MODELAGEM MATEMÁTICA DA PRODUÇÃO DE ETANOL UTILIZANDO AJUSTE DE CURVAS E O MODELO DE CRESCIMENTO LOGÍSTICO DE VERHULST.

Transcrição

1 a de junho de 9, Ijuí/RS MODELAGEM MATEMÁTICA DA PRODUÇÃO DE ETANOL UTILIZANDO AJUSTE DE CURVAS E O MODELO DE CRESCIMENTO LOGÍSTICO DE VERHULST. GT Modelagem Matemática Lucilaine Goin Abitante FAHOR lucilaine@fahor.com.br Resumo: A modelagem matemática consiste em transformar problemas reais em problemas matemáticos, oportunizando interpretar suas soluções, de modo a compreender o processo em estudo a cerca de meios para agir sobre ele. Por isso, o presente trabalho apresenta o uso da programação em MATLAB, como ferramenta suporte para análise de reais relacionados a crescimentos populacionais, como é o caso do cultivo da levedura Saccharomyces cerevisiae, que em contato com o caldo de cana de açúcar, faz a metabolização dos açúcares para seu desenvolvimento, excretando o etanol (álcool etílico hidratado), processo conhecido como fermentação alcoólica. Com o intuito de estudar o comportamento deste processo, foram obtidos na literatura [] experimentais de um processo de fermentação alcoólica em batelada para que pudessem ser aplicados os ajustes de curvas e o modelo de crescimento logístico de Verhulst. Logo, foram desenvolvidos dois programas em MATLAB, o primeiro para testar oito funções, dentre elas, modelos geométricos, exponenciais, hiperbólicos, além do linear, onde o melhor modelo é escolhido através dos mínimos quadrados, ou seja, pela menor diferença entre o valor real do problema e o valor estimado pela função. O segundo trabalha o modelo de crescimento populacional de Verhulst, que a partir da determinação da capacidade suporte, define os parâmetros do modelo que melhor se ajustam aos em estudo, de modo a possibilitar previsões de crescimento populacional por períodos mais longos, onde a população estudada nunca ultrapassará a capacidade suporte determinada. Palavras-chave: tempo, bactérias, substrato, produto, ajuste de curvas, modelo de Verhulst. Introdução A cada ano a temperatura do planeta vem aumentando e mudanças climáticas desordenadas têm provocado fenômenos naturais que até então eram inéditos. Por isso, toda atenção se volta para questões ambientais inerentes à sobrevivência dos seres vivos em um ambiente adequado a sua existência. Logo, todas as nações buscam medidas efetivas que agreguem energias limpas em detrimento as energias fósseis prejudiciais ao aquecimento global, sendo que uma destas medidas está na adesão por combustíveis oriundos de energias renováveis, como o etanol. Porém, vale ressaltar que o etanol por si só, não é a solução para o aquecimento global, mas sim parte integrante deste processo de desaquecimento do planeta. Por isso, um processo de desenvolvimento consciente dos biocombustíveis pode colaborar no ensejo desta redução almejada pelas nações.

2 a de junho de 9, Ijuí/RS Sendo assim, a modelagem está associada a processos reais sujeitos a experimentações, como é o caso da fermentação alcoólica, onde as informações obtidas experimentalmente podem ser transportadas para modelos matemáticos. Por isso, a modelagem faz a ligação entre os reais e o modelo, determinando seus parâmetros e condições de fronteira. Logo, o propósito da modelagem matemática utilizando a regressão linear ou ajuste de curva é obter uma relação funcional que comporte em seus parâmetros, qualidades ou significados inerentes ao fenômeno estudado []. Por isso, o ajuste do modelo aos é feito pelo cálculo do melhor conjunto de parâmetros, que tornam mínima a diferença entre os previstos pelo modelo e os experimentais de forma a prever um comportamento funcional para estes. Já o modelo de Verhulst propõe modelar a dinâmica das populações. Supondo que uma população que vive em um determinado meio deverá crescer até um limite máximo sustentável e depois vai tender a se estabilizar, não ultrapassando a capacidade suporte do sistema. Por isso, no presente trabalho será apresentado inicialmente um sucinto esclarecimento sobre o processo de fermentação alcoólica, onde em seguida trata-se do estudo sobre a regressão linear e o modelo de crescimento de Verhulst, com suas respectivas simulações. Processo Fermentativo em Batelada Num processo fermentativo estão envolvidos dois sistemas que interagem continuamente: a fase biológica composta pela população microbiana, ou cultura de células, e pela fase ambiental, ou meio de cultura que contém substrato e produtos do processo. As células por sua vez, consomem nutrientes e convertem substratos do ambiente em produtos. Por isso, o estudo do processo fermentativo consiste em analisar a evolução dos valores de concentração dos componentes do sistema de cultivo em função do tempo de fermentação. Estes componentes podem ser entendidos como o microrganismo (Saccharomyces cerevisae), o produto do metabolismo (etanol) e o substrato (caldo de canade-açúcar), e seus valores experimentais de concentração são X, P e S respectivamente, os quais permitem que sejam traçadas curvas de ajuste que descrevam o melhor modelo para os experimentais estu.

3 a de junho de 9, Ijuí/RS Regressão Linear Uma regressão ou ajuste de curvas é um recurso formal para expressar alguma tendência da variável dependente quando relacionada com a variável independente (BASSANEZI,, p.). Além da tendência citada por BASSANEZI, a regressão linear permite fazer previsões futuras e estimativas além do intervalo pesquisado. Porém, se o modelo pesquisado for dinâmico, deve-se levar em consideração o comportamento fenomenológico das variáveis, pois muitas vezes um simples ajuste de curvas escolhido pode expressar bem a relação entre as variáveis, mas pode não ter as condições mínimas exigidas para previsões do relacionamento futuro destas variáveis. Então, neste caso, o ajuste de curva é simplesmente uma curva que descreve uma tendência do intervalo pesquisado []. [] O ajuste é linear na forma : ;, (equação de uma reta) () Neste caso, encontram-se os parâmetros e que tornam mínimos os valores da soma dos quadrados dos desvios: () Satisfazendo necessariamente as seguintes condições: () () Desenvolvendo o sistema de equações, tem-se: () () Na impossibilidade de fazer o ajuste linear diretamente para modelos por outras funções, o método do ajuste linear é aplicável se for possível reescrever a função mediante mudança de variável na forma linear: (7)

4 a de junho de 9, Ijuí/RS Porém a regressão linear pode ser definida como um método para encontrar a melhor solução aproximada para um sistema linear da forma: (8) onde, com, logo não é quadrada, por isso não possui determinante e não é possível a inversa;, e, onde a melhor solução minimiza o funcional: (9) onde é a melhor solução aproximada do sistema, pois são vetores que minimizam a discrepância. Reescrevendo (8) agora como uma igualdade, o sistema possui uma única e melhor solução que pode ser encontrada por: () Multiplicando à esquerda de (), tem-se: () Sendo uma matriz quadrada, pode-se obter a melhor solução aproximada do sistema por: () Sendo a pseudo-inversa da matriz. Ajuste de Curvas do Processo de Fermentação Alcoólica em Batelada Utilizando o cálculo da pseudo-inversa para determinar os parâmetros e necessários ao ajuste linear, como também a mudança de variável para as funções não lineares, foi desenvolvido um programa no aplicativo MATLAB para testar oito funções a seguir descritas, dentre elas, modelos geométricos, exponenciais, hiperbólicos, além do linear, onde o melhor ajuste é dado pelo somatório do quadrado dos erros entre o valor real do problema e o valor estimado pela função.

5 a de junho de 9, Ijuí/RS (). (). (). () (7). (8) (9) () A seguir são apresentados os experimentais [] do cultivo do microorganismo Saccharomyces cerevisiae em calco de cana-de-açúcar, pelo processo de batelada, que fornecem a concentração de células, de substrato e produto a cada hora do processo por um período de 8 h. Tempo (h) X (g/l) S (g/l) P(g/L),89,9,89,9,89,9,9,,,97,,8,7,,9,9,,7 7,,,7 8, 98,,8 9,7 9, 7,,9 9,9 9,8, 87,7,9, 8,9,,7 77,,7, 7,9 9,,,7,8, 9,, 7,89, 7 8,8,7 9, 9, 8,9,,7,,,9,9,,7, 8,,,8,,9,,7,7 7,,7,7 7,,8 7,7 7,,8 8,7 7,,8 Tabela : Dados experimentais do cultivo de Saccharomyces cerevisiae em caldo de cana [].

6 a de junho de 9, Ijuí/RS Simulação do Ajuste para os Dados Experimentais da Tabela Cada uma das variáveis envolvidas no processo de fermentação alcoólica foi simulada a fim de encontrar a melhor função de ajuste, ou seja, a função que torna-se mínime a diferença entre a função escolhida e os experimentais. Inicialmente apresenta-se um resumo gráfico da aplicação dos em cada função, onde pode-se observar o comportamento de cada curva de ajuste em relação aos estu. Na sequencia a tabela com os respectivos erros do funcional quadrático, onde o menor valor de minimiza a discrepância entre a função de ajuste e os experimentais, sendo esta a função que melhor descreve o comportamento dos simulados, apresentado-se em seguida, o gráfico do melhor ajuste..simulação para a Celular A Figura apresenta o resumo da simulação da concentração celular. 7 Função (.) 8 Função (.) Função (.) Função (.) - tempo (h) Função (.7) Função (.8) Função (.9) Função (.) tempo (h) - Figura : Resumo da Simulação das oito Funções para a Celular modelo Tabela : Relação dos erros (J) das Respectivas Funções Simuladas para Células J(.) J(.) J(.) J(.) Erro J(.7) J(.8) J7(.9) J8(.) Erro.9.77e

7 a de junho de 9, Ijuí/RS 7 ajuste de curva Celular (g/l) modelo tempo (h) Figura : Ajuste de Curvas para o Crescimento de Células O modelo que minimizou o erro entre a curva de ajuste e os experimentais do crescimento de bactérias foi o modelo linear, com os parâmetros a seguir:,89,7 ().Simulação para a de Substrato A Figura apresenta o resumo da simulação da concentração de substrato. Função (.) Função (.) Função (.) Função (.) modelo Função (.7) Função (.8) Função (.9) Função (.) Figura : Resumo da Simulação das oito Funções para a de Substrato

8 a de junho de 9, Ijuí/RS Tabela : Relação dos erros (J) das Respectivas Funções Simuladas para o Substrato J(.) J(.) J(.) J(.) Erro e+ J(.7) J(.8) J7(.9) J8(.) Erro.8e+.e+.99e+.7e+ O modelo que minimizou o erro entre a curva de ajuste e os experimentais do consumo de substrato foi o modelo linear, com os parâmetros a seguir:,7,88 () ajuste de curva modelo de Substrato (g/l) 8 tempo (h) Figura : Ajuste de Curvas para a de Substrato.Simulação para a de Produto A Tabela apresenta os respectivos erros do funcional quadrático para cada função testada, e na sequencia é apresenta-se o resumo das simulações da formação de produto no fermentador pela Figura. Tabela : Relação dos erros (J) das Respectivas Funções Simuladas para o Substrato J(.) J(.) J(.) J(.) Erro.879.8e J(.7) J(.8) J7(.9) J8(.) Erro

9 a de junho de 9, Ijuí/RS Função (.) Função (.) Função (.) Função (.) - - modelo Função (.7) Função (.8) - Função (.9) Função (.) Figura : Resumo da Simulação das oito Funções para a de Produto O modelo que minimizou o erro entre a curva de ajuste e os experimentais do consumo de substrato foi o modelo linear, com os parâmetros a seguir:,899,7 () ajuste de curva modelo de Produto (g/l) - tempo (h) Figura : Ajuste de Curvas para a Formação de Produto

10 a de junho de 9, Ijuí/RS Modelo de Verhulst Aplicado ao Crescimento da População de Células O primeiro modelo que atende a variação da taxa de crescimento foi formulado pelo matemático belga Pierre F. Verhurst em 87. O modelo de Verhurst supõe que uma população vivendo num determinado meio, deverá crescer até um limite máximo sustentável, isto é, ela tende a se estabilizar []. Esta curva logística que foi proposta inicialmente para modelar a dinâmica das populações tem características fundamentais como a tendência da variável independente a estabilidade na medida em que cresce, onde o valor máximo sustentável é denominado capacidade suporte. [] Seja a equação de Verhurst: () Onde, que é a capacidade suporte do crescimento. Resolvendo () por integração, tem-se: ln () Denotando diferencial () na forma linearizada:,, ln, chega-se a solução da equação () A partir dos reais obtém-se os parâmetros do modelo através dos mínimos quadrados. (7) Onde, logo tem-se a seguinte equação: (8)

11 a de junho de 9, Ijuí/RS A tabela a seguir mostra os valores da norma do vetor erro para diferentes valores da capacidade suporte k, sendo que o valor que minimiza o funcional 7 é a capacidade suporte, Tabela : Erros referentes ao teste da Capacidade Suporte A partir da determinação do, se faz o ajuste dos do crescimento celular ao modelo de Verhulst com., determinando os parâmetros que se ajustam ao modelo, e tem-se a equação logística (8) de Verhurst:.. (9).. 7 Modelo de Verhulst 7 Estimativa com o Modelo de Verhulst Celular(g/l) modelo capacidade Tempo (h) Figura 7: Modelo de Verhulst para o Crescimento de Células Celular(g/l) estimativa capacidade Tempo (h) Figura 8: Estimativa do Modelo de Verhulst para o Crescimento de Células A Figura 7 representa o ajuste do Modelo de Verhulst aos referentes ao crescimento celular no mosto de fermentação alcoólica. Observa-se que o modelo de crescimento populacional proposto por Verhulst representa muito bem este tipo de crescimento populacional e pode ser utilizado prever uma estimativa maior de tempo. A Figura 8 apresenta uma estimativa de horas de fermentação, onde observa-se que a população celular entra em sua saturação, ou seja, não se reproduzem mais devido a alta concentração de álcool que se encontra no mosto neste período,como também a ausência de substrato para o seu consumo e desenvolvimento. Salienta-se que, se for simulado um tempo

12 a de junho de 9, Ijuí/RS muito grande para este processo, ele pode não representar realmente o fenômeno do crescimento celular, pois se as células ficarem por muito tempo em contato com altas concentrações de etanol, elas tendem a morrer. Considerações... A teoria de regressão linear trabalhada neste artigo, é uma ampla ferramenta para modelagem matemática dos mais variados sistemas, sejam eles populacionais ou não, que permite encontrar o modelo que melhor descreve os estu. Este ajuste encontrado permite muitas vezes que se use apenas a função de ajuste como ferramenta de trabalho ao invés de utilizar os experimentais. Quanto ao modelo de Verhulst, ele permite estimar a capacidade suporte do sistema em estudo a fim de determinar o limite suportado pelo sistema. Contudo, neste trabalho, não foram levados em conta os fatores inibitórios do processo de fermentação, que fazem com que as leveduras depois da sua fase estacionária comecem a decrescer, pois o etanol quando mais concentrado, causa a morte gradativa destes microorganismos. Logo, o modelo de Verhulst é bastante razoável para reproduzir populações como também projetar populações futuras, desde que não haja nenhuma conjectura que venha atrapalhar o processo. Por isso, a utilização da programação em MATLAB permite trabalhar qualquer contexto da modelagem matemática, como por exemplo, o ajuste de curvas e o modelo logístico de Verhulst, minimizando esforços de cálculo que por muitas vezes são excessivamente trabalhosos, proporcionando agilidade nos resultados, com a necessidade de apenas alguns conhecimentos básicos das ferramentas do Matlab para formulação do programa []. Referências [] HANSELMAN, Duane; LITTLEFIELD, Bruce. Matlab Versão Estudante Guia do Usuário..ed.São Paulo: Editora Makron Books do Brasil, 999. [] HISS, H. Cinética dos Processos Fermentativos. In: Schmidell, W.; Lima, U. A.; Aquarone, E.; Borzani, W. Biotecnologia Industrial,v.,.ed.-São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda,. [] RODNEY, Carlos Bassanezi. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia..ed.-são Paulo: Contexto,. [] NOBLE, B.; DANIEL, J.W. Álgebra linear aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 99.