2 CODIFICAÇÃO DE CANAL: CÓDIGOS DE BLOCO LINEARES

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1 CODIFICAÇÃO DE CANA: CÓDIGOS DE BOCO INEARES U caal de couicação ode aresetar ua série de ierfeições que dificulta a correta iterretação e erfeita rerodução dos siais trasitidos. Tais ierfeições se areseta coo ruídos, distorções, iterferêcias, desvaecietos, etc., e, coo cosequêcia, a fução do recetor ode ser resuida coo sedo habilidade de aresetar e sua saída a elhor estiativa da iforação ou esae que foi trasitida []. E sisteas de couicações diitais, o arâetro de deseeho que erite quatificar o que ode ser a elhor estiativa é a robabilidade de erro de bit, P b, cujo valor, ara ser cosiderado satisfatório, deede fudaetalete do tio de iforação que está sedo trasitida. A questão fudaetal aresetada este caítulo está diretaete relacioada co o cotrole da robabilidade de erro de bit, abordada a artir da róxia seção... INTRODUÇÃO À CODIFICAÇÃO DE CANA A codificação de caal é u rocesso e que redudâcias são itroduzidas ates da trasissão, co o objetivo de eritir que, o recetor, a seelhaça etre o sial que foi trasitido e o sial que foi reroduzido seja a áxia ossível. Ou, or outro lado, é u rocesso que erite a redução da P b a valores tão baixos quato ossíveis. A artir desse oto é ievitável a iosição de ua questão: E teros objetivos, o que se ode eserar obter coo áxia seelhaça ou P b tão baixa quato ossível co a codificação de caal? Essa questão foi arcialete resodida o caítulo aterior através do Teorea da Codificação de Caal, cuja cosequêcia é reroduzida a seuir or coveiêcia [][][3]. Desde que a taxa de trasissão seja eor do que a caacidade do caal, etão existe u esquea de codificação caaz de eritir a obteção de taxas de erro de bit arbitrariaete baixas. O Teorea da Codificação de Caal, o etato, é isatisfatório sob o oto de vista rático orque ão coduz a ua idicação do esquea de codificação caaz de roduzir u resultado eserado, e taouco, o seu rau de colexidade ou da dificuldade de ecotrá-lo. Ua discussão ais detalhada sobre esse assuto ode ser ecotrada e diversas ublicações sobre Teoria da Iforação. De fato, a busca de u esquea de codificação, que e eral é u rocesso heurístico, e sere te coo ricial eta alcaçar deseehos róxios dos aresetados elos liites fudaetais da Teoria da Iforação. E sisteas reais, a busca de u esquea de codificação ode estar associada a asectos ráticos coo velocidade de rocessaeto, colexidade de ileetação, etc. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.

2 Ideedeteete de qual seja a abordae utilizada a busca de u esquea de codificação, é ecessário u bo cohecieto dos fudaetos associados às técicas de codificação ara cotrole de erro. O objetivo deste caítulo é aresetar os fudaetos dos Códios de Bloco ieares e seus deseehos. Eles são aresetados e cico seções: Defiições Fudaetais Códios de Bloco ieares Deseeho dos Códios de Bloco ieares Códios Cíclicos Características dos Códios de Bloco Be Cohecidos.. CÓDIGOS DE BOCO: DEFINIÇÕES INICIAIS Ates da aresetação dos Códios de Blocos ieares, aluas defiições iiciais são oortuas. Códios de blocos se caracteriza elo fato do rocesso de codificação ser feito sobre blocos de bits ou bloco de síbolos. Isso quer dizer que u feixe de bits ou síbolos é seetado e blocos de bits ou síbolos, a artir dos quais são eradas alavras códios co bits ou síbolos. Assi, a otação que caracteriza u códio de bloco é (, ). Por coveiêcia, a artir deste oto a otação (, ) estará associada à quatidade de bits. Quado a otação (, ) for usada ara reresetar síbolos, isso será defiido exlicitaete. Se bits estão cotidos e u bloco de bits, etão a quatidade de bits de redudâcia itroduzidos o rocesso de codificação é ( ).... TAXA DE CODIFICAÇÃO A taxa de codificação de u códio de bloco é defiida coo sedo a relação etre o úero de bits de iforação e o úero de bits da alavra códio. Ou seja, R c. (.) A taxa de codificação é ua idicação relativa de quatos bits de iforação são trasitidos or alavra códio. Ua vez que <, etão < R c. Etretato, ara que u códio roduza alu beefício, é ecessário que <, ou ( ) >. Cosequeteete, < R c <. Nota-se que, se ehu artifício for usado ara coesar o acréscio de bits devido à itrodução da redudâcia, etão, ara a auteção da taxa de trasissão dos bits de iforação é ecessário auetar a taxa de trasissão total, resultado e u acréscio ou exasão da larura de faixa. Essa exasão da larura de faixa é de exataete a /R c. Ou seja, quato aior for o úero de bits de redudâcia itroduzidos, aior será a exasão da larura de faixa.... GANHO DE CODIFICAÇÃO O beefício obtido co o rocesso de codificação ode ser quatificado or eio do aho de codificação. O aho de codificação é defiido coo sedo a relação etre E b / do sial ão codificado, elo E b / do sial codificado, ara ua dada taxa de erro, i.e. o aho de codificação é _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.

3 tiicaete ua fução de P b. A exressão do aho de codificação, e db, é aresetada a seuir [3][4][6]. Eb Eb G lo lo (db) (.) c c Ode, (E b / ) c é a relação etre a eeria de bit e a desidade esectral de ruído se codificação e (E b / ) c é a relação etre a eeria de bit e a desidade esectral de ruído co codificação. As curvas características de P b e fução de E b /, ara u esquea de trasissão codificado e ão codificado, são aresetado a Fiura.. U cuidado deve ser toado ara a correta deteriação de P b e fução de E b / co a codificação: o valor de E b refere-se à eeria or bit de iforação, ou seja, aditido-se que a eeria total asta ara a trasissão seja a esa ara os dois casos, etão a eeria or bit de iforação co a codificação é eor do que a eeria de bit se a codificação, devido à iserção dos bits de redudâcia. Assi sedo, a relação etre (E b / ) c e (E b / ) c fica afetada ela taxa de codificação a fora E b c E R b c (.3) Os valores de taxa de erro e de E b / aresetados a Fiura. refere-se a u esquea hiotético e te or objetivo eritir eeralizar coclusões aresetadas a seuir. ) Para baixos valores de E b / a codificação ão areseta ehu beefício, ou seja, o aho de codificação ode ser ulo, ara o valor de E b / deteriado elo cruzaeto das curvas, ou eativo ara valores eores. ) Para diferetes valores de P b obté-se diferetes ahos de codificação. Por exelo, ara P b -4 o aho de codificação é iual o a,4 db, equato ara P b -6 o aho sobe ara db. Isso deostra a deedêcia do aho de codificação co P b. 3) A codificação erite obter redução de P b co a esa eeria (E b / costate) e relação ao sial se codificação. Por exelo, ara E b / 7 db, a P b cai de -3 ara u ouco ais que -5. Cosiderado-se a exasão de larura de faixa rovocada ela codificação, ode-se cocluir aida: 4) A diiuição de P b e/ou E b / decorrete da codificação roduz ua exasão a larura de faixa. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.3

4 P b - - Se codificação -3-4 Co codificação,4 db -5-6 db E b /N (db) Fiura. - Curvas tíicas de robabilidade de erro versus E b /N ara u sial co codificação e se codificação...3. VETOR CÓDIGO, VETOR ERRO, VETOR RECEBIDO E VETOR DECODIFICADO Cofore defiido reviaete, o rocesso de codificação or bloco cosiste e trasforar u seeto da esae,, co bits e ua alavra códio ou vetor códio, c, co bits. O vetor códio é trasitido e ode sofrer alterações devido às deradações iostas elo eio de trasissão. As alterações sofridas elo vetor códios ode ser reresetadas or eio de u vetor erro, e. U vetor códio, c, soado co u vetor erro, e, resulta e u vetor recebido, r. Ou seja, r c e. (.4) O vetor recebido é etreue ao decodificador cuja fialidade é trasforar o vetor recebido o vetor decodificado, que cosiste a elhor estiativa do vetor códio trasitido. A artir do vetor códio estiado, c, a elhor estiativa da esae,, é reroduzida a saída do decodificador. Essa cadeia de trasforações é ilustrada o diaraa e blocos aresetado a Fiura. e elo Exelo.. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.4

5 Codificador c Caal Decodificador r c Estiador de c Estiador de ' e Fiura.. Diaraa e blocos do rocesso de codificação e decodificação. EXEMPO. Seja u códio de reetição (5, ) alicado ao vetor esae. Aditido que o caal itroduza u vetor erro, e, ao vetor códio, ede-se deteriar todas as trasforações vetoriais desde a codificação da esae até a obteção da esae estiada a saída do decodificador. Solução: Evideteete ara o códio de reetição (5, ) só existe duas alavras códios ossíveis: e. A alavra códio corresodete à esae é O vetor recebido é c r c e r. Coo u códio de reetição ode ser decodificado or lóica ajoritária, etão a elhor estiativa ara o vetor códio a artir do vetor recebido é que resulta a esae estiada c,. * * *..4. PESO DE HAMMING E DISTÂNCIA DE HAMMING O eso de Hai de u vetor v, cuja otação é w(v), é defiido coo o sedo o úero de eleetos ão zero e v. Para u vetor biário, o eso de Hai é iual ao úero de díitos cotidos e v [][][3][4][5][6]. EXEMPO. Deteriar o eso de Hai do vetor v. Solução: w(v) 3. * * * _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.5

6 A distâcia de Hai etre dois vetores códios v e x, cuja otação é d(v, x), é defiida coo sedo o úero de osições e que os díitos dos dois vetores que são diferetes etre si. Para o caso biário, a distâcia de Hai ode ser deteriada facilete através da roriedade de adição ódulo-, ois ela é iual ao úero de díitos cotidos o vetor resultate da oeração v x. Ou seja, d ( v, x) w( v x). (.5) EXEMPO.3 Deteriar a distâcia de Hai etre o vetor v e x. Solução: ( ) ( ) d ( v, x) w( v x) w w d ( v, x) * * *..5. ESPAÇO VETORIA E SUBESPAÇO VETORIA Cosidere u cojuto V, costituídos or K vetores v, v, v,..., v K-, forado or eleetos de {, }. Adita que sobre este cojuto seja defiidas duas oerações, cujas reras são aresetadas a Tabela.. A adição, reresetada or, defiida etre os eleetos de V e a ultilicação, reresetada or, etre u eleeto de {, } e qualquer vetor de V [][][3][4][5][6]. Tabela. - Oerações alébricas o cao biário. Adição Multilicação O cojuto V é defiido coo u esaço vetorial sobre {, } se as seuites codições são satisfeitas: ) A adição de quaisquer dois vetores de V resulta e outro vetor e V (roriedade do fechaeto). ) O roduto escalar de u eleeto de {, } e qualquer vetor de V resulta e outro vetor e V. 3) A lei distributiva é satisfeita, ou seja, se a e a são escalares de {, } e v e v são vetores de V, etão a ( v ( a a v ) ( a ) v ( a v ) ( a v ) ( a v ). (.6) v ) _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.6

7 4) A lei associativa é satisfeita, ou seja, se a e a são escalares de {, } e v é u vetor de V, etão a a ) v a ( a ). (.7) EXEMPO.4 ( v Ecotrar o esaço vetorial V coosto elo aior úero ossível de vetores co seis eleetos de {; }. Solução: O esaço vetorial V 6 é o cojuto de todos os vetores biários co seis eleetos ( 6) aresetados a Tabela.. Tabela. - Esaço vetorial V 6. V 6 * * * U subcojuto S de u esaço vetorial V é chaado de subesaço vetorial de V se as quatro codições defiidas acia são verificadas. Etretato, coo S é u subcojuto de V, é suficiete que as duas rieiras codições seja satisfeitas ara a idetificação de u subesaço e V, isto é: ) A adição de quaisquer dois vetores de S resulta e outro vetor e S (roriedade do fechaeto). ) O roduto escalar de u eleeto de {, } e qualquer vetor de S resulta e outro vetor e S. Ou silesete: o vetor ulo, ou vetor todo zero, ertece a S. EXEMPO.5 A artir das roriedades do subesaço vetorial idetificar dois subesaços vetoriais de V 6, aresetado a Tabela.3, que coteha: ) 4 vetores ) 8 vetores _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.7

8 Solução: Tabela.3 - Subesaços de V 6 co 4 e 8 vetores. S co 4 vetores S co 8 vetores Iortate: Os subesaços ecotrados acia ão são úicos. É ossível ecotrar, e V 6, outros subesaços cotedo 4 e 8 vetores. * * *.3. CÓDIGOS DE BOCO INEARES [][][3][4][5][6] U códio de bloco liear biário é u subesaço vetorial co vetores do esaço vetorial costituído de todos os vetores co eleetos de {, }. Este coceito está ilustrado a Fiura.3. Cosequeteete, cosiderado as duas codições ecessárias ara caracterizar u subesaço vetorial alicadas aos códios de bloco lieares, coclui-se que: ) A soa de duas alavras códios quaisquer resulta e outra alavra códio, e; ) O vetor ulo ou vetor todo zero é tabé ua alavra códio. Cojuto dos vetores co bits Cojuto dos vetores códios de bits Fiura.3 - Reresetação dos códios de blocos lieares coo u subesaço vetorial de u esaço vetorial V. Nota-se que o subesaço vetorial costitui o cojuto dos vetores códios ou vetores válidos. Portato, qualquer vetor de bits que ão erteça ao subesaço vetorial está o esaço vetorial, oré, é u vetor ão válido. Ua estratéia de detecção de erros cosiste e verificar se o vetor recebido é u vetor válido ou ão válido, i.e., se ele ertece ou ão ao subesaço vetorial. Ua vez costatado que o vetor recebido é u vetor ão válido, ua estratéia de correção de erros cosiste a idetificação de qual é o vetor válido que areseta a eor distâcia de Hai e relação ao vetor recebido e eleê-lo coo sedo o vetor trasitido. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.8

9 Nos códios de bloco lieares ode o valor de é baixo esta tarefa é siles. Etretato, quado areseta valores relativaete altos, esta tarefa ode torar-se iraticável, cofore ostrado o Exelo.6. EXEMPO.6 Aditido a existêcia de u códio de bloco liear (55, 3), ede-se: a) Deteriar a quatidade de vetores códios biários existetes este códio. b) Deteriar a quatidade de vetores ão ossíveis. c) Descrever ua estratéia de correção de erros, aditido que o vetor recebido é u vetor ão válido. Solução a) A quatidade de vetores códios é 3,36 39 vetores válidos. b) Coo o vetor é ão válido, etão ele é u dos vetores ão válidos, ou u etre , vetores ão válidos. c) Ua estratéia de correção de erros é idetificar etre os,36 39 vetores válidos qual é o vetor que areseta a eor distâcia de Hai e relação ao vetor ão válido recebido! * * * Nota-se que u subesaço vetorial é u cojuto de vetores liearete deedetes (D) devido à roriedade do fechaeto, i.e., qualquer vetor ode ser obtido ela soa de outros dois vetores do subesaço. Ua vez que u subesaço vetorial biário coté vetores, etão deve existir u ou ais subcojutos co vetores ditos liearete ideedetes (I) cujas cobiações lieares roduze todos os outros vetores do subesaço. Esses vetores liearete ideedetes são chaados de base do subsaço. Os coceitos de esaço vetorial, subesaço vetorial e base do subesaço estão aresetados, e teros de cojuto, a Fiura.4. Esaço Subesaço Base do Subesaço Vetorial Fiura.4. Reresetação de esaço vetorial, subesaço vetorial e base do subesaço vetorial. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.9

10 EXEMPO.7 A artir do subesaço vetorial co 8 vetores, aresetado a Tabela.3, idetificar ua base caaz de erar todos os outros vetores deste subesaço, através de cobiações lieares dos vetores desta base. Solução Coo o objetivo é forar ua base ara a eração dos de u subesaço co 8 vetores D o úero ecessário de vetores a base será 3 vetores I. Escolhedo-se arbitrariaete 3 vetores I etre os 8 vetores da Tabela.3, ode-se obter: b b b Prova: Co a cobiação liear dos vetores ecotrados é ossível ecotrar todos os outros vetores do subesaço, reresetados a seuir elos vetores v j, obtidos a artir da oeração v K, (.8) j u b u b u b ode u i é u eleeto de {, } ara i,,..., ( ) e j,,..., ( ). v b b b v b b b v b b b v 3 b b b v 4 b b b v 5 b b b v 6 b b b v 7 b b b Vetor da base Vetor da base Vetor da base * * *.3.. MATRIZ GERADORA Ua atriz eradora, G, é aquela que erite obter os vetores códios, c j, corresodetes às esaes, i, a artir do roduto itero deteriado or c j j G, (.9) Evideteete, a atriz eradora, G, é ua cosequêcia direta de ua base do subesaço vetorial. Ela é ua atriz de diesões que cosiste do arrajo forado elos vetores liearete ideedetes, ou vetores eradores, que coõe ua base do subesaço, cofore aresetado e (.). _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.

11 ,, G (.) M M M M M,,,, Ode,,...,, são os vetores eradores. Para ua coveiete silificação da otação, a artir deste oto, os vetores códios c j e j serão deotados silesete or c e, resectivaete. oo, substituido (.) e (.9), obté-se c,,, ) K K. (.) M G ( Observa-se claraete a seelhaça etre (.8) e (.), o que siifica que a cobiação liear dos eleetos dos vetores esae co as lihas da atriz eradora roduze vetores códios que estão associados iequivocaete aos vetores esaes que os roduziu. EXEMPO.8 A artir da base do subesaço vetorial aresetado o Exelo.7, ede-se: a) Costruir ua atriz eradora. b) A artir da atriz eradora, costruir ua tabela co os vetores esaes e seus resectivos vetores códios. Solução: a) A obteção de ua atriz eradora a artir do Exelo.7 é direta, ois ela ada ais é do que a base de u subesaço vetorial, loo, utilizado os esos vetores b, b e b ara, e, resectivaete, obté-se G. (.) b) Coo a atriz eradora ossui três lihas, os vetores resultates de todas as cobiações lieares serão 3 8, obtidos a artir de todos os vetores esaes ossíveis cotedo de três bits. Cosequeteete G é a atriz eradora de u códio (6, 3), cofore ostrado a seuir. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.

12 Tabela.4. - Vetores códios do códios (6, 3) erados a artir da atriz G e (.). c.g c c () () () c () () () c () () () c 3 () () () c 4 () () () c 5 () () () c 6 () () () c 7 () () () * * *.3.. CODIFICAÇÃO SISTEMÁTICA E NÃO SISTEMÁTICA Os vetores códios aresetados a Tabela.4, erados ela oeração aresetada e (.), ão areseta exlicitaete a esae que o erou coo sedo u seeto do rório vetor códio. Isso siifica que este tio de codificação a esae assa a ser cohecida soete aós o rocesso de decodificação. Essa fora de codificação é chaada de codificação ão sisteática. Ua característica desejável e u rocesso de codificação ara u códio de bloco liear é aquela que erite que o vetor códio seja coosto or dois seetos: u seeto coosto elos ( ) bits de redudâcia que erite a verificação da validade do vetor e outro seeto corresodete aos bits da esae que erou os bits de redudâcia. A disosição do seeto redudâcia e do seeto esae é ua questão de coveção. A coveção adotada este texto está aresetada a Fiura.5. A fora de codificação que erite a obteção do vetor códio esse forato é chaada de codificação sisteática. Seeto dos ( ) bits de redudâcia Seeto dos bits de esae Vetor Códio Fiura.5 - Vetor códio obtido or codificação sisteática. Vetores códios co a coveção ostrada a Fiura.5 ode ser obtidos a artir de atrizes eradoras co u forato esecífico. Este forato, aresetado e (.3), cosiste de ua atriz eradora forada or duas outras atrizes: ua atriz de aridade co diesões ( ) e outra atriz idetidade de diesões. Desta fora, a atriz de aridade erite que o seeto aridade seja obtido ela soa liear dos bits da esae, equato a atriz idetidade erite que o seeto esae seja relicado e seuida. G [ P I ] ( ) M, M,,, M, M M M M (.3) _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.

13 Ua vez que ua atriz eradora é u arrajo de vetores liearete ideedetes, ua atriz eradora de u códio de bloco liear a fora sisteática ode ser obtida ela coveiete cobiação liear dos vetores eradores e/ou erutação de coluas ou lihas da atriz eradora a fora ão sisteática ara a obteção de outro arrajo de ovos vetores eradores, liearete ideedetes, o forato desejado. Essa oeração é ostrada o Exelo.9. EXEMPO.9 A artir da atriz eradora do códio (6, 3) aresetada ela Equação (.), ede-se a) Obter ua atriz eradora a fora sisteática, o forato aresetado e (.3). b) Costruir ua tabela co os vetores esaes e seus resectivos vetores códios. Solução a) De (.), G A atriz a fora sisteática, G corresodete à atriz G, é obtida a artir das seuites oerações a artir da atriz G ' ' ' ' G ' ' (.4) ' b) Reetido a oeração aresetada e (.) ara a atriz G e (.4) obté-se os vetores códios aresetados a Tabela.5. Tabela.5 - Vetores códios do códios (5, 3) erados a artir da atriz G (.4). c.g' c c () () () c () () () c () () () c 3 () () () c 4 () () () c 5 () () () c 6 () () () c 7 () () () _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.3

14 Observe que tato a atriz G quato a atriz G era o eso subesaço vetorial. Etretato, ara cada ua das esaes os vetores códios erados são diferetes e cada caso. * * *.3.3. MATRIZ VERIFICADORA DE PARIDADE Cofore aresetado a Fiura., o vetor recebido, r, ode ser etedido coo u vetor códio que, ao ser trasitido através de u caal de couicação, ode ter sofrido ua alteração, cosequêcia da adição de u adrão de erro. Portato, ua tarefa do decodificador é verificar se o vetor recebido é ou ão u vetor códio ou vetor válido. Mais ua vez, ua abordae silista ara a realização desta tarefa seria a coaração do vetor recebido co todos os vetores códios. Etretato, ara valores de da orde de aluas dezeas, esta abordae ode torar-se árdua, cofore ostrado o Exelo.. Ua fora ais siles ara a verificação da validade ou ão de u vetor recebido utiliza ua roriedade dos subesaços vetoriais, que ode ser defiida da seuite fora. Se u subesaço vetorial, S, ertece a u esaço vetorial, V, coosto or todos os vetores de corieto, etão deve existir u subesaço vetorial S, que é o esaço ulo ou o esaço dual de S, e que ode ser reresetado or ua atriz coosta or vetores bases liearete ideedetes. No estudo de códios de bloco lieares a atriz eradora do subesaço ulo relativo ao subesaço erado or G é chaada de atriz verificadora de aridade, cuja otação é H, e te diesões ( ), ou seja, h h h h h, h h h h h, H. (.5) M M M M M h h, h, h, h, Se u subesaço erado or H é dual ao subesaço erado or G etão os vetores de G são ortooais aos vetores de H, ou seja, T G H. (.6) Pode-se verificar se dificuldades que ua cosequêcia direta de (.6) é que a codição de ortooalidade de qualquer vetor códio, c, erado or G e relação ao esaço ulo erado or H é verdadeira, i.e., T c H. (.7) Quado a atriz G está a fora sisteática, cofore aresetada e (.3), ou seja, [ P ] G ( ) I, a obteção da atriz H é direta, cofore ostrado a seuir. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.4

15 EXEMPO., [ ] T, H I ( ) ( ) P (.8) M M M M M M,,, A artir da atriz eradora ara o códio (6, 3) aresetada e (.4), ede-se: a) Obter a atriz verificadora de aridade H. b) Verificar a codição de ortooalidade aresetada or (.7) ara o vetor códio corresodete ao vetor esae. Solução: a) A artir da atriz eradora a fora sisteática G [ P I ] ' ( ) obté-se a atriz H a fora T H [ I( ) ( ) P ]. (.9) b) O vetor códio, c, corresodete ao vetor esae ode ser obtido cofore ostrado e (.), ou seja: c G ( ) ( ) ( ) ( ) A codição de ortooalidade ode ser verificada a artir do resultado do roduto itero etre o vetor códio, c, e a atriz verificadora de aridade trasosta H T, cofore ostrado a seuir. c H T ( ) () () () () () (). (.) * * * _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.5

16 .3.4. DISTÂNCIA MÍNIMA DE UM CÓDIGO DE BOCO INEAR Cosidere o cojuto de distâcias etre todos os ares de vetores códio e u esaço V. O eor ebro do cojuto é a distâcia íia do códio e é deotado or d i. Mais ua vez a roriedade dos códios lieares discutida ateriorete erite afirar que se c e c são vetores códio, etão o vetor c 3 obtido ela oeração c c é tabé u vetor códio. Assi a distâcia de Hai etre dois vetores códios é deteriada coo sedo ( c c ) w( c c ) w( ) d, c 3 (.) Portato, ão há ecessidade de exaiaros as distâcias etre todas as cobiações ossíveis etre ares de alavras-códio, basta que se verifique o eso de cada alavra códio, co exceção da alavra toda zero. O eor eso ecotrado corresode à eor distâcia íia do códio. As roriedades dos códios de blocos erite aida deteriaros a distâcia íia do códio através da iseção da atriz verificadora de aridade. Neste caso, a distâcia íia do códio será iual ao eor úero de coluas da atriz verificadora de aridade, que quado soadas resulta e ua colua toda zero. Este rocedieto é articularete útil quado o códio ossui u úero uito rade de alavras códio ara sere isecioadas, se auxílio coutacioal. Exelo. Deterie a distâcia íia do códio (6, 3), defiida ela atriz G (.4), reetida abaixo or coveiêcia. G Solução: Ua vez que este códio ossui oucas alavras códios, ua solução é listá-las or eio da oeração c.g. O resultado dessa oeração ara todas as ossíveis esaes co 3 bits está ostrado a tabela a seuir. Tabela.6 - Vetores códios do códios (6, 3) erados a artir da atriz G (.4). c _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.6

17 Pode-se verificar, isecioado-se a tabela acia, que as alavras de eor eso são as alavras co eso 3. oo a distâcia íia é iual a 3. Ou alterativaete, isecioado-se a atriz verificadora de aridade, aresetada abaixo, é fácil verificar que o eor úero de coluas que quado soadas resulta e ua colua toda zero é 3, or exelo, a a 5 a ou a 3 a 6 a ou a 3 a 4 a. H (.) * * * É uito cou u códio de bloco liear (, ) co distâcia íia d i ser reresetado ela otação (,, d i ). Assi, o códio (6, 3) do Exelo. é u códio (6, 3, 3) CAPACIDADE DE CORREÇÃO E DE DETECÇÃO DE ERROS DE UM CÓDIGO DE BOCO INEAR No recetor, o decodificador te or fução estiar o vetor códio recebido e fução do vetor códio trasitido. E u caal de trasissão AWG (Ruído Braco Gaussiao Aditivo), o ruído afeta os síbolos trasitidos aleatoriaete, seudo ua distribuição estatística oral ou aussiaa. Assi, adrões de erros co eos bits errados te aior robabilidade de ocorrer do que adrões de erros co ais bits errados. Cosequeteete, e u caal BSC (Caal Siétrico Biário), dado u vetor recebido r, a elhor estiativa é feita aditido-se que o vetor códio trasitido é aquele que está ais róxio de r, sob o oto de vista da distâcia de Hai. Se dois vetores códios tivere a esa distâcia de Hai do vetor r recebido, a escolha ode ou ão ser arbitrária deededo do tio de decisor utilizado (hard decisio ou soft decisio). A Fiura.6 areseta dois vetores c e c uidos or ua liha calibrada e distâcia de Hai. Cada oto reto rereseta u vetor recebido r. Na arte (a) da fiura, o vetor recebido r dista bit de c e 4 bits de c. De acordo co a estratéia de áxia robabilidade, o decodificador selecioará o vetor c coo aquele que foi trasitido. Na arte (b) da fiura, o vetor recebido r dista bits de c e 3 bits de c. Mais ua vez o decodificador selecioará o vetor c coo sedo o vetor recebido. Fialete a arte (c) da fiura, o vetor recebido r 3 dista 3 bit de c e bits de c. Desta vez o decodificador selecioará o vetor c coo sedo o vetor recebido. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.7

18 iha de decisão Reião Reião c r (a) c c r (b) c c (c) r 3 c Fiura.6 Caacidade de detecção e correção de erro. (a) Vetor recebido r. (b) Vetor recebido r. (c) Vetor recebido r 3. Cosequeteete, a caacidade de correção de erro, de u códio de bloco liear, t, é defiida coo o úero áxio de erros aratidaete corriíveis, or alavra códio, deteriado or d i t (.3) ode x siifica o aior iteiro que ão excede o valor de x. Assi, u códio que corrie todas as sequêcias de t erros, ode tabé corriir certas sequêcias de t erros. Se o códio for usado co a fialidade exclusiva de detectar erros ao ivés de corriir erros, a caacidade de detecção de erros do códio é deteriada or e d, i (.4) ode e é o úero de erros detectados. Etretato, é ossível utilizar u códio de bloco ara corriir τ erros e detectar ε erros siultaeaete desde que τ < t e ε < e, e a seuite codição seja satisfeita: d τ ε. (.5) i Assi, u códio co d i 7, or exelo, ode corriir todos os adrões de 3 erros (t 3) ou detectar todas as cobiações ossíveis de até 6 erros (e 6). Etretato, se ele for usado ara corriir até erros (τ ), ele ode detectar siultaeaete adrões de até 4 erros (ε 4), ois este caso a codição aresetada or (.5) é satisfeita. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.8

19 .3.6. SÍNDROME DE ERRO Seja r r, r,..., r u vetor recebido (i.e. ua das alavras de bits do esaço vetorial V ) resultate da trasissão de u vetor códio c c, c,..., c (i.e. ua das alavras códios de bits) através de u caal co ruído. oo, r c e. (.6) ode e e, e,..., e é u vetor erro ou adrão de erro itroduzido elo caal. Sídroe de erro é u vetor co bits defiido ela oeração Cobiado (.6) e (.7) te-se: as, Cosequeteete, S T r H (.7) T T T ( c e) H c H e H S (.8) T c H. (.9) S T e H (.3) A equação acia ostra que a sídroe S está associada a u adrão de erro. Esta é ua iortate roriedade, fudaetal ara o rocesso de decodificação, ou seja, cada adrão de erro corriível deve estar associado a ua sídroe esecífica. É iortate otar que ara isso ocorra, duas roriedades da atriz verificadora de aridade são ecessárias: ehua colua da atriz H ode ser toda zero, caso cotrário, u erro a osição corresodete à liha toda zero seria idetectável; Todas as coluas de H deve ser úicas. Se duas coluas de H fore iuais, erros as osições corresodetes a essas lihas ode ser idistiuíveis. U códio de bloco liear (, ) co caacidade de correção de t erros é caaz de corriir u total de - adrões de erros. Os códios que corrie exclusivaete todos os adrões de t erros ou eos e ehu adrão aior que t erros, são deoiados códios erfeitos, isto é, o úero de sídroes deve ser iual ao úero exato de adrões co até t erros e ehu adrão de erro cotedo u úero aior do que t erros. Ua vez que todo códio de bloco é caaz de corriir - adrões de erros, u códio é erfeito quado a iualdade aresetada a seuir é satisfeita. t (.3) i i _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.9

20 EXEMPO. Cosidere o códio de bloco liear (6, 3, 3) erado or (.4). Pede-se: a) Deteriar a caacidade de correção de erros do códio. b) istar todos os adrões de erros corriíveis detro da caacidade de correção de erros do códio. c) istar todas as sídroes de erros associadas aos adrões de erros corriíveis detro da caacidade de correção de erros do códio. d) Verificar se este códio é u códio erfeito. Solução: a) A caacidade de correção de erros do códio. Coo a distâcia íia deste códio é d i 3, etão, d i 3 t t b) Padrões de erros corriíveis detro da caacidade de correção de erros do códio Coo a caacidade de correção de erro é t, etão este códio é caaz de corriir todos os adrões co erro, ou seja, e (t ) c) Sídroes de erros associadas aos adrões de erros corriíveis detro da caacidade de correção de erros do códio. Da atriz H (.), obté-se H T, ou seja, T H. (.3) De (.3), S T e H. Para todos os valores de e (t ) obté-se: _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.

21 Tabela.7 - Padrões de erros corriíveis e suas resectivas sídroes ara o códio de bloco liear (6, 3, 3) erado or (.4). e (t ) S d) Verificação se este códio é u códio erfeito. U códio erfeito deve satisfazer t i t i 63 i i oo, o códio de bloco liear (6, 3, 3) ão é u códio erfeito. De fato, o úero de sídroes ossíveis são todas as sídroes ão ulas ais a sídroe ula, que totaliza 7 sídroes. Por iseção à Tabela.7, verifica-se a ausêcia da ula e da sídroe S. A ausêcia da sídroe ula deve-se ao fato que ela corresode ao adrão de todo zero, ou seja, vetor recebido se erro, equato que a sídroe só ocorrerá se o adrão de erro tiver ou ais erros, o que está fora da caacidade de correção deste códio CORREÇÃO DE ERROS PEA SÍNDROME Cofore ostrado o Exelo.3, deve existir ua corresodêcia exclusiva etre u adrão de erro e ua sídroe de erro. Isso abre a ossibilidade de ão só oderos detectar erros, as tabé corrii-los. A correção de erros ode ser feita de diversas foras. A seuir será aresetada a correção de erros or eio da sídroe de erros. Basicaete, este rocesso de correção é feito a artir da idetificação do adrão de erro ais rovável or eio do cálculo da sídroe de erros. Ua vez cohecido o adrão de erro é ossível fazer a correção de erro soado-se o vetor r recebido co o adrão de erro, e, associado a ele, ois e (.6), etão, r c e, c ' r e. (.33) _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.

22 Ode c é a elhor estiativa do vetor códio que foi trasitido elo caal ruidoso. Este rocedieto ode ser resuido de acordo co os seuites assos:. A artir da caacidade de correção de erros do códio, deteria-se a sídroe ara todos os adrões de erros corriíveis, or eio (.3);. Calcula-se a sídroe de r usado (.7); 3. ocaliza-se o adrão de erro corresodete à sídroe calculada. 4. O vetor códio será aquele deteriado or (.33). Observação: O erro só será corriido se o adrão de erro corresodete à sídroe de vetor recebido for iual ao adrão de erro itroduzido elo caal, i.e., o adrão de erro itroduzido elo caal deve ser u adrão de erro corriível. EXEMPO.3 Suoha que o vetor c do códio (6, 3, 3), erado or (.4), teha sido trasitido e corroido or ruído o caal, de odo que a receção foi detectado o vetor r. Corrija o erro itroduzido elo caal a artir da associação da sídroe co o adrão de erro ais rovável. Solução: A sídroe de erros ara o vetor recebido é deteriada or eio de (.33), ou seja: T S r H () S () () () () () () S E caais AWGN os adrões de erros ais rováveis são aqueles co eor úero de erros. Alé disso, o erro só será corriido co certeza se o adrão de erro itroduzido elo caal for u adrão de erro corriível elo códio. A Tabela.7 obtida o Exelo. associa os adrões de erros às suas resectivas sídroes. Esta tabela é rearesetada a seuir co as coluas ivertidas e reordeadas, ara eritir ais facilete a idetificação do adrão de erro a artir da sídroe obtida acia. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.

23 Tabela.8 - Sídroes e seus resectivos adrões ara o códio de bloco liear (6, 3, 3) erado or (.7). S e (t ) De acordo a Tabela.8 a sídroe calculada corresode ao adrão de erro e. oo, o vetor códio ais rovável de ter sido o vetor trasitido ode ser deteriado or (.39), i.e.: c' r e c' * * * ARRA JO PADRÃO O arrajo adrão é u esquea de decodificação baseado e sídroe de erro. Aesar da sua iortâcia didática, sua alicabilidade fica restrita aos códios de bloco co úero reduzido de alavras códios. Cofore já aresetado, u códio de bloco é u subesaço vetorial coosto or alavras códios. Etretato, quado ua alavra códio é trasitida or u caal ruidoso e é corroida or ruído, ela ode se trasforar e ua alavra ão válida que ertece a u cojuto de alavras co bits, que costitui o esaço vetorial V. Cosidere as alavras códios de u códio de bloco liear c, K c. c,, Cosidere tabé os - adrões de erros e, K e associados às - sídroes ossíveis. e,, U arrajo adrão é costituído or todas as alavras do esaço vetorial V, de acordo co os assos aresetados a seuir e ilustrados a Fiura.7.. U arrajo adrão é forado or subcojutos, sedo que cada subcojuto é ua colua do arrajo adrão. Cosequeteete, u arrajo adrão ossui coluas.. A rieira liha do arrajo adrão é coosta or todas as alavras códios, ou seja, a rieira liha do arrajo adrão é o subesaço vetorial das alavras códios. Obriatoriaete a alavra toda zero ou chaada de c e é a alavra que ocua a osição suerior esquerda do arrajo. 3. A rieira colua do arrajo adrão é forada or todos os - adrões de erros, icluido o vetor todo zero que ocua a osição suerior esquerda do arrajo. Cosequeteete, u arrajo adrão ossui - lihas. A seuda liha do arrajo é forada ela soa de e co cada u dos vetores códios a rieira liha. Este rocedieto se reete até que a (-) é-sia liha colete o arrajo. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.3

24 Cada liha do arrajo fora u subcojuto disjuto dos deais subcojutos das outras lihas. Cada subcojuto é chaado de coset e o vetor do coset que ertece a rieira colua é chaado de lider do coset. O arrajo adrão erite a decodificação direta da alavra recebida ela idetificação de u dos subcojuto, ou colua, ao qual ertece a alavra recebida. Ua vez idetificada esta colua o vetor códio decodificado é o vetor da rieira liha da colua idetificada. c e c... c... i c e... e c... i e c e... e c... 3 i e 3 c M j e j c... e j c... i e j c M e... e... e e c e 3 3 c e e c c c alavras códios cosets líderes dos cosets subcojutos Fiura.7 - Arrajo adrão. O Exelo.4 areseta o uso do arrajo adrão ara a correção de erros e tabé u coetário sobre o equívoco de decodificação que ode ocorrer quado o códio usado ão é u códio erfeito. EXEMPO.4 Cosidere o códio (6, 3, 3), erado or (.4). Pede-se: a) Costruir u arrajo adrão ara este códio. b) Decodificar o vetor recebido. c) Adita que o vetor códio teha sido corroido elo adrão de erro. Decodifique o vetor recebido. Solução: a) O Arrajo Padrão De acordo co o Exelo.3, este códio é caaz de corriir, aratidaete, todos os adrões de u erro. Coo 6 etão existe seis adrões de u erro que são aqueles listados a Tabela.7. Etretato, ara a otae do arrajo adrão são ecessários (-) 8 adrões de erros ara coor a rieira colua do arrajo. Esses oito adrões de erros era, evideteete, oito sídroes de erro, icluido o adrão de erro e, associado à sídroe S, que ocua a rieira célula da rieira colua. oo, Cofore aresetado a Tabela.8 a úica sídroe ão ula ão associada aos adrões de u erro é a sídroe _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.4

25 S. Isso siifica que deve haver u ou ais adrões de dulo erro associado à sídroe S, ois a caacidade de correção deste códio é de u erro. De fato, ode-se verificar que existe três adrões de dulo erro caaz de erar a sídroe S, cofore ostrado a seuir, as aeas ua deve ser escolhida ara coor o arrajo adrão. () ou T S e H () S ou () Ua vez escolhido o adrão de dulo erro ara coletar a rieira liha do arrajo adrão, que este exelo é o adrão de erro e, ode-se otar o arrajo adrão da seuite fora: ) a iha: todas as alavras códios iiciado-se ela alavra toda zero (Tabela.6). ) a Colua: os ( - ) adrões de erros corriíveis (aratidaete ou ão). 3) Deais células: cada célula é ocuada elo vetor resultate da soa da alavra códio do subcojuto da célula elo seu líder do coset. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.5

26 b) Decodificação do vetor Cofore ostrado abaixo, o vetor ertece ao coset cujo líder é o adrão de erro e ao subcojuto do vetor códio. Deste odo, a decodificação elo arrajo adrão ressuõe que o vetor códio trasitido foi o vetor (vetor decodificado) que foi corroido elo adrão de erro. c) Decodificação do vetor c corroido or e r c e r A decodificação elo arrajo adrão ressuõe que o vetor códio trasitido foi o vetor (vetor decodificado) que foi corroido elo adrão de erro. Note que houve u equívoco a decodificação orque existe três adrões de dulo erro associado à sídroe S e o que foi escolhido ara coor o arrajo adrão ão foi o adrão de dulo erro itroduzido elo caal. * * *.3.8. CODIFICADOR PARA CÓDIGOS DE BOCO SISTEMÁTICOS SIMPES Quado os códios de blocos são siles e curtos, a ileetação de u circuito de codificação ode ser feita diretaete co o auxílio das equações que deteria as alavras códios. Para u códio de bloco liear sisteático, a alavra códio ode ser escrita coo (, K,,,, K ),, c. (.34) Note que a obteção dos bits de aridade a artir de (.3) resue-se às seuites oerações: _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.6

27 _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.7,,,,, K M K K (.35) Assi, co o cohecieto da atriz eradora a fora sisteática é ossível articularizar o cojuto de equações aresetadas e (.4) ara a eração das alavras códios or eio de circuitos lóicos cobiacioais. Veja Exelo.5. EXEMPO.5 Costrua u codificador ara o códio (6, 3) reresetado ela sua atriz eradora reroduzida a seuir [ ] ) ( P I G Solução: De acordo co (.4) as equações de aridade ara a atriz eradora acia são: oo, u circuito codificador ode ser ileetado cofore aresetado a seuir: Fiura.8 - Circuito de codificação ara o códio (6, 3). * * * c Geração dos bits de aridade

28 _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes DECODIFICADOR PARA CÓDIGOS DE BOCO SISTEMÁTICOS SIMPES Quado os códios de blocos são siles e curtos u decodificador ode ser ileetado co u circuito siles a artir dos seuites assos:. Calculo da sídroe;. ocalização do adrão de erro; 3. Soa ódulo- do adrão de erro co o vetor recebido. O cálculo da sídroe ode ser feito cosiderado as exressões aresetadas a seuir. ( ) ( ),,,,,,,,,,, T s s s r r r K M M M M M M K H r S (.36),,,,, r r r r s r r r r s r r r r s K M K K (.37) Cada sídroe deve erar u adrão de erro (corriível) que deverá ser soado ao vetor recebido. EXEMPO.6 Costrua u decodificador ara o códio (6, 3) reresetado ela sua atriz verificadora de aridade trasosta reroduzida a seuir. T H

29 Solução: De acordo co (.43) as equações das sídroes a artir da atriz verificadora de aridade acia são: s s s r r r r r r r r r 5 Seuido os assos aresetados e utilizado as equações acia, ode-se desehar o circuito de decodificação aresetado a seuir. Note que o circuito de decodificação ode ser silificado or eio da exclusão das ortas acizetadas, resosáveis elos bits c, c e c, de aridade, ua vez que o resultado da decodificação resue-se aos bits de iforação c 3, c 4 e c 5. Vetor recebido r r r r r 3 r 4 r 5 e e e e 3 e 4 e 5 r r r r 3 r 4 r 5 c c c c 3 c 4 c 5 Fiura.9 - Circuito de decodificação ara o códio (6, 3). * * *.4. DESEMPENHO DOS CÓDIGOS DE BOCO INEARES [] Se u códio de bloco caaz de corriir t erros é utilizado exclusivaete ara correção de erros e u caal biário siétrico (BSC), co robabilidade de trasição (robabilidade de erro de bit), a robabilidade de erro de bit aós a decodificação ode ser deteriada aroxiadaete or: P b j j j t j j ( ). (.38) _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.9

30 Para fis de coaração, o deseeho de alus códios de bloco lieares siles e u caal AWGN co odulação BPSK, co detecção coerete, ode ser obtido cosiderado-se que a robabilidade de erro de síbolo e teros da relação etre a eeria de síbolo codificado e a desidade esectral de ruído, E c /, ode ser deteriada or Ec erfc. (.39) Por sua vez é ecessário relacioar tabé E c / co Eb/, que é relação etre eeria asta co os bits de iforação e a desidade esectral de ruído, ou seja, E E E R. (.4) c b b c Substituido (.46) e (.45) obté-se: Eb erfc Rc. (.4) Co (.4) e (.38) a coaração do deseeho aroxiado etre alus códios de blocos siles trasitidos sobre a odulação BPSK co a rória odulação BPSK ão codificada ode ser obtida diretaete. A Fiura. ostra o deseeho aroxiado etre a odulação BPSK ão codificada co as BPSKs co os códios: Hai (7, 4), BCH (5, 7), Golay (3, ), BCH (63, 36) e BCH (7, 64). P b.. BPSK ão codificada 3 (7, 4) t (5, 7) t 4 (3, ) t 3 5 (63, 36) t 5 (7, 64) t E b /N Fiura. - Deseeho de alus códios de blocos lieares. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.3

31 Note que os códios, cujos deseehos estão aresetados a Fiura., ossue taxa de codificação etre,47 e,57. Procurou-se, desta fora, ater a taxa de codificação raticaete costate ara que o deseeho dos códios co diferetes corietos fosse coarados. Isso foi feito co o objetivo de evideciar ua iortate característica dos códios de blocos: a caacidade dc correção de erros or bloco aueta co o aueto do corieto quado a taxa de codificação é atida costate. Coo cosequêcia, auetos siificativos o deseeho ode ser obtidos..5. CÓDIGOS CÍCICOS [][][3][4][5][6].5.. INTRODUÇÃO AOS CÓDIGOS CÍCICOS Os códios cíclicos biários são ua iortate subclasse de códios de bloco lieares. São códios de fácil ileetação co reistradores de deslocaeto realietados. O cálculo da sídroe tabé ode ser facilete executado de fora siilar, co reistradores de deslocaeto realietados. U códio liear (, ) é chaado de códio cíclico se ele ode ser descrito ela roriedade aresetada a seuir. Se a -tula c (c, c, c,..., c - ) é u vetor códio o subesaço S, etão, c () (c -, c, c,..., c - ), obtido elo deslocaeto corresodete a ua osição de bit, é tabé u vetor códio e S. E eral, c (i) (c -i, c -i, c,..., c -, c, c,..., c -i- ) obtido elo deslocaeto corresodete a i osições de bit, é tabé u vetor códio e S. Os cooetes de u vetor códio u ode ser tratados coo os coeficietes de u oliôio c(x) coo ostrado a seuir. c(x) c c X c X... c - X - (.4) Nesta reresetação a reseça ou ausêcia de cada tero o oliôio idica a reseça de u ou, resectivaete, a corresodete locação da -tula. Desta fora, o oliôio ode ter rau - ou eos. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.3

32 Exelo.7 Seja o vetor códio c de u códio de bloco liear (7, 4). Sua reresetação olioial é c(x) X 3 X 4 X 6 ou seja, u oliôio de rau -. O valor de c (3), que tabé ertece ao eso códio (7, 4) é c (3). * * * Pode-se erar códios cíclicos usado u oliôio erador, da esa fora que são erados os códios de bloco usado ua atriz eradora. O oliôio erador (X) ara u códio cíclico (, ) te a fora (X) X X... - X - (.43) ode e - deve ser iuais a e o rau do oliôio erador deve ser -. Fialete, u oliôio (X) é u oliôio erador de u códio cíclico (, ) se, e soete se, ele for u fator de X. EXEMPO.8 Verifique se o oliôio X 3 X era u códio cíclico C (7, 4). Solução: Coclusão: X 7 X 3 X (X 7 X 5 X 4 ) X 4 X X X 5 X 4 (X 5 X 3 X ) X 4 X 3 X (X 4 X X) X 3 X (X 3 X ) O oliôio X 3 X era u códio cíclico (7, 4) e aida erite-os cocluir que o oliôio X 4 X X, que é o quociete da divisão realizada, era u códio cíclico (7, 3), ois (X 7 ) (X 4 X X ) (X 3 X ) * * * _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.3

33 _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.33 A atriz eradora ara u códio cíclico erado elo oliôio erador (X) ode ser obtida fazedo M M G (.44) Ode,,,..., - são os teros do oliôio (X) X X... - X -. É ossível fazer a codificação de fora sisteática, através de ua atriz eradora G obtida a artir da atriz G. Para isso, cofore visto ateriorete, G deve ter a fora [ ] ' ),( ),( ),( M M M M M M M M I P G (.45) Isso ode ser feito através de oerações lieares co as lihas de G até que G toe a fora desejada. EXEMPO.9 Deterie o vetor códio de u códio cíclico (7, 4), corresodete a esae, utilizado a atriz eradora a fora sisteática, obtida a artir do oliôio erador (X) X 3 X. Solução: Do exelo aterior, a atriz eradora a fora ão sisteática é G Por iseção verifica-se que a rieira e a seuda liha estão corretaete osicioadas ara a obteção de ua atriz a fora sisteática. A terceira liha da atriz ode ser obtida através da soa das lihas e 3. A quarta liha da atriz ode ser obtida soado-se as lihas, e 4.

34 _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.34 G' O vetor códio a fora sisteática é obtido ela oeração U.G, coseqüeteete.g' c c * * * É fácil cocluir que ua vez obtida a atriz G a fora sisteática, a obteção da atriz verificadora de aridade H, do códio C erado or G é iediata, ois [ ] T I P H M.5.. CODIFICAÇÃO SISTEMÁTICA DE CÓDIGOS CÍCICOS COM REGISTRADORES DE DESOCAMENTO DE (-) ESTÁGIOS U vetor esae ode ser escrito a fora olioial coo ( )... X X X X (.46) Na fora sisteática, os díitos de esae são aresetados exlicitaete coo arte do vetor códio. Para que a orção esae da alavra códio ocue as osições dos bits ais siificativos, odeos fazer u deslocaeto dos bits de esae ara a direita, ficado as - osições ais a esquerda ara a arte de aridade, ou seja, ( )... X X X X X. (.47) Dividido a exressão acia or (X), obté-se ( ) ( ) ( ) ( ) X X X X X r q (.48) ou, etão ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X X X X X X c q r (.49) Ode o resto r(x) rereseta a arte de aridade do vetor códio e o roduto X - (X) rereseta a arte esae que foi deslocada - bits ara a direita.

35 EXEMPO. Deterie o vetor códio de u códio cíclico (7, 4), a fora sisteática, ara, utilizado o oliôio erador (X) X 3 X. Solução: (X) X X 3 X - (X) X 3 ( X X 3 ) X 3 X 5 X 6 Dividido X - (X) or (X) ode-se escrever X 3 X 5 X 6 ( X X X 3 ) ( X X 3 ) X - (X) q (X) (X) resto Fialete, c(x) r(x) X 3 (X) ( X 3 X 5 X 6 ) c * * * O circuito que faz as oerações olioiais aresetadas ateriorete está aresetado a Fiura.. Chave -- r r r r -- Chave b i Coexão viculada a existêcia de i Etrada a saída Fiura. Codificador ara códios cíclicos sisteáticos utilizado reistradores de deslocaeto. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.35

36 O rocedieto de codificação co o circuito da Fiura. é o seuite: Passo : A chave eraece fechada, ara eritir a etrada dos bits de esae o estáio de codificação. A chave eraece a osição (a) ara eritir a trasissão dos bits de esae diretaete ara o reistro de saída, durate os rieiros deslocaetos. Passo : Aós a trasissão dos bits de esae a chave é aberta (iedido a realietação) e a chave é ovida ara a osição (b). Passo 3: Os (-) bits de aridade que estão arazeados os reistros de deslocaeto são trasitidos, coletado a trasissão do oliôio códio. EXEMPO. Seja o códio (7, 4) cujo oliôio erador é (X) X X 3. Para o vetor esae, o oliôio códio resultate é c(x) X 3 X 5 X 6, que corresode ao vetor códio c. Mostre a foração e trasissão deste vetor códio utilizado o circuito da Fiura.. Solução: Chave r r r b Chave (X) X X 3 Etrada a Saída Fiura. Circuito de codificação ara o Exelo.. Fila de etrada - Núero de deslocaetos 3 4 Coteúdo dos reistradores Saída - Aós os 4 deslocaetos a chave é aberta, a chave assa ara a osição b e o coteúdo dos reistros (aridade) é trasitido. oo, o vetor trasitido é c. * * * _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.36

37 .5.3. DETECÇÃO DE ERROS DE CÓDIGOS CÍCICOS SISTEMÁTICOS COM REGISTRADORES DE DESOCAMENTO DE (-) ESTÁGIOS U vetor códio trasitido c(x) ode ser alterado ela reseça de ruído, de fora que fução do decodificador é recuerar o vetor códio trasitido a artir do vetor recebido. Seja etão u vetor recebido r( X ) r r X r X r X (.5) O decodificador deve testar se o vetor recebido é u vetor códio, o que equivale a dividir o oliôio recebido elo oliôio erador, ois r( X ) q( X ) ( X ) S( X ) (.5) Se a sídroe for zero, o vetor recebido é aceito coo u vetor códio, caso cotrário, te-se ua detecção de erro através da sídroe. EXEMPO. Deteriar a sídroe do vetor r, codificado a fora sisteática a artir do oliôio erador (X) X X 3 utilizado reistradores de deslocaeto. Mostre a foração da sídroe a cada deslocaeto. Solução: O circuito ara a deteriação da sídroe é seelhate ao utilizado ara a codificação, cofore ostrado a seuir. Chave Etrada r r r Chave Saída da sídroe Fiura.3 - Circuito de detecção de erros ara o códio cíclico erado or (X) X X 3. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.37

38 Procedieto: Passo : A chave é iicialete fechada e a chave aberta. O vetor recebido é deslocado ela etrada dos reistradores, cujos estados iiciais são todos zero. Aós o vetor recebido estar todo os reistradores, seu coteúdo é a sídroe. Passo : A chave é etão aberta e a chave fechada, de fora a eritir que o vetor sídroe ossa ser deslocado ara fora dos reistradores. O coteúdo dos reistradores a cada deslocaeto é aresetado a seuir. Fila de etrada - Núero de deslocaetos * * * Coteúdo dos reistradores.5.4. DECODIFICADOR DE MEGGITT [3][4][6] Códios cíclicos ode ser decodificados utilizado-se o decodificador, cujo odelo eérico é aresetado a Fiura.4, cohecido coo Decodificador de Meitt. Seu fucioaeto ode ser descrito da seuite fora: Passo : Passo : Iicialete as chaves CH, CH 3 e CH 4 estão fechadas e as chaves CH e CH5 abertas. A sídroe é erada elo deslocaeto do vetor recebido, ao eso teo e que este é arazeado o reistrador de deslocaeto. A sídroe é lida elo erador de adrão de erro. O erador de adrão de erro é u circuito cobiacioal que areseta e sua saída se e soete se a sídroe erada corresode ao adrão de erro a osição ais a direita do vetor recebido. Se o vetor recebido for u vetor válido, o erador de adrão de erro terá zero e sua saída e assi eraecerá até que o vetor recebido seja todo deslocado ara fora. _Bloco_V_Rev - Geraldo Gil R. Goes.38