Eletromagnetismo I. Fernando Deeke Sasse Programa de Mestrado em Física, UDESC - Joinville. Problemas de Eletrostática

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1 Eletomagnetismo I Fenando Deeke Sasse Pogama de Mestado em Física, UDES - Joinville Poblemas de Eletostática Poblema das duas semi-esfeas Detemine o potencial V dento e foa de uma esfea ôca de aio unitáio, com o potencial V 0 na calota supeio e KV 0 na infeio. Supondo V 0 =, plote as equipotenciais coespondentes a V = 0.8, 0.6,..., K0.6, K0.8. Solução pde := estat; with(plots): with(vectoalculus): pde := expand(laplacian(v(, theta), 'spheical'[, theta, phi])) = 0; v cos θ vθ V,θ v v v V,θ v v V,θ sin θ Supondo V,θ = R Θ θ podemos esolve a equação exatamente V := vθ V,θ = 0 V := hs(pdsolve(pde, HINT =R()*Theta(theta), INTEGRATE, build)); _3 LegendeP K, cos θ _ (.) (.) _3 LegendeP K K, cos θ 4 LegendeQ K, cos θ 4 LegendeQ K K, cos θ _

2 Vdexpand simplify subs _c =K 4 n, V, symbolic V := _3 LegendeP n, cos θ _ n Soluções inteio e exteio: Vin:=subs(B=0,V);Vout:=subs(A=0,V); Vin := LegendeP n, cos θ A n _4 LegendeQ n, cos θ _ n _3 LegendeP n, cos θ _ n _4 LegendeQ n, cos θ _ n (.3) Note que a função de Legende de segunda espécie LegendeQ divege nos pontos teminais de θ: evalf LegendeQ 7, cos π Eo, (in LegendeQ) numeic exception: division by eo Potanto, devemos fae _4=0. V:=subs({_4=0,_3=,_=A,_=B},V); V := LegendeP n, cos θ A n LegendeP n, cos θ B (.4) n Vout := LegendeP n, cos θ B n s coeficientes da séie que epesenta a solução são dados po A n = n K f P n u du AA:=n->((*n+)/)*(int(V0*LegendeP(n,u),u=..0)+int((-V0* LegendeP(n,u),u=0..-))): VIN:=sum(eval(Vin,A=AA(n)),n=0..5); VIN :=K 3 cos θ V0 7 8 LegendeP 3, cos θ V0 3 K LegendeP 5, 6 cos θ V LegendeP 7, cos θ V0 7 K cos θ V LegendeP, cos θ V0 K cos θ V LegendeP 5, cos θ V0 5 LegendeP 9, LegendeP 3, (.5) (.6) VUT := sum(eval(vout, B = AA(n)), n = 0.. 5); VUT :=K 3 cos θ V0 7 LegendeP 3, cos θ V0 8 4 K 6 LegendeP 5, cos θ V LegendeP 7, cos θ V0 8 (.7)

3 :=sqt(x^+^):cos(theta):=/:v0:=.0: potencial pode se especificado po Vpw:=piecewise(<,VIN,>,VUT): A esfea no plano x é epesentada po with(plottools): c:=cicle([0,0],,colo=blue,thickness=): As equipotencias são dadas po cp:=contouplot(vpw,x=-..,=-5..4,contous=[seq(0.8-0.*i, i=0..8)],gid=[60,60],thickness=,colo=ed,numpoints=7000): K K LegendeP 9, cos θ V LegendeP 3, cos θ V LegendeP, cos θ V0 LegendeP 5, cos θ V0 6 Podemos plota as equipotenciais no plano x, faendo = x e cos θ =, com V 0 =. display({c,cp},scaling=constained); K K 0 x K K

4 Vaiação do poblema das duas semi-esfeas Detemine o potencial V dento e foa de uma esfea ôca de aio unitáio, com o potencial na supefície especificado do seguinte modo: Se θ é o ângulo enital, a supefície ente θ = 0 e π/4 tem potencial constante V 0, a pate intemediáia ente π/4 e 3π/4 tem um potencial dado po cos θ V 0, e a poção infeio ente 3π/4 e π com um potencial KV 0. Supondo V 0 =, plote as equipotenciais coespondentes a V = 0.8, 0.6,..., K0.6, K0.8. Solução pde := estat; with(plots): with(vectoalculus): pde := expand(laplacian(v(, theta), 'spheical'[, theta, phi])) = 0; v cos θ vθ V,θ v vθ V,θ v v V,θ v v V,θ sin θ Supondo V,θ = R Θ θ podemos esolve a equação exatamente V := = 0 V := hs(pdsolve(pde, HINT =R()*Theta(theta), INTEGRATE, build)); _3 LegendeP K, cos θ _ (.) (.) _3 LegendeP K K, cos θ 4 LegendeQ K, cos θ 4 LegendeQ K K, cos θ _ Vdexpand simplify subs _c =K 4 n, V, symbolic V := _3 LegendeP n, cos θ _ n _4 LegendeQ n, cos θ _ n _3 LegendeP n, cos θ _ n _4 LegendeQ n, cos θ _ n (.3)

5 evalf LegendeP 7, cos π K. Soluções inteio e exteio: Vin:=subs(B=0,V);Vout:=subs(A=0,V); Vin := LegendeP n, cos θ A n Especificamos o potencial: f := -V0; f := sqt()*u*v0; f3 := V0; f :=KV0 (.4) Note que a função de Legende de segunda espécie LegendeQ divege nos pontos teminais de θ: evalf LegendeQ 7, cos π Eo, (in LegendeQ) numeic exception: division by eo Potanto, devemos fae _4=0. V:=subs({_4=0,_3=,_=A,_=B},V); V := LegendeP n, cos θ A n LegendeP n, cos θ B (.5) n Vout := LegendeP n, cos θ B n (.6) f := u V0 f3 := V0 s coeficientes da séie que epesenta a solução são dados po A n = n K f P n u du AA:=n->((*n+)/)*(int(f*LegendeP(n,u),u=-../sqt())+ int(f*legendep(n,u),u=-/sqt()../sqt())+int(f3* LegendeP(n,u),u=/sqt()..)); AA := n/ n Vectoalculus:-int f LegendeP n, u, u = Vectoalculus:- (.7) (.8) `-`.. Vectoalculus:-int f LegendeP n, u, u = Vectoalculus:- `-`.. Vectoalculus:-int f3 LegendeP n, u, u =.. AA 5 4 V0 (.9) VIN:=sum(eval(Vin,A=AA(n)),n=0..); VIN :=K V0 V0 K 5 4 cos θ V0 (.0)

6 5 8 LegendeP, cos θ V0 K LegendeP 4, cos θ V0 4 K 8 K 9 56 LegendeP 6, cos θ V K LegendeP 8, cos θ V LegendeP 0, cos θ V0 0 K cos θ V LegendeP 3, cos θ V0 3 LegendeP, cos θ V0 LegendeP 5, cos θ V0 5 LegendeP 7, cos θ V0 7 LegendeP 9, cos θ V0 9 LegendeP, VUT := sum(eval(vout, B = AA(n)), n = 0.. ); VUT :=K x x 3/ K K K LegendeP., x 3/ LegendeP 3., x LegendeP 4., x 5/ LegendeP 5., x LegendeP 6., x 7/ LegendeP 7., x 4 x x x x x x (.)

7 K K LegendeP 8., x 9/ LegendeP 9., x LegendeP 0., x / LegendeP., x LegendeP., x 3/ x x x x x Podemos plota as equipotenciais no plano x, faendo = x e cos θ =, com V 0 =. :=sqt(x^+^):cos(theta):=/:v0:=.0: potencial pode se especificado po Vpw:=piecewise(<,VIN,>,VUT): A esfea no plano x é epesentada po with(plottools): c:=cicle([0,0],,colo=blue,thickness=): As equipotencias são dadas po cp:=contouplot(vpw,x=-4..4,=-5..4,contous=[seq(0.8-0.*i, i=0..8)],gid=[60,60],thickness=,colo=ed,numpoints=6000): display({c,cp},scaling=constained);

8 K3 K K 0 3 x K K K3 K4