7. t x y x t s y s. F x y 11. Dica: y p. G x y Calcule a integral. 19. x 3 2x dx t 3t 2 dt 22. y 1.

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1 INTEGRAIS 7. Eercícios. Eplique etmente o signiicdo d irmção derivção e integrção são processos inversos.. Sej t t dt, em que é unção cujo gráico é mostrdo. () Clcule t pr,,,,, e 6. (b) Estime t 7. (c) Onde t tem um vlor máimo? Onde possui um vlor mínimo? (d) Fç um esboço do gráico de t.. t t dt 6. t sen t dt 7 8 Use Prte do Teorem Fundmentl do Cálculo pr encontrr derivd d unção. 7. t 8. t dt t et t dt 9. t s s t t 8 dt. t r r s d 6 t. F s sec t dt Dic: p s sec t dt s sec t dt p. Sej t t dt, em que é unção cujo gráico é mostrdo. () Clcule t, t, t, t e t 6. (b) Em que intervlos t está crescendo? (c) Onde t tem um vlor máimo? (d) Fç um esboço do gráico de t.. G cos st dt. h e ln tdt. h s z z dz. tg st st dt 6. cos d u s t dt u du sen t 9 Clcule integrl. 9. d. d. t t dt. ( u u 9 ) du. Sej t t dt, em que é unção cujo gráico é mostrdo. () Clcule t e t 6. (b) Estime t pr,,,, e. (c) Em que intervlo t está crescendo? (d) Onde t tem um vlor máimo? (e) Fç um esboço do gráico de t. () Use o gráico d prte (e) pr esboçr o gráico de t. Compre com o gráico de... d 8 d s. 6. t dt 7. d d. s. sec tdt.. d. v v 6. dv 6. v cos d ( s ) d d p sec u tg u du sen e d 8 z dz 6 Esboce áre representd por t. A seguir, encontre t de dus orms: () utilizndo Prte do Teorem Fundmentl e (b) clculndo integrl usndo Prte e, então, derivndo. 7. e e d s 8. s d. e u du. cosh tdt s u du u s d ; É necessário usr um clculdor gráic ou computdor SCA É necessário usr um sistem de computção lgébric. As Homework Hints estão disponíveis em

2 8 CÁLCULO. d onde. onde sen cos se p se p p d se se 6. A unção erro dd por er s e t dt é muito usd em probbilidde, esttístic e engenhri. () Mostre que b. e t dt s er b er ; ; 8 O que está errdo n equção?. d Use um gráico pr dr um estimtiv grosseir d áre d região que ic bio d curv dd. Encontre seguir áre et. 9. s, 7.,. sen,. sec, Clcule integrl e interprete- como um dierenç de áres. Ilustre com um esboço.. d. 9 Encontre derivd d unção F e t dt 8. F rctg tdt 9. d 8 p p sec u tg u d u sec u]p p p p sec d tg ] t Dic: t t sen tdt sen ln v dv cos u u du u du cos d 6 u du u du s 6 SCA (b) Mostre que unção e er stisz equção dierencil s. 6. A unção de Fresnel S oi deinid no Eemplo, e seus gráicos estão ns Figurs 7 e 8. () Em que vlores de ess unção tem vlores máimos locis? (b) Em que intervlos unção é côncv pr cim? (c) Use um gráico pr resolver seguinte equção, com precisão de dus css decimis: sen pt dt, SCA 66. A unção seno integrl Si sen t dt t é importnte em engenhri elétric. [O integrndo t sen t t não está deinido qundo t, ms sbemos que seu limite é qundo t l. Logo, deinimos e isso z de um unção contínu em tod prte.] () Trce o gráico de Si. (b) Em que vlores de ess unção tem vlores máimos locis? (c) Encontre s coordends do primeiro ponto de inleão à direit d origem. (d) Ess unção tem ssíntots horizontis? (e) Resolv seguinte equção com precisão de um cs deciml: Sej t t dt, em que é unção cujo gráico é mostrdo. () Em que vlores de ocorrem os vlores máimos e mínimos locis em t? (b) Onde t tinge seu vlor máimo bsoluto? (c) Em que intervlos t é côncvo pr bio? (d) Esboce o gráico de t. 67. sen t t dt 6. Se t e t dt, em qul intervlo é crescente? 6. Em qul intervlo curv é côncv pr bio? 6. Se sen s t dt e t d, encontre t Se, é contínu e d 7, qul é o vlor de? t t t dt 68.,, _, 6 8 t 7 9 t

3 INTEGRAIS Clcule o limite, reconhecendo primeiro som como um som de Riemnn pr um unção deinid em, i lim n l n i n lim n l 7. Justiique pr o cso h. 7. Se é contínu e t e h são unções deriváveis, encontre um órmul pr 7. () Mostre que s pr. (b) Mostre que s d,. 7. () Mostre que cos cos pr. (b) Deduz que cos d. 7. Mostre que comprndo o integrndo um unção mis simples. 76. Considere n n n n n n e t t dt () Ache um epressão pr t similr àquel pr. (b) Esboce os gráicos de e t. (c) Onde é derivável? Onde t é derivável? 77. Encontre um unção e um número tis que 6 6 t t d d h t t dt d, dt s se se se se pr todo 78. A áre mrcd B é três vezes áre mrcd A. Epresse b em termos de. 79. Um empres possui um máquin que se depreci um t contínu t, onde t é o tempo medido em meses desde seu último recondicionmento. Como cd vez em que máquin é recondiciond incorre-se em um custo io A, empres desej determinr o tempo idel T (em meses) entre os recondicionmentos. () Eplique por que t s ds represent perd do vlor d máquin sobre o período de tempo t desde o último recondicio- nmento. (b) Sej C C t ddo por C t A t s ds t O que represent C e por que empres quer minimizr C? (c) Mostre que C tem um vlor mínimo nos números t T onde C T T. 8. Um empres de tecnologi compr um novo sistem de computção cujo vlor inicil é V. O sistem deprecirá um t t e cumulrá custos de mnutenção um t t t t, onde t é o tempo medido em meses. A compnhi quer determinr o tempo ótimo pr substituir o sistem. () Sej C t t t s t s ds Mostre que os números críticos de C ocorrem nos números t nos quis C t t t t. (b) Suponh que V t V t se t se t e t t Vt t.9 Determine o período de tempo T pr que deprecição totl D t t s ds sej igul o vlor inicil V. (c) Determine o mínimo bsoluto de C em, T. (d) Esboce os gráicos de C e t no mesmo sistem de coordends e veriique o resultdo d prte () nesse cso. = = A B b

4 INTEGRAIS 6 EXEMPLO 7 A Figur mostr o consumo de energi por um di em setembro em São Frncisco (P é medido em megwtts; t é medido em hors prtir d mei-noite). Estime energi consumid nquele di. P 8 6 FIGURA t Fonte: Pciic Gs & Electric SOLUÇÃO A potênci é t de vrição d energi: P t E t. Logo, pelo Teorem d Vrição Totl, P t dt E t dt E E é quntidde totl de energi consumid nquele di. Aproimmos o vlor d integrl utilizndo Regr do Ponto Médio com subintervlos e t : P t dt P P P P P t A energi usd oi proimdmente.8 megwtts-hor. Um observção sobre uniddes Como sber que uniddes usr pr energi no Eemplo 7? A integrl P t dt é deinid como o limite ds soms dos termos d orm P t. Como i * t P t i * é medid em megwtts e t, em hors, seu produto é medido em megwtts-hor. O mesmo é verddeiro pr o limite. Em gerl, unidde de medid b d é o produto d unidde pr com unidde pr.. Eercícios Veriique, por derivção, que órmul está corret.. s d s C 8 Encontre integrl indeinid gerl. d (s s ) d. 6.. cos d sen C ( ) d 7. 8.,8, d. cos d sen sen C 9. u u du. v v dv. s b d b s b C b. s d. d ; É necessário usr um clculdor gráic ou computdor. As Homework Hints estão disponíveis em

5 66 CÁLCULO. sen senh d.. u cossec u cotg u du tg d 8. cossec t e t dt sec t sec t tg t dt sen sen d. As ronteirs d região sombred são o eio, ret e curv s. Encontre áre dess região escrevendo como um unção de e integrndo em relção (como no Eercício 9). = ; 9 Encontre integrl indeinid gerl. Ilustre zendo o gráico de vários membros d míli n mesm tel. =$œ (cos ) d 9.. e d 6 Clcule integrl.. 6 d. d. ( t t t) dt. 6w w dw. d 6. t t dt 7. p e sen d 8. d 6u 9.. (st e t ) dt..... d cos d cos 8. p sen u sen u tg u du sec u 9. 6 s d. e s senh cosh d. s dr. d s r. s t t dt. d. 6. du su (s s ) d d ( ) d p sen d ; 7. Use um gráico pr estimr intersecção com o eio d curv. A seguir, use ess inormção pr estimr áre d região que se situ sob curv e cim do eio. ; 8. Repit o Eercício 7 pr curv. 9. A áre d região que está à direit do eio e à esquerd d prábol ( região sombred n igur) é dd pel integrl d. (Gire su cbeç no sentido horário e imgine região como estndo bio d curv de té.) Encontre áre d região. =- s d p cossec u du p d. Se w t or t de crescimento de um crinç em quilogrms por no, o que w t dt represent?. A corrente em um io elétrico é deinid como derivd d crg: I t Q t. (Vej o Eemplo n Seção.7.) O que b I t dt represent?. Se vzr óleo de um tnque um t de r t glões por minuto em um instnte t, o que r t dt represent?. Um colmei com um populção inicil de belhs cresce um t de n t por semn. O que represent n t dt?. N Seção.7 deinimos unção rendimento mrginl R como derivd d unção rendimento R, onde é o número de uniddes vendids. O que represent R d? 6. Se or inclinção de um trilh um distânci de quilômetros do começo del, o que d represent? 7. Se é medido em metros e, em newtons, quis são s uniddes de d? 8. Se s uniddes pr são pés e s uniddes pr são librs por pé, quis são s uniddes pr d d? Quis são s uniddes pr d? A unção velocidde (em metros por segundo) é dd pr um prtícul movendo-se o longo de um ret. Encontre () o deslocmento e (b) distânci percorrid pel prtícul durnte o intervlo de tempo ddo. 9. v t t, t 6. v t t t 8, t A unção celerção (em m s ) e velocidde inicil são dds pr um prtícul movendo-se o longo de um ret. Encontre () velocidde no instnte t e (b) distânci percorrid durnte o intervlo de tempo ddo. 6. t t, v, t 6. t t, v, t 6. A densidde liner de um brr de comprimento m é dd por 9 s, medid em quilogrms por metro, em que é medido em metros prtir de um etremidde d brr. Encontre mss totl d brr.

6 7 CÁLCULO O Teorem 7 está ilustrdo n Figur. Qundo é positiv e pr, prte () diz que áre sob de té é o dobro d áre de té em virtude d simetri. Lembre-se de que um integrl b d pode ser epress como áre cim do eio e bio de menos áre bio do eio e cim d curv. Assim, prte (b) diz que integrl é, pois s áres se cncelm. EXEMPLO EXEMPLO conseguinte Um vez que 6 stisz, el é pr, e portnto 6 d 6 d Já que tg stisz, el é ímpr, e por [ 7 7 ] ( 8 7 ) 8 7 tg d. Eercícios 6 Clcule integrl zendo substituição dd cos d, 7 8 Clcule integrl indeinid. 7. sen d 8. e d 9. d. t, dt. s d. sec d d.. us u du. sen pt dt 6. e sen e d e u u d, u s d, u dt 6t, u 6t cos u sen u du, u cos u sec d, u e u du b 9.. s b d ln. d. cos u sen u du sen s s d z z dz d. e s e d 6. b 7. d 8. e cos t sen tdt 9. t sen t dt. tg d sen ln. e tg sec d. d. cos. cos d sen d. 6. scotg cossec d t dt dt 7. senh cosh d 8. cos ts tg t sen sen 9.. cos cos d d. cotg d. sen t sec cos t dt d.. s d sen. d 6. s d 7. 8 d 8. s d ; 9 Clcule integrl indeinid. Ilustre e veriique que su respost é rzoável zendo o gráico d unção e de su primitiv (tome C ). 9. d. tg u sec u du. sec u tg u du. s sen d. e cos sen d. sen cos d ; É necessário usr um clculdor gráic ou computdor. As Homework Hints estão disponíveis em

7 INTEGRAIS 7 ; 7 Avlie integrl deinid.. cos t dt.. 7 d 6. s 7. sec t dt 8. e 9. d 6. p 6. tg d 6. p 6. d 6. s 6. s d s d e d 7. e sln 7. e z 7. e z z dz 7. d ( s ) 7. Veriique que sen s é um unção ímpr e use este to pr mostrr que 7 76 Use um gráico pr dr um estimtiv grosseir d áre d região que está sob curv dd. Encontre seguir áre et. 7. s, 76. sen sen, sen s d. 77. Clcule s d escrevendo- como um som de dus integris e interpretndo um desss integris em termos de um áre. 78. Clcule s d zendo um substituição e interpretndo integrl resultnte em termos de um áre. 79. Quis ds seguintes áres são iguis? Por quê? =e œ s d sen s d T sen pt T dt 8. Um modelo pr t de metbolismo bsl, em kcl h, de um homem jovem é R t 8,8 cos pt, em que t é o tempo em hors medido prtir de hors d mnhã. Qul é o metbolismo bsl totl deste homem, R t dt, em um período de hors? =e sen sen t dt p sen d p d cossec pt cotg ptdt 6 e d p cos sen sen d s d = π 8. Um tnque de rmzenmento de petróleo sore um ruptur em t e o petróleo vz do tnque um t de r t e,t litros por minuto. Qunto petróleo vzou n primeir hor? 8. Um populção de bctéris tem inicilmente bctéris e cresce um t de r t,68 e,67t bctéris por hor. Qunts bctéris eistirão pós hors? 8. A respirção é cíclic e o ciclo completo respirtório desde o início d inlção té o im d epirção demor cerc de s. A t máim de luo de r nos pulmões é de cerc de, L/s. Isso eplic, em prtes, porque unção t sen pt tem sido requentemente utilizd pr modelr t de luo de r nos pulmões. Use esse modelo pr encontrr o volume de r inldo nos pulmões no instnte t. 8. A Albm Instruments Compn preprou um linh de montgem pr bricr um nov clculdor. A t de produção desss clculdors pós t semns é d dt t clculdors semn. (Observe que produção tende por semn à medid que pss o tempo, ms produção inicil é bi, pois os trblhdores não estão milirizdos com s novs técnics.) Encontre o número de clculdors produzids no começo d terceir semn té o im d qurt semn. 8. Se or contínu e d, clcule d. 86. Se or contínu e d, clcule d. 87. Se or contínu em, demonstre que d d. Pr o cso onde e b, ç um digrm pr interpretr geometricmente ess equção como um iguldde de áres. 88. Se or contínu em, demonstre que c d b c d. Pr o cso onde, ç um digrm pr interpretr geometricmente ess equção como um iguldde de áres. 89. Se e borem números positivos, mostre que b d b d. 9. Se é contínu em,, use substituição u pr demonstrr que p b sen d p. p sen d 9. Use o Eercício 9 pr clculr integrl 9. () Se é contínu, mostre que p b 9 p sen. cos d cos d p sen d. (b) Use prte () pr clculr cos de p sen d. b c

8 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 6 Demonstre órmul de redução 7 onde n é um inteiro. SOLUÇÃO Sej sen n d n cos senn n n sen n d A Equção 7 é chmd de órmul de redução porque o eponente oi reduzido pr n e n. u sen n Então, du n sen n cos d de modo que integrção por prtes result em dv sen d v cos sen n d cos sen n n sen n cos d Um vez que cos sen, temos sen n d cos sen n n sen n d n sen n d Como no Eemplo, ness equção isolmos integrl desejd, levndo o último termo do ldo direito pr o ldo esquerdo. Então, temos ou n sen n d cos sen n n sen n d sen n d n cos senn n n sen n d A órmul de redução 7 é útil porque usndo- repetids vezes podemos eventulmente epressr sen n dem termos de sen d(se n or ímpr) ou sen d d (se n or pr). 7. Eercícios Clcule integrl usndo integrção por prtes com s escolhs de u e dv indicds.. ln d; u ln, dv d. cos d ; u, dv cos d 6 Clcule integrl.. h cos d. h e d. h re r/ dr 6. h t sen t dt 7. h ( ) cos d 8. h t sen bt dt 9. h ln d. h sen d. h rctg tdt. h p ln p dp. h t sec t dt. h s s ds. h (ln ) d 6. h t senh mt dt 7. h e u sen u du 8. h e u cos u du 9. h z e z dz. h tg d. h d. h (rcsen ) d. h / cos p d. h ( ) e d. h t cosh t dt 6. h 9 7. h r ln r dr 8. h p t sen t dt 9. h e e ( ) d d. h rctg (/) dr. h / cos d. h. h cos ln(sen ) d. h ln (ln ) d dr r. h (ln ) d 6. h t es sen(t s) ds r ; É necessário um clculdor gráic ou computdor. As Homework Hints estão disponíveis em

9 CÁLCULO ; 7 Primeiro ç um substituição e então use integrção por prtes pr clculr integrl. 7. h cos d 8. h t e t dt 9. h p p/ u cos(u ) du. h p e cos t sen t dt. h ln( ) d. h sen(ln ) d 6 Clcule integrl indeinid. Ilustre e veriique se su respost é rzoável, usndo o gráico d unção e de su primitiv (tome C ).. h e d. h / ln d. h d 6. h sen d 7. () Use órmul de redução no Eemplo 6 pr mostrr que sen h sen d C (b) Use prte () e órmul de redução pr clculr hsen d. 8. () Demonstre órmul de redução n n n (b) Use prte () pr clculr hcos d. (c) Use s prtes () e (b) pr clculr hcos d. h cos n d cos n sen h cos n d 9. () Use órmul de redução no Eemplo 6 pr mostrr que p/ n p/ h senn d h sen n d n onde n é um inteiro. (b) Use prte () pr clculr h p/ sen d e h p/ sen d. (c) Use prte () pr mostrr que, pr s potêncis ímpres de seno, p/ 6 h sen n d... n 7... (n ). Demonstre que, pr s potêncis pres de seno, p/ 7 h sen n d... (n ) p 6... n Use integrção por prtes pr demonstrr órmul de redução.. h (ln ) n d (ln ) n n h (ln ) n d. h n e d n e n h n e d tg n. h tg n d h tg n dmm(n ) n. h sec n d h sec n dmm(n ). Use o Eercício pr encontrr h (ln ) d. 6. Use o Eercício pr encontrr h e d. 7 8 Encontre áre d região delimitd pels curvs dds. 7. ln,m ln 8. e,m e tg sec n n n n ; 9 6 Use um gráico pr encontrr s coordends proimds dos pontos de intersecção ds curvs dds. A seguir, che (proimdmente) áre d região delimitd pels curvs. 9. rcsen ( ),MM 6. ln ( ),MM 6 6 Use o método ds cscs cilíndrics pr encontrr o volume gerdo pel rotção d região delimitd pels curvs dds em torno do eio especiicdo. 6. cos(p/),m,m ;Mem torno do eio 6. e,m e,m ;Mem torno do eio 6. e,m,m,m ;Mem torno de 6. Clcule o volume gerdo pel rotção d região delimitd pels curvs ln, e em torno de cd eio. () o eio (b) o eio 6. Clcule o vlor médio de () sec no intervlo [, p/]. 66. Um oguete celer pel queim do combustível bordo; ssim, su mss diminui com o tempo. Suponh que mss inicil do oguete no lnçmento (incluindo seu combustível) sej m, o combustível sej consumido um t r, e os gses de eustão sejm ejetdos um velocidde constnte v e (reltiv o oguete). Um modelo pr velocidde do oguete no instnte t é ddo pel seguinte equção m rt v(t) tt v e ln, m onde t é celerção d grvidde e t não é muito grnde. Se t 9,8 m/s, m. kg, r 6 kg/s e v e. m/s, encontre ltitude do oguete minuto pós o lnçmento. 67. Um prtícul que se move o longo de um ret tem velocidde igul v(t) t e t metros por segundo pós t segundos. Qul distânci que ess prtícul percorrerá durnte os primeiros t segundos? 68. Se () t() e e t orem contínus, mostre que h ()t () d ()t () ()t() h ()t() d. 69. Suponh que (), () 7, (), () e sej contínu. Encontre o vlor de h () d. 7. () Use integrção por prtes pr mostrr que h () d () h () d (b) Se e t orem unções inverss e ƒ or contínu, demonstre que h b () d b (b) () h () (b) t() d [Dic: Use prte () e ç substituição de ().] (c) No cso em que e t orem unções positivs e b, desenhe um digrm pr dr um interpretção geométric à prte (b). e (d) Use prte (b) pr clculr h ln d.

10 A8 CÁLCULO EXERCÍCIOS.. 6 A som de Riemnn represent som ds áres dos dois retângulos cim do eio menos som ds áres dos três retângulos bio do eio ; isto é, áre líquid dos retângulos com relção o eio..,986 A som de Riemnn represent som ds áres dos três retângulos cim do eio menos áre do retângulo bio do eio.. () 6 (b) (c) 7. 7, ,8.,97.,99,,98. n 7. 6 ln d 9. 7 d lim n l n i. lim n l i sen pi p n n n. () (b) (c) (d) Os vlores de R n precem estr se proimndo de.. e e 7. d 9.. B E A D C. 9. s d 6 p 6. p tg d p p s 6. e d e 7. d 7. R n,9766,98,999,99986 i n i n n EXERCÍCIOS.. Um processo desz o que o outro z. Vej o Teorem Fundmentl do Cálculo. (),,, 7, (d) (b) (, ) (c) g 6 ƒ=- 8 6 ()=e - _. (), (b) =t@ 7. t 9. t s s s 8. F s sec. h e. stg stg sec ln 7 7. e e 9. p/. e.. A unção não é contínu no intervlo [, ], de modo que o TFC não pode ser plicdo. 7. A unção u sec u tg u não é contínu no intervlo,, de modo que o TFC não pode ser plicdo. 9...,7. t F () e e 9. sen ln( cos ) cos ln( sen ) 6. (, ) () sn, sn, n um inteiro (b) (, ), ( sn, sn ) e (sn, sn ), n um inteiro (c),7 67. () M. loc em e ; Min. loc em e 7 (b) (c) (,),, 6, 8, 9 _ (d) Vej o gráico à direit. = , (b) Gsto médio sobre [, t]; minimiz o gsto médio EXERCÍCIOS.. C 7. u 9 u u C cos cosh C 7. tg C 9. sen C 8 8 C 9.. s C.. u cossec u C t 6

11 APÊNDICES A e p ln ln p/. p/6., 7.,6 9.. O umento no peso d crinç (em quilogrms) entre e nos.. Número de litros de óleo vzdo ns primeirs hors. Aumento n receit qundo produção ument de pr uniddes 7. Newton-metros 9. () m (b) 6 m 6. () v t t t m s (b) 6 m 6. 6 kg 6., milhs 67. $ bctéris 7.,7 megwtt-hors EXERCÍCIOS.. sen C. 9 C. cos u C 7. cos C 9. 6 C. C. ln C. ( cos t C 7. e C u 9. s b C. ln C. tg u C. e C 7. C 9.. e tg C. ln cos(t ) C sen C. cotg C 7. senh C 9. ln cos C. ln sen C. ln sen C. tg ln C C 9. 8 C. e cos C _. /p e se (s ) ln e s 77. 6p 79. Tods s três áres são iguis. 8. L 8. cos t L CAPÍTULO REVISÃO Teste Verddeiro-Flso. Verddeiro. Verddeiro. Flso 7. Verddeiro 9. Verddeiro. Flso. Verddeiro. Flso 7. Flso Eercícios. () 8 (b),7 F F π.. 7. é c, é b, t dt é Não eiste 9. sen.. ln C. s C 7. p ssen pt C 9. e s C. ln cos C. ln C. ln sec C s sen C.. F (). t cos 8 7. (e e s ) 9. s d s., Número de brris de óleo consumidos de o jneiro de o de jneiro de c,6 6. e e 7. PROBLEMAS QUENTES.. k. 7. e 9.,. () n n (b) b b b 7. (s ) CAPÍTULO 6 EXERCÍCIOS 6... e e. e e ln e p 9. ln.. 7. ln 9.. s.,,9;,.,,,,,86; 8,8 7.,8 9.,. s m. cm 7. () Crro A (b) A distânci em que A está rente de B pós minuto (c) Crro A (d) t, min 9. s.. 6. m ; m ln m EXERCÍCIOS = =- = = =ƒ =ƒ 6 6

12 APÊNDICES A8 9. () (b), (c). ln 6 ln 6 7. s sen s cos s C 9.. ln C. e e C _ F. () (b),,,8 (c). C _ F _ C C 9. 6 kg/m. Cerc de 6 milhões (ou bilhões) de pessos. p, L CAPÍTULO 6 REVISÃO Eercícios p. h h. )(cos ) d. () (b) 6 (c) 8 7. (),8 (b),87 9. Sólido obtido pel rotção d região cos, em torno do eio. Sólido obtido pel rotção d região, sen em torno do eio. 6. s m 7., J 9. () 8 p 8 78 pés-lb (b), pés. PROBLEMAS QUENTES. () t t (b) s.. (b),6 (c),676 m (d) (i) 9p,8 cm s (ii) 66p 9 s 9,7 min () V h d (c) ska C Vntgem: s mrcções no recipiente estão igulmente espçds.. b. B 6A CAPÍTULO 7 7 EXERCÍCIOS 7.. ln 9 C. sen cos C. r e r C 7. ( ) sen ( ) cos sen C 9. ln s C. t rctg t 8 ln 6t C. t tg t ln sec t C. ln ln C 7. e u sen u cos u C 9. z e z z e z 6ze z 6e z C e.. ( ) C p p 8. e 7. ln 9. e. 6 ( 6 s). sen ln sen C 7 7. (b) cos sen 8 6 sen C 9. (b), 8. [ ln ln 6ln 6] C 6 7. ln ,79;,7;, e 6. (/p) ln 67. e t t t m 69. EXERCÍCIOS 7.. cos cos C.. p sen p p sen p 7p sen7 p C p 8. p 6. t sen t 8 cos t C. ssen 8 sen sen C sen C. sec C. tg C. 9 tg 9 7 tg 7 tg 7 C sec sec C. sec tg ln sec C. sec ln sec tg. 7. s 8 9. ln C s cossec cotg C. 6 cos 6 cos C. 8 sen u sen 6u C. s 7. sen C 9. tg ln sec C. sen cos C π. cos ln cos C ln sen 6 sen 8 sen 9 C F _ (s ) 6. s cos t π F _π ƒ π

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