Pesquisa Operacional I

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1 Pesquisa Operacional I Prof. Evandro Bittencourt (Dr.) - UDESC de fevereiro de 2015 Sumário 1 Introdução Definição Metodologia da Pesquisa Operacional Definição do Problema Desenvolvimento de um modelo matemático e aquisição dos dados Resolução do modelo matemático Validação, instrumentação e controle da solução Aplicação Áreas Ferramentas Programação Linear Exemplos de problemas Exercícios Complementares Análise Gráfica Procedimentos Exemplo Exercícios Exercícios Complementares O problema de Programação linear Formulação Genérica Interpretação Econômica O Método do Simplexo Algoritmo Simplexo - Exemplo Exercícios Exercícios Complementares Problemas Especiais de Formulação Formulação Dificuldades Durante a Solução pelo Método do Simplexo Método do Simplexo - Fase I/Fase II Procedimento para a Fase I Exemplo Exercícios Exercícios complementares

2 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Análise de Sensibilidade Introdução Exemplo Variação na Função Objetivo Variação na Quantidade de Recursos Escassos Preço Sombra Exercício - Problema - Alocação de Recursos Exercícios complementares Solver Introdução Exemplo O problema Dual Caracterização Explicação econômica Exemplos Pert - Redes de Precedência Caracterização Redes Caminho Crítico Modelagem das Redes de Precedência Formação das Redes de Precedência Detalhamento das Redes de Precedência Exercícios Atividades fantasmas Restrições adicionais Exercícios Método Francês - diagrama de blocos Exemplo Programação e nivelamento de recursos Exercícios Programação Inteira Tipos de problemas de programação inteira (PI) Programação Inteira e Programação Linear (PL) Abordagem para solução de problemas de PI Método Branch-and-Bound para solução de problemas PIs puros Aspectos importantes do Branch-and-bound p/ PIs puros Método Branch-and-Bound para solução de PIs mistos Exercícios Exemplo Branch-and-Bound em problemas de sequenciamento de trabalhos em máquinas

3 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Introdução 1.1 Definição É uma metodologia de estruturar processos aparentemente não estruturados por meio da construção de modelos. Utiliza um conjunto de técnicas quantitativsas com o intuito de resolver os aspectos matemáticos dos modelos. (Pierre Jacques Ehrlich) Aplicação do Método Científico, por equipes interdisciplinares a problemas que dizem respeito ao controle de seistema organizados (homem-máquina), com a finalidade de obter as soluções que melhor satisfaçãm aos objetivos da organização, como um todo. (João Vitor Moccelin) 1.2 Metodologia da Pesquisa Operacional A Metodologia da Pesquisa Operacional é representada na forma de um fluxo (Fig. 1). Figura 1: Metodologia da Pesquisa Operacional Definição do Problema Desenvolvimento de um modelo matemático e aquisição dos dados Resolução do modelo matemático Modificações no modelo Solução Solução não válida? sim Implementação Definição do Problema ˆ Identificar; ˆ Comprender; ˆ Descrever.

4 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Desenvolvimento de um modelo matemático e aquisição dos dados ˆ Definir as variáveis de decisão (variáveis); ˆ Função Objetivo; ˆ Restrições Resolução do modelo matemático ˆ Métodos Ótimos; ˆ Métodos Heurísticos Validação, instrumentação e controle da solução 1.3 Aplicação Aplica-se na seleção de alternativas, buscando a maximização do lucro ou minimização de custo (geralmente) Áreas ˆ Processos de produção ˆ Processos de Fluxo (transporte) ˆ Finanças ˆ Marketing (participação no mercado) ˆ Misturas (alimentos, ligas, misturas químicas) Ferramentas ˆ Matemática ˆ Análise de sistemas ˆ Estatística 2 Programação Linear 2.1 Exemplos de problemas 1) Um fabricante deseja maximizar a receita bruta. A tabela ilustra as composições das ligas metálicas, seus preços e as limitações na disponibilidade de matéria prima.

5 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Atividades Liga Tipo Liga Tipo Matéria Prima Itens A B Disponível Cobre Zinco Chumbo Preço unitário de R$ 30 R$ 50 venda Decisões: Quantidade de Liga A (x a ) Quantidade de Liga B (x b ) Receita = Z Função Objetivo Maximizar Z= 30.x a + 50.x b Restrições Sujeito A 2x a + x b 16 (para o cobre) x a + 2.x b 11 (para o zinco) x a + 3.x b 15 (para o chumbo) Restrições de não x a 0 Negatividade x b 0 (Não podemos fabricar quantidade negativa de liga) 2) Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa para maximizar o lucro. Os lucros são de R$ por alqueire de milho e de R$ por alqueire de alfafa. Suponha que suas limitações sejam: terra disponível = 8 alqueires; água disponível para irrigação = litros; deseja plantar no máximo 4 alqueires de milho; cada alqueire de milho requererá litros de água para irrigação; cada alqueire de alfafa requererá litros de água para irrigação. 3) Sabe-se que os alimentos, leite, carne e ovos fornecem as quantidades de vitaminas dadas pela tabela. Vitaminas Leite (litro) Carne (kg) Ovos(dúzia) Quantidade diária mínima A 0,25 mg 2 mg 10 mg 1 mg B 25 mg 20 mg 10 mg 50 mg C 2,5 mg 200 mg 10 mg 10 mg Custo unitário R$ 2,2 R$ 17,0 R$ 4,2 Deseja-se calcular quais as quantidades de leite, carne e ovos a fim de satisfazer as quantidades diárias mínimas de nutrientes (vitaminas) a um custo mínimo. 4) Uma fábrica utiliza dois tipos de insumos: - A a um custo unitário C A e com uma quantidade máxima disponível N A.

6 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional B a um custo unitário C B e com uma quantidade máxima disponível N B. Esses insumos podem ser processados pelos Processos I, II ou III a um custo operacional nulo. Serão produzidos os produtos α, β, γ, que alcançaram preços de venda P α, P β, P γ, respectivamente (preços unitários). - Uma unidade de A processada em I produz, simultaneamente 5α e 1γ; - Uma unidade de A junto com duas unidades de B conjuntamente processadas em II produz, simultaneamente 3α, 9β e 8γ; - Uma unidade de B processada em III produz simultaneamente 1α, 4β, 1γ. Formule o problema como programação linear de modo a maximizar o lucro. 5) Um jovem estava saindo com duas namoradas: Maria e Luísa. Sabe, por experiência, que: (a) Maria, elegante, gosta de freqüentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três horas custará 80 reais; (b) Luísa, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que, uma saída de três horas custará 55 reais; (c) seu orçamento permite dispor de 330 reais mensais para diversão; (d) seus afazeres escolares lhe dão liberdade de, no máximo, 18 horas e calorias de sua energia para atividades sociais; (e) cada saída com Maria consome calorias, mas com Luísa, mais alegre e extrovertida, gasta o dobro; (f) ele gosta das duas com a mesma intensidade. Como deve planejar sua vida social para obter o número máximo de saídas? Formule o problema. 6) Devido ao número incostante de passageiros, uma çompanhia de ônibus necessita um número variado de motoristas dependendo do horário considerado. A tabela a seguir especifica a quantidade de motoristas necessários. Horário Quantidade de motoristas 1 ás 5 horas 15 5 ás 9 horas 30 9 ás 13 horas ás 17 horas ás 21 horas ás 1 horas 19 Considerando que cada motorista trabalha 8 horas seguidas e que o serviço pode ser iniciado ás 1, 5, 9, 13, 17 ou 21 horas, elaborar um plano de trabalho para os motoristas, de modo que o número destes seja mínimo.

7 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional ) A companhia ALT-M produz móveis de escritório que, por questões de marketing, agrupou em três conjuntos básicos cujos modelos são: ALFA, BETA E GAMA. O parque de produção da empresa é de porte médio e bem dimensionado para o nível de produção que ela tem conseguido colocar no mercado. Ultimamente, no entanto, a demanda tem crescido, o que levou a gerência a encomendar um planejamento de produção mensal, com a finalidade de determinar os possíveis estrangulamentos na linha de produção e analisar algumas alternativas de correção. Inicialmente, o profissional encarregado do planejamento analisou o sistema de produção e determinou que apemas mão-de-obra e a madeira poderiam ser os recursos limitativos da produção. Os demais insumos que a empresa utiliza são encontráveis com facilidade no mercado, já que existem vários fornecedores, além do fato de que a empresa possui capacidade suficiente de estocagem. Assim, a análise se concentrou apenas nesses dois recursos. A empresa possui a seguinte disponibilidade total desses dois recursos: ˆ mão-de-obra: H.h. ˆ estoque de madeira: m 2 por mês. O processo de fabricação de móveis requer 5 fases, realizadas em seções específicas, conforme mostra o fluxograma (a lista) que se segue. O fluxograma (a lista) também indica a capacidade de produção disponível em cada fase, em função da mãode-obra e dos equipamentos e ferramentas existentes. Essa capacidade de cada seção corresponde à alocação anterior de mão-de-obra e será avaliada ao longo desse estudo de caso. Para simplificar o caso, vamos considerar que, quando houver necessidade de transferir um funcionário de uma seção para outra, isso corresponderá a transferência de módulos de 44 H.h (1 semana de trabalho). PROCESSO DE FABRICAÇÃO E ALOCAÇÃO INICIAL DE MÃO-DE- OBRA (a) Corte 704 H.h. (b) Preparação 1232 H.h. (c) Montagem 704 H.h. (d) Pintura 528 H.h. (e) Embalagem 352 H.h. O objetivo da gerência é desenvolver um estudo de planejamento da produção da empresa de forma a otimizar sua capacidade produtiva. Para atingir esse objetivo, o encarregado do planejamento escolheu como técnica de trabalho o desenvolvimento de um modelo de Programação Linear de forma que ele pudesse encontrar a alocação ideal de mão-de-obra e da madeira. Como critério para medir a idealidade da alocação, ele escolheu a margem de contribuição a cada produto para o lucro total. Após a escolha do critério de decisão, ele passou a examinar o processo de fabricação de cada um dos conjuntos que, em face das diferenças de design, exige quantidades diferentes de cada recurso. Uma vez de posse do projeto do produto e, após medições in loco, foi fácil obter os coeficientes de utilização unitária de recurso, conforme mostra a Tabela 1.

8 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Tabela 1: Utilização unitária de recursos para fabricação dos conjuntos Recursos Conjunto Conjunto Conjunto Alocação Inicial de Alfa Beta Gama Recurso Por Seção Corte 0,4 0,3 0,3 704 H.h. Preparação 0,8 0,4 0, H.h. Montagem 0,25 0,4 0,4 704 H.h. Pintura 0,2 0,2 0,2 528 H.h. Embalagem 0,06 0,1 0, H.h. Madeira 3 4, m 2 Além disso, são conhecidos os custos unitários dos recursos, conforme mostra a Tabela??. Conhecendo os preços de venda dos produtos, pode-se calcular a contribuição Tabela 2: Custos Unitários de Recursos Recurso Custo Unitário Corte 2,40 Preparação 3,50 Montagem 2,20 Pintura 2,50 Embalagem 2,00 Madeira 6,50 Obs.: Mão-de-Obra: Custo horário próprio, encargos e custo de operação das máquinas (R$ /H.h). Madeira: Custo por m 2 (R$ /m 2 ). unitária (preço de venda menos custos variáveis de produção) de cada um, conforme mostra a Tabela??. Tabela 3: Contribuições marginais dos conjuntos Conjunto Contribuição Unitária (R$ ) Alfa 21,00 Beta 19,50 Gama 22,00

9 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional ) Uma empresa tem três tipos de máquinas na sua linha de produção, tendo cada uma delas velocidade e precisão diferente. A máquina do tipo 1 produz 20 peças por hora com 99% de precisão. A máquina do tipo 2 produz 15 peças por hora com 95% de precisão. E a máquina do tipo 3 produz 10 peças por hora com 100% de precisão. A máquina do tipo 1 custa R$ 2,00 por hora de operação, o tipo 2 custa R$ 1,75 por hora de operação e o tipo 3 custa R$ 1,50 por hora de operação. A empresa possui 15 operadores fixos disponíveis para as máquinas 1 e 2, e todos devem ser utilizados, os outros serão contratados temporariamente. Devem ser processados por dia pelo menos peças (dia de 8 horas), mas só se dispõe de 8 máquinas do tipo 1, dez máquinas do tipo 2 e 20 máquinas do tipo 3. Cada peça errada custa R$ 1,00. Pergunta-se: (a) Quantas máquinas de cada tipo devem ser usadas para minimizar o custo. (b) Qual o benefício marginal no custo no caso da: ˆ aquisição de mais uma máquina do tipo 1. ˆ aquisição de mais uma máquina do tipo 2. ˆ aquisição de mais uma máquina do tipo 3. ˆ diminuição na produção de 8 peças por dia. ˆ demissão de um operador fixo.

10 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional ) Um empresa industrial fabrica dois produtos: P e Q. O produto P possui preço de venda de R$ 90, enquanto o preço de venda do produto Q é de R$ 100. A demanda do mercado pelos produtos P e Q é de, respectivamente, 100 e 50 unidades por semana. A empresa possui despesas operacionais fixas de R$ 6000 por semana. A produção é realizada por quatro operadores com jornada de trabalho de 40 horas por semana. Portanto, a empresa dispõe de minutos semanais de trabalho de cada operador. O consumo de matéria-prima (W, X, Y e Z) e o tempo gasto pelos operadores (A, B, C e D) na produção são descritos no quadro da Figura 2. Maximizar o lucro considerando margens de contribuições de cada produto menos as Figura 2: Processo de Fabricação com Tempo e Custos W R$ 5 X R$ 20 A 15 min C 10 min D 15 min P Y R$ 20 B 15 min C 5 min Z R$ 20 A 10 min B 15 min D 5 min Q despesas operacionais. 2.2 Exercícios Complementares 1) Uma fábrica de cerveja produz três tipos: Cerveja S, Cerveja B e Cerveja A. O preço de venda é R$ 1,2; 1,4; 1,6 respectivamente. Cada cerveja consome: 120 g, 130 g, 110g de cevada maltada respectivamente; 50 g, 30 g, 40 g de lúpulo respectivamente; e 500 ml, 530 ml, 480 ml de água respectivamente. A demanda por cerveja S, B e A é de 300, 400 e 200 unidades respectivamente. Possuindo-se no estoque g de cevada maltada, g de lúpulo e ml de água, formular maximizando a receita. 2) Duas fábricas A e B, de uma mesma Companhia, produzem três diferentes tipos de parafusos. A companhia tem contrato para produzir 600 kg de parafusos do tipo Ponta Agulha e 800 kg de parafusos do tipo Ponta Broca e 450 kg de parafusos do tipo Cabeça Lentilha. O custo de produção diária na fábrica A é de R$ ,00 e o da fábrica B é de R$ ,00. A fábrica A produz por dia 20 kg de parafusos do tipo Ponta Agulha, 15 kg de parafusos do tipo Ponta Broca e 25 kg de parafusos do tipo Cabeça

11 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Lentilha. Da mesma maneira, a fábrica B produz por dia 35 kg de parafusos do tipo Ponta Agulha, 10 kg de parafusos do tipo Ponta Broca e 15 kg de parafusos do tipo Cabeça Lentilha. Construir o modelo de programação linear considerando minimização de custos. 3) A empresa Dalai-Lama deseja planejar a produção de incensos. Os incensos requerem dois tipos de recursos: mão-de-obra e materiais. A empresa fabrica três tipos de incenso, cada qual com diferentes necessidades de mão-de-obra e materiais, conforme tabela abaixo: Modelo A B C Mão-de-obra (horas por unidade) Materiais (g/ unidade produzida) Lucro (R$ / unidade) A disponibilidade de materiais é de 290 g/dia. A mão-de-obra disponível por dia é de 190 horas. Formule um problema de programação linear para determinar quanto deve ser produzido de cada tipo de incenso, tal que o lucro total seja maximizado. 4) Uma empresa possui três celulas de produção, C1, C2 e C3, que trabalham por batelada. Cada batelada da C1 consome 12 kg de matéria-prima, 4 h de mão-de-obra e 25 kwh de energia para produzir 22 peças P1 e 12 peças P2. Da mesma maneira, C2 consome 14 kg de matéria-prima, 2 h de mão-de-obra e 35 kwh de energia para produzir 15 peças P3 e 15 peças P2. Além disso, a C3 consome 20 kg de matéria-prima, 4 h de mão-de-obra e 25 kwh de energia para produzir 25 peças P3. As peças são vendidas por R$ 20,0, R$ 25,0 e R$ 30,0, respectivamente P1, P2 e P3. Numa semana são disponíveis 450 kg de matéria-prima, 120 h de mão-de-obra e 600 kwh de energia. A demanda semanal de P1 é no máximo 500 unidades e a demanda de P2 é sempre maior que duas vezes a demanda de P3. Formular maximizando a receita semanal. 5) Uma fábrica utiliza nas suas instalações carvão mineral (CM), carvão vegetal (CV) e energia elétrica (EE). Cada unidade de energia (UNE) baseada em CM custa R$ 12,5, assim como cada UNE baseada em CV custa R$ 10,5 e cada UNE baseada em EE custa R$ 15,0. Para a produção mensal é necessário UNE. Existem a disponibilidade de 1000 UNECM, 800 UNECV e 3000 UNEEE. Nos processos que se utilizam UNECV necessariamente se utiliza no mínimo metade de UNEEE juntamente. Devido as políticas ambientais vigentes não se pode utilizar mais do que 1200 UNE baseadas em carvão mineral ou carvão vegetal. Modelar usando a programação linear para obter um custo mínimo no consumo de engergia. 6) Determinada empresa apresenta os seguintes dados de produção. Produz quatro produtos denominados P, Q, Z e X. Possui dois recursos de produção denominados Recurso A e Recurso B, cada um com uma capacidade máxima de minutos por dia. A necessidade de utilização dos recursos produtivos por unidade de produto é a seguinte:

12 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Tabela 4: consumo de recursos por unidade de produto Recurso/Produto P Q Z X Recurso A 20 min 40 min 10 min 30 min Recurso B 60 min 50 min Não usa 40 min O mercado absorve diariamente até 20 unidades de P, 20 unidades de Q, 60 unidades de Z e 20 unidades de X. A margem de contribuição unitária por produto é de R$ 100,00 para os produtos P, Q e X e de R$ 200,00 para o produto Z. A estrutura fixa da empresa é de R$ ,00 por dia. Qual seria o mix otimizado para a empresa, formular o problema? 7) Uma fábrica produz nas suas instalações mesas, cadeiras e bancos. Cada mesa é vendida por R$ 350, assim como cada cadeira é vendida por R$ 120 e cada banco é vendido por R$ 60. Para se produzir cada banco é necessário 0,5 m2 de madeira, 10 conectores e 2 horas de trabalho. Para a mesa é necessário 3 m2 de madeira, 12 conectores e 12 horas de trabalho e para a cadeira é necessário 4 horas de trabalho, 1 m2 de madeira e 10 conectores. Existem a disponibilidade de 300 m2 de madeira, 2000 conectores e 800 horas de trabalho. Além disso, deseja-se fabricar no máximo 20 bancos e um número de cadeiras igual ou maior a 4 vezes o número de mesas. Modelar usando a programação linear para obter um lucro máximo.

13 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Análise Gráfica A resolução gráfica pode ser usada dependendo do número de variáveis de decisão. Pois a representação exige um eixo para cada variável de decisão. Dessa maneira, problemas envolvendo duas variáveis de decisão necessitam de um gráfico com duas dimensões, já os problemas com três variáveis são resolvidos em três dimensões, dificultando por vezes a visualização. Considerando isso, a resolução gráfica fica inviabilizada para problemas com mais de três variáveis de decisão, nesses casos deve-se usar algum método analítico Procedimentos O gráfico é feito usando-se um eixo para cada variável de decisão. Todas as restrições devem ser representadas graficamente. Cada inequação vai dividir o espaço em duas regiões. A Região de Aceitação é o espaço de respostas para todas as restrições simultaneamente. Quando não existe região de aceitação, o problema não tem resposta. Na Programação Linear, onde a função objetivo é um plano, os pontos que maximizam ou minimizam estão na fronteira da região de aceitação. Portanto a busca pelo Ponto Ótimo, aquele que maximiza ou minimiza a função objetivo, é feita pesquisando-se os vértices da região de aceitação. Definido o ponto ótimo, podemos definir as Folgas, o quanto sobra de recurso escasso em cada restrição quando o nível de produção (ponto ótimo) é utilizado Exemplo Max. Sujeito A Z= 30.x a + 50.x b 2x a + x b 16 (para o cobre) x a + 2.x b 11 (para o zinco) x a + 3.x b 15 (para o chumbo) x a 0 x b 0 A solução gráfica indica uma região de aceitação com cinco vértices. O vértice que produz o máximo valor (ponto ótimo) é aquele formado pela interseção da fronteira da restrição para o cobre e para o zinco (conforme a Fig. 3). Com a Exercícios 1) Resolva graficamente, mostrando a região de pontos viáveis (região de aceitação), indicando o ponto ótimo. Max. Z= 10.x + 15.y Sujeito A x + y 12 2.x + 5.y 40 x 2 x 8 y 1

14 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Figura 3: Resolução gráfica configurada com o ponto ótimo e a região de aceitação x a zinco 15 chumbo 10 ponto ótimo cobre região de aceitação x b 2) Resolva graficamente o problema de Programação Linear. Max. Z= 2.x 1 + x 2 Sujeito A x x 2 24 x x x 1 x 2 8 x 1 x 2 3 x 1 0 x 2 0 3) Resolva graficamente Min. Z= x x 2 Sujeito A x 1 + x x x 2 24 x 1 0 x 2 2 4) Resolva graficamente Min. Z= 2.x 1 + x 2 Sujeito A 4.x 1 5.x x x x 1 6.x 2 0 x 1 0 x 2 2

15 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Exercícios Complementares 1) Resolva graficamente Max. S.A. Z = x + 2y x + y 7 2x + y 20 x + 2y 20 x y 9 x 0 y 0 2) Resolva graficamente Max. Z = x 1 + 2x 2 S.A. x 1 13 x 2 10 x 1 + x 2 16 x 1 + x 2 8 x 1 x 2 11 x 1 0 x 2 0 3) Resolva graficamente Max. Z = 2x 1 + x 2 S.A. x 1 8 x 2 10 x 1 + x 2 12 x 1 3 x 2 2 x 1 0 x 2 0 4) Concurso Petrobras (2008) - Engenheiro de Produção Júnior Considere o seguinte problema de Programação Linear: Max. z = 3x 1 + x 2 s.a. 6x 1 + 3x x 1 + 8x x 1 + 5x x 1 + 7x 2 36 x 1,x 2 0 Qual é a solução ótima? (A) x 1 = 0 e x 2 = 2 (B) x 1 = 0 e x 2 = 4 (C) x 1 = 0 e x 2 = 5

16 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional (D) x 1 = 4 e x 2 = 0 (E) x 1 = 5 e x 2 = 0 5) Concurso Petrobras (2008) - Engenheiro de Produção Júnior Uma pequena loja de móveis produz três tipos diferentes de mesa: A, B e C. Cada uma requer um determinado tempo para o corte das peças componentes, para a montagem e para a pintura. Alternativamente, a mesa do tipo C também pode ser vendida sem a pintura. A disponibilidade de funcionários e a prática do serviço vêm permitindo que os tempos de execução tenham comportamento bastante regular. Assim, a tabela abaixo apresenta: ˆ os tempos de execução de cada serviço para cada produto, em horas.homem; ˆ o lucro de cada tipo de mesa produzida, em reais; ˆ a capacidade máxima de produção de cada serviço, em horas.homem. Mesa Corte Montagem Pintura Lucro (h.h) (h.h) (h.h) (R$) A ,00 B ,00 C ,00 C sem pintura ,00 Capacidade Desejando-se maximizar o lucro, qual é a solução ótima? (A) A = 0, B = 50, C = 25 e Csem = 0 (B) A = 25, B = 25, C = 25 e Csem = 0 (C) A = 0, B = 25, C = 50 e Csem = 0 (D) A = 0, B = 50, C = 50 e Csem = 0 (E) A = 25, B = 50, C = 50 e Csem = O problema de Programação linear A representação gráfica se aplica nos casos bem mais simples de apenas duas variáveis de decisão (x 1, x 2 ), em geral o número de variáveis é muito maior, o que impossibilita visualizações gráficas. Ao estruturarmos um problema sob a forma de um modelo matemático, o intuito é o de nos ajudar no processo de decisão: que atividade empreender e o quanto de cada uma, a fim de satisfazer de um dado objetivo. Programação Linear é uma ferramenta de planejamento que nos ajuda a selecionar que atividades (variáveis de decisão) empreender, dado que essas atividades (diversas alternativas) competem entre si pela utilização de recursos escassos (restrições) ou então precisam satisfazer certos requisitos mínimos. O objetivo será maximizar (ou minimizar) uma função das atividades, geralmente lucros (perdas).

17 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Formulação Genérica Função Objetivo Maximizar Z= c 1.x 1 + c 2.x c n.x n Restrições Principais Sujeito A a 11.x 1 + a 12.x a 1n.x n { b 1 a 21.x 1 + a 22.x a 2n.x n { b onde b i 0 para i=1,..., m a m1.x 1 + a m2.x a mn.x n { b m Restrições de não Negatividade x 1 0, x 2 0,......, x n 0 O problema resume-se na maximização (ou minimização) de uma função objetivo, sujeita a restrições também lineares Interpretação Econômica n são as atividades que competem sendo x 1,......, x n seus níveis de atividade. c j é o aumento de Z por unidade de atividade j. m são os recursos escassos cujos níveis são b 1,......, b m. a ij é o quanto de recurso i é consumido pela atividade j.

18 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional O Método do Simplexo O Método do simplexo é um algoritmo iterativo convergente, que pesquisa os vértices do poliedro de restrições, passando, em cada iteração f de um vértice para outro vértice com valor associada não pior que o anterior. Em um número finito de iterações, o algoritmo fornece. - A solução ótima - A indicação da inexistência da solução O Método do Simplexo explora o fato de o máximo, ou o mínimo da função objetiva, ocorrer num vértice do poliedro convexo de restrições. 3.1 Algoritmo Simplexo - Exemplo Max. Z= 30.x x 2 Sujeito A 2x 1 + x 2 16 x x 2 11 x x 2 15 x 1 0 x 2 0 Forma padrão para escrever os dados Atividades x Variável de Folgas b A (coeficientes das restrições) I(matriz b(coeficientes) identidade) independentes) -c (coeficientes da função objetiva) 0 0 Procedimento: 1 o Tableau Atividades Folgas x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b mais negativo menor relação 1) Selecionar a coluna j com o valor mais negativo; 2) Ache, para todas as linha i, a menor relação b i a ij com a ij > 0: O valor de a ij assim escolhido será o pivô. 3) Agora proceda á operação-pivô, que torna o coeficiente da x ij igual a 1 e todos os outros coeficientes da coluna j nulos.

19 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional (a) divida a linha i por a ij. (b) em todas as outras linhas de r, para cada elemento da coluna k, calcular a rk = a rk a ij a ik.a rj. (c) fazer o cálculo do item b também para a lilha c. 4) Repita as etapas 1,2,3 até que não haja mais valores negativos na última linha c. Resultados Z = 310 x 1 = 7 x 2 = 2 x 3 = 0 y 1 = 0 y 2 = 0 y 3 = 2 2 o Tableau 3 o Tableau 4 o Tableau Atividades Folgas x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b 5/ /3 11 1/ /3 1 1/ /3 5 40/ /3 250 Atividades Folgas x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b Atividades Folgas x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b 0 0 1/3-5/ /3-1/ /3 2/ /3 70/

20 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Exercícios 1) Resolva pelo Simplexo: Max. Z= 2.x 1 + x 2 Sujeito A x 1 + x 2 5 x x 2 8 x 1 4 x 1 0 x 2 0 Resultados: Zmáx.= 9; x 1 = 4; x 2 = 1; x 3 = 0; x 4 = 2; x 5 = 0 2) Resolva pelo Simplexo: Max. Z = 7.x x x 3 Sujeito A 5.x x x x 1 + x x 3 8 x 1 0 x 2 0 x 3 0 Resultados: Zmáx.= 27; x 1 = 3; x 2 = 2; x 3 = 0; x 4 = 0; x 5 = 0 3) Resolva pelo Simplexo: Max. Z = 2.x x x 3 Sujeito A x x x x x 2 9 x 3 2 x 1 0 x 2 0 x 3 0 Resultados: Zmáx.= 37/2; x 1 = 0; x 2 = 3; x 3 = 1/2; x 4 = 0; x 5 = 0; x 6 = 3/2 4) Resolva pelo Simplexo: Min. Z = x 1 + 2x 2 x 3 Sujeito A x 1 + x 2 4x x 1 x 2 + 2x 3 10 x 1 0 x 2 0 x 3 0 Resultados: Zmín.= 5; x 1 = 0; x 2 = 0; x 3 = 5; x 4 = 50; x 5 = Exercícios Complementares 1) Resolver pelo método Simplexo

21 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Max. Z = 3x 1 + x 2 S.A. x 1 x 2 4 x 1 7 x 1 + x 2 12 x x 1 + x 2 5 x1 0 x2 0 Resultados: Zmáx.= 26; x 1 = 7; x 2 = 5; x 3 = 2; x 4 = 0; x 5 = 0; x 6 = 5; x 7 = 35 2) Resolver pelo método Simplexo Max. Z = 3x 1 + x 2 S.A. x 1 x 2 5 x 1 7 x 1 + x 2 11 x 2 9 x 1 0 x 2 0 Resultados: Zmáx.= 25; x 1 = 7; x 2 = 4; x 3 = 2; x 4 = 0; x 5 = 0; x 6 = 5 3) Resolver pelo método Simplexo Max. Z = x 1 + 2x 2 S.A. x 1 8 x 2 7 x 1 + x 2 10 x 1 + x 2 5 x 1 0 x 2 0 Resultados: Zmáx.= 17; x 1 = 3; x 2 = 7; x 3 = 5; x 4 = 0; x 5 = 0; x 6 = Problemas Especiais de Formulação Formulação 1) Conversão de Mínimizar para Maximizar na Função Objetivo: O Simplexo, resolve apenas problemas de maximização. Devemos converter os problemas de minimização, fazendo: Max(Z ) = Min(Z), onde Z = Z 2) x j livre: Uma variável é livre quando não tem condições de não negatividade.

22 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Resolve-se introduzindo as variáveis x j e x j. Com x j = x j x j x j 0x j 0 (1) E resolvendo o problema nas novas variáveis. Exemplo Max. Z= 4.x 1 + x x 3 Sujeito A x 1 2.x 2 + x 3 = 20 x x 2 2.x 3 50 x 1 0 x 2 0 x 3 livre Dificuldades Durante a Solução pelo Método do Simplexo 1) Empate para decidir qual a variável que deve entrar na base, isto é c j = c k. Escolha arbitrariamente qualquer um dos dois. De qualquer modo, o ótimo será atingido. Não podemos, entretanto, garantir, a priori, qual a melhor escolha do ponto de vista de terminar o problema em um menor número de iterações. 2) Empate para sair da Base A degenerescência vai resultar em que uma variável básica será nula no Tableau seguinte. Do ponto de vista geométrico, isto corresponde a ativar duas restrições simultaneamente. Decida arbitrariamente. O Tableau seguinte terá a outra variável candidata á base igual a zero. Se a variável escolhida for a seguinte a deixar a base, o valor da função objetiva não mudará nesta iteração. Pode resultar em circuito vicioso. Exemplo: Caso de degenerescência Primeiro Tableau x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b No empate para sair da base, escolha a segunda linha 3.5 Método do Simplexo - Fase I/Fase II O Método do Simplexo requer uma solução básica já no primeiro Tableau. Quando existem restrições do tipo = ou, não teremos uma solução inicial. A resolução pelo Simplexo é feita então em duas fases. A Fase I encontrará (se possível) a solução inicial e a Fase II termina de otimizar o valor da função objetiva.

23 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Se a Fase I não encontrar uma solução inicial, poderemos concluir que não existe solução. A Fase II é exatamente aquela que nós já estudamos Procedimento para a Fase I 1) Além das variáveis de folga, serão introduzidas variáveis artificiais, da seguinte maneira: sinal variável de folga variável artificial + + = + 2) Escreva o tableau inicial incluindo a linha Z. 3) Adicione mais uma linha no tableau inicial, a linha W. Preencha a linha Z, somando os coeficientes das linhas superiores que tenham variável artificial e trocando o sinal do resultado. Faça isto nas colunas das variáveis normais, de folga e na coluna b. Nas colunas das variáveis artificiais inclua zero. 4) Aplique o algoritmo simplexo, tomando como base de decisão para quem deve entrar na base a linha W. 5) Quando a Fase I terminar, ou seja, quando na linha W não mais tiver números negativos, e a coluna b estiver zerada, a Fase I teve sucesso. 6) Para a Fase II, elimine a linha W, e as colunas das variáveis artificiais. 7) O primeiro Tableau da Fase II, poderá já ser o Tableau Final Exemplo Max. Z= x 1 6.x x 3 x 4 5.x 5 Sujeito A 5.x 1 4.x x 3 2.x 4 + x 5 20 x 1 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 8 2.x 1 + x 2 x x 4 15 x 1 0 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5 0

24 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Primeiro Tableau - Fase I x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 y 1 y 2 b Exercícios 1) Resolva pelo Simplexo Fase I/Fase II: Max. Z= 2.x 1 + x 2 + x 3 Sujeito A 3.x x 2 + x 3 = 5 x 1 + x x 3 = 3 x 1 0 x 2 0 x Exercícios complementares 1) Resolva pelo Simplexo Fase I/Fase II: Max. Z = x 1 + 2x 2 S.A. x 1 + x 2 6 x 1 + 3x 2 12 x 2 2 x 1 16 x 2 10 x 1 0 x 2 0 2) Resolva pelo Simplexo Fase I/Fase II: Max. Z = 2x 1 + x 2 S.A. x 2 1 x 1 + 3x 2 6 x 1 + x 2 4 x 1 x 2 8 x 1 + x 2 12 x 1 0 x 2 0

25 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Análise de Sensibilidade 4.1 Introdução A resposta final de um problema de Programação Linear, muitas vezes, tem valor limitada. Além da simples resposta do valor das variáveis, devemos saber o que acontece com elas, se existir variações nos coeficientes dados no problema original. Muitas vezes queremos saber, quanto podemos variar nos coeficientes da função objetiva e na quantidade de recursos escassos de maneira que aquela resposta final otimizada (as alternativas que devemos usar) não será modificada. A análise de sensibilidade é feita de maneira muito fácil, analisando os dados do primeiro e último Tableau. 4.2 Exemplo Primeiro Tableau Último Tableau x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b 1 3/4 0 5/4 3/2 0-1/ /4 0 5/4-1/2 1-1/ /4 1-1/4-1/2 0 1/ /4 0 51/4 9/2 0 1/ Variação na Função Objetivo a) Decréscimo em c j para x j não básico Se a variável x j não é básica, diminuir o coeficiente da função objetiva c j torna a atividade menos atrativa ainda. Então não temos limite para este decréscimo. Decréscimo em c j para x j não básico sem limite No exemplo dado, o decréscimo não tem limite em 4, coeficiente de x 2 e em 8, coeficiente de x 4. b) Acréscimo em c j para x j não básico No último Tableau, na linha de custo reduzido, podemos notar valores positivos para as variáveis não básicas (x 2 e x 4 ). Se estes valores fossem negativos, o processo de otimização continuaria, e estas variáveis seriam candidatas a entrar na base.

26 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Para que isto aconteça, basta aumentar o valor inicial do coeficiente c j, exatamente no valor encontrado no último Tableau. Acréscimo em c j para x j não básico limite no último Tableau No exemplo dado, o limite para acréscimo de 4, coeficiente de x 2 é 5/4, e para o 8, coeficiente de x 4 é 51/4. c) Acréscimo e Decréscimo cm c j para x j básico Para conhecer estes limites, vamos acrescer o coeficiente da função objetiva de um valor genérico γ. A partir disso vamos simular a última linha de custo reduzido do último Tableau, fazendo: Z = Z + γ.x 1 Da última linha do último Tableau Da primeira linha do último Tableau Z = 180 5/4.x 2 51/4.x 4 9/2.x 5 1/4.x 7 x 1 = 30 3/4.x 2 5/4.x 4 3/2.x 5 + 1/4.x 7 Z = ( γ) (5/4 + 3/4.γ).x 2 (51/4 + 5/4.γ).x 4 (9/2 + 3/2.γ).x 5 (1/4 1/4.γ).x 7 Os coeficientes que acompanham as variáveis na função Z devem permanecer positivos. Portanto o limite da variação do coeficiente que acompanham as variáveis é zero. Então fazemos: 5/4 + 3/4.γ 0 γ 5/3 51/4 + 5/4.γ 0 γ 51/5 9/2 + 3/2.γ 0 γ 3 1/4 1/4.γ 0 γ 1 Os limites, para acréscimo e decréscimo são os mais apertados. Portanto: Limite para acréscimo em c 1 1 Limite para decréscimo em c 1 5/3 Para obter os limites para c 3 procedemos de maneira similar Variação na Quantidade de Recursos Escassos a) Acréscimo em b i para restrição com folga Se o recurso escasso tem folga, um aumento na sua quantidade só vai aumentar o valor final da folga. Portanto, não existe limite para acréscimo. Acréscimo em b i para restrição com folga sem limite

27 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional No exemplo, não existe limite para acréscimo para b 2. b) Decréscimo em b i para restrição com folga Se o recurso escasso tem folga, o limite para decréscimo na sua quantidade é a própria folga. Decréscimo em b i para restrição com folga o limite é o valor da folga No exemplo, o limite para decréscimo para b 2 é 40. c) Acréscimo e decréscimo em b i para restrição sem folga Vamos simular um acréscimo genérico γ no valor de b i estudado. No exemplo vamos simular b 1 igual a 35+γ. Então temos a coluna b como sendo: Que pode ser reescrita como: γ γ No último Tableau as colunas se transformam em: 30 3/ /2.γ 5 1/2 Os valores das variáveis básicas passam a ser: x 1 = γ x 6 = γ x 3 = γ Como os valores da coluna b nunca podem assumir valores negativos, temos os limites para γ sendo impostos desta maneira: γ 0 γ γ 0 γ γ 0 γ 10 Os limites, para acréscimo e decréscimo são os mais apertados. Portanto:

28 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Limite para acréscimo em b 1 10 Limite para decréscimo em b 1 20 Para obter os limites para b 3 procedemos de maneira similar Preço Sombra Quanto efetuamos um acréscimo de uma unidade numa quantidade de Recurso Escasso que não tenha folga, vamos ter um acréscimo correspondente no valor do Z máximo. Este valor é chamado de preço Sombra ou benefício marginal deste recurso escasso. Podemos identificar o preço sombra para cada quantidade de recurso escasso diretamente no último Tableau, na linha linha de custo reduzido, na coluna da variável de folga correspondente. Preço Sombra para b i último Tableau No exemplo temos, o preço sombra para b 1 igual a 9/2, o preço sombra para b 3 igual a 1/4 e o preço sombra para b 2 igual a 0 pois o recurso escasso tem folga e não obtemos nenhum benefício aumentando a sua quantidade. 4.3 Exercício - Problema - Alocação de Recursos Dados Iniciais Itens em Produção Conjunto ALFA Conjunto BETA Conjunto GAMA Disponibilidade de Recursos mão-de-obra: 3520 H.h. por mês estoque de madeira: m 2 por mês Processo de Fabricação e Alocação Inicial de Mão-De-Obra a) Corte 704 H.h. b) Preparação 1232 H.h. c) Montagem 704 H.h. d) Pintura 528 H.h. e) Embalagem 352 H.h. Utilização Unitária dos Recursos Recursos Conjunto Conjunto Conjunto Alocação Inicial Realocação Alfa Beta Gama Recurso/Seção de Recurso Corte 0,4 0,3 0,3 704 H.h. 704 H.h. Preparação 0,8 0,4 0, H.h H.h. Montagem 0,25 0,4 0,4 704 H.h. 704 H.h. Pintura 0,2 0,2 0,2 528 H.h. 484 H.h. Embalagem 0,06 0,1 0, H.h. 264 H.h. Madeira 3 4, m 2

29 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Contribuição Unitária Variáveis de Decisão x 1 = número de conjuntos ALFA x 2 = número de conjuntos BETA x 3 = número de conjuntos GAMA Conjunto Contribuição Unitária (R$ ) Alfa 21,00 Beta 19,50 Gama 22,00 Função Objetivo (maximizar o lucro) Max. Z = 21.x ,5.x x 3 Modelagem Restrições (condições devido aos recursos escassos) x 1 0 x 2 0 x 3 0 0,4.x 1 +0,3.x 2 +0,3.x (corte) 0,8.x 1 +0,4.x 2 +0,6.x (preparação) 0,25.x 1 +0,4.x 2 +0,4.x (montagem) 0,2.x 1 +0,2.x 2 +0,2.x (pintura) 0,06.x 1 +0,1.x 2 +0,05.x (embalagem) 3.x 1 +4,5.x 2 +6.x (madeira) Primeiro Tableau 1 0,350 0,400 0,300 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, , ,450 0,300 0,400 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0, , ,350 0,350 0,400 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0, , ,350 0,450 0,200 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0, , ,070 0,110 0,040 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0, , ,000 4,500 6,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1, ,000 Z -19,000-20,000-23,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Último Tableau

30 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional ,000 0,000 0,000 1,000 0,000-0,500-0,500 0,000-0,000 88, ,000 0,000 0,000 0,000 1,000-2,308 0,385 0,000 0, , ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 9,231-1,539 0,000-0,564 45, ,000 1,000 0,000 0,000 0,000-7,692 4,615 0,000 0, , ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,154-0,292 1,000-0, , ,000 0,000 1,000 0,000 0,000 1,154-2,692 0,000 0, ,641 Z 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 48,077 1,154 0,000 0, , Exercícios complementares 1) Dado o primeiro e o último tableau, verificar a sensibilidade de todos os coeficientes da função objetiva bem como de todas quantidades de recursos escassos, Primeiro Tableau 1 1,0 1,0 2,0 2,0 1,0 0,0 0,0 0,0 360,0 2 4,0 2,0 1,0 1,0 0,0 1,0 0,0 0,0 380,0 3 2,0 1,0 1,0 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 400,0 4 1,0 2,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 1,0 260,0 Z -4,0-6,0-4,0-8,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Último Tableau 1 1/3 0,0 4/3 1,0 2/3 0,0 0,0-1/3 460/3 2 3,0 0,0 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0-1,0 120,0 3 4/3 0,0 1/3 0,0-1/3 0,0 1,0-1/3 580/3 4 1/3 1,0-2/3 0,0-1/3 0,0 0,0 2/3 160/3 Z 2/3 0,0 8/3 0,0 10/3 0,0 0,0 4/3 4640/3 2) Dado o primeiro e o último tableau, verificar a sensibilidade de todos os coeficientes da função objetiva bem como de todas quantidades de recursos escassos, Primeiro Tableau 1 2,0 2,0 1,0 1,0 1,0 0,0 0,0 0,0 380,0 2 2,0 1,0 2,0 1,0 0,0 1,0 0,0 0,0 320,0 3 4,0 2,0 2,0 2,0 0,0 0,0 1,0 0,0 300,0 4 4,0 4,0 6,0 2,0 0,0 0,0 0,0 1,0 360,0 Z -9,0-7,0-5,0-6,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Último Tableau 1 0,0 0,0-2,0 0,0 1,0 0,0 0,0-0,5 200,0 2 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 1,0-0,5 0,0 170,0 3 2,0 0,0-1,0 1,0 0,0 0,0 1,0-0,5 120,0 4 0,0 1,0 2,0 0,0 0,0 0,0-0,5 0,5 30,0 Z 3,0 0,0 3,0 0,0 0,0 0,0 2,5 0,5 930,0

31 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Solver 5.1 Introdução O Solver é um módulo do Excel que permite-nos de uma forma muito simples e rápida obter soluções para problemas de programação linear. 5.2 Exemplo Como exemplo, vamos resolver o exercício envolvendo a companhia ALT-M que produz móveis de escritório que, por questões de marketing, agrupou em três conjuntos básicos cujos modelos são: ALFA, BETA E GAMA. Exercício resolvido e analisado em sala. Em geral o módulo Solver não está disponível no arranque do Excel. Devemos ativá-lo no menu Ferramentas - Suplementos. Para rodar o módulo Solver selecione a função Solver no menu Ferramentas. Organize as informações pertinentes da melhor forma possível em uma planilha. (Exemplo: última folha). ˆ reserve uma célula para a fórmula do cálculo de Z (E17)(=B18*B5+C18*C5+D18*D5) ˆ calcule os recursos escassos consumidos (coluna E linhas 9 a 14) (E9 =B9*B5+C9*C5+D9*D5) (E10 =B10*B5+C10*C5+D10*D5) (E11 =B11*B5+C11*C5+D11*D5) (E12 =B12*B5+C12*C5+D12*D5) (E13 =B13*B5+C13*C5+D13*D5) (E14 =B14*B5+C14*C5+D14*D5) ˆ rode o Solver

32 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional ˆ no parâmetro Definir célula destino (conforme figura acima) coloque a célula reservada para o Z ($E$18). ˆ no parâmetro Células variáveis coloque as células das variáveis de decisão ($B$5:$D$5) ˆ no parâmetro Submeter às restrições coloque as restrições usando Adicionar. ˆ no parâmetro Opções marque conforme Figura abaixo. ˆ aplique Resolver ˆ aplique Continuar até

33 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional ˆ marque Resposta, Sensibilidade, Limites e OK.

34 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional O problema Dual 6.1 Caracterização Os problemas de programação linear postos na forma padrão (Primal) admitem um problema paralelo chamado Dual. As condições para o ponto ótimo são as mesmas, tanto para o problema Primal quanto para o Dual. Ou seja, os dois problemas têm a mesma solução. Se o Primal é de maximização o Dual é de minimização, ou vice-versa. Cada variável no Primal é equivalente a uma restrição no problema Dual e vice-versa. 6.2 Explicação econômica Dado um problema onde existem duas ou mais máquinas (alternativas) que consomem recursos escassos produzindo lucro. O Primal pode ser representado como: Primal Max. Z = n c j x j j=1 Sujeito A a ij x j b i (i = 1,..., m) x j 0 i Onde o objetivo é maximizar o lucro (Z) considerando as variáveis de decisão (x j ) como sendo a quantidade de cada tipo de máquina considerando seu lucro unitário (c j ). O problema Dual representaria a opção de venda das máquinas: Dual Min. L = m b i y i i=1 Sujeito A a ij y j c j (j = 1,..., n) y j 0 i L é o preço mínimo de venda das máquinas, igual ao lucro máximo (Z) obtido na produção com elas. Notar a inversão dos coeficientes da função objetivo (c j ) com as quantidades de recursos escassos (b j ) entre Primal e Dual, e a manutenção dos coeficientes tecnológicos (a ij ) nos dois problemas.

35 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Exemplos Max. Z = 4x 1 + x 2 Primal Sujeito A 9x 1 + x x 1 + x 2 12 x 1 0 x 2 0 Min. L = 18y y 2 Dual Sujeito A 9y 1 + 3y 2 4 y 1 + y 2 1 y 1 0 y 2 0 Solução: Primal Primeito tableau 9,0 1,0 1,0 0,0 18,0 3,0 1,0 0,0 1,0 12,0-4,0-1,0 0,0 0,0 0,0 Último tableau 1,0 0,0 1/6-1/6 1,0 0,0 1,0-1/2 3/2 9,0 0,0 0,0 1/6 5/6 13,0 Dual Primeito tableau 9,0 3,0-1,0 0,0 1,0 0,0 4,0 1,0 1,0 0,0-1,0 0,0 1,0 1,0 18,0 12,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0-10,0-4,0 1,0 1,0 0,0 0,0-5,0 Último tableau 1,0 0,0-1/6 1/2 1/6 0,0 1,0 1/6-3/2 5/6 0,0 0,0 1,0 9,0-13,0 Nos detalhes: ˆ resultado igual a 13,0, tanto no Primal quanto no Dual;

36 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional ˆ valor das variáveis do Primal são iguais aos valores dos preços sombras para as variáveis correspondentes no Dual e vice-versa.

37 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional Pert - Redes de Precedência 7.1 Caracterização As redes de precedência são uma maneira de representar graficamente a seqüência de atividades de um projeto, obedecendo sua ordem temporal e as restrições de precedência. Existem diversas técnicas para elaboração dessas redes. As mais conhecidas são PERT (Program Evaluatiom and Review Technique) e CPM (Critical Path Method), entre outras tais como P-PERT, PERT-Custo, GERT, PDM e Corrente Crítica. 7.2 Redes As redes são graficadas a partir de dois elementos: as atividades, representadas por setas, que consomem tempo; e os eventos, representados por círculos, marcando o início ou término de uma ou mais atividades. ˆ Atividade = tarefa que consome tempo ˆ Evento = término de uma ou mais atividades evento atividade evento A h tempo 7.3 Caminho Crítico O caminho crítico de uma rede de precedência é a seqüência de atividades, entre o primeiro e o último evento, que consome maior tempo. Ou seja, é o mínimo tempo que o projeto vai demandar, se não houver atrasos na execução dessas atividades críticas. Exemplo: Num projeto de lançamento de um novo produto foi programado, com base na rede PERT acima, o tempo necessário para a sua execução. Na qualidade de gestor do projeto, a qual seqüência de atividades você dispensaria maior atenção, ojetivando não atrasas o lançamento do produto (caminho crítico)(mec - Provão 1999).

38 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional A E F B 3 3 G D H C Para determinar o caminho crítico basta verificar todas possibilidades de rotas entre o primeiro e o último evento, aquela seqüência que somar o tempo máximo é o caminho crítico. Dessa maneira: ˆ A + F = 9 ˆ B + E + F = 10 ˆ B + G = 5 ˆ B + C + H = 12 ˆ D + H = 5 Assim a seqüência crítica de atividades é BCH. 7.4 Modelagem das Redes de Precedência As redes de precedência podem ser modeladas matematicamente usando-se a Programação Linear. Nesse caso, as variáveis de decisão irão controlar os tempos de cada evento, sendo a função objetivo minimizar o tempo do último evento. O conjunto de restrições será determinado pelas atividades. Exemplo: Como exemplo vamos modelar a seguinte rede de precedência: 2 A E F B 3 3 G D C H As variáveis de decisão são:

39 Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional ˆ x 1 = tempo do evento 1 ˆ x 2 = tempo do evento 2 ˆ x 3 = tempo do evento 3 ˆ x 4 = tempo do evento 4 ˆ x 5 = tempo do evento 5 A função objetivo fica: Min.Z = x 5 E o conjunto de restrições: ˆ x 2 x 1 5 (Atividade A) ˆ x 3 x 1 3 (Atividade B) ˆ x 4 x 3 6 (Atividade C) ˆ x 4 x 1 2 (Atividade D) ˆ x 2 x 3 3 (Atividade E) ˆ x 5 x 2 4 (Atividade F) ˆ x 5 x 3 2 (Atividade G) ˆ x 5 x 4 3 (Atividade H) Além das restrições de não negatividade: ˆ x 1 0 ˆ x 2 0 ˆ x 3 0 ˆ x 4 0 ˆ x Formação das Redes de Precedência O passo inicial para a montagem das redes de precedência é a organização das atividades do projeto em ordem indicando o sequenciamento, ou seja indicando qual(is) atividade(s) são antecessoras imediatas.