Gráfico T2 de Hotelling com tamanho de amostra variável aplicado ao processo de produção de itens de segurança automotiva

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1 Produto & Produção, vol. 6 n., p. 5-33, ar. 205 UBMETIDO EM /06/204. ACEITO EM 30/03/205. Gráfico T2 de Hotelling co taanho de aostra variável aplicado ao processo de produção de itens de segurança autootiva Raphael Henrique Teixeira da ilva Universidade Federal de ão João del Rei raphaelhts@hotail.co Daniela Carine Raires de Oliveira Universidade Federal de ão João del Rei raires.daniela@gail.co REUMO Visitas técnicas a epresas da região de ão João del Rei-MG tê ostrado que o onitoraento de características do processo te sido realizado co gráficos de controle de qualidade univariados. No entanto, esses processos analisa várias variáveis, as esas usualente estão correlacionadas e, a literatura ostra que analisar separadaente não é adequado. Alé disso, verifica-se na rotina desses processos o uso de taanho de aostra variável. A teoria e ipleentação coputacional das versões ultivariadas dos gráficos de controle são apresentadas, e geral, quando o taanho aostral é fixo. Devido a dificuldade de se obter essas duas inforações siultaneaente na literatura, as epresas apresenta resistência ao uso dessas versões ultivariadas para o controle de qualidade de seus produtos. Nesse contexto, esse trabalho apresenta a teoria e ipleentação coputacional no software livre R do gráfico T² de Hotelling, quando o taanho da aostra é variável. Adicionalente, é apresentado u estudo de caso. Palavras-chave: Liite superior de controle variado; Controle estatístico de qualidade; Gráfico de controle ultivariado. ABTRACT Technical visits to copanies in the region of ão João del Rei-MG have shown that the characteristics of the onitoring process are being carried out using univariate control charts. However, these processes analyze ultiple variables, they are usually correlated, and the literature shows that it is not appropriate to analyze separately. Furtherore, we ay verify variable saple size in the routine use of these processes. The theory and coputational ipleentation of ultivariate versions of the control charts are presented ostly when the saple size is fixed. Due to the difficulty of getting those two inforations siultaneously in the literature, factories are resistant to the use of these ultivariate versions for the quality control of their products. In this context, this paper presents the theory and coputational ipleentation in the software R of the Hotelling T² control chart when the saple size is variable. Additionally, a case study is presented.

2 Keywords: Variable upper control liit; tatistical quality control; Multivariate control chart.. Introdução A copetitividade existente no ercado é u fator cada vez ais presente na realidade das epresas. Para tanto, pode-se dizer que o controle estatístico da qualidade é ua fora eficaz para se controlar u processo, garantindo a elhoria contínua da produção. Entre as principais ferraentas do controle estatístico de qualidade, os gráficos de controle se destaca. O principal objetivo desses gráficos é detectar causas especiais (inaceitáveis) existentes e u processo. Os gráficos de controle univariados são os ais couns na realidade das epresas e serve de grande auxílio para o onitoraento on-line da produção. Entretanto, co os processos industriais da região de ão João del Rei-MG, esses gráficos, e geral, não tê se ostrado eficientes. Para as situações encontradas, os gráficos de controle ultivariados ostrara ser ais adequados, ua vez que realiza o onitoraento de ais de ua característica de qualidade de fora siultânea e, as esas estão correlacionadas. A literatura indica que u possível gráfico de controle ultivariado é o T² de Hotelling. O T² de Hotelling te sido usado e aplicações de processos de diversos segentos. Alencar, Lopes e ouza (2007) utilizara para verificar o desepenho do processo de copressão de copriidos de captopril, avaliando siultaneaente as variáveis: peso édio, dureza, friabilidade, desintegração, teor, teor de dissulfeto de captopril, dissolução e uniforidade de conteúdo dos copriidos. Follador (200) o utilizou para verificar a qualidade da água a ontante e a jusante do rio Manduri, avaliando conjuntaente as variáveis: ph, oxigênio dissolvido, fósforo, nitrogênio, deanda bioquíica de oxigênio, colifores terotolerantes, teperatura, turbidez e sólidos. Oyeyei (20) o apresenta para o controle do processo de produção de u detergente, considerando as características: detergente ativo, teor de uidade, densidade e nível de ph. Rojas et al. (202) utilizara para avaliar a diferenciação orfoétrica entre duas espécies parasitas de cabras, edindo: o copriento de pico, a distância do gancho de esquerda e distância do gancho de direita; essas variáveis são referentes às diensões das espículas das espécies e estudo. ingh e Kuar (20) utilizara para coparar a qualidade da água de duas estações de onitoraento, avaliando as variáveis: cloreto, alcalinidade, flúor e sólidos dissolvidos totais. Melo (2008) aplicou-o para o controle de processos internos de agências bancárias, avaliando: operações de crédito contratadas, cadastro e liite de crédito, contábil e gerenciaento de fluxo de nuerário. Lia et al. (202) utilizara para aperfeiçoar o processo de onitorar e controlar a qualidade de ua epresa que produz garrafas plásticas, avaliando as características: copriento externo, copriento interno, largura externa, largura interna, altura total, altura de epilhaento, copriento de fundo, largura de fundo, altura do ninho (altura das divisórias internas), altura de encaixe do fundo. E todas as citações encionadas, cabe ressaltar que o taanho aostral era fixo. Nesse contexto, devido a vários estudos relacionados ao gráfico T² de Hotelling não apresentare o taanho de aostra variável, o objetivo deste trabalho foi apresentar a teoria proposta por Hotelling co taanho de aostra variável e a ipleentação coputacional no software livre R versão 3..0, coo tabé, realizar u estudo de caso e ua epresa que produz itens de segurança para autoóveis que está situada na região de ão João del Rei - MG. 2. Revisão bibliográfica Nesta seção, são apresentados os conceitos básicos sobre cada u dos tópicos a seguir, co o objetivo de uniforizar o conheciento sobre: gráficos de controle univariados, quando o taanho da aostra é variável; distribuição noral ultivariada e teste de hipóteses para a verificação da noralidade ultivariada; coeficiente de correlação e teste de hipóteses para a verificação de sua significância; vetor de édias e atriz de variâncias e covariâncias aostrais; gráfico de controle ultivariado, quando o taanho da aostra é variável e a decoposição da estatística T 2 de Hotelling. 2. Conceitos sobre gráficos de controle

3 Os gráficos de controle são ferraentas estatísticas para o onitoraento de processos. Estes gráficos são eficazes para a elhoria contínua da qualidade. A literatura apresenta gráficos de controle que onitora ua característica da qualidade de cada vez (gráficos univariados) e os que onitora ais de ua característica da qualidade de fora siultânea (gráficos ultivariados) (COTA, EPPRECHT & CARPINETTI, 202). U gráfico de controle é utilizado para verificar se u processo está sob controle estatístico co o auxílio de seus Liites de Controle. O eso consiste e u Liite uperior de Controle (LC), u Liite Inferior de Controle (LIC) e ua Linha Central (LC). Esses liites são escolhidos de odo que, se o processo estiver sob controle, praticaente todos os pontos aostrais estarão entre os liites. No entanto, u ponto que caia fora dos liites de controle é interpretado coo evidência de que o processo está fora de controle. Neste caso, investigação e ação corretiva serão necessárias para encontrar e eliinar a causa ou as causas especiais responsáveis por esse coportaento (AMOHYL, 2009). egundo Montgoery (2009), eso que todos os pontos esteja dentro dos liites de controle, se houver u coportaento cíclico ou não aleatório, isso pode evidenciar u processo fora de controle. Existe alguns critérios de utilização de gráficos de controle para deterinar se u processo está fora de controle estatístico (ver Tabela ). Tabela Critérios para identificação de causas especiais e u processo Resuo dos Critérios de utilização de gráficos de controle U ou ais pontos fora dos liites três siga 2 Nove pontos seguidos acia ou abaixo da linha central 3 eis pontos seguidos, todos crescentes ou decrescentes 4 Quatorze pontos seguidos alternados para cia e para baixo 5 Dois de três pontos fora dos liites dois siga 6 Quatro de cinco pontos fora dos liites u siga 7 Quinze pontos seguidos dentro de u dos intervalos u siga 8 Oito pontos seguidos fora do liite u siga Fonte: Montgoery (2009). 2.2 Gráficos de controle univariados para taanho aostral variável Os gráficos de controle ais epregados para onitorar ua característica da qualidade nuérica são os gráficos Xbarra (onitorando o valor édio) e o gráfico (onitorando a variabilidade). Para aplicação dos gráficos univariados, a característica de qualidade deverá ser noralente distribuída. E sua aioria, a édia populacional μ e o desvio padrão não são conhecidos, então os esos deve ser estiados a partir de aostras ou subgrupos preliinares, retirados quando o processo está supostaente sob controle estatístico (AMOHYL, 2009). Os gráficos Xbarra e são construídos, supondo que aostras esteja disponíveis, cada ua co u núero de observações diferentes, representadas por n. Assi, o elhor estiador de μ, a édia do processo, é onde é a édia das n observações no instante, co =,...,. No gráfico Xbarra, é a linha central. Já para a linha central no gráfico é utilizada a seguinte expressão e que é a variância aostral das n observações no instante, co =,...,. Após definido os conceitos de édia e desvio padrão para realização dos gráficos univariados, segue as fórulas para a construção dos liites de controle. Para o gráfico Xbarra, no qual os pontos plotados são referentes às édias de cada aostra, os liites de controle são dados por: () (2)

4 A constante é u valor tabelado obtido de Montgoery (2009, Tabela VI, pg. 702), para vários taanhos de aostra. O gráfico é usado para onitorar a variabilidade do processo, plotando-se os valores dos desvios padrões aostrais, =, 2,...,, onde é a raiz positiva de, apresentado logo após a expressão (2). A linha central e os liites de controle para o gráfico são dados por As constantes e são valores tabelados, para vários taanhos de aostra, obtidos de Montgoery (2009, Tabela VI, pg. 702). 2.3 Distribuição noral ultivariada e verificação das suposições O gráfico de controle ultivariado que será apresentado a seguir possui a suposição de que as características da qualidade siga ua distribuição noral ultivariada. A expressão da distribuição noral ultivariada é considerada ua fora generalizada da distribuição noral univariada. A função densidade de probabilidade da distribuição noral univariada é definida por (3) (4) (5) A édia da distribuição noral é µ e a variância é. Percebe-se que o tero no expoente da distribuição noral univariada e (5) pode ser escrito coo:. (6) Essa quantidade ede a distância expressa e unidades de desvio padrão ao quadrado de à édia µ. Para a situação ultivariada o caso descrito acia é análogo. uponha que tenhaos p variáveis, dadas por. Essas variáveis são arranjadas e u vetor de p coponentes. eja o vetor das édias dos s, e considere as variâncias e as covariâncias das variáveis aleatórias e contidas e ua atriz de covariância de diensão p x p. Os eleentos da diagonal principal de são as variâncias dos s e os eleentos fora da diagonal são as covariâncias. Agora, a distância (generalizada) padronizada ao quadrado de a µ é: ( µ) ( µ). (7) Isto é, obté-se a função densidade de probabilidade da distribuição noral ultivariada pela substituição da distância padronizada na expressão (6) pela distância generalizada ultivariada da expressão (7), e pela udança no tero constante para ua fora ais geral que torne a área sob a função densidade de probabilidade unitária, independenteente do valor de p. Portanto, a função de densidade de probabilidade ultivariada é, (8) e que, i =, 2,..., p. Coo fora abordadas duas características da qualidade (p = 2), foi verificada a suposição da distribuição noral bivariada, dada pela expressão (8), isto é, a função densidade de u vetor é definida por, (9) e que μ é o vetor de édias e é a atriz de variâncias e covariâncias que pode ser obtida desta aneira onde, (0)

5 ρ = () é o coeficiente de correlação entre e, é a covariância entre X e X 2, i é o desvio padrão da característica i, i =, 2. O deterinante da atriz, apresentada e (8) e (9) e definida e (0), pode ser calculado por. A Figura ostra ua distribuição noral bivariada. Figura Distribuição noral bivariada co = 0,8, µ = [0, 0], e. Para a verificação da suposição de noralidade ultivariada foi utilizado o teste de hapiro Wil, e que as hipóteses são: H0: Os dados possue distribuição noral ultivariada e H: Os dados não possue distribuição noral ultivariada (JAREK, 203). Para a verificação da significância do coeficiente de correlação fora utilizadas as hipóteses H0 e H, isto é, H0: ρ = 0 (não existe correlação linear) e H: ρ 0 (existe correlação linear). Foi adotado para abos os testes u nível de significância de 5%. Coo as quantidades apresentadas e (8), (9) e (0), tais coo o vetor de édias, as variâncias e covariâncias são desconhecidas, as esas são estiadas. A seguir, apresentou-se segundo Montgoery (2009) a estiação destas quantidades, co a adaptação para o taanho de aostra variável. uponha ua aostra aleatória de ua distribuição noral ultivariada no -ésio instante, (2) onde o i-ésio coponente do vetor aostral conté as observações, co i =, 2,..., p e =, 2,...,. A cada instante é obtida cada ua das atrizes e (3) No -ésio instante, te-se o vetor de édias, dado por coponente obtido por X i n n X ij j...,, (3) co o i-ésio, i =, 2,..., p e =, 2,...,, (4) onde X ij é o valor da i-ésia característica, na j-ésia observação e no -ésio instante. A atriz de covariância aostral no -ésio instante é co as variâncias aostrais na diagonal principal da atriz calculadas por, (6) e as covariâncias aostrais, calculadas (5), (7)

6 para i i. A literatura apresenta que a édia dos instantes do vetor édia aostral e da atriz de covariância aostral são estiadores não-viesados das quantidades populacionais correspondentes, isto é, e. (8) 2.4 Gráfico de controle ultivariado para taanho aostral variável O gráfico de controle ultivariado (GCM) T 2 de Hotelling é u gráfico análogo ao gráfico Xbarra de hewhart univariado e é utilizado no onitoraento siultâneo de p características da qualidade. Alé disso, apresenta ais sensibilidade do que os gráficos univariados, peritindo ao operador detectar ais rapidaente os possíveis probleas existentes no processo e, co isso, corrigilos co ais agilidade. Cabe ressaltar que antes de iniciar ua análise de u processo é necessário avaliar se o eso conté características da qualidade independentes ou correlacionadas, pois u gráfico de controle inadequado poderá produzir alares falsos sobre o processo. Esse gráfico foi desenvolvido por Hotelling (947), o pioneiro na pesquisa sobre os gráficos de controle ultivariados. Ele utilizou a abordage ultivariada de controle e dados contendo inforações sobre localizações de bobardeios na egunda Guerra Mundial. Hotelling apresenta a teoria considerando u taanho de aostra n fixo, ou seja, a cada instante te-se o eso núero de observações das p características. Neste trabalho, ajusta-se a teoria proposta por Hotelling para n variável, ua vez que o estudo de caso considerado a seguir considera o taanho aostral variável. A estatística T 2 de Hotelling para n variável é definida da seguinte aneira ) ( ) ( 2 X X X X n T, (9) e que X é a estiativa do vetor de édias de diensão p x e é a estiativa da atriz de variâncias e covariâncias do processo co diensão p x p. O vetor X é calculado da seguinte aneira px p p X X X X X, (20) e que, i X é a édia da i-ésia característica, no -ésio instante, definida e (4). O vetor dado e (20) é obtido por eio da édia das édias das aostras coletadas, ou seja, é a édia de todos os valores obtidos e (4), de cada ua das características. Já a estiativa de é obtida por: pxp p p p pp p p p p ) ( 2 (22) 2 2 (2) e que, ii ) ( é a variância da i-ésia característica, no -ésio instante, definida e (6) e ii ) ( é a covariância entre a i-ésia e i -ésia característica, no -ésio instante, definida e (7). A atriz e (2) é obtida por eio da édia das variâncias e covariâncias das aostras coletadas, ou seja, é a édia de todos os valores obtidos e (6) e (7), das características estudadas.

7 A expressão da estatística T 2 e (9) é utilizada para construir os pontos do gráfico de controle ultivariado T² de Hotelling quando o taanho da aostra é variável. Após calcular a estatística T² é necessário calcular os liites de controle. Alt (985) observou que há duas fases distintas no uso de u gráfico de controle. A fase é o uso dos gráficos para o estabeleciento do controle, ou seja, testar se o processo estava, ou não, sob controle quando os subgrupos preliinares fora extraídos e as estatísticas aostrais X e, calculadas. O objetivo na fase é a obtenção de u conjunto de observações sob controle, de odo que os liites de controle possa ser estabelecidos para a fase 2, que é o onitoraento da produção futura. Isto é, às vezes, chaado análise retrospectiva. Para realizar o cálculo do liite superior de controle do GCM T² de Hotelling quando o taanho de aostra é variável é utilizada a expressão (22). Cada ponto do gráfico terá u liite superior de controle específico dado por e (22) LIC = 0 Na segunda fase de controle, os novos liites são estabelecidos apenas para onitorar as observações futuras, utilizando os liites de controle apresentados na equação (23). E que cada ponto tabé terá u liite superior de controle específico dado por e (23) LIC = Decoposição da estatística T 2 para taanho aostral variável Alencar, Lopes e ouza (2007) utilizara ua abordage para o diagnóstico de u sinal fora de controle, que é a decoposição da estatística T 2 e coponentes. A esa foi proposta por Runger, Alt e Montgoery (996). As coponentes originadas pela decoposição reflete a contribuição de cada variável (ou característica de qualidade) individual. e é o valor da estatística T 2 no -ésio instante e é o valor da estatística para todas as variáveis do processo exceto a i- ésia característica da qualidade, então a expressão, =, 2,...,, i =, 2,..., p (24) é u indicador da contribuição relativa da i-ésia variável para a estatística global, no instante. Quando u sinal fora de controle é gerado, é recoendado calcular os valores de d i (i =, 2,..., p), apenas no instante que o ponto foi sinalizado e concentrar a atenção nas variáveis para os quais os d i são aiores. Para calcular o valor de é necessário realizar o cálculo da atriz de variâncias e covariâncias a cada exclusão da i-ésia variável. Portanto, co o valor da estatística original e da pode-se deterinar o parâetro d i e avaliar qual característica da qualidade está afetando o processo no -ésio instante, que se ostrou acia do liite superior de controle definido e (22). A decoposição da estatística T 2 dá ua diretriz sobre quais variáveis udara no vetor de observações. 2.6 oftware livre R versão 3..0 O software utilizado para o desenvolviento deste trabalho foi o R versão O eso está disponível para diversos sisteas operacionais. O R possui diversos pacotes, ou bibliotecas, que engloba diversas ferraentas específicas para cada função pretendida. Neste trabalho fora utilizados os pacotes: qcc versão 2.6 (Quality Control Charts) (CRUCCA, 205), para a geração dos gráficos univariados e o vnortest versão 0.-9 (Norality test for ultivariate variables) (JAREK, 205), para a verificação da suposição de noralidade bivariada, no qual possui ua generalização do teste de hapiro Wil, para variáveis ultivariadas.

8 3. Metodologia Essa seção conté o étodo adotado neste trabalho, que foi ipleentar a teoria apresentada na seção anterior no software livre R, co a estrutura do banco de dados reais de ua epresa que produz itens de segurança para autoóveis que está localizada na região de ão João del Rei MG (ver Anexo ). 3. Estrutura dos dados Após acopanhar a linha de produção da epresa, foi verificado que era necessário realizar a análise nas hastes etálicas de 24 (aços utilizados para produção de itens de segurança autootivos), pois caso as esas não estivesse dentro dos liites de controle, isto acarretaria e peças defeituosas nas próxias etapas do processo. Portanto, coproeteria a durabilidade e resistência das esas, porque indicaria que os aços utilizados estaria sob condições desfavoráveis ao uso. Para a elhoria da qualidade das hastes etálicas foi identificado que as características da qualidade têpera e reveniento era as variáveis que iplicava e seu resultado final. Estas variáveis são referentes a trataentos téricos (edidas de dureza). Os dados coletados tê ua escala de edida entre 75 e 8 HRC (dureza Rocwell na escala C) para têpera e entre 72 e 78 HRC para reveniento. O experiento era realizado e aostras selecionadas aleatoriaente da seguinte aneira: O prieiro processo realizado é o de têpera. A haste selecionada é fixada na áquina e u indutor agnético realiza o aqueciento da esa. iultaneaente, ua ducha de água fria é lançada e ao final desta etapa, a inforação sobre a dureza da haste é coletada e o processo é finalizado. Posteriorente, é realizado o processo de reveniento co o eso aterial, áquina e procediento. Entretanto, co ua teperatura enor, pois é apenas para aliviar as tensões internas do aterial. Vale ressaltar que a áquina é prograada para coletar as inforações após o processo de têpera e logo e seguida realizar o processo de reveniento. Para investigar o processo, fora utilizadas inforações dessas duas características da qualidade. Os dados coletados tinha o taanho de aostra variável devido ao fluxo de produção da epresa que não era padrão, pois a esa realiza o processo de acordo co a deanda de seus clientes que é variável. A coleta era realizada, e geral, de 2 e 2 horas, isto é, o ensaio deora e torno de 2 horas até ser concluído, coletando u valor para têpera e u valor para reveniento a cada instante. No final de cada dia, o taanho aostral oscilava entre 7 e 2 observações. Os dados utilizados neste trabalho são do período entre a 3 de outubro de 202, contabilizando u total de 3 aostras. A epresa estudada te a sua produção contínua, inclusive e finais de seana e feriados (ver Anexo ). 3.2 Ipleentação coputacional Para a ipleentação coputacional, foi utilizado o software R versão A seguir apresentou-se ua descrição dos prograas disponíveis nos Anexos 2 e Gráficos univariados Xbarra e Para a geração dos gráficos univariados apresentados na eção 2.2 (Xbarra e ), prieiro instalou-se o pacote qcc. Posteriorente, entrou-se co todos os valores coletados da característica (têpera). Note que é necessário verificar qual foi o instante e que o taanho aostral (n ) foi aior. Co isso, os deais instantes fora copleentados co NA, para que todos instantes tivesse o eso taanho. O eso foi feito para a característica da qualidade 2 (reveniento). Por últio, utilizou-se o coando qcc para gerar os gráficos Xbarra e para cada ua das características.

9 3.2.2 Análise ultivariada Nesta seção, fora apresentados os detalhes etodológicos das rotinas desenvolvidas para a construção do GCM T² de Hotelling quando n é variável (ver Anexo 3). O algorito coputacional foi construído adaptando a teoria apresentada na eção 2 co os dados disponíveis pela epresa (ver Anexo ), obtidos confore a descrição na eção 3.. Os dados são referentes às = 3 aostras co taanho variável, co p = 2 características de qualidade, e que as características da qualidade fora escolhidas pela epresa, pois são as que ais afeta negativaente no produto final. Para a geração do gráfico T² de Hotelling no software R para n variável fora seguidos os seguintes passos: prieiro foi necessário entrar co os dados coletados das 3 aostras de taanho n, =,..., 3, das p = 2 características da qualidade. Nesta situação, coo p = 2, X e X 2 fora denoinados por X e Y, =, 2,..., 3. Co isso, fora obtidos 2 vetores para cada instante. Por exeplo, observando o Anexo 3, no prieiro instante fora coletadas n = 8 observações de cada característica, no instante 2, n 2 = 2 observações, até o 3 instante, onde fora coletadas n 3 = 0 dados. E seguida, foi feito o teste de hipóteses para a correlação, através do coando cor.test e a verificação da suposição de noralidade bivariada através do coando shapiro.test, que precisa da instalação do pacote vnortest, para ser executado. Após a realização destes testes, foi construída ua atriz contendo a édia de cada instante da característica, de diensão 3 linhas por coluna (edia) e, outra atriz co a édia de cada instante da característica 2, tabé de diensão 3 x (edia2). Foi repetido o eso procediento para as variâncias (variancia, variancia2) e a covariância de cada instante entre as características da qualidade (covar). Posteriorente, calculou-se a édia das édias (xbarbar, xbarbar2) e criou-se ua atriz co esses resultados de diensão 2 x, calculou-se a édia das variâncias (edvar, edvar2) e a édia das covariâncias (edcov). Para criar a atriz de variâncias e covariâncias, prieiro criou-se ua atriz de zeros na diensão desejada (2 linhas e 2 colunas). Mais especificaente, a prieira linha e prieira coluna dessa atriz recebeu o valor da édia das variâncias da característica da qualidade (edvar); a prieira linha e segunda coluna e, a segunda linha e prieira coluna recebera o valor da édia das covariâncias entre as duas características da qualidade (edcov) e, por últio, a segunda coluna e segunda linha da atriz recebeu o valor da édia das variâncias da segunda característica da qualidade (edvar2). E seguida, identificou-se o taanho aostral, o núero de características da qualidade avaliadas e o núero de aostras. Coo tabé, o vetor de édia das aostras. Alé disso, foi forulado u coando para o cálculo da estatística T² de cada aostra co seu respectivo taanho (ver fórula (9)). Posteriorente, obteve-se o valor tabelado da distribuição F, utilizando u grau de confiança de 95%. Co isso, foi possível colocar o coando adequado para o cálculo de cada liite superior de controle de cada aostra (ver fórula (22)). Co os resultados obtidos, fora utilizados os coandos plot e lines, para gerar o GCM T² de Hotelling co taanho da aostra variável. O coando points foi utilizado para sinalizar os pontos que ultrapassara o liite superior de controle. Por últio, para os pontos sinalizados fora de controle no gráfico T² de Hotelling, foi obtida a decoposição da estatística T 2 (d i ), confore expressão e (24). 4. Resultados e Discussões Co a teoria apresentada na eção 2 e a etodologia ilustrada na eção 3, apresenta-se nesta seção os resultados e discussões dos dados da epresa que produz itens de segurança para autoóveis, que está localizada na região de ão João del Rei MG. A epresa utilizava para onitorar o processo os gráficos de controle univariados Xbarra e e os esos era gerados no Excel. Para apriorar o seu processo de produção, a organização peritiu introduzir novas técnicas e ferraentas de controle de processos, co intuito de garantir ua avaliação ais rigorosa da produção. Cabe ressaltar que foi possível trocar o uso do Excel pelo software livre R, que possibilitou a verificação das suposições de noralidade e correlação entre as características, a geração do gráfico ultivariado e a decoposição da estatística T² de Hotelling, se nenhu custo adicional para a epresa.

10 4. Gráficos de controle univariados Para dar início à investigação do processo foi realizado o estudo utilizando os gráficos univariados Xbarra e, gerados por eio do software livre R, versão 3..0 (ver Figuras 2, 3, 4 e 5). O algorito coputacional utilizado está no Anexo 2. Figura 2 Gráfico da variabilidade para a característica Têpera. Figura 3 Gráfico da édia para a característica Têpera. Figura 4 Gráfico da variabilidade para a característica Reveniento.

11 Figura 5 Gráfico da édia para a característica Reveniento. Observando as Figuras 2, 3, 4 e 5 percebe-se que o processo encontra-se sob controle estatístico, isto é, as figuras indica que não há causas especiais interferindo no processo, não havendo necessidade de realizar ua investigação do processo de produção da epresa. 4.2 Análise ultivariada Co o objetivo de apresentar a análise siultânea das duas características da qualidade, foi proposta a aplicação do GCM T² de Hotelling. Para isso, fora realizados o teste de correlação e o teste de noralidade bivariada das características estudadas utilizando o software R, co u nível de significância de 5% (ver Anexo 3). Os testes verificara se realente era viável a aplicação do GCM T² de Hotelling, tendo coo intuito, avaliar as suposições necessárias de correlação e noralidade dos dados. Portanto, aplicando o teste da correlação foi verificado que há ua correlação linear positiva significativa entre as variáveis têpera e reveniento (correlação = 0,43; t = 8,3; graus de liberdade = 302; p-valor = 4,29 x 0-5 ). Alé disso, a suposição de noralidade bivariada tabé foi coprovada, pois por eio do teste de hapiro Wil (W = 0,9973 e p-valor = 0,9). Verificando que a correlação entre as características é significativa e a suposição de noralidade bivariada é garantida, a literatura recoenda que as características seja avaliadas siultaneaente por eio do GCM T² de Hotelling. O odelo coputacional está no Anexo 3 e os detalhes etodológicos descritos na eção O gráfico gerado pelo software R para o processo e estudo é representado pela Figura 6.

12 Figura 6 GCM T² de Hotelling para taanho de aostra variável para as características Têpera e Reveniento. Observando a Figura 6, percebe-se que, quando as características são avaliadas siultaneaente, ostra que as aostras 4 e 30 saíra do liite superior de controle, o que indica que o processo não está sob controle estatístico. O próxio passo foi avaliar qual característica da qualidade estava ipactando de fora negativa no processo, para que possa ser feito ua avaliação do eso. Realizando a decoposição da estatística T² (ver Anexo 3) para os pontos que ultrapassara o liite superior de controle, foi detectado que, co relação à aostra 4 a característica reveniento afetou o processo, pois d 4,2 apresentou u valor superior a d 4,. Coo tabé, para a aostra 30, a característica reveniento é a que estava ipactando no processo de fora negativa, porque o valor de d 30,2 foi superior ao de d 30,. Co isso, foi possível proporcionar à epresa u direcionaento de quais características precisava ser investigadas nos seus respectivos instantes. Co relação à aostra 4, no dia 4/0/202, foi possível pontuar que o operador da áquina que realizava este processo e responsável pelos ensaios, não realizou o processo de Reveniento de fora adequada, pois as edidas coletadas deveria apresentar resultados co valores aiores, indicando aior resistência de dureza da peça. Desta fora, ua possível justificativa foi o lançaento do jato de água e enor quantidade, e/ou e tepo não satisfatório do lançaento do jato de água para que a peça contenha elhor desepenho. Essa esa situação ocorreu para a aostra 30, no dia 30/0/ Considerações finais O objetivo desse estudo foi apresentar a teoria coposta para a geração do gráfico ultivariado proposto por Hotelling, quando o taanho de aostra é variável, fazer a ipleentação coputacional desta teoria nu software livre e realizar u estudo de caso nua epresa da região de ão João del Rei-MG. O estudo de caso possibilitou ostrar a iportância do uso do gráfico ultivariado, pois a epresa utilizava soente as cartas univariadas e, os resultados obtidos co esses gráficos não era eficazes para o onitoraento da sua produção, ua vez que a epresa avaliava ais que ua característica da qualidade siultaneaente e as esas era correlacionadas. E particular, para o período analisado na epresa, os resultados ostrara que co o uso das cartas univariadas não era detectado nenhua causa especial no processo e, e contrapartida, co o gráfico T 2 de Hotelling foi possível detectar 2 pontos fora de controle, sinalizados devido à característica reveniento e, alé disso, detectar que tipo de problea estava ocorrendo co esta característica da qualidade. Alé disso, a epresa utilizava u software que não era livre, isto é, tinha u custo adicional para obter a licença do eso e, este trabalho, proporcionou ua alternativa de custo zero. Portanto, esse trabalho contribuiu fornecendo a rotina coputacional do gráfico ultivariado e de sua análise nu software estatístico gratuito e os dados da epresa ostrara que os gráficos

13 univariados não era eficazes para o controle daquele processo. O prograa disponível nos Anexos 2 e 3 possibilitará outras epresas no onitoraento ultivariado, quando o taanho aostral é fixo ou variável. O algorito coputacional desenvolvido é didático e perite que seja desenvolvido o controle e a garantia da qualidade de produtos/serviços, se custos adicionais co a copra de softwares. Alé disso, a rotina coputacional para a análise ultivariada e u software livre é escassa e a esa auxilia na elhoria contínua da qualidade dos produtos, produzindo elhores equipaentos no ercado e, consequenteente, anté a copetitividade e o segento da epresa. Referências ALENCAR, J. R. B.; LOPE, C. E.; OUZA Jr, M. B. Controle Estatístico de Processo Multivariado: aplicação ao onitoraento da produção de copriidos de captopril. Revista Brasileira de Faracologia, v. 88, n. 4, p , ALT, F. B. Multivariate Quality Control. In Encyclopedia of tatistical ciences, v. 6, edited by N. L. Johnson and. Kotz, Wiley, New Yor. COTA, A. F. B; EPPRECHT, E. K.; CARPINETTI, L. C. R. Controle Estatístico de Qualidade. 2 ed. ão Paulo: Atlas, p. FOLLADOR, F. A. C. Controle Estatístico de Processo Aplicado À Qualidade de Águas uperficiais f. Tese (Doutorado e Engenharia Agrícola) Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Cascavel, 200. HOTELLING, H. Multivariate Quality Control - illustrated by the air testing of saple bobsights. Techniques of tatistical Analysis. McGraw Hill, New Yor, 947. JAREK,. Norality test for ultivariate variables. Pacage vnortest. CRAN, 205. Disponível e: < Acesso e 25 de arço de 205. LIMA, M. B. F.; ANTO, R. L..; OUZA, E. L.; ILVA, L. B. Aplicações do Controle Estatístico Multivariado da Qualidade: Controlando Garrafeiras Plásticas nua Epresa Industrial. Cadernos do IME érie Estatística, v. 32, p. 0-4, 202. MELO, G. M. Decoposição da Estatística Teste do Gráfico de Controle Multivariado T² de Hotelling para Monitoraento e Avaliação do Controle de Processos de Agências Bancárias f. Dissertação (Mestrado e Estatística) Instituto de Ciências Exatas e Naturais, Universidade Federal do Pará, Belé MONTGOMERY, D. C. Introduction to tatistical Quality Control. 6 ed. United tate of Aerica: John Wiley & ons, Inc., 2009, 734p. OYEYEMI, G. M. Principal Coponent Chart For Multivariate tatistical Process Control. The Online Journal of cience and Technology, v., n. 2, p.22 3, Abril, 20. R Developent Core Tea. R: A language and environent for statistical coputing. Vienna: R Foundation for tatistical Coputing, 204. Disponível e:< >. Acesso e: 20 de aio de 204. ROJA, N.; La, O M.; ARECE, J.; CARRION, M.; PEREZ, K.; MARTIN, C..; VALERIANO, P.; RAMIREZ, W. Identificación y caracterización de especies de Haeonchus en caprinos del valle del Cauto en Grana. Revista Electrónica de Veterinaria, v. 3, n., 202.

14 RUNGER, G. C.; ALT, F. B.; MONTGOMERY, D. C. Contributors to a Multivariate tatistical Process Control ignal. Counications in tatistics Theory and Methods, v. 25, n. 0, 996. AMOHYL, R. W. Controle estatístico de qualidade. Rio de Janeiro: Elsevier, CRUCCA, L. Quality Control Charts. Pacage qcc. CRAN, 205. Disponível e: < Acesso e 25 de arço de 205. INGH, Y.; KUMAR, M. Application of tatistical Methods to Analyze Groundwater Quality. Journal of Earth ciences and Geotechnical Engineering, v., n., p. -7, 20. Anexos Anexo Dados sobre as características da qualidade têpera e reveniento no ês de outubro. Data Tep. * Reven. ** Data Tep. Reven. Data Tep. Reven. 0/0/202 76,8 74,29 /0/202 79,02 75,2 2/0/202 76,99 74,33 0/0/202 76,4 73,43 /0/202 80,36 76,37 2/0/202 77,68 73,45 0/0/202 79,8 75,4 /0/202 80,3 76, 2/0/202 78,72 74,98 0/0/202 78,2 76,39 /0/202 77,98 74,2 2/0/202 76,4 75,23 0/0/202 77,92 75,3 /0/202 76,92 75,6 22/0/202 78,65 75,87 0/0/202 78,72 75,66 /0/202 76,0 73,87 22/0/202 77,4 73,99 0/0/202 78,95 75,52 /0/202 78,42 74,7 22/0/202 77,7 76,48 0/0/202 77,8 74,8 /0/202 77,23 74,47 22/0/202 77,45 73,53 02/0/202 78,64 75,08 /0/202 78,6 76,4 22/0/202 77,7 74,48 02/0/202 76,99 73,45 /0/202 76,94 75,63 22/0/202 77,55 75,9 02/0/202 78,49 75,59 2/0/202 78,2 74,63 22/0/202 76,06 74,9 02/0/202 75,98 74,7 2/0/202 78,84 76,08 22/0/202 79,77 74,74 02/0/202 77,98 74,65 2/0/202 78,22 75,63 23/0/202 76,89 75,36 02/0/202 80, 76,36 2/0/202 77,47 74,77 23/0/202 79,79 74,79 02/0/202 76,9 72,46 2/0/202 77,58 74,35 23/0/202 76,65 73,65 02/0/202 77,97 74,53 2/0/202 78,48 74,93 23/0/202 76,68 74, 02/0/202 76,47 75, 2/0/202 77,55 74,2 23/0/202 75,23 73,77 02/0/202 77,5 74,94 2/0/202 77,98 74,39 23/0/202 79,5 76,75 02/0/202 77,63 74,89 3/0/202 78,55 76,38 23/0/202 77,34 74,2 02/0/202 78,37 74,88 3/0/202 77, /0/202 76,7 73,72 03/0/202 77,75 74,24 3/0/202 77,08 74,7 23/0/202 77,3 73,93 03/0/202 77,7 74,82 3/0/202 78,5 75,88 23/0/202 78, /0/202 78,8 75,3 3/0/202 77,54 75,34 23/0/202 78,89 74,99 03/0/202 77,3 73,62 3/0/202 78,88 75,55 23/0/202 76,7 75,46 03/0/202 77,57 74,66 3/0/202 78,97 75,64 24/0/202 77,48 74,2 03/0/202 76,7 73,96 4/0/202 78,22 75,6 24/0/202 76,7 74,44 03/0/202 78,75 75,22 4/0/202 77,72 74,98 24/0/202 77,35 75,3 03/0/202 78,22 74,48 4/0/202 80,33 77,59 24/0/202 78,36 74,8 03/0/202 78,5 74,86 4/0/202 77,9 76,45 24/0/202 76,7 74,72 04/0/202 77,25 75,88 4/0/202 79,03 75,77 24/0/202 77,43 75,58 04/0/202 78,98 75,35 4/0/202 78,97 76,09 24/0/202 77,05 75,4 04/0/202 75,82 75,38 4/0/202 79,24 75,2 24/0/202 77,55 74,89 04/0/202 78,7 75,9 4/0/202 78,59 76,38 25/0/202 79,04 75,3

15 04/0/202 76,93 74,37 4/0/202 78,9 74,55 25/0/202 75,63 74,24 04/0/202 78,73 74,84 4/0/202 79,52 74,77 25/0/202 78,83 74,8 04/0/202 77,23 74,69 4/0/202 77,85 74,3 25/0/202 77,4 75,9 04/0/202 78,38 75,04 4/0/202 78,05 74,58 25/0/202 78,2 75,38 04/0/202 78,96 76,09 5/0/202 78,67 75,03 25/0/202 77,77 74,68 04/0/202 77,7 76,2 5/0/202 76,2 74,68 25/0/202 78,2 75,3 04/0/202 78,73 75,47 5/0/202 77,72 73,9 25/0/202 78,5 74,48 04/0/202 78,39 74,28 5/0/202 78,5 75,35 25/0/202 77,02 74,75 05/0/202 78,66 75,48 5/0/202 76,58 73,85 25/0/202 78,38 76, 05/0/202 77,77 73,58 5/0/202 78,4 74,8 26/0/202 79,22 74,7 05/0/202 79,57 75,33 5/0/202 77,8 74,72 26/0/202 77,69 74,82 05/0/202 76,93 74,24 5/0/202 77,8 74,83 26/0/202 77,4 73,93 05/0/202 79,72 76,05 5/0/202 78,35 75,77 26/0/202 77,36 74,59 05/0/202 76,2 73,94 5/0/202 77,99 74,33 26/0/202 78,7 75,07 05/0/202 76,63 74,9 5/0/202 78,43 74,46 26/0/202 79,07 75,02 05/0/202 78,03 74,99 5/0/202 79,4 74,48 26/0/202 78,07 74,24 05/0/202 77,5 74,72 6/0/202 77,59 75, 26/0/202 79,59 74,9 05/0/202 78,08 76,23 6/0/202 78,32 74,9 26/0/202 78,6 75,88 05/0/202 76,84 73,84 6/0/202 78,4 75,76 26/0/202 77,3 74,56 06/0/202 78,46 75,59 6/0/202 77,8 74,63 26/0/202 80,7 76,53 06/0/202 79,07 76,26 6/0/202 77,22 75,53 27/0/202 78,72 75,69 06/0/202 80,22 75,97 6/0/202 77,34 74,94 27/0/202 79,75 75,45 06/0/ ,57 6/0/202 77, /0/202 78,73 74,4 06/0/202 78,94 75,9 6/0/202 76,96 75,66 27/0/202 77,72 75,2 06/0/202 77,69 74, 6/0/202 78,4 74,88 27/0/202 78,6 75,93 06/0/202 78,5 75,65 6/0/202 78,46 74,96 27/0/202 76,27 74, 06/0/202 78,7 74,97 7/0/202 79,84 74,25 27/0/202 78,3 74,82 06/0/202 77,56 75,37 7/0/202 78,99 75,02 27/0/202 78,53 75,59 06/0/202 76,9 75,2 7/0/202 78,54 76,53 27/0/202 77,99 75,4 06/0/202 78,27 75,68 7/0/202 78,2 75,4 27/0/202 77,95 73,5 07/0/202 77,24 74,89 7/0/202 78,64 74,76 28/0/202 79, 75,52 07/0/202 77,9 74,23 7/0/202 76,22 74,67 28/0/202 77,87 74,35 07/0/202 78,09 74,97 7/0/202 78,62 74,9 28/0/202 77,98 75,08 07/0/202 77,54 74,74 7/0/202 78,54 74,83 28/0/202 77, 74,25 07/0/202 78,05 75,84 7/0/202 78,08 75,3 28/0/202 78,2 75,44 07/0/202 77,36 74,49 8/0/202 77,8 75,42 28/0/202 78,25 75,68 07/0/202 76,77 74, 8/0/202 78,55 75,22 28/0/202 78,32 74,97 08/0/202 79,06 74,04 8/0/202 76,99 74,48 28/0/202 78,8 72,82 08/0/202 75,97 73,36 8/0/202 77,96 75,5 28/0/202 79,2 75,84 08/0/202 78,9 75,55 8/0/202 78,96 75,7 28/0/202 80,2 75,49 08/0/202 79,25 74,9 8/0/202 77,99 75,43 28/0/202 77,08 74,77 08/0/202 78,08 75,38 8/0/202 77, /0/202 76,02 74,06 08/0/202 79,08 74,7 8/0/202 78,2 75,77 29/0/202 76,53 73,47 08/0/202 75,6 75,26 9/0/202 77,2 74,25 29/0/202 78,08 75,42 08/0/202 79,3 74,62 9/0/202 78,9 73,98 29/0/202 78,75 73,3 08/0/202 77,7 74,4 9/0/202 78,96 74,84 29/0/202 78,72 74,84

16 08/0/202 78,5 75,53 9/0/202 76,86 75,34 29/0/202 78,37 74,32 09/0/202 78,2 75,72 9/0/202 77,9 76,43 29/0/202 79,8 74,52 09/0/202 78,23 74,48 9/0/202 78,47 74,33 29/0/202 79,38 75,7 09/0/202 79,84 76,05 9/0/202 78,34 74,8 29/0/202 77,4 74,69 09/0/202 78,75 75,7 20/0/202 78,56 74,77 30/0/202 76,76 73,58 09/0/202 77,52 76,68 20/0/202 77,55 74,54 30/0/202 77,2 73,9 09/0/202 76,55 73,62 20/0/202 78,3 75,89 30/0/202 77,33 74,39 09/0/202 76,66 74,9 20/0/202 77,66 76,07 30/0/202 77,33 73,8 09/0/202 79,68 73,93 20/0/202 79,6 74,59 30/0/202 77,58 75,75 09/0/202 77,3 74,63 20/0/202 78,44 76,0 30/0/202 77,96 74,04 0/0/202 78,02 75,9 20/0/202 79,59 74,7 30/0/202 77,6 74,24 0/0/202 77,3 74,9 20/0/202 78,7 74,92 3/0/202 78,7 74,6 0/0/202 76,44 74,2 20/0/202 76,69 74,26 3/0/202 77,08 74,35 0/0/202 79,8 75,8 20/0/202 77,38 75,64 3/0/202 77,58 75,3 0/0/202 78,2 73,78 20/0/202 78,8 75, 3/0/202 79,29 74,68 0/0/202 78,3 75,24 2/0/202 80,9 73,9 3/0/202 77,79 76,03 0/0/202 79,24 76,05 2/0/202 77,3 74,76 3/0/202 77,69 75,5 0/0/202 77,5 75,25 2/0/202 76,57 74,7 3/0/202 78,54 75,06 0/0/202 79,83 76,6 2/0/202 80,58 74,3 3/0/202 77,26 74,06 0/0/202 76,84 74,65 2/0/202 77,64 74,74 3/0/202 76,42 74,2 0/0/202 78,07 74,6 2/0/202 77,09 74,22 3/0/202 79,9 74,76 /0/202 77,33 75,05 2/0/202 77,93 74,85 /0/202 78,29 76,6 2/0/202 79,3 74,5 *Tep.: Têpera (escala de 75-8) HRC **Reven.: Reveniento (escala 72-78) HRC Fonte: Dados de ua epresa da região de ão João del Rei-MG, que produz itens de segurança de autoóveis. Anexo 2 Algorito coputacional do software R para gerar os gráficos Xbarra e co taanho de aostra variável. install.pacages("qcc") require(qcc) Têpera=atrix(c(76.8,76.4,79.8,78.2,77.92,78.72,78.95,77.8,NA,NA,NA,NA,78.64,76.99,78.49, 75.98,77.98,80.09,76.9,77.97,76.47,77.5,77.63,78.37,77.75,77.7,78.8,77.3,77.57,76.7,78.75,78. 22,78.5,NA,NA,NA,77.25,78.98,75.82,78.7,76.93,78.73,77.23,78.38,78.96,77.7,78.73,78.39,78.66,77.77,79.57,76.93,79.72,76.2,76.63,78.03,77.5,78.08,76.84,NA,78.46,79.07,80.22,77,78.94,77.69,78.5,78.7,77.56,76.9,78.27,NA,77.24,77.9,78.09,77.54,78.05,77.36,76.77,NA,NA,NA,NA,NA,79.0 6,75.97,78.9,79.25,78.08,79.08,75.6,79.3,77.7,78.5,NA,NA,78.2,78.23,79.84,78.75,77.52,76.55,7 6.66,79.68,77.3,NA,NA,NA,78.02,77.3,76.44,79.8,78.2,78.3,79.24,77.5,79.83,76.84,78.07,NA,7 7.33,78.29,79.02,80.36,80.3,77.98,76.92,76.0,78.42,77.23,78.6,76.94,78.2,78.84,78.22,77.47,77.5 8,78.48,77.55,77.98,NA,NA,NA,NA,78.55,77.6,77.08,78.5,77.54,78.88,78.97,NA,NA,NA,NA,NA,7 8.22,77.72,80.33,77.9,79.03,78.97,79.24,78.59,78.9,79.52,77.85,78.05,78.67,76.2,77.72,78.5,76.58, 78.4,77.8,77.8,78.35,77.99,78.43,79.4,77.59,78.32,78.4,77.8,77.22,77.34,77.47,76.96,78.4,78.46,NA,NA,79.84,78.99,78.54,78.2,78.64,76.22,78.62,78.54,78.08,NA,NA,NA,77.8,78.55,76.99,77. 96,78.96,77.99,77.43,78.2,NA,NA,NA,NA,77.2,78.9,78.96,76.86,77.9,78.47,78.34,NA,NA,NA,N A,NA,78.56,77.55,78.3,77.66,79.6,78.44,79.59,78.7,76.69,77.38,78.8,NA,80.9,77.3,76.57,80.58,7 7.64,77.09,77.93,79.3,76.99,77.68,78.72,76.4,78.65,77.4,77.7,77.45,77.7,77.55,76.06,79.77,NA,N A,NA,NA,76.89,79.79,76.65,76.68,75.23,79.5,77.34,76.7,77.3,78.8,78.89,76.7,77.48,76.7,77.35,78.36,76.7,77.43,77.05,77.55,NA,NA,NA,NA,79.04,75.63,78.83,77.4,78.2,77.77,78.2,78.5,77.0 2,78.38,NA,NA,79.22,77.69,77.4,77.36,78.7,79.07,78.07,79.59,78.6,77.3,80.7,NA,78.72,79.75,78. 73,77.72,78.6,76.27,78.3,78.53,77.99,77.95,NA,NA,79.,77.87,77.98,77.,78.2,78.25,78.32,78.8,

17 79.2,80.2,77.08,76.02,76.53,78.08,78.75,78.72,78.37,79.8,79.38,77.4,NA,NA,NA,NA,76.76,77.2,77.33,77.33,77.58,77.96,77.6,NA,NA,NA,NA,NA,78.7,77.08,77.58,79.29,77.79,77.69,78.54,77.26,7 6.42,79.9,NA,NA),ncol=2) Reveniento=atrix(c(74.29,73.43,75.4,76.39,75.3,75.66,75.52,74.8,NA,NA,NA,NA,75.08,73.45, 75.59,74.7,74.65,76.36,72.46,74.53,75.,74.94,74.89,74.88,74.24,74.82,75.3,73.62,74.66,73.96,75.22,74.48,74.86,NA,NA,NA,75.88,75.35,75.38,75.9,74.37,74.84,74.69,75.04,76.09,76.2,75.47,74.28, 75.48,73.58,75.33,74.24,76.05,73.94,74.9,74.99,74.72,76.23,73.84,NA,75.59,76.26,75.97,74.57,75.9,74.,75.65,74.97,75.37,75.2,75.68,NA,74.89,74.23,74.97,74.74,75.84,74.49,74.,NA,NA,NA,NA, NA,74.04,73.36,75.55,74.9,75.38,74.7,75.26,74.62,74.4,75.53,NA,NA,75.72,74.48,76.05,75.7,76. 68,73.62,74.9,73.93,74.63,NA,NA,NA,75.9,74.9,74.2,75.8,73.78,75.24,76.05,75.25,76.6,74.65,74. 6,NA,75.05,76.6,75.2,76.37,76.,74.2,75.6,73.87,74.7,74.47,76.4,75.63,74.63,76.08,75.63,74.77,74.35,74.93,74.2,74.39,NA,NA,NA,NA,76.38,75,74.7,75.88,75.34,75.55,75.64,NA,NA,NA,NA,NA,75.6,74.98,77.59,76.45,75.77,76.09,75.2,76.38,74.55,74.77,74.3,74.58,75.03,74.68,73.9,75.35,73. 85,74.8,74.72,74.83,75.77,74.33,74.46,74.48,75.,74.9,75.76,74.63,75.53,74.94,74,75.66,74.88,74. 96,NA,NA,74.25,75.02,76.53,75.4,74.76,74.67,74.9,74.83,75.3,NA,NA,NA,75.42,75.22,74.48,75. 5,75.7,75.43,74,75.77,NA,NA,NA,NA,74.25,73.98,74.84,75.34,76.43,74.33,74.8,NA,NA,NA,NA, NA,74.77,74.54,75.89,76.07,74.59,76.0,74.7,74.92,74.26,75.64,75.,NA,73.9,74.76,74.7,74.3,74.7 4,74.22,74.85,74.5,74.33,73.45,74.98,75.23,75.87,73.99,76.48,73.53,74.48,75.9,74.9,74.74,NA,NA, NA,NA,75.36,74.79,73.65,74.,73.77,76.75,74.2,73.72,73.93,76,74.99,75.46,74.2,74.44,75.3,74.8,74.72,75.58,75.4,74.89,NA,NA,NA,NA,75.3,74.24,74.8,75.9,75.38,74.68,75.3,74.48,74.75,76., NA,NA,74.7,74.82,73.93,74.59,75.07,75.02,74.24,74.9,75.88,74.56,76.53,NA,75.69,75.45,74.4,75.2,75.93,74.,74.82,75.59,75.4,73.5,NA,NA,75.52,74.35,75.08,74.25,75.44,75.68,74.97,72.82,75.84,7 5.49,74.77,74.06,73.47,75.42,73.3,74.84,74.32,74.52,75.7,74.69,NA,NA,NA,NA,73.58,73.9,74.39,7 3.8,75.75,74.04,74.24,NA,NA,NA,NA,NA,74.6,74.35,75.3,74.68,76.03,75.5,75.06,74.06,74.2,74.7 6,NA,NA),ncol=2) #NA indica inforações não obtidas q<-qcc(têpera,type="") q<-qcc(têpera,type="xbar") q<-qcc(reveniento,type="") q<-qcc(reveniento,type="xbar") Anexo 3 Algorito coputacional do software R para gerar o GCM T² de Hotelling co taanho de aostra variável. x<-c(76.8,76.4,79.8,78.2,77.92,78.72,78.95,77.8) y<-c(74.29,73.43,75.4,76.39,75.3,75.66,75.52,74.8) x2<-c(78.64,76.99,78.49,75.98,77.98,80.09,76.9,77.97,76.47,77.5,77.63,78.37) y2<-c(75.08,73.45,75.59,74.7,74.65,76.36,72.46,74.53,75.,74.94,74.89,74.88) x3<-c(77.75,77.7,78.8,77.3,77.57,76.7,78.75,78.22,78.5) y3<-c(74.24,74.82,75.3,73.62,74.66,73.96,75.22,74.48,74.86) x4<-c(77.25,78.98,75.82,78.7,76.93,78.73,77.23,78.38,78.96,77.7,78.73,78.39) y4<-c(75.88,75.35,75.38,75.9,74.37,74.84,74.69,75.04,76.09,76.2,75.47,74.28) x5<-c(78.66,77.77,79.57,76.93,79.72,76.2,76.63,78.03,77.5,78.08,76.84) y5<-c(75.48,73.58,75.33,74.24,76.05,73.94,74.9,74.99,74.72,76.23,73.84) x6<-c(78.46,79.07,80.22,77,78.94,77.69,78.5,78.7,77.56,76.9,78.27) y6<-c(75.59,76.26,75.97,74.57,75.9,74.,75.65,74.97,75.37,75.2,75.68) x7<-c(77.24,77.9,78.09,77.54,78.05,77.36,76.77) y7<-c(74.89,74.23,74.97,74.74,75.84,74.49,74.) x8<-c(79.06,75.97,78.9,79.25,78.08,79.08,75.6,79.3,77.7,78.5) y8<-c(74.04,73.36,75.55,74.9,75.38,74.7,75.26,74.62,74.4,75.53) x9<-c(78.2,78.23,79.84,78.75,77.52,76.55,76.66,79.68,77.3) y9<-c(75.72,74.48,76.05,75.7,76.68,73.62,74.9,73.93,74.63) x0<-c(78.02,77.3,76.44,79.8,78.2,78.3,79.24,77.5,79.83,76.84,78.07) y0<-c(75.9,74.9,74.2,75.8,73.78,75.24,76.05,75.25,76.6,74.65,74.6) x<-c(77.33,78.29,79.02,80.36,80.3,77.98,76.92,76.0,78.42,77.23,78.6,76.94) y<-c(75.05,76.6,75.2,76.37,76.,74.2,75.6,73.87,74.7,74.47,76.4,75.63)

18 x2<-c(78.2,78.84,78.22,77.47,77.58,78.48,77.55,77.98) y2<-c(74.63,76.08,75.63,74.77,74.35,74.93,74.2,74.39) x3<-c(78.55,77.6,77.08,78.5,77.54,78.88,78.97) y3<-c(76.38,75,74.7,75.88,75.34,75.55,75.64) x4<-c(78.22,77.72,80.33,77.9,79.03,78.97,79.24,78.59,78.9,79.52,77.85,78.05) y4<-c(75.6,74.98,77.59,76.45,75.77,76.09,75.2,76.38,74.55,74.77,74.3,74.58) x5<-c(78.67,76.2,77.72,78.5,76.58,78.4,77.8,77.8,78.35,77.99,78.43,79.4) y5<-c(75.03,74.68,73.9,75.35,73.85,74.8,74.72,74.83,75.77,74.33,74.46,74.48) x6<-c(77.59,78.32,78.4,77.8,77.22,77.34,77.47,76.96,78.4,78.46) y6<-c(75.,74.9,75.76,74.63,75.53,74.94,74,75.66,74.88,74.96) x7<-c(79.84,78.99,78.54,78.2,78.64,76.22,78.62,78.54,78.08) y7<-c(74.25,75.02,76.53,75.4,74.76,74.67,74.9,74.83,75.3) x8<-c(77.8,78.55,76.99,77.96,78.96,77.99,77.43,78.2) y8<-c(75.42,75.22,74.48,75.5,75.7,75.43,74,75.77) x9<-c(77.2,78.9,78.96,76.86,77.9,78.47,78.34) y9<-c(74.25,73.98,74.84,75.34,76.43,74.33,74.8) x20<-c(78.56,77.55,78.3,77.66,79.6,78.44,79.59,78.7,76.69,77.38,78.8) y20<-c(74.77,74.54,75.89,76.07,74.59,76.0,74.7,74.92,74.26,75.64,75.) x2<-c(80.9,77.3,76.57,80.58,77.64,77.09,77.93,79.3,76.99,77.68,78.72,76.4) y2<-c(73.9,74.76,74.7,74.3,74.74,74.22,74.85,74.5,74.33,73.45,74.98,75.23) x22<-c(78.65,77.4,77.7,77.45,77.7,77.55,76.06,79.77) y22<-c(75.87,73.99,76.48,73.53,74.48,75.9,74.9,74.74) x23<-c(76.89,79.79,76.65,76.68,75.23,79.5,77.34,76.7,77.3,78.8,78.89,76.7) y23<-c(75.36,74.79,73.65,74.,73.77,76.75,74.2,73.72,73.93,76,74.99,75.46) x24<-c(77.48,76.7,77.35,78.36,76.7,77.43,77.05,77.55) y24<-c(74.2,74.44,75.3,74.8,74.72,75.58,75.4,74.89) x25<-c(79.04,75.63,78.83,77.4,78.2,77.77,78.2,78.5,77.02,78.38) y25<-c(75.3,74.24,74.8,75.9,75.38,74.68,75.3,74.48,74.75,76.) x26<-c(79.22,77.69,77.4,77.36,78.7,79.07,78.07,79.59,78.6,77.3,80.7) y26<-c(74.7,74.82,73.93,74.59,75.07,75.02,74.24,74.9,75.88,74.56,76.53) x27<-c(78.72,79.75,78.73,77.72,78.6,76.27,78.3,78.53,77.99,77.95) y27<-c(75.69,75.45,74.4,75.2,75.93,74.,74.82,75.59,75.4,73.5) x28<-c(79.,77.87,77.98,77.,78.2,78.25,78.32,78.8,79.2,80.2,77.08,76.02) y28<-c(75.52,74.35,75.08,74.25,75.44,75.68,74.97,72.82,75.84,75.49,74.77,74.06) x29<-c(76.53,78.08,78.75,78.72,78.37,79.8,79.38,77.4) y29<-c(73.47,75.42,73.3,74.84,74.32,74.52,75.7,74.69) x30<-c(76.76,77.2,77.33,77.33,77.58,77.96,77.6) y30<-c(73.58,73.9,74.39,73.8,75.75,74.04,74.24) x3<-c(78.7,77.08,77.58,79.29,77.79,77.69,78.54,77.26,76.42,79.9) y3<-c(74.6,74.35,75.3,74.68,76.03,75.5,75.06,74.06,74.2,74.76) x=c(x,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x0,x,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x20,x2,x22,x23,x24,x25, x26,x27,x28,x29,x30,x3) y=c(y,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y0,y,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y20,y2,y22,y23,y24,y25, y26,y27,y28,y29,y30,y3) #Verificando a correlação entre as variáveis têpera e reveniento e a suposição de noralidade bivariada cor.test(x,y) install.pacages ("vnortest") library(vnortest) vetor=atrix(c(x,y),ncol=2) vetor=t(vetor) vetor<-atrix(t(c(x,y)),2,length(x)) shapiro.test(vetor) #Entrar co a édia de cada instante de cada característica da qualidade