3.1 O potencial elétrico

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1 3. O potencil elétrico Formulmos lei de Guss como um prte d lei de oulomb. Er prte ue continu válid mesmo com crgs em movimento. A outr prte pode ser chmd de lei d eistênci do potencil. Est tem um domínio de vlidde menor, mesmo ssim est lei é importnte por fornecer ferrments podeross pr muits plicções. Est lei simplesmente firm ue o cmpo elétrico é um cmpo conservtivo, isto é, um cmpo ue pode ser escrito como grdiente de um função esclr. Pr o luno ue estudou Físic I e II cuiddosmente, est lei é bstnte óbvi, pois o cmpo elétrico de um crg em repouso represent um forç centrl e sbemos ue forçs centris podem ser escrits como grdientes. Pr ver os detlhes, vmos recordr conservção d energi n mecânic. Imgine um mss pontul epost à ção de lgum forç ue depende d posição d prtícul. A dinâmic dest prtícul é dd pel segund lei de Newton: d r m F ( r ) (3..) dt onde m é mss d prtícul e r seu vetor posição. Pr chegr n conservção de energi, multiplicmos est eução esclrmente pel velocidde: d r dr dr m F ( r ) (3..) dt dt dt d Gostrímos de obter um epressão do tipo { lgo}, então uele lgo seri dt conservdo. Pr chegr nisso, precismos de dus coiss: () rrumr um ero no ldo direito e () botr um d / dt pr for de tudo. O primeiro problem tem solução simples, simplesmente escrevendo o F ( r ) dr pr o outro ldo d iguldde, dt nturlmente com um sinl trocdo: d r dr m F ( r ) dr (3..3). dt dt dt A segund tref não é tão simples. No primeiro termo, ue tem um derivd segund, poder-se-i pensr em botr um dests derivds pr for d dr dr m (3..4). dt dt dt Ms est operção cri um erro. Pois derivd d / dt n frente de tod epressão dr dr m tu sobre mbos os ftores de velocidde e não somente sobre o primeiro dt dt ftor. Ms, como os dois ftores são iguis, é fácil consertr o erro. O segundo termo gerdo pel regr de produto é igul o primeiro e podemos compensr o erro botndo um ftor ½ n frente: d r dr d m m dr dr (3..5). dt dt dt dt dt Então o primeiro termo do ldo esuerdo d fórmul (3..3) já está n form desejd. Flt botr o segundo termo tmbém nest form. O termo

2 F r dr tem tod cr de ser um resultdo de um plicção d regr de cdei. Ms, pr ser teri ue ser derivd de lgo. Se pudéssemos escrever o relmente isto, o F ( r ) F ( r ) dt como grdiente de um função U, epressão tod seri relmente um derivd temporl: d U d U dy U d dr se F ( r ) grdu então U + + F ( r ) dt dt y dt dt dt (3..6) Então se forç é de um tipo especilmente simpático de tl form ue eist um função esclr U com F ( r ) grdu, podemos escrever fórmul (3..3) como onde escrevi velocidde como fórmul d m v v + U dt (3..7), v. A função U é energi potencil. Vendo F r grd U (3..8) poder-se-i pensr ue seri mis nturl procurr um função esclr U tl ue F r U (3..9). grd lro, uem não gost do sinl negtivo n fórmul (3..8) pode fer isto. Ms, com est escolh, grnde conservd teri form m v v U. Isto não é muito conveniente. Pense n seguinte nlogi: você tem dinheiro. Ms nem todo o seu dinheiro é uele dinheiro rel ue você lev no seu bolso e ue serve pr comprr cervej no boteuim. Grnde prte do seu dinheiro é dinheiro virtul ou potencil em form de um número rmendo n memóri de um computdor no bnco. Você pode converter prte deste dinheiro potencil em dinheiro rel nests muininhs do bnco, ou pode fer o inverso. Nestes processos de retird ou depósito o seu dinheiro se conserv; isto é, som do dinheiro rel e do dinheiro virtul não mud. Poder-se-i descrever est situção de form lterntiv: o invés de flr do seu dinheiro virtul n su cont do bnco, poder-se-i flr d dívid ue o bnco tem com você. Isto é perfeitmente possível. Neste cso grnde conservd seri diferenç entre seu dinheiro rel e dívid do bnco. Ms est form de descrever s coiss não prece nd prátic. É muito mis nturl pensr num grnde conservd ue é som de prcels do ue num ue é um diferenç. F r v do A origem deste menos n fórmul (3..8) é o fto de termos ue mover o ldo direito d (3..) pr o ldo esuerdo pr produir o ero do ldo direito. Gstmos tnto tempo pr flr deste sinl menos, porue vmos introduir o mesmo sinl negtivo n definição do potencil elétrico somente pr poder relcionr este potencil de form simples com energi potencil d mecânic. 3

3 Então gor vmos definir o potencil elétrico. Um função esclr V, definid no espço físico, chmremos de potencil elétrico se o cmpo elétrico puder ser escrito n form E grd V (3..). Se colocrmos um crg pontul epost à ção deste cmpo elétrico, forç ue o cmpo eerce sobre prtícul é E ; com (3..) e (3..8) podemos concluir ue energi potencil dest prtícul crregd é U V (3..). A lei d eistênci do potencil consiste n firmção de ue o cmpo elétrico gerdo por crgs estátics relmente pode ser escrito n form (3..). Um firmção ue um determindo cmpo vetoril E pode ser escrito n form (3..) não é trivil. Eistem cmpos vetoriis ue não podem ser escritos dest form (vej o eercício E 3..3). Podemos ver isto d seguinte form: Pelo teorem de lirut e Schwr sbemos ue pr uluer função V ue tem derivds segunds contínus vle V V V V V V,, y y y y (3..), ou sej, s derivds comutm. orrespondentemente um condição necessári pr poder escrever um cmpo vetoril E n form (3..) é ue E E, E E, E E y y y y (3..3) onde E, E y e E são s componentes do vetor E n bse ˆ, yˆ, ˆ. Lembrmos do rotcionl de um cmpo vetoril: E Ey E E E y E rot E ˆ + yˆ ˆ y + y (3..4) Percebemos ue condição necessári (3..3) pode ser escrit tmbém usndo o rotcionl: rot E (3..5) Agor vmos mostrr ue vlidde d condição (3..5) no espço físico E inteiro é não pens necessári, ms tmbém suficiente pr poder escrever o cmpo E n form E grd V. No curso de álculo vocês devem ter visto o teorem de Stokes. Neste momento vmos contr pens com ests lembrnçs do curso de álculo. Mis trde, undo trtrmos do cmpo mgnético, voltremos o teorem de Stokes e vocês terão oportunidde de reinventr este teorem e de entendê-lo mis fundo. Trivil signific muito simples. A plvr trivil vem do nome do ciclo básico ns universiddes medievis. Este ciclo básico se chmv trivium, ue vem do número três, porue este ciclo básico tinh somente três disciplins: lógic, grmátic e retóric. Ests disciplins são supostmente s simples. Dí o significdo d plvr trivil. Aleis lirut (73-765) e Hermnn Schwr (843-9) 4

4 O teorem di o seguinte: Sej S um curv fechd seccionlmente regulr 3 no espço tridimensionl euclidino E, e S um superfície regulr ue tem curv S como beird e ue sej orientável (não pode ser um fit de Möbius 4 ; compre com figur 3..), e sej E um cmpo vetoril continumente diferenciável; então integrl de linh do cmpo E sobre o cminho S é igul à integrl de superfície do rotcionl de E integrdo sobre S, onde orientção de S é escolhid tl ue o sentido de integrção no cminho forme junto com o sentido d orientção d superfície um prfuso direito. N lingugem de fórmul isto signific: E dl ( rot E) ds (3..6) S O círculo no sinl de integrl indic ue se trt de um cminho fechdo. S Fig. 3.. Fit de Möbius. Não é verídic firmção de ue tudo tem os seus dois ldos! A fit de Möbius tem somente um ldo. Tmbém s dus beirds d fit n verdde são um só ue form um únic curv fechd. A fit form um superfície ue tem est curv como beird. Est superfície não é orientável, e o teorem de Stokes não pode ser plicdo nest superfície. Ms, por incrível ue preç, mesm curv fechd é tmbém beird de um superfície orientável. supor ue rot E Queremos mostrr ue (3..5) é suficiente pr poder escrever E n form de E grd V. Então vmos. Pelo teorem de Stokes segue imeditmente ue E dl (3..7) pr uluer cminho fechdo e seccionlmente regulr ue é beird de lgum superfície regulr e orientável. om o resultdo (3..7) podemos construir um função V ue cumpre condição desejd (3..) d seguinte mneir: escolhemos lgum ponto de referênci P *; depois integrmos E o longo do cminho reto ue começ em P * e termin em P e definimos o vlor d função V no ponto P como o negtivo do vlor dest integrl. V ( P) def. P E dl (3..8) P* reto 3 Seccionlmente regulr signific ue curv pode ser descrit em form prmétric por um função contínu f :[, b] E e ue o intervlo [, ] b do prâmetro é união de um número finito de subintervlos nos uis est função é continumente diferenciável. ompre Tom M. Apostol: álculo II Editoril Reverte August Ferdinnd Möbius ( 7//79 6/9/868) Mtemático e strônomo (por prte de su mãe ele é descendente de Mrtin Luther). 5

5 Temos ue mostrr ue est função cumpre condição E grd V. Então vmos clculr o grdiente. Primeirmente clculmos derivd prcil em relção à coordend num ponto uluer ue tem s coordends, y, : V ( +,, ) (,, ) V lim y V y (3..9) A figur 3.. eemplific os cminhos de integrção + e ue vão em, y,, y, linh ret do ponto de referênci P* té os pontos +, y, e, y, respectivmente e um terceiro cminho, tmbém reto, ue vi do ponto +, y, té o ponto, y,. Se percorremos primeirmente o cminho +,, y, depois o e finlmente o cminho, y, em orientção invers (isto é o cminho, y, ) germos um cminho fechdo. A superfície tringulr delimitd por est vi é orientável. Então sbemos ue E dl + E dl + E dl +, y,, y, P* P* +, y,, y, reto reto reto (,, ) V (, y, ) V + y (3..) Assim, podemos continur o desenvolvimento do cálculo d derivd (3..9) d seguinte form:, y, V lim E d lim E (, y, ) ˆ d l +, y, + reto lim E (, y, ) d + (3..) om o teorem fundmentl do cálculo integrl sbemos ue o último limite é simplesmente o negtivo do vlor d função ue está sendo integrd. Então mostrmos P* <,y,> V, y, +,y, P <+,y,> E (3..) Fig..3. minhos de integrção pr clculr V /. Obvimente podemos fer o mesmo procedimento com s outrs dus derivds prciis obtendo nlogmente V / y Ey e V / E. Estes três resultdos podem ser convertidos em um únic fórmul: grd V E e com isto mostrmos eistênci do potencil prtir d hipótese rot E. 6

6 Podemos ind melhorr firmção feit com fórmul (3..7). N hor de escrever est fórmul, botmos eigênci de ue curv fechd dev ser um ue sej beird de um superfície regulr e orientável. Pr lgums curvs fechds pode ser nd óbvio se eistm superfícies regulres e orientáveis ue s possum como beird. Por eemplo, não é nd óbvio se o cminho d figur 3..3, ue possui um nó, correspond lgum superfície regulr e orientável. Fig minho fechdo com nó. Est curv é beird de um superfície regulr e orientável? Ms firmção E dl vle pr ests situções tmbém. Isto se vê d seguinte form: sej um curv seccionlmente regulr com um descrição prmétric r λ λ ˆ + y λ yˆ + λ ˆ, onde λ percorre lgum intervlo [, b ]. Em um número finito de subintervlos [, c ], [ c, c ],..., [ ] r é continumente diferenciável. Podemos definir função f ( λ ) V r ( λ) de linh sobre o cminho é def. cn, b, função ( ). A integrl c c V d V dy V d V d V dy V d E dl + + dλ + + dλ.. dλ y dλ dλ dλ y dλ dλ c N ( λ) b b V d V dy V d + + λ λ c df d d V r V r b dλ y dλ dλ dλ (3..3) ( ) Então o vlor d integrl depende pens dos pontos inicil e finl d curv e el é um diferenç de um vlor de um função referente o ponto inicil e outro, o ponto finl. Portnto pr curvs fechds onde pontos inicil e finl coincidem, integrl de linh é ero. Tmbém percebemos, posteriormente, ue restrição pr um cminho reto n integrl (3..8) não er necessári. Resumindo, podemos dier: uestão se um cmpo vetoril E pode ser descrito trvés de um potencil não é trivil. A condição d eistênci de um potencil pode ser formuld de dus forms euivlentes: E dl pr todo cminho fechdo (3..4) ou rot E pr todos os pontos do espço (3..5). Se ests condições são stisfeits, um potencil eiste. Ms este não é único. Sempre podemos somr um constnte c um ddo potencil V e obtemos outr função V V c grd V + c grd V. + ue serve igulmente como potencil, pois Agor vmos ver se o cmpo elétrico gerdo por crgs estátics possui potencil, ou não. omeçmos com o cmpo de um únic crg pontul. Podemos usr o locl dest crg como origem de tl form ue o vetor posição d crg é o vetor ero; r. Neste cso, o cmpo gerdo pel crg é 7

7 E r 3 r (3..6). r Vmos investigr integris de cminho. Sej lgum cminho. Pr fcilitr, vmos supor um cminho regulr depois é fácil estender o resultdo pr o cso dos cminhos seccionlmente regulres. Não vmos descrever o cminho em termos de r λ λ ˆ + y λ yˆ + λ ˆ. Pr coordends crtesins n form integrção será muito mis prátic um representção em coordends esférics com centro d esfer n posição d crg. Se ns coordends crtesins o cminho er λ, ns coordends esférics ele será descrito por três funções descrito por três funções nests coordends é λ, y ( λ ) e r λ, θ ( λ ) e ϕ r r r ( λ ) ( λ) ˆ θ ( λ), ϕ ( λ) λ. A form prmétric d curv e o cmpo elétrico ns posições percorrids pelo cminho é E r ( ) λ A integrl de linh do cmpo sobre este cminho é E dl ( θ ( λ) ϕ ( λ) ) r ( λ) rˆ, b dr ( ) ˆ ˆ dθ dϕ E r ˆ λ r + θ r + ϕ r sen θ dλ dλ dλ dλ (3..7) (3..8) (3..9) Nest fórmul, nós usmos um notção um pouco desleid. N verdde deverímos ˆ, θˆ θ λ, ϕ λ no lugr de ˆθ e ( ) ( ) ( ) escrever r θ ( λ) ϕ ( λ ) no lugr de ˆr e ϕˆ θ λ, ϕ λ no lugr de ˆϕ. Ms form corret é tão long ue dificult energr o essencil. Prece ue há muit complicção n fórmul (3..9), ms tod est complicção morre n hor de clculr o produto esclr com o cmpo elétrico. omo o cmpo pont n direção rdil, todo uele termo complicdo ˆ dθ θ r + ϕˆ r sen θ dλ dϕ dλ não contribui bsolutmente nd n integrl. Usndo ind rˆ rˆ obtemos b dr E dl d 4 dλ λ (3..3) πε ( r ( λ) ) Percebemos ue integrl sobre λ se trnsformou simplesmente num integrl sobre r : ( b) r E dl dr (3..3) r 4 πε r b r r Então o resultdo depende pens ds distâncis inicil e finl d crg e não dos detlhes do cminho. onseuentemente integris de cminho sobre cminhos fechdos 8

8 resultm em ero, e condição suficiente e necessári pr eistênci de um potencil é stisfeit 5. Não somente mostrmos ue um potencil eiste, como tmbém gnhmos logo um função potencil eplicitmente. Lembrmos ue o potencil sempre pode ser lterdo somndo um constnte. Então, pr escrever um função concret, precismos fer lgum escolh. Um escolh feit freuentemente é de eigir ue o potencil de um crg pontul sej ero no infinito. Isto pode ser grntido mndndo o ponto de r pr o infinito. om isto combinção d (3..8) referenci P *, ou sej, o com o resultdo (3..3) fornece seguinte epressão pr o potencil de um crg pontul: V r (3..3) r Agor podemos deslocr origem de coordends de volt pr um ponto uluer, de modo ue r, e o resultdo (3..3) fic n form V r r r (3..33). omo clculr um integrl de linh ou um grdiente são operções lineres, podemos concluir imeditmente ue o cmpo gerdo por um distribuição rbitrári de crgs estcionáris no espço tmbém ger um cmpo com potencil e este pode ser clculdo usndo um princípio de superposição, ou sej, lineridde. Pr N crgs pontuis em posições r, r, rn obtemos V r N k k (3..34) r rk Um comentário: dui pr frente escreveremos constnte de proporcionlidde d lei /. orrespondentemente podemos usr letr de oulomb sempre n form de k pr outrs finliddes, por eemplo, pr numerr s crgs e posições como n fórmul 6 (3..34). Anlogmente podemos escrever o potencil de um distribuição contínu de crg: V r ρ ( r ) 3 d r (3..35) r r O potencil elétrico é um nov grnde. Vmos olhr ue unidde pode ser usd pr escrever vlores dest grnde. O potencil é um integrl de linh do cmpo elétrico. Então essencilmente ele é um multiplicção de cmpo e vetor posição. 5 Notmos ui um peuen sujeir mtemátic: cim mostrmos condição suficiente e necessári válid no espço todo. Ms o cmpo de um crg pontul não está bem definido no ponto d crg. Pode-se mostrr ue o resultdo cim discutido permnece válido num espço com burcos desde ue estes burcos não impeçm ue cminhos fechdos possm ser continumente deformdos té virrem um ponto. Est condição ue o domínio precis stisfer se chm conectividde simples. 6 De fto, s regrs sintátics d mtemátic té permitirim escrever constnte de proporcionlidde como k for do somtório e usr tmbém letr k como índice do somtório, porue o uso do k como vriável mud é limitdo pr dentro do somtório. Ms este tipo de uso duplo de símbolos não fcilit compreensão e se deve evitr isto. 9

9 Portnto concluímos ue N m/ pode ser usdo como unidde do potencil. Est unidde prece muito freuentemente em plicções e por est rão foi introduido um nome especil pr est unidde; ele se chm Volt. O símbolo pr Volt é V. É um pouco inconveniente usr mesm letr pr grnde e pr su unidde. Ms repre ue grnde é escrit com letr em itálico enunto unidde us o V comum. Isto é de cordo com s norms interncionis. Em gerl uniddes não devem ser escrits com letrs em itálico. Por fvor reclmem, se os seus professores usm letrs em itálico pr uniddes em enuncidos de prov! Eercícios: V Nm (3..36) def. E 3..: Desenhe gráficos do potencil elétrico de um crg pontul positiv e um negtiv ue mostr V como função d distânci d crg. E 3..: Entre os polos de um pilh (duels ue se comprm no supermercdo ou n ppelri) eiste um diferenç de potencil de proimdmente,5 V. Qul é o 9 trblho necessário de trnsportr um prtícul com crg de, 6 do polo positivo pr o polo negtivo d pilh? E 3..3: Determine uis dos seguintes cmpos possuem um potencil: E (, y, ) ˆ A y + yˆ A y E { ˆ ˆ } 5/ 7, y, + y y + ˆ + y + B E r, θ, ϕ r θ, ϕ sen θ 3 ˆ onde A, B e são constntes. dr E 3..4: Epliue epressão ˆ ˆ d d r r θ ϕ + θ ˆ + ϕ r sen θ ue prece n dλ dλ dλ fórmul (3..9)! E 3..5: Escrev os pontos de destue dest seção. (3..37) (3..38) (3..39)