MATEMÁTICA. Conjunto dos Números Inteiros Z. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

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3 . NÚMEROS INTEIROS: ALGORITMOS DE QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS NO SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO, DIVISIBILIDADE E DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS. Conjunto dos Números Inteiros Z Definimos o conjunto dos números inteiros como reunião do conjunto dos números nturis (N {,,,, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números nturis e o zero. Este conjunto é denotdo pel letr Z (Zhlennúmero em lemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z {..., -4, -, -, -,,,,, 4,...} O conjunto dos números inteiros possui lguns subconjuntos notáveis: - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* {..., -4, -, -, -,,,, 4,...}; Z* Z {} - O conjunto dos números inteiros não negtivos: Z {,,,, 4,...} Z é o próprio conjunto dos números nturis: Z N - O conjunto dos números inteiros positivos: Z* {,,, 4,...} - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ {..., -5, -4, -, -, -, } - O conjunto dos números inteiros negtivos: Z*_ {..., -5, -4, -, -, -} Módulo: chm-se módulo de um número inteiro distânci ou fstmento desse número té o zero, n ret numéric inteir. Represent-se o módulo por. O módulo de é e indic-se O módulo de 7 é 7 e indic-se 7 7 O módulo de 9 é 9 e indic-se 9 9 O módulo de qulquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro qundo presentm som zero; ssim, os pontos que os representm distm igulmente d origem. Eemplo: O oposto do número é -, e o oposto de - é, pois (-) (-) No gerl, dizemos que o oposto, ou simétrico, de é, e vice-vers; prticulrmente o oposto de zero é o próprio zero. Adição de Números Inteiros Pr melhor entendimento dest operção, ssociremos os números inteiros positivos idéi de gnhr e os números inteiros negtivos idéi de perder. Gnhr 5 gnhr gnhr 8 (5) () (8) Perder perder 4 perder 7 (-) (-4) (-7) Gnhr 8 perder 5 gnhr (8) (-5) () Perder 8 gnhr 5 perder (-8) (5) (-) O sinl () ntes do número positivo pode ser dispensdo, ms o sinl ( ) ntes do número negtivo nunc pode ser dispensdo. Proprieddes d dição de números inteiros: O conjunto Z é fechdo pr dição, isto é, som de dois números inteiros ind é um número inteiro. Associtiv: Pr todos,b,c em Z: (b c) ( b) c ( 7) ( ) 7 Comuttiv: Pr todos,b em Z: b b 7 7 Elemento Neutro: Eiste em Z, que diciondo cd z em Z, proporcion o próprio z, isto é: z z 7 7 Elemento Oposto: Pr todo z em Z, eiste (-z) em Z, tl que z ( z) 9 ( 9) Subtrção de Números Inteiros A subtrção é empregd qundo: - Precismos tirr um quntidde de outr quntidde; - Temos dus quntiddes e queremos sber qunto um dels tem mis que outr; - Temos dus quntiddes e queremos sber qunto flt um dels pr tingir outr. A subtrção é operção invers d dição. Observe que: diferenç subtrendo minuendo Considere s seguintes situções: - N segund-feir, tempertur de Monte Sião pssou de grus pr 6 grus. Qul foi vrição d tempertur? Esse fto pode ser representdo pel subtrção: (6) () - N terç-feir, tempertur de Monte Sião, durnte o di, er de 6 grus. À Noite, tempertur biou de grus. Qul tempertur registrd n noite de terç-feir? Esse fto pode ser representdo pel dição: (6) ( ) Se comprrmos s dus igulddes, verificmos que (6) () é o mesmo que (6) ( ).

4 Temos: (6) () (6) ( ) () (6) () ( 6) ( 6) ( ) ( 6) () Dí podemos firmr: Subtrir dois números inteiros é o mesmo que dicionr o primeiro com o oposto do segundo. Multiplicção de Números Inteiros A multiplicção funcion como um form simplificd de um dição qundo os números são repetidos. Poderímos nlisr tl situção como o fto de estrmos gnhndo repetidmente lgum quntidde, como por eemplo, gnhr objeto por vezes consecutivs, signific gnhr objetos e est repetição pode ser indicd por um, isto é:... Se trocrmos o número pelo número, obteremos:... 6 Se trocrmos o número pelo número -, obteremos: ( ) ( )... ( ) (-) 6 Observmos que multiplicção é um cso prticulr d dição onde os vlores são repetidos. N multiplicção o produto dos números e b, pode ser indicdo por b,. b ou ind b sem nenhum sinl entre s letrs. Pr relizr multiplicção de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regr de sinis: () () () () (-) (-) (-) () (-) (-) (-) () Com o uso ds regrs cim, podemos concluir que: Sinis dos números Iguis Diferentes Resultdo do produto Positivo Negtivo Proprieddes d multiplicção de números inteiros: O conjunto Z é fechdo pr multiplicção, isto é, multiplicção de dois números inteiros ind é um número inteiro. Associtiv: Pr todos,b,c em Z: (b c) ( b) c ( 7) ( ) 7 Comuttiv: Pr todos,b em Z: b b 7 7 Elemento neutro: Eiste em Z, que multiplicdo por todo z em Z, proporcion o próprio z, isto é: z z 7 7 Elemento inverso: Pr todo inteiro z diferente de zero, eiste um inverso z /z em Z, tl que z z z (/z) (/9) Distributiv: Pr todos,b,c em Z: (b c) ( b) ( c) (45) ( 4) ( 5) Divisão de Números Inteiros Dividendo divisor dividendo: Divisor quociente Quociente. divisor dividendo Sbemos que n divisão et dos números nturis: 4 : 5 8, pois : 9 4, pois Vmos plicr esses conhecimentos pr estudr divisão et de números inteiros. Vej o cálculo: ( ) : (5) q (5). q ( ) q ( 4) Logo: ( ) : (5) - 4 Considerndo os eemplos ddos, concluímos que, pr efetur divisão et de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Dí: - Qundo o dividendo e o divisor têm o mesmo sinl, o quociente é um número inteiro positivo. - Qundo o dividendo e o divisor têm sinis diferentes, o quociente é um número inteiro negtivo. - A divisão nem sempre pode ser relizd no conjunto Z. Por eemplo, (7) : ( ) ou ( 9) : ( 5) são divisões que não podem ser relizds em Z, pois o resultdo não é um número inteiro. - No conjunto Z, divisão não é comuttiv, não é ssocitiv e não tem propriedde d eistênci do elemento neutro. - Não eiste divisão por zero. Eemplo: ( 5) : não tem significdo, pois não eiste um número inteiro cujo produto por zero sej igul 5. - Zero dividido por qulquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qulquer número inteiro por zero é igul zero. Eemplos: ) : ( ) b) : (6) c) : ( ) Potencição de Números Inteiros A potênci n do número inteiro, é definid como um produto de n ftores iguis. O número é denomindo bse e o número n é o epoente. n... é multiplicdo por n vezes Eemplos: () () () 7 (-5) 5 (-5) (-5) (-5) (-5) (-5) -5 (-7)² (-7) (-7) 49 (9)² (9) (9) 8 - Tod potênci de bse positiv é um número inteiro positivo. Eemplo: () (). () 9 - Tod potênci de bse negtiv e epoente pr é um número inteiro positivo.

5 Eemplo: ( 8) ( 8). ( 8) 64 - Tod potênci de bse negtiv e epoente ímpr é um número inteiro negtivo. Eemplo: ( 5) ( 5). ( 5). ( 5) 5 Proprieddes d Potencição: Produtos de Potêncis com bses iguis: Conserv-se bse e somm-se os epoentes. ( 7). ( 7) 6 ( 7) 6 ( 7) 9 Quocientes de Potêncis com bses iguis: Conserv-se bse e subtrem-se os epoentes. () 8 : () 6 () 8 6 () Potênci de Potênci: Conserv-se bse e multiplicm-se os epoentes. [(4) 5 ] (4) 5. (4) Potênci de epoente : É sempre igul à bse. (9) 9 ( ) Potênci de epoente zero e bse diferente de zero: É igul. Eemplo: (4) ( 5) Rdicição de Números Inteiros A riz n-ésim (de ordem n) de um número inteiro é operção que result em outro número inteiro não negtivo b que elevdo à potênci n fornece o número. O número n é o índice d riz enqunto que o número é o rdicndo (que fic sob o sinl do rdicl). A riz qudrd (de ordem ) de um número inteiro é operção que result em outro número inteiro não negtivo que elevdo o qudrdo coincide com o número. Observção: Não eiste riz qudrd de um número inteiro negtivo no conjunto dos números inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em mteriis didáticos e té mesmo ocorre em lgums uls precimento de: 9 ± ms isto está errdo. O certo é: 9 Observmos que não eiste um número inteiro não negtivo que multiplicdo por ele mesmo resulte em um número negtivo. A riz cúbic (de ordem ) de um número inteiro é operção que result em outro número inteiro que elevdo o cubo sej igul o número. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente os números não negtivos. Eemplos () 8, pois ³ 8. (b) 8, pois ( )³ -8. (c) 7, pois ³ 7. (d) 7, pois ( )³ -7. Observção: Ao obedecer à regr dos sinis pr o produto de números inteiros, concluímos que: () Se o índice d riz for pr, não eiste riz de número inteiro negtivo. (b) Se o índice d riz for ímpr, é possível etrir riz de qulquer número inteiro. Questões - (TRF ª TÉCNICO JUDICIÁRIO FCC/) Um operção λ é definid por: w λ 6w, pr todo inteiro w. Com bse ness definição, é correto firmr que som λ ( λ ) λ é igul A). B) 5. C). D) 5. E). - (UEM/PR AUXILIAR OPERACIONAL UEM/4) Ruth tem somente R$., e desej gstr mior quntidde possível, sem ficr devendo n loj. Verificou o preço de lguns produtos: TV: R$ 56, DVD: R$ 99, Micro-onds: R$ 49, Geldeir: R$., N quisição dos produtos, conforme s condições mencionds, e pgndo compr em dinheiro, o troco recebido será de: A) R$ 84, B) R$ 74, C) R$ 6, D) R$ 6, E) R$ 6, - (PREF. JUNDIAI/SP ELETRICISTA MAKIYA- MA/) Anlise s operções seguir: I b c II III De cordo com s proprieddes d potencição, temos que, respectivmente, ns operções I, II e III: A) b-c, ybc e zc/. B) bc, yb-c e zc. C) bc, y-bc e zc. D) c-b, yb-c e zc-. E) b, yc e zc.

6 4 - (BNDES TÉCNICO ADMINISTRATIVO CESGRANRIO/) Multiplicndo-se o mior número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro mior do que - 8, o resultdo encontrdo será A) - 7 B) - 6 C) - 56 D) - 49 E) (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - FCC/) Em um jogo de tbuleiro, Crl e Mteus obtiverm os seguintes resultdos: Ao término desss qutro prtids, A) Crl perdeu por um diferenç de 5 pontos. B) Mteus perdeu por um diferenç de 75 pontos. C) Mteus gnhou por um diferenç de 5 pontos. D) Crl e Mteus emptrm. 6 (Operdor de máq./pref.coronel Fbricino/MG) Quntos são os vlores inteiros e positivos de pr os quis é um número inteiro? A) B) C) D) E) 4 7- (CASA DA MOEDA) O qudro bio indic o número de pssgeiros num vôo entre Curitib e Belém, com dus escls, um no Rio de Jneiro e outr em Brsíli. Os números indicm quntidde de pssgeiros que subirm no vião e os negtivos, quntidde dos que descerm em cd cidde. O número de pssgeiros que chegou Belém foi: A) 6 B) 8 C) 4 D) 9 E) 5 Curtib 4 Rio de Jneiro Brsíli

7 Resposts - RESPOSTA: E. Pel definição: Fzendo w. RAZÕES E PROPORÇÕES, NÚMEROS RACIONAIS, OPERAÇÕES E A RELAÇÃO DE ORDEM ENTRE NÚMEROS RACIONAIS, REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS NÚMEROS RACIONAIS. Números Rcionis Q - RESPOSTA: D. Geldeir Microonds DVD Geldeir Microonds TV , etrpol o orçmento Geldeir TV DVD569974, é mior quntidde gst possível dentro do orçmento. Troco:-746 reis - RESPOSTA: B. I d propriedde ds potêncis, temos: II III 4 - RESPOSTA: D. Mior inteiro menor que 8 é o 7 Menor inteiro mior que -8 é o -7. Portnto: 7 (-7) RESPOSTA: C. Crl: pontos Mteus: pontos Diferenç: pontos 6 - RESPOSTA: B. Fzendo substituição dos vlores de, dentro dos conjuntos do inteiros positivos temos: ; Um número rcionl é o que pode ser escrito n form m n, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usmos m/n pr significr divisão de m por n. Como podemos observr, números rcionis podem ser obtidos trvés d rzão entre dois números inteiros, rzão pel qul, o conjunto de todos os números rcionis é denotdo por Q. Assim, é comum encontrrmos n litertur notção: Q { m : m e n em Z, n diferente de zero} n No conjunto Q destcmos os seguintes subconjuntos: - Q* conjunto dos rcionis não nulos; - Q conjunto dos rcionis não negtivos; - Q* conjunto dos rcionis positivos; - Q _ conjunto dos rcionis não positivos; - Q*_ conjunto dos rcionis negtivos. Representção Deciml ds Frções Tomemos um número rcionl p, tl que p não sej múltiplo q de q. Pr escrevê-lo n form deciml, bst efetur divisão do numerdor pelo denomindor. Ness divisão podem ocorrer dois csos: º) O numerl deciml obtido possui, pós vírgul, um número finito de lgrismos. Decimis Etos: 5,4 4, ,75 5 5,6, logo os únicos números que stisfzem condição é e 5, dois números pens. 7 - RESPOSTA: D º) O numerl deciml obtido possui, pós vírgul, infinitos lgrismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicmente. Decimis Periódicos ou Dízims Periódics:,... 5

8 , ,5... Representção Frcionári dos Números Decimis Trt-se do problem inverso: estndo o número rcionl escrito n form deciml, procuremos escrevê-lo n form de frção. Temos dois csos: º) Trnsformmos o número em um frção cujo numerdor é o número deciml sem vírgul e o denomindor é composto pelo numerl, seguido de tntos zeros qunts forem s css decimis do número deciml ddo:,9 9 5,7 57,76 76,48 48,5 5 º) Devemos chr frção gertriz d dízim dd; pr tnto, vmos presentr o procedimento trvés de lguns eemplos: Eemplo Sej dízim,.... Fçmos,... e multipliquemos mbos os membros por :, Subtrindo, membro membro, primeir iguldde d segund:,...,... 9 /9 Assim, gertriz de,... é frção 9. Eemplo Sej dízim 5, Fçmos 5,77... e 57, Subtrindo membro membro, temos: /99 Assim, gertriz de 5,77... é frção Eemplo Sej dízim, Fçmos,44..., ,4.... Subtrindo membro membro, temos: 99 4,4..., /99 Simplificndo, obtemos 6, frção gertriz d dízim, Módulo ou vlor bsoluto: É distânci do ponto que represent esse número o ponto de bsciss zero. Eemplo: Módulo de - é. Indic-se - Módulo de é. Indic-se Números Opostos: Dizemos que e são números rcionis opostos ou simétricos e cd um deles é o oposto do outro. As distâncis dos pontos e o ponto zero d ret são iguis. Som (Adição) de Números Rcionis Como todo número rcionl é um frção ou pode ser escrito n form de um frção, definimos dição entre os números rcionis e c, d mesm form que som de frções, trvés de: b d b c d d bc bd Proprieddes d Adição de Números Rcionis O conjunto Q é fechdo pr operção de dição, isto é, som de dois números rcionis ind é um número rcionl. - Associtiv: Pr todos, b, c em Q: ( b c ) ( b ) c - Comuttiv: Pr todos, b em Q: b b - Elemento neutro: Eiste em Q, que diciondo todo q em Q, proporcion o próprio q, isto é: q q - Elemento oposto: Pr todo q em Q, eiste -q em Q, tl que q ( q) Subtrção de Números Rcionis A subtrção de dois números rcionis p e q é própri operção de dição do número p com o oposto de q, isto é: p q p ( q) Multiplicção (Produto) de Números Rcionis Como todo número rcionl é um frção ou pode ser escrito n form de um frção, definimos o produto de dois números rcionis b e c, d mesm form que o produto de frções, trvés de: d 6

9 b c d c bd O produto dos números rcionis e b tmbém pode ser indicdo por b, b,.b ou ind b sem nenhum sinl entre s letrs. Pr relizr multiplicção de números rcionis, devemos obedecer à mesm regr de sinis que vle em tod Mtemátic: () () () () (-) (-) (-) () (-) (-) (-) () Podemos ssim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinl é positivo, ms o produto de dois números com sinis diferentes é negtivo. Proprieddes d Multiplicção de Números Rcionis O conjunto Q é fechdo pr multiplicção, isto é, o produto de dois números rcionis ind é um número rcionl. - Associtiv: Pr todos, b, c em Q: ( b c ) ( b ) c - Comuttiv: Pr todos, b em Q: b b - Elemento neutro: Eiste em Q, que multiplicdo por todo q em Q, proporcion o próprio q, isto é: q q - Elemento inverso: Pr todo q b zero, eiste q - b em Q: q q- em Q, q diferente de b b - Distributiv: Pr todos, b, c em Q: ( b c ) ( b ) ( c ) Divisão de Números Rcionis A divisão de dois números rcionis p e q é própri operção de multiplicção do número p pelo inverso de q, isto é: p q p q - Potencição de Números Rcionis A potênci q n do número rcionl q é um produto de n ftores iguis. O número q é denomindo bse e o número n é o epoente. q n q q q q... q, (q prece n vezes) Eemplos: ) b) c) ( 5)² ( 5). ( 5) 5 d) (5)² (5). (5) 5 Proprieddes d Potencição: Tod potênci com epoente é igul. 5 - Tod potênci com epoente é igul à própri bse Tod potênci com epoente negtivo de um número rcionl diferente de zero é igul outr potênci que tem bse igul o inverso d bse nterior e o epoente igul o oposto do epoente nterior Tod potênci com epoente ímpr tem o mesmo sinl d bse Tod potênci com epoente pr é um número positivo Produto de potêncis de mesm bse. Pr reduzir um produto de potêncis de mesm bse um só potênci, conservmos bse e sommos os epoentes Quociente de potêncis de mesm bse. Pr reduzir um quociente de potêncis de mesm bse um só potênci, conservmos bse e subtrímos os epoentes. - Potênci de Potênci. Pr reduzir um potênci de potênci um potênci de um só epoente, conservmos bse e multiplicmos os epoentes Rdicição de Números Rcionis Se um número represent um produto de dois ou mis ftores iguis, então cd ftor é chmdo riz do número. Vejmos lguns eemplos: Eemplo 4 Represent o produto. ou. Logo, é riz qudrd de 4. Indic-se 4. Eemplo 9 Represent o produto. qudrd de 9.Indic-se 9 ou. Logo, é riz 5 7

10 Eemplo,6 Represent o produto,6.,6.,6 ou (,6). Logo,,6 é riz cúbic de,6. Indic-se,6,6. Assim, podemos construir o digrm: N Z Q 4 - (FUNDAÇÃO CASA AGENTE DE APOIO OPERA- CIONAL VUNESP/) Em um estdo do Sudeste, um Agente de Apoio Opercionl tem um slário mensl de: slário bse R$ 67,6 e um grtificção de R$ 85,5. No mês pssdo, ele fez 8 hors etrs R$ 8,5 cd hor, ms precisou fltr um di e foi descontdo em R$ 8,4. No mês pssdo, seu slário totlizou A) R$ 8,8. B) R$ 8,. C) R$ 88,5. D) R$ 84,9. E) R$ 87,. 5 - (Pref. Niterói) Simplificndo epressão bio Um número rcionl, qundo elevdo o qudrdo, dá o número zero ou um número rcionl positivo. Logo, os números rcionis negtivos não têm riz qudrd em Q. O número - não tem riz qudrd em Q, pois tnto - 9 como, qundo elevdos o qudrdo, dão. 9 Um número rcionl positivo só tem riz qudrd no conjunto dos números rcionis se ele for um qudrdo perfeito. O número não tem riz qudrd em Q, pois não eiste número rcionl que elevdo o qudrdo dê. Questões - (PREF. JUNDIAI/SP AGENTE DE SERVIÇOS OPE- RACIONAIS MAKIYAMA/) N escol onde estudo, ¼ dos lunos tem língu portugues como disciplin fvorit, 9/ têm mtemátic como fvorit e os demis têm ciêncis como fvorit. Sendo ssim, qul frção represent os lunos que têm ciêncis como disciplin fvorit? A) /4 B) / C) /9 D) 4/5 E) / - (UEM/PR AUXILIAR OPERACIONAL UEM/4) Dirce comprou 7 lpiseirs e pgou R$ 8,, em cd um dels. Pgou com um not de reis e obteve um desconto de centvos. Quntos reis el recebeu de troco? A) R$ 4, B) R$ 4, C) R$ 44, D) R$ 46, E) R$ 48, - (FUNDAÇÃO CASA AGENTE DE APOIO OPERA- CIONAL VUNESP/) De um totl de 8 cndidtos, /5 estudm inglês, /9 estudm frncês, /estud espnhol e o restnte estud lemão. O número de cndidtos que estud lemão é: A) 6. B) 7. C) 8. D) 9. E). Obtém-se : A) ½ B) C) / D) E) 6 - (SABESP APRENDIZ FCC/) Em um jogo mtemático, cd jogdor tem direito 5 crtões mrcdos com um número, sendo que todos os jogdores recebem os mesmos números. Após todos os jogdores receberem seus crtões, letorimente, relizm um determind tref que tmbém é sorted. Vence o jogo quem cumprir tref corretmente. Em um rodd em que tref er colocr os números mrcdos nos crtões em ordem crescente, venceu o jogdor que presentou sequênci 7 (Prof./Prefeitur de Itborí) Se,888..., então o vlor numérico d epressão: A) 4/9 B) /47 C) 4/47 D) 5/49 E) 6/ (SABESP APRENDIZ FCC/) Mrin briu seu cofrinho com moeds e seprou-s: rel: ¼ ds moeds 5 centvos: / ds moeds 8

11 5 centvos: /5 ds moeds centvos: s restntes Mrin totlizou qunti contid no cofre em A) R$ 6,. B) R$ 5,. C) R$ 5,. D) R$ 56,. E) R$ 66,. 9 - (PM/SE SOLDADO ªCLASSE FUNCAB/4) Num operção policil de rotin, que bordou 8 pessos, verificou-se que /4 desss pessos erm homens e /5 deles form detidos. Já entre s mulheres bordds, /8 form detids. Qul o totl de pessos detids ness operção policil? A) 45 B) 85 C) D) 6 E) - (PREF. JUNDIAI/SP AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS MAKIYAMA/) Qundo perguntdo sobre qul er su idde, o professor de mtemátic respondeu: O produto ds frções 9/5 e 75/ fornece minh idde!. Sendo ssim, podemos firmr que o professor tem: A) 4 nos. B) 5 nos. C) 45 nos. D) nos. E) 4 nos. Resposts - RESPOSTA: B. Somndo português e mtemátic: 4 - RESPOSTA: D. Slário foi R$ 84, RESPOSTA: B., /9 4/,5 5/ / 6 - RESPOSTA: D. A ordem crescente é : 7 - RESPOSTA: B., temos então pel trnsformção n frção gertriz: 8/99 /, substituindo: O que rest gost de ciêncis: 8 - RESPOSTA: A. - RESPOSTA: B. Como recebeu um desconto de centvos, Dirce pgou 58 reis Troco:-584 reis - RESPOSTA: C. Mrin totlizou R$ 6,. Mmc(,5,9) RESPOSTA: A. O restnte estud lemão: /45 9

12 Como /4 erm homens, /4 erm mulheres Totl de pessos detids: RESPOSTA: C. ou 8-6 mulheres Rzão Sejm dois números reis e b, com b. Chm-se rzão entre e b (ness ordem) o quociente b, ou. A rzão é representd por um número rcionl, ms é lid de modo diferente. Eemplos ) A frção 5 lê-se: três quintos. b) A rzão 5 lê-se: pr 5. Os termos d rzão recebem nomes especiis. ) N frção 5 ) N rzão Eemplo 5 O número é numerdor O número 5 é denomindor O número é ntecedente O número 5 é consequente A rzão entre e 5 é 5 ; já rzão entre 5 e é Eemplo Num clsse de 4 lunos há 8 rpzes e 4 moçs. A rzão entre o número de rpzes e o número de moçs é 8 4, o que 4 signific que pr cd rpzes há 4 moçs. Por outro ldo, rzão entre o número de rpzes e o totl de lunos é dd por 8 4, o que equivle dizer que de cd 7 lunos n clsse, 7 são rpzes. Rzão entre grndezs de mesm espécie A rzão entre dus grndezs de mesm espécie é o quociente dos números que epressm s medids desss grndezs num mesm unidde. Eemplo Um sl tem 8 m. Um tpete que ocupr o centro dess sl mede 84 dm. Vmos clculr rzão entre áre do tpete e áre d sl. Primeiro, devemos trnsformr s dus grndezs em um mesm unidde: Áre d sl: 8 m 8 dm Áre do tpete: 84 dm Estndo s dus áres n mesm unidde, podemos escrever rzão: 84dm 8dm Rzão entre grndezs de espécies diferentes Eemplo Considere um crro que às 9 hors pss pelo quilômetro de um estrd e, às hors, pelo quilômetro 7. Distânci percorrid: 7 km km 4 km Tempo gsto: h 9h h Clculmos rzão entre distânci percorrid e o tempo gsto pr isso: 4km 7km / h h A esse tipo de rzão dá-se o nome de velocidde médi. Observe que: - s grndezs quilômetro e hor são de nturezs diferentes; - notção km/h (lê-se: quilômetros por hor ) deve compnhr rzão. Eemplo A Região Sudeste (Espírito Snto, Mins Geris, Rio de Jneiro e São Pulo) tem um áre proimd de km e um populção de hbitntes, proimdmente, segundo estimtivs projetds pelo Instituto Brsileiro de Geogrfi e Esttístic (IBGE) pr o no de 995. Dividindo-se o número de hbitntes pel áre, obteremos o número de hbitntes por km (hb./km ):

13 ,5hb./ km A esse tipo de rzão dá-se o nome de densidde demográfic. A notção hb./km (lê-se: hbitntes por quilômetro qudrdo ) deve compnhr rzão. Eemplo Um crro percorreu, n cidde, 8,76 km com 8 L de gsolin. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse crro percorre com um litro de gsolin: 8, 76km 8l,47km / l A esse tipo de rzão dá-se o nome de consumo médio. A notção km/l (lê-se: quilômetro por litro ) deve compnhr rzão. Eemplo 4 Um sl tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é representdo num desenho por cm. Qul é escl do desenho? Escl comprimento i no i desenho cm comprimento i rel 8m cm 8cm ou: 4 4 A rzão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento rel, chm-se Escl. Proporção A iguldde entre dus rzões recebe o nome de proporção. N proporção 5 6 (lê-se: está pr 5 ssim como 6 está pr ), os números e são chmdos etremos, e os números 5 e 6 são chmdos meios. Observemos que o produto é igul o produto 5 6, o que crcteriz propriedde fundmentl ds proporções: Em tod proporção, o produto dos meios é igul o produto dos etremos. Eemplo 6 N proporção, temos 9 6 8; 9 e em 4 4, temos Eemplo N bul de um remédio pediátrico recomend-se seguinte dosgem: 5 gots pr cd kg do peso d crinç. Se um crinç tem kg, dosgem corret é dd por: 5gots kg kg gots Por outro ldo, se soubermos que form corretmente ministrds gots um crinç, podemos concluir que seu peso é 8 kg, pois: 5gots kg gots / p p 8kg (not: o procedimento utilizdo nesse eemplo é comumente chmdo de regr de três simples.) Proprieddes d Proporção O produto dos etremos é igul o produto dos meios: ess propriedde possibilit reconhecer qundo dus rzões formm ou não um proporção. 4 e 9 formm um proporção, pois Produtos dos etremos 4.9. Produtos dos meios. 6 6 A som dos dois primeiros termos está pr o primeiro (ou pr o segundo termo) ssim como som dos dois últimos está pr o terceiro (ou pr o qurto termo) ou A diferenç entre os dois primeiros termos está pr o primeiro (ou pr o segundo termo) ssim como diferenç entre os dois últimos está pr o terceiro (ou pr o qurto termo). 4 ou A som dos ntecedentes está pr som dos consequentes ssim como cd ntecedente está pr o seu consequente. 8 8 ou

14 A diferenç dos ntecedentes está pr diferenç dos consequentes ssim como cd ntecedente está pr o seu consequente ou Questões - (VUNESP - AgSegPenClsseI-V - ) Em um concurso prticiprm pessos e form provds 8. A rzão do número de cndidtos provdos pr o totl de cndidtos prticipntes do concurso é: A) / B) /5 C) 5/ D) /7 E) 6/7 (VNSP4/-AssistenteAdministrtivo-I ) Em um pdri, rzão entre o número de pessos que tomm cfé puro e o número de pessos que tomm cfé com leite, de mnhã, é /. Se durnte um semn, 8 pessos tomrem cfé de mnhã ness pdri, e supondo que ess rzão permneç mesm, pode-se concluir que o número de pessos que tomrão cfé puro será: A) 7 B) 86 C) 94 D) 5 E) - (PREF. NEPOMUCENO/MG TÉCNICO EM SEGU- RANÇA DO TRABALHO CONSULPLAN/) Num zoológico, rzão entre o número de ves e mmíferos é igul à rzão entre o número de nfíbios e répteis. Considerndo que o número de ves, mmíferos e nfíbios são, respectivmente, iguis 9, 57 e 6, quntos répteis eistem neste zoológico? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) (TRT - Técnico Judiciário) N figur bio, os pontos E e F dividem o ldo AB do retângulo ABCD em segmentos de mesm medid. é: A rzão entre áre do triângulo (CEF) e áre do retângulo ) /8 b) /6 c) / d) / e) /4 5 - (CREFITO/SP ALMOXARIFE VUNESP/) N bibliotec de um fculdde, relção entre quntidde de livros e de revists er de pr 4. Com compr de novos eemplres, ess relção pssou ser de pr. Assinle únic tbel que está ssocid corretmente ess situção. A) B) C) D) E) Nº de livros Nº de revists Antes d compr 5 Após compr Nº de livros Nº de revists Antes d compr 5 Após compr Nº de livros Nº de revists Antes d compr 5 Após compr Nº de livros Nº de revists Antes d compr 5 Após compr Nº de livros Nº de revists Antes d compr Após compr 5

15 6 - (CREFITO/SP ALMOXARIFE VUNESP/) Um rede vrejist teve um fturmento nul de 4, bilhões de reis com 4 lojs em um estdo. Considerndo que esse fturmento é proporcionl o número de lojs, em outro estdo em que há 8 lojs, o fturmento nul, em bilhões de reis, foi de A),75 B),95 C),5 D),5 E), (PREF. IMARUÍ AGENTE EDUCADOR PREF. IMARUÍ/4) De cd dez lunos de um sl de ul, seis são do seo feminino. Sbendo que nest sl de ul há dezoito lunos do seo feminino, quntos são do seo msculino? A) Doze lunos. B) Qutorze lunos. C) Dezesseis lunos. D) Vinte lunos. 8 - (TJ/SP ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO VUNESP/) Em um di de muit chuv e trânsito cótico, /5 dos lunos de cert escol chegrm trsdos, sendo que /4 dos trsdos tiverm mis de minutos de trso. Sbendo que todos os demis lunos chegrm no horário, pode-se firmr que nesse di, ness escol, rzão entre o número de lunos que chegrm com mis de minutos de trso e número de lunos que chegrm no horário, ness ordem, foi de A) : B) : C) :6 D) :4 E) :5 9 - (PMPP/-Escriturário-I-mnhã ) A rzão entre s iddes de um pi e de seu filho é hoje de 5/. Qundo o filho nsceu, o pi tinh nos. A idde do filho hoje é de A) nos B) nos C) 4 nos D) 6 nos E) 8 nos - (FAPESP ANALISTA ADMINISTRATIVO VUNESP/) Em um fundção, verificou-se que rzão entre o número de tendimentos usuários internos e o número de tendimento totl os usuários (internos e eternos), em um determindo di, ness ordem, foi de /5. Sbendo que o número de usuários eternos tendidos foi 4, pode-se concluir que, no totl, o número de usuários tendidos foi A) 84 B) C) 7 D) 8 E) 5 Resposts Respost B Respost A Sejm CP e CL o número de pessos que consumirm cfé puro e cfé com leite respectivmente. Como n semn o número totl de pessos que consumirm cfé foi de 8, temos que: CPCL 8 A relção encontrd entre eles é de ; ssim plicndo propriedde d proporção teremos:

16 8. CP.5 CP CP 7 - RESPOSTA: D Aplicndo-se o produto dos meios pelos etremos temos: 4 - Respost B 5 - RESPOSTA: A Pr cd livro temos 4 revists Signific que o número de revists é 4 o número de livros. 5 livros: revists Depois d compr livros : revists livros: revists 6 - RESPOSTA: C 4. 4, ,5 bilhões 7 - RESPOSTA: A Como 6 são do seo feminino, 4 são do seo msculino(-6 4).Então temos seguinte rzão: RESPOSTA: C Se /5 chegrm trsdos 4

17 9 RESPOSTA: C chegrm no horário tiverm mis de minutos de trso A rzão entre idde do pi e do filho é respectivmente, se qundo o filho nsceu o pi tinh, signific que hoje o pi tem, onde é idde do filho. Montndo proporção teremos: As sequêncis podem ser finits, qundo presentm um último termo, ou, infinits, qundo não presentm um último termo. As sequêncis infinits são indicds por reticêncis no finl. Eemplos: - Sequênci dos números primos positivos: (,, 5, 7,,, 7, 9,...). Notemos que est é um sequênci infinit com ; ; 5; 4 7; 5 ; 6 etc. - Sequênci dos números ímpres positivos: (,, 5, 7, 9,,...). Notemos que est é um sequênci infinit com ; ; 5; 4 7; 5 9; 6 etc. - Sequênci dos lgrismos do sistem deciml de numerção: (,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que est é um sequênci finit com ; ; ; 4 ; 5 4; 6 5; 7 6; 8 7; 9 8; 9.. Iguldde As sequêncis são presentds com os seus termos entre prênteses colocdos de form ordend. Sucessões que presentrem os mesmos termos em ordem diferente serão considerds sucessões diferentes. Dus sequêncis só poderão ser considerds iguis se, e somente se, presentrem os mesmos termos, n mesm ordem. Eemplo A sequênci (, y, z, t) poderá ser considerd igul à sequênci (5, 8, 5, 7) se, e somente se, 5; y 8; z 5; e t 7. Notemos que s sequêncis (,,,, 4, 5) e (5, 4,,, ) são diferentes, pois, embor presentem os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. - RESPOSTA: E Usuários internos: I Usuários eternos : E IE 4 5 5I I4 I 4 I. PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PA E PG). Progressão Aritmétic (PA) Podemos, no nosso di--di, estbelecer diverss sequêncis como, por eemplo, sucessão de ciddes que temos num vigem de utomóvel entre Brsíli e São Pulo ou sucessão ds dts de niversário dos lunos de um determind escol. Podemos, tmbém, dotr pr esss sequêncis um ordem numéric, ou sej, dotndo pr o º termo, pr o º termo té n pr o n-ésimo termo. Dizemos que o termo n é tmbém chmdo termo gerl ds sequêncis, em que n é um número nturl diferente de zero. Evidentemente, dremos tenção o estudo ds sequêncis numérics.. Formul Termo Gerl Podemos presentr um sequênci trvés de um determin o vlor de cd termo n em função do vlor de n, ou sej, dependendo d posição do termo. Est formul que determin o vlor do termo n e chmd formul do termo gerl d sucessão. Eemplos - Determinr os cincos primeiros termos d sequênci cujo termo gerl e igul : n n n,com n N* Teremos: A. A. A. A A Determinr os cinco primeiros termos d seqüênci cujo termo gerl é igul : n. n, com n N* Determinr os termos e d sequênci cujo termo gerl é igul : n 45 4 n, com n N*. 5

18 Teremos: Lei de Recorrêncis Um sequênci pode ser definid qundo oferecemos o vlor do primeiro termo e um cminho (um formul) que permite determinção de cd termo conhecendo-se o seu ntecedente. Ess form de presentção de um sucessão é dit de recorrêncis. Eemplos - Escrever os cinco primeiros termos de um sequênci em que: e n. n - 4, em que n N*. Teremos: (-4) Determinr o termo 5 de um sequênci em que: e n n, em que n N* Observção Devemos observr que presentção de um sequênci trvés do termo gerl é mis prtic, visto que podemos determinr um termo no meio d sequênci sem necessidde de determinrmos os termos intermediários, como ocorre n presentção d sequênci trvés d lei de recorrêncis. Observção Algums sequêncis não podem, pel su form desorgnizd de se presentrem, ser definids nem pel lei ds recorrêncis, nem pel formul do termo gerl. Um eemplo de um sequênci como est é sucessão de números nturis primos que já destruiu tods s tenttivs de se encontrr um formul gerl pr seus termos. 4. Artifícios de Resolução Em diverss situções, qundo fzemos uso de pens lguns elementos d PA, é possível, trvés de rtifícios de resolução, tornr o procedimento mis simples: PA com três termos: ( r), e ( r), rzão igul r. PA com qutro termos: ( r), ( r), ( r) e ( r), rzão igul r. PA com cinco termos: ( r), ( r),, ( r) e ( r), rzão igul r. Eemplo - Determinr os números, b e c cuj som é, igul 5, o produto é igul 5 e formm um PA crescente. Teremos: Fzendo (b r) e c (b r) e sendo b c 5, teremos: (b r) b (b r) 5 b 5 b 5. Assim, um dos números, o termo médio d PA, já é conhecido. Dess form sequênci pss ser: (5 r), 5 e ( 5 r ), cujo produto é igul 5, ou sej: (5 r).5. (5 r) 5 5 r r 4 ou r -. Sendo PA crescente, ficremos pens com r. Finlmente, teremos, b 5 e c Proprieddes P : pr três termos consecutivos de um PA, o termo médio é medi ritmétic dos outros dois termos. Eemplo Vmos considerr três termos consecutivos de um PA: n-, n e n. Podemos firmr que: I - n n- r II - n n r Fzendo I II, obteremos: n n- r n - r n n - n n Logo: n n - Portnto, pr três termos consecutivos de um PA o termo médio é medi ritmétic dos outros dois termos. 6. Termos Equidistntes dos Etremos Num sequênci finit, dizemos que dois termos são equidistntes dos etremos se quntidde de termos que precederem o primeiro deles for igul à quntidde de termos que sucederem o outro termo. Assim, n sucessão: (,,, 4,..., p,..., k,..., n-, n-, n-, n ), temos: e n- são termos equidistntes dos etremos; e n- são termos equidistntes dos etremos; 4 n- são termos equidistntes dos etremos. Notemos que sempre que dois termos são equidistntes dos etremos, som dos seus índices é igul o vlor de n. Assim sendo, podemos generlizr que, se os termos p e k são equidistntes dos etremos, então: p k n. 6

19 Propriedde Num PA com n termos, som de dois termos equidistntes dos etremos é igul à som destes etremos. Eemplo Sejm, num PA de n termos, p e k termos equidistntes dos etremos. Teremos, então: I - p (p ). r p p. r r II - k (k ). r k k. r r Fzendo I II, teremos: A p k p. r r k. r r A p k (p k ). r Considerndo que p k n, ficmos com: p k (n ). r p k (n ). r p k n Portnto num PA com n termos, em que n é um numero ímpr, o termo médios ( m ) é medi ritmétic dos etremos. A m n 7. Som dos n Primeiros Termos de um PA Vmos considerr PA (,,,, n-, n-, n ) e representr por Sn som dos seus n termos, ou sej: S n n- n- n (iguldde I) Podemos escrever tmbém: S n n n- n-... (iguldde II) Somndo-se I e II, temos: S n ( n ) ( n- ) ( n- ) ( n- ) ( n- ) ( n ) Considerndo que tods ests prcels, colocds entre prênteses, são formds por termos equidistntes dos etremos e que som destes termos é igul à som dos etremos, temos: S n ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) S n ( n ). n E, ssim, finlmente: S n ( n ).n Eemplo - Ache som dos sessent primeiros termos d PA (, 5, 8,...). Ddos: r 5 Clculo de 6 : A 6 59r Clculo d som: ] Sn ( )n n S6 ( ).6 6 S 6 S 6 54 ( 79).6 Respost: 54 Progressão Geométric (PG) PG é um sequênci numéric onde cd termo, prtir do segundo, é o nterior multiplicdo por um constnte q chmd rzão d PG. n n. q Com conhecido e n N* Eemplos - (, 6,, 4, 48,...) é um PG de primeiro termo e rzão q. - (-6, -8, -9, 9, 9,...) é um PG de primeiro termo -6 e rzão q. 4 - (5, 5, 5, 5,...) é um PG de primeiro termo 5 e rzão q. 9 - (-, -6, -8, -54,...) é um PG de primeiro termo - e rzão q. - (, -, 9, -7, 8, -4,...) é um PG de primeiro termo e rzão q -. - (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é um PG de primeiro termo 5 e rzão q. - (7,,,,,,...) é um PG de primeiro termo 7 e rzão q. - (,,,,,,...) é um PG de primeiro termo e rzão q qulquer. Observção: Pr determinr rzão de um PG, bst efetur o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido pelo nterior. q n n ( n ) Clssificção As clssificções geométrics são clssificds ssim: - Crescente: Qundo cd termo é mior que o nterior. Isto ocorre qundo > e q > ou qundo < e < q <. 7

20 - Decrescente: Qundo cd termo é menor que o nterior. Isto ocorre qundo > e < q < ou qundo < e q >. - Alternnte: Qundo cd termo present sinl contrrio o do nterior. Isto ocorre qundo q <. - Constnte: Qundo todos os termos são iguis. Isto ocorre qundo q. Um PG constnte é tmbém um PA de rzão r. A PG constnte é tmbém chmd de PG estcionri. - Singulr: Qundo zero é um dos seus termos. Isto ocorre qundo ou q. Formul do Termo Gerl A definição de PG está sendo presentd por meio de um lei de recorrêncis, e nos já prendemos nos módulos nteriores que formul do termo gerl é mis prtic. Por isso, estremos, neste item, procurndo estbelecer, prtir d lei de recorrêncis, fórmul do termo gerl d progressão geométric. Vmos considerr um PG de primeiro termo e rzão q. Assim, teremos:. q. q. q 4. q. q 5 4. q. q n. q n- Eemplos - Num PG de primeiro termo e rzão q, temos o termo gerl n igul : n. q n- n. n- Assim, se quisermos determinr o termo 5 dest PG, fremos: A Num PG de termo 5 e rzão q, temos o termo gerl n igul : n. q n- n 5. n- Assim, se quisermos determinr o termo 6 dest PG, fremos: A 6 5. () Num PG de primeiro termo e rzão - temos o termo gerl n igul : n. q n- n. (-) n- Assim, se quisermos determinr o termo 4 dest PG, fremos: A 4. (-) 4-7 Artifícios de Resolução Em diverss situções, qundo fzemos uso de pens lguns elementos d PG, é possível trvés de lguns elementos de resolução, tornr o procedimento mis simples. PG com três termos: q ; q PG com qutro termos: q ; q ; q; q q PG com cinco termos: q ; q ; ; q; q q Eemplo Considere um PG crescente formd de três números. Determine est PG sbendo que som destes números é e o produto é 7. Vmos considerr PG em questão formd pelos termos, b e c, onde e c b. q. Assim, b q. b. bq 7 b 7 b. Temos: q q q q q ou q Sendo PG crescente, considermos pens q. E, ssim, noss PG é dd pelos números:, e 9. Proprieddes P : Pr três termos consecutivos de um PG, o qudrdo do termo médio é igul o produto dos outros dois. Eemplo Vmos considerr três termos consecutivos de um PG: n-, n e n. Podemos firmr que: I n n-. q II n n q Fzendo I. II, obteremos: ( n ) ( n-. q). ( n q ) ( n ) n-. n Logo: ( n ) n-. n e Observção: Se PG for positive, o termo médio será medi geométric dos outros dois: n n-. n P : Num PG, com n termos, o produto de dois termos equidistntes dos etremos é igul o produto destes etremos. 8

21 Eemplo Sejm, num PG de n termos, p e k dois termos equidistntes dos etremos. Teremos, então: I p. q p- II k. q k- Multiplicndo I por II, ficremos com: p. k. q p-.. q k- p. k.. q p-k- Considerndo que p k n, ficmos com: p. k. n Portnto, num PG, com n termos, o produto de dois termos equidistntes dos etremos é igul o produto destes etremos. Observção: Num PG positiv, com n termos, onde n é um numero impr, o termo médio ( m ) é medi geométric dos etremos ou de termos equidistntes dos etremos. m. n Som dos termos de um PG Som dos n Primeiros Termos de um PG Vmos considerr PG (,,,..., n-, n-, n ), com q diferente de e representr por Sn som dos seus n termos, ou sej: S n... n- n- n ( iguldde I) Podemos escrever, multiplicndo-se, membro membro, iguldde ( I ) por q: q. S n q. q. q.... q. n- q. n- q. n Utilizndo formul do termo gerl d PG, ou sej, n. q n-, teremos: q. S n... n- n- n. q n (iguldde II) Subtrindo-se equção I d equção II, teremos: q. S n S n. q n s n. (q ). (q n ) E ssim: S n.(qn ) q Se tivéssemos efetudo subtrção ds equções em ordem invers, fórmul d som dos termos d PG ficri: S n.( qn ) q Evidentemente que por qulquer um dos cminhos o resultdo finl é o mesmo. É somente um questão de form de presentção. Série Convergente PG Convergente Dd sequênci (,,, 4, 5,..., n-, n-, n ), chmmos de serie sequênci S, S, S, S 4, S 5,..., S n-, s n-, s n,tl que: S S S S 4 4 S S n n- S n n- n- S n n- n- n Vmos observr como eemplo, num PG com primeiro termo 4 e rzão q, à série que el vi gerr. Os termos que vão determinr progressão geométric são: (4,,,,,,,,,, 4, 8, 6,, 64, 8, 56,...) 5 E, portnto, série correspondente será: S 4 S 4 6 S 4 7 S , 5 S , 75 4 S , 875 S , 975 S , S , S , Devemos notr que cd novo termo clculdo, n PG, o seu vlor numérico cd vez mis se proim de zero. Dizemos que est é um progressão geométric convergente. Por outro ldo, n serie, é cd vez menor prcel que se crescent. Dest form, o ultimo termos d serie vi tendendo um vlor que prece ser o limite pr série em estudo. No eemplo numérico, estuddo nteriormente, not-se clrmente que este vlor limite é o numero 8. Bem, vmos dr est discussão um cráter mtemático. Observção: Pr q, teremos s n n. 9

22 É clro que, pr PG ser convergente, é necessário que cd termo sej, um vlor bsoluto, inferior o nterior ele. Assim, temos que: PG convergente q < ou PG convergente - < Rest estbelecermos o limite d serie, que é o S n pr qundo n tende o infinito, ou sej, estbelecermos som dos infinitos termos d PG convergente. Vmos prtir d som dos n primeiros termos d PG: S n.( qn ) q Estndo q entre os números -e e, sendo n um epoente que tende um vlor muito grnde, pois estmos somndo os infinitos termos dest PG, é fácil deduzir que q n vi presentndo um vlor cd vez mis próimo de zero. Pr vlores etremmente grndes de n não constitui erro considerr que q n é igul zero. E, ssim, teremos: S q Observção: Qundo PG é não singulr (sequênci com termos não nulos) e rzão q é de tl form que q, serie é divergente. Séries divergentes não presentm som finit. Eemplos - A medid do ldo de um triângulo equilátero é. Unindose os pontos médios de seus ldos, obtém-se o segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos ldos deste novo tringulo equilátero, obtém-se um terceiro, e ssim por dinte, indefinidmente. Clcule som dos perímetros de todos esses triângulos. Solução: Temos: perímetro do º tringulo perímetro do º tringulo 5 perímetro do º tringulo 5 Logo, devemos clculr som dos termos d PG infinit, 5, 5,... n qul e q. S s q 6. Eercícios. Um progressão ritmétic e um progressão geométric têm, mbs, o primeiro termo igul 4, sendo que os seus terceiros termos são estritmente positivos e coincidem. Sbe-se ind que o segundo termo d progressão ritmétic ecede o segundo termo d progressão geométric em. Então, o terceiro termo ds progressões é: ) b) c) 4 d) 6 e) 8. O vlor de n que torn sequênci ( n; 5n; 4n) um progressão ritmétic pertence o intervlo: ) [, ] b) [, ] c) [, ] d) [, ] e) [, ]. Os termos d sequênci (; 8; ; 9; ; ; ; ) obedecem um lei de formção. Se n, em que n pertence N*, é o termo de ordem n dess sequênci, então 55 é igul : ) 58 b) 59 c) 6 d) 6 e) 6 4. A som dos elementos d sequênci numéric infinit (;,9;,9;,9; ) é: ), b),9 c),99 d), 999 e) 4 5. A som dos vinte primeiros termos de um progressão ritmétic é -5. A som do seto termo dess PA., com o décimo quinto termo, vle: ), b), c),5 d) -,5 e) -, 6. Os números que epressm os ângulos de um qudrilátero, estão em progressão geométric de rzão. Um desses ângulos mede:

23 ) 8 b) c) 6 d) 48 e) 5 7. Sbe-se que S onde últim prcel contém n lgrismos. Nests condições, o vlor de n - 9(S n) é: ) b) c) d) - e) - 8. Se som dos três primeiros termos de um PG decrescente é 9 e o seu produto é 79, então sendo, b e c os três primeiros termos, pede-se clculr o vlor de b c. 9. O limite d epressão onde é positivo, qundo o número de rdicis ument indefinidmente é igul : ) / b) c) d) n. e) 978. Quntos números inteiros eistem, de, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7? Resposts ) Respost D. Solução: Sejm (,,, ) PA de r e (g, g, g, ) PG de rzão q. Temos como condições iniciis: - g 4 - >, g > e g - g Reescrevendo () e () utilizndo s fórmuls geris dos termos de um PA e de um PG e () obtemos o seguinte sistem de equções: 4 - r e g g. q 4 r 4q 5 - r e g g. q 4 r 4q Epressndo, prtir d equção (5), o vlor de r em função de q e substituindo r em (4) vem: 5 - r 4q 4 r 4q 4-4 (4q ) 4q 4 8q 4 4q 4q 8q q(4q 8) q ou 4q 8 q Como g >, q não pode ser zero e então q. Pr obter r bst substituir q n equção (5): r 4q r 8 6 Pr concluir clculmos e g : r 4 6 g g.q g ) Respost B. Solução: Pr que sequênci se torne um PA de rzão r é necessário que seus três termos stisfçm s igulddes (plicção d definição de PA): () -5n n r () 4n -5n r Determinndo o vlor de r em () e substituindo em (): () r -5n n -8n () 4n -5n 8n 4n -n n 4n - 9n - n -/9 -/ Ou sej, - < n < e, portnto, respost corret é b. ) Respost B. Solução: Primeiro, observe que os termos ímpres d sequênci é um PA de rzão e primeiro termo - (; ; ; ; ). D mesm form os termos pres é um PA de rzão e primeiro termo igul 8 - (8; 9; ; ; ). Assim, s dus PA têm como termo gerl o seguinte formto: () i (i - ). i Pr determinr 55 precismos estbelecer regr gerl de formção d sequênci, que está intrinsecmente relciond às dus progressões d seguinte form: - Se n (índice d sucessão) é impr temos que n i -, ou sej, i (n )/; - Se n é pr temos n i ou i n/. Dqui e de () obtemos que: n [(n )/] - se n é ímpr n 8 (n/) - se n é pr Logo: 8 (/) e 55 [(55 )/] - 7 E, portnto: ) Respost E. Solução: Sejm S s soms dos elementos d sequênci e S som d PG infinit (,9;,9;,9; ) de rzão q -,. Assim: S S Como - < q < podemos plicr fórmul d som de um PG infinit pr obter S : S,9/( -,),9/,9 S 4 5) Respost D. Solução: Aplicndo fórmul d som dos primeiros termos d PA: S ( )/ -5 N PA finit de termos, o seto e o décimo quinto são equidistntes dos etremos, um vez que: 5 6 E, portnto: 6 5 Substituindo este vlor n primeir iguldde vem: ( 6 5 )/ -5 (6 5) / -,5.

24 6) Respost D. Solução: Sej o menor ângulo interno do qudrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométric de rzão, podemos escrever PG de 4 termos: (,, 4, 8). Or, som dos ângulos internos de um qudrilátero vle 6º. Logo, 4 8 6º 5. 6º Portnto, 4º. Os ângulos do qudrilátero são, portnto: 4º, 48º, 96º e 9º. O problem pede um dos ângulos. Logo, lterntiv D. 7) Respost B. Solução: Observe que podemos escrever som S como: S ( ) ( ) ( ) ( )... ( n ) S ( ) ( ) ( ) ( 4 )... ( n ) Como eistem n prcels, observe que o número ( ) é somdo n vezes, resultndo em n(-) - n. Logo, poderemos escrever: S ( 4... n ) n Vmos clculr som S n 4... n, que é um PG de primeiro termo, rzão q e último termo n n. Teremos: S n ( n.q ) / (q ) ( n. ) / ( ) ( n ) / 9 Substituindo em S, vem: S [( n ) / 9] n Desej-se clculr o vlor de n - 9(S n) Temos que S n [( n ) / 9] n n ( n ) / 9 Substituindo o vlor de S n encontrdo cim, fic: n 9(S n) n 9( n ) / 9 n ( n ). 8) Respost 89. Solução: Sendo q rzão d PG, poderemos escrever su form genéric: (/q,, q). Como o produto dos termos vle 79, vem: /q.. q 79 de onde concluímos que: , logo, 9. Portnto PG é do tipo: 9/q, 9, 9q É ddo que som dos termos vle 9, logo: 9/q 9 9q 9 de onde vem: 9/q 9q Multiplicndo mbos os membros por q, fic: 9 9q q Dividindo por e ordenndo, fic: q q, que é um equção do segundo gru. Resolvendo equção do segundo gru cim encontrremos q ou q /. Como é dito que PG é decrescente, devemos considerr pens o vlor q /, já que pr q, PG seri crescente. Portnto, PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o vlor de q vem: 7, 9,. O problem pede som dos qudrdos, logo: b c ) Respost B. Solução: Observe que epressão dd pode ser escrit como: /. /4. /8. /6 / / 4 /8 / O epoente é som dos termos de um PG infinit de primeiro termo / e rzão q /. Logo, som vlerá: S / ( q) ( /) / ( /) Então, / / 4 /8 /6... ) Respost 67. Solução: Ddos: M(5), 5,..., 9995,. M(7), 8,..., M(5) 5, 5,..., M(),,...,. Pr múltiplos de 5, temos: n (n-).r (n - ). 5 n 95/5 n 8. Pr múltiplos de 7, temos: n (n-).r 9996 (n - ). 7 n 9/7 n 86. Pr múltiplos de 5, temos: n (n - ).r (n - ).5 n 8995/5 n 57. Pr múltiplos de, temos: n (n -).r (n - ). n 9. Sbemos que os múltiplos de 5 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles precem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (dí dicionrmos um vez tl conjunto de múltiplos). Totl M() - M(5) - M(7) M(5). Totl CONCEITO DE NÚMERO IRRACIONAL E A REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS NÚMEROS REAIS. Números Reis O conjunto dos números reis R é um epnsão do conjunto dos números rcionis que englob não só os inteiros e os frcionários, positivos e negtivos, ms tmbém todos os números irrcionis. Os números reis são números usdos pr representr um quntidde contínu (incluindo o zero e os negtivos). Pode-se pensr num número rel como um frção deciml possivelmente infinit, como,459(...). Os números reis têm um correspondênci biunívoc com os pontos de um ret.

25 Denomin-se corpo dos números reis coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos rcionis, formdo pelo corpo de frções ssocido os inteiros (números rcionis) e norm ssocid o infinito. Eistem tmbém outrs conclusões dos rcionis, um pr cd número primo p, chmds números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formdo pelos rcionis e norm ssocid p! Propriedde O conjunto dos números reis com s operções bináris de som e produto e com relção nturl de ordem formm um corpo ordendo. Além ds proprieddes de um corpo ordendo, R tem seguinte propriedde: Se R for dividido em dois conjuntos (um prtição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então eiste um elemento que sepr os dois conjuntos, ou sej, é mior ou igul todo elemento de A e menor ou igul todo elemento de B. Ao conjunto formdo pelos números Irrcionis e pelos números Rcionis chmmos de conjunto dos números Reis. Ao unirmos o conjunto dos números Irrcionis com o conjunto dos números Rcionis, formndo o conjunto dos números Reis, tods s distâncis representds por eles sobre um ret preenchem-n por completo; isto é, ocupm todos os seus pontos. Por isso, ess ret é denomind ret Rel. Ordenção dos números Reis A representção dos números Reis permite definir um relção de ordem entre eles. Os números Reis positivos são miores que zero e os negtivos, menores. Epressmos relção de ordem d seguinte mneir: Ddos dois números Reis e b, b b Eemplo: -5 5 (-5) 5 5 Proprieddes d relção de ordem - Refleiv: - Trnsitiv: b e b c c - Anti-simétric: b e b b - Ordem totl: < b ou b < ou b Epressão proimd dos números Reis Os números Irrcionis possuem infinitos lgrismos decimis não-periódicos. As operções com est clsse de números sempre produzem erros qundo não se utilizm todos os lgrismos decimis. Por outro ldo, é impossível utilizr todos eles nos cálculos. Por isso, somos obrigdos usr proimções, isto é, cortmos o deciml em lgum lugr e desprezmos os lgrismos restntes. Os lgrismos escolhidos serão um proimção do número Rel. Observe como tommos proimção de e do número ns tbels. Flt Aproimção por Ecesso Podemos concluir que n representção dos números Reis sobre um ret, ddos um origem e um unidde, cd ponto d ret corresponde um número Rel e cd número Rel corresponde um ponto n ret. Erro menor que π π unidde 4 décimo,4,,5, centésimo,4,4,4,5 milésimo,44,4,45,4 décimo de milésimo,44,45,44,46

26 Operções com números Reis Operndo com s proimções, obtemos um sucessão de intervlos fios que determinm um número Rel. É ssim que vmos trblhr s operções dição, subtrção, multiplicção e divisão. Relcionmos, em seguid, um série de recomendções úteis pr operr com números Reis: - Vmos tomr proimção por flt. - Se quisermos ter um idei do erro cometido, escolhemos o mesmo número de css decimis em mbos os números. - Se utilizmos um clculdor, devemos usr proimção máim dmitid pel máquin (o mior número de css decimis). - Qundo opermos com números Reis, devemos fzer constr o erro de proimção ou o número de css decimis. - É importnte dquirirmos idéi de proimção em função d necessidde. Por eemplo, pr desenhr o projeto de um cs, bst tomr medids com um erro de centésimo. - Em gerl, pr obter um proimção de n css decimis, devemos trblhr com números Reis proimdos, isto é, com n css decimis. Pr colocr em prátic o que foi eposto, vmos fzer s qutro operções indicds: dição, subtrção, multiplicção e divisão com dois números Irrcionis. Vlor Absoluto Como vimos, o erro pode ser: - Por ecesso: neste cso, considermos o erro positivo. - Por flt: neste cso, considermos o erro negtivo. Qundo o erro é ddo sem sinl, diz-se que está ddo em vlor bsoluto. O vlor bsoluto de um número é designdo por e coincide com o número positivo, se for positivo, e com seu oposto, se for negtivo. Eemplo: Um livro nos custou 8,5 reis. Pgmos com um not de reis. Se nos devolve,6 rel de troco, o vendedor cometeu um erro de centvos. Ao contrário, se nos devolve,4 rel, o erro cometido é de centvos. Questões - (SABESP APRENDIZ FCC/) Um comercinte tem 8 prteleirs em seu empório pr orgnizr os produtos de limpez. Adquiriu cis desses produtos com uniddes cd um, sendo que quntidde totl de uniddes comprds será distribuíd igulmente entre esss prteleirs. Desse modo, cd prteleir receberá um número de uniddes, desses produtos, igul A) 4 B) 5 C) D) 6 E) 5 - (CÂMARA DE CANITAR/SP RECEPCIONISTA IN- DEC/) Em um bnc de revists eistem um totl de 87 eemplres dos mis vridos tems. Metde ds revists é d editor A, dentre s demis, um terço são publicções ntigs. Qul o número de eemplres que não são d Editor A e nem são ntigs? A) B) 9 C) 45 D) 45 4

27 - (TRT 6ª TÉCNICO JUDICIÁRIO- ADMINISTRATI- VA FCC/) Em um pri chmv tenção um ctdor de cocos ( águ do coco já hvi sido retird). Ele só pegv cocos inteiros e gi d seguinte mneir: o primeiro coco ele coloc inteiro de um ldo; o segundo ele dividi o meio e colocv s metdes em outro ldo; o terceiro coco ele dividi em três prtes iguis e colocv os terços de coco em um terceiro lugr, diferente dos outros lugres; o qurto coco ele dividi em qutro prtes iguis e colocv os qurtos de coco em um qurto lugr diferente dos outros lugres. No quinto coco gi como se fosse o primeiro coco e colocv inteiro de um ldo, o seguinte dividi o meio, o seguinte em três prtes iguis, o seguinte em qutro prtes iguis e segui n sequênci: inteiro, meios, três prtes iguis, qutro prtes iguis. Fez isso com etmente 59 cocos qundo lguém disse o ctdor: eu quero três quintos dos seus terços de coco e metde dos seus qurtos de coco. O ctdor consentiu e deu pr pesso A) 5 pedços de coco. B) 55 pedços de coco. C) 59 pedços de coco. D) 98 pedços de coco. E) pedços de coco. 4 - (UEM/PR AUXILIAR OPERACIONAL UEM/4) A mãe do Vitor fez um bolo e reprtiu em 4 pedços, todos de mesmo tmnho. A mãe e o pi comerm juntos, ¼ do bolo. O Vitor e su irmã comerm, cd um deles, ¼ do bolo. Quntos pedços de bolo sobrrm? A) 4 B) 6 C) 8 D) E) 5 - (UEM/PR AUXILIAR OPERACIONAL UEM/4) Pulo recebeu R$., de slário. Ele gstou ¼ do slário com luguel d cs e /5 do slário com outrs despess. Do slário que Pulo recebeu, quntos reis ind restm? A) R$, B) R$ 5, C) R$ 8, D) R$, E) R$ 4, 6 - (UFABC/SP TECNÓLOGO-TECNOLOGIA DA IN- FORMAÇÃO VUNESP/) Um jrdineiro preencheu prcilmente, com águ, bldes com cpcidde de 5 litros cd um. O primeiro blde foi preenchido com / de su cpcidde, o segundo com /5 d cpcidde, e o terceiro, com um volume correspondente à médi dos volumes dos outros dois bldes. A som dos volumes de águ nos três bldes, em litros, é A) 7. B) 7,5. C) 8. D) 8,5. E) (UFOP/MG ADMINISTRADOR DE EDIFICIOS UFOP/) Um pesso cminh 5 minutos em ritmo norml e, em seguid, minutos em ritmo celerdo e, ssim, sucessivmente, sempre interclndo os ritmos d cminhd (5 minutos normis e minutos celerdos). A cminhd foi inicid em ritmo norml, e foi interrompid pós 55 minutos do início. O tempo que ess pesso cminhou celerdmente foi: A) 6 minutos B) minutos C) 5 minutos D) minutos 8 - (PREF. IMARUÍ AGENTE EDUCADOR PREF. IMARUÍ/4) Sobre o conjunto dos números reis é CORRETO dizer: A) O conjunto dos números reis reúne somente os números rcionis. B) R* é o conjunto dos números reis não negtivos. C) Sendo A {-,}, os elementos do conjunto A não são números reis. D) As dízims não periódics são números reis. 9 - (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AU- XILIAR EM SAÚDE BUCAL VUNESP/) Pr numerr s págins de um livro, um impressor gst, ml por cd lgrismo impresso. Por eemplo, pr numerr s págins 7, 58 e 9 gst-se, respectivmente,, ml,, ml e, ml de tint. O totl de tint que será gsto pr numerr d págin té págin de um livro, em ml, será A),. B),. C),89. D),. E),56. - (BNDES TÉCNICO ADMINISTRATIVO CES- GRANRIO/) Gilberto levv no bolso três moeds de R$,5, cinco de R$, e qutro de R$,5. Gilberto retirou do bolso oito desss moeds, dndo qutro pr cd filho. A diferenç entre s quntis recebids pelos dois filhos de Gilberto é de, no máimo, A) R$,45 B) R$,9 C) R$, D) R$,5 E) R$,5 Resposts - RESPOSTA: E. Totl de uniddes: uniddes uniddes em cd prteleir. - RESPOSTA: B. editor A: 87/45 revists publicções ntigs: 45/45 revists 5

28 O número de eemplres que não são d Editor A e nem são ntigs são 9. - RESPOSTA: B. 4 vezes iguis Coco inteiro: 4 Metdes:4.8 Terç prte:4.4 Qurt prte:4.456 cocos: coco inteiro, metde dos cocos, terç prte Quntidde totl Coco inteiro: 45 Metdes: 8 Terç prte:445 Qurt prte : RESPOSTA B. Sobrou /4 do bolo. 5 - RESPOSTA: B. Aluguel: Outrs despess: Dividindo o totl d cminhd pelo tempo, temos: Assim, sbemos que pesso cminhou 7. (5 minutos minutos) 6 minutos (5 minutos minuto) Acelerdmente cminhou: (7.) 45 minutos 8 - RESPOSTA: D. A) errd - O conjunto dos números reis tem os conjuntos: nturis, inteiros, rcionis e irrcionis. B) errd R* são os reis sem o zero. C) errd - - e são números reis. 9 - RESPOSTA: C. 9 9 lgrismos, 9,9 ml De 99, temos que sber quntos números tem OBS: som, pois qunto subtrímos eclui-se o primeiro número. 9 números de lgrismos:, 9,8ml De números 9,,7ml,4ml Somndo:,9,8,7,4,89 - RESPOSTA: E. Supondo que s qutro primeirs moeds sejm s de R$,5 e de R$,5(miores vlores). Um filho receberi :,5,5R$,75 E s ours qutro moeds sejm de menor vlor: 4 de R$,R$,4. A mior diferenç seri de,75-,4,5 Dic: sempre que fl mior diferenç tem que o mior vlor possível o menor vlor. Restm :-85R$5, 6 - RESPOSTA: D. Primeiro blde:.5 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS DO º E º GRAUS. Segundo blde: Terceiro blde: A som dos volumes é : 99,58,5 litros 7 - RESPOSTA: C. A cminhd sempre vi ser 5 minutos e depois minutos, então 7 minutos o totl. Polinômios Pr polinômios podemos encontrr váris definições diferentes como: Polinômio é um epressão lgébric com todos os termos semelhntes reduzidos. Polinômio é um ou mis monômios seprdos por operções. As dus podem ser ceits, pois se pegrmos um polinômio encontrremos nele um epressão lgébric e monômios seprdos por operções. - y é monômio, ms tmbém considerdo polinômio, ssim podemos dividir os polinômios em monômios (pens um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). 6

29 - 5 é um polinômio e um epressão lgébric. Como os monômios, os polinômios tmbém possuem gru e é ssim que eles são seprdos. Pr identificr o seu gru, bst observr o gru do mior monômio, esse será o gru do polinômio. Com os polinômios podemos efetur tods s operções: dição, subtrção, divisão, multiplicção, potencição. O procedimento utilizdo n dição e subtrção de polinômios envolve técnics de redução de termos semelhntes, jogo de sinl, operções envolvendo sinis iguis e sinis diferentes. Observe os eemplos seguir: Adição Eemplo Adicionr com 8 6. ( ) ( 8 6) eliminr o segundo prênteses trvés do jogo de sinl. ( ) (8) 8 ( 6) reduzir os termos semelhntes Portnto: ( ) ( 8 6) 5 7 Eemplo Adicionndo 4 5 e 6, teremos: (4 5) (6 ) eliminr os prênteses utilizndo o jogo de sinl reduzir os termos semelhntes Portnto: (4 5) (6 ) Subtrção Eemplo Subtrindo 6 de (5 9 8) ( 6) eliminr os prênteses utilizndo o jogo de sinl. ( ) () ( 6) reduzir os termos semelhntes Portnto: (5 9 8) ( 6) 8 9 Eemplo Se subtrirmos ³ 5² e ³ ² 5 teremos: (³ 5² ) (³ ² 5) eliminndo os prênteses trvés do jogo de sinis. ³ 5² ³ ² 5 redução de termos semelhntes. ³ ³ 5² ² 5 ³ 6² 6 6² 6 Portnto: (³ 5² ) (³ ² 5) 6² 6 Eemplo Considerndo os polinômios A 6³ 5² 8 5, B ³ 6² 9 e C ³ 7² 9. Clcule: ) A B C (6³ 5² 8 5) (³ 6² 9 ) (³ 7² 9 ) 6³ 5² 8 5 ³ 6² 9 ³ 7² 9 6³ ³ ³ 5² 6² 7² ³ 6² 8 45 A B C 9³ 6² 8 45 b) A B C (6³ 5² 8 5) (³ 6² 9 ) (³ 7² 9 ) 6³ 5² 8 5 ³ 6² 9 ³ 7² 9 6³ ³ ³ 5² 6² 7² ³ ³ ² 7² ³ 4² 8 5 A B C ³ 4² 8 5 A multiplicção com polinômio (com dois ou mis monômios) pode ser relizd de três forms: Multiplicção de monômio com polinômio. Multiplicção de número nturl com polinômio. Multiplicção de polinômio com polinômio. As multiplicções serão efetuds utilizndo s seguintes proprieddes: - Propriedde d bse igul e epoente diferente: n. m n m - Monômio multiplicdo por monômio é o mesmo que multiplicr prte literl com prte literl e coeficiente com coeficiente. Multiplicção de monômio com polinômio - Se multiplicrmos por (5 ), teremos:. (5 ) plicr propriedde distributiv (-) 5 9 Portnto: (5 ) Se multiplicrmos - por (5 ), teremos: - (5 ) plicndo propriedde distributiv (-) - Portnto: - (5 ) - 7

30 Multiplicção de número nturl - Se multiplicrmos por ( 5), teremos: ( 5) plicr propriedde distributiv Portnto: ( 5) 6 5. Multiplicção de polinômio com polinômio - Se multiplicrmos ( ) por (5 ) ( ). (5 ) plicr propriedde distributiv Portnto: ( ). (5 ) Multiplicndo ( ) por (5 ), teremos: ( ) (5 ) plicr propriedde distributiv.. (5). (-). 5. (-). 5. (-) Portnto: ( ) (5 ) Divisão A compreensão de como funcion divisão de polinômio por monômio irá depender de lgums definições e conhecimentos. Será preciso sber o que é um monômio, um polinômio e como resolver divisão de monômio por monômio. Dess form, vej seguir um breve eplicção sobre esses ssuntos. Polinômio é um epressão lgébric rcionl e inteir, por eemplo: y y y 5 b Monômio é um tipo de polinômio que possui pens um termo, ou sej, que possui pens coeficiente e prte literl. Por eemplo: é o coeficiente e prte literl. y é o coeficiente e y prte literl. -5y 6-5 é o coeficiente e y 6 prte literl. Divisão de monômio por monômio Ao resolvermos um divisão onde o dividendo e o divisor são monômios devemos seguir regr: dividimos coeficiente com coeficiente e prte literl com prte literl. Eemplos: 6 : 6. Observção: o dividirmos s prtes literis temos que estr tentos à propriedde que diz que bse igul n divisão, repete bse e subtri os epoentes. Depois de relembrr esss definições vej lguns eemplos de como resolver divisões de polinômio por monômio. Eemplo: ( b 8b ) : (b ) O dividendo b 8b é formdo por dois monômios. Dess form, o divisor b, que é um monômio, irá dividir cd um deles, vej: ( b 8b ) : (b ) Assim, trnsformmos divisão de polinômio por monômio em dus divisões de monômio por monômio. Portnto, pr concluir ess divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e prte literl por prte literl. ou Portnto, ( b 8b ) : (b ) 5 b 4 Eemplo: (9 y 6 y y) : ( y) O dividendo 9 y 6 y y é formdo por três monômios. Dess form, o divisor y, que é um monômio irá dividir cd um deles, vej: Assim, trnsformmos divisão de polinômio por monômio em três divisões de monômio por monômio. Portnto, pr concluir ess divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e prte literl por prte literl. Portnto, Eercícios. Um Cderno cust y reis. Gláuci comprou 4 cdernos, Cristin comprou 6, e Krin comprou. Qul é o monômio que epress qunti que s três gstrm junts?. Suponh que medid do ldo de um qudrdo sej epress por 6², em que represent um número rel positivo. Qul o monômio que vi epressr áre desse qudrdo? 8

31 . Um cderno de folhs cust reis, e um cderno de folhs cust y reis. Se Noêmi comprr 7 cdernos de folhs e cdernos de folhs, qul é epressão lgébric que irá epressr qunti que el irá gstr? 4. Escreve de form reduzid o polinômio:, 5y,8y y,4y. 5. Clcule de dois modos (7 y 5y) (- 4y y) 6. Determine P P P, ddos os Polinômios: P ² ²y² - 7y² P ² 8²y² y² P 5² 7²y² - 9y² 7. Qul é o polinômio P que, diciondo o polinômio y 5 y 4 y² 5y, dá como resultdo o polinômio y 5 y 4 y y² 4y? 8. Qul é form mis simples de se escrever o polinômio epresso por: ( ) ( ) ( )? 9. Qul mneir pr se clculr multiplicção do seguinte polinômio: ( y)( y)?. Clcule: ( 5 b² 4 b³ 48³b 4 ) (4b). Resposts ) Respost y reis. Solução: 4y 6y y (4 6 )y y Logo, s três junts gstrm y reis. ) Respost 6 4. Solução: Áre: (6²)² (6)². ()² 6 4 Logo, áre é epress por 6 4. ) Respost 7 y. Solução: 7 cdernos reis cd um: 7 reis cdernos y reis cd um: y reis. Portnto, qunti que Noêmi gstrá n compr dos cdernos é epress por: 7 y um epressão lgébric que indic dição de monômios. 4) Respost,,65y,8y. Solução:, 5y,8y y,4y, 5y,4y,8y y propriedde comuttiv,,65y,8y reduzindo os termos semelhntes Então:,,65y,8y é form reduzid do polinômio ddo. 5) Respost 5 y 4y. Solução: Modo: (7 y 5y) ( 4y y) 7 y 5y 4y y 7 y 4y 5y y 5 y 4y Modo: 7 y 5y 4y y y 4y 6) Respost ² ²y² 5y². Solução: (² ²y² - 7y²) (² 8²y² y²) (5² 7²y² - 9y²) ² ²y² 7y² ² 8²y² y² 5² 7²y² 9y² ² ² 5² ²y² 8²y² 7²y² 7y² y² 9y² ² ²y² 5y² Logo, P P P ² ²y² 5y². 7) Respost y 5 y 4 y y² y. Solução: P (y 5 y 4 y² 5y ) (y 5 y 4 y y² 4y ). Dí: P (y 5 y 4 y y² 4y ) (y 5 y 4 y² 5y ) y 5 y 4 y y² 4y y 5 y 4 y² 5y y 5 y 5 y 4 y 4 y y² y² 4y 5y y 5 y 4 y y² y. Logo, o polinômio P procurdo é y 5 y 4 y y² y. 8)Respost 5 7² ². Solução: ( ) ( ) ( ) 6 4² ² ² 6 4² ² ² 5 7² ² 9) Respost 6² y y². Solução: Nesse cso podemos resolve de dus mneirs: Mneir: ( y)( y).. y y. y. y 6² 4y y y² 6² y y² Mneir: y y ² 4y y y² ² y y² 9

32 ) Respost 4 b 5³b² ²b³. Solução: ( 5 b² 4 b³ 48³b 4 ) (4b) ( 5 b² 4b) ( 4 b³ 4b) (48³b 4 4b) 4 b 5³b² ²b³ Cálculos Algébricos Epressões Algébrics são quels que contêm números e letrs. E: ²b Vriáveis são s letrs ds epressões lgébrics que representm um número rel e que de princípio não possuem um vlor definido. Vlor numérico de um epressão lgébric é o número que obtemos substituindo s vriáveis por números e efetumos sus operções. E: Sendo e y, clcule o vlor numérico (VN) d epressão: ² y» ² Portndo o vlor numérico d epressão é. Monômio: os números e letrs estão ligdos pens por produtos. E : 4 Polinômio: é som ou subtrção de monômios. E: 4y Termos semelhntes: são queles que possuem prtes literis iguis ( vriáveis ) E: ³ y² z e ³ y² z» são termos semelhntes pois possuem mesm prte literl. Adição e Subtrção de epressões lgébrics Pr determinrmos som ou subtrção de epressões lgébrics, bst somr ou subtrir os termos semelhntes. Assim: ³ y² z ³ y² z 5³ y² z ou ³ y² z - ³ y² z -³ y² z Convém lembrr dos jogos de sinis. N epressão ( ³ y² ) ( y ² - ) ³ y² y² ³ y² Multiplicção e Divisão de epressões lgébrics N multiplicção e divisão de epressões lgébrics, devemos usr propriedde distributiv. Eemplos: ) ( y ) y ) (b)(y) y b by ) ( ² y ) ³ y Pr multiplicrmos potêncis de mesm bse, conservmos bse e sommos os epoentes. N divisão de potêncis devemos conservr bse e subtrir os epoentes Eemplos: ) 4² : ) ( 6 ³ - 8 ) : ² - 4 ) ( ) :( - ) - Resolução: Pr inicirmos s operções devemos sber o que são termos semelhntes. Dizemos que um termo é semelhnte do outro qundo sus prtes literis são idêntics. Vej: 5 e 4 são dois termos, s sus prtes literis são e, s letrs são iguis, ms o epoente não, então esses termos não são semelhntes. 7b e b são dois termos, sus prtes literis são b e b, observmos que els são idêntics, então podemos dizer que são semelhntes. Adição e subtrção de monômios Só podemos efetur dição e subtrção de monômios entre termos semelhntes. E qundo os termos envolvidos n operção de dição ou subtrção não forem semelhntes, deimos pens operção indicd. Vej: Ddo os termos 5y, y, como os dois termos são semelhntes eu posso efetur dição e subtrção deles. 5y y devemos somr pens os coeficientes e conservr prte literl. 5 y 5y - y devemos subtrir pens os coeficientes e conservr prte literl. - 5 y Vej lguns eemplos: - - como os coeficientes são frções devemos tirr o mmc de 6 e y 7y 5 devemos primeiro unir os termos semelhntes. y 7y 4 5 gor efetumos som e subtrção. -5y como os dois termos restntes não são semelhntes, devemos deir pens indicdo à operção dos monômios.

33 Reduz os termos semelhntes n epressão Depois clcule o seu vlor numérico d epressão reduzindo os termos semelhntes os termos estão reduzidos, gor vmos chr o vlor numérico dess epressão. Pr clculrmos o vlor numérico de um epressão devemos ter o vlor de su incógnit, que no cso do eercício é letr. Vmos supor que -, então substituindo no lugr do o - termos: (-) 8. (-) Multiplicção de monômios Pr multiplicrmos monômios não é necessário que eles sejm semelhntes, bst multiplicrmos coeficiente com coeficiente e prte literl com prte literl. Sendo que qundo multiplicmos s prtes literis devemos usr propriedde d potênci que diz: m. n m n (bses iguis n multiplicção repetimos bse e sommos os epoentes). ( b). (- 5b ) n multiplicção dos dois monômios, devemos multiplicr os coeficientes. (-5) e n prte literl multiplicmos s que têm mesm bse pr que possmos usr propriedde m. n m n.. ( - 5)... b. b -5 b -5 b 4 Divisão de monômios Pr dividirmos os monômios não é necessário que eles sejm semelhntes, bst dividirmos coeficiente com coeficiente e prte literl com prte literl. Sendo que qundo dividirmos s prtes literis devemos usr propriedde d potênci que diz: m : n m - n (bses iguis n divisão repetimos bse e diminuímos os epoentes), sendo que. (- y ) : (- 4y ) n divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes - e - 4 e n prte literl dividirmos s que têm mesm bse pr que possmos usr propriedde m : n m n. - : ( 4). :. y : y 5 y 5 y 5 Potencição de monômios N potencição de monômios devemos novmente utilizr um propriedde d potencição: (I) (. b) m m. b m (II) (m) n m. n Vej lguns eemplos: (-5 b 6 ) plicndo propriedde (I). (-5). ( ). (b 6 ) plicndo propriedde (II) b 5 4 b Eercícios. Determine o 7º termo do binômio ( )9, desenvolvido segundo s potêncis decrescentes de.. Qul o termo médio do desenvolvimento de ( y)8?. Desenvolvendo o binômio ( - y)n, obtemos um polinômio de 6 termos. Qul o vlor de n? 4. Determine o termo independente de no desenvolvimento de ( / )6. 5. Clcule: (²-) (-²4). 6. Efetue e simplifique o seguinte clculo lgébrico: (). (4). 7. Efetue e simplifique os seguintes cálculos lgébricos: ) ( - y).(² - y y²) b) ( - y).( y).( - y) 8. Dd epressão lgébric bc b, determine o seu vlor numérico qundo b, e c,8. 9. Clcule o vlor numérico d epressão y, qundo - e y -4.. Um cderno curt y reis. Gláuci comprou 4 cdernos, Cristin comprou 6 cdernos, e Krin comprou. Qul é o monômio que epress qunti que s três gstrm junts? Resposts ) Respost 67. Solução: Primeiro temos que plicr fórmul do termo gerl de ( b)n, onde: b n 9 Como queremos o sétimo termo, fzemos p 6 n fórmul do termo gerl e efetumos os cálculos indicdos. Temos então: T 6 T 7 C 9,6. () 9-6 () 6 9! () [(9-6)! 6!] ! 8³67³...6! Portnto o sétimo termo procurdo é 67. ) Respost 974y4. Solução: Temos: b y n 8

34 Sbemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n 8. Or sendo T T T T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T 5 (quinto termo). Logo, o nosso problem resume-se o cálculo do T5. Pr isto, bst fzer p 4 n fórmul do termo gerl e efetur os cálculos decorrentes. Teremos: T 4 T 5 C 8,4. () 8-4. (y) 4 8!. () 4. (y) 4 [(8-4)!.4!] ! y 4 (4!.4... Fzendo s conts vem: T y y 4, que é o termo médio procurdo. ) Respost 5. Solução: Or, se o desenvolvimento do binômio possui 6 termos, então o epoente do binômio é igul 5. Logo, n 5 de onde se conclui que n 5. 4) Respost. Solução: Sbemos que o termo independente de é quele que não depende de, ou sej, quele que não possui. Temos no problem ddo: b n 6. Pel fórmul do termo gerl, podemos escrever: T p C 6,p. 6-p. ( ) p C 6,p. 6-p. -p C 6,p. 6-p. Or, pr que o termo sej independente de, o epoente dest vriável deve ser zero, pois. Logo, fzendo 6 - p, obtemos p. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurdo. Temos então: T T 4 C 6,. C 6, 6! [(6-)!.!] !!.. Logo, o termo independente de é o T 4 (qurto termo) que é igul. 5) Solução: (²-) (-²4) ² ² 4 ² 6 6) Solução: ().(4) 8² 8² 4 7) - Solução: ( - y).(² - y y²) ³ - ²y y² - ²y y² - y³ ³ - ²y y² - y³ b - Solução: ( - y).( y).( - y) ( - y).(6² - y y - y²) ( - y).(6² - y - y²) 8³ - ²y - y² - 6²y y² y³ 8³ - 9²y - y² y³ 8) Respost -,88. Solução: bc b,.,8, (Substituímos s letrs pelos vlores pssdos no enuncido),96 4,84 -,88. Portnto, o vlor procurdo é,88. 9) Respost -4. Solução: y.(-)² -.(-4) (Substituímos s letrs pelos vlores do enuncido d questão).(7).(-4) (-54) (-4) Portnto -4 é o vlor procurdo n questão. ) Respost y reis. Solução: Como Gláuci gstou 4y reis, Cristin 6y reis e Krin y reis, podemos epressr esss quntis junts por: 4y 6y y (4 6 )y y Importnte: Num epressão lgébric, se todos os monômios ou termos são semelhntes, podemos tornr mis simples epressão somndo lgebricmente os coeficientes numéricos e mntendo prte literl. Equção do º Gru Vej ests equções, ns quis há pens um incógnit: 6 (equção de º gru) y 5y (equção de º gru) (equção de º gru) 5 O método que usmos pr resolver equção de º gru é isolndo incógnit, isto é, deir incógnit sozinh em um dos ldos d iguldde. Pr conseguir isso, há dois recursos: - inverter operções; - efetur mesm operção nos dois ldos d iguldde. Eemplo Resolução d equção 6, invertendo operções. Procedimento e justifictiv: Se dá 6, conclui-se que dá 6, isto é, 8 (invertemos subtrção). Se é igul 8, é clro que é igul 8 :, ou sej, 6 (invertemos multiplicção por ).

35 Registro Eemplo Resolução d equção 5, efetundo mesm operção nos dois ldos d iguldde. Procedimento e justifictiv: Multiplicmos os dois ldos d equção por mmc (;5). Dess form, são elimindos os denomindores. Fzemos s simplificções e os cálculos necessários e isolmos, sempre efetundo mesm operção nos dois ldos d iguldde. No registro, s operções feits nos dois ldos d iguldde são indicds com s sets curvs verticis. Registro /5 / (-) 4 9 9/4,5 Há tmbém um processo prático, bstnte usdo, que se bsei nesss ideis e n percepção de um pdrão visul. - Se b c, conclui-se que c b. N primeir iguldde, prcel b prece somndo no ldo esquerdo; n segund, prcel b prece subtrindo no ldo direito d iguldde. - Se. b c, conclui-se que c b, desde que b. N primeir iguldde, o número b prece multiplicndo no ldo esquerdo; n segund, ele prece dividindo no ldo direito d iguldde. O processo prático pode ser formuldo ssim: - Pr isolr incógnit, coloque todos os termos com incógnit de um ldo d iguldde e os demis termos do outro ldo. - Sempre que mudr um termo de ldo, invert operção. Eemplo Resolução d equção 5() processo prático. (). (-) -, usndo o Procedimento e justifictiv: Inicimos d form hbitul, multiplicndo os dois ldos pelo mmc (;) 6. A seguir, pssmos efetur os cálculos indicdos. Neste ponto, pssmos usr o processo prático, colocndo termos com incógnit à esquerd e números à direit, invertendo operções. 6. 5() - 6. (). (-) 6. 5( ) ( )( ) 5 ( 6) 5 ( 6) Note que, de início, ess últim equção prentv ser de º gru por cus do termo - no seu ldo direito. Entretnto, depois ds simplificções, vimos que foi reduzid um equção de º gru (7 4). Eercícios. Resolv seguinte equção: -. Resolv:. Clcule: ) b) - c) Eistem três números inteiros consecutivos com som igul 9. Que números são esses? 5. Determine um número rel pr que s epressões ( 6)/ 8 e ( )/6 sejm iguis. 6. Determine o vlor d incógnit : ) 8 b) 7.(-) 5 (9) 7. Verifique se três é riz de Verifique se - é riz de ² Qundo o número n equção ( k ). ( k 5 ).4 4k vle, qul será o vlor de K?. Resolv s equções seguir: ) b) c) y - 5 ( y) (y - ) - Registro 5() - (). (-)

36 ) Respost - 7 Solução: Resposts 6( - ) - ( ) 4-4( - 4) (-) ) Respost Solução: ) Solução: ) (-) b) - () c) ) Respost ; e. Solução: ( ) ( ) Então, os números procurdos são:, e. 5) Respost. Solução: ( 6) / 8 ( ) / 6 6 ( 6) 8 ( ) / 6) Solução: ) V {9} b) 7.(-) 5 (9) V {} 7) Respost Verddeir. Solução: verddeir Então é riz de 5 6 8) Respost Errd. Solução: 6 (-). (-) Então, - não é riz de 6 9) Respost k 9 5 Solução: (k ). (k 5).4 4k k 9 8k 4k k 8k 4k 9 5k 9 k 9 5 ) Respost ) /8 6 b) /4 ¾ 4

37 c) y - 5-5y 6y - 6-5y - 6y y - y Equção do º Gru Denomin-se equção do º gru n incógnit tod equção d form b c, em que, b, c são números reis e. Ns equções de º gru com um incógnit, os números reis epressos por, b, c são chmdos coeficientes d equção: - é sempre o coeficiente do termo em. - b é sempre o coeficiente do termo em. - c é sempre o coeficiente ou termo independente. Equção complet e incomplet: - Qundo b e c, equção do º gru se diz complet. Eemplos 5 8 é um equção complet ( 5, b 8, c ). y y é um equção complet (, b, c ). - Qundo b ou c ou b c, equção do º gru se diz incomplet. Eemplos 8 é um equção incomplet (, b e c 8). t t é um equção incomplet (, b e c ). 5y é um equção incomplet ( 5, b e c ). Tods esss equções estão escrits n form b c, que é denomind form norml ou form reduzid de um equção do º gru com um incógnit. Há, porém, lgums equções do º gru que não estão escrits n form b c ; por meio de trnsformções convenientes, em que plicmos o princípio ditivo e o multiplictivo, podemos reduzi-ls ess form. Eemplo: Pelo princípio ditivo Eemplo: Pelo princípio multiplictivo ( - 4) - ( - 4) ( - 4) 4( 4) ( 4) ( - 4) Resolução ds equções incomplets do º gru com um incógnit. - A equção é d form b. 9 colocmos em evidênci. ( 9) ou 9 9 Logo, S {, 9} e os números e 9 são s rízes d equção. - A equção é d form c. 6 Ftormos o primeiro membro, que é um diferenç de dois qudrdos. ( 4). ( 4) Logo, S { 4, 4}. Fórmul de Bhskr Usndo o processo de Bhskr e prtindo d equção escrit n su form norml, foi possível chegr um fórmul que vi nos permitir determinr o conjunto solução de qulquer equção do º gru de mneir mis simples. Ess fórmul é chmd fórmul resolutiv ou fórmul de Bhskr. -b - Δ. Nest fórmul, o fto de ser ou não número rel vi depender do discriminnte r; temos então, três csos estudr. º cso: Δ é um número rel positivo ( Δ > ). Neste cso, Δ é um número rel, e eistem dois vlores reis diferentes pr incógnit, sendo costume representr esses vlores por e, que constituem s rízes d equção. -b - Δ. º cso: Δ é zero ( Δ ). -b Δ. -b - Δ. Neste cso, Δ é igul zero e ocorre: -b - Δ. -b -. -b -. -b Observmos, então, eistênci de um único vlor rel pr incógnit, embor sej costume dizer que equção tem dus rízes reis e iguis, ou sej: -b º cso: Δ é um número rel negtivo ( Δ < ). Neste cso, Δ não é um número rel, pois não há no conjunto dos números reis riz qudrd de um número negtivo. Dizemos então, que não há vlores reis pr incógnit, ou sej, equção não tem rízes reis. 5

38 A eistênci ou não de rízes reis e o fto de els serem dus ou um únic dependem, eclusivmente, do discriminnte Δ b 4..c; dí o nome que se dá ess epressão. N equção b c - Δ b 4..c - Qundo Δ, equção tem rízes reis. - Qundo Δ <, equção não tem rízes reis. - Δ > (dus rízes diferentes). - Δ (um únic riz). Eemplo: Resolver equção 8 no conjunto R. temos:, b e c 8 Δ b 4..c () 4. (). ( 8) 4 6 > Como Δ >, equção tem dus rízes reis diferentes, dds por: -b - Δ. - 6 Então: S {-4, }. -() () (U. Cis do Sul-RS) Se um ds rízes d equção p 4 é 8, então o vlor de p é: ) 5 b) c) 7 d) 5 e) 7 8. O número de soluções reis d equção: , com e - é: ) b) c) - d) e) 4 9. O(s) vlor(es) de B n equção B 4 pr que o discriminnte sej igul 65 é(são): ) b) 9 c) 9 d) 9 ou 9 e) 6. Se 4, então: ) ou b) ou c) ou d) ou 4 e) 4 ou Eercícios. Um vlor de b, pr que equção b tenh dus rízes reis e iguis é: ) b) c) 4 d) 5 e) 6 Resposts. As rízes reis d equção,5,,6 são: ) 5 e b) 5 e c) - 5 e - 5 d) - 5 e e) 5 e -. As rízes d equção são: ), e b), e c), e d), e e), e 4. Verifique se o número 5 é riz d equção Determine o vlor de m n equção (m ) pr que s rízes sejm simétrics. 6. Determine o vlor de p n equção (p 5) pr que s rízes sejm simétrics.. Respost D. Solução: 4 4 ( 4) 4-4 ) Respost E. Solução:,5,,6,5, -,6 () 5-6 Δ b 4..c Δ Δ 6 Δ ) Respost D Solução ( ) 8 5 ou - - 6

39 Δ b 4..c Δ Δ 4 Δ 6 -(-) ) Respost Não. Solução: - 4 S -b -6-6 P c Rízes: {-6,} Ou 6 ( 6) ou 6-6 5) Respost -. Solução: S -b - m - m - -(m ) 6) Respost -5/. Solução: (p 5) (-) - (p 5) 6 ou m - P c - - Δ 4 9 Δ ) Respost D. Solução: B 4 b 4..c b b 6 65 b 65 6 b 8 b 9 b -B B ±9 ) Respost C. Solução: B b 4..c b 4.. b - 6 b 6 b 6 b ou CONCEITO DE NÚMERO COMPLEXO E SUAS REPRESENTAÇÕES (GEOMÉTRICA, ALGÉBRICA E TRIGONOMÉTRICA), RAÍZES. S -b p 5 p -5 p - 5/ -(p 5) - 7) Respost C Solução: p 4 8 p p 4 8 4p 4-4p - 68 (-) p 68/4 p 7 8) Respost C. Solução: (-6 4 ) ( - ) Δ b 4..c Δ p 5 P -4 c - - NÚMEROS COMPLEXOS Qunts vezes, o clculrmos o vlor de Delt (b - 4c) n resolução d equção do º gru, nos deprmos com um vlor negtivo (Delt < ). Nesse cso, sempre dizemos ser impossível riz no universo considerdo (normlmente no conjunto dos reis- R). A prtir dí, vários mtemáticos estudrm este problem, sendo Guss e Argnd os que relmente conseguirm epor um interpretção geométric num outro conjunto de números, chmdo de números compleos, que representmos por C. Números Compleos Chm-se conjunto dos números compleos, e represent-se por C, o conjunto de pres ordendos, ou sej: z (,y) onde pertence R e y pertence R. Então, por definição, se z (,y) (,) (y,)(,) onde i(,), podemos escrever que: z(,y)yi Eemplos: (5,)5i (,)i (-,)-i 7

40 Dess form, todo o números compleo z(,y) pode ser escrito n form zyi, conhecido como form lgébric, onde temos: Re(z, prte rel de z yim(z), prte imginári de z Iguldde entre números compleos: Dois números compleos são iguis se, e somente se, presentm simultnemente iguis prte rel e prte imginári. Assim, se z bi e z cdi, temos que: z z <> c e bd Módulo de um número compleo: Ddo z bi, chm-se módulo de z > z ( b ) /, conhecido como ro Interpretção geométric: Como dissemos, no início, interpretção geométric dos números compleos é que deu o impulso pr o seu estudo. Assim, representmos o compleo z bi d seguinte mneir Adição de números compleos: Pr somrmos dois números compleos bst somrmos, seprdmente, s prtes reis e imgináris desses números. Assim, se zbi e z cdi, temos que: z z (c) (bd) Subtrção de números compleos: Pr subtrirmos dois números compleos bst subtrirmos, seprdmente, s prtes reis e imgináris desses números. Assim, se zbi e z cdi, temos que: z -z (-c) (b-d) Potêncis de i Se, por definição, temos que i - (-) /, então: i i i i - i i.i -.i -i i 4 i.i -.- i 5 i 4..i i i 6 i 5. i i.ii - i 7 i 6. i (-).i-i... Observmos que no desenvolvimento de i n (n pertencente N, com n vrindo, os vlores repetem-se de 4 em 4 uniddes. Dest form, pr clculrmos i n bst clculrmos i r onde r é o resto d divisão de n por 4. Eemplo: i 6 > 6 / 4 dá resto, logo i 6 i -i Multiplicção de números compleos: Pr multiplicrmos dois números compleos bst efeturmos multiplicção de dois binômios, observndo os vlores ds potênci de i. Assim, se z bi e z cdi, temos que: z.z.c di bci bdi z.z.c bdi di bci z.z (c - bd) (d bc)i Observr que : i - Conjugdo de um número compleo: Ddo zbi, definese como conjugdo de z (represent-se por z - ) > z - -bi Eemplo: z - 5i > z - 5i z 7i > z - - 7i z > z - Divisão de números compleos: Pr dividirmos dois números compleos bst multiplicrmos o numerdor e o denomindor pelo conjugdo do denomindor. Assim, se z bi e z c di, temos que: z / z [z.z - ] / [z z - ] [ (bi)(c-di) ] / [ (cdi)(c-di) ] Form polr dos números compleos: D interpretção geométric, temos que: que é conhecid como form polr ou trigonométric de um número compleo. Operções n form polr: Sejm z ro (cos t ) e z ro (cos t i sent ). Então, temos que: )Multiplicção Divisão Potencição Rdicição pr n,,,,..., n- Eercícios - Sejm os compleos z () yi e z -y i. Determine e y de modo que z z - Determine, de modo que z (i)(i) sej imginário puro. 8

41 - Qul é o conjugdo de z (i) / (7-i)? 4 - Os módulos de z / i e z (-) 6i são iguis, qul o vlor de? A medid do segmento OB coincide com ordend y do ponto M e é definid como o seno do rco AM que corresponde o ângulo, denotdo por sen(am) ou sen(). 5 - Escrev n form trigonométric o compleo z (i) / i Resposts Resolução. Temos que: z z ( -y) (y ) logo, é preciso que: - y e y Resolvendo, temos que y - e -/ Resolução. Efetundo multiplicção, temos que: z ()i i z (-) ()i Pr z ser imginário puro é necessário que (-), logo Resolução. Efetundo divisão, temos que: z (i) / (7-i). (7i) / (7i) ( i) / 58 O conjugdo de Z seri, então z - /58 - i/58 Como temos váris determinções pr o mesmo ângulo, escreveremos sen(am)sen()sen(k )y Pr simplificr os enuncidos e definições seguintes, escreveremos sen() pr denotr o seno do rco de medid rdinos. Cosseno: O cosseno do rco AM correspondente o ângulo, denotdo por cos(am) ou cos(), é medid do segmento C, que coincide com bsciss do ponto M. Resolução 4. Então, z ( ) / z [(-) 6} / Em decorrênci, , logo 5 Resolução 5. Efetundo-se divisão, temos: z [(i). -i] / -i (-i -i ) i Pr form trigonométric, temos que: r ( ) / / sen t -/ / - / / cos t / / / / Pelos vlores do seno e cosseno, verificmos que t 5º Lembrndo que form trigonométric é dd por: z r(cos t i sen t), temos que: z / (cos 5º i sen 5º) Como ntes, eistem váris determinções pr este ângulo, rzão pel qul, escrevemos cos(am) cos() cos(k ) Tngente Sej ret t tngente à circunferênci trigonométric no ponto A(,). Tl ret é perpendiculr o eio OX. A ret que pss pelo ponto M e pelo centro d circunferênci intersect ret tngente t no ponto T(,t ). A ordend deste ponto T, é definid como tngente do rco AM correspondente o ângulo. Circunferênci Trigonométric Dd um circunferênci trigonométric contendo o ponto A(,) e um número rel, eiste sempre um rco orientdo AM sobre est circunferênci, cuj medid lgébric corresponde rdinos. Seno: No plno crtesino, consideremos um circunferênci trigonométric, de centro em (,) e rio unitário. Sej M(,y ) um ponto dest circunferênci, loclizdo no primeiro qudrnte, este ponto determin um rco AM que corresponde o ângulo centrl. A projeção ortogonl do ponto M sobre o eio OX determin um ponto C(,) e projeção ortogonl do ponto M sobre o eio OY determin outro ponto B(,y ). Assim tngente do ângulo é dd pels sus váris determinções: tn(am) tn() tn(k ) µ(at) t Podemos escrever M(cos(),sen()) e T(,tn()), pr cd ângulo do primeiro qudrnte. O seno, o cosseno e tngente de ângulos do primeiro qudrnte são todos positivos. 9

42 Um cso prticulr importnte é qundo o ponto M está sobre o eio horizontl OX. Neste cso: cos(), sen() e tn() Ampliremos ests noções pr ângulos nos outros qudrntes Ângulos no segundo qudrnte Se n circunferênci trigonométric, tommos o ponto M no segundo qudrnte, então o ângulo entre o eio OX e o segmento OM pertence o intervlo /<<. Do mesmo modo que no primeiro qudrnte, o cosseno está relciondo com bsciss do ponto M e o seno com ordend deste ponto. Como o ponto M(,y) possui bsciss negtiv e ordend positiv, o sinl do seno do ângulo no segundo qudrnte é positivo, o cosseno do ângulo é negtivo e tngente do ângulo é negtiv. Qundo o ângulo mede /, tngente não está definid pois ret OP não intercept ret t, ests são prlels. Qundo /, temos: cos( /), sin( /)- Simetri em relção o eio OX Em um circunferênci trigonométric, se M é um ponto no primeiro qudrnte e M o simétrico de M em relção o eio OX, estes pontos M e M possuem mesm bsciss e s ordends possuem sinis opostos. Outro cso prticulr importnte é qundo o ponto M está sobre o eio verticl OY e neste cso: cos( /) e sen( /) A tngente não está definid, pois ret OM não intercept ret t, pois els são prlels. Ângulos no terceiro qudrnte O ponto M(,y) está loclizdo no terceiro qudrnte, o que signific que o ângulo pertence o intervlo: << /. Este ponto M(,y) é simétrico o ponto M (-,-y) do primeiro qudrnte, em relção à origem do sistem, indicndo que tnto su bsciss como su ordend são negtivos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro qudrnte são negtivos e tngente é positiv. Sejm A(,) um ponto d circunferênci, o ângulo correspondente o rco AM e b o ângulo correspondente o rco AM, obtemos: sen() -sen(b) cos() cos(b) tn() -tn(b) Simetri em relção o eio OY Sej M um ponto d circunferênci trigonométric loclizdo no primeiro qudrnte, e sej M simétrico M em relção o eio OY, estes pontos M e M possuem mesm ordend e s bsciss são simétrics. Em prticulr, se rdinos, temos que cos( )-, sen( ) e tn( ) Ângulos no qurto qudrnte O ponto M está no qurto qudrnte, /<<. O seno de ângulos no qurto qudrnte é negtivo, o cosseno é positivo e tngente é negtiv. Sejm A(,) um ponto d circunferênci, o ângulo correspondente o rco AM e b o ângulo correspondente o rco AM. Desse modo: 4

43 sen() sen(b) cos() -cos(b) tn() -tn(b) Sejm dois pontos, A(,y ) e B(,y ). Simetri em relção à origem Sej M um ponto d circunferênci trigonométric loclizdo no primeiro qudrnte, e sej M simétrico de M em relção origem, estes pontos M e M possuem ordends e bscisss simétrics. Definimos distânci entre A e B, denotndo- por d(a,b), como: Se M é um ponto d circunferênci trigonométric, cujs coordends são indicds por (cos(),sen()) e distânci deste ponto té origem (,) é igul. Utilizndo fórmul d distânci, plicd estes pontos, d(m,)[(cos()-)²(sen()-)²] /, de onde segue que cos²()sin²(). Sejm A(,) um ponto d circunferênci, o ângulo correspondente o rco AM e b o ângulo correspondente o rco AM. Desse modo: sen() -sen(b) cos() -cos(b) tn() tn(b) Senos e cossenos de lguns ângulos notáveis Um mneir de obter o vlor do seno e cosseno de lguns ângulos que precem com muit frequênci em eercícios e plicções, sem necessidde de memorizção, é trvés de simples observção no círculo trigonométrico. Segund relção fundmentl Outr relção fundmentl n trigonometri, muits vezes tomd como definição d função tngente, é dd por: tn() sen() cos() Deve ficr clro, que este quociente somente frá sentido qundo o denomindor não se nulr. Se, ou, temos que sen(), implicndo que tn(), ms se / ou /, segue que cos() e divisão cim não tem sentido, ssim relção tn()sen()/cos() não é verddeir pr estes últimos vlores de. Pr,,, / e /, considere novmente circunferênci trigonométric n figur seguinte. Primeir relção fundmentl Um identidde fundmentl n trigonometri, que reliz um ppel muito importnte em tods s áres d Mtemátic e tmbém ds plicções é: sin²() cos²() que é verddeir pr todo ângulo. Necessitremos do conceito de distânci entre dois pontos no plno crtesino, que nd mis é do que relção de Pitágors. 4

44 Tl relção, normlmente é demonstrd em um curso de Cálculo Diferencil, e, el permite um outr form pr representr números compleos unitários A e B, como: A e i cos() i sen() B e ib cos(b) i sen(b) onde é o rgumento de A e b é o rgumento de B. Assim, e i(b) cos(b)isen(b) Por outro ldo e i(b) e i. e ib [cos()isen()] [cos(b)isen(b)] Os triângulos OMN e OTA são semelhntes, logo: AT MN OA ON Como AT tn(), MN sen(), OA e ON cos(), pr todo ângulo, << com / e / temos tn() sen() cos() Form polr dos números compleos Um número compleo não nulo zyi, pode ser representdo pel su form polr: z r [cos(c) i sen(c)] onde r z R[²y²], i²- e c é o rgumento (ângulo formdo entre o segmento Oz e o eio OX) do número compleo z. e desse modo e i(b) cos()cos(b) - sen()sen(b) i [cos() sen(b) cos(b)sen()] Pr que dois números compleos sejm iguis, sus prtes reis e imgináris devem ser iguis, logo cos(b) cos()cos(b) - sen()sen(b) sen(b) cos()sen(b) cos(b)sen() Pr diferenç de rcos, substituímos b por -b ns fórmuls d som cos((-b)) cos()cos(-b) - sen()sen(-b) sen((-b)) cos()sen(-b) cos(-b)sen() pr obter cos(-b) cos()cos(b) sen()sen(b) sen(-b) cos(b)sen() - cos()sen(b) Seno, cosseno e tngente d som e d diferenç N circunferênci trigonométric, sejm os ângulos e b com e b, >b, então; sen(b) sen()cos(b) cos()sen(b) cos(b) cos()cos(b) - sen()sen(b) A multiplicção de dois números compleos n form polr: A A [cos()isen()] B B [cos(b)isen(b)] é dd pel Fórmul de De Moivre: AB A B [cos(b)isen(b)] Isto é, pr multiplicr dois números compleos em sus forms trigonométrics, devemos multiplicr os seus módulos e somr os seus rgumentos. Se os números compleos A e B são unitários então A e B, e nesse cso A cos() i sen() B cos(b) i sen(b) Multiplicndo A e B, obtemos AB cos(b) i sen(b) Dividindo epressão de cim pel de bio, obtemos: tn( b) sen()cos(b) cos()sen(b) cos()cos(b) sen()sen(b) Dividindo todos os qutro termos d frção por cos()cos(b), segue fórmul: Como sen(-b) sen()cos(b) - cos()sen(b) cos(-b) cos()cos(b) sen()sen(b) podemos dividir epressão de cim pel de bio, pr obter: tn() tn(b) tn( b) tn() tn(b) tn() tn(b) tn( b) tn() tn(b) Eiste um importntíssim relção mtemátic, tribuíd Euler (lê-se óiler ), grntindo que pr todo número compleo z e tmbém pr todo número rel z: e iz cos(z) i sen(z) 4

45 .7 SISTEMAS LINEARES E MATRIZES, DISCUSSÃO E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES (DE ATÉ EQUAÇÕES E INCÓGNITAS). Sistem Liner O estudo dos sistems de equções lineres é de fundmentl importânci em Mtemátic e ns ciêncis em gerl. Você provvelmente já resolveu sistems do primeiro gru, mis precismente queles com dus equções e dus incógnits. Vmos mplir esse conhecimento desenvolvendo métodos que permitm resolver, qundo possível, sistems de equções do primeiro gru com qulquer número de equções e incógnits. Esses métodos nos permitirão não só resolver sistems, ms tmbém clssificá-los qunto o número de soluções. Equções Lineres Equção liner é tod equção do tipo... n n b, onde,,,.., n e b são números reis e,,,.., n são s incógnits. Os números reis,,,.., n são chmdos de coeficientes e b é o termo independente. Eemplos - São equções lineres: - 5 y z y z y z - Não são equções lineres: -yz ( é o impedimento) - (- é o impedimento) ( é o impedimento) Observção: Um equção é liner qundo os epoentes ds incógnits forem iguis l e em cd termo d equção eistir um únic incógnit. Solução de m Equção Liner Um solução de um equção liner l... n n b, é um conjunto ordendo de números reis α, α, α,..., α n pr o qul sentenç {α ) {α ) (α )... n (α n ) b é verddeir. Eemplos - A tern (,, ) é solução d equção: - pois: ().(().() - - A qudr (5,, 7, 4) é solução d equção: - 4 pois:.(5).().(7).(4) Conjunto Solução Chmmos de conjunto solução de um equção liner o conjunto formdo por tods s sus soluções. Observção: Em um equção liner com incógnits, o conjunto solução pode ser representdo grficmente pelos pontos de um ret do plno crtesino. Assim, por eemplo, n equção y Algums soluções são (, ), (, -), (, -4), (4, -6), (, ), (-,4), etc. Representndo todos os pres ordendos que são soluções d equção dd, temos: Equção Liner Homogêne Um equção liner é chmd homogêne qundo o seu termo independente for nulo. Eemplo Observção: Tod equção homogêne dmite como solução o conjunto ordendo de zeros que chmmos solução nul ou solução trivil. Eemplo (,, ) é solução de y - z Equções Lineres Especiis Dd equção:... n n b, temos: - Se... n b, ficmos com:... n, e, neste cso, qulquer seqüêncis (α, α, α,..., α n ) será solução d equção dd. - Se... n e b, ficmos com:... n b, e, neste cso, não eiste seqüêncis de reis (α, α, α,...,α n ) que sej solução d equção dd. Sistem Liner Chmmos de sistem liner o conjunto de equções lineres dus incógnits, considerds simultnemente. Todo sistem liner dmite form gerl bio: b y c b y c 4

46 Um pr (α, α ) é solução do sistem liner se, e somente se, for solução ds dus equções do sistem. Eemplo (, 4) é solução do sistem y y pois é solução de sus equções: ()-(4) -l e.() (4) Resolução de um Sistem Resolver um sistem liner signific obter o conjunto solução do sistem. Os dois métodos mis utilizdos pr resolução de um sistem liner são o método d substituição e o método d dição. Pr eemplificr, vmos resolver o sistem bio usndo os dois métodos citdos. y 8 - y -. Método d Substituição: y 8 - y - (I) (II) D equção (II), obtemos y -, que substituímos n equção (I) (y- ) y 8 5y y Fzendo y n equção (I), por eemplo, obtemos: Assim: S {(,)}. Método d Adição: y 8 (I) - y - (II) Multiplicmos equção II por e dicionmos, membro membro, com equção I. y 8 y Fzendo n equção (I), por eemplo, obtemos: Assim: S {(,)} Sistem Liner com infinits soluções Qundo um equção de um sistem liner puder ser obtid multiplicndo-se outr por um número rel, o tentrmos resolver esse sistem, chegmos num iguldde que é sempre verddeir, independente ds incógnits. Nesse cso, eistem infinitos pres ordendos que são soluções do sistem. Eemplo y 8(I) 4 6y 6(II) Note que multiplicndo-se equção (I) por (-) obtemos equção (II). Resolvendo o sistem pelo método d substituição temos: 8 D equção (I), obtemos y, que substituímos n equção (II) / -6-4-(8-) é um iguldde verddeir e eistem infinitos pres ordendos que são soluções do sistem. 5 Entre outros, (, ), (4, ),, 8 e, são soluções do sistem. Sendo, um número rel qulquer, dizemos que α, 8 α é solução do sistem. (Obtemos 8 α substituindo α n equção (I)). Sistem Liner com nenhum solução Qundo dus equções lineres têm os mesmos coeficientes, porém os termos independentes são diferentes, dizemos que não eiste solução comum pr s dus equções, pois substituindo um n outr, obtemos um iguldde sempre fls. Eemplo y6(i) e y5(ii) Substituindo y d equção (I) n equção (II) obtemos: 65 que é um iguldde fls. Se num sistem eistir um número rel que, multiplicdo por um ds equções, result um equção com os mesmos coeficientes d outr equção do sistem, porém com termos independentes diferentes, dizemos que não eiste pr ordendo que sej solução do sistem. Eemplo y 5( I) 4y 7( II) Multiplicndo-se equção (I) por obtemos: 4y Que tem os mesmo coeficientes d equção (II), porém os termos independentes são diferentes. Se tentrmos resolver o sistem ddo pelo método de substituição, obtemos um iguldde que é sempre fls, independente ds incógnits. y 5( I) 4y 7( II) 44

47 45 MATEMÁTICA D equção (I), obtemos, 5 y que substituímos n equção (II) - 4. / 5 7 (5-) é um iguldde fls e não eiste pr ordendo que sej solução do sistem. Clssificção De cordo com o número de soluções, um sistem liner pode ser clssificdo em: - Sistem Impossíveis ou Incomptíveis: são os sistems que não possuem solução lgum. - Sistems Possíveis ou comptíveis: são os sistems que presentm pelo menos um solução. - Sistems Possíveis Determindos: se possuem um únic solução. - Sistems Possíveis Indetermindos: se possuem infinits soluções. Sistem Liner m n Chmmos de sistem liner M n o conjunto de m equções n incógnits, considerds simultnemente, que podem ser escrito n form: m n mn m m m n n n n n n b b b b Onde: X,,,, n são s incógnits; ij, com i m e n, são os coeficientes ds incógnits; b i, com i m, são os termos independentes. Eemplos. 5 z y z y (sistem ) (sistem 4). 4 y y y (sistem ) Mtriz Incomplet Chmmos de mtriz incomplet do sistem liner mtriz formd pelos coeficientes ds incógnits. mn m m m n n n A... Eemplo No sistem: 5 y z z y A mtriz incomplet é: A Form Mtricil Consideremos o sistem liner M n: m n mn m m m n n n n n n b b b b... Sendo A Mtriz incomplet do sistem chmmos, respectivmente, s mtrizes

48 X n b b e B b b m de mtriz incógnit e mtriz termos independentes. E dizemos que form mtricil do sistem é A.XB, ou sej: n n n... m m m mn n b b b b m Sistems Lineres Esclonmento (I) Resolução de um Sistem por Substituição Resolvemos um sistem liner m n por substituição, do mesmo modo que fzemos num sistem liner. Assim, observemos os eemplos seguir. Eemplos - Resolver o sistem pelo método d substituição. y z ( I) y z 5 ( II) y z 4( III) Resolução Isolndo incógnit n equção (I) e substituindo ns equções (II) e (III), temos: y z - -y z - N equção (II) (-y z - ) y z 5-5y z 7 (IV) N equção (III) (-y z - ) y - z -4 y z - (V) Tomndo gor o sistem formdo pels equções (IV) e (V): 5y z 7 (IV ) y z (V ) Isolndo incógnit y n equção (V) e substituindo n equção (IV), temos: y z - y z - -5 (z - ) z 7 z 4 Substituindo z 4 n equção (V) y 4 - y Substituindo y e z 4 n equção (I) () - (4) - Assim: S{(,, 4)} º) Resolver o sistem pelo método d substituição: y z (I) y z (II) z (III) Resolução Isolndo incógnit n equção (I) e substituindo ns equções (II) e (III), temos: y z - -y z - N equção (II) (-y z - ) y z 5 5y z 7 (IV) N equção (III) (-y z - ) y - z -4 y z - (V) Tomndo gor o sistem formdo pels equções (IV) e (V): 5y z 7 (IV ) y z (V ) Isolndo incógnit y n equção (V) e substituindo n equção (IV), temos: y z - y z - -5(z - ) z 7 z 4 Substituindo z 4 n equção (V) y 4 - y Substituindo y e z 4 n equção (I) () - (4) - Assim: S{(,, 4)} º) Resolver o sistem pelo método d substituição: y z (I) y z (II) z (III) Resolução N equção (III), obtemos: z z 4 Substituindo z 4 n equção (II), obtemos: y. 4 y Substituindo z 4 e y n equção (I), obtemos:. 4 - Assim: S{(-,, 4)} 46

49 Observção: Podemos observr que resolução de sistems pelo método d substituição pode ser demsidmente long e trblhos, qundo os sistems não presentm lgum form simplificd como no primeiro eemplo. No entnto, qundo o sistem present form simples do segundo eemplo, que denominmos form esclond, resolução pelo método d substituição é rápid e fácil. Veremos, seguir, como trnsformr um sistem liner m n qulquer em um sistem equivlente n form esclond. Sistems Lineres Esclondos Dizemos que um sistem liner é um sistem esclondo qundo: - Em cd equção eiste pelo menos um coeficiente nãonulo; - O número de coeficiente nulos, ntes do primeiro coeficiente não-nulo, cresce d esquerd pr direit, de equção pr equção. Eemplos º) º) º) y z y z y z 4 y z z y z t 5 y t 4 4º) Eistem dois tipos de sistems esclondos: Tipo: número de equções igul o número de incógnits. nn b nn b nn b... nnn bn Notmos que os sistems deste tipo podem ser nlisdos pelo método de Crmer, pois são sistems n n. Assim, sendo D o determinnte d mtriz dos coeficientes (incomplet), temos: D n D.... nn... n n nn Como D, os sistems deste tipo são possíveis e determindos e, pr obtermos solução únic, prtimos d n-ésim equção que nos dá o vlor de n ; por substituição ns equções nteriores, obtemos sucessivmente os vlores de n-, n-,,, e. Eemplo Resolver o sistem: y z t 5(I) y z t 9(II) z t (III) t 6(IV ) Resolução N equção (IV), temos: t 6 t Substituindo t n equção (III), temos: z z Substituindo t e z n equção (II), temos: y. 9 y Substituindo t, z e y, n equção (I), temos: 5 Assim: S {(,,, )} Tipo: número de equções menor que o número de incógnits. Pr resolvermos os sistems lineres deste tipo, devemos trnsformá-los em sistems do º tipo, do seguinte modo: - As incógnits que não precem no inicio de nenhum ds equções do sistem, chmds vriáveis livres, devem ser pssds pr os segundos membros ds equções. Obtemos, ssim, um sistem em que considermos incógnits pens s equções que sobrrm nos primeiros membros. - Atribuímos às vriáveis livres vlores literis, n verdde vlores vriáveis, e resolvemos o sistem por substituição. Eemplo Resolver o sistem: y z y z 47

50 Resolução A vriável z é um vriável livre no sistem. Então: y z y z Fzendo z α, temos: y α y α y α y α Substituindo y α n ª equção, temos: α α Agor pr continur fzemos o mmc de, e teremos: α (-α) α - 4α 4α α - 5α -5α 5α Assim: 5α S, α,α,α R Observções: Pr cd vlor rel tribuído α, encontrmos um solução do sistem, o que permite concluir que o sistem é possível e indetermindo. - A quntidde de vriáveis livres que um sistem present é chmd de gru de liberdde ou gru de indeterminção do sistem. Sistem Lineres Esclonmento (II) Esclonmento de um Sistem Todo sistem liner possível pode ser trnsformdo num sistem liner esclondo equivlente, trvés ds trnsformções elementres seguir. - Trocr ordem em que s equções precem no sistem. Eemplo y z 5 y z 5 S) z ~ ( S ) z 5 5 ( - Multiplicr (ou dividir) um equção por um número rel não-nulo. Eemplo y S) y ( y ~ ( S ) 6 y Multiplicmos ª equção de S por, pr obtermos S. - Adicionr um equção um outr equção do sistem, previmente multiplicd por um número rel não-nulo. Eemplo y 5 S) y ( y 5 ~ ( S ) 5y 7 Multiplicmos ª equção do S por - e dicionmos à ª equção pr obtermos s. Pr trnsformrmos um sistem liner (S) em outro, equivlente e esclondo (S ), seguimos os seguintes pssos. - Usndo os recursos ds três primeirs trnsformções elementres, devemos obter um sistem em que ª equção tem ª incógnit com o coeficiente igul. - Usndo qurt trnsformção elementr, devemos zerr todos os coeficientes d ª incógnit em tods s equções restntes. - Abndonmos ª equção e repetimos os dois primeiros pssos com s equções restntes, e ssim por dinte, té penúltim equção do sistem. Eemplos º) Esclonr e clssificr o sistem: y z 5 yz y z Eemplo y y 5 ( S) ~ ( S) y 5 y - Inverter ordem em que s incógnits precem ns equções. Resolução y z y z y z 5 y z ~ y z y z 5 y z ~ 7y z 5 y z : 48

51 y z 7y z 5 y z y z y z ~ y z ~ y z 7y z 5 7 6z O sistem obtido está esclondo e é do º tipo (nº de equções igul o nº de incógnits), portnto, é um sistem possível e determindo. º) Esclonr e clssificr o sistem: y z y z 5 8 y z Resolução Observção Ddo um sistem liner, sempre podemos tentr o seu esclonmento. Cso ele sej impossível, isto ficrá evidente pel presenç de um equção que não é stisfeit por vlores reis (eemplo: y ). No entnto, se o sistem é possível, nós sempre conseguimos um sistem esclondo equivlente, que terá nº de equções igul o nº de incógnits (possível e determindo), ou então o nº de equções será menor que o nº de incógnits (possível e indetermindo). Este trtmento ddo um sistem liner pr su resolução é chmdo de método de eliminção de Guss. Sistems Lineres Discussão (I) Discutir um sistem liner é determinr; qundo ele é: - Possível e determindo (solução únic); - Possível e indetermindo (infinits soluções); - Impossível (nenhum solução), em função de um ou mis prâmetros presentes no sistem. Estudremos s técnics de discussão de sistems com o uilio de eemplos. Sistems com Número de Equções Igul o Número de Incógnits O sistem obtido está esclondo e é do º tipo (nº de equções menor que o nº de incógnits), portnto, é um sistem possível e indetermindo. (*) A terceir equção foi elimind do sistem, visto que el é equivlente à segund equção. Se nós não tivéssemos percebido ess equivlênci, no psso seguinte obterímos n terceir equção: z, que é um equção stisfeit pr todos os vlores reis de e z. º) Esclonr e clssificr o sistem: 5y z 5 y z 4 9y z 8 Resolução Qundo o sistem liner present nº de equções igul o nº de incógnits, pr discutirmos o sistem, inicilmente clculmos o determinnte D d mtriz dos coeficientes (incomplet), e: º) Se D, o sistem é possível e determindo. º) Se D, o sistem é possível e indetermindo ou impossível. Pr identificrmos se o sistem é possível, indetermindo ou impossível, devemos conseguir um sistem esclondo equivlente pelo método de eliminção de Guss. Eemplos Discutir, em função de, o sistem: y 5 y Resolução D 6 D 6 6 Assim, pr 6, o sistem é possível e determindo. Pr 6, temos: y 5 y 5 ~ 6y y 9 que é um sistem impossível. O sistem obtido é impossível, pois terceir equção nunc será verificd pr vlores reis de y e z. Assim, temos: 6 SPD (Sistem possível e determindo) 6 SI (Sistem impossível) 49

52 Discutir, em função de, o sistem: y z y z y z Resolução D 9 6 D ou Assim, pr - e, o sistem é possível e determindo. Pr -, temos: y z y z y z Pr, temos: y z y z y z Assim, temos: - e SPD - SI SPI y z ~ y z 4y 4z y z ~ y 4z y 4z 4 y z ~ y 4z y z ~ y z y z 5 sistem Discutir, em função de m e k, o sistem: m y k my k Resolução m D m m D m - m ou m- impossível sistem possível in det er min do Assim, pr m e m -, o sistem é possível e determindo. Pr m, temos: y K y K y K ~ y K K Se Kk, ou sej, k ou k, o sistem é impossível. Pr m-, temos: Se k k, ou sej, k k-, o sistem é possível e indetermindo. Se k k, ou sej, k k -, o sistem é indetermindo. Assim, temos: m e k ou k ou SPI m e k ou k m e k ou k ou SI m e k ou k Sistems com Número de Equções Diferente do Número de Incógnits Qundo o sistem liner present número de equções diferente do número de incógnits, pr discuti-lo, devemos obter um sistem esclondo equivlente pelo método de eliminr de Guss. Eemplos Discutir, em função de m, o sistem: y y 8 my Resolução y z y 8 ~ my y y ~ y ~ y ( m)y m y m m m- Assim, temos: m - SI m- SPD Se k k, ou sej, k ou k, o sistem é possível e indetermindo. 5

53 5 MATEMÁTICA Discutir, em função de k, o sistem: y z 5 5y z 7y z 7 5 y kz 9 Resolução: Assim, pr R k, o sistem é possível e determindo. Sistems Lineres Discussão (II) Sistem Liner Homogêneo Já sbemos que sistem liner homogêneo é todo sistem cujs equções têm todos os termos independentes iguis zero. São homogêneos os sistems: 4 y y 7 5 z y z y z y Observe que dupl (,) é solução do sistem e tern (,,) é solução do sistem. Todo sistem liner homogêneo dmite como solução um seqüênci de zero, chmd solução nul ou solução trivil. Observmos tmbém que todo sistem homogêne é sempre possível podendo, eventulmente, presentr outrs soluções lém d solução trivil, que são chmds soluções própris. Discussão e Resolução Lembre-se que: todo sistem liner homogêneo tem o menos solução trivil, portnto será sempre possível. Vejmos lguns eemplos: Clssifique e resolv o sistem: 5 z y z y z y Resolução D 5 Como D, o sistem é possível e determindo dmitindo só solução trivil, logo: Clssifique e resolv o sistem: c b c b c b Resolução D Como D, o sistem homogêneo é indetermindo. Fzendo o esclonmento temos: 4 ~ 4 4 ~ c b c b c b c b c b c b c b c b Teremos, então: c b c b Fzendo ct, teremos: -c b-t -tt -t Portnto: S t, t,t ( ),t R { } Note que vrindo t obteremos váris soluções, inclusive trivil pr t. Determine K de modo que o sistem bio tenh solução diferente d trivil.

54 y z ky z k y z Resolução O sistem é homogêneo e, pr presentr soluções diferentes d trivil, devemos ter D D k k k ( k ) k k Respost: k- Eercícios y 8. Resolver e clssificr o sistem: y. Determinr m rel, pr que o sistem sej possível e determindo: y 5 my y z 5. Resolver e clssificr o sistem: y 7 y z 4 4. Determinr m rel pr que o sistem sej possível e determindo. y z 5 y z 5 y mz 5. Se o terno ordendo (, 5, p) é solução d equção liner 6-7y z 5, qul o vlor de p? 6. Escrev solução genéric pr equção liner 5 - y z 4, sbendo que o terno ordendo (,, ) é solução. 7. Determine o vlor de m de modo que o sistem de equções bio, - my 5y 8, sej impossível. 8. Se os sistems: S : y e S : by 5 X y -5 y b - São equivlentes, então o vlor de b é igul : ) b) 4 c) 5 d) 9 e) y 7. Resolver o sistem. 5y Resposts ) Respost S {(, )}. Solução: Clculemos inicilmente D, D e D y : D D 8 D y Como D -, o sistem é possível e determindo e: D D e y D y D 6 Assim: S {(, )} e o sistem são possíveis e determindos. ) Respost m R / m. Solução: Segundo regr de Crmer, devemos ter D, em que: D m m Assim: m - m Então, os vlores reis de m, pr que o sistem sej possível e determindo, são ddos pelos elementos do conjunto: m R / m ) Respost S {(,, 4)}. Solução: Clculemos inicilmente D, D, D y e D z 9. Resolv o seguinte sistem usndo regr de Crmer: y - z - y z 4 y - 5z 6 5

55 Observe que se rbitrndo os vlores pr α e β, terceir vriável ficrá determind em função desses vlores. Por eemplo, fzendo-se α, β, teremos: γ 4-5 α β , ou sej, o terno (,, 5) é solução, e ssim, sucessivmente. Verificmos, pois que eistem infinits soluções pr equção liner dd, sendo o terno ordendo (α, β, 4-5 α β) solução genéric. 7) Solução: Teremos, epressndo em função de m, n primeir equção: ( my) / Substituindo o vlor de n segund equção, vem: [(my) / ] 5y 8 Como D -5, o sistem é possível e determindo e: D D 5 5 ; y D y D 5 5 ;z D z D 5 4 Assim: S {(,, 4)} e o sistem são possíveis e determindos. { }. 4) Respost m R / m Solução: Segundo regr de Crmer, devemos ter D. Assim: D m 4m m D -5m 5 Assim: -5m 5 m Então, os vlores reis de m, pr que o sistem sej possível e determindo, são ddos pelos elementos do conjunto: { m R / m } 5) Respost 4. Solução: Teremos por simples substituição, observndo que, y 5 e z p, p 5. Logo, - 5 p 5. Dí vem imeditmente que p 8 e, portnto, p 4. 6) Solução: Podemos escrever: 5 α- β γ 4. Dí, tirmos: γ 4-5 α β. Portnto, solução genéric será o terno ordendo (α,β, 4-5 α β). Multiplicndo mbos os membros por, desenvolvendo e simplificndo, vem: (my) y 6 my y 6 (m )y -4 y -4 / (m ) Or, pr que não eist o vlor de y e, em consequênci não eist o vlor de, deveremos ter o denomindor igul zero, já que, como sbemos, não eiste divisão por zero. Portnto, m, de onde se conclui m -/, pr que o sistem sej impossível, ou sej, não possu solução. 8) Respost E. Solução: Como os sistems são equivlentes, eles possuem mesm solução. Vmos resolver o sistem: S : y - y -5 Subtrindo membro membro, vem: - y - (-y) - (-5). Logo, y 6 \ y. Portnto, como y, vem, substituindo: \ -. O conjunto solução é, portnto S {(-, )}. Como os sistems são equivlentes, solução cim é tmbém solução do sistem S. Logo, substituindo em S os vlores de e y encontrdos pr o sistem S, vem: (-) - b() b 5 () - b (-) - b - Multiplicndo mbos os membros d primeir equção por, fic: - - 4b Somndo membro membro est equção obtid com segund equção, fic: -b 9 \ b - Substituindo o vlor encontrdo pr b n equção em vermelho cim (poderi ser tmbém n outr equção em zul), teremos: 5

56 (-) - \. Portnto, b (-) 9. 9) Respost S {(5,, 4)}. Solução: Teremos: Δ Δ Δ Δ Portnto, pel regr de Crmer, teremos: D / D / 4 5 D / D 48 / 4 D / D 96 / 4 4 Logo, o conjunto solução do sistem ddo é S {(5,, 4)}. ) Solução: A det A 5 A A det A det A y det A det A Respost: S{(,-)} det A det A Mtriz A tbel seguinte mostr situção ds equipes no Cmpeonto Pulist de Bsquete msculino. Cmpeonto Pulist Clssificção Time Pontos º Tilibr/Copim/Buru º COC/Ribeirão Preto º Unimed/Frnc 9 4º Hebric/Blue Life 7 5º Unir/Fundesport 6 6º Pinheiros 6 7º São Cetno 6 8º Rio Prdo/Sdi 5 9º Vltr/UBC 4 º Unisnt 4 º Leitor/Cs Brnc 4 º Plmeirs º Snto André 4º Corinthins 5º São José Fonte: FPB (Federção Pulist de Bsquete) Folh de S. Pulo // Observndo tbel, podemos tirr conclusões por meio de comprções ds informções presentds, por eemplo: COC/Ribeirão lider clssificção com pontos juntmente com Tilibr/Buru Ess informção encontr-se n ª linh e ª colun. Definições Chmmos de mtriz m n (m Є N* e n Є N*) qulquer tbel formd por m. n elementos (informções) dispostos em m linhs e n coluns Eemplos ) º) 4 é um mtriz 4 é um mtriz º) é um mtriz 54

57 4º) é um mtriz O nome de um mtriz é ddo utilizndo letrs miúsculs do lfbeto ltino, A, por eemplo, enqunto os elementos d mtriz são indicdos por letrs ltins minúsculs, mesm do nome de mtriz, fetds por dois índices, que indicm linh e colun que o elemento ocup n mtriz. Assim, um elemento genérico d mtriz A é representdo por ij. O primeiro índice, i, indic linh que esse elemento ocup n mtriz, e o segundo índice, j, colun desse comndo. A ij i ésim linh j ésim colun Eemplo N mtriz B de ordem temos: B 4 b ; b ; b ; b ; b -; b 4 Observção: O elemento b, por eemplo, lemos ssim: b dois três De um form gerl, mtriz A, de ordem m n, é representd por:... n... n A n m m m... mn Ou com notção brevid: A ( ij ) m n Mtrizes Especiis Apresentmos qui nomencltur de lgums mtrizes especiis: ª. Mtriz Linh É mtriz que possui um únic linh. Eemplos - A [-, ] - B [ ] ª. Mtriz Colun É mtriz que possui um únic colun. Eemplos A B ª) Mtriz Nul É mtriz que possui todos os elementos iguis zero. Eemplos )A )B 4ª. Mtriz Qudrd É mtriz que possui o número de linhs igul o número de linhs igul o número de coluns. Eemplos )A É mtriz qudrd de ordem. Observções: Qundo um mtriz não é qudrd, el é chmd de retngulr. Dd um mtriz qudrd de ordem n, chmmos de digonl principl d mtriz o conjunto dos elementos que possuem índices iguis. Eemplo {,,, 44 } é digonl principl d mtriz A. ª) Dd mtriz qudrd de ordem n, chmmos de digonl secundári d mtriz o conjunto dos elementos que possuem som dos dois índices igul n. Eemplo { 4,,, 4 } é digonl secundári d mtriz A. 5ª. Mtriz Digonl É mtriz qudrd que present todos os elementos, não pertencentes à digonl principl, iguis zero. Eemplos )A 6ª) Mtriz Identidde É mtriz digonl que present todos os elementos d digonl principl iguis. Representmos mtriz identidde de ordem n por I n. 55

58 Eemplos )I )I Observção: Pr um mtriz identidde I n ( ij ) n n 7ª. Mtriz Trnspost Dd um mtriz A, chmmos de mtriz trnspost de A à mtriz obtid de A trocndo-se ordendmente, sus linhs por coluns. Indicmos mtriz trnspost de A por A t. Eemplo A 4,então A t 4 Observção: Se um mtriz A é de ordem m n, mtriz A t, trnspost de A, é de ordem n m. Iguldde de Mtrizes Sendo A e B dus mtriz de mesm ordem, dizemos que um elemento de mtriz A é correspondente um elemento de B qundo eles ocupm mesm posição ns respectivs mtrizes. Eemplo Sendo A e B dus mtrizes de ordem, A b e B b b b São elementos correspondentes de A e B, os pres: e b ; e b ; e b ; e b. Definição Dus mtrizes A e B são iguis se, e somente se, têm mesm ordem e os elementos correspondentes são iguis. Indic-se: A B Então: A ( ij ) n n e B (b ij ) p q Observções: Dd um mtriz A ( ij ) m n, dizemos que um mtriz B (b ij ) m n é opost de A qundo b ij - ij pr todo i, Ī i m, e todo j, Ī j n. Indicmos que B -A. Eemplo A 4 B 4 - Dizemos que um mtriz qudrd A ( ij ) m n é simétric qundo ij ji pr todo i, Ī i m, e todo j, Ī j n. Isto é, A At. - Dizemos que um mtriz qudrd A ( ij ) m n é ntisimétric qundo ij - ij pr todo i, Ī i m, e todo j, Ī j n. Isto é, A é nti-simétric qundo A t -A. Adição e Subtrção de Mtrizes Definição Dds dus mtrizes A e B, de mesm ordem m n, denominmos som d mtriz A com mtriz B à mtriz C, de ordem m n, cujos elementos são obtidos qundo sommos os elementos correspondentes ds mtrizes A e B. Indicmos: Assim: C A B Proprieddes d Adição Sendo A, B e C mtrizes m n e O mtriz nul m s n, vlem s seguintes proprieddes. - A B B A (comuttiv) - (A B) C A (B C) (ssocitiv) - A O O A A (elemento neutro) - A (-A) (-A) A O (elemento oposto) - (A B) t A t B t Definição Consideremos dus mtrizes A e B, mbs de mesm ordem m n. Chmmos de diferenç entre A e B (indicmos com A B) som de A com opost de B. Eemplo Sendo: A B A (B) A e B 4 5, então A B 4 5 A B

59 A - B A B Observção: N prátic, pr obtermos subtrção de mtrizes de mesm ordem, bst subtrirmos os elementos correspondentes. Multiplicção de Mtrizes por um Número Rel Definição Consideremos um mtriz A, de ordem m n, e um número rel. O produto de por A é um mtriz B, de ordem m n, obtid qundo multiplicmos cd elemento de A por. Indicmos: Eemplo Sendo: A 5, temos B α. A... A Mtrizes Produtos Multiplicção de Mtrizes O produto (linh por colun) de um mtriz A ( ij ) m p por um mtriz B (b ij ) p n é um mtriz C (c ij ) m n, de modo que cd elemento c ij é obtido multiplicndo-se ordendmente os elementos d linh i de A pelos elementos d colun j de B, e somndo-se os produtos ssim obtidos. Indicmos: B α. A D definição, decorre que: - Só eiste o produto de um mtriz A por um mtriz B se o número de coluns de A é igul o número de linhs de B. - A mtriz C, produto de A m p por B P n, é do tipo m n. Proprieddes Sendo A um mtriz de ordem m n, B e C mtrizes convenientes e, são válids s seguintes proprieddes. - ( A. B). C A. (B. C) (ssocitiv) - C. (A B) C. A C. B (distributiv pel esquerd) - (A B). C A. C B (distributiv pel direit) - A. I n I m. A A (elemento neutro) - (α. A). B A. (α. B ). (A. B) - A. O n p O m p e O p m. A O p n - (A. B) t B t. A t Observção: Pr multiplicção de mtrizes não vle propriedde comuttiv (A. B B. A). Est propriedde só é verddeir em situções especiis, qundo dizemos que s mtrizes são comutáveis. Devemos levr em considerção os ftos seguintes: º) (A B) A AB B, pois (A B) (A B)(AB) A AB BA B º) (A. B) t A t. B t, pois, pel 7ª propriedde, devemos ter (A. B) t B t. A t Mtriz Invers No conjunto dos números reis, pr todo, eiste um número b, denomindo inverso de, stisfzendo condição:.bb. Normlmente indicmos o inverso de por ou -. Anlogmente pr s mtrizes temos o seguinte: Definição Um mtriz A, qudrd de ordem n, diz-se inversível se, e somente se, eistir um mtriz B, qudrd de ordem n, tl que: A.BB.AI n A mtriz B é denomind invers de A e indicd por A -. Eemplos 4 - Verifique que mtriz B é invers d mtriz A 4 Resolução A.B 4 4. B.A 4. 4 Como A.BB.A, mtriz B é invers de A, isto é, BA -. Observção: É bom observrmos que, de cordo com definição, mtriz A tmbém é invers de B, isto é, AB -, ou sej, A(A - ) -. - Encontre mtriz invers d mtriz A, se eistir. Resolução Supondo que B c A.B b. c d c b d c b d Assim: c e b d c b d b d é mtriz invers de A, temos: Resolvendo os sistems, encontrmos: 57

60 A,b-,c- e d Assim, B Por outro ldo: B.A. Portnto, mtriz A é inversível e su invers é mtriz: BA - Observção: Qundo um mtriz é inversível, dizemos que el é um mtriz não-singulr; cso mtriz não sej inversível, dizemos que el é um mtriz singulr. Proprieddes Sendo A e B mtrizes qudrds de ordem n e inversíveis, temos s seguintes proprieddes: - (A - ) - A - (A - ) t A t ) - - (A.B) - B -..A - - Dd A, se eistir A -, então A - é únic. Eemplo Sendo A, B e X mtrizes inversíveis de ordem n, isolr X em (X.A) - B. Resolução (X.A) - B A -.X - B Multiplicndo os dois membros à esquerd por A, encontrmos: A.A -.X - A.B Como A.A - I n, então: I n.x - A.B Como I n é elemento neutro n multiplicção de mtrizes, temos: X - A.B Elevndo os dois membros d iguldde, o epoente -, temos: (X - ) - (A.B) - Assim, X(A.B) -, ou então XB -.A - O sistem obtido está esclondo e é do º Determinntes Chmmos de determinnte teori desenvolvid por mtemáticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kow, que procurvm um fórmul pr determinr s soluções de um Sistem liner, ssunto que estudremos seguir. Est teori consiste em ssocir cd mtriz qudrd A, um único número rel que denominmos determinnte de A e que indicmos por det A ou colocmos os elementos d mtriz A entre dus brrs verticis, como no eemplo bio: A det A Definições Determinnte de um Mtriz de Ordem Sej mtriz qudrd de ordem : A[ ] Chmmos determinnte dess mtriz o número: det A[ ] Eemplos º) A[-] det A - º) B[5] det B5 º) C[] det C Determinnte de um Mtriz de ordem Sej mtriz qudrd de ordem : A Chmmos de determinnte dess mtriz o número: det A.. Pr fcilitr memorizção desse número, podemos dizer que o determinnte é diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. Esquemticmente: det A Eemplos - A 5 det A B det B.-.(-)8.. Determinnte de um Mtriz de Ordem Sej mtriz qudrd de ordem : 58

61 A Chmmos determinnte dess mtriz o numero: deta Pr memorizrmos definição de determinnte de ordem, usmos regr prátic denomind Regr de Srrus: º) Repetimos º e º coluns às direit d mtriz. º) Multiplicndo os termos entre si, seguindo os trços em digonl e ssocindo o sinl indicdo dos produtos, temos: deta Observção: A regr de Srrus tmbém pode ser utilizd repetindo º e º linhs, o invés de repetirmos º e º coluns. Determinntes Proprieddes - I Apresentmos, seguir, lgums proprieddes que vism simplificr o cálculo dos determinntes: Propriedde : O determinnte de um mtriz A é igul o de su trnspost A t. Eemplo b A A c d t b det A d t det A d bc bc c d t det A det A Propriedde : Se B é mtriz que se obtém de um mtriz qudrd A, qundo trocmos entre si posição de dus fils prlels, então: detb -deta Eemplo b c d A e B c d b B foi obtid trocndo-se º pel º linh de A. detad-bc detbbc-d-(d-bc)-deta Assim, detb-deta Consequênci d Propriedde : Um mtriz A que possui dus fils prlels iguis tem determinnte igul zero. Justifictiv: A mtriz que obtemos de A, qundo trocmos entre si s dus fils (linh ou colun iguis, é igul A. Assim, de cordo com propriedde, escrevemos que deta -deta Assim: deta Propriedde : Sendo B um mtriz que obtemos de um mtriz qudrd A, qundo multiplicmos um de su fils (linh ou colun) por um constnte k, então detb k.deta Consequênci d Propriedde : Ao clculrmos um determinnte, podemos colocr em evidênci um ftor comum de um fil (linh ou colun). Eemplo k kb c d k. b c d - Sendo A um mtriz qudrd de ordem n, mtriz k. A é obtid multiplicndo todos os elementos de A por k, então: det(k.a)k n.deta Eemplo b c A d e f g h i k kb kc k.a kd ke kf kg kh ki k kb kc b c det(k.a) kd ke kf k.k.k d e f kg kh ki g h i Assim: det(k.a)k.deta Propriedde 4: Se A, B e C são mtrizes qudrds de mesm ordem, tis que os elementos correspondentes de A, B e C são iguis entre si, eceto os de um fil, em que os elementos de C são iguis às soms dos seus elementos correspondentes de A e B, então. detc deta detb 59

62 Eemplos: b c d y e f z b r c d s e f z b r c d y s e f z t Proprieddes dos Determinntes Proprieddes 5 (Teorem de Jcobi) O determinnte não se lter, qundo dicionmos um fil qulquer com outr fil prlel multiplicd por um número. Eemplo Eemplo Considere o determinnte deta b c d e f g h i Somndo ª colun com ª multiplicd por m, teremos: b c m d e f md g h i mg b c m d e f md g h i mg b c m d e f md g h i mg Eemplo (P4) b c d e f g h i det A m det A Vmos clculr o determinnte D bio. D b d e d g h g b m d e md g h mg Igul zero Em seguid, vmos multiplicr ª colun por, somr com ª colun e clculr: Observe que D D, de cordo com propriedde. Consequênci Qundo um fil de um determinnte é igul à som de múltiplos de fils prlels (combinção liner de fils prlels), o determinnte é igul zero. Eemplo SejD Observe que cd elemento de ª colun é igul à ª colun multiplicd por somd com ª colun multiplicd por. 8 () () 6 () () (4) (-) 8 - Portnto, pel consequênci d propriedde 5, D Use regr de Srrus e verifique. Propriedde 6 (Teorem de Binet) Sendo A e B mtrizes qudrds de mesm ordem, então: det(a.b) deta. detb Eemplo A deta 4 B detb- 8 5 A.B det(a.b)-6 6 Logo, det(ab)deta. detb Consequêncis: Sendo A um mtriz qudrd e n N*, temos: det(a n ) (deta) n Sendo A um mtriz inversível, temos: deta - det A Justifictiv: Sej A mtriz inversível. A -.AI det(a -.A)det I deta -.detadet I deta - det A Um vez que det I, onde i é mtriz identidde. D

63 .7 GEOMETRIA PLANA: CÁLCULO DE ÁREAS, SEMELHANÇA, RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E NO CÍRCULO. c) Bissetriz de um ângulo: É semirret de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. Perímetro: entendendo o que é perímetro. Imgine um sl de ul de 5m de lrgur por 8m de comprimento. Quntos metros lineres serão necessários pr colocr rodpé nest sl, sbendo que port mede m de lrgur e que nel não se coloc rodpé? A Geometri é prte d mtemátic que estud s figurs e sus proprieddes. A geometri estud figurs bstrts, de um perfeição não eistente n relidde. Apesr disso, podemos ter um bo idei ds figurs geométrics, observndo objetos reis, como o ro d cest de bsquete que sugere um circunferênci, s ports e jnels que sugerem retângulos e o ddo que sugere um cubo. Ret, semirret e segmento de ret A cont que frímos seri somr todos os ldos d sl, menos m d lrgur d port, ou sej: P ( ) P 6 P 5 Definições. ) Segmentos congruentes. Dois segmentos são congruentes se têm mesm medid. b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence o segmento e divide AB em dois segmentos congruentes. c) Meditriz de um segmento. É ret perpendiculr o segmento no seu ponto médio Ângulo Colocrímos 5m de rodpé. A som de todos os ldos d plnt bi se chm Perímetro. Portnto, Perímetro é som dos ldos de um figur pln. Áre Áre é medid de um superfície. A áre do cmpo de futebol é medid de su superfície (grmdo). Se pegrmos outro cmpo de futebol e colocrmos em um mlh qudriculd, su áre será equivlente à quntidde de qudrdinho. Se cd qudrdo for um unidde de áre: Definições. ) Ângulo é região pln limitd por dus semirrets de mesm origem. b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes se têm mesm medid. 6

64 Veremos que áre do cmpo de futebol é 7 uniddes de áre. A unidde de medid d áre é: m² (metros qudrdos), cm² (centímetros qudrdos), e outros. Se tivermos um figur do tipo: O retângulo cim tem s mesms dimensões que o outro, só que representdo de form diferente. O cálculo d áre do retângulo pode ficr tmbém d seguinte form: A 6. 4 A 4 cm² Podemos concluir que áre de qulquer retângulo é: A b. h Su áre será um vlor proimdo. Cd é um unidde, então áre proimd dess figur será de 4 uniddes. No estudo d mtemátic clculmos áres de figurs plns e pr cd figur há um fórmul pr clculr su áre. Retângulo É o qudrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguis 9º. Qudrdo É o qudrilátero que tem os ldos congruentes e todos os ângulos internos congruentes (9º). Su áre tmbém é clculd com o produto d bse pel ltur. Ms podemos resumir ess fórmul: No cálculo d áre de qulquer retângulo podemos seguir o rciocínio: Como todos os ldos são iguis, podemos dizer que bse é igul e ltur igul, então, substituindo n fórmul A b. h, temos: A. A ² Trpézio É o qudrilátero que tem dois ldos prlelos. A ltur de um trpézio é distânci entre s rets suporte de sus bses. Pegmos um retângulo e colocmos em um mlh qudriculd onde cd qudrdo tem dimensões de cm. Se contrmos, veremos que há 4 qudrdos de cm de dimensões no retângulo. Como sbemos que áre é medid d superfície de um figurs podemos dizer que 4 qudrdos de cm de dimensões é áre do retângulo. 6

65 Em todo trpézio, o segmento que une os pontos médios dos dois ldos não prlelos, é prlelo às bses e vle médi ritmétic desss bses. A áre desse trpézio pode ser clculd somndo s áres dos dois triângulos ( CFD e CEF). Antes de fzer o cálculo d áre de cd triângulo seprdmente observmos que eles possuem bses diferentes e lturs iguis. Cálculo d áre do CEF: A áre do trpézio está relciond com áre do triângulo que é clculd utilizndo seguinte fórmul: A b. h (b bse e h ltur). Observe o desenho de um trpézio e os seus elementos mis importntes (elementos utilizdos no cálculo d su áre): A B. h Cálculo d áre do CFD: A b. h Somndo s dus áres encontrds, teremos o cálculo d áre de um trpézio qulquer: AT A A AT B. h b. h AT B. h b. h colocr ltur (h) em evi- dênci, pois é um termo comum os dois ftores. Um trpézio é formdo por um bse mior (B), por um bse menor (b) e por um ltur (h). Pr fzermos o cálculo d áre do trpézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, vej como: Primeiro: completmos s lturs no trpézio: AT h (B b) Portnto, no cálculo d áre de um trpézio qulquer utilizmos seguinte fórmul: A h (B b) Segundo: o dividimos em dois triângulos: h ltur B bse mior do trpézio b bse menor do trpézio Losngo É o qudrilátero que tem os ldos congruentes. 6

66 Em todo losngo s digonis são: ) perpendiculres entre si; ) Em todo triângulo, medid de um ângulo eterno é igul à som ds medids dos ângulos internos não djcentes. b) bissetrizes dos ângulos internos. A áre do losngo é definid pel seguinte fórmul: dd. Onde D é digonl mior e d é menor. S Triângulo Figur geométric pln com três ldos. ) Em todo triângulo, som ds medids dos ângulos eternos é 6º. Ângulo eterno. O ângulo eterno de qulquer polígono conveo é o ângulo formdo entre um ldo e o prolongmento do outro ldo. Clssificção dos triângulos. 4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos d bse são congruentes. Observção - A bse de um triângulo isósceles é o seu ldo diferente. ) qunto os ldos: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escleno. b) qunto os ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo cutângulo. Proprieddes dos triângulos ) Em todo triângulo, som ds medids dos ângulos internos é 8º. Altur - É distânci entre o vértice e ret suporte do ldo oposto. 64

67 Áre do tringulo Eercícios. Sej um prlelogrmo com s medids d bse e d ltur respectivmente, indicds por b e h. Se construirmos um outro prlelogrmo que tem o dobro d bse e o dobro d ltur do outro prlelogrmo, qul será relção entre s áres dos prlelogrmos?. Os ldos de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qul é áre deste triângulo equilátero? Segmentos proporcionis Teorem de Tles. Em todo feie de rets prlels, cortdo por um ret trnsversl, rzão entre dois segmento quisquer de um trnsversl é igul à rzão entre os segmentos correspondentes d outr trnsversl.. Qul é medid d áre de um prlelogrmo cujs medids d ltur e d bse são respectivmente cm e dm? 4. As digonis de um losngo medem cm e 5 cm. Qul é medid d su superfície? 5. Considerndo s informções constntes no tringulo PQR, pode-se concluir que ltur PR desse triângulo mede: Semelhnç de triângulos Definição. Dois triângulos são semelhntes se têm os ângulos dois dois congruentes e os ldos correspondentes dois dois proporcionis. Definição mis populr. Dois triângulos são semelhntes se um deles é redução ou mplição do outro. Importnte - Se dois triângulos são semelhntes, proporcionlidde se mntém constnte pr quisquer dois segmentos correspondentes, tis como: ldos, medins, lturs, rios ds circunferêncis inscrits, rios ds circunferêncis circunscrits, perímetros, etc. )5 b)6 c)7 d)8 6. Num crtão retngulr, cujo comprimento é igul o dobro de su ltur, form feitos dois vincos AC e BF, que formm, entre si, um ângulo reto (9 ). Observe figur: Considerndo AF6cm e CB9cm, determine: ) s dimensões do crtão; b) o comprimento do vinco AC 65

68 7. N figur, os ângulos ssinldos so iguis, AC e AB6. A medid de AE é: )6/5 b)7/4 c)9/5 d)/ e)5/4 4. Pr o cálculo d superfície utilizremos fórmul que envolve s digonis, cujos vlores temos bio: d d5 Utilizndo n fórmul temos: 8. N figur seguir, s distâncis dos pontos A e B à ret vlem e 4. As projeções ortogonis de A e B sobre ess ret são os pontos C e D. Se medid de CD é 9, que distânci de C deverá estr o ponto E, do segmento CD, pr que CÊADÊB ) b)4 c)5 d)6 e)7 d. d.5 S 75 cm² PR 6 PR ² 44 6 ) ( ltur); 4( comprimento) b) AC 9² ² Pr ldrilhr um sl são necessários etmente 4 peçs iguis de cerâmic n form de um qudrdo. Sbendo-se que áre d sl tem 6m², determine: ) áre de cd peç, em m². b) o perímetro de cd peç, em metros.. N figur, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se AB m e CE m, rzão entre s áres dos triângulos ABC e CDE é: )6 b)4 c) d) e) 8. Resposts. A (b)(h) 4bh 4A. Segundo o enuncido temos: l5mm Substituindo n fórmul: l² 5² S S 6, 5 S, Sbemos que dm equivlem cm, temos: h b 9. Substituindo n fórmul: S b. h. cm² dm² 66

69 ..8 GEOMETRIA ESPACIAL: ÁREAS E VOLUMES DE PRISMAS E PIRÂMIDES. O conceito de cone Sólidos Geométricos Pr eplicr o cálculo do volume de figurs geométrics, podemos pedir que visulizem seguinte figur: ) A figur represent plnificção de um prism reto; b) O volume de um prism reto é igul o produto d áre d bse pel ltur do sólido, isto é V Ab c) O cubo e o prlelepípedo retângulo são prisms; d) O volume do cilindro tmbém se pode clculr d mesm form que o volume de um prism reto. Os formulários seguintes, ds figurs geométrics são pr clculr d mesm form que s cim presentds: Figurs Geométrics: Considere um região pln limitd por um curv suve (sem quins), fechd e um ponto P for desse plno. Chmmos de cone o sólido formdo pel reunião de todos os segmentos de ret que têm um etremidde em P e outr num ponto qulquer d região. Elementos do cone - Bse: A bse do cone é região pln contid no interior d curv, inclusive própri curv. - Vértice: O vértice do cone é o ponto P. - Eio: Qundo bse do cone é um região que possui centro, o eio é o segmento de ret que pss pelo vértice P e pelo centro d bse. - Gertriz: Qulquer segmento que tenh um etremidde no vértice do cone e outr n curv que envolve bse. - Altur: Distânci do vértice do cone o plno d bse. - Superfície lterl: A superfície lterl do cone é reunião de todos os segmentos de ret que tem um etremidde em P e outr n curv que envolve bse. - Superfície do cone: A superfície do cone é reunião d superfície lterl com bse do cone que é o círculo. - Seção meridin: A seção meridin de um cone é um região tringulr obtid pel interseção do cone com um plno que contem o eio do mesmo. Clssificção do cone Qundo observmos posição reltiv do eio em relção à bse, os cones podem ser clssificdos como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto qundo o eio é perpendiculr o plno d bse e é oblíquo qundo não é um cone reto. Ao ldo presentmos um cone oblíquo. 67

70 Observção: Pr efeito de plicções, os cones mis importntes são os cones retos. Em função ds bses, os cones recebem nomes especiis. Por eemplo, um cone é dito circulr se bse é um círculo e é dito elíptico se bse é um região elíptic. V (/) Pi R Como áre lterl pode ser obtid por: A Lt Pi R g Pi R R Pi R então áre totl será dd por: A Totl Pi R O conceito de esfer Observções sobre um cone circulr reto. Um cone circulr reto é chmdo cone de revolução por ser obtido pel rotção (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus ctetos. A seção meridin do cone circulr reto é interseção do cone com um plno que contem o eio do cone. No cso cim, seção meridin é região tringulr limitd pelo triângulo isósceles VAB.. Em um cone circulr reto, tods s gertrizes são congruentes entre si. Se g é medid de cd gertriz então, pelo Teorem de Pitágors, temos: g h R 4. A Áre Lterl de um cone circulr reto pode ser obtid em função de g (medid d gertriz) e R (rio d bse do cone):a Lt Pi R g 5. A Áre totl de um cone circulr reto pode ser obtid em função de g (medid d gertriz) e R (rio d bse do cone): A Totl Pi R g Pi R Cones Equiláteros A esfer no espço R³ é um superfície muito importnte em função de sus plicções problems d vid. Do ponto de vist mtemático, esfer no espço R³ é confundid com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pel mesm, rzão pel quis muits pessos clculm o volume d esfer. N miori dos livros elementres sobre Geometri, esfer é trtd como se fosse um sólido, hernç d Geometri Euclidin. Embor não sej correto, muits vezes necessitmos flr plvrs que sejm entendids pel coletividde. De um ponto de vist mis cuiddoso, esfer no espço R³ é um objeto mtemático prmetrizdo por dus dimensões, o que signific que podemos obter medids de áre e de comprimento, ms o volume tem medid nul. Há outrs esfers, cd um definid no seu respectivo espço n-dimensionl. Um cso interessnte é esfer n ret unidimensionl: S o { em R: ²} {,-} Por eemplo, esfer S { (,y) em R²: ² y² } é conhecid por nós como um circunferênci de rio unitário centrd n origem do plno crtesino. Aplicção: volumes de líquidos Um problem fundmentl pr empress que rmzenm líquidos em tnques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é necessidde de relizr cálculos de volumes de regiões esférics prtir do conhecimento d ltur do líquido colocdo n mesm. Por eemplo, qundo um tnque é esférico, ele possui um orifício n prte superior (pólo Norte) por onde é introduzid verticlmente um vr com indicdores de medids. Ao retirr vr, observ-se o nível de líquido que fic impregndo n vr e est medid corresponde à ltur de líquido contido n região esféric. Este não é um problem trivil, como observremos pelos cálculos relizdos n sequênci. Um cone circulr reto é um cone equilátero se su seção meridin é um região tringulr equiláter e neste cso medid d gertriz é igul à medid do diâmetro d bse. A áre d bse do cone é dd por: A Bse Pi R Pelo Teorem de Pitágors temos: (R) h R h 4R - R R Assim: h R Como o volume do cone é obtido por / do produto d áre d bse pel ltur, então: A seguir presentremos elementos esféricos básicos e lgums fórmuls pr cálculos de áres n esfer e volumes em um sólido esférico. 68

71 A superfície esféric A esfer no espço R³ é o conjunto de todos os pontos do espço que estão loclizdos um mesm distânci denomind rio de um ponto fio chmdo centro. Um notção pr esfer com rio unitário centrd n origem de R³ é: S² { (,y,z) em R³: ² y² z² } Um esfer de rio unitário centrd n origem de R 4 é dd por: S³ { (w,,y,z) em R 4 : w² ² y² z² } Você conseguiri imginr espcilmente tl esfer? Do ponto de vist prático, esfer pode ser pensd como películ fin que envolve um sólido esférico. Em um melnci esféric, esfer poderi ser considerd películ verde (csc) que envolve frut. É comum encontrrmos n litertur básic definição de esfer como sendo o sólido esférico, no entnto não se devem confundir estes conceitos. Se houver interesse em profundr os estudos desses detlhes, deve-se tomr lgum bom livro de Geometri Diferencil que é áre d Mtemátic que trt do detlhmento de tis situções. O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espço que estão loclizdos n csc e dentro d esfer. Do ponto de vist prático, o disco esférico pode ser pensdo como reunião d películ fin que envolve o sólido esférico com região sólid dentro d esfer. Em um melnci esféric, o disco esférico pode ser visto como tod frut. Qundo indicmos o rio d esfer pel letr R e o centro d esfer pelo ponto (,,), equção d esfer é dd por: ² y² z² R² e relção mtemátic que define o disco esférico é o conjunto que contém csc reunido com o interior, isto é: ² y² z² < R² Qundo indicmos o rio d esfer pel letr R e o centro d esfer pelo ponto ( o,y o,z o ), equção d esfer é dd por: (- o )² (y-y o )² (z-z o )² R² e relção mtemátic que define o disco esférico é o conjunto que contém csc reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (,y,z) em R³ tl que: (- o )² (y-y o )² (z-z o )² < R² D form como está definid, esfer centrd n origem pode ser construíd no espço euclidino R³ de modo que o centro d mesm venh coincidir com origem do sistem crtesino R³, logo podemos fzer pssr os eios OX, OY e OZ, pelo ponto (,,). Seccionndo esfer ²y²z²R² com o plno z, obteremos dus superfícies semelhntes: o hemisfério Norte ( boc pr bio ) que é o conjunto de todos os pontos d esfer onde cot z é não negtiv e o hemisfério Sul ( boc pr cim ) que é o conjunto de todos os pontos d esfer onde cot z não é positiv. Se seccionrmos esfer ²y²z²R² por um plno verticl que pss em (,,), por eemplo, o plno, teremos um circunferênci miml C d esfer que é um circunferênci contid n esfer cuj medid do rio coincide com medid do rio d esfer, construíd no plno YZ e equção dest circunferênci será:, y² z² R sendo que est circunferênci intersect o eio OZ nos pontos de coordends (,,R) e (,,-R). Eistem infinits circunferêncis mimis em um esfer. Se rodrmos est circunferênci miml C em torno do eio OZ, obteremos esfer trvés d rotção e por este motivo, esfer é um superfície de revolução. Se tomrmos um rco contido n circunferênci miml cujs etremiddes são os pontos (,,R) e (,p,q) tl que p²q²r² e rodrmos este rco em torno do eio OZ, obteremos um superfície denomind clot esféric. N prátic, s pessos usm o termo clot esféric pr representr tnto superfície como o sólido geométrico envolvido pel clot esféric. Pr evitr confusões, usrei clot esféric com sps pr o sólido e sem sps pr superfície. A prtir d rotção, construiremos dus clots em um esfer, de modo que s etremiddes dos rcos sejm (,,R) e (,p,q) com p²q²r² no primeiro cso (clot Norte) e no segundo cso (clot Sul) s etremiddes dos rcos (,,-R) e (,r,-s) com r²s²r² e retirrmos ests dus clots d esfer, teremos um superfície de revolução denomind zon esféric. 69

72 De um ponto de vist prático, consideremos um melnci esféric. Com um fc, cortmos um clot esféric superior e um clot esféric inferior. O que sobr d melnci é um região sólid envolvid pel zon esféric, lgums vezes denomind zon esféric. Consideremos um clot esféric com ltur h e rio d bse r e retiremos dest clot um outr clot esféric com ltur h e rio d bse r, de tl modo que os plnos ds bses de mbs sejm prlelos. A região sólid determind pel clot mior menos clot menor recebe o nome de segmento esférico com bses prlels. No que segue, usremos esfer tnto pr o sólido como pr superfície, clot esféric pr o sólido envolvido pel clot esféric, letr miúscul R pr entender o rio d esfer sobre qul estmos relizndo os cálculos, V será o volume, A(lterl) será áre lterl e A(totl) será áre totl. Esfer Algums fórmuls (relções) pr objetos esféricos Objeto Clot esféric (ltur h, rio d bse r) Segmento esférico (ltur h, rios ds bses r >r²) Relções e fórmuls Volume (4/) Pi R³ A(totl) 4 Pi R² R² h (R-h) A(lterl) Pi R h A(totl) Pi h (4R-h) VPi.h²(R-h)/Pi(R²h²)/6 R² ² [(r ² -r ²-h²)/h)]² A(lterl) Pi R h A(totl) Pi(Rhr ²r ²) VolumePi.h(r ²r ²h²)/6 Ests fórmuls podem ser obtids como plicções do Cálculo Diferencil e Integrl, ms nós nos limitremos presentr um processo mtemático pr obtenção d fórmul do cálculo do volume d clot esféric em função d ltur d mesm. Volume de um clot no hemisfério Sul Consideremos esfer centrd no ponto (,,R) com rio R. A equção dest esfer será dd por: ² y² (z-r)² R² A ltur d clot será indicd pel letr h e o plno que coincide com o nível do líquido (cot) será indicdo por zh. A interseção entre esfer e este plno é ddo pel circunferênci ² y² R² - (h-r)² Obteremos o volume d clot esféric com ltur h menor ou igul o rio R d esfer, isto é, h pertence o intervlo [,R] e neste cso poderemos eplicitr o vlor de z em função de e y pr obter: z R R ( y ) Pr simplificr s operções lgébrics, usremos letr r pr indicr: r² R² - (h-r)² h(r-h) A região circulr S de integrção será descrit por ²y²<R² ou em coordends polres trvés de: <m<r, <t<pi A integrl dupl que represent o volume d clot em função d ltur h é dd por: Vc(h) s (h z)ddy ou sej Vc(h) s(h R R ( y ))ddy Escrit em Coordends Polres, est integrl fic n form: R Vc(h) (h R R m )mdmdt t m Após relizr integrl n vriável t, podemos seprá-l em dus integris: Vc(h) π { (h R)mdm R m mdm} ou sej: R Vc(h) π {(h R)R R m ( m)dm} R Com mudnç de vriável ur²-m² e du(-m)dm poderemos reescrever: Vc(h) π {(h R)R R u du} u Após lguns cálculos obtemos: R 7

73 V C (h) Pi (h-r) [R² -(h-r)²] - (/)Pi[(R-h)³ - R³] e ssim temos fórmul pr o cálculo do volume d clot esféric no hemisfério Sul com ltur h no intervlo [,R], dd por: V C (h) Pi h²(r-h)/ Volume de um clot no hemisfério Norte Se o nível do líquido mostr que ltur h já ultrpssou o rio R d região esféric, então ltur h está no intervlo [R,R] Poliedros Regulres Um poliedro é regulr se tods s sus fces são regiões poligonis regulres com n ldos, o que signific que o mesmo número de rests se encontrm em cd vértice. Tetredro Heedro (cubo) Octedro Áres e Volumes Lnçremos mão de um propriedde de simetri d esfer que nos diz que o volume d clot superior ssim como d clot inferior somente depende do rio R d esfer e d ltur h e não d posição reltiv ocupd. Aproveitremos o resultdo do cálculo utilizdo pr clot do hemisfério Sul. Tomremos ltur tl que: hr-d, onde d é ltur d região que não contém o líquido. Como o volume dest clot vzi é ddo por: V C (d) Pi d²(r-d)/ e como hr-d, então pr h no intervlo [R,R], poderemos escrever o volume d clot vzi em função de h: V C (h) Pi (R-h)²(Rh)/ Pr obter o volume ocupdo pelo líquido, em função d ltur, bst tomr o volume totl d região esféric e retirr o volume d clot vzi, pr obter: V(h) 4Pi R³/ - Pi (R-h)²(Rh)/ que pode ser simplificd pr: V(h) Pi h²(r-h)/ Independentemente do fto que ltur h estej no intervlo [,R] ou [R,R] ou de um form gerl em [,R], o cálculo do volume ocupdo pelo líquido é ddo por: V(h) Pi h²(r-h)/ Poliedro Poliedro é um sólido limitdo eternmente por plnos no espço R³. As regiões plns que limitm este sólido são s fces do poliedro. As interseções ds fces são s rests do poliedro. As interseções ds rests são os vértices do poliedro. Cd fce é um região poligonl contendo n ldos. Poliedros conveos são queles cujos ângulos diedris formdos por plnos djcentes têm medids menores do que 8 grus. Outr definição: Ddos quisquer dois pontos de um poliedro conveo, o segmento que tem esses pontos como etremiddes, deverá estr inteirmente contido no poliedro. Poliedro regulr Áre Volume Tetredro R[] (/) ³ R[] Heedro 6 ³ Octedro R[] (/) ³ R[] Dodecedro R{5 R[5]} (/4) ³ (57 R[5]) Icosedro 5 R[] (5/) ³ (R[5]) Nest tbel, notção R[z] signific riz qudrd de z>. Prism Prism é um sólido geométrico delimitdo por fces plns, no qul s bses se situm em plnos prlelos. Qunto à inclinção ds rests lteris, os prisms podem ser retos ou oblíquos. Prism reto As rests lteris têm o mesmo comprimento. As rests lteris são perpendiculres o plno d bse. As fces lteris são retngulres. Prism oblíquo As rests lteris têm o mesmo comprimento. As rests lteris são oblíqus o plno d bse. As fces lteris não são retngulres. Bses: regiões poligonis congruentes Altur: distânci entre s bses Arests lteris prlels: mesms medids Fces lteris: prlelogrmos Prism reto Aspectos comuns Prism oblíquo Seções de um prism 7

74 Seção trnsversl É região poligonl obtid pel interseção do prism com um plno prlelo às bses, sendo que est região poligonl é congruente cd um ds bses. Seção ret (seção norml) É um seção determind por um plno perpendiculr às rests lteris. Princípio de Cvliere Consideremos um plno P sobre o qul estão poidos dois sólidos com mesm ltur. Se todo plno prlelo o plno ddo interceptr os sólidos com seções de áres iguis, então os volumes dos sólidos tmbém serão iguis. Prism regulr É um prism reto cujs bses são regiões poligonis regulres. Eemplos: Um prism tringulr regulr é um prism reto cuj bse é um triângulo equilátero. Um prism qudrngulr regulr é um prism reto cuj bse é um qudrdo. Plnificção do prism Cilindros Sej P um plno e nele vmos construir um círculo de rio r. Tomemos tmbém um segmento de ret PQ que não sej prlelo o plno P e nem estej contido neste plno P. Um cilindro circulr é reunião de todos os segmentos congruentes e prlelos PQ com um etremidde no círculo. Observmos que um cilindro é um superfície no espço R, ms muits vezes vle pen considerr o cilindro com região sólid contid dentro do cilindro. Qundo nos referirmos o cilindro como um sólido usremos sps, isto é, cilindro e qundo for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro. A ret que contém o segmento PQ é denomind gertriz e curv que fic no plno do chão é diretriz. Um prism é um sólido formdo por todos os pontos do espço loclizdos dentro dos plnos que contêm s fces lteris e os plnos ds bses. As fces lteris e s bses formm envoltóri deste sólido. Est envoltóri é um superfície que pode ser plnificd no plno crtesino. Tl plnificção se reliz como se cortássemos com um tesour est envoltóri etmente sobre s rests pr obter um região pln formd por áres congruentes às fces lteris e às bses. A plnificção é útil pr fcilitr os cálculos ds áres lterl e totl. Volume de um prism O volume de um prism é ddo por: Vprism Abse. h Áre lterl de um prism reto com bse poligonl regulr A áre lterl de um prism reto que tem por bse um região poligonl regulr de n ldos é dd pel som ds áres ds fces lteris. Como neste cso tods s áres ds fces lteris são iguis, bst tomr áre lterl como: Em função d inclinção do segmento PQ em relção o plno do chão, o cilindro será chmdo reto ou oblíquo, respectivmente, se o segmento PQ for perpendiculr ou oblíquo o plno que contém curv diretriz. Objetos geométricos em um cilindro Num cilindro, podemos identificr vários elementos: - Bse É região pln contendo curv diretriz e todo o seu interior. Num cilindro eistem dus bses. - Eio É o segmento de ret que lig os centros ds bses do cilindro. - Altur A ltur de um cilindro é distânci entre os dois plnos prlelos que contêm s bses do cilindro. - Superfície Lterl É o conjunto de todos os pontos do espço, que não estejm ns bses, obtidos pelo deslocmento prlelo d gertriz sempre poid sobre curv diretriz. - Superfície Totl É o conjunto de todos os pontos d superfície lterl reunido com os pontos ds bses do cilindro. - Áre lterl É medid d superfície lterl do cilindro. - Áre totl É medid d superfície totl do cilindro. - Seção meridin de um cilindro É um região poligonl obtid pel interseção de um plno verticl que pss pelo centro do cilindro com o cilindro. 7

75 Clssificção dos cilindros circulres Cilindro circulr oblíquo Apresent s gertrizes oblíqus em relção os plnos ds bses. Cilindro circulr reto As gertrizes são perpendiculres os plnos ds bses. Este tipo de cilindro é tmbém chmdo de cilindro de revolução, pois é gerdo pel rotção de um retângulo. Cilindro equilátero É um cilindro de revolução cuj seção meridin é um qudrdo. Volume de um cilindro Em um cilindro, o volume é ddo pelo produto d áre d bse pel ltur. V A bse h Se bse é um círculo de rio r, então: V r h Áres lterl e totl de um cilindro circulr reto Qundo temos um cilindro circulr reto, áre lterl é dd por: A lt r h onde r é o rio d bse e h é ltur do cilindro. A tot A lt A bse A tot r h r A tot r(hr) Eercícios. Ddo o cilindro circulr equilátero (h r), clculr áre lterl e áre totl.. Sej um cilindro circulr reto de rio igul cm e ltur cm. Clculr áre lterl, áre totl e o seu volume.. As áres ds bses de um cone circulr reto e de um prism qudrngulr reto são iguis. O prism tem ltur cm e volume igul o dobro do volume do cone. Determinr ltur do cone. 4. Anderson colocou um csquinh de sorvete dentro de um lt cilíndric de mesm bse, mesmo rio R e mesm ltur h d csquinh. Qul é o volume do espço (vzio) compreendido entre lt e csquinh de sorvete? Cálculo d Áre totl A tot A lt A bse A tot 8 cm Cálculo do Volume V Abse h r h V 4 cm ) Solução: h prism A bse do prism A bse do cone A V prism V cone A h prism (A h)/.h/ h 8 cm 4) Solução: V V cilindro - V cone V A bse h - (/) A bse h V Pi R h - (/) Pi R h V (/) Pi R h cm Ponto, Ret e Plno A definição dos entes primitivos ponto, ret e plno é quse impossível, o que se sbe muito bem e qui será o mis importnte é su representção geométric e espcil. Representção, (notção) Pontos serão representdos por letrs ltins miúsculs; e: A, B, C, Rets serão representdos por letrs ltins minúsculs; e:, b, c, Plnos serão representdos por letrs gregs minúsculs; e: β,,α,... Representção gráfic Resposts ) Solução: No cilindro equilátero, áre lterl e áre totl é dd por: A lt r. r 4 r A tot A lt A bse A tot 4 r r 6 r V A bse h r. r r Postuldos primitivos d geometri, qulquer postuldo ou iom é ceito sem que sej necessári prov, contnto que não eist contrprov. - Num ret bem como for del há infinitos pontos distintos. - Dois pontos determinm um únic ret (um e somente um ret). ) Solução: Cálculo d Áre lterl A lt r h. cm 7

76 - Pontos colineres pertencem à mesm ret. Dus rets (segmentos de ret) no espço R podem ser: prlels, concorrentes ou reverss. Dus rets são dits reverss qundo um não tem interseção com outr e els não são prlels. Pode-se pensr de um ret r desenhd no chão de um cs e um ret s desenhd no teto dess mesm cs. - Três pontos determinm um único plno. Um ret é perpendiculr um plno no espço R, se el intersect o plno em um ponto P e todo segmento de ret contido no plno que tem P como um de sus etremiddes é perpendiculr à ret. - Se um ret contém dois pontos de um plno, est ret está contid neste plno. - Dus rets são concorrentes se tiverem pens um ponto em comum. Um ret r é prlel um plno no espço R, se eiste um ret s inteirmente contid no plno que é prlel à ret dd. Sej P um ponto loclizdo for de um plno. A distânci do ponto o plno é medid do segmento de ret perpendiculr o plno em que um etremidde é o ponto P e outr etremidde é o ponto que é interseção entre o plno e o segmento. Se o ponto P estiver no plno, distânci é nul. Observe que ret r e n ret s.. Sendo que H está contido n Um plno é um subconjunto do espço R de tl modo que quisquer dois pontos desse conjunto podem ser ligdos por um segmento de ret inteirmente contid no conjunto. Um plno no espço R pode ser determindo por qulquer um ds situções: - Três pontos não colineres (não pertencentes à mesm ret); - Um ponto e um ret que não contem o ponto; - Um ponto e um segmento de ret que não contem o ponto; - Dus rets prlels que não se sobrepõe; - Dois segmentos de ret prlelos que não se sobrepõe; - Dus rets concorrentes; - Dois segmentos de ret concorrentes. Plnos concorrentes no espço R são plnos cuj interseção é um ret. Plnos prlelos no espço R são plnos que não tem interseção. Qundo dois plnos são concorrentes, dizemos que tis plnos formm um diedro e o ângulo formdo entre estes dois plnos é denomindo ângulo diedrl. Pr obter este ângulo diedrl, bst tomr o ângulo formdo por quisquer dus rets perpendiculres os plnos concorrentes. Plnos normis são queles cujo ângulo diedrl é um ângulo reto (9 grus). 74

77 Rzão entre Segmentos de Ret Segmento de ret é o conjunto de todos os pontos de um ret que estão limitdos por dois pontos que são s etremiddes do segmento, sendo um deles o ponto inicil e o outro o ponto finl. Denotmos um segmento por dus letrs como, por eemplo, AB, sendo A o início e B o finl do segmento. Feie de Rets Prlels Um conjunto de três ou mis rets prlels num plno é chmdo feie de rets prlels. A ret que intercept s rets do feie é chmd de ret trnsversl. As rets A, B, C e D que precem no desenho nedo, formm um feie de rets prlels enqunto que s rets S e T são rets trnsversis. Eemplo AB é um segmento de ret que denotmos por AB. A B Não é possível dividir um segmento de ret por outro, ms é possível relizr divisão entre s medids dos dois segmentos. Consideremos os segmentos AB e CD, indicdos: A B m(ab) cm C D m(cd) 5 cm A rzão entre os segmentos AB e CD, denotdo qui por, AB/ CD, é definid como rzão entre s medids desses segmentos, isto é: AB/CD /5 Teorem de Tles: Um feie de rets prlels determin sobre dus trnsversis quisquer, segmentos proporcionis. A figur bio represent um situção onde prece um feie de três rets prlels cortds por dus rets trnsversis. Segmentos Proporcionis Proporção é iguldde entre dus rzões equivlentes. De form semelhnte os que já estudmos com números rcionis, é possível estbelecer proporcionlidde entre segmentos de ret, trvés ds medids desse segmentos. Vmos considerr primeirmente um cso prticulr com qutro segmentos de ret: m(ab) cm A B P Q m(pq) 4 cm m(cd) cm C D R S m(rs) 6cm A rzão entre os segmentos AB e CD e rzão entre os segmentos PQ e RS, são dds por frções equivlentes, isto é: AB/ CD /; PQ/RS 4/6 e como / 4/6, segue eistênci de um proporção entre esses qutro segmentos de ret. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionis. Diremos que qutro segmentos de ret, AB, BC, CD e DE, nest ordem, são proporcionis se: AB/BC CD/DE Os segmentos AB e DE são os segmentos etremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios. A proporcionlidde cim é grntid pelo fto que eiste um proporção entre os números reis que representm s medids dos segmentos: Propriedde Fundmentl ds proporções: Num proporção de segmentos, o produto ds medids dos segmentos meios é igul o produto ds medids dos segmentos etremos. m(ab) m(de) m(bc) m(cd) Identificmos n sequênci lgums proporções: AB/BC DE/EF BC/AB EF/DE AB/DE BC/EF DE/AB EF/BC Eemplo Consideremos figur o ldo com um feie de rets prlels, sendo s medids dos segmentos indicds em centímetros. Assim: BC/AB EF/DE AB/DE BC/EF DE/AB EF/BC 75

78 Observmos que um proporção pode ser formuld de váris mneirs. Se um dos segmentos do feie de prlels for desconhecido, su dimensão pode ser determind com o uso de rzões proporcionis. Eercício Nos eercícios de, utilize Teorem de Tles pr determinr o que se pede respeito d situção ilustrd pel imgem seguir: As rets AD, BE e CF são prlels. Eercício 4: Determine AB, supondo que BC cm, DE 8cm e EF cm Eercício 5: Determine AB e BC supondo que AC cm, DE 8cm e EF 7cm. Eercício 6: Determine medid de AB, supondo que AC cm, DF cm e que EF é 4cm mior que BC. Eercício 7: Determine AC supondo que DE cm, EF 8cm e que AB é cm mior que BC. As rets DE e BC são prlels. Eercício : Considerndo figur cim, determine o comprimento do segmento AD, supondo que DB 5cm, EC cm e AE 8cm. Eercício : Determine AD e DB, supondo que n figur o ldo AB 6cm, AE 8cm e EC 5cm Eercício : Determine AD e DB, supondo que AB 7cm, AE cm e AC 8cm Eercício 8: Considere um triângulo Δ ABC tl que AB 5, BC 6 e CA 7. Desenhe sobre o segmento BC um ponto M tl que BM. A ret prlel AC que pss por M encontr BA no ponto N. Clcule BN, AN e MN. Resposts: - AD4cm - 8 e 8 respectivmente. - 5 e respectivmente. 4-9cm 5-6 e 4 respectivmente. 6- cm 7-5cm 8- /, 5/ e 4/ respectivmente. Do eercício 4 té o eercício 7, utilize Teorem de Tles pr determinr o que se pede respeito d situção ilustrd pel seguinte imgem: 76

79 .9 TRIGONOMETRIA: ARCOS E ÂNGULOS, VALORES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS NOTÁVEIS, FÓRMULAS DE ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, DUPLICAÇÃO E EBISSECÇÃO DE ARCOS, RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS. Seno, Co-seno e Tngente de um Ângulo Agudo A fig. ilustr um triângulo retângulo conhecido como triângulo pitgórico, clssificção devid o fto de que, segundo trdição greg, trvés dele Pitágors enunciou seu Teorem. Trigonometri no Triângulo Retângulo Rzões Trigonométrics no Triângulo Retângulo Definiremos lgums relções e números obtidos prtir dos ldos de triângulos retângulos. Antes, porém, precismos rever lgums de sus proprieddes. A fig. present um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de medid 9º ou π rd), o que nos permite clssificá-lo como um triângulo retângulo. Lembremo-nos de que, qulquer que sej o triângulo, som dos seus três ângulos internos vle 8º. Logo, respeito do triângulo ABC presentdo, dizemos que: α β 9 8 α β 9 Com isso, podemos concluir: - Que os ângulos α e β são complementres, isto é, são ângulos cujs medids somm 9º; - Um vez que são complementres mbos terão medid inferior 9º. Portnto, dizemos que todo triângulo retângulo tem um ângulo interno reto e dois gudos, complementres entre si. De cordo com figur, reconhecemos nos ldos b e c os ctetos do triângulo retângulo e em su hipotenus. Lembremo-nos de que hipotenus será sempre o ldo oposto o ângulo reto em, ind, o ldo mior do triângulo. Podemos relcioná-los trvés do Teorem de Pitágors, o qul enunci que o qudrdo sobre hipotenus de um triângulo retângulo é igul à som dos qudrdos sobre os ctetos (sic) ou, em lingujr moderno, som dos qudrdos dos ctetos é igul o qudrdo d hipotenus de um triângulo retângulo. Aplicdo o nosso triângulo, e escrito em lingugem mtemátic, o teorem seri epresso como segue: b c De fto, s medids de seus ldos (, 4 e 5 uniddes de comprimento) stisfzem sentenç 5 4. Apesr de nos poirmos prticulrmente no triângulo pitgórico, s relções que iremos definir são válids pr todo e qulquer triângulo retângulo. Apens queremos, dess form, obter lguns resultdos que serão comprdos dinte. Definimos seno, co-seno e tngente de um ângulo gudo de um triângulo retângulo pels relções presentds no qudro seguir: Seno do ângulo cteto oposto o ângulo hipotenus Co-seno do ângulo cteto djcente o ângulo hipotenus Tngente do ângulo cteto oposto o ângulo cteto djcente o ângulo A prtir desss definições, o cálculo de seno, co-seno e tngente do ângulo α, por eemplo, nos fornecerão os seguintes vlores: sen α 5,6 cos α 4 5,8 tg α 4,75 Ao que cbmos de ver, liemos um conhecimento dquirido d Geometri. El nos ensin que dois triângulos de ldos proporcionis são semelhntes. Se multiplicrmos, então, os comprimentos dos ldos de nosso triângulo pitgórico semelhnte, com os novos ldos (6,,8 e ) igulmente stisfzendo o Teorem de Pitágors. N fig., presentmos o resultdo dess operção, em que mostrmos o triângulo ABC, já conhecido n fig. e A BC. 77

80 Seno, Co-seno, Tngente e Co-tngente de Ângulos Complementres Observemos que os ângulos α e β permnecem sendo os ângulos gudos internos do triângulo recém-construído. Lnçndo Mo ds medids dos novos ldos A B, BCeA C (respectivmente 8, e 6 uniddes de comprimento), clculemos, pr o ângulo α, os vlores de seno, co-seno e tngente: sen α 8,6 cos α 8,8 tg α 6 8,75 Nosso intuito, n repetição desss operções, é mostrr que, não importndo se o triângulo PE mior ou menor, s relções definids como seno, co-seno e tngente têm, individulmente, vlores constntes, desde que clculdos pr os mesmo ângulos. Em outrs plvrs, seno, co-seno e tngente são funções pens dos ângulos internos do triângulo, e não de seus ldos. Outrs Rzões Trigonométrics Co-tngente, Secnte e Co-secnte Além ds rzões com que trblhmos té qui, são definids co-tngente, secnte e co-secnte de um ângulo gudo de triângulo retângulo trvés de relções entre seus ldos, como definimos no qudro seguir: cot do ângulo cteto djcente o ângulo cteto oposto o ângulo sec do ângulo hipotenus cteto djcente o ângulo cosec do ângulo hipotenus Por eemplo, pr cteto oposto o ângulo um triângulo retângulo de ldos, 4 e 5 uniddes de comprimento, como eibido n fig. 6, terímos, pr o ângulo α, Já foi visto que em todo triângulo retângulo os ângulos gudos são complementres. α β 9 Sbemos ind que: sen α b cos α c tg α c b cotg α b c Verific-se fcilmente que: sen α cos β; cos α sen β; tg α cotg β; cotg α tg β. Eemplo sen β c cos β b tg β b c cotg β c b Um triângulo retângulo tem ctetos cujs medids são 5 cm e cm. Determine o vlor de seno, co-seno e tngente dos seus ângulos gudos. cotg α 4 sec α 5 4 cosec α 5 78

81 Resolução Pr respondermos o que se pede, necessitremos do comprimento d hipotenus do triângulo. Aplicndo o Teorem de Pitágors, temos que: b c 5 69 Logo, cm. Assim, obtemos pr seno, co-seno e tngente dos ângulos d Figur, os seguintes vlores: senα 5 conα tgα 5 senβ conβ 5 tgβ 5 Ângulos Notáveis Seno, Co-seno e Tngente dos Ângulos Notáveis Um vez definidos os conceitos de seno, co-seno e tngente de ângulos gudos internos um triângulo retângulo, pssremos determinr seus vlores pr ângulos de grnde utilizção em diverss tividdes profissionis e encontrdos fcilmente em situções cotidins. Por eemplo, n Mecânic, demonstr-se que o ângulo de lnçmento, tomdo com relção à horizontl, pr o qul se obtém o máimo lcnce com um mesm velocidde de tiro, é de 45 o ; um colméi é constituíd, interiormente, de heágonos regulres, que por su vez, são divisíveis, cd um, em seis triângulos equiláteros, cujos ângulos internos medem 6 o ; fcilmente encontrm-se coberturs de css, de regiões tropicis, onde não há neve, com ângulo de inclinção definido nos o, etc. Vmos selecionr, portnto, figurs plns em que possmos delimitr ângulo com s medids citds ( o, 45 o e 6 o ). Pr isso, pssremos trblhr com o qudrdo e o triângulo equilátero. Observemos, n figur 4 e n figur 5, que digonl de um qudrdo divide ângulos internos opostos, que são retos, em dus prtes de 45 o, e que o segmento que define bissetriz (e ltur) de um ângulo interno do triângulo equilátero permite-nos reconhecer, em qulquer ds metdes em que este é dividido, ângulos de medids o e 6 o. Um vez que s regiões sombreds ns figurs são triângulos retângulos, podemos plicr o teorem de Pitágors pr cd um deles. Pr o meio-qudrdo, temos que: D d. d Qunto o triângulo equilátero, podemos escrever o seguinte: l h h l l 4 h l 4 h l Sbemos, gor, que o triângulo hchurdo no interior do qudrdo tem ctetos de medid e hipotenus. Pr o outro triângulo sombredo, teremos ctetos e medids e l, enqunto su hipotenus tem comprimento l. Pssemos, gor, o cálculo de seno, co-seno e tngente dos ângulos de o m 45 o e 6 o. Seno, Co-seno e Tngente de o e 6 o. Tomndo por bse o triângulo equilátero d figur 5, e conhecendo s medids de seus ldos, temos: sen o l l. l l cos o h l l tg o l l h l l. l l sen 6 o h l cos 6 o l l l. l. tg 6 o h l l l. Seno, Co-seno e Tngente de 45 o Primeirmente, vmos clculr os comprimentos d digonl do qudrdo (identificdo n figur 4 por d) e ltur h, do triângulo equilátero (figur 5). A prtir do qudrdo representdo n figur 4, de ldo e digonl, podemos clculr: 79