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1 ESTUDOS FUNENSE 4 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas Paulo Pereira Ferreira * Abril de 7 * Sócio Consultor da Towers Perrin, Mestre em Estatística e diplomado pela UFRJ, Professor da área de seguros nos cursos de graduação em Atuária da UFRJ e de pós-graduação da Funenseg, FV-SP, PUC-RJ e da Universidade Candido Mendes UCAM-RJ), Membro da International Actuarial Association IAA) e da Comissão de Ética do Instituto Brasileiro de Atuária IBA), autor do livro "Modelos de Precificação e Ruína para Seguros de Curto Prazo", publicado pela Funenseg. paulo.ferreira@towersperrin.com

2 Escola Nacional de Seguros FUNENSE Presidente Robert Bittar Vice-Presidente Mauro César Batista Diretor Executivo Renato Campos Martins Filho Diretor de Ensino e Produtos Nelson Victor Le Cocq d Oliveira Diretor de Pesquisa e Desenvolvimento Claudio Contador Diretor Regional de São Paulo João Leopoldo Bracco de Lima erente Executiva Paola Young Casado Barros de Souza Conselho de Administração Robert Bittar Paulo Roberto Sousa Thomaz Miguel Junqueira Pereira Mauro César Batista Alexandre Penner Vandro Ferraz da Cruz Tânia Ramos de Moraes Conselho Fiscal Lúcio Antônio Marques Maria Elena Bidino Vera Melo Araújo Eliezer Fernandes Tunala Severino José de Lima Filho João Ricardo Pereira Unidades Funenseg Rio de Janeiro RJ Matriz) Rua Senador Dantas, 74 - térreo, ª sobreloja., 3º e 4º and. - Centro Tel.: 33- faleconosco@funenseg.org.br Rio de Janeiro RJ Av. Franklin Roosevelt, 39 - sobreloja - Castelo Tel. : 33- Blumenau SC Tel.: nucleosc@funenseg.org.br Brasília DF Tel.: nucleodf@funenseg.org.br Campinas SP Tel.: apoiocampinas@funenseg.org.br Curitiba PR Tel.: nucleopr@funenseg.org.br oiânia O Tel.: apoiogoias@funenseg.org.br Porto Alegre RS Tel.: nucleors@funenseg.org.br Recife PE Tel.: nucleope@funenseg.org.br Ribeirão Preto SP Tel.: apoiorbpreto@funenseg.org.br Salvador BA Tel.: nucleoba@funenseg.org.br Santos SP Tel.: apoiosantos@funenseg.org.br São José do Rio Preto SP Tel.: apoiosjriopreto@funenseg.org.br São Paulo SP Tel.: nucleosp@funenseg.org.br Central de Atendimento: Série destinada à publicação de trabalhos e pesquisas de profissionais das áreas de seguro, resseguro, previdência privada complementar e capitalização. É comercializada com exclusividade em seminários, palestras, fóruns e workshops realizados pela Funenseg e por instituições do Mercado de Seguros. Os textos podem ser impressos em formato pdf) no site da Funenseg link publicações/livros técnicos. Caso haja interesse em adquirir os números da série no formato original, entrar em contato com o setor de Vendas da Funenseg ou com a Secretaria da Escola: Rua Senador Dantas, 74/Térreo Centro Rio de Janeiro RJ Tel.: ) vendas@funenseg.org.br). Para publicação na série, os textos devem ser encaminhados, para avaliação, para o Diretor de Pesquisa e Desenvolvimento da Funenseg, Claudio R. Contador. Enviar duas cópias: uma por para claudiocontador@funenseg.org.br, mencionando no assunto Estudos Funenseg Trabalho para Avaliação e outra impressa para a Diretoria de Pesquisa e Desenvolvimento da Funenseg Rua Senador Dantas, 74/3o andar Centro Rio de Janeiro RJ CEP 3-5), identificando no envelope Estudos Funenseg. Incluir nas duas cópias um resumo em português e em inglês do trabalho. As referências bibliográficas devem ser incluídas no final do texto. Enviar também um breve currículo profissional, e- mail e telefone para contato. Coordenação Claudio R. Contador claudiocontador@funenseg.org.br Editor Antonio Carlos Teixeira antonio@funenseg.org.br Conselho Editorial Claudio Contador Francisco aliza Joel omes José Americo Peón de Sá Lúcio Antônio Marques Nelson Victor Le Cocq d Oliveira Ricardo Bechara Santos Sergio Viola Capa Ronny Martins ronny@funenseg.org.br Diagramação Info Action Editoração Eletrônica Revisão Maria Helena de Lima Hatschbach Tiragem: exemplares Uma publicação da Diretoria de Pesquisa e Desenvolvimento Núcleo de Publicações publicacao@funenseg.org.br O trabalho publicado nesta edição é de responsabilidade do autor e não reflete, necessariamente, a opinião da Funenseg. Permitida a citação, total ou parcial, do texto publicado nesta edição, desde que identificada a fonte. Virginia L. P. de S. Thomé Bibliotecária Responsável pela elaboração da ficha catalográfica F443p Ferreira, Paulo Pereira Precificação: credibilidade, risco no resseguro e aplicações diversas / Paulo Pereira Ferreira. Rio de Janeiro: Funenseg, p. 3 cm. Estudos Funenseg, nº 4). Teoria do risco.. Tarifação Seguro). 3. Risco Resseguro). 4. Precificação. 5. Teoria da credibilidade. 6. Resseguro Contratos. I. Série. II.Título CDU 368.

3 Sumário Resumo... 5 Summary... 7 Aplicações em Resseguro... 9 Contratos de Resseguro... 9 Distribuição do Sinistro Retido... 9 Aplicações Diversas... 3 Aplicações Práticas na Precificação... 3 Tarifação Especial para Seguros de Vida em rupo Teoria da Credibilidade Conceito Básico Credibilidade Total... 4 Crebilidade Parcial... 4 Bibliografia Apêndice : Exposição ao Risco... 5 Apêndice : Tabela "Distribuição Normal Padronizada Acumulada" Respostas dos Exercícios

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5 Resumo Neste estudo, serão descritos os principais tipos de contratos de resseguro, mostrando-se as aplicações práticas a eles relacionados, tanto do ponto de vista do ressegurador, onde se inclui o processo de precificação, quanto do ponto de vista da seguradora, onde se destaca a obtenção da distribuição da variável aleatória "valor de sinistro após a contratação do resseguro", aqui denominada variável aleatória "valor de sinistro retido". Serão apresentados, também, diversos instrumentos práticos de um contrato de seguro, tais como: franquia, seguros proporcionais ou não proporcionais e reintegração automática da importância segurada. Para cada um desses instrumentos será desenvolvido o processo de precificação correspondente. Trataremos ainda do processo de precificação a partir da chamada Teoria da Credibilidade. Por esse processo de precificação é possível conjugar a experiência da seguradora com a experiência de riscos similares, o que torna a Teoria da Credibilidade uma importante ferramenta para as seguradoras que possuem pouca massa de sinistros para utilizar no processo de tarifação. 5

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7 Summary In this study, the main types of reinsurance contracts will be described, presenting the practical applications related to them, as under the reinsurer s point of view, where the pricing process is included, as the insurance companies point of view, where it is stand out the obtainment of the distribution of the random variable value of loss after the reinsurance undertaken, here denominated random variable value of retained loss. Several practical instruments from an insurance contract will also be presented, such as: deductible, proportional and non-proportional insurance contracts and the automatic reintegration of the insured capital. For each of these present instruments, the correspondent pricing process will be developed. We will also approach the pricing process from the Credibility Theory, as it is called. Through this pricing process, it is possible to conjugate the experience from the Insurance Company with the experience from similar risks, which makes the Credibility Theory an important tool for the Insurance Companies that count on a small mass of claims to be used on the pricing process. 7

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9 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas - 9 APLICAÇÕES EM RESSEURO O resseguro é um dos principais instrumentos de transferência de risco da seguradora, contribuindo sobremaneira para a homogeneização dos seus riscos. A seguir, serão apresentadas diversas aplicações da Teoria do Risco ao resseguro, com ênfase nas aplicações relacionadas ao processo de precificação dos principais tipos de contratos de resseguro. Serão descritos os principais tipos de contratos de resseguro, mostrando-se as aplicações práticas a eles relacionados, tanto do ponto de vista do ressegurador, onde se inclui o processo de precificação, quanto do ponto de vista da seguradora, onde se destaca a obtenção da distribuição da variável aleatória "valor de sinistro após a contratação do resseguro", aqui denominada variável aleatória "valor de sinistro retido". Contratos de Resseguro Vejamos a seguir os principais contratos de resseguro, e os principais aspectos referentes à precificação de um contrato de resseguro. Classificação dos Contratos de Resseguro Os contratos de resseguro podem ser classificados em contratos proporcionais e contratos não proporcionais. Nos contratos proporcionais, os prêmios e sinistros são divididos proporcionalmente entre o segurador e o ressegurador numa proporção preestabelecida. Nos contratos não proporcionais não há valores segurados cedidos, mas limites pré-definidos de participação do ressegurador nos sinistros. Contratos Proporcionais CONTRATO DE QUOTA-PARTE Neste contrato a seguradora cede um percentual determinado do risco. Em caso de sinistro, essa recupera da resseguradora a mesma proporção da indenização. Exemplo: Quota 5% Prêmio de seguro $ Importância segurada $. Sinistro bruto $ 6. Logo Prêmio de resseguro 5%) $ 5

10 - Estudos Funenseg Prêmio retido 75%) $ 75 Recuperação de resseguro 5%) $ 5. Sinistro retido 75%) $ 45. CONTRATO DE EXCEDENTE DE RESPONSABILIDADE OU SURPLUS A seguradora assume o risco até uma quantia, calculada pelo atuário, chamada limite técnico LT) ou limite de retenção. Este é um contrato proporcional como o quota-parte, pois, quando a importância segurada IS) supera o LT, a seguradora transfere o excedente de forma proporcional. A partir desse momento, temos um contrato proporcional e, qualquer que seja o valor do sinistro, a seguradora recupera a proporção cedida. Modelo:,6 /7 não há resseguro,6 > /7 seguradora cede,6 /7,6 proporcionalmente Exemplo: LT $ 5. Prêmio $ 8 IS $ 8. Sinistro bruto $.6 Logo Prêmio de resseguro 3/8) $ 3 Prêmio retido 5/8) $ 5 Recuperação de resseguro Sinistro retido 5/8) $. Veja que, mesmo o sinistro tendo sido inferior ao LT, houve recuperação da indenização na mesma proporção da cessão de prêmio 3/8). Exemplo Seja uma carteira de seguros com as seguintes características: Plano de resseguro de excedente de responsabilidade, com LT $ 8 Taxa pura anual cobrada pela seguradora é de 7% Taxa comercial anual cobrada pela resseguradora é de % Comissão de resseguro é igual a % O sinistro agregado possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma Normal O número médio de sinistros em ano λ ) é aproximado pelo número observado de sinistros em ano Q ) e são aproximados pelos momentos amostrais do valor observado de sinistro

11 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas - Relação de Importâncias Seguradas IS) e sinistros brutos observados em ano, sendo o valor do sinistro sempre igual ao valor da IS: IS$ $ 3 $ 5 $ 8 $ $ 5. N o de apólices N o de sinistros a) Calcular 3 6 > 3), sem considerar o resseguro b) Calcular > 3 57 ), considerando o resseguro Resposta: a) Calcular 6 3) 3 >, sem considerar o resseguro. O número total de sinistros observados na carteira Q λ Q O total de IS bruta,6%7 ) é de: Q ) é de: 64,6%7. $ +.5 $3 + 9 $5 + 7 $8 + 6 $ + $5. $8. E o prêmio puro anual total 3 ) é o produto da taxa pura anual pela,6%7, ou seja, 3 7 % $8. $9.74 Os momentos amostrais do valor de sinistro bruto são: $ + 75 $ $ $8 + 8 $ + $5. 64 $53, 4 $ + 75 $ $ $8 + 8 $ + $5. $96.568,8 Então: [ 6 64 $53,4 $4. λ 64 [ 6 λ 64 $96.568,8 $ [ 6 $5.49, 6 9 σ Logo 3 6 3) [ 6 [ 6 3 $9.74 $4. > 3 > 3 > 3 σ 5.49, > 3 57, considerando o resseguro. O total de IS cedida em resseguro,6&' ) é de: b) Calcular ) >,) 3,4%,6&' 6 $ + $4.9 $.6 E o prêmio comercial anual total de resseguro 3 ) é o produto da taxa comercial anual de 56 resseguro pela,6&', ou seja, 3 % $.6 $.6

12 - Estudos Funenseg O custo de resseguro, líquido da comissão de resseguro, & 56 & 56 % ) $.6 $8. 8 ) é de: Observe que a taxa de resseguro líquida de comissão de resseguro é igual a 8% 8 % % ). O prêmio puro retido total 3 ) é igual a: & $ 9.74 $8.8 $.6 Os momentos amostrais do valor de sinistro retido são: $ + 75 $ $ $8 64 [ $34, $ + 75 $ $ $8 [ $.786, Então: 64 [ 6 [ 64 $34,7 $9. λ [ 6 λ 64 $.786,3636 $47.6 [ $686, 73 9 σ Logo ) 57 [ 6 57 [ 6 3 $.6 $9. 57 > 3 > 3 > 3 57 σ 686,73 57 > 3,77),% Esta é uma situação em que a seguradora tem um grande benefício com o resseguro, pois houve uma redução drástica na probabilidade dos sinistros superarem os prêmios puros, mesmo sendo a taxa de resseguro líquida de comissão 8%) superior à taxa pura cobrada pela seguradora 7%). Como a proporção de sinistros de altos valores é igual à proporção de IS de altos valores, pois a freqüência anual de sinistros é uniforme e igual a 5% em todas as faixas de IS, logo a razão para esta melhoria na solvência da seguradora está na redução do coeficiente de variação dos sinistros agregados, principalmente pela transferência de risco na faixa de IS$ 5.. Contratos Não Proporcionais CONTRATO EXCESSO DE DANOS OU EXCESS OF LOSS O compromisso da seguradora está limitado ao LT. Para sinistros acima do LT, a resseguradora paga a diferença entre o sinistro e o LT, e a seguradora paga o LT. Para sinistros até o LT, a seguradora paga todo o sinistro. O prêmio de resseguro é um percentual do prêmio de seguro de toda a carteira, sendo este percentual aplicado inclusive àqueles riscos que apresentam,6 /7. No cálculo do prêmio leva-se em consideração a distribuição de sinistros que superam o LT. Este cálculo é semelhante ao feito nos seguros a o risco absoluto, de modo que quanto maior for o LT menor será a taxa de excesso de danos. Modelo: 6, /7 não há recuperação 6, > /7 a seguradora recupera 6, /7

13 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas - 3 Exemplo Calcular a taxa comercial anual a ser cobrada pelo ressegurador em um contrato de excesso de danos, a ser aplicada ao prêmio comercial anual da seguradora, dados: Total de importância segurada exposta ao risco é igual a $ 3.. Taxa comercial anual cobrada pela seguradora é de,5 O sinistro agregado do ressegurador possui distribuição de Poisson Composta, podendo ser aproximada por uma Normal Carregamento para despesas do ressegurador é igual a % Nível de significância de % de modo que o sinistro agregado assumido pelo ressegurador em ano não ultrapasse o total de prêmio puro anual de resseguro O número médio de sinistros de resseguro em ano λ ) é aproximado pelo número observado de sinistros em ano Q ) e do ressegurador são aproximados pelos momentos amostrais do valor observado de sinistro [ Relação de sinistros brutos observados em ano: 3 sinistros de $, sinistros de $ 3, 5 sinistros de $ 4 e 5 sinistros de $ 5. Calcule a taxa comercial de resseguro para as seguintes situações: a) LT $ b) LT $ 35 Resposta: O total de prêmio comercial anual π ) cobrado pela seguradora será: π,5 $3.. $5. a) LT $ Quando o LT $, os sinistros assumidos pelo ressegurador serão: sinistros de $, 5 sinistros de $ e 5 sinistros de $ 3. Logo Q 6 λ 6 $ + 5 $ + 5 $3 6 $9, 7 $ + 5 $ + 5 $3 $ 45 6 [ 6 6 $9,7 $.5, [ 6 λ 6 $45 $5.5 [ 6 $59, 69 FRO λ FRO 9 σ O total de prêmio puro anual de resseguro será determinado de tal forma que: 6 > 3) % 3 [ 6 + [ 6 FRO FRO 3 σ,99 3 $.5, +,33 $59,69 $.5,8 Logo a taxa pura anual de resseguro aplicada sobre π será: 3 π $.5.8 $5.,5% FRO FRO

14 4 - Estudos Funenseg E a taxa comercial anual de resseguro, considerando o carregamento para despesas de %, será:,5%,69%,8 b) LT $ 35 Quando o LT $ 35, os sinistros assumidos pelo ressegurador serão: 5 sinistros de $ 5 e 5 sinistros de $ 5. Logo Q 4 λ 4 5 $5 + 5 $5 4 $8, 75 5 $5 + 5 $5 $ 4 [ 6 4 $8,75 $ 35 [ 6 λ 4 $ $4. [ 6 $63, 5 FRO λ FRO 9 σ O total de prêmio puro anual de resseguro, então, será: 3 $ 35 +,33 $63,5 $497,37 Logo a taxa pura anual de resseguro aplicada sobre π será: 3 π $497,37 $5. 3,3% E a taxa comercial anual de resseguro, considerando o carregamento para despesas de %, será: 3,3%,8 4,5% Observe que, ao aumentarmos o LT de $ para $ 35, o que representa um aumento de 75%, a taxa de excesso de danos caiu de,69% para 4,5%, ou seja, caiu a menos de /3 da taxa anterior. Isto ocorre pelo fato de a maior concentração na distribuição do valor de sinistro ocorrer nos baixos valores, o que ajuda a reduzir desproporcionalmente a taxa de excesso de danos quando a seguradora decide por assumir responsabilidades maiores de sinistros. Por causa disto, é importante que as taxas de excesso de danos sejam revistas periodicamente para eliminar os efeitos da inflação. Uma inflação elevada pode aumentar muito os sinistros brutos da seguradora, transferindo mais responsabilidade para o ressegurador, caso o LT seja mantido constante. O ideal é que a taxa de excesso de danos seja função do LT fixado em uma moeda estável. Exemplo 3 Seja uma carteira de seguros com freqüência de sinistros I VHJ ) de 5% e o valor de sinistro bruto ) com distribuição Log Normal µ $ 6, σ $, 3 ). Calcular a freqüência de sinistros para o ressegurador em um contrato de excesso de danos com LT igual a $ 55. Resposta: Dado que o ressegurador assume somente sinistros que ultrapassam o LT, então, o número esperado de sinistros para o ressegurador deverá ser igual ao número esperado de sinistros para o segurador multiplicado pela probabilidade de o valor de sinistro bruto ultrapassar o LT. FRO

15 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas - 5 Logo a freqüência de sinistros para o ressegurador I ) será de: UHV /7 ) I I 3 > UHV VHJ I UHV > $55),5 3 ln ln $55),5 3 > I UHV I UHV ln µ ln $55 µ,5 3 >,5 3 σ σ >,3),5,55,76%,5 3 ln $55 $6 > $,3 CONTRATO DE CATÁSTROFE O contrato de catástrofe previne o pagamento de elevadas indenizações em um mesmo evento, como, por exemplo, o pagamento de 3 LTs pela morte de 4 pessoas na queda de um avião. Normalmente existe um limite de catástrofe assumido pela seguradora em função de um múltiplo do seu limite técnico. Sempre que em um mesmo evento vários riscos de uma mesma seguradora são atingidos e, desde que a soma das indenizações ultrapasse um múltiplo do LT, o ressegurador assume a responsabilidade excedente. Neste caso, o prêmio de resseguro é função do prêmio retido pela seguradora. O processo de precificação dos contratos de catástrofe exige a utilização de experiência de sinistros de longo prazo, observando possíveis sazonalidades e concentrações de risco. Dada a característica do risco, é comum se utilizar técnicas estatísticas de séries temporais. Devemos utilizar, também, curvas de sinistros com cauda longa, como a distribuição de Pareto *. CONTRATO DE STOP LOSS Contrato de Stop Loss por Limite de Sinistralidade Neste contrato a seguradora assume os sinistros até um limite máximo de sinistralidade. O limite de sinistralidade pode ser, por exemplo, de 7% ou 8%, sendo esses escolhidos pela seguradora de modo que a seguradora não apresente prejuízos na sua operação. Modelo: 6. π não há recuperação 6 >. π a seguradora recupera 6. π Onde:. Limite de sinistralidade 6 Variável aleatória "valor total dos sinistros em ano" π Prêmio comercial da carteira em ano. * Ver FERREIRA, Paulo Pereira. Modelos de precificação e ruína para seguros de curto prazo. Rio de Janeiro: Funenseg, a reimpressão, a edição, 5.

16 6 - Estudos Funenseg Seja R a variável aleatória que representa o volume de recuperação por este tipo de contrato. Dado que π 3 / α), sendo α o carregamento para despesas, e que o limite de sinistralidade é igual a K, logo: α 3 6. α 3 6 >. α Assim sendo, podemos calcular [ 5, conforme a seguir: N3 [ 5 [ I ) [ α.3 α 6 [ N3 α.3.3 [ I ) [ [ [ I ) [ [ 6 6 α α.3 α N3 α.3 α [ 6 [ I ) [ 6 [ Veja que é possível determinar a distribuição de R e, desta forma, calcular o prêmio de resseguro. Se utilizarmos o princípio do valor esperado, o prêmio de resseguro será: [ 5 +θ ) Podemos afirmar que este contrato é uma variante do contrato de resseguro stop loss por limite de perda, que será visto a seguir. Contrato de Stop Loss por Limite de Perda Neste contrato a seguradora assume um limite anual global de retenção de sinistros. Acima deste limite a resseguradora paga a diferença. Seja, a variável aleatória "volume de recuperações dado um limite de retenção igual a d". Logo, 6 6, > 6 6 > Onde 6, é o volume de sinistro retido pela seguradora. Assim sendo, o prêmio de risco de resseguro será: Caso de 6 Contínuo [, [ ) I [) [ 6

17 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas - 7 [ 6 6 [ ) I [) [ [ ) I [) [ 6 + [) I [) Ou, então, a partir de ) 6 ) [ [, [ ) I [) [ 6 [ [) ) ) [ ) 6 [ 6 [ [) ) [ ) + ) ) [ ) Ou, então: ) ) [ ) 6 [ [ 6 6 [ 6 [, [ 6 + [) I [) [ 6 [) ) ) [ ) [ 6 [ [ 6 [) ) [ ) ) ) [ ) [ 6 + ) ) [ ) [ 6 ) ) [ ) Caso de 6 Discreto 6 [ 6 [ 6 6 [ Vejamos as 4 fórmulas de cálculo de [, correspondentes ao caso contínuo: [, [ ) I ) [ 6 [ + [, [ 6 + [) I [) [ [, ) )) [ 6 [ 6

18 8 - Estudos Funenseg [ 6 [ ο [, [ 6 ) )) A partir da relação [, ) ) [ ) 6 [ podemos obter uma fórmula recursiva, qual seja: [, + [, ) ) ),,,. 6 Onde [, [ 6 ο Exemplo 4 Uma sociedade seguradora paga benefícios por morte de um segurado no valor fixo de $. O número esperado de mortes é de por ano. A seguradora tem um contrato de resseguro de stop loss, no qual o número de mortes excedentes a, em ano, a resseguradora paga os benefícios de morte subseqüentes. Qual o prêmio de risco de resseguro 3 ), dado que possui distribuição de Poisson? Resposta: 3 $. 3 3 $.. ) 3.). ) H! 3. 3 $ H 3.! N )! $ H.!. 3 $ H 3 $,4!.. H H + 5) +,5 Exemplo 5 Sejam I 6 ) [ e ) [ de stop loss com limite fixo de $ 3. x$) ) [ ) 6 [.5,5 5,,35,5,6 5,4,74,,86 5,8,94 3,3,97 35,,99 4,, ) 6 definidos conforme a seguir. Calcule o prêmio de risco para um resseguro I 6 )

19 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas - 9 Resposta: A distribuição de, 3 será: x$) I,3 ) [,97 5,, Logo: [ 35 [, [ 3) I [) $5, + $, $, Ou, então: 4 [, ) ) [ ) $5,97) + $5,99) + $ ) $, 6 3 [ 3 Observe que, pelo segundo método, temos que considerar ) 6 ) [ em todos os números inteiros compreendidos entre 3 e 4. Distribuição do Sinistro Retido Sejam: Variável aleatória "valor de sinistro retido" 57 ) 57 ) [ Função de distribuição de 57 ) ) [ Função de distribuição do valor de sinistro bruto. Vejamos a seguir como determinar ) [ para diversos contratos de resseguro, em função de ) ) [ Contrato de Excesso de Danos ) 57 ) ) [ ) 57 ) [ [ < /7 [ /7 Contrato de Excesso de Danos Conjugado com um Contrato de Quota-Parte Seja. a quota de cessão de resseguro, então: ) ) [ 57 ). [ [ < /7 [ /7

20 - Estudos Funenseg Contrato de Excedente de Responsabilidade ) 57 ) [ ) ),6 /7 ) [ /7 Onde, 57 [,6 [,6 > /7,6 /7 Exemplo 6 Determinar uma expressão para ) [ I e [ em um contrato de excesso de danos. Resposta: Para sinistros brutos com valor até o LT, o sinistro retido será igual ao sinistro bruto. Já para sinistros brutos superiores ao LT, o sinistro retido será igual ao LT, de modo que a probabilidade do sinistro retido ser igual ao LT é igual à probabilidade do sinistro bruto ser superior ou igual ao LT. Desta forma, então: I 57 ) [ ) [ I ) /7 ) [ < /7 [ /7 [ > /7 Logo /7... [ I ) [ [ + /7 ) /7 ) ) 57 Exemplo 7 Seja com uma distribuição Exponencial α / $5. ) em uma carteira com contrato de resseguro de excesso de danos, com limite técnico de $.. Determinar: a) A função de densidade de 57 b) A média e a variância de. 57 Resposta: a) Função de densidade de 57 Dado que possui distribuição Exponencial α / $5. ), então, I ) [ / 5.H / 5. [ [ [ <

21 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas - ) ) [ H /5. [ [ [ > Desta forma, pelo exemplo anterior, temos: I 57 ) [ I / 5. H H /5. [ [ <. [. [ >. e [ <. 3 >. 3. H H /5. [. Onde, ) ) ) 57 b) Média e variância de 57 Sabemos, também, pelo exemplo anterior, que: /7 [ I ) [ [ + /7 ) /7 ) 57. /5. [ [ H [ +. H /5. [. /5. [ [H + H [ / 5. [.. H H H [ $ /5. [ [ [ H [ +. H /5. [. /5. [ [ H + [ H [ +. H 57. / 5. [. /5. [. H.[H +. H [ +. H 57 / 5. [.. H H. H 5...H [ $ Logo 9[ $ $43.33 $ E, σ[ 9[ $ A distribuição de, neste caso, é chamada distribuição Exponencial Truncada. 57

22 - Estudos Funenseg Exercícios ) Calcular o total de prêmio puro de resseguro anual em um contrato de excesso de danos, dados: O sinistro agregado do ressegurador possui distribuição Binomial Negativa Composta U., S, 8 ), podendo ser aproximada por uma Normal Nível de significância de,5% de modo que o sinistro agregado assumido pelo ressegurador em ano não ultrapasse o total de prêmio puro anual de resseguro LT$ 5 e do ressegurador são aproximados pelos momentos amostrais do valor observado de sinistro Distribuição de freqüência dos valores de sinistros: [ $) [) 3,3,4,8,8,4 ) Seja uma carteira de seguros com freqüência de sinistros I VHJ ) de % e o valor de sinistro bruto ) com distribuição conforme o exercício. Calcular a freqüência de sinistros para o ressegurador em um contrato de excesso de danos com LT igual a $. [ ), onde ) ) [ *[,α, β ) FRO [ [ ) FRO 3) Seja 6 com distribuição ama,α, β α [, *, α +, β ) *, α, β β 6. Mostre que: 4) Suponha que o ressegurador assume um risco de pagar 8% dos sinistros agregados que ultrapassam um limite, sujeito a um limite máximo de pagamento de P. Determine uma expressão para o prêmio de risco do ressegurador em função do prêmio de risco de um resseguro stop loss tradicional sem limite de pagamento e sem o fator de 8%). 5) Calcular > 3 57 ) no exemplo., supondo que LT $, considerando o resseguro.

23 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas - 3 APLICAÇÕES DIVERSAS Serão apresentados, a seguir, diversos instrumentos práticos de um contrato de seguro, tais como: franquia, seguros proporcionais ou não proporcionais e reintegração automática da importância segurada. Para cada um desses instrumentos será desenvolvido o processo de precificação correspondente. Será demonstrada, também, uma fórmula prática, utilizada por muito tempo no mercado segurador brasileiro para a tarifação especial de um seguro de Vida em rupo. Aplicações Práticas na Precificação FRO A distribuição da variável aleatória "valor total de sinistros em ano" 6 ) pode ser aproximada pela distribuição Normal, sendo excelente essa aproximação na cauda à direita da distribuição. Esta característica é muito útil no processo de precificação, por ser a cauda à direita da distribuição a região de interesse quando se precifica, e pela facilidade de se trabalhar com a distribuição Normal. Vejamos a seguir algumas situações práticas de cálculo do preço do seguro, aplicando a aproximação FRO Normal para o sinistro agregado 6 ), supondo que a distribuição do número de sinistros ) é uma Poisson λ ). Para tal, vejamos inicialmente como determinar os parâmetros envolvidos neste tipo de 3.. cálculo, quais sejam: λ,, 3 e, Cálculo de λ O valor de λ poderá ser uma observação anual do número de sinistros Q ) ou, então, poderemos trabalhar com o limite superior do intervalo de confiança, qual seja: λ [ Q + ε Q Q Q ) Q Na verdade, o uso do limite superior do intervalo de confiança representa uma segurança adicional no cálculo do preço do seguro, pois as fórmulas de cálculo em si já contêm níveis de segurança implícitos.. Cálculo de. Podemos calcular de duas formas: Quando Possui Distribuição Paramétrica Conhecida.. [ I ) [ [ A Partir dos Valores Observados de. Q L Q. L

24 4 - Estudos Funenseg Onde é o valor observado do i-ésimo sinistro. L Cálculo do Prêmio Puro Total 3) Sabemos que 3 deve ser determinado de modo que: &/ &/ &/ 6 3) α 3 [ 6 + [ 6 3 σ > α + [ 3 λ λ α Cálculo do Prêmio Puro Individual ) 3, Seja ) a referência de cálculo. Logo 3, 3 ) Precificação de Seguros com Franquia A franquia representa um instrumento muito importante no processo de precificação, pois torna o segurado mais cuidadoso na proteção do seu risco, além de proporcionar uma redução significativa nos custos com a regulação de sinistros de baixo valor. Como normalmente a distribuição do valor de sinistro ) possui alta concentração em torno dos pequenos valores, a redução no preço do seguro pode ser significativa com a aplicação da franquia. Uma abordagem ampla sobre as distribuições de após a aplicação da franquia, pode ser vista em HO AND KLUMAN) 9. Existem 3 tipos de franquia, quais sejam: Franquia Proporcional CONCEITO Neste caso, o segurado participa com um percentual pré-definido.% ) em todos os sinistros. Este tipo de franquia possui o inconveniente de penalizar demais os segurados nos sinistros de alto valor. É comum utilizar este tipo de franquia com um limite máximo de franquia em valor absoluto. MODELO ATUARIAL Sejam: i) λ Número médio de sinistros após a aplicação da franquia ii) Variável aleatória "valor de sinistro líquido da franquia" iii) 3 Prêmio de risco após a aplicação da franquia. Então: λ λ.) [ ) [ I. I

25 Precificação: Credibilidade, Risco no Resseguro e Aplicações Diversas - 5.) λ λ.) 3 Veja que o prêmio de risco após a aplicação da franquia percentual é igual ao prêmio de risco original, antes da aplicação da franquia, multiplicado por.. Franquia Dedutível CONCEITO Na franquia dedutível, o segurado participa integralmente dos sinistros cujos valores não ultrapassam o valor pré-definido da franquia dedutível ). Quando o valor do sinistro ultrapassa esse limite, a indenização a ser paga ao segurado representa a diferença entre o valor do sinistro e o valor da franquia dedutível. MODELO ATUARIAL ) λ λ 3 > ) [ I [ + ) > ) [ [ > I [ 3 [ ) 3 I ) [ > ) [ 3 [ ) I [)[ λ λ É fácil provar que o prêmio de risco acima é inferior ao prêmio de risco original, antes da aplicação da franquia dedutível, pois: [ ) I ) [ [ λ [ I ) [ [ λ 3 λ Franquia Simples CONCEITO Assim como na franquia dedutível, o segurado participa integralmente dos sinistros cujos valores não ultrapassam o valor pré-definido da franquia simples ). Sempre que o sinistro ultrapassa esse limite, o segurado é indenizado pelo valor total do sinistro, e não pela diferença, como no caso da franquia dedutível.