B R : A B qualquer subconjunto do produto

Transcrição

1 CADERNO DE MATEMÁTICA NOVO ENEM (IV) Conhecimentos lgébricos: gráficos e funções; funções lgébrics do.º e do.º grus, polinomiis, rcionis, eponenciis e logrítmics; equções e inequções ; relções no ciclo trigonométrico e funções trigonométrics. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES. Plno Crtesino Esquem gráfico que divide o espço em qutro espços, denomindos qudrntes, trvés de dois eios: um verticl, o eio ds ordends ou eio dos y e um horizontl, o eio ds bscisss ou eio dos. É o conjunto especil formdo por dois elementos que não podem lterr sus posições dentro dele, isso eplic o nome pr ordendo, diferente dquilo que ocorre nos outros conjuntos. Nos conjuntos: No pr ordendo: {,b} = {b,} (,b) (b,), se b Cd PAR ORDENADO determin, no plno crtesino, um único PONTO; onde o primeiro elemento do pr determin o vlor de e o segundo vlor determin o vlor de y. 3. Produto Crtesino Ddos dois conjuntos A e B, não vzios, design-se A X B (lê-se A crtesino B), o conjunto formdo por todos os pres ordendos onde o primeiro elemento () pertenç o conjunto A e o segundo elemento (y) pertenç o conjunto B. AB ; y / A e y B. n A B n A n B, onde na é o número de elementos de um conjunto A. Observe que o plno crtesino pode ser subdividido em qutro regiões, que são denominds Qudrntes. Temos então o seguinte qudro resumo: QUADRANTE ABSCISSA ORDENADA º qudrnte + + º qudrnte - + 3º qudrnte - - 4º qudrnte + - Obs: ) equção do eio O é y = 0 e do eio Oy é = 0. ) o gráfico de y = é um ret denomind bissetriz do primeiro qudrnte. 3) o gráfico de y = - é um ret denomind bissetriz do segundo qudrnte RELAÇÃO BINÁRIA 4. Definição Considerndo dois conjuntos A e B, não vzios, chmmos de relção binári de A em B R : A B qulquer subconjunto do produto crtesino AB. Podemos representr um relção R por um digrm de flechs. O conjunto de elementos de (de onde sem s flechs) é chmdo de DOMÍNIO e o conjuntos dos elementos de y (onde chegm s flechs) é chmdo de CONTRADOMÍNIO. Os elementos do contrdomínio que são ligdos lgum elemento do domínio é chmdo de CONJUNTO-IMAGEM. OBSERVAÇÃO Observe que sempre o conjunto imgem é um subconjunto do contrdomínio Im CD.. Pr Ordendo

2 FUNÇÃO 5. Definição Tod função é um relção onde cd elemento do Domínio possui um únic imgem no Contrdomínio. Assim um função seri um Relção Perfeit do ldo do Domínio, de onde deve prtir um únic flech de cd elemento. Assim serim funções os eemplos seguir: As definições de Domínio, Contrdomínio e de Imgem são s mesms que utilizmos em Relções. As funções são dits de A em B f : A B qundo ssocim vlores de que pertencem o conjunto A com vlores de y que pertencem o conjunto B. 6. Lei de formção e vlor numérico de um função Cd função possui um lei de formção, ou sej, um relção entre os vlores de e de y que torn possível encontrr os pres ordendos que fzem prte d função. O vlor numérico de um função seri o vlor que função ssume qundo substituímos por um determindo vlor. 7. Gráfico de um função O gráfico de um função é o conjunto de pres ordendos ; y que stisfzem à lei de formção d função. Por enqunto, iremos nos ter pens interpretr os gráficos ds funções, ind não nos preocupndo em como construílos. Assim, por eemplo, sendo ddo o gráfico crtesino de um função f, podemos dizer que: ) projeção d curv sobre o eio dos, nos dá o domínio d função. b ) projeção d curv sobre o eio dos y, nos dá o conjunto imgem d função. c ) tod ret verticl que pss por um ponto do domínio d função, intercept o gráfico d função em no máimo um ponto. Por eemplo:

3 b) Função Decrescente Um função é dit decrescente em um intervlo b ; qundo umentmos o vlor de dentro desse intervlo e função diminui seu vlor. ATIVIDADES (REVISÃO) Teto pr s questões e. 8. Rízes ou zeros de um função As rízes de um função vlores de que tornm f 0 um vlor é riz de um função podemos dizer que 0 f. f são os. Ou sej, se f, (ENEM) No qudro bio estão s conts de luz e águ de um mesm residênci. Além do vlor pgr, cd cont mostr como clculá-lo, em função do consumo de águ (em m 3 ) e de eletricidde (em kwh). Observe que, n cont de luz, o vlor pgr é igul o consumo multiplicdo por um certo ftor. Já n cont de águ, eiste um trif mínim e diferentes fis de trifção. Grficmente podemos dizer que s rízes são os pontos do gráfico que estão sobre o eio ds bscisss. 0. Suponh que, no próimo mês, dobre o consumo de energi elétric dess residênci. O novo vlor d cont será de: 9. Função Crescente e Decrescente ) Função Crescente Um função é dit crescente em um intervlo b ; qundo umentmos o vlor de dentro desse intervlo e função ument seu vlor. ) R$ 55,0. b) R$ 06,46. c) R$ 80,00. d) R$ 00,00. e) R$, Suponh gor que dobre o consumo d águ. O novo vlor d cont será de: ) R$,90. b) R$ 06,46. c) R$ 43,8. d) R$ 7,40. e) R$,5.

4 03. (ENEM) A tbel compr o consumo mensl, em kwh, dos consumidores residenciis e dos de bi rend, ntes e depois d redução d trif de energi no estdo de Pernmbuco. jneiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e ssim por dinte, epressão lgébric que relcion esss quntiddes nesses meses é ) y = b) y = c) y = d) y = e) y = (ENEM) Um indústri fbric um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo totl pr fbricr um quntidde q de produtos é ddo por um função, simbolizd por CT, enqunto o fturmento que empres obtém com vend d quntidde q tmbém é um função, simbolizd por FT. O lucro totl (LT) obtido pel vend d quntidde q de produtos éddo pel epressão LT(q) = FT(q) CT(q). Considerndo-se s funções FT(q) = 5q e CT(q) = q + como fturmento e custo, qul quntidde mínim de produtos que indústri terá de fbricr pr não ter prejuízo? Diário de Pernmbuco. 8 br. 00 (dptdo). Considere dois consumidores: um que é de bi rend e gstou 00 kwh e outro do tipo residencil que gstou 85 kwh. A diferenç entre o gsto desses consumidores com kwh, depois d redução d trif de energi, mis proimd, é de ) R$ 0,7. b) R$ 0,9. c) R$ 0,3. d) R$ 0,34. e) R$ 0, (ENEM) O sldo de contrtções no mercdo forml no setor vrejist d região metropolitn de São Pulo registrou lt. Comprndo s contrtções deste setor no mês de fevereiro com s de jneiro deste no, houve incremento de 4300 vgs no setor, totlizndo trblhdores com crteir ssind. Disponível em: Acesso em: 6 br. 00 (dptdo). Suponh que o incremento de trblhdores no setor vrejist sej sempre o mesmo nos seis primeiros meses do no.considerndo-se que y e representm, respectivmente, s quntiddes de trblhdores no setor vrejist e os meses, ) 0 b) c) 3 d) 4 e) (ENEM) O prefeito de um cidde desej construir um rodovi pr dr cesso outro município. Pr isso, foi bert um licitção n qul concorrerm dus empress. A primeir cobrou R$ ,00 por km construído (n), crescidos de um vlor fio de R$ ,00, enqunto segund cobrou R$ 0.000,00 por km construído (n), crescidos de um vlor fio de R$ ,00. As dus empress presentm o mesmo pdrão de qulidde dos serviços prestdos, ms pens um dels poderá ser contrtd. Do ponto de vist econômico, qul equção possibilitri encontrr etensão d rodovi que tornri indiferente pr prefeitur escolher qulquer um ds proposts presentds? ) 00n = 0n + 50 b) 00n + 50 = 0n c) 00(n + 350) = 0(n + 50) d) 00(n ) = 0(n ) e) 350(n ) = 50(n ) 07. Um feculri (empres que produz frinh de milho, mndioc etc.) compõe os seus preços por dus funções: primeir, dos custos e mnipulção d mtéri-prim, dd por f() = 3 -, onde é quntidde de produto; segund,

5 g() = +, que diz respeito o processmento, emblgem e entreg às revends. Ou sej, o custo totl é composto pelos custos e mnipulção d mtéri-prim. Nesss condições, qul o preço de vend de um unidde? ) R$ 5,00 b) R$ 6,00 c) R$ 7,00 d) R$ 8,00 e) R$ 9,00 d) 08. (ENEM) Um empres de telefoni fi oferece dois plnos os seus clientes: no plno K, o cliente pg R$ 9,90 por 00 minutos mensis e R$ 0,0 por cd minuto ecedente; no plno Z, pg R$ 49,90 por 300 minutos mensis e R$ 0,0 por cd minuto ecedente. O gráfico que represent o vlor pgo, em reis, nos dois plnos em função dos minutos utilizdos é e) ) 09. (ENEM) O termo gronegócio não se refere pens à gricultur e à pecuári, pois s tividdes ligds ess produção incluem fornecedores de equipmentos, serviços pr zon rurl, industrilizção e comercilizção dos produtos. O gráfico seguinte mostr prticipção percentul do gronegócio no PIB brsileiro: b) c) Centro de Estudos Avnçdos em Economi Aplicd (CEPEA). Almnque bril 00. São Pulo: Abril, no 36 (dptdo). Esse gráfico foi usdo em um plestr n qul o ordor ressltou um qued d prticipção do gronegócio no PIB brsileiro e posterior recuperção dess prticipção, em termos percentuis.

6 Segundo o gráfico, o período de qued ocorreu entre os nos de ) 998 e 00. b) 00 e 003. c) 003 e 006. d) 003 e 007. e) 003 e (ENEM) Pr conseguir chegr um número recorde de produção de ovos de Pásco, s empress brsileirs começm se plnejr pr esse período com um no de ntecedênci. O gráfico seguir mostr o número de ovos de Pásco produzidos no Brsil no período de d) 0 e) 300. (UCSl-BA) Um resturnte cobr de seus clientes um preço fio por pesso: R$ 5,00 no lmoço e R$,00 no jntr. Certo di, dos 0 clientes que comprecerm esse resturnte, form tendidos no jntr. Se form gstos R$ 6,00 no prepro de cd refeição, epressão que define o lucro L, em reis, obtido nesse di, em função de é: ) L() = 0-70 b) L() = c) L() = d) L() = e) L() = Revist Vej, São Pulo: Abril, ed. 07, nº4, no 4. De cordo com o gráfico, o biênio que presentou mior produção cumuld foi ) b) c) d) e) Um lbortório testou ção de um drog em mostr de 70 frngos. Consttou-se que lei de sobrevivênci do lote de frngos er dd pel relção v( t) t b, onde v(t) é o número de elementos vivos no tempo t(meses). Sbendose que o último frngo morreu qundo t = meses pós o início d eperiênci, quntidde de frngos que ind estv viv no 0º mês é ) 80 b) 00 c) 0 3. (ENEM) Eistem muits diferençs entre s culturs crist e islâmic. Um ds principis diz respeito o Clendário. Enqunto o Clendário Cristão (Gregorino) consider um no como o período correspondente o movimento de trnslção d Terr em torno do Sol - proimdmente 365 dis, o Clendário Muçulmno se bsei nos movimentos de trnslção d Lu em torno d Terr - proimdmente por no, o que corresponde nos intercldos de 54 e 55 dis. Considerndo que o Clendário Muçulmno teve inicio em 6 d er crist e que cd 33 nos muçulmnos correspondem 3 nos cristãos, é possível estbelecer um correspondênci proimd de nos entre os dois clendários, dd por: (C = Anos Cristãos e M = Anos Muçulmnos) M ) C M b) C M 6 C. 3 M c) C M d) C M 6 C. 33 M e) C M Em um jornl de circulção ncionl foi publicd um pesquis, relizd no Brsil, com os percentuis, em função do no, de fmílis

7 composts por pi, mãe e filhos, chmds fmílis nucleres, e de fmílis resultntes de processos de seprção ou divórcio, chmds novs fmílis. Sbendo-se que os gráficos bio representm, prtir de 987, vrição percentul desses dois tipos de fmíli, com sus respectivs projeções pr nos futuros, é correto firmr: Pode-se concluir, então, que: ) A rrecdção d Receit Federl, de jneiro setembro de 007, foi crescente. b) Em setembro de 007, Receit Federl rrecdou 0% mis do que foi rrecddo em setembro de 006. c) A rrecdção de setembro de 007 foi,4% mior que de jneiro de 007. d) Em 007, rrecdção foi crescente nos períodos de fevereiro bril, e de mio gosto. e) No período de julho setembro de 007, rrecdção d Receit Federl foi decrescente. 6. A tbel bio mostr evolução d áre plntd e produção de cn-de-çúcr no estdo de Goiás, ns sfrs de 00/00 008/009. ) No no 030, o número de novs fmílis será igul o de fmílis nucleres. b) No no 030, o número de novs fmílis será menor do que o de fmílis nucleres. c) No no 030, o número de novs fmílis será mior do que o de fmílis nucleres. d) No no 05, o número de novs fmílis será igul o de fmílis nucleres. e) No no 0, o número de fmílis nucleres será menor do que de novs fmílis. 5. Receit bte novo recorde e cumul lt de quse 0%. Est foi mnchete dos jornlists Fbio Grner e Gustvo Freire pr O Estdo de S. Pulo de 9 de outubro de 007. O corpo d mtéri, ilustrd pelo gráfico bio, informv que rrecdção d Receit Federl em setembro totlizou R$ 48,48 bilhões, um recorde pr o mês. De jneiro setembro ficou em R$ 49,97 bilhões que, corrigidos pel inflção, somm R$ 435,0 bilhões, com crescimento de 9,94% nte o mesmo período de 006. O secretário djunto d Receit Federl destcou que, de jneiro setembro, epnsão ds receits,n comprção com igul período de 006, foi de,4%. Evolução d cn de çúcr no Estdo de Goiás Sfr Áre (h) plntd Produção (ton.) 0/ / / / / / / / * * estimtiv Fonte:IBGE.< Anlisndo os ddos presentdos, pode-se concluir que o gráfico que represent produtividde médi por hectre de cn-deçúcr no período considerdo é:

8 ) depois o gráfico II, onde pretende justificr um grnde umento n ofert de linhs. O fto é que, no período considerdo, form instlds, efetivmente, 00 novs linhs telefônics. b ) c ) Anlisndo os gráficos, pode-se concluir que: d ) ) o gráfico II represent um crescimento rel mior do que o do gráfico I. b) o gráfico I present o crescimento rel, sendo o II incorreto. c) o gráfico II present o crescimento rel, sendo o gráfico I incorreto. d) prente diferenç de crescimento nos dois gráficos decorre d escolh ds diferentes escls. e) os dois gráficos são incompráveis, pois usm escls diferentes. e ) 7. (ENEM) Pr convencer populção locl d ineficiênci d Compnhi Telefônic Viltel n epnsão d ofert de linhs, um político publicou no jornl locl o gráfico I, bio representdo. A Compnhi Viltel respondeu publicndo dis 8. (Uep) No processo de gerção de um sinl de vídeo por meio dos sensores CCD/CMOS, qunto mior quntidde de luz recebid por um determindo piel, mis intens corrente elétric gerd (efeito fotoelétrico n superfície fotossensível do piel) e, portnto, mior crg concentrd nos cumuldores individuis ssocidos cd piel. Em outrs plvrs, qunto mior luminosidde mior será corrente gerd. Ess relção no sensor é sempre diretmente proporcionl. O gráfico bio que melhor represent relção d luminosidde com voltgem é:

9 Fonte: Teto dptdo de mícrons ( mícron = milésimo de milímetro) em função d idde d obsidin. ) b) Com bse no gráfico, pode-se concluir que espessur d cmd hidrtd de um obsidin. c) ) é diretmente proporcionl à su idde. b) dobr cd nos. c) ument mis rpidmente qundo pedr é mis jovem. d) ument mis rpidmente qundo pedr é mis velh. e) prtir de nos não ument mis. d) 0. Os rios ultrviolet B, brevidos por UVB, tingem cmds mis profunds d pele e cusm, lém d vermelhidão, inibição d síntese de proteíns, ds mitoses e váris outrs lterções celulres. Esses rios são prcilmente bloquedos pel cmd de ozônio; no entnto, com diminuição dess cmd, penetrção dos rios UVB tem umentdo, o que ger um elevção potencil d incidênci de câncer de pele. e) 9. A obsidin é um pedr de origem vulcânic que, em contto com umidde do r, fi águ em su superfície formndo um cmd hidrtd. A espessur d cmd hidrtd ument de cordo com o tempo de permnênci no r, propriedde que pode ser utilizd pr medir su idde. O gráfico o ldo mostr como vri espessur d cmd hidrtd, em O tempo que se pode ficr eposto o Sol sem sofrer queimdurs cusds por rdição ultrviolet pode ser clculdo com bse no ftor de proteção solr (FPS), que é utilizdo pr clssificção dos filtros solres.

10 O coeficiente de eficiênci E() de um creme protetor é ddo por E( ), sendo o ftor de proteção solr (FPS) do creme. Cmil quer um creme protetor cujo coeficiente de eficiênci sej % mior do que o de um creme com FPS igul 8. El deve, portnto, dquirir um creme protetor com FPS igul c) ) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50. (ENEM) Acompnhndo o crescimento do filho, um csl consttou que, de 0 0 nos, vrição d su ltur se dv de form mis rápid do que dos 0 os 7 nos e, prtir de 7 nos, ess vrição pssv ser cd vez menor, té se tornr imperceptível. Pr ilustrr ess situção, esse csl fez gráfico relcionndo s lturs do filho ns iddes considerds. Que gráfico melhor represent ltur do filho desse csl em função d idde? d) e) ). (ENEM) Embor o Índice de mss Corporl (IMC) sej mplmente utilizdo, eistem ind inúmers restrições teórics o uso e às fis de normlidde preconizds. O Recíproco do Índice Ponderl (RIP), de cordo com o modelo lométrico, possui um melhor fundmentção mtemátic, já que mss é um vriável de dimensões cúbics e ltur, um vriável de dimensões lineres. As fórmuls que determinm esses índices são: b) ARAUJO, C.G.S.: RICARDO, D. R. Índice de Mss Corporl: Um QuestionmentoCientífico Bsedo em Evidêncis. Arq. Brs. Crdiologi, volume 79, nº, 00 (dptdo). Se um menin com 64 kg de mss, present IMC igul 5 kg/m², então el possui RIP igul ) 0,4 cm/kg /3. b),5 cm/kg /3. c) 8 cm/kg /3. d) 0 cm/kg /3.

11 e) 40 cm/kg /3. 3. O vlor de um encdernção, em gerl, depende do número de págins do mteril ser encderndo. Pr indicr os seus usuários o vlor de um encdernção simples em função do número de págins (no máimo 000 págins), um determind ppelri fiou num pinel seguinte representção gráfic: f 3 f ( ). Gráfico O gráfico de um função constnte é um ret horizontl. FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU. Definição Pul vi encdernr 4 postils ness ppelri: primeir com 80 págins, segund com, terceir com 390 e qurt com 750. Com bse nos vlores em reis, fidos no pinel, Pul vi gstr, pr encdernr s 4 postils: ) R$ 5,50 b) R$ 5,00 c) R$ 4,00 d) R$,00 e) R$,50 GABARITO 0-B 07-B 3-A 9-C A função do º gru tem form y b ou f b, com 0. EXEMPLO: y 0 f( ) 3 OBSERVAÇÃO coeficiente ngulr b coeficiente liner. Tipos de Função do º gru 0-C 08-D 4-C 0-E 03-B 09-C 5-E -A 04-C 0-E 6-C -E 05-D -D 7-D 3-B 06-A -E 8-C FUNÇÃO CONSTANTE. Definição k R. A função constnte tem form EXEMPLO: f k, onde ) Afim: é outro nome pr função de º gru. A função fim tmbém tem form f b com 0. b) Liner: tem form f, com 0, ou sej, b 0. Tod função liner pss pel origem, o ponto 0;0. c) Identidde: é um função liner especil que ssoci o o próprio. É função f. A função identidde é bissetriz dos qudrntes ímpres. 3. Gráfico

12 3.. Construção do gráfico de um função do º gru Pr construirmos o gráfico de um função do º gru bst sbermos dois pontos (pres ordendos) que fzem prte d função. Pr isso, tribuímos vlores letórios à e encontrmos o vlor de y ssocido. OBSERVAÇÕES 0 função crescente f b. 0 função decrescente Função decrescente Função crescente pertencerá à segund. Já se s rets forem prlels distints (pens mesmo coeficiente ngulr) não eistirá ponto de encontro entre els dus. Pr clculr o ponto de encontro do gráfico de qulquer função com os eios coordendos, bst tornr 0 (pr encontrr o ponto do eio y ) ou y 0 (pr encontrr o ponto do eio ). 3. Inequções de º gru Resolver um inequção de º gru é etremmente similr à resolver um equção de º gru, porém devemos tomr o cuiddo de que, o multiplicrmos um inequção por devemos inverter o sinl d desiguldde. Eercício de Aul 03) Resolv s inequções: ) b) Sistem de Inequções de º gru 3.. Determinção d função trvés do seu gráfico EXEMPLO: 0) Encontre função que determin o gráfico bio: Um sistem de inequções é formdo por dus ou mis inequções. Eercício de Aul 04) Resolv o sistem de inequções Inequções Simultânes 0) Encontre função que pss pelos pontos ; ;8. e 3.3. Ponto de intersecção de gráficos Pr clculr o ponto de encontro entre os gráficos de dus funções f e g quisquer, bst resolver equção f g. OBSERVAÇÕES Se s rets forem prlels coincidentes (mesmos coeficientes ngulr e liner), todo ponto que pertence à primeir tmbém Dizemos que um inequção é simultâne qundo eiste mis de um sinl de desiguldde nel. Eercício de Aul 05) Resolv 3. OBSERVAÇÃO Inequções do tipo c b d podem ser resolvids de um mneir mis rápid. Eercício de Aul 06) Resolv Inequção Produto Devemos esboçr o sinl de cd um dos ftores multiplicntes e, o finl, fzer o produto dos sinis obtidos trvés de um qudro de sinis.

13 Eercício de Aul 07) Resolv inequção Inequção Quociente. O procedimento é nálogo o d inequção produto, lembrndo que devemos ecluir os vlores de que nulm o denomindor. Eercício de Aul ) Resolv inequção 0 8. Inequções com termos do tipo ( + b) n Devemos observr que, precendo inequções produto ou quociente com números nturis elevdos devemos fzer um rciocínio nálogo o nterior, porém devemos lembrr que: Todo número elevdo à epoente pr se torn positivo. Todo número elevdo à epoente ímpr não mud seu sinl. Eercício de Aul ) Resolv inequção 00 ATIVIDADES A figur bio represent o boleto de cobrnç d menslidde de um escol, referente o mês de junho de 008. ) M() = ,4. b) M() = c) M() = ,4. d) M() = e) M() = ,4. 0. Newton quer imprimir folhetos com propgnd de su empres. N gráfic A, o custo pr montgem deste folheto é de R$ 0,00 e o vlor d impressão por unidde é R$ 0,0. A gráfic B cobr R$ 80,00 pr montgem e R$ 0,5 pr impressão de cd unidde. Após nálise cuiddos, Newton concluiu que: ) é vntgem fzer encomend n gráfic B pr qulquer quntidde de folhetos. b) gráfic A oferece um custo menor que B pr um número de folhetos menor que 800. c) se encomendr.000 folhetos d gráfic B, irá gstr R$ 30,00. d) se desejr.000 folhetos gstrá menos se encomendr d empres A. e) pr quntidde de 800 folhetos, o custo de qulquer ds empress é igul R$ 90, (ENEM) Um empres produz jogos pedgógicos pr jogdores, com custos fios de R$.000,00 e custos vriáveis de R$ 00,00 por unidde de jogo produzid. Desse modo, o custo totl pr jogos produzidos é ddo por C() = + 0, (em R$.000,00). A gerênci de empres determin que o preço de vend do produto sej de R$ 700,00. Com isso receit brut pr jogos é dd por R() = 0,7 (em R$.000,00). O lucro líquido, obtido pel vend de uniddes de jogos, é clculdo pel diferenç entre receit brut e os custos totis. O gráfico bio que model corretmente o lucro líquido dess empres, qundo são produzidos jogos, é ) Se M() é o vlor, em reis, d menslidde ser pg, em que é o número de dis em trso, então

14 selos de modo que fossem postdos etmente 500 folhetos do segundo tipo e um quntidde restnte de selos que permitisse o envio do máimo possível de folhetos do primeiro tipo. b) Quntos selos de R$ 0,65 form comprdos? ) 476 b) 675 c) 93 d) 965 e) 538 c) 05. O gráfico model distânci percorrid, em km, por um pesso em certo período de tempo. A escl de tempo ser dotd pr o eio ds bscisss depende d mneir como ess pesso se desloc. Qul é opção que present melhor ssocição entre meio ou form de locomoção e unidde de tempo, qundo são percorridos 0 km? d) ) crroç semn b) crro di c) cminhd hor d) biciclet minuto e) vião segundo e) 04- (ENEM) Um escol recebeu do governo um verb de R$ 000,00 pr envir dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor d escol pesquisou que tipos de selos deverim ser utilizdos. Concluiu que, pr o primeiro tipo de folheto, bstv um selo de R$ 0,65 enqunto pr folhetos do segundo tipo serim necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,0. O diretor solicitou que se comprssem 06. (ENEM) Dinte de um snduíche e de um porção de btts frits, um groto, muito interessdo n quntidde de cloris que pode ingerir em cd refeição, nlis os ddos de que dispõe. Ele sbe que porção de btts tem 00 g, o que equivle 560 cloris, e que o snduíche tem 50 g e 500 cloris. Como ele desej comer um pouco do snduíche e um pouco ds btts, ele se vê dinte de um questão: "quntos grms de snduíche e quntos grms de btt eu posso comer pr ingerir pens s 46 cloris permitids pr est refeição?" Considerndo que e y representm, respectivmente, em grms, s quntiddes do snduíche e ds btts que o groto pode ingerir, ssinle lterntiv correspondente à epressão lgébric que relcion corretmente esss quntiddes. ) +,8y = 46

15 b),8 + y =46 c),8 +,3y =.060 d) (/) + 0,4y = 46 e) 0,4 (/)y = Um pousd oferece pcotes promocionis pr trir csis se hospedrem por té oito dis. A hospedgem seri em prtmento de luo e, nos três primeiros dis, diári custri R$ 50,00, preço d diári for d promoção. Nos três dis seguintes, seri plicd um redução no vlor d diári, cuj t médi de vrição, cd di, seri de R$ 0,00. Nos dois dis restntes, seri mntido o preço do seto di. Nesss condições, um modelo pr promoção idelizd é presentdo no gráfico seguir, no qul o vlor d diári é função do tempo medido em número de dis. De cordo com os ddos e com o modelo, comprndo o preço que um csl pgri pel hospedgem por sete dis for d promoção, um csl que dquirir o pcote promocionl por oito dis frá um economi de ) R$ 90,00. b) R$ 0,00. c) R$ 30,00. d) R$ 50,00. e) R$ 70, Um empres fbric componentes eletrônicos; qundo são produzids 000 uniddes por mês, o custo de produção é R$ 35000,00. Qundo são fbricds 000 uniddes por mês, o custo é R$65000,00. Admitindo que o custo mensl sej um função polinomil de º gru em termo do número de uniddes produzids, podemos firmr que o custo (em reis) de produção de 0 (zero) unidde é: ) 000 b) 000 c) 5000 d) 3000 e) Com dus torneirs A e B, berts simultnemente, consegue-se encher um tnque de águ em 6 minutos. Encher esse tnque com torneir A bert e torneir B fechd demor 5 minutos mis do que com torneir A fechd e torneir B bert. O tempo necessário pr encher o tnque brindo pens torneir A é: ) 5 minutos b) 5 minutos e 30 segundos c) 6 minutos d) 6 minutos e 30 segundos e) 8 minutos 0. Um cmponês dquire um moinho o preço de R$ 860,00. Com o pssr do tempo, ocorre um deprecição liner no preço desse equipmento. Considere que, em 6 nos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com bse nesss informções, é correto firmr: ) Em três nos, o moinho vlerá 50% do preço de compr. b) Em nove nos, o preço do moinho será um múltiplo de nove. c) É necessário um investimento mior que R$ 450,00 pr comprr esse equipmento pós sete nos. d) Serão necessários 0 nos pr que o vlor desse equipmento sej inferior R$ 00,00. e) O moinho terá vlor de vend ind que tenh decorrido 3 nos.. Um ds regrs eistentes pr o cálculo d dosgem de medicção em crinçs de té nos, conhecid dosgem médi pr dultos, é regr de Young, dd por d D, em que d indic dosgem pr crinç, D indic dose médi pr dulto e, idde d crinç, em nos. Um peditr plicou regr de Young pr obter dosgem de um medicmento um crinç tendid em seu consultório e obteve-se dosgem et de 6 mg. Sbendo-se que, pr dultos, dosgem médi desse medicmento é de 30 mg, idde (em nos) dess crinç é: ) b) 3 c) 4 d) 6 e) 7. Num frmáci de mnipulção, fez-se um mistur de mg de um produto P e 40 mg de um outro produto. Com ess mistur, obteve-se um quntidde, em mg, mior que o triplo d quntidde usd do produto P. Com bse nesss informções, pode-se concluir que, em mg,

16 ) 0 < < 0 b) = 0 c) 0 < < 40 d) 40 < < 0 e) > 0 3. O núncio colocdo em um plc inform que, durnte s féris, s biciclets serão lugds medinte o pgmento de um t fi de R$ 3,50, crescid de R$,5 por hor de luguel. A fim de determinr por qunto tempo(t) um pesso pode lugr um biciclet, dispondo de R$ 0,00, pode-se recorrer à equção: ),5 + 3,50 t = 0,00 b),5 t 6,50 = 0 c) 4,75 t 0,00 = 0 d),5 t = 8,75 e) 3,50 t = 6,50 4. Pulo é fbricnte de brinquedos e produzdetermindo tipo de crrinho. A figur bio mostr os gráficos ds funções custo totl e receit, considerndo produção e vend de crrinhos fbricdos n empres de Pulo. serviço efetudo pelo eletricist A em função do número de metros de fio utilizdos. O preço cobrdo por um outro eletricist B depende unicmente do número de metros de fio utilizdo, não sendo cobrd visit. O preço do serviço é de R$ 3,50 por metro de fio utilizdo. Com bse no eposto, está corret firmção d lterntiv: ) Se forem utilizdos 40 metros de fio, o preço cobrdo pelos eletricists A e B será o mesmo. b) O eletricist A cobr R$,50 por metro de fio utilizdo. c) A prte fi cobrd pelo eletricist A é de R$ 30,00. d) Por 50 m de fio, o eletricist A cobrrá R$ 90,00. e) Sendo necessários 60 metros de fio, convém contrtr o eletricist B. Eistem custos tis como: luguel, folh de pgmentodos empregdos e outros, cuj som denominmos custo fio, que não depende d quntidde produzid, enqunto prcel do custo que depende d quntidde produzid, chmmos de custo vriável. A função custo totl é som do custo fio com o custo vriável. N empres de Pulo, o custo fio de produção de crrinhos é: ) R$.600,00 b) R$.800,00 c) R$.400,00 d) R$.800,00 e) R$.000,00 5. O preço totl cobrdo por um eletricist A inclui um prte fi, referente à visit, e outr que depende d quntidde de metros de fio utilizd no serviço. O gráfico bio present o vlor do 6. Pulo comprou um utomóvel fle que pode ser bstecido com álcool ou com gsolin. O mnul d montdor inform que o consumo médio do veículo é de 8 km por litro de álcool ou km por litro de gsolin e recomend que, em hipótese lgum, o usuário utilize um mistur dos dois combustíveis, sob pen de suspender grnti. Considerndo que Pulo respeite recomendção do fbricnte e que os preços por litro de álcool e de gsolin sejm, respectivmente, e y reis, utilizção de gsolin será economicmente mis vntjos qundo: ) y b) 0,5 y c) y,5 y d),6

17 e) 0,6 y 7. Um crro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e km com um litro do combustível constituído de 75% de gsolin e de 5% de álcool, composição dotd, tulmente, no Brsil. Recentemente, o Governo brsileiro cenou pr um possível redução, ness mistur, d porcentgem de álcool, que pssri ser de 0%. Suponh que o número de quilômetros que esse crro percorre com um litro dess mistur vri linermente de cordo com proporção de álcool utilizd. Então, é CORRETO firmr que, se for utilizdo um litro d nov mistur propost pelo Governo, esse crro percorrerá um totl de ),0 km. b),35 km. c),50 km. d),60 km. e),65 km. 05-C -B 7-A 06-A -A 8-D FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU 9. Definição A função do º gru tem form y 0. Eemplos b c y 3 f 5 ou f b c 0 0, com 8- (ENEM) O Slto Triplo é um modlidde do tletismo em que o tlet dá um slto em um só pé, um pssd e um slto, ness ordem. Sendo que o slto com impulsão em um só pé será feito de modo que o tlet ci primeiro sobre o mesmo pé que deu impulsão; n pssd ele cirá com o outro pé, do qul o slto é relizdo. 0 0 Disponível em: (dptdo). Um tlet d modlidde Slto Triplo, depois de estudr seus movimentos, percebeu que, do segundo pr o primeiro slto, o lcnce diminuí em, m, e, do terceiro pr o segundo slto, o lcnce diminuí,5 m. Querendo tingir met de 7,4 m ness prov e considerndo os seus estudos, distânci lcnçd no primeiro slto teri de estr entre 0 0. Crcterístics ) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. d) 8,0 m e 9,0 m. A função de º gru não é injetor, nem sobrejetor. O domínio é o conjunto dos números reis (R). GABARITO O gráfico d função de º gru é um prábol. 0-C 07-A 3-B 0-D 08-C 4-C 03-B 09-A 5-A 04-C 0-E 6-C. Zeros d função Pr clculr s rízes ou zeros de um função de º gru f b c usmos fórmul:

18 b, onde b 4c O gráfico d função de º gru toc o eio y no ponto 0 ;c. Obvimente se c 0, o gráfico tocrá o eio y no ponto 0 ;0, ou sej, pssrá pel origem. OBSERVAÇÕES Som ds rízes: S b Pr clculr função qudrátic sbendo s, onde sus rízes: f é o coeficiente de de f., e e são s rízes Produto ds rízes P. c 4. Vértice d prábol. Análise do Discriminnte (Delt) 0 : Dus rízes reis 0 : Dus rízes reis distints iguis 0 : Não possuirízes reis 3. Gráfico O gráfico de um função qudrátic é um prábol. A concvidde d prábol é determind pelo coeficiente de. Observe que concvidde d prábol depende do vlor de, n epressão f b c. 0 : função tem dus rízes reis distints e o gráfico tocrá o eio em dois pontos distintos (cort o eio). 0 : função tem dus rízes reis iguis e o gráfico tocrá no eio em um único ponto (tngenci o eio). 0 : função não tem rízes reis e o gráfico não tocrá o eio em nenhum ponto. Vértice: do ltim vertice s.m., cume; ápice; cimo; culminânci onde se reúnem s dus linhs de um ângulo. 6.. Coordends do Vértice As coordends do vértice serão: b v A ordend (y) do vértice é encontrd substituindo o n form gerl f b c v encontrmos: y v 4 Assim o vértice será o ponto: b V ; 4 e OBSERVAÇÕES 6.. Vlor Máimo e Vlor Mínimo

19 Nesse primeiro cso, em que concvidde d prábol é voltd pr cim 0, observe que o vértice é o ponto mis inferior d prábol e, o menor vlor que prábol ssume (seu vlor mínimo) será ddo por: V mín y V 4 Já no segundo cso, observmos que função ssume qulquer vlor menor que o y, que é seu vlor máimo. Assim teremos: Se 0 Se 0 Im y R / y 4 Im y R / y 4 V 6.4. Eio de Simetri Já no segundo cso, em que concvidde d prábol é voltd pr bio 0, observe que o vértice é o ponto mis superior d prábol e, o mior vlor que prábol ssume (vlor máimo) será ddo por: V má y V 4 Trçndo-se um ret verticl que psse pelo vértice dividimos o gráfico em dus prtes simétrics. Observe imgem: 6.3. Imgem d função qudrátic A imgem de um função é um conjunto que contém todos os vlores possíveis que est função pode ssumir. Grficmente ele represent sombr do seu gráfico projetdo no eio y. Assim observe s figurs: Perceb que independentemente se 0 ou 0, o eio de simetri sempre será ret verticl v ou b Crescimento e decrescimento d função qudrátic Nesse primeiro cso, observmos que função ssume qulquer vlor mior que o y, que é seu vlor mínimo. V A função de º Gru, o contrário d de º Gru não é monotônic. El present um intervlo onde é crescente e um intervlo onde é decrescente. Distinguimos dois tipos:

20 6. Inequção de º gru O primeiro fzer é tirr s rízes, igulndo zero. Depois fzemos o esboço do gráfico e observmos o(s) intervlo(s) onde se stisfz desiguldde. Eercício de Aul Nesse primeiro cso 0, função é crescente pr vlores de miores que V e é decrescente pr vlores de menores que. V ) Resolv s inequções: ) b) 3 0 c) 8 0 d) Sistem de inequções Já nesse segundo cso 0 crescente pr vlores de menores que decrescente pr vlores de miores que Resumindo: Eercício de Aul, função é V e é V. b Crescente : Se 0 b Decrescente : b Crescente : Se 0 b Decrescente : 0) Clcule s coordends do vértice, determine o vlor máimo/mínimo, imgem, o eio de simetri e os intervlos de crescimento / decrescimento de f Sinis d função (esboço do gráfico) Devemos tentr etrir s rízes e observr qul dos csos função se enci. Após isso prte do gráfico cim do eio é positiv e bio do eio é negtiv. Resolvem-se s dus ou mis inequções que eistirem no sistem, tirm-se os intervlos resultntes de cd inequção seprdmente e solução fr-se-á com intersecção de todos os intervlos que form obtidos. 8. Inequção produto e Inequção quociente Resolvemos de mneir idêntic às de termos em º gru, porém devemos ter o cuiddo de observr cuiddosmente os esboços e fzer o qudro de sinl correto. Tmbém devemos lembrr de ecluir d solução finl os vlores de que tornem nulo o denomindor. Eercício de Aul ) Resolv s seguintes inequções: ) 3 0 b) 3 3 ATIVIDADES 0 0-Ciss tem 0 céduls em su crteir: lgums de 5 reis e s demis de 0 reis. Se o qudrdo do número de céduls de 5 reis, crescido de 5 uniddes, é menor que o dobro do número de céduls de 0 reis, então qunti que el pode ter n crteir deve ser no mínimo igul ; ) R$ 60,00 b) R$ 65,00

21 c) R$ 70,00 y d) R$ 75,00 e) R$ 80,00 0-Sbe-se que o polinômio P() = pode ser decomposto n form P() = ( + ) (- + ). Representndo s funções reis f() = + e g() = - +, num mesmo sistem de coordends crtesins, obtém-se o gráfico bio: figur I função f() y 3 f y f figur II função g().. -. ) ou < 3 b) < ou 3 Tendo por bse pens o gráfico, é possível resolver inequção < 0. Todos os vlores de que stisfzem ess inequção estão indicdos n seguinte lterntiv: ) ou / b) ou c) ou -/ d) - -/ ou 03-As figurs bio mostrm s funções f() e g(), representds pelos seus gráficos f () crtesinos. A solução d inequção 0 g() é: c) < ou 3 d) 3 e e) e 04-Por um mensgem dos Estdos Unidos pr o Brsil, vi f, Empres de Correio e Telégrfos (ECT) cobr R$,37 pel primeir págin e R$ 0,67 por págin que se segue, complet ou não. Qul número mínimo de págins de um desss mensgens pr que sue preço ultrpsse o vlor de R$ 0,00 ) 8 b) 0 c) d) 4 e) 6 05-Um fábric de determindo componente eletrônico tem receit finnceir dd pel função R() ² 0 30 e o custo de produção dd pel função C() 3 30, em que vriável represent o número de componentes fbricdos e vendidos. Se o lucro é ddo pel receit finnceir menos o custo de produção, o número de componentes que deve ser fbricdo e vendido pr que o lucro sej máimo é: ) 3 b) 96

22 c) 30 d) 6 e) A figur ilustr recomendções dos especilists em visão pr o posicionmento correto de um indivíduo dinte d tel do computdor: e) Chm-se Lucro (L), ssocido à produção e vend de um certo produto, diferenç entre Receit (R) referente à su vend e o Custo (C) de su produção. Pr determindo produto, um empres ssoci o Custo e Receit à quntidde produzid q pels equções: R = 8q q 5 8 q e C = +, onde 0 q 40 5 É incorreto firmr que: ) o Lucro máimo ocorre qundo q = 6 e é igul R$39,0; b) pr 0 < q < 30 o Lucro é negtivo, isto é, há prejuízo; c) o Lucro é nulo pr q = e q = 30; d) o Lucro é crescente pr 3 < q < ; Seguindo-se tis recomendções e dmitindose cos 0º = k, todos os comprimentos possíveis d linh de visd (v), em cm, estão no intervlo ) v k k e) o Lucro é decrescente pr q > Observe est figur: y b) c) d) v k k 65 k v 60 v k 60 k 65 k e) 30 v k 65 k 07-Pr comemorr su formtur, um turm de lunos d Universidde de Fortlez pretende relizr um vigem e, pr tl, fretr um vião com 00 lugres. A empres locdor estipulou que cd luno prticipnte deverá pgr R$ 400,00 crescidos de um dicionl de R$ 5,00 por cd lugr vgo. Pr que, com esse fretmento, receit d empres sej mior possível, quntos lunos deverão prticipr d vigem? ) 55 b) 58 c) 70 Ness figur, estão representdos os gráficos ds funções: f () e g() = 3 5 Considere os segmentos prlelos o eio y, com um ds etremiddes sobre o gráfico d função f e outr etremidde sobre o gráfico d função g. Entre esses segmentos, sej S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é: ) b) 3 4 d) 88

23 c) d) Um jogdor de futebol se encontr um distânci de 0 m d trve do gol dversário, qundo chut um bol que vi bter etmente sobre ess trve, de tur m. Se equção d trjetóri d bol em relção o sistem de coordends indicdo n figur é y = ² + ( ), ltur máim tingid pel bol é: y 0 P(0,) ) retngulr, com 80m de áre. b) qudrd, com 00m de áre. c) retngulr, com dimensões 30m 0m. d) qudrd, com 0m de ldo. e) retngulr, com 56m de áre. 3-Num certo instnte, um pedr é lnçd de um ltur de 0 m em relção o solo e tinge o chão pós 60 segundos. A ltur d pedr em relção o solo, em função do tempo, pode ser representd por um função do segundo gru, cujo gráfico está representdo bio. ltur, em metros ) 6,00 m b) 6,0 m c) 6,05 m 0 A h d) 6,0 m e) 6,50 m B tempo, em segundos -Um luno que se preprv pr o vestibulr.000 resolveu dotr função f(t) = -t + 4t 33, 3 t, pr determinr o número de hors por di que ele deveri estudr no t-ésimo mês do no. Em vist disso, é correto firmr que ) ele iniciou su preprção estudndo dus hors por di b) o número máimo de hors estudds por di ocorreu no mês de julho c) o número máimo de hors estudds por di nunc ultrpssou 7h d) o número de hors/di estudds em outubro foi mior que em setembro e) o número máimo de hors estudds por di ocorreu no mês de setembro -Desej-se construir um cs térre de form retngulr, de modo que ocupe totlmente áre do terreno. O retângulo onde cs será construíd tem 80m de perímetro. Sbendo que áre d cs deve ser mior possível, podemos firmr que cs será: A ltur máim h, tingid pel pedr, é de proimdmente ) 0,4 m b) m c),5 m d) m e),4 m 4-Um veículo foi submetido um teste pr verificção do consumo de combustível. O teste consisti em fzer o veículo percorrer, váris vezes, em velociddes constntes, um distânci de 00 km em estrd pln, cd vês um velocidde diferente. Observou-se então que, pr velociddes entre 0 km/h e 0 km/h, o consumo de gsolin, em litros, er função d velocidde, conforme mostr o gráfico seguinte.

24 Consumo (litros) b) trás do gol Velocidde (km/h) Se esse gráfico é prte de um prábol, quntos litros de combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à velocidde de 0 km/h? c) dentro do gol d) ntes d linh do gol 6-A figur seguir represent trjetóri prbólic de um projétil, disprdo pr cim, prtir do solo, com um cert inclinção. O vlor proimdo d ltur máim, em metros, tingid pelo projétil é: Altur (m) 0 ) 0 b) c) 4 d),5 e) 8 0 solo 00 ) 550 b) 535 c) 50 d) 505 Alcnce(m) 5-Num prtid de futebol, no instnte em que os rios solres incidim perpendiculrmente sobre o grmdo, o jogdor Chorão chutou bol em direção o gol, de,30 m de ltur intern. A sombr d bol descreveu um ret que cruzou linh do gol. A bol descreveu um prábol e qundo começou cir d ltur máim de 9 metros, su sombr se encontrv 6 metros d linh do gol. Após o chute de Chorão, nenhum jogdor conseguiu tocr n bol em movimento. A representção gráfic do lnce em um plno crtesino está sugerid n figur seguir: e) Num lbortório é relizd um eperiênci com um mteril volátil, cuj velocidde de voltilizção é medid pel su mss, em grms, que decresce em função do tempo t, em hors, de cordo com fórmul m = -3 t 3 t Assim sendo, o tempo máimo de que os cientists dispõem pr utilizr este mteril ntes que ele se voltilize totlmente é: ) inferior 5 minutos b) superior 5 minutos e inferior 30 minutos c) superior 30 minutos e inferior 60 minutos d) superior 60 minutos e inferior 90 minutos A equção d prábol er do tipo: X Y C 36 e) superior 90 minutos e inferior 0 minutos 8-Um projétil é lnçdo do lto de um morro e ci num pri, conforme mostr figur bio. O ponto onde bol tocou pel primeir vez foi: ) n bliz

25 h b) 3 c) 3 morro d) 0 pri d e) 36 Sbendo-se que su trjetóri é descrit por h = -d + 00d + 404, onde h é su ltitude (em m) e d é o seu lcnce horizontl (em m), ltur do lnçmento e ltitude máim lcnçd são, respectivmente: ) superior 400m e superior 0 km b) superior 400m e igul 0 km c) superior 400m e inferior 0 km d) inferior 400m e superior 0 km e) mior que 0 9-O lucro de um microempres, em função do número de funcionários que nel trblhm, é ddo, em milhres de reis, pel fórmul L(n) 36n 3n. Com bse nesss informções, pode-se firmr que o lucro dess microempres é máimo qundo nel trblhm: ) 6 funcionários b) 8 funcionários c) 0 funcionários d) funcionários 0-Um engenheiro, estudndo resistênci de um vig de certo mteril, obteve os seguintes ddos: -O imposto de rend é clculdo pel fórmul: i = r p. Se um contribuinte teve um rend líquid r de R$ 9.00,00 no no de 00 e nesse no líquot, pr ess fi de rend, foi estipuld em 5% sendo prcel deduzir p de R$ 3.560,00. Qul é o vlor do imposto ser pgo por este contribuinte á receit federl? ) R$.600,00 b) R$.00,00 c) R$.00,00 d) R$.5,00 e) R$ 980,00 -Os cintos de segurnç dos utomóveis são postos teste trvés de impctos de colisão (energi cinétic). Esse impcto de colisão é clculdo pel fórmul I = kmv, onde m é mss, v é velocidde e k um constnte. Se um crro de 000 kg tem su velocidde triplicd, o que contece com o impcto de colisão? ) é multiplicdo por 3 b) é multiplicdo por 9 c) é dividido por 3 d) nul-se e) duplic 3-O lucro mensl de um fábric é ddo por O engenheiro suspeit que deformção D pode ser dd em função do peso por um epressão do tipo D() = + b + c. Usndo os ddos d tbel, ele escreve um sistem de equções lineres e determin os vlores dos coeficientes, b, c. O vlor de é: ) 9 L() = onde é quntidde mensl de uniddes fbricds e vendids de um certo bem, produzido por est empres e L é epresso em Reis (Obs.: Rel unidde monetári). O mior lucro mensl possível que empres poderá ter é ddo por: ) R$ 890,00 b) R$ 90,00

26 c) R$ 980,00 d) R$.080,00 e) R$.80,00 4-Um setor de um metlúrgic produz um quntidde N de peçs dd pel função N() 0, hors pós inicir sus tividdes diáris. Inicindo sus tividdes às 6 hors, o número de peçs produzids no intervlo de tempo entre s 7 e s 9 hors, será igul : ) 39 b) 50 c) 5 d) 6 e) 8 5-Considere que o mteril usdo n confecção de um certo tipo de tpete tem um custo de R$ 40,00. O fbricnte pretende colocr cd tpete à vend por reis e, ssim, conseguir vender (00 ) tpetes por mês. Nesss condições, pr que, menslmente, sej obtido um lucro máimo, cd tpete deverá ser vendido por ) R$ 55,00 b) R$ 60,00 c) R$ 70,00 d) R$ 75,00 e) R$ 80,00 6-Um gricultor precis cercr um espço reservdo um hort com formto retngulr. A cerc pr três ldos d hort cust R$ 40,00 o metro e cerc pr o qurto ldo cust R$ 60,00 o metro. O gricultor dispõe de R$ 70,00 pr gstr n cerc. Que dimensões ele deve dr esse espço pr mimizr su áre? 7-A função A() (L ) represent áre de um jrdim retngulr ser construído, rente um muro, onde L é o comprimento do rmdo de que disponho pr cercr os três ldos restntes. Sbendo-se que = 5 dá um áre de 0, o outro vlor de que dá est mesm áre é: ) 0 b) c) d) 3 e) 4 8-Dus empress dispõem de ônibus com 60 lugres. Pr um ecursão, Águi Dourd cobr um t fi de R$ 400,00 mis R$ 5,00 por pssgeiro, enqunto Cisne Brnco cobr um t fi de R$ 50,00 mis R$ 9,00 por pssgeiro. O número mínimo de ecursionists pr que o contrto com Águi Dourd fique mis brto que o contrto com Cisne Brnco é: ) 37 b) 4 c) 38 d) 39 e) 40 9-Considere situção: um cnhão de irrigção está loclizdo no ponto (0, 0) de um sistem de eios crtesinos. O cnhão lnç águ formndo um chuv que, em su superfície mis lt, segue um trjetóri prbólic dd pel função f() 0, em que unidde considerd é o metro. O cnhão tmbém reliz um movimento de rotção em torno do eio y. A áre irrigd é de ) 4,5m 3m b) 5,4m 3m c) 4,5m 3,6m d) 5,4m 3,6m e) 6,m 3,m ) 00 m b) 50 m

27 c) 0 m d) 00 m e) 00 m águ sejm colineres, que primeir bomb estej loclizd n origem de um sistem crtesino e que o ponto mis lto d curv formd pelo jto dess bomb tenh coordends (, ). 30-Por ocsião d inugurção de um edifício, um promotor de eventos decidiu fzer uso simultâneo ds projeções de um jto de águ e de um cnhão de luz efetuds prtir de um pequeno prédio vizinho, loclizdo 8 metros do edifício novo. O jto será lnçdo prtir do teto do pequeno prédio ( 9 metros de ltur) e, pós eecutr su trjetóri prbólic, tingirá bse do prédio novo. O cnhão de luz, por su vez, será disprdo prtir do chão, d bse do pequeno prédio. Seu feie de luz trvessrá etmente o vértice d prábol de águ e tingirá o topo do novo edifício, que se encontr 36 metros de ltur (conforme figur bio). O jto de águ e o feie de luz se encontrrão, prtir do solo, à ltur de Com bse nos tetos e em seus conhecimentos, é correto firmr que função que determin prábol representd no jto d águ e o ponto no qul esse jto cheg o solo são, respectivmente, ) f() = 4; P(, 0) b) f() = 4; P(, 0) c) f() = + + 4; P(, 0) d) f() = 4; P(, 0) e) f() = + 4; P(, 0) f) I.R. 3-Sejm s funções f e g definids em R por f ( ) e g( ), em que e são números reis. Considere que ests funções são tis que ) metros. b) metros. c) 3 metros. d) 4 metros. e) 5 metros. 3-N grvur bio, é possível observr s trjetóris prbólics descrits pel águ jogd por meio de dus bombs. Considere que s bombs e os pontos de lcnce tingidos pel Então, som de todos os vlores de pr f og 0 é igul : os quis ) 0 b) c) 4

28 d) 6 e) 8 GABARITO 0-E 09-D 7-E 5-C 0-D 0-C 8-A 6-C 03-A -B 9-A 7-B 04-D -D 0-D 8-C 05-D 3-A -D 9-E 06-A 4-D -B 30-B 07-B 5-C 3-A 3-E 08-B 6-D 4-E 3-D f) 0 4 0, 00 4) Determine qul o pr ; y que é solução do sistem y y Inequções eponenciis. É tod inequção que tenh vriável no epoente. Pr resolvermos um inequção eponencil devemos trnsformr inequção dd em iguldde de mesm bse, de mneir nálog à solução ds equções eponenciis; pr isso, plicremos s definições e proprieddes d potencição. Eistem dois csos básicos de inequção eponencil: º cso) A bse em questão é tl que teremos que:. Assim FUNÇÃO EXPONENCIAL. Equções Eponenciis É tod equção que tenh vriável no epoente. Pr resolvermos um equção eponencil devemos trnsformr equção dd em iguldde de mesm bse, ou sej, devemos obter potêncis de mesm bse no primeiro e no segundo membros d equção; pr isso, plicremos s definições e proprieddes revists d potencição. Isso se deve o fto de que, se função é crescente, logo, umentndo o vlor de, tmbém se ument o vlor de se diminui o vlor de. ; e diminuindo o vlor de, tmbém Se, conservmos o sinl d desiguldde n inequção eponencil. Eercícios de Aul 3) Resolv s seguintes equções eponenciis: ) 64 b) c) d) e) º cso) A bse em questão é tl que 0. Assim teremos que: Isso se deve o fto de que, se 0 função é, o vlor de decrescente, logo, umentndo o vlor de, o vlor de diminuirá; e diminuindo o vlor de umentrá. Se 0, invertemos o sinl d desiguldde n inequção eponencil.

29 Eercícios de Aul Compre os dois tipos de funções 5) Resolv s seguintes inequções eponenciis: ) b) 0, 0, 3. Função Eponencil Chmmos de função eponencil (ou eponencil f, definid pr todo rel, com 0 e. clássic) tod função do tipo f D R Im( f ) Gráfico d função eponencil * R Função Crescente / Função Decrescente OBS:Já sbemos que pr um função eponencil d form f função é crescente, se e decrescente, se 0. Anlisremos gor qundo um função eponencil de outrs forms é crescente ou decrescente. FUNÇÃO LOGARÍTMICA. Definição log b b Função crescente ( > ) Onde : bse b : logritmndo :logritmo Eercício de Aul 6) Clcule os seguintes logritmos: ) log 8 b) log 3 8 c) log 5 5 d) log 3. Condições de eistênci Função decrescente (0 < < )

30 Pr que o log b eist é necessário que: 0 e b 0 n log b. log b n log b log b Eercício de Aul 7) Determine o domínio ds seguintes funções: ) f log 3 b) f log 5 0 c) log 3 f 3. Conseqüêncis d definição log 0 log log n n log b b log b log c b c Eercício de Aul 8) Clcule o vlor ds seguintes epressões: Eercícios de Aul 9) Desenvolv o logritmo simplificndo s operções em b log 3 c 0) Considerndo 0, 3 ) log 6 b) log 7. log e log 3 0, 48. Clcule: ) Considerndo 0, 30 s seguintes equções eponenciis: ) 6 b) Mudnç de bse log e log 3 0, 48, resolv Podemos efetur um mudnç n bse do logritmo d seguinte form: ) b) log5 0.log 5 log 3 log b log log c c b 4. Proprieddes opertóris log b. c log b log c b c log log b log c n log b n. log b Eercício de Aul ) Clcule o vlor ds epressões: ) 5.log 8 b) log 3 5 log 77 log 89 8

31 6. Equções logrítmics São equções que envolvem logritmos. Eistem dois tipos básicos; queles que são resolvids plicndo-se definição e quels que são resolvids igulndo-se s bses e, consequentemente, os logritmndos. Em mbos os csos, devemos verificr se s soluções encontrds stisfzem s condições de eistênci do logritmo em questão. São quels que presentm incógnit no logritmndo ou n bse do logritmo. Eercícios de Aul Isso se deve o fto de que, se 0 função é decrescente, logo, umentndo o vlor de, o vlor de log diminuirá; e diminuindo o vlor de, o vlor de log umentrá. Se 0, invertemos o sinl d desiguldde n inequção logrítmic. Eercício de Aul 4) Resolv s seguintes inequções logrítmics: ) log 6 log log 3 4 log 3 b) 5 3) Resolv s seguintes equções logrítmics: ) 3 log 4 5 log 3 3 log log 5 b) 8. Inequções logrítmics Eistem dois csos básicos de inequção logrítmic: º cso) A bse em questão é tl que. Assim teremos que: 9. Função logrítmic Eistem dois tipos pr o gráfico de Função crescente y log : log log log log Isso se deve o fto de que, se função é crescente, logo, umentndo o vlor de, tmbém se ument o vlor de tmbém se diminui o vlor de log ; e diminuindo o vlor de, log. Se, conservmos o sinl d desiguldde n inequção logrítmic. D * f R Im f R 0 Função decrescente º cso) A bse em questão é tl que 0. Assim teremos que: log log log log

32 b) 6. c) 4. d). e) 0. ATIVIDADES 0-Um instituição finnceir oferece um tipo de plicção tl que, pós t meses, o montnte reltivo o cpitl plicdo é ddo por M(t) = C 0,04 t, onde C > 0. O menor tempo possível pr qudruplicr um cert qunti plicd nesse tipo de plicção é ) 5 meses. b) nos e 6 meses. c) 4 nos e meses. d) 6 nos e 4 meses. e) 8 nos e 5 meses. 0-Um substânci que se desintegr o longo do tempo tem su quntidde eistente, pós t nos, dd por M(t) M (,4 ), onde M 0 represent quntidde inicil. A porcentgem d quntidde eistente pós 000 nos em relção à quntidde inicil M 0 é, proimdmente, ) 4% b) 8% c) 40% d) 56% e) 7% 03-A posição de um objeto A num eio numerdo 7 0,5t é descrit pel lei onde t é o tempo 8 8 em segundos. No mesmo eio, move-se o objeto B, de cordo com lei t. Os objetos A e B se encontrrão num certo instnte t AB. O vlor de t AB, em segundos, é um divisor de: ) 8. t 04-Um progrm computcionl, cd vez que é eecutdo, reduz à metde o número de linhs verticis e de linhs horizontis que formm um imgem digitl. Um imgem com 048 linhs verticis e 04 linhs horizontis sofreu um redução pr 56 linhs verticis e 8 linhs horizontis. Pr que ess redução ocorresse, o progrm foi eecutdo k vezes. O vlor de k é: ) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 kt 05-A função c(t) 003, com k /, dá o crescimento do número C, de bctéris, no instnte t em hors.o tempo necessário, em hors, pr que hj, ness cultur,.800 bctéris, está no intervlo: ) [0, 4]. b) [4, ]. c) [, 36]. d) [36, 7]. e) [7, 08]. 06-No finl d décd de 830, o fisiologist frncês Jen Poiseuille descobriu que o volume V de sngue que corre em um rtéri por unidde de tempo, sob pressão constnte, é igul à qurt potênci do rio r d rtéri multiplicdo por um 4 constnte, V k(r). Pr um umento percentul de 0% no rio d rtéri, o umento percentul no volume de sngue é de ) 46,4% b) 0,50% c) 0,% d) 40% e) 44%

33 07-Após beber um tnto de cchç um motorist pss ter 4 grms de álcool por litro de sngue. Se isso ocorrer n hor zero, pós t hors o motorist terá 4. (0,5) t grms de álcool por litro de sngue. Nesss condições, quntidde de álcool em seu sngue será h() ) inferior 0,5 g/l se t 3.,0m b) superior 0,5 g/l se t 5. c) igul 0,5 g/l se t 8. 0,5m 0,5m,0m,0m,0m d) inferior 0,5 g/l se t. e) superior 0,5 g/l se t N figur, os gráficos I, II e III referem-se, respectivmente, às funçôes y =, y = b e y = c. Então, está correto firmr que: I y II III Se prte curv pudesse ser ssocid um função, est função seri: ) h() 3. b) c) h() h() 5. d) h(). 0 ) 0 < < b < c. e) h(). b) 0 < b < c <. c) < 0 < b < c. d) 0 < < c < b. e) < 0 < c < b. 09-Suponh que, pós t dis de observção, populção de um cultur de bctéris é dd, t pel epressão P( t) P o. 0 05, n qul P o é populção inicil d cultur (instnte t = 0). Quntos dis serão necessários pr que populção dess cultur sej o quádruplo d inicil? ) 0 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 0-Um rmp pr mnobrs de skte é representd pelo esquem: -Um empres compnh produção diári de um funcionário recém-dmitido, utilizndo um função f(d)., cujo vlor corresponde o número mínimo de peçs que empres esper que ele produz em cd di (D), prtir d dt de su dmissão. Considere o gráfico uilir bio, que represent função y = e. - -,7 y 0,37 0,3 y=e Utilizndo f(d) = e -0,d e o gráfico cim, empres pode prever que o funcionário lcnçrá produção de 87 peçs num mesmo di, qundo d for igul : ) 5

34 b) 0 c) 5 d) 0 -Pelos progrms de controle de tuberculose, sbe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em nos, do seguinte modo: R = R o e -kt, em que R o é o risco de infecção no início d contgem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção tul em Slvdor foi estimdo em %. Suponh que, com implntção de um progrm nest cidde, fosse obtid um redução no risco de 0% o no, isto é, k = 0%. Use tbel bio pr os cálculos necessários: e 8, 9,0 0,0,0,,,,3,4,5 O tempo, em nos, pr que o risco de infecção se torne igul 0,%, é de: ) b) c) 3 d) 4 3-Segundo ddos de um pesquis, populção de cert região do pís vem decrescendo em relção o tempo t, contdo em nos, proimdmente, segundo relção P(t) = P(0). -0,5t. Sendo P(o) um constnte que represent populção inicil dess região e P(t) populção t nos pós, determine quntos nos se pssrão pr que ess populção fique reduzid à qurt prte d que er inicilmente. ) 6 b) 8 c) 0 d) e) 5 4-O número de indivíduos de um certo grupo é ddo por f () 0, sendo o tempo 0 medido em dis. Desse modo, entre o º e o 3º di, o número de indivíduos do grupo ) umentrá em etmente 0 uniddes. b) umentrá em etmente 90 uniddes. c) diminuirá em etmente 9 uniddes. d) umentrá em etmente 9 uniddes. e) diminuirá em etmente 90 uniddes. 5-O vlor de certo tipo de utomóvel decresce com o pssr do tempo de cordo com função t Vt A. 3, sendo t o tempo medido em nos, V o vlor do crro no instnte t e A o preço inicil do veículo. O tempo necessário pr que esse utomóvel psse custr de seu vlor 8 inicil, em nos, é: ) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 6-A trjetóri de um slto de um golfinho ns proimiddes de um pri, do instnte em que ele siu d águ (t = 0) té o instnte em que mergulhou (t = T), foi descrit por um observdor trvés do seguinte modelo mtemático h(t) = 4t t. 0,.t, com t em segundos, h(t) em metros e 0 t T. O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve for d águ durnte este slto foi ). b). c) 4. d) 8. e) 0. 7-O esboço o ldo represent fchd de um cpel projetd por um rquiteto, n qul, s dus curvs principis são gráficos de funções eponenciis. Considerndo, ind, os ddos rbiscdos no esboço, pode-se concluir que ltur h d cpel deve vler, proimdmente:

35 0-Um médico, o trtr um infecção grve de um pciente, necessit dministrr doses de um ntibiótico. A eliminção d drog pelo orgnismo ocorre segundo um função eponencil. Sbe-se que, pós hors, concentrção do medicmento no orgnismo do pciente é de 0% d dose dministrd, entretnto é necessário mnter um concentrção mínim de 40% d dose dministrd inicilmente. Considerndo tbel de logritmos fornecid bio, o máimo intervlo de hors, pós o qul deve ser dministrd um nov dose do ntibiótico, de modo mnter concentrção d drog em um nível sempre superior ou igul 40% d dose dministrd, é de proimdmente ) 8m. b) m. c) 9m. d) m. e) 7m. 8-O número N de bctéris de um cultur é ddo, em função do tempo t, em hors, por N(t) = 0 5 4t. Supondo log = 0,3, o tempo necessário pr que o número inicil de bctéris fique multiplicdo por 00 é: ) hors e minutos b) hors e minutos c) hor e 40 minutos d) hor e 5 minutos e) hors e 0 minutos 9-Um computdor desvloriz-se eponencilmente em função do tempo, de modo que seu vlor y, dqui nos, será y A k, em que A e k são constntes positivs. Se hoje o computdor vle R$5 000,00 e vlerá metde desse vlor dqui nos, seu vlor dqui 6 nos será: ) R$ 65,00 b) R$ 550,00 c) R$ 575,00 d) R$ 600,00 e) R$ 650,00 ) 5 hors e 38 minutos. b) 6 hors. c) 6 hors e minutos. d) 6 hors e 5 minutos. e) 7 hors e 5 minutos. -Um médico, pós estudr o crescimento médio ds crinçs de um determind cidde, com iddes que vrivm de nos, obteve fórmul h = log (0 0,7. i ), onde h é ltur (em metros) e i é idde (em nos). pel fórmul, um crinç de 0 nos dest cidde terá de ltur: ) 70 cm b) 3 cm c) 5 cm d) 8 cm e) 30 cm -N décd de 30 do século pssdo, Chrles F. Richter desenvolveu um escl de mgnitude de terremotos - conhecid hoje em di por escl Richter -, pr quntificr energi, em Joules, liberd pelo movimento tectônico. Se energi liberd nesse movimento é representd por E e mgnitude medid em gru Richter é representd por M, equção que relcion s dus grndezs é dd pel seguinte equção logrítmic:

36 log 0 E =,44 +,5 M Comprndo o terremoto de mior mgnitude ocorrido no Chile em 960, que tingiu 9.0 n escl Richter, com o terremoto ocorrido em Sn Frncisco, nos EUA, em 906, que tingiu 8.0, podemos firmr que energi liberd no terremoto do Chile é proimdmente ) 0 vezes mior que energi liberd no terremoto dos EUA. b) 5 vezes mior que energi liberd no terremoto dos EUA. c) vezes mior que energi liberd no terremoto dos EUA. d) 3 vezes mior que energi liberd no terremoto dos EUA. 3-A intensidde dos terremotos é medid por sismógrfos que utilizm Escl Richter. A mgnitude M de um terremoto é dd pel equção M log P, onde P é potênci P referênci do terremoto e P referênci é um potênci de referênci (constnte pr todos os csos estuddos). Recentemente, no Oceno Índico, ocorrerm mremotos que gerrm onds gigntes, fetndo vários píses d região. O mis forte tingiu, proimdmente, mgnitude de 9,0 grus n Escl Richter; um outro, posterior, tingiu 6,0 n mesm escl. Em função do eposto cim, pode-se firmr que: ) A potênci tingid pelo primeiro terremoto é 00 vezes menor que potênci do segundo terremoto. b) A potênci tingid pelo segundo terremoto é 0 vezes mior que potênci do primeiro terremoto. c) A potênci tingid pelo primeiro terremoto é 000 vezes mior que potênci do segundo terremoto. d) A potênci tingid pelo segundo terremoto é 000 vezes mior que potênci do primeiro terremoto. 4-O ph de um solução quos é definido pel epressão: ph = -log[h + ], em que [H + ] indic concentrção, em mol/l, de íons de hidrogênio n solução e log, o logritmo n bse 0. Ao nlisr um determind solução, um pesquisdor verificou que, nel, concentrção de íons de hidrogênio er [H + ] = 5, mol/l. Pr clculr o ph dess solução, ele usou os vlores proimdos de 0,30 pr log, e de 0,48, pr log 3. Então, o vlor que o pesquisdor obteve pr o ph dess solução foi ) 7,6 b) 7,3 c) 7,58 d) 7,74 5-De cordo com pesquis feit n últim décd do século XX, epecttiv de vid em cert região é dd, em nos, pel função E t 50logt 49, sendo t o no de nscimento d pesso. Considerndo-se log000 3,3, um pesso dess região, que tenh nscido no no 000, tem epecttiv de viver: ) 68 nos b) 76 nos c) 84 nos d) 9 nos 6-Um populção de insetos diminui em conseqüênci d plicção de um inseticid t segundo função P(t) 300(0), em que P(t) é o número de insetos no tempo t, medido em semns, sendo t 0 o tempo em que o inseticid foi plicdo. O tempo pr que populção tinj 0% do tmnho inicil é de, proimdmente, (Ddo: log 0 5 0,7) ) 5 dis b) mês c) 5 dis d) di e) 0 dis 7-Suponh que, num colôni de fungos, mss biológic de su populção, no instnte t (hors), denotd por m(t), sej dd pel

37 t epressão m(t) grms. [Considere 0 que log 0 () 0, 3 ] De cordo com o ritmo de crescimento populcionl estbelecido por ess epressão, mss d populção de fungos, em 50 hors, é d ordem de ) 00g. b) 0g. c) 0000g. d) 000g. 8-A ltur médi do tronco de cert espécie de árvore, que se destin à produção de mdeir, evolui, desde que é plntd, segundo o seguinte modelo mtemático: h(t) =,5 + log 3 (t+), com h(t) em metros e t em nos. Se um desss árvores foi cortd qundo seu tronco tingiu 3,5 m de ltur, o tempo (em nos) trnscorrido do momento d plntção té o do corte foi de: b) 5 hors c) 6 hors d) 5 hors e 4 min e) 5 hors e 30 min GABARITO 0-C 07-A 3-B 9-A 5-C 0-E 08-D 4-D 0-D 6-C 03-C 09-C 5-D -A 7-C 04-A 0-C 6-E -D 8-B 05-C -B 7-C 3-C 9-E 06-A -C 8-C 4-A 30-A TRIGONOMETRIA ) 9. b) 8. c) 5. d) 4. e). 9-O vlor de um utomóvel (em uniddes monetáris) sofre um deprecição de 4% o no. Sbendo-se que o vlor tul de um crro é de uniddes monetátirs, depois de quntos nos o vlor desse crro será de uniddes monetáris? Use o vlor 0,3 pr log e o vlor 0,48 pr log 3. ) 3 b) 6 c) 0 d) 5 e) 3 30-Um cidente de crro foi presencido por /65 d populção de Votuporng (SP). O número de pessos que soube do contecimento t hors pós é ddo por: f (t) B Ce kt onde B é populção d cidde. Sbendo-se que /9 d populção soube do cidente 3 hors pós então o tempo que pssou té que /5 d populção soubesse d notíci foi de: ) 4 hors

38 . Medids de Arcos e Ângulos Ângulos complementres têm co-funções iguis Sistem Gru sen B b cos C Gru ( ) d circunferênci Minuto ( ) do gru cos B c sen C 60 Segundo ( ) do minuto ou 3600 do gru tg B b c cotg C Sistem Rdino 0 r B A comp ( AB). Funções Trigonométrics no Triângulo Retângulo r c cotg B tg C b sec B cossec C EXERCÍCIOS c b C 0. (FUVEST-SP) Um móvel prte de A e segue num direção que form com ret AB um ângulo cossec B sec de C 30. Sbendo-se que o móvel cminh b com um velocidde constnte de 50 km/h. pós 3 hors de percurso, distânci que o móvel se encontr de AB é de: A seno co-seno c B ct. oposto hipot. tngente ct. oposto ct. djc. ct. djc. hipot. ) 75 km b) 75 3 km c) 50 3 km d) 75 km e) 50 km 0. (PUC-RS) De um ponto A, no solo, visndo bse B e o topo C de um bstão colocdo verticlmente no lto de um colin, sob ângulos de 30 e 45, respectivmente. Se o bstão mede 4 m de comprimento, ltur d colin, em metros, é igul :

39 A ) 3 b) c) d) ( 3 +) e) ( 3 +3) C B ) 3 m 3 b) m 3 c) 3 m 6 d) 3 m e) 3 m 3 0 A 03. (UNIFOR-CE) Um coqueiro tem 6 m de ltur e seu topo é visto dos pontos A e B, sob ângulo de 45 e 30, como represent figur seguir. 0 D 03 D 04 E A B Se esses pontos estão linhdos com bse do coqueiro, quntos metros, proimdmente, A dist de B? (pr seus cálculos, suponh que =,4 e 3 =,7) ) 9,5 b) 9,6 c) d) 6,4 e) 8,9 Relções num Triângulo Qulquer I. Lei dos Senos As medids dos ldos são proporcionis os senos dos ângulos opostos e constnte de proporcionlidde é medid do diâmetro d circunferênci circunscrit. sen A b sen B A c sen C R 04. (VUNESP) A figur represent o perfil de um escd cujos degrus têm todos mesm etensão e mesm ltur. Se AB = m e BĈA mede 30, então medid d etensão de cd degru é: c O b R A B C B C II. Lei dos Cossenos O qudrdo de um ldo, é som dos qudrdos dos ldos restntes, menos o

40 duplo produto desses dois ldos pelo co-seno do ângulo que eles formm. 04-(FATEC-SP) Dd figur: = b + c. b. c cos A b = + c.. c cos B c = + b.. b. cos C EXERCÍCIOS 0- (UNIFOR-CE) N figur bio os ângulos têm s medids indicds em grus e os segmentos têm s medids indicds em centímetros. onde o ângulo AĈD = e o comprimento de AC = 3: ) BC = 3 sen b) BC = -3 cos 05 c) BC = 3 tg d) BC = -3 sen e) BC = 3 cos vlor de é: ).( 3 ) b) 3 c) 5 d) 3 e) 5 0-(CENTEC-BA) Considere-se um triângulo ABC, de ldos, b e c, opostos os vértices A, B e C, respectivmente. Se = 3 cm, b = cm e C = 0, então o perímetro desse triângulo mede: ) (4-3 ) cm b) 4 cm c) (4 + 7 ) cm d) (4 + 3 ) cm e) 7 cm 05. (VUNESP-SP) O qudrilátero bio represent plnt de um terreno plno. Seus ângulos internos B e C medem, respectivmente, 90 e 35 e os ldos AB, BC, CD têm o mesmo comprimento, igul 30 m. Nests condições, áre do terreno vle, em m : D 30 A 35 C B 30 ) 450. ( 3 + ) b) 450. ( + ) c) 450. ( 3 - ) e) (MACK-SP) A áre do triângulo OPQ ssinld n figur é: 03-(UNIP-SP) Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo medir 0 cm e som dos senos de seus ângulos internos for igul, então áre do círculo, em cm, será igul : O Q 4 ) 50 b) 75 c) 00 d) 5 ) 5 e) 50 4 b) 5 8

41 c) d) 3 e) (CESGRANRIO) Um dos ângulos internos de um prlelogrmo de ldos 3 e 4 mede 0. A mior digonl desse prlelogrmo mede: ) 5 b) 6 c) 40 d) 37 e) 6,5 08. (FGV-SP) Qul é áre do triângulo d figur bio: b) ( +) c) 8 ( 3 +) d) ( +) e) ( 3 +) GABARITO 0 A 0 D 03 C 04 B 05 B 06 B D C ) 4 Função Domínio Imgem I II III IV Pr ou Ímpr Período Sinis sen IR [-;] Ímpr sen(-) = -sen cos IR [-;] Pr cos = cos (-) tg π nπ IR Ímpr tg(-) = -tg π + + π π + + _ + _ + Gráficos y = sen y = tg 0 / 3 / 0 - y = cos / / 3 / 0 / 3 / -

42 3. Relções Fundmentis e Auilires F.I.) sen + cos = F E D C B F.II.) F.III.) F.IV.) sen tg cos cotg cossec tg sen cos sen G H I J Pr brir esse cofre são necessáris cinco operções, girndo o dispositivo de modo que set sej colocd dos seguintes ângulos: K L A A.I.) sec = + tg I. no sentido nti-horário; 3 A.II.) cossec = + cotg II. 3 no sentido horário; 4. Adição e Subtrção de Arcos cos ( b) = cos. cos b sen. sen b sen ( b) = sen. cos b cos. sen b 5. Arco tg ( Duplo tg tgb b) tg. tgb cos (. ) = cos sen = sen (. ) = sen. cos.tg tg (. ) - tg = cos = sen ATIVIDADES 0-O dispositivo de segurnç (segredo) de um cofre tem o formto d figur o ldo, onde s posições A, B,, L estão igulmente espçds e posição inicil d set, qundo está fechd, é indicd. III. IV. V. 5 no sentido nti-horário; 3 no sentido horário; 4 no sentido nti-horário. 3 Pode-se, então, firmr que o cofre será berto qundo set estiver indicndo: ) o ponto médio entre G e H. b) lgum ponto entre J e K. c) o ponto médio entre C e D. d) posição I. e) posição A. 0-N figur bio, temos dus circunferêncis concêntrics. O rio d circunferênci mior mede 4m e o d menor m. Com relção o comprimento, em metros, dos rcos A, B e C, é correto firmr que ) A = B C

43 ) A = B 3C c) A = B 3C/ d) A = B C/4 e) A = B C 03-No momento em que si de cs, André, que tem,80m de ltur AB, energ o topo de um velh mngueir do sítio onde reside sob um ângulo de 30º com horizontl. Após cminhr 8m em direção ess árvore, ele vê o topo d mesm sob um ângulo de 60º. I. O ângulo que o ponteiro ds hors descreve, em grus, é metde do numero que mrc os minutos; II. Ds 8 hors às 8 hors e minutos, o ponteiro ds hors nd 6 o ; III. Às 8 hors e minutos, os ponteiros formm um ângulo conveo que mede 4 o. IV O ponteiro dos minutos mede 0cm. Em minutos su etremidde descreve um rco de comprimento, 56cm. 05-O gráfico em setores do círculo de centro O represent distribuição ds iddes entre os eleitores de um cidde. O diâmetro AB mede 0 5 cm e o comprimento do menor rco AC é cm. 3 C B y o A z Se necessário, use 3, 73. Com bse nesss informções, pode-se estimr que ltur, MP, dess mngueir, em metros, é proimdmente igul : O setor represent todos os eleitores com menos de 8 nos, e o setor y represent os eleitores com idde entre 8 e 30 nos, cujo número é ) 000 b) c) ) 6,45 b) 7,38 c) 7,94 d) 8,7 04-Respond os testes seguir de cordo com os códigos: ) se tods estão incorrets b) somente I e III estão correts d) e) N figur bio está sombred região compreendid entre o segmento OP, circunferênci de rio, centrd n origem, e o qudrdo circunscrito ess circunferênci. Os ldos do qudrdo são prlelos os eios OX e OU. Considere que o segmento OP form um ângulo com o eio OX. Qundo 0 áre 4 A() está representd n figur seguir. c) somente II e IV estão correts d) somente I e III estão correts e) se tods estão correts

44 ) o ângulo do setor correspondente vlnches e deslizmentos é 0 8. b) o ângulo do setor correspondente terremotos e tsunmis é 0. c) som dos ângulos dos setores correspondentes às tempestdes e furcões e secs é de 33. A áre A() d região sombred em função do ângulo é dd por ) b) tg A( ) A( ) tg c) A ( ) d) A ( ) d) diferenç entre os ângulos dos setores correspondentes às inundções e resscs e vlnches e deslizmentos é e) porcentgem de tempestdes e furcões é de 8%. f) I.R. 08-Um pizz circulr será ftid, prtir do seu centro, em setores circulres. Se o rco de cd setor medir 0,8 rdino, obtém-se um número máimo N de ftis idêntics, sobrndo, no finl, um fti menor, que é indicd n figur por fti N +. e) A( ) (4 ) 07-Nos últimos 50 nos, o registro de fenômenos destrutivos cresceu quse 0 vezes, grçs à tecnologi e o umento populcionl. Os blos sísmicos e sus conseqüêncis como os tsunmis mtm, em médi, tnts pessos qunto s inundções e resscs oceânics. No entnto, em termos reltivos, os terremotos são muitíssimo mis mortis, já que tingem cerc de 6 vezes menos gente no mundo do que s enchentes. O gráfico mostr freqüênci reltiv (porcentgem) de cd ctástrofe e, pr um dels, o ângulo do setor. Considerndo = 3,4, o rco d fti N +, em rdino, é ) 0,74. b) 0,7. c) 0,68. d) 0,56. e) 0, Em um cidde freqüentd por vijntes em féris, estim-se que o número de pessos empregds depend d époc do no, e pode ser proimd pel função: N 0 sen() Com bse nos tetos e em seus conhecimentos, é correto firmr que em que, N é o número de pessos empregds (em milhres) e = 0 represent o início do no 005, = o início do no 006 e ssim por

45 dinte. O número de empregdos tinge o menor vlor: ) No início do º trimestre de cd no. b) No início do trimestre de cd no. c) No início do 3º trimestre de cd no. d) No início e no meio de cd no. e) No início do 4º trimestre de cd no. 0-O igrpé Tucundub sepr geogrficmente o Cmpus Universitário do Gumá UFPA em Belém, em dus prtes. Unindo esss prtes, eiste um ponte de pouc ltur, em ferro pr pedestres. Pr chegr o mercdo, o brco São Benedito deve pssr por debio d ponte. Dus dificulddes em gerl contecem: mré está muit bi e o brco não pode nvegr; ou mré está muito lt e ponte impede o brco de entrr. O São Benedito tem um cldo (prte do brco bio d linh d águ) de,3 metro e su ltur cim d linh d águ é de,9 metro. O fundo do igrpé está 0, metro cim do nível do mr e ponte, 4,5 metros cim do nível do mr. Às dez hors d mnhã de hoje, mré estrá em premr (nível mis lto d mré) de 3, metros cim do nível do mr e às dezesseis hors estrá em bi-mr (nível mis bio d mré) de 0,8 metro cim do nível do mr. Modelndo oscilção d mré como um função do tipo f(t) = A + B sen(ct+d), onde t é o tempo e A, B, C e D são constntes, o primeiro horário, pós s dez hors, e o último horário, ntes ds dezesseis hors, em que o brco São Benedito poderá pssr por debio d ponte são, respectivmente, e) h30min e 3h30min. -N figur seguir tem-se prte do gráfico d função f, de IR em IR, definid por f () cos, no qul estão destcdos os pontos A e B. Os pontos A e B pertencem à ret de equção:. B ) - 3y - = 0 b) + 3y - = 0 c) - 3y + = 0 d) + 3y - = 0 e) - 3y - = 0 -N figur bio tem-se prte do gráfico d função f, de IR em IR, dd por f() = k.cós t. y y. A 0 - Nesss condições, clculndo-se k t obtém-se: ) 3 b) c) 0 ) 0h30min e 5h30min. b) h e 5h. c) h30min e 4h30min. d) h e 4h. d) e) Considere um circunferênci de centro n origem (0, 0) e rio igul. Um ponto P percorre est circunferênci, dus vezes em um segundo,

46 no sentido nti-horário, prtir do ponto (, 0). Supondo su velocidde constnte, função que represent vrição d su ordend y em função do tempo t, em segundos, é: y Áre= ) f() = sen (4t) b) f() = cos (4t) c) f() = sen (t) d) f() = cos (t) e) f() = sen (t) 4-Medindo-se t em hors e 0 t < 4, sirene de um usin está progrmd pr sor em cd t instnte t, em que sen é um número inteiro. 6 De qunts em qunts hors sirene d fábric so? ) De seis em seis hors. b) De qutro em qutro hors. A prtir dess informção, pode-se concluir que áre limitd pelos gráficos de f() = cos e f() = 0, no intervlo é: ) 0 b) c) d) e) / 7-Sbe-se que h é o menor número positivo pr o qul o gráfico de y sen( h) é: c) De três em três hors. d) De oito em oito hors. y 5-O gráfico bio corresponde à função: y Então, h cos é igul ) 3 ) y = sen b) y = sen () c) y = sen + d) y = sen e) y = sen (4) 6-O luno que estudr Cálculo poderá provr com fcilidde que áre d superfície pln limitd pelos gráficos de f() = sen e f() = 0, no intervlo 0 bio, é igul., como ilustr o gráfico b) c) d) e) 3 8-A figur seguir mostr prte de um ond senoidl que foi isold pr um pesquis:

47 3 e). Qul ds lterntivs melhor represent equção d ond pr o período presentdo? ) y sen 6 b) y sen c) y sen 3 d) y sen 3 e) y sen 6 9-Sbe-se que h é o menor número positivo pr o qul o gráfico de y = sen( h) é 0-Um supermercdo, que fic berto 4 hors por di, fz contgem do número de clientes n loj cd 3 hors. Com bse nos ddos observdos, estim-se que o número de clientes poss ser clculdo pel função trigonométric f () sen em que f() é o número de clientes e, hor d observção ( é um inteiro tl que 0 4). Utilizndo ess função, estimtiv d diferenç entre o número máimo e o número mínimo de clientes dentro do supermercdo, em um di completo, é igul : ) 600. b) 800. c) 900. d) 500. e) A figur bio é compost por dois eios perpendiculres entre si, X e Y, que se intersectm no centro O de um círculo de rio, e outro eio Z, prlelo Y e tngente o círculo no ponto P. A semi-ret OQ, com Q pertencente Z, form um ângulo com o eio Y / -- / / 3 / Então 3 ). b). c). d). cos h é igul 3 Podemos firmr que o vlor d medid do segmento PQ é ) sec b) tg c) cotg d) cos -Um máquin produz dirimente dezens de certo tipo de peçs. Sbe-se que o custo de produção C() e o vlor de vend V() são ddos,

48 proimdmente, em milhres de reis, respectivmente, pels funções C() = cos e V () 3 sen, 0 6. O lucro, 6 em reis, obtido n produção de 3 dezens de peçs é: cm D cm E ) 500. C b) 750. c) 000. cm d) 000. e) N figur bio tem-se o gráfico de um função f, de IR em IR, definid por f() k.sen m, em que k e m são constntes 8 reis, e cujo período é. 3 A cm Se os ldos têm s medids indicds, então medid do ldo BE, em centímetros, é ) 7 b) 6 c) 5 d) B e) 3 5-Em um ru pln, um torre AT é vist por dois observdores X e Y sob ângulos de 30º e 60º com horizontl, como mostr figur bio: T O vlor de ) 3 b) c) d) e) 3 9 f é 3 4-N figur bio têm-se os triângulos retângulos ABC, BCD e BDE. 60º 30º A X Y Se distânci entre os observdores é de 40m, qul é proimdmente ltur d torre? (Se necessário, utilize, 4 e 3, 7 ). ) 30m b) 3m c) 34m d) 36m e) 38m

49 6-N figur bio tem-se um observdor O, que vê o topo de um prédio sob um ângulo de 45. A prtir desse ponto, fstndo-se do prédio 8 metros, ele tinge o ponto A, de onde pss ver o topo do mesmo prédio sob um ângulo tl que 7 cot g. 6 form: de um ponto X, situdo n beir do rio, vistou o topo de um árvore n beir d mrgem opost, sob um ângulo de 45 com horizontl. Recundo 30 m, té o ponto Y, visou novmente o topo d mesm árvore, registrndo 30 com horizontl. Desconsiderndo ltur do topógrfo e sbendo que árvore e os pontos X e Y estão linhdos perpendiculrmente o rio, é correto firmr que lrgur proimd do rio, em metros, é: 45 O A ltur do prédio, em metros, é ) 30 3 b) 48 c) 0 3 A ) 6 3 b) 5 c) 5 d) e) 30 9-Observe biciclet e tbel trigonométric. d) 4 e) N figur bio, s rets r e s representm dus estrds que se cruzm em C, segundo um ângulo de 30. Um utomóvel estciondo em A dist 80 m de um outro estciondo em B. Sbendo que o ângulo BÂC é 90, distânci mínim que o utomóvel em A deve percorrer té tingir o ponto B seguindo por s e r é: ângulo (grus) seno 0,7 0,9 0,08 0,5 0, cosseno tngente 0,985 0,98 0,978 0,97 0,970 0,76 0,94 0,3 0,3 0,49 r B C s ) 80 m b) 60 m c) 3 80 m. d) 3 80 m. A Os centros ds rods estão um distânci PQ igul 0 cm e os rios PA e QB medem, respectivmente, 5 cm e 5 cm. De cordo com tbel, o ângulo AÔP tem o seguinte vlor: ) 0º b) º c) 3º d) 4º e) 40 3 m. 8-Um topógrfo que necessitv medir lrgur de um rio, sem trvessá-lo, procedeu d seguinte 30-Em um prque de diversões há um brinquedo que tem como modelo um vião. Esse brinquedo está ligdo, por um brço AC, um eio centrl girtório CD, como ilustr figur bio:

50 B C instnte, lgo se desprende d nve e ci em qued livre, conforme mostr figur. A que ltitude se encontr esse disco vodor? A D Enqunto o eio gir com um velocidde ngulr de módulo constnte, o piloto dispõe de um comndo que pode epndir ou contrir o cilindro hidráulico BD, fzendo o ângulo vrir, pr que o vião sub ou desç. Ddos: AC 6m ; BC CD m ; m BD 3m ; 3; 3,7. A medid do rio r d trjetóri descrit pelo ponto A, em função do ângulo, equivle : ) 6 sen ^ d Considere s firmtivs: I- A distânci d é conhecid; II- A medid de ˆ tg ˆ são conhecids. b) 4 sen c) 3 sen d) sen 3-Considere o cubo d figur e s linhs nele trçds. E H D C Então, tem-se que: ) I sozinh é suficiente pr responder à pergunt, ms II, sozinh, não. b) II sozinh é suficiente pr responder à pergunt, ms I sozinh, não. c) I e II, junts, são suficientes pr responder à pergunt, ms nenhum dels, sozinh,não é. G B d) mbs são, sozinhs, suficientes pr responder à pergunt. F A e) pergunt não pode ser respondid por flt de ddos. É incorreto firmr que: ) o triângulo GAH é retângulo. b) s medids ds áres dos triângulos GAH e CAH são iguis. c) os ângulos GÂH e CÂH são coplnres. d) o seno do ângulo BÂC é. e) tngente do ângulo GÂH é. 3-Um disco vodor é vistdo, num região pln, um cert ltitude, prdo no r. Em certo 33-Um esteir rolnte de um supermercdo com dois ndres fz um ângulo de 30º com o plno determindo pelo piso inferior. Assinle o que for correto, considerndo o comprimento d esteir metros. ) Um pesso que si do piso inferior e vi o piso superior se elev 6 (seis) metros. b) Fltm ddos pr se clculr ltur totl que um pesso se elev o ir do piso inferior o piso superior utilizndo esteir. c) Se um pesso cminh metros n esteir durnte o percurso entre o piso inferior e o piso superior, então pesso se elev, no totl, 5 (cinco) metros.

51 d) Um pesso que si do piso inferior e vi o piso superior se elev 6 3 metros. ) e e) Se um pesso cminh metros n esteir durnte o percurso entre o piso inferior e o piso superior, então pesso se elev, no totl, 5 3 metros. 34-Um estção E, de produção de energi elétric, e um fábric F estão situds ns mrgens oposts de um rio de lrgur km. 3 Pr fornecer energi F, dois fios elétricos ligm E, um por terr e outro por águ, conforme figur. Supondo-se que o preço do metro do fio de ligção por terr é R$,00 e que o metro do fio de ligção pel águ é R$ 30,00, o custo totl, em reis, dos fios utilizdos é: b) c) d) e e e 36-O topo de um torre e dois observdores, X e Y, estão em um mesmo plno. X e Y estão linhdos com bse d torre. O observdor X vê o topo d torre segundo um ângulo de 45º, enqunto Y, que está mis próimo d torre, vê o topo d torre segundo um ângulo de 60º. Se distânci entre X e Y é 30,4m, qul o inteiro mis próimo d ltur d torre, em metros? (Ddos: use s proimções tg(45º) = e tg(60º),73). ) b) c) d) e) Observe tentmente simetri d figur bio. ) 7m b) 74m c) 76m d) 78m e) 80m Sbendo-se que sen 6, então os vlores 9 de sen e sen são, 6 6 respectivmente, 37-Um observdor, situdo no ponto P de um prédio, vê três pontos, Q, R e S, num mesm verticl, em um prédio vizinho, conforme esquemtizdo n figur bio. P e Q estão num mesmo plno horizontl, R está 6 metros cim de Q, e S está 4 metros cim de Q. Verific-se que o ângulo do triângulo QPR é igul o ângulo do triângulo RPS. O vlor, em metros, que mis se proim d distânci entre P e Q é: