Les 201 Matemática Aplicada à Economia

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1 Les 0 Matemática Aplicada à Economia Aulas 0- Derivadas Aplicação em Economia Derivadas de Ordem Superiores Derivadas Parciais Determinante Jacobianno Luiz Fernando Satolo

2 Aplicações da a. Derivada em Economia Dada a função primitiva: = f(), que representa a função total = f () = a função derivada é sua função marginal CT CMg CMe C( ) dct d CT CMeMg dcme d

3 Relações entre CMg e CMe Seja: C = f() então ual a taa de variação do CMe quando a varia? dcme d dcme d? Regra do uociente C'( ). C( ). ' C( ) CMe C'( ). C( ). C'( ) C( ) CMg CMe Portanto: dcme d CMg CMe

4 Relações entre CMg e CMe dcme d ( CMg CMe) Considere >0 CMg CMe dcme d 0 CMe é CMg CMe dcme d 0 CMe é CMg CMe dcme d 0

5 C T = CMg CMe 60 6

6 Relações entre Receita Média e Receita Marginal R () = p = número de unidades vendidas p = preço unitário Caso : MERCADOS NÃO CONCORRENCIAIS (oligopólios, monopólios): preço está relacionado com a quantidade vendida p = f() (função demanda) A função receita é dada por: R() = p = f() OBS: a função Receita é sempre POSITIVA

7 Receita Média Dada a função receita total R(), a função receita média (receita por unidade) é definida como: RMe R( ). f ( ) f ( ) A curva da Receita Média e da Demanda são idênticas RT: sempre positiva Ela pode aumentar ou diminuir à medida que aumenta Portanto, a RMg pode ser positiva ou negativa p

8 E: Considere a função demanda: Receita total RMg q q p ) ( ) ( ). ( q q q q q q p R T q q RMg q q d dq R d RMg T ) ( ) (

9 RT 5 3 R( q) q q 4 Rme RMg

10 Receita Marginal e Receita Média Dada a Receita Média: RMe = 5, determine a Receita Marginal (RMg)

11 Genericamente Produção Nível. ) '( ). '( ). ( ). '( ). ( ) ( f RMe RMg RMe f RMg f f d dr RMg f R f RMe RME Curva inclinação RMe T T

12 Relações entre P,Rme,RMg Caso : Concorrência Perfeita Preço é constante: dado no mercado O produtor energa sua curva de demanda uma reta horizontal R Receita Total T RMe P. RT P P RMg RMg Receita Marginal drt d( P. ) d dp d P. d d 0 P P

13 Relações entre P,Rme,RMg Sob concorrência imperfeita Preço é função da quantidade: P=f() RMe é função decrescente da quantidade RMg RMe f '( ). 0 inclinação RMe RMg RMe P

14 Função Lucro () = R() C() Função Lucro Marginal: mede a taa de variação de quando varia de uma unidade E: Suponha que: C() = R() = -0, a)ual a função lucro? b) ual a função lucro marginal? c) ual o Lucro Mg para = 000?

15 a) () = R() C() Função Lucro =(-0, )-( ) ()=-0, b) ual a função lucro marginal? ()=-0, c) ual o Lucro Mg para = 000? (000)=-0,004(000) +300= 9 Interpretação: Lucro adicional com a venda da 00 unidade

16 Derivadas Sucessivas (de ordem superior) A derivada f de uma função f também é uma função. Portanto, sua derivada pode também ser considerada Continuando o processo, podemos calcular a a. derivada, a 3a. derivada e demais derivadas de ordem superior (sempre que as mesmas eistirem)

17 Derivadas Sucessivas (de ordem superior) Notações: f (); f (); f (),, f n () ou D f(); D f(); D 3 f();, D n f() ou d d d d 3 d ; d ; 3... n d n d

18 Derivadas Sucessivas (de ordem superior) = f() = Função primitiva a. Derivada = f () = d d Taa de variação da FUNÇÃO PRIMITIVA quando varia a. Derivada = f () = d d Taa de variação da a. DERIVADA quando varia

19 Derivadas Sucessivas (de ordem superior) = f() = Função primitiva 3a. Derivada = f () = 3 d 3 d Taa de variação da a. DERIVADA quando varia Enésima Derivada = f n () = n d n d Taa de variação da (n-) DERIVADA quando varia

20 Derivadas Sucessivas (de ordem superior) E: Determine a derivada de ordem 3 da função definida por = /3

21 Derivadas Sucessivas (de ordem superior) E: O IPC de uma economia é dado pela função: IPC(t) = -0, t 3 + 3t + 00 (0 t 9), onde t corresponde ao início de 998. Calcule IPC (6) e IPC (6). Interprete os resultados

22 Regra da Cadeia Aplicação em Economia - Dada uma função z = f() - Por sua vez, é função de outra variável : = g() então a derivada de z com respeito a é igual a derivada de z com respeito a multiplicada pela derivada de com respeito a. z f ( ) g() z f ( g( )) dz d dz d d d f '( ). g'( )

23 Regra da Cadeia: intuição z=f() e =g() vai haver dado pela função g() irá provocar z através da função f() Reação em cadeia: z Via g() Etensão da regra da cadeia para três ou mais funções: z = f() = g() = h(w) dz/dw =? dz dw Via f() dz d d d d dw f ( ). g ( ). h ( w)

24 Regra da Cadeia - Eemplos Dada a função Receita Total de uma firma R = f(), onde o nível de produção é função do insumo trabalho L, ou seja, = g(l) Achar a variação da Receita por variação da unidade de trabalho, ou seja, dr dl dr dl dr d d dl dr dr d dl d dl Re ceita Mg dotrabalho f '( ) g'( L) Re ceitaproduto Mg dotrabalho

25 Diferenciação Parcial Até agora: derivadas de funções de uma única variável independente Análise estática comparativa: funções com mais de uma variável Dada uma função = f (,,, n ), onde todas as variáveis são independentes (podem variar sem afetar as demais). Se a variável sofre a variação, enquanto as demais permanecem inalteradas, ocorre variação em

26 Derivadas Parciais O quociente diferencial será: A derivada parcial de com respeito a ),...,, ( ),...,, ( f f n n 0 lim f f f 3 3 f

27 Eemplos Achar as derivadas parciais a) f (, ) 3 4 b) = f(u,v) = (u + 4)(3u + v)

28 Achar as derivadas parciais c) (3u v) u 3v

29 Derivadas parciais: Aplicação e Economia Dada uma função de produção: = f(k, L), onde: = quantidade produzida; K = capital; L = trabalho Derivadas parciais: K Taa devariaçãoda quantidade quando produzida com respeito o Produto outroinsumo(trabalho) é Marginal da à variações uantidade infinitesimais mantidoconstante nocapital, L Taa devariação quando o Produto outroinsumo(capital) Marginal da quantidade produzida com respeitoà variações é dotrabalho infinitesimais notrabalho, mantidoconstante

30 Derivadas Parciais - Interpretação Geométrica Derivada Parcial: é a medida da taa de variação infinitesimal (instantânea) de alguma curva específica Inclinação de alguma curva específica

31 Derivadas parciais: Aplicação e Economia Derivadas Parciais Análise Estática Comparativa Testar Dependência Linear ou não linear em sistemas de n equações e n incógnitas Determinante Jacobiano

32 Determinante Jacobiano É utilizado para verificar a eistência de dependência funcional em conjunto de n equações com n variáveis (não necessariamente lineares) Possui como elementos derivadas parciais de a. Ordem Dado o sistema: = f (,, 3,..., n ) = f (,, 3,..., n )... n = f n (,, 3,..., n ), Onde f n denota a enésima equação, podemos derivar um total de n derivadas parciais, formando o Determinante Jacobiano

33 Determinante Jacobiano n n n n n n n J Se J = 0, as equações tem dependência funcional

34 Determinante Jacobiano E: = + 3 = J

35 Eercicios Chiang 7.4 Dada a função de produção abaio, calcule as funções Produto Marginal do Capital e Produto Marginal do Trabalho 0,3 96K L 0,7

36 Eercicios Chiang 7.4 A função utilidade de um indivíduo assume a seguinte forma: U U(, ) ( ) ( 3) Onde U = Utilidade Total e e são as quantidades das duas mercadorias consumidas. a) Encontre a função utilidade marginal de cada mercadoria b) Calcule o valor da utilidade marginal de quando são consumidas 3 unidades de cada mercadoria. 3