 Eigenvalues A 1.02, 0.58 Eigenvectors A Out[3]= , , ,

54 2 manu.nb N ` ` Out[15]= In[5]:= Table c MatrixPower A, i. 15, i, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `,

55 `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, manu.nb

56 4 manu.nb `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, `, ` In[12]:= N ` ` Out[12]= In[13]:= N ` ` Out[13]= In[14]:= N ` ` Out[14]= In[11]:= N ` ` Out[11]= N ` ` Out[10]= In[8]:= Out[8]=

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