Aula 12 - Questões Comentadas e Resolvidas

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1 Aula - Questões Comentadas e Resolvidas Testes de hipóteses para médias, proporções e variâncias populacionais. Valor-p (probabilidade de significância). Testes de hipóteses não paramétricos.. (ICMS-RJ//FGV). Para testar H : μ contra H : μ >, sendo μ a média de uma variável populacional suposta normalmente distribuída com variância igual a, uma amostra aleatória simples de tamanho 5 foi obtida e resultou num valor da média amostral igual a 5,76. Ao nível de significância de 5%, o valor-p (nível crítico) correspondente e a decisão a ser tomada são respectivamente: A), e não rejeitar H. B), e rejeitar H. C),58 e não rejeitar H. D), e rejeitar H E),54 e não rejeitar H. Resolução PRELIMINARES Noções Fundamentais Na prática, é muito comum a tomada de decisões sobre populações com base em informações amostrais. Tais decisões são denominadas decisões estatísticas. Por exemplo, podemos desejar conhecer, a partir de um conjunto de dados provenientes de uma população, se uma vacina experimental é eficaz contra um novo tipo de gripe ou se uma política governamental econômica é melhor que outra(s). Nesta aula, estudaremos o problema dos testes de hipóteses relativos à população. Diz-se que os testes são paramétricos quando se referem a hipóteses sobre parâmetros populacionais. Os testes são não paramétricos quando se referem a outros aspectos que não os parâmetros em si. Considere, por exemplo, uma população cujos elementos podem ser classificados de acordo com dois atributos, que denominaremos sucesso e fracasso. Podemos ter n elementos, dos quais alguns são defeituosos e os restantes são não defeituosos. Se p denota a proporção de sucessos na população, então o objetivo é fazer algum tipo de inferência sobre p. Aprendemos na aula anterior como estimar p. Aqui, estamos interessados em testar alguma hipótese estatística sobre p, tal como p é maior do que um dado valor p ou p é menor do que um certo valor p. A hipótese sob investigação será considerada válida até que se prove o contrário (a prova

2 será dada num sentido probabilístico). Baseados em uma amostra da população vamos estabelecer uma regra de decisão, segundo a qual rejeitaremos ou aceitaremos a hipótese proposta. A regra de decisão é chamada teste. Somente serão consideradas amostras aleatórias. A presente aula é muito importante para a prova. Não prossiga com o estudo a partir deste ponto se você ainda sente que não está craque nos tópicos de amostragem e estimação de parâmetros. Estes assuntos são pré-requisitos para um bom entendimento/aproveitamento desta aula. No restante desta aula, aprenderemos a resolver questões que envolvam os testes de hipóteses mais prováveis de serem cobrados pela banca na prova. Dado um problema de teste de hipóteses, precisamos formular as chamadas hipótese nula e hipótese alternativa. A hipótese nula ou hipótese de trabalho (H ) é a hipótese aceita como verdadeira até prova estatística em contrário. É o ponto de partida para a análise dos dados. Em geral, ela é formulada em termos de igualdade entre parâmetros ou entre um parâmetro e uma constante. Ela geralmente representa o contrário do que queremos provar, ou seja, representa a hipótese que se quer rejeitar. Quando os dados mostrarem evidência suficiente de que a hipótese nula (H ) é falsa, o teste rejeita-a, aceitando em seu lugar a chamada hipótese alternativa (H ). Em geral, a hipótese alternativa é formulada em termos de desigualdades (, < ou >). Ela comumente representa o que se quer provar, isto é, corresponde à própria hipótese de pesquisa formulada em termos de parâmetros. Exemplo. Uma empresa atuante na exploração e produção de óleo e gás natural compra de um fornecedor parafusos cuja carga média de ruptura é 55 kn. O desvio padrão das cargas de ruptura é igual a 6 kn e independe do valor médio. Deseja-se verificar se um grande lote de parafusos recebidos deve ser considerado satisfatório. Não é desejável que esse lote seja formado por parafusos cuja carga média de ruptura seja inferior a 55 kn. Por outro lado, o fato de a carga média de ruptura ser superior a 55 kn não representa problema, pois, nesse caso, os parafusos seriam de qualidade superior à necessária. A empresa poderia adotar a seguinte regra para decidir se concorda em aceitar o lote ou se prefere devolvê-lo ao fornecedor: coletar uma amostra aleatória de 36 parafusos do lote e submetê-los a ensaios de ruptura em laboratório; se a carga média de ruptura observada nessa amostra for maior ou igual a 53 kn, ela comprará o lote; caso contrário, ela se recusará a comprar. A princípio, a empresa poderia testar a hipótese de que a carga média de ruptura dos parafusos do lote seja maior ou igual a 55 kn, contra a alternativa de que ela seja inferior a 55 kn (esta última é a sua suspeita). Como a hipótese de que a carga média de ruptura seja superior a 55 kn não preocupa

3 o comprador, a mesma poderia ser excluída, sem perda de generalidade, para simplificação do teste. Assim, as hipóteses do teste são H : H : μ = 55 kn μ < 55 kn Vamos admitir que a hipótese H seja verdadeira, ou seja, que a população dos valores da carga de ruptura tem de fato a média μ = 55 kn. Assim, a média X da amostra aleatória de 36 elementos será uma variável aleatória com média também de 55 kn e com desvio padrão igual a σ = σ / n = 6 / 36 =, kn. Aprendemos que podemos considerar a distribuição X amostral de X como aproximadamente normal. Temos então a situação indicada na figura abaixo, em que α indica a probabilidade de se obter x < 53 kn (essa probabilidade corresponde à área sob a distribuição amostral de X no intervalo < x < 53). Distribuição da média amostral, n= Densidade α = P(média < 53).5 Rejeita se média < 53 kn Média amostral A probabilidade α pode ser determinada por meio de x μ z = = = σ, X valor para o qual a tabela da normal reduzida fornece a área,5,477 =,8 =,8%. Assim, há uma probabilidade α =,8% de que, mesmo sendo a hipótese H verdadeira, x assuma valor na faixa que leva à rejeição de H, de acordo com a regra de decisão adotada. Neste caso, a empresa iria rejeitar H sendo ela verdadeira, o que consiste no erro tipo,, 3

4 I (neste exemplo, o erro tipo I levaria à rejeição de um lote satisfatório), cuja probabilidade é dada por α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H H é verdadeira). Por outro lado, pode ocorrer a situação em que a hipótese H é falsa, ou seja, na realidade vale μ < 55 kg, e a média amostral assume um valor maior que 53 kg, levando a aceitação de H. A empresa cometeria, neste caso, o erro tipo II, que consiste em aceitar a hipótese H sendo ela falsa. Por conseguinte, a empresa iria adquirir um lote insatisfatório, causando prejuízos à produção. A probabilidade de se cometer um erro tipo II é denotada por β, logo β = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H H é falsa). A probabilidade β não pode ser calculada, a menos que se especifique um valor alternativo para o parâmetro sob investigação. Em resumo, em um teste de hipóteses, podem ocorrer dois tipos de erro (memorize para a prova!): Erro tipo I: rejeitar H, sendo H verdadeira; Erro tipo II: aceitar H, sendo H falsa. A faixa de valores da variável de teste que leva à rejeição de H é denominada Região Crítica (RC) ou região de rejeição do teste. Para o exemplo visto, a RC é < x < 53. Por outro lado, a faixa de valores que leva à aceitação é chamada de Região de Aceitação (RA), x 53. A figura abaixo mostra as RC e RA do teste do exemplo anterior Densidade Região Crítica (RC) Região de Aceitação (RA) Média amostral 4

5 Voltando ao exemplo visto acima, a empresa poderia ter adotado o seguinte critério (alternativo) de decisão: se a carga média de ruptura observada na amostra de 36 elementos for inferior a 55 kn, isto é, se x < 55 kn, então ela se recusará a comprar o lote de parafusos. Entretanto, esta idéia, aparentemente intuitiva, de se rejeitar H caso x < 55 kn, não seria, de fato, recomendável, pois, nesse caso, a probabilidade α do erro tipo I seria igual a 5%! Vimos como, no exemplo anterior, fixada a RC do teste, determinamos a probabilidade α do erro tipo I por meio de uma simples manipulação da distribuição normal. Inversamente, dado α, podemos determinar o limite da RC. Isso é o que em geral se faz na prática, direta ou indiretamente, sendo os valores usualmente adotados α = 5% e α = %. Assim, no exemplo anterior, se for fixado α = 5%, resultará que x 55 =,645 =,, z 5% x = 55,,645 = 53,355 kn limite da RC. Da mesma forma, se for fixado α = %, o novo limite da RC será x 55 z % =,36 = x = 55,,36 = 5, 674 kn., Deste modo, se o valor numérico da média amostral for inferior a 5,674 kn, rejeitaremos a hipótese H ao nível α = % de significância (isso implica que H será também rejeitada se o nível de significância for α = 5%). Se a média amostral for superior a 53,355 kn, aceitaremos a hipótese H ao nível de α = 5% de significância (H será também aceita se o nível de significância for α = %). Se, por acaso, tivermos 5,674 < x < 53, 355 kn, a hipótese H será aceita ao nível α = % e será rejeitada ao nível α = 5%. Isto quer dizer que, se a empresa admite realizar o teste a um risco de 5% de probabilidade de cometer o erro tipo I (rejeitar H, sendo H verdadeira), a evidência estatística terá sido significativa, indicando que a hipótese nula deverá ser rejeitada. Se, porém, tivéssemos especificado um risco de apenas % de probabilidade de cometer o erro tipo I, a evidência amostral não teria sido significativa a esse nível de significância. O exemplo mostra que a decisão de aceitar ou rejeitar a hipótese nula H depende do nível de significância adotado. Um dado resultado amostral obtido pode ser ou não significante, dependendo do α fixado, e é por esta razão que α é denominado nível de significância. Um resultado significativo a um determinado nível α nos levará à rejeição de H, pois admite-se que ele não é compatível com a hipótese nula, a menos de uma probabilidade α de erro. 5

6 Por outro lado, se o resultado amostral cair na região de aceitação, não terá havido, no nível α especificado, evidência significativa suficiente para a rejeição de H, a qual, por tal motivo, deverá ser aceita. Neste caso, estamos sujeitos a cometer o erro tipo II (aceitar H sendo H falsa). A aceitação de H está associada, via de regra, à insuficiência de evidência empírica, ao nível de significância desejado, para se chegar à sua rejeição. Essa aceitação, portanto, não deve ser interpretada como uma afirmação de H. Assim, rejeitamos H quando estamos estatisticamente convencidos, ao nível de significância α, de que estamos certos, enquanto que, se aceitamos H, em geral essa aceitação não representa uma afirmação estatisticamente forte. Valor-p Geralmente, a hipótese nula H afirmará que um parâmetro populacional tem um valor específico e a hipótese alternativa H será uma das seguintes assertivas: (i) O parâmetro é maior que o valor especificado (teste unilateral ou monocaudal à direita)..4 Teste unilateral à direita Densidade Rejeita se média > 57 kn Média amostral (ii) O parâmetro é menor que o valor especificado (teste unilateral à esquerda). 6

7 .4 Teste unilateral à esquerda Densidade Rejeita se média < 53 kn Média amostral (iii) O parâmetro é maior que um valor ou menor que um outro valor especificado (teste bilateral ou bicaudal)..4 Teste bilateral Densidade Rejeita se x<-.3 Prob =.5 Rejeita se t>.3 Prob = média amostral Definição (valor-p). O valor-p (ou probabilidade de significância) é a probabilidade de a estatística do teste acusar um resultado tão ou mais distante do esperado, como o resultado ocorrido na particular amostra observada, supondo H como a hipótese verdadeira. Exemplo. Suponha que o desvio padrão σ de uma população normalmente distribuída seja igual a 3, e que H afirme que a média populacional seja igual a (H : μ = ). Uma amostra aleatória com 36 elementos é extraída da população e produz a média amostral X =, 95. Escolheu-se X Z = σ / n X = 3/ 36 = X,,5 7

8 como a estatística do teste, que corresponderá à variável aleatória normal reduzida, se H for verdadeira. O valor da estatística é z = (,95 ) /,5 =, 9. Vamos supor que o nível de significância especificado para o teste seja α = 5%. O valor-p do teste então dependerá da hipótese alternativa H como se segue: (i) Para H : μ > (caso (i)), o valor-p é a probabilidade de que uma amostra aleatória com 36 observações produza uma média amostral maior ou igual a,95, dado que a verdadeira média seja ; neste caso, P(z,9),9% (vide a figura abaixo). Isto significa que a chance de ocorrer X, 95 é aproximadamente igual a 3% (relativamente baixa) se μ = Densidade Valor-p = P(média >.95) Média amostral (ii) Para H : μ< (caso (ii)), o valor-p é a probabilidade de que uma amostra aleatória de tamanho 36 produza uma média amostral menor ou igual a,95, se μ =. Tem-se que P(z,9) 97,% (veja a próxima figura). Isto quer dizer que a probabilidade de ocorrer X, 95 é aproximadamente igual a 97% (as chances são bastante altas) se μ =. 8

9 Valor-p = P(média <.95) Densidade Média amostral (iii) Para H : μ (caso (iii)), o valor-p é a probabilidade de que uma amostra aleatória de tamanho 36 produza uma média amostral que esteja,95 unidade ou mais afastada de μ =, ou seja, X, 95 ou X,5, se a média populacional é de fato igual a. Aqui, o valor-p é dado por P(z,9) + P(z -,9) =,87 +,87 5,7% (vide a figura abaixo), e isto quer dizer que as chances são de aproximadamente 6 em de que X, 95 se μ = Densidade.4.3. p/ p/ média amostral Pequenos valores-p nos dão evidências estatísticas para rejeitarmos H em favor de H, pois a probabilidade de ocorrer um resultado tão ou mais distante do esperado, como o resultado ocorrido na amostra observada é pequena, se H for verdadeira (mas é preciso quantificar quão pequeno deve ser o valor-p e é aí que entra em cena o nível de significância α). Neste exemplo, P(Z,9) = valor-p =,9% para H : μ >. Neste caso, valor-p =,9% (menor que α = 5%) é um forte indicador de que a média populacional μ é maior que. Portanto, torna-se natural rejeitar H em favor de H. Por outro lado, grandes valores-p não fornecem evidências estatísticas para rejeitarmos H em favor de H, pois a probabilidade de ocorrer um resultado 9

10 tão ou mais distante do esperado, como o resultado ocorrido na amostra observada é grande, se H for verdadeira. No exemplo, P(Z,9) = valor-p = 97,% para H : μ<. Assim, um valor-p = 97,% (maior que α = 5%) é uma forte evidência de que H não deve ser rejeitada em favor de H. Para o caso (iii), H : μ, foi obtido (valor-p = 5,7%) > (α = 5%). Aqui, a evidência estatística para rejeitar H em favor de H NÃO é suficientemente forte. Logo, não rejeitamos H em favor de H. Porém, H seria rejeitada em favor de H se adotássemos um valor maior para o nível de significância, como α = %. Regra a ser memorizada para a prova: Se valor-p α, rejeitamos H em favor de H. Se valor-p > α, não rejeitamos H em favor de H. Testes de Uma Média Populacional com Desvio Padrão Conhecido Caso : Testes de hipóteses monocaudais: a) H : μ = μ H : μ < μ ou b) H : μ = μ H : μ > μ Deve-se padronizar o valor experimental x utilizando-se a fórmula: x μ () zα =. σ / n A RC irá corresponder aos valores x < x para o teste (a). Neste caso, devemos rejeitar H se z < -z α. A RC irá corresponder aos valores x > x para o teste (b). Portanto, a hipótese nula (H ) deve ser rejeitada se z > z α. Caso : Testes de hipóteses bilaterais: c) H : μ = μ H : μ μ A RC irá corresponder aos valores x < x ou x > x (vide a próxima figura), em que os dois limites da RC são dados por

11 σ () x = μ zα / n (3) x = μ + zα / σ n Neste caso, devemos rejeitar H se z < -z α/ ou critério de rejeição z > z α/. z > z α/, o que implica o Densidade.4.3. α/ α/. μ média amostral x x A Tabela I resume os testes de hipóteses de uma média populacional com desvio padrão σ conhecido. Tabela I: testes de hipóteses para μ com σ conhecido Hipóteses H : μ = μ H : μ < μ Rejeita-se H se z < -z α H : μ = μ H : μ > μ z > z α H : μ = μ z < -z α/ ou z > z α/ H : μ μ z > z α/ Voltemos à resolução da questão. Dados: σ =, n=5, X = 5, 76 e α=5%.

12 X μ 5,76 z = z = =,88 σ / n / 5 De acordo com a tabela normal do Apêndice a esta aula, o valor-p correspondente a z =,88 é,99,. Como valor-p < α, rejeitamos H em favor de H alternativa D. COMENTÁRIOS ADICIONAIS Testes de uma Média Populacional com Desvio Padrão Desconhecido É muito freqüente o caso em que desejamos testar hipóteses referentes à média de uma população cujo desvio padrão é desconhecido. Se tivermos à disposição uma amostra aleatória de n elementos provenientes dessa população, com base na qual iremos realizar o teste, deveremos então usar essa mesma amostra para estimar o desvio padrão σ da população. Neste caso, a variável aleatória de teste terá distribuição t de Student com n- graus de liberdade: x μ (4) t n =. s / n Assim, a única diferença em relação ao caso anterior (desvio padrão conhecido) reside no fato de que iremos trabalhar com valores t de Student no lugar de z (normal padrão). A Tabela II resume os testes de hipóteses de uma média populacional com desvio padrão σ desconhecido. Tabela II: testes de hipóteses para μ com σ desconhecido Hipóteses H : μ = μ H : μ < μ Rejeita-se H se t n- < -t n-,α H : μ = μ H : μ > μ t n- > t n-,α H : μ = μ H : μ μ t n- > t n-,α/ GABARITO: D (Especialista em Regulação de Aviação Civil/ANAC/9/UnB-CESPE). Em uma pequena pesquisa encomendada por uma empresa aérea, foi realizado o seguinte teste de hipóteses.

13 H: μ= kg versus H: μ> kg, em que μ representa a quantidade média de bagagens (em kg) que cada passageiro gostaria de transportar em vôos domésticos; H é a hipótese nula e H é a hipótese alternativa. De um grupo de 34 passageiros escolhidos ao acaso, a pesquisa mostrou que, em média, cada passageiro gostaria de transportar kg. O desvio padrão amostral das quantidades observadas nesse levantamento foi igual a 9 kg. Com base nessas informac ões e considerando que as quantidades sigam uma distribuic ão normal, e que Φ(,7) =,955, Φ(,) =,977 e Φ(,5) =,994, em que Φ(z) representa a func ão de distribuic ão acumulada da distribuic ão normal padrão, julgue os itens seguintes.. A probabilidade de significa ncia do teste é superior a,3. Resolução A distribuição amostral de X é normal com média μ e variância σ /n. Vimos que a variância amostral S é um estimador consistente da variância populacional σ, pois a variabilidade de S é desprezível (é um valor muito próximo de zero) quando o tamanho n da amostra é um valor grande. Embora S, seja um estimador justo da variância populacional σ, sua raiz quadrada S não é um estimador justo do desvio padrão populacional σ. O viés de S como estimador de σ, entretanto, tende assintoticamente a zero. Logo, para amostras grandes, podemos, por simplificação, adotar como estimativa o próprio desvio padrão da amostra, calculado pela raiz quadrada da variância amostral Portanto, podemos adotar a aproximação S = 9 σ (desvio-padrão amostral = desvio-padrão populacional), pois n = 34 é um valor muito grande. Deste modo, μ = pela H, σ /n = 9 /34 = 8/34 = /4, X ~ N(; /4) e a estatística do teste é x μ z = z = =,. σ / n / Φ(,) =,977 valor-p = -Φ(,) =,3 =,3% < 3%. O item está errado, porque a probabilidade de significância ou valor-p do teste é,3%, inferior a 3%. A próxima figura mostra a distribuição amostral da média, sendo a hipótese nula verdadeira. A área hachurada é o valor-p. 3

14 Densidade.4.3. Valor-p =,3% Média amostral GABARITO: Errado 3. Se o nível de significa ncia for igual a 3,5%, então há evide ncias estatísticas contra a hipótese nula. Resolução Valor-p =,3% < α = 3,5% deve-se rejeitar H, pois o valor da média amostral ( x = ) encontra-se na região crítica x > x c =, 96 (α=3,5%). A figura a seguir mostra a região crítica do teste (área hachurada em vermelho). Item certo Densidade.4.3. RC Média amostral 4

15 GABARITO: Certo 4. Se a média verdadeira for μ = 9,6, então, para uma probabilidade do erro do tipo I fixada em 4,5%, o valor da func ão característica de operac ão do teste será superior a,98. Resolução Aqui a probabilidade β do erro tipo II pode ser calculada, pois o item especificou um valor alternativo para μ, qual seja, μ =9,6. Precisamos aprender um conceito novo antes de resolver este item. Definição. A função característica de operação do teste é definida como β(μ) = P(aceitar H μ). Ou seja, β(μ) é a probabilidade de aceitar H, considerada como uma função de μ. Segue-se que a função característica do teste especificado pela questão é dada por No item, β(μ) = P(aceitar H μ) = P( X pertencer à região de aceitação μ). β(μ = μ = 9,6) = P( X menor que o valor crítico μ = 9,6). Observe que a nova probabilidade do erro do tipo I foi fixada em 4,5%, ou seja, α = 4,5% e isto implica z 4,5% =,7, pois Φ(,7) =,955. Então o novo valor crítico do teste, assumindo-se verdadeira a hipótese nula μ =, será dado por x c =,7 x c,5 =,85. A região de aceitação para α = 4,5% é x <, 85. Como a média verdadeira é μ =9,6, a P( X menor que o valor crítico μ = 9,6) é dada por,85 9,6 P z < zc = = P(z < zc =,5) = Φ(,5) = 99,4%. / Então β(9,6) = P(aceitar H média verdadeira) =,994 >,98. Item certo. A próxima figura mostra a probabilidade β, a distribuição verdadeira (linha preta) e a distribuição amostral falsa (linha vermelha). 5

16 .9.8 distribuição pela H distribuição verdadeira β GABARITO: Certo 5. Considerando-se que o nível de significa ncia do teste igual a,6%, o valor da func ão poder (ou potência) do teste será igual a,5 se a média verdadeira μ for igual a kg. Resolução O poder ou potência do teste é definido como No item, π(μ) = -β(μ) = P(rejeitar H μ). π(μ = ) = P( X pertencer à região crítica μ = ). O nível de significância é,6%, isto é, α =,6%. Logo, z,6% =,5, pois Φ(,994) =,5. Assim, o valor crítico do teste, assumindo-se verdadeira a hipótese nula μ =, será x c =,5 x c,5 =,5. Ou seja, a região crítica para α =,6% é x >, 5. Como a média verdadeira é μ=, então π() = P( X >,5 μ=) <,5, 6

17 pois o valor crítico está direita da verdadeira média. A figura abaixo mostra que o poder do teste, representado pela área azul, é menor que,5. Item errado. distribuição pela H (falsa) distribuição verdadeira poder do teste GABARITO: Errado 6. Pode-se afirmar, com 95,5% de confianc a, que a estimativa da quantidade média de bagagens μ é de kg ±,85 kg. Resolução O intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão populacional é conhecido (lembre que σ S = 9, pois n = 34 é um valor grande), no nível de confiança -α, é dado por X ± z α / σ. n Dados: X = e σ / n = 9/ 34 = 9/8 = /. Temos que α =, 955 α =,45 = 4,5% α / =,5% α /, 977 z =,, pois Φ(,) =,977. Logo, o intervalo de confiança é ± (, / ) = ±,. O item está errado. GABARITO: Errado 7

18 7. O erro padrão da média amostral é inferior a,8 kg. Resolução O desvio padrão da média amostral é a,8 kg. Item certo. σ = σ / n =,5 kg, e o mesmo é inferior X GABARITO: Certo 8. (ICMS-RJ//FGV). Para testar H : p,5 contra H : p >,5, sendo p a proporção de pessoas que são protegidas por planos de previdência privada numa certa população, uma amostra aleatória simples de tamanho 4 será obtida e será usado como critério de decisão rejeitar a hipótese H se a proporção de pessoas com essa proteção na amostra for maior ou igual a um certo número k. Ao nível de significância de 5%, o valor de k é aproximadamente igual a: A),58. B),54. C),56. D),588. E),6. Resolução PRELIMINARES Testes de uma Proporção Populacional Vimos que, ao realizar inferências sobre uma proporção populacional p, devemos nos basear na proporção observada na amostra pˆ. Também vimos que se np 5 e n(-p) 5, podemos aproximar a distribuição amostral de pˆ pela distribuição normal com média p e desvio padrão p( p) / n. Teste que envolvem proporções populacionais são feitos de forma análoga aos testes com médias da população. Assim, por exemplo, sejam as hipóteses H : p = p H : p < p. Satisfeitas as restrições np 5 e n(-p ) 5, a distribuição amostral da frequência relativa será aproximadamente normal, com média p e desvio padrão p( p) / n (pela hipótese nula). Portanto, padronizando o 8

19 valor experimental pˆ, teremos o valor padronizado experimental correspondente pˆ p () z =. p ( p ) / n Podemos multiplicar o numerador e o denominador de () por n, obtendo o mesmo teste em termos da freqüência observada f, por meio da expressão equivalente f np () z =. np ( p ) A hipótese nula (H ) será rejeitada se z < -z α. De forma análoga ao que já visto para os testes com a média, no caso dos testes unilateral à direita e bicaudal, as condições de rejeição de H são, respectivamente, z > z α e z > z α/. A Tabela III resume os testes de hipóteses para uma proporção populacional. Tabela III: testes de hipóteses para p (*) Hipóteses H : p = p H : p < p Rejeita-se H se z < -z α H : p = p H : p > p z > z α H : p = p H : p p z > z α/ (*) pˆ p z = ou p ( p ) / n z = f np np ( p ) Voltemos à resolução da questão. Testes que envolvem proporções populacionais são feitos de forma análoga aos testes com médias da população. Como as restrições np = 4 x,5 = >5 e n(-p) = 4 x,5 = >5 são válidas, a distribuição amostral da frequência relativa será aproximadamente normal, com média p=,5 e desvio padrão / ( / ) / 4 (pela hipótese nula). Portanto, padronizando o valor experimental pˆ = k, teremos o valor padronizado experimental correspondente 9

20 pˆ p d d z = = = pˆ ( p ) / n / / 4 / 4 O teste de hipóteses é unilateral. A tabela normal indica d z 5 %,64 = d =,64 / 4 =,4. Assim, pˆ = k =,5 +,4 =, 54. / 4 GABARITO: B 9. (ICMS-RJ/9/FGV) Uma empresa afirma que os pacotes de bala que ela produz pesam em média 5g. Para testar essa hipótese, foram selecionados ao acaso 6 pacotes produzidos pela empresa, registrados seus 6 pesos X, X,..., X 6 e calculadas as estatísticas = 3 e Xi = 736. O 6 X i i= valor da estatística t (a ser comparado com o ponto desejado da distribuição t de Student) para o teste é: A) -,8 B) -, C) -, D) -,5 E) -3, Resolução É muito freqüente, na prática, o caso em que desejamos testar hipóteses referentes à média de uma população cujo desvio padrão é desconhecido. Se tivermos à disposição uma amostra aleatória de n elementos provenientes dessa população, com base na qual iremos realizar o teste, deveremos então usar essa mesma amostra para estimar o desvio padrão σ da população. Neste caso, a variável aleatória de teste terá distribuição t de Student com n- graus de liberdade: x μ = s / n t n. O valor da estatística t é determinado pelos valores de x (média amostral) e s (desvio padrão amostral). i= x = 6 i= n X i 3 = = 6

21 n 6 n Xi Xi Xi s n = σˆ n n = n n = n x i= i= i= n n n s = = s = 8. Logo, 5 = =,5 8 / 6 t n. Solução alternativa (aproximada): Suponha que você tenha esquecido a fórmula s n ˆ n = σ. Para n grande, tem-se que n n e é válida a seguinte aproximação para a variância amostral: s n Xi 736 = x = 4 = 6 n 6. i Logo, =,5 (também usamos a aproximação 6 / 6 6 /6 4 t n 6 /6 6 /5 ) GABARITO: D. (Analista/SUSEP/6/ESAF) Em uma distribuição de sinistro S, formulando-se a hipótese de que não há diferença entre a freqüência esperada e a observada (hipótese nula: H ). Donde, segundo um determinado nível de significância, podemos afirmar que ocorreu A) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H.

22 B) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H. C) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H, sendo esta correta. D) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H, sendo esta correta. E) um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese H, sendo esta correta. Resolução O enunciado parece estar truncado e o problema reside no tempo verbal do verbo formular. Não obstante, a questão é fácil e tem solução. Vimos que comete-se um erro tipo I quando rejeita-se a hipótese nula H, sendo H verdadeira. Comete-se um erro tipo II quando aceita-se a hipótese nula H, sendo H falsa. Análise das alternativas: (A) Ocorreu um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese nula H, sendo H verdadeira ERRADO. (B) Ocorreu um erro do tipo II, se for aceita a hipótese nula H, sendo H falsa ERRADO. (C) Ocorreu um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese nula H, sendo H verdadeira ERRADO. (D) Ocorreu um erro tipo II, se for aceita a hipótese nula H, sendo H falsa ERRADO. (E) Ocorreu um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese H, sendo esta correta CERTO. GABARITO: E. (ICMS-RJ/7/FGV/Adaptada) Para a realização de um teste de hipóteses H : μ = μ, contra H : μ > μ, definimos ERRO DO TIPO I: A) P(μ > μ μ = μ ) B) P(μ = μ μ > μ ) C) Rejeitar H sendo H verdadeira. D) P(μ > μ μ = μ ) E) Aceitar H, sendo H falsa Resolução Em um teste de hipóteses, podem ocorrer dois tipos de erro: Erro tipo I: rejeitar H, sendo H verdadeira; Erro tipo II: aceitar H, sendo H falsa.

23 A faixa de valores da variável de teste que leva à rejeição de H é denominada Região Crítica (RC) do teste. Neste exercício, a RC é x < x <, pois as hipóteses são: H : μ = μ, contra H : μ > μ (unilateral à direita). Como o nível de significância não foi especificado pelo enunciado, não temos como determinar o limite inferior x da RC do teste. Não obstante, fixada a RC, a probabilidade α do erro tipo I é dada pela probabilidade (x > x ). GABARITO: C P. (ICMS-SP/9/FCC) O gerente de uma indústria de determinado componente eletrônico garante que a vida média do produto fabricado é igual a horas. Um comprador dessa indústria decide testar a afirmação do gerente e faz um teste estatístico formulando as hipóteses H : μ = e H : μ <, sendo que H é a hipótese nula, H é a hipótese alternativa e μ é a média da população considerada de tamanho infinito com uma distribuição normal. O desvio padrão populacional é igual a horas e utilizou-se a informação da distribuição normal padrão (Z), segundo a qual P(Z,64) = 5%. H foi rejeitada com base em uma amostra aleatória de 64 componentes em um nível de significância de 5%. Então, o valor da média amostral foi, em horas, no máximo, A) 94,75 B) 95, C) 96, D) 96,5 E) 97,95 Resolução A Região Crítica (RC) do teste é < x < x, pois as hipóteses são: H : μ =, contra H : μ < (unilateral à esquerda). A questão pede que o(a) candidato(a) calcule o valor de x. Foram dados os valores σ =, n = 64 e =,64. Logo, z 5% x μ x 8(x ) = = = σ / n / 64 x =,64 / 8 x = 97,95. GABARITO: E,64 3. (AFPS/Área ATP//ESAF) Um atributo X tem distribuição normal com média μ e variância σ. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 6 da população definida por X, deseja-se testar a hipótese H : μ = contra a 3

24 alternativa H a : μ. Para esse fim calcula-se a média amostral x = 3 e a variância amostral S =. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de significância (p-valor) do teste A) P{T>3,} onde T tem distribuição de Student com 5 graus de liberdade. B) P{ Z >3,} onde Z tem distribuição normal padrão. C) P{Z<-,} onde Z tem distribuição normal padrão. D) P{T<-3,} onde T tem distribuição de Student com 5 graus de liberdade E) P{ T >,} onde T tem distribuição de Student com 5 graus de liberdade Resolução Esta questão aborda o teste de hipóteses para a média populacional de uma amostra pequena (n < 3) quando a variância populacional é desconhecida. Neste caso, a variável aleatória de teste terá distribuição t de Student com n- = 5 graus de liberdade e será dada por: x μ 3 8 = t 5 = = = 3, s / n / 6 / 4 t n O p-valor (ou probabilidade de significância) é a probabilidade de a estatística t 5 do teste cair na RC, supondo H como a hipótese verdadeira. A figura a seguir mostra a RC (ou região de rejeição) e a Região de Aceitação (RA) da hipótese nula (H ). Observe que o teste realizado é bilateral (ou bicaudal), pois H a : μ. Como o teste é bilateral, há duas áreas de rejeição: à esquerda de t 5 = 3, e à direita de t 5 = 3,, como ilustrado pela figura acima. RC RA RC -t 5 t 5 Logo, 4

25 p-valor = {t < t } + P{t > t } = P{t < 3,} + P{t 3,}, P 5 5 > como a distribuição de Student é simétrica, tem-se que P {t < 3,} = P{t > 3,} e isto implica p-valor = P{t > 3,}, em que t possui 5 graus de liberdade. GABARITO: A 4. (Fiscal de Rendas MS/6/FGV) Em um teste de hipóteses, a hipótese nula foi rejeitada ao nível de 3%. Portanto, a hipótese nula: A) será aceita no nível de %. B) será aceita no nível de 5%. C) pode ser aceita ou rejeitada no nível de 5%. D) será rejeitada no nível de %. E) será rejeitada no nível de 5%. Resolução O enunciado não diz se o teste é unilateral (à esquerda ou à direita) ou bilateral. Logo, podemos analisar as alternativas a partir de um caso particular, como, por exemplo, o do teste (unilateral à esquerda) da média da figura abaixo. x Análise das alternativas: 5

26 A) Não se pode garantir que a hipótese nula será aceita no nível de %. Tome, por exemplo, o valor experimental z,5% < z %, que cai na RC do teste no nível de %. Portanto, esta alternativa é FALSA. B) Pelo contrário, a hipótese nula será rejeitada no nível de 5%, pois z 3% < z 5% (dentro da RC do teste no nível de 5%) FALSA. C) Negativo! A hipótese nula será rejeitada no nível de 5%, pois z 3% < z 5% FALSA. D) Nem sempre isto será verdade. Por exemplo, a hipótese nula será aceita no nível de % para um valor experimental z % FALSA. E) Isto sempre acontecerá, pois z 3% < z 5% VERDADEIRA. GABARITO: E 5. (Fiscal de Rendas MS/6/FGV) Um teste de hipótese apresentou p- valor igual a,3. Portanto, nos níveis de significância de % e 5%, respectivamente, a hipótese nula: A) deve ser aceita e aceita. B) deve ser aceita e rejeitada. C) deve ser rejeitada e aceita. D) deve ser rejeitada e rejeitada. E) pode ou não ser rejeitada, dependendo de a hipótese ser simples ou não. Resolução Dados: p-valor = 3%, α = % e α = 5%. Regra: Se p-valor α, rejeitar H em favor de H. Se p-valor > α, não rejeitar H em favor de H. Nível de significância Decisão α = % p-valor = 3% > % aceitar H α = 5% p-valor = 3% < 5% rejeitar H A única alternativa que está de acordo com a Tabela de decisão acima é a B. GABARITO: B 6

27 6. (Economista Jr./Cia Potiguar de Gás/6/FGV) Um teste de hipótese apresentou p-valor igual a,7. Portanto, nos níveis de significância de % e 5%, respectivamente, a hipótese nula: A) deve ser aceita e aceita. B) deve ser aceita e rejeitada. C) deve ser rejeitada e aceita. D) deve ser rejeitada e rejeitada. E) pode ou não ser rejeitada, dependendo de a hipótese ser simples ou não. Resolução Dados: p-valor = 7%, α = % e α = 5%. Lembre que: Se p-valor α, rejeitar H em favor de H. Se p-valor > α, não rejeitar H em favor de H. Nível de significância Decisão α = % p-valor = 7% < % rejeitar H α = 5% p-valor = 7% > 5% aceitar H A única alternativa que está de acordo com a Tabela de decisão acima é a C. GABARITO: C 7. (Analista Técnico-SUSEP-6-ESAF) Na análise da sinistralidade de uma determinada carteira, uma medida de discrepância existente entre as freqüências observadas e as esperadas é proporcionada pela estatística qui quadrado X. Com base nisso, pode-se afirmar que se: A) X =, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas concordam exatamente. B) X =, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas não concordam exatamente nem parcialmente. C) X =, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas concordam parcialmente, pode ser aceita-se como tal. D) X =, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas concordam exatamente. E) X, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas concordam exatamente. Resolução 7

28 Suponha que em uma dada amostra de uma determinada carteira de sinistros, observou-se que um conjunto de eventos possíveis, E, E,..., Ek ocorreram com as freqüências o, o,..., ok, respectivamente, denominadas freqüências observadas, e que, de acordo com as regras da probabilidade, esperava-se que os eventos ocorressem com as freqüências e, e,..., ek denominadas freqüências esperadas ou teóricas, conforme a tabela abaixo. Evento E E E 3... E k Frequência observada o o o 3... o k Frequência esperada e e e 3... e k Deseja-se frequentemente, saber se as freqüências observadas diferem, de modo significativo, das esperadas. Uma medida da discrepância existente entre as freqüências observadas e esperadas é proporcionada pela estatística χ, expressa, neste contexto, por: χ (o = e) e (o + e) e (o k ek ) e k = k j= (o e ) j e j j em que k j= o j = 8 k j= quando a freqüência total é dada por N. Observe que a estatística χ, como definida acima, representa uma soma de desvios quadráticos padronizados por suas respectivas freqüências esperadas. Quando χ =, as freqüências teóricas e observadas concordam exatamente, enquanto que, para χ >, isso não é verdade. Quanto maior for o valor de χ, maior será a discrepância entre as freqüências observadas e esperadas. GABARITO: A 8. (INÉDITA) Em lances de uma moeda, observaram-se 6 caras e 84 coroas. Testou-se a hipótese da moeda ser honesta, adotando-se os níveis de significância 5% e %. Então pode-se afirmar que A) a hipótese da moeda ser honesta é aceita nos dois níveis de significância. B) a hipótese da moeda ser honesta é rejeitada nos dois níveis de significância. C) a hipótese da moeda ser honesta é rejeitada no nível de significância de %, mas é aceita no nível de significância de 5%. D) a hipótese da moeda ser honesta é rejeitada no nível de significância de 5%, mas é aceita no nível de significância de %. e j = N

29 E) a hipótese alternativa da moeda ser desonesta é rejeitada no nível de significância de 5%, mas é aceita no nível de significância de %.. Resolução As frequências observadas de caras e coroas são O = 6 e O = 84, respectivamente. As frequências esperadas de caras e coroas, quando a moeda é honesta, são E = e E =, respectivamente. Logo, χ (O E) = E (O E) + E (6 ) = (84 ) + =,56 +,56 = 5,. Como o número de classes (caras, coroas) é k = e m = (nenhum parâmetro populacional foi estimado), ν = k - m = - =. (a) O valor crítico para um grau de liberdade e α = 5% é χ ;5% = 3, 84. Como 5, > 3,84, a hipótese nula (H ) da moeda ser honesta é rejeitada no nível de significância de 5%. (b) O valor crítico para um grau de liberdade e α = % é χ ;% = 6, 63. Como 5, < 6,63, a hipótese da moeda ser honesta não é rejeitada no nível de significância de %. A única alternativa que está de acordo com os resultados (a) e (b) obtidos acima é a D. Note que a alternativa E é incorreta porque menciona a hipótese alternativa (H ) no lugar da hipótese nula (H ). Ora, aprendemos que rejeitamos ou aceitamos a hipótese nula em favor da hipótese alternativa, e não o contrário, como na alternativa E. GABARITO: D 9. (AFT//ESAF) Em uma amostra aleatória simples de pessoas de uma população, 5 das 4 mulheres da amostra são fumantes e 5 dos 6 homens da amostra também são fumantes. Desejando-se testar a hipótese nula de que nesta população ser fumante ou não independe da pessoa ser homem ou mulher, qual o valor mais próximo da estatística do correspondente teste de qui-quadrado? A),79. B),45. C),98. D) 3,75. E),. 9

30 Resolução Trata-se de um teste de independência: ser fumante ou não depende do sexo? Dados: - Amostra = pessoas - 5 das 4 mulheres são fumantes - 5 dos 6 homens são fumantes Sexo Situação quanto ao tabagismo Fumantes Não Fumantes Totais Homens a=5 b=45 6 Mulheres c=5 d=5 4 Totais 3 7 São então formuladas as seguintes hipóteses: H : ser fumante ou não independe do sexo; H : as variáveis qualitativas sexo e situação quanto ao tabagismo apresentam algum grau de associação entre si. Tal teste de hipóteses pode ser feito utilizando-se uma estatística quiquadrado. No caso bastante comum de uma tabela x como a da questão, o cálculo da estatística pode ser feito pela expressão χ n(ad bc) = (a + b)(a + c)(b + d)(c + d) em que a, b, c e d são as freqüências observadas, organizadas conforme o esquema a c b d Logo, χ ( ) = ,79. GABARITO: A. (IRB/Resseguro/4/ESAF) Num estudo do consumo de combustível para uma determinada marca de automóvel, supõe-se que a distribuição do consumo é aproximadamente normal com média desconhecida μ km/l e desvio 3

31 padrão 3 km/l. Uma amostra de 36 veículos produziu a média de consumo de 6 km/l. Deseja-se testar a hipótese H: μ = 5 contra a alternativa A: μ > 5. Considerando os valores da função de distribuição normal padrão dados abaixo, assinale a opção que dá o valor probabilístico (p-valor) do teste que toma por base a estatística z = ( X 5), sendo X a média amostral. z F(z),,84,,885,4,99,6,945,8,964,,977,,986,4,99 A),5 B),977 C),5 D),3 E), Resolução Dados: σ = 3km/l, n = 36, X = 6 km/l, μ = 5 (hipótese de trabalho). Hipóteses do teste: H: μ = 5 H: μ > 5 X μ X 5 X 5 Estatística do teste: z = = = = (X 5) (fornecida pela banca!) σ / n 3/ 36 3/ 6 Logo, z = (6 5) = F(z) =,977. O p-valor é a probabilidade de que a média amostral seja maior ou igual a 6, considerando que a média populacional seja igual a 5, ou seja, P( X 6 μ = 5). Como a variável aleatória normal X foi reduzida, temse que o p-valor pode ser calculado pela probabilidade P(z,) =,977 =,3. 3

32 GABARITO: D. (Analista Área /BACEN//CESGRANRIO) Com relac ão a um teste simples de hipótese, assinale a afirmativa correta. (A) Um teste bicaudal de nível de significância α rejeita ahipótese nula H : μ = μ precisamente quando μ está fora do intervalo de confianc a de nível ( α) para μ. (B) A hipótese nula a ser testada deve ser construída com muita atenc ão porquanto é o objeto da infere ncia estatística, enquanto que a hipótese alternativa só precisa ser contrária à hipótese nula. (C) Se o grau de significa ncia do teste é α, significa que ( α) é a probabilidade de se cometer erro do tipo I. (D) Na definic ão de um teste, deve-se levar em conta que quanto menor o grau de significa ncia do teste (α), maior será o poder do teste (π), uma vez que (α + π)=. (E) Erro do tipo II, embora definido para uma hipótese alternativa específica, ocorrerá sempre com probabilidade igual ao poder do teste. Resolução Análise das alternativas: A) Correta. Sem maiores comentários. B) O objeto da inferência estatística é a estimação de parâmetro(s) populacional(is), e não a construção da hipótese nula. Opção incorreta. C) A probabilidade do erro tipo I é igual a α incorreta. D) O correto seria dizer que (β + π) = incorreta. E) A probabilidade do erro tipo II é igual a β(μ). O poder do teste é π(μ) incorreta. GABARITO: A (Fiscal de Rendas-MS/6/FGV) O enunciado a seguir refere-se às questões de números e 3. Uma amostra aleatória simples de tamanho 5 foi selecionada para estimar a média desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,, e a variância amostral foi,44.. O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é A) 4, ±,75 B) 4, ±,64 C) 4, ±,7 3

33 D) 4, ±,49 E) 4, ±,8 Resolução A expressão do intervalo de confiança para a média μ da população, ao nível de confiança - α, quando σ é conhecido, é X z / ± α σ. n Quando desconhecemos o desvio padrão populacional σ, devemos estimar seu valor por meio de S = n i= (X X) i n. Não é correto obter o intervalo de confiança para μ, ao nível de confiança - α, substituindo-se σ por S na expressão do intervalo de confiança. Observe que o uso de S naquela expressão aumenta a incerteza da estimativa por intervalo, diminuindo, deste modo, o valor do nível de confiança, que já não seria ( - α), mas sim ( - α ) < ( - α). Como podemos resolver este problema? As distribuições t de Student e normal padrão estão relacionadas pela fórmula t n, / z / α = α σ. S Sendo assim, podemos reescrever σ ± z α / como n X σ S S ± zα / = X ± t n, α /. S n n X A equação acima nos mostra que o uso do desvio padrão amostral S na expressão do intervalo de confiança da média populacional impõe o uso de t n, α / no lugar de z α /. Observe que ( t n, α / / zα / ) > (por exemplo, t 3,,5% =,43 > z,5 % =,96 ). Desta maneira, t n, α / funciona como um fator de correção para maior da amplitude do intervalo de confiança, quando usamos S em vez de σ. Cálculo do intervalo de confiança: 33

34 S,44 ± t n, α / = 4, ±,6 4, ±,49 n 5 X GABARITO: D 3. O intervalo de 95% de confiança para a variância populacional é A) (,7, 3,5) B) (,88,,79) C) (,64, 3,) D) (,55, 3,6) E) (,44, 3,44) Resolução PRELIMINARES Testes de uma Variância Populacional Seja o teste unilateral à direita H : σ = σ, H : σ > σ. Como a média populacional μ em geral é desconhecida, a variável de teste deverá ser a variância amostral s = n i= (x x) i n que é um estimador justo de σ, conforme já visto neste curso. Se a variância amostral s for próxima do valor testado σ, iremos aceitar a hipótese nula (H ). Rejeitaremos H se s cair na região crítica (RC), que corresponderá à cauda à direita com probabilidade α na distribuição amostral de s, sendo verdadeira a hipótese nula. Ou seja, sendo s o limite da RC, rejeitamos H se, () s > s. Por outro lado, vimos que, se a população for normalmente distribuída, a quantidade )s ( n / σ tem distribuição χ com n- graus de liberdade. Portanto, admitindo verdadeira a hipótese nula (H ), podemos escrever que 34

35 ( n )s () = χn, σ sendo a quantidade () denominada χ n experimental. A Eq. () estabelece a relação existente entre valores de s e a distribuição χ, suposta verdadeira a hipótese nula. Assim, se em () fizermos s = s, o n qui-quadrado correspondente será o valor χ que determina sobre sua distribuição uma cauda à direita com probabilidade α, ou seja, χ (quiquadrado superior): n ; α (3) (n )s σ = χ n ; α Como s > s implica χ n > χ n ; α, a condição de rejeição de H é (4) χ n > χ n ; α em que o χ n experimental é dado por () e o valor crítico χ é obtido na Tabela da distribuição χ. A figura abaixo mostra a região crítica (cauda à direita azul) para uma variável qui-quadrado com 6 graus de liberdade e α = 5% ( χ 6;5% =,596). n ; α.4 X 6. área = α. Densidade α. 5 X 5 superior X 5 De forma análoga, se as hipóteses forem 35

36 H : σ = σ, H : σ < σ, rejeitaremos H se (5) χ < χ, n n ; α em que χ é o qui-quadrado inferior (é o valor que determina sobre sua n ; α distribuição uma cauda à direita com probabilidade -α). A figura abaixo mostra a região crítica (cauda à esquerda azul) para uma qui-quadrado com 6 graus de liberdade e α = 5% ( χ 6;95% =,6354)..4 X 6. área = α. Densidade X inferior Se o teste for bilateral, isto é. H : σ = σ, H : σ σ, rejeitaremos H se (6) χ < χ ou χ < χ. n n ; α / n n ; α / 36

37 .4 X 6. área inferior =,5% área superior =,5%. Densidade X A figura acima mostra as regiões críticas para uma qui-quadrado com 6 graus de liberdade e α = 5% ( χ 6;97,5% =,373 e χ 6;,5% = 4,4494). A Tabela IV resume os testes de hipóteses para uma variância populacional. Tabela IV: testes de hipóteses para σ (*) Hipóteses Rejeita-se H se H : σ = σ χ n < χ n ; α H : σ < σ H : H : σ = σ χ n > χ n ; α σ > σ H : H : σ = σ n < χ n ; α / σ σ χ ou χ n < χ n ; α / (n )s (*) χn = σ Exemplo. Uma amostra de dez elementos é extraída de uma população normal e fornece variância amostral igual a,. O resultado obtido é suficiente para se concluir, ao nível α = 5% de significância, que a variância populacional é inferior a? As hipóteses a serem testadas são: H : σ =, 37

38 H : σ <. O χ = χ experimental é dado por n 9 χ 9 (n )s = σ 9 = = 5,4. A condição de rejeição da hipótese nula (H ) é n ; 9;,95 χ n < χ n ; α. O valor crítico χ α = χ = 3,35 3,3 (vide tabela ao final desta aula). Como 5,4>3,3, devemos aceitar a hipótese nula σ =. Voltemos à resolução da questão. Considere, na distribuição χ n, os dois particulares valores χ n, α / (quiquadrado inferior) e χ n, α / (qui-quadrado superior), conforme ilustrado pela figura a seguir. Sabemos que os valores χ e n, α / χ n, α / são tais que P( χ n, α / χ n χ n, α / ) = α. Vimos que 38

39 S = σ χ n n o que nos permite escrever as desigualdades entre parênteses como χ n, α / ( n ) S σ χ n, α /. Vamos dividir todos os membros da expressão acima por tomar os inversos. Invertendo as desigualdades, obtemos ( n ) S, e, após, (n )S χ n, α / σ (n )S χ n, α /, que é o intervalo de confiança para σ, ao nível de - α. Cálculo do intervalo de confiança: (5 ),44 σ χ 4;,5% (5 ),44 χ 4;97,5% 34,56 σ 39,4 34,56,4,88 σ,79 NOTA: redobre a sua atenção quando for consultar as tabelas auxiliares (normal padrão, qui-quadrado e t de Student) fornecidas pela banca, pois a(s) notação(ões) pode(m) estar diferente(s) daquela(s) que você está acostumado. GABARITO: B (Fiscal de Rendas-MS/6/FGV) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 4, 5 e 6. A tabela a seguir mostra os resultados obtidos em Matemática por três turmas: Aprovados Reprovados Total Turma X 3 4 Turma Y Turma Z 5 5 Total 8 Desejamos testar, usando o teste qui-quadrado: H : os seis resultados possíveis têm probabilidades iguais versus 39

40 H : os seis resultados possíveis não têm probabilidades iguais. 4. O valor observado da estatística qui-quadrado é, aproximadamente: A),6 B),34 C) 3,44 D) 4,66 E) 5,58 Resolução O uso da tabela de contingência para testar a independência entre duas variáveis de classificação, em uma amostra proveniente de uma única população de interesse, é somente uma aplicação dos métodos da tabela de contingência. Uma outra situação comum ocorre quando há r populações de interesse e cada população (nesta questão r = 3 e temos as populações turma X, turma Y e turma Z) é dividida nas mesmas c categorias (neste exercício c = e temos as categorias aprovado ou reprovado ). Uma amostra é então tomada da i-ésima população e as contagens são colocadas nas colunas apropriadas da da i-ésima linha. Nessa situação, queremos investigar se as proporções, nas c categorias, são ou não as mesmas para todas as populações. A hipótese nula nesse problema estabelece que as populações são homogêneas com relação às categorias. O cálculo das frequências esperadas, a determinação dos graus de liberdade e o cálculo da estatística qui-quadrado para o teste da homogeneidade são idênticos ao teste de independência. As frequências esperadas devem ser calculadas pela fórmula: E em que i denota a linha e j representa a coluna da tabela de contingência. Então, obtemos ff = = 3, E = = 8 n E = E = = 3, E = = 8 8 E 3 = = 6, E 3 = = 4 ij 4 fif n j,