MÁRCIO YOSHIKAZU EMATSU ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE DE PARTIDA DE MOTORES DE INDUÇÃO PARA DETECÇÃO DE FALHAS NAS BARRAS DO ROTOR

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1 MÁRCIO YOSHIKAZU EMATSU ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE DE PARTIDA DE MOTORES DE INDUÇÃO PARA DETECÇÃO DE FALHAS NAS BARRAS DO ROTOR FLORIANÓPOLIS 8

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE DE PARTIDA DE MOTORES DE INDUÇÃO PARA DETECÇÃO DE FALHAS NAS BARRAS DO ROTOR Disseração submeida à Universidade Federal de Sana Caarina como pare dos requisios para a obenção do grau de Mesre em Engenharia Elérica. MÁRCIO YOSHIKAZU EMATSU Florianópolis, ulho de 8.

3 II

4 DEDICATÓRIA À minha esposa Denise, por udo que ela represena em minha vida. Durane odos esses anos de relacionameno sempre me apoiou, me deu força, carinho, dedicação e fez de udo para que esse sonho pude ser realizado. Por rás de uma viória, há inúmeras dificuldades, esforços sinceros e luas arozes. Eis porque vencer é uma alegria. A viória nos possibilia gerar felicidade para nós próprios e para os ouros. (Daisau Ieda) III

5 AGRADECIMENTOS A WEG Equipamenos Eléricos S.A., que possibiliou a concreização dese rabalho. Ao Deparameno de Vendas Técnicas Moores pelo empo concedido para finalização dese rabalho. Ao Deparameno de Conrole de Qualidade Moores, onde iniciei minha ornada. Ao pessoal do Laboraório Elérico IV pela auda na execução dos ensaios. Ao Prof. Dr. Waler Pereira Carpes Jr pela orienação do rabalho e pela confiança deposiada. À minha esposa por odo seu apoio, carinho, dedicação e paciência durane oda essa ornada e sabe quanos problemas enfrenamos para chegarmos aqui. Ao meu filho que, apesar de ser apenas um bebê, pôde me dar forças em momenos cruciais. Aos meus pais, que desde pequeno me ensinaram a imporância do esudo. Ao meu mesre, Dr. Daisau Ieda por odos os seus direcionamenos que nos úlimos anos fizeram uma grande diferença em minha vida. E a odos meus amigos que me apoiaram para concreizar esse sonho. IV

6 Resumo da Disseração apresenada à UFSC como pare dos requisios necessários para a obenção do grau de Mesre em Engenharia Elérica. ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE DE PARTIDA DE MOTORES DE INDUÇÃO PARA DETECÇÃO DE FALHAS NAS BARRAS DO ROTOR Márcio Yoshiazu Emasu Julho/8 Orienador: Waler Pereira Carpes Jr., Dr. Área de Concenração: Eleromagneismo e Disposiivos Eleromagnéicos. Palavras-chave: moor de indução, correne de parida, barras falhadas, waveles. Número de Páginas: Ese rabalho consise na análise da correne de parida do moor de indução para a deecção de falhas nas barras do roor. Esa análise difere da grande maioria dos méodos aualmene empregados, pois a máquina não precisa operar nas condições nominais de carga. Com isso, algumas desvanagens relaivas às meodologias largamene uilizadas, como escorregameno inconsane e baixa relação sinal/ruído são eliminadas. A meodologia consise em exrair o sinal fundamenal da correne de parida e analisar o resane do sinal uilizando a ransformada wavele. Foram uilizados rês moores de indução com polaridades diferenes para a avaliação da meodologia proposa. Os resulados mosraram que é possível deecar falhas nas barras do roor. Pode-se observar que o sinal decomposo pela ransformada wavele apresena variações significaivas na presença de falhas em pelo menos uma barra do roor. A necessidade de se variar os parâmeros de convergência do sisema de exração da fundamenal bem como a localização variável das falhas na decomposição wavele ainda impede a aplicação da meodologia proposa em larga escala. V

7 Absrac of Disseraion presened o UFSC as a parial fulfillmen of he requiremens for he Maser s Degree in Elecrical Engineering. SPECTRAL ANALYSIS OF THE STARTING CURRENT OF INDUCTION MOTORS FOR DETECTION OF ROTOR BROKEN BARS Márcio Yoshiazu Emasu July/8 Advisor: Waler Pereira Carpes Jr., Dr. Area of Concenraion: Elecromagneism and Elecromagneic Devices. Keywords: inducion moor, saring curren, broen bars, waveles. Number of pages: This wor aims a analyzing he saring curren of he inducion moor for he deecion of roor broen bars. This analysis currenly differs from he grea maoriy of he mehods employed; herefore he machine does no need o operae in he nominal load condiions. Thus, some relaive disadvanages o he mehodologies widely used, as inconsan slipping and low signal/noise relaion are eliminaed. The mehodology consiss of exracing he fundamenal signal of he saring curren and analyzing he remaining signal using ransformed wavele. Three inducion moors wih differen speeds were used for he evaluaion of he mehodology. The resuls showed ha i is feasible o deec broen bars of he roor. I can be observed ha he signal decomposed by using ransformed wavele presens meaningful variaions in he presence of one broen bar a leas. The necessiy o vary he convergence parameers of he fundamenal exracion sysem as well as he changeable localizaion of he fauls in he wavele decomposiion sill hinders he applicaion of he proposed mehodology on a large scale. VI

8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO. MOTOR ELÉTRICO.. Moores de correne conínua.. Moores de correne alernada. FALHAS EM MOTORES ELÉTRICOS 3.3 OBJETIVOS 5.4 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO 5 DETECÇÃO DE FALHAS NO ROTOR 7. INTRODUÇÃO 7. O ROTOR DE GAIOLA 7.3 FLUXOGRAMA DE DETECÇÃO DE FALHAS 9.4 ANÁLISE DA CORRENTE DO MOTOR EM REGIME PERMANENTE.4. Méodo Uilizando o MCSA.4. Ouros Méodos 3.5 ANÁLISE DA CORRENTE DO MOTOR EM REGIME TRANSITÓRIO 7 3 WAVELETS 4 3. INTRODUÇÃO 4 3. HISTÓRICO E TEORIA FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 8 4 MÉTODO DE EXTRAÇÃO DE SENÓIDES NÃO-ESTACIONÁRIAS 9 4. INTRODUÇÃO 9 4. DESCRIÇÃO DO ALGORÍTIMO PROPRIEDADES MATEMÁTICAS DO ALGORÍTIMO SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS 36 5 MÉTODOLOGIA DE TRABALHO 4 5. OBJETIVOS DO MÉTODO 4 5. AQUISIÇÃO DE DADOS EXTRAÇÃO DA FUNDAMENTAL DECOMPOSIÇÃO WAVELET INSTRUMENTAÇÃO UTILIZADA CONCLUSÃO 47 VII

9 6 RESULTADOS INTRODUÇÃO SINAIS E RESULTADOS Moor: 7,5cv pólos V M Moor: 3cv 4 pólos V 9L Moor: 4cv 6 pólos V M CONSIDERAÇÕE SOBRE OS RESULTADOS CONCLUSÃO 59 7 CONCLUSÃO 6 APÊNDICE A 6 A. A TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA (TWC) 6 A. PROPRIEDADES 64 A.. Condição de Admissibilidade 64 A.. Resoluções de Tempo e Freqüência 65 A.3 DISCRETIZAÇÃO DA TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA 67 A.4 A TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA 7 A.4. Análise de Múlipla Resolução (AMR) [9] 7 A.4. Banco de Filros [9] 76 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 86 VIII

10 LISTA DE FIGURAS Figura. Universo de Moores Eléricos (WEG EQUIPAMENTOS ELÉTRICOS) 3 Figura. Gaiola do Roor de um Moor de Indução. 8 Figura. Diagrama de Bloco de um Esquema Genérico de Deecção de Falhas. Figura.3 Especro de Correne Típico de um Moor de Indução Sadio []. 3 Figura.4 Especro de Correne de um Moor de Indução com Barras Falhadas []. 3 Figura.5 Fluxograma de Deecção de Falhas via Redes Neurais [4]. 4 Figura.6 Diferença enre o Especro de Freqüência do Sinal e sua Versão Filrado e o Threshold. 5 Figura.7 Deecção da Falha aravés do Especrograma []. 9 Figura.8 Análise do Transiene da Correne de Parida para uma Deerminada Freqüência []. Figura.9 Análise para Diferenes Quanidades de Barras Falhadas []. Figura. Exemplo de Variação da Freqüência durane o Processo de Parida [5]. Figura. TWD de uma Correne de Parida Simulada: (a) Sem Falhas e (b) Com Barra Falhada [5]. Figura. Correne e Torque Eleromagnéico de Parida Considerando o Roor sem Falhas [4]. Figura.3 Correne e Torque Eleromagnéico de Parida Considerando Duas Barras Falhadas [4]. Figura.4 Exração Caracerísica Baseada no Torque Eleromagnéico para o Roor sem Falhas [3]. Figura.5 Exração Caracerísica Baseada no Torque Eleromagnéico para Duas Barras Falhadas [3]. 3 Figura 3. Resolução da STFT (Esquerda) e a Transformada Wavele (Direia). 6 Figura 4. Diagrama em Blocos do Algorimo de Exração da Fundamenal [37]. 33 Figura 4. Convergência da Órbia Periódica [37]. 36 Figura 4.3 Desempenho do Algorimo na Exração do Sinal Senoidal [37]. 37 Figura 4.4 Desempenho do Algorimo Considerando Fase Consane [37]. 38 Figura 4.5 Convergência da Órbia Periódica Considerando uma Condição Inicial Diferene [37]. 39 Figura 5. Fluxograma da Meodologia de Trabalho. 4 Figura 5. Placa de Idenificação dos Moores Ensaiados (WEG EQUIPAMENTOS ELÉTRICOS). 4 Figura 5.3 Furos na Barra do Roor para Simulação da Falha. 4 Figura 5.4 Disposição das Falhas nos Roores de II, IV e VI Pólos Respecivamene. 4 Figura 5.5 Correne Durane a Parida do Moor de 7,5CV. 43 Figura 5.6 Sinais de Freqüência Variando-se Somene o Parâmero µ. 44 Figura 5.7 Sinais de Freqüência Variando-se Somene o Parâmero µ. 44 Figura 5.8 Wavele Daubechies Figura 5.9 Sinais Escalonados para Diferenes Waveles. 45 Figura 5. Decomposição em Diversas Escalas para o Mesmo Sinal. 46 Figura 6. Fundamenal Exraída para o Moor de Pólos. 49 Figura 6. Ampliude dos Sinais Exraídos para o Moor de Pólos. 5 Figura 6.3 Sinais de Freqüência Exraídas para o Moor de Pólos. 5 Figura 6.4 Sinal Sem a Fundamenal para o Moor de Pólos. 5 Figura 6.5 Sinal Sem a Fundamenal Após a Convergência do Sisema. 5 Figura 6.6 Decomposição Wavele para a Escala D7. 5 IX

11 Figura 6.7 Fundamenal Exraída para Cada Condição de Falha. 5 Figura 7.8 Ampliude da Fundamenal Exraída do Moor 4 Pólos. 53 Figura 6.9 Freqüência da Fundamenal Exraída do Moor 4 Pólos. 53 Figura 6. - O Sinal de Correne Após a Exração da Fundamenal. 54 Figura 6. Sinal Considerado na Análise por Decomposição Wavele. 54 Figura 6. Decomposição Wavele para a Escala D6. 55 Figura 6.3 Fundamenal Exraída do Moor 6 Pólos Considerando as Diversas Falhas. 55 Figura 6.4 Ampliude da Fundamenal Exraída do Moor 6 Pólos. 56 Figura 6.5 Freqüência da Fundamenal Exraída do Moor 6 Pólos. 56 Figura 6.6 O Sinal de Correne Após a Exração da Fundamenal. 57 Figura 6.7 Sinal Considerado na Análise por Decomposição Wavele. 57 Figura 6.8 Decomposição Wavele para a Escala D7. 58 Figura A.. Comparação enre a Análise Aravés da STFT e da Transformada Wavele de Alas e Baixas Freqüências 65 Figura A.. Represenação das Resoluções de Tempo e Freqüência [4]. 66 Figura A.3. Localização das Waveles Discreas no Espaço Tempo-Escala num Grid Diádico [3]. 69 Figura A.4. Espaços V e W. 7 Figura A.4. A Equação de Duas Escalas para a Escala Haar. 75 Figura A.4.3 A Equação de Duas Escalas para a Escala Haar. 76 Figura A.4.4 Visão da Análise/Sínese da DWT. 77 Figura A.4.5 Sub-Amosragem. 79 Figura A.4.6 Filro e Sub-Amosragem. 8 Figura A.4.7 Filro e Sub-Amosragem. 8 Figura A.4.8 Sínese de um Eságio. 83 Figura A.4.9 Banco de Filros de Reconsrução Perfeia. 84 Figura A.4. Banco de Filros de Reconsrução Perfeia Causal. 85 X

12 LISTA DE TABELAS Tabela 5. Dados dos moores eléricos uilizados no ensaio. 4 Tabela 6. Parâmeros do Sisema de Exração da Fundamenal. 48 Tabela 6. Comparaivo enre a energia do sinal em p.u. e o número de barras danificadas. 59 XI

13 Inrodução INTRODUÇÃO O rabalho em quesão nasceu da necessidade de se enconrar possíveis falhas no roor durane os eses na linha de produção de moores de indução rifásicos. Considerando a unidade Moores da empresa WEG Equipamenos Eléricos S.A., ano as linhas de bobinagem quano as linhas de monagem possuem painéis de eses para avaliação geral do moor. Aualmene cerca de cinqüena mil moores são fabricados diariamene e % desses moores passam pelo ese de linha. Os eses são do ipo passanão-passa, pois se isena da necessidade de avaliação por pare do operador e minimiza os erros de repeibilidade. Os painéis de bobinagem realizam ensaios que basicamene avaliam a isolação do moor, o desbalanceameno de resisência enre as fases e a correne em vazio. Exisem vários ipos de ese para avaliação da isolação do esaor, como o ese de ala ensão AC, ala ensão DC, suro e descargas parciais. Os painéis de monagem realizam eses volados para a isolação do moor, desbalanceameno de correne e parâmeros em vazio. Vários rabalhos foram desenvolvidos com o inuio de acrescenar análises durane os eses em vazio. Aravés da correne de parida é possível esimar alguns parâmeros do moor, de modo que a avaliação se compare a um ensaio de roina feio normalmene em dinamômeros. Aualmene os roores são avaliados de forma invasiva e não conemplam % dos roores fabricados, pois os equipamenos possuem algumas limiações relaivas ao amanho. Uma oura forma de análise é feia nos laboraórios eléricos uilizando-se os dinamômeros para simulação de carga. O méodo uilizado esá descrio no capiulo II, onde o MCSA é uilizado para avaliação do especro de correne.. MOTOR ELÉTRICO Moor elérico é a máquina desinada a ransformar energia elérica em energia mecânica. O moor de indução é o mais usado de odos os ipos de moores, pois combina as vanagens da uilização de energia elérica - baixo cuso, facilidade de ranspore, limpeza e

14 Inrodução simplicidade de comando - com sua consrução simples, cuso reduzido, grande versailidade de adapação às cargas dos mais diversos ipos e melhores rendimenos. A figura. mosra o universo de moores eléricos exisenes no mercado. A grande maioria esá relacionada aos moores de indução ano monofásicos quano rifásicos. Os ipos mais comuns de moores eléricos são:.. Moores de correne conínua São moores de cuso mais elevado e, além disso, precisam de uma fone de correne conínua, ou de um disposiivo que convera a correne alernada em conínua. Podem funcionar com velocidade ausável enre amplos limies e se presam a conroles de grande flexibilidade e precisão. Por isso, seu uso é resrio a casos especiais em que esas exigências compensam o cuso muio mais alo da insalação... Moores de correne alernada São os mais uilizados, porque a disribuição de energia elérica é feia normalmene em correne alernada. Os principais ipos são:... Moor síncrono Funciona com velocidade fixa e é uilizado somene para grandes poências (devido ao seu alo cuso em amanhos menores se comparado aos moores de indução) ou quando se necessia de velocidade invariável.... Moor de indução Funciona normalmene com uma velocidade consane, que varia ligeiramene com a carga mecânica aplicada ao eixo. Devido a sua grande simplicidade, robusez e baixo cuso, é o moor mais uilizado de odos, sendo adequado para quase odos os ipos de máquinas acionadas enconradas na práica. Aualmene é possível conrolarmos a velocidade dos moores de indução com o auxílio de conversores de freqüência.

15 Inrodução 3 Figura. - Universo de Moores Eléricos (WEG Equipamenos Eléricos). FALHAS EM MOTORES ELÉTRICOS O modo mais popular de converer energia elérica em energia mecânica é uilizando moores de indução. Esses moores êm um papel crucial nas planas indusriais modernas, no enano exisem condições de serviço adversas []. Os moores de indução são componenes críicos de muios processos indusriais e são freqüenemene inegrados em equipamenos e processos indusriais disponíveis comercialmene []. Nos dias auais, as máquinas eléricas são os worhorses da indúsria. Segurança, confiabilidade, eficiência e desempenho são algumas das principais preocupações e

16 Inrodução 4 necessidades para as aplicações eleromecânicas. Assim, a deecção e o diagnósico anecipado de falhas permiem uma manuenção preveniva mais eficiene, eviando longos períodos de parada das máquinas devido a uma falha críica [3]. Nos úlimos anos, melhorias marcanes êm sido alcançadas no proeo e manufaura do esaor bobinado. Mas o proeo do roor de gaiola em sofrido pouca mudança. Como resulado, falhas no roor (falhas nas barras do roor e anéis de curo) agora responde por uma grande porcenagem do oal das falhas envolvendo o moor de indução [4]. Os indicadores mais comuns para barras falhadas nos moores de gaiola são vibração excessiva, ruído e faiscação durane a parida do moor, mas ais efeios secundários ornamse visíveis somene quando as falhas incipienes êm crescido para envolver diversas barras falhadas [5]. Devido ao progresso das écnicas de processameno de sinais e insrumenos relacionados, o moniorameno on-line em sido uilizado em máquinas eléricas na quais falhas eléricas e mecânicas possam ser consideradas como evenos caasróficos [6]. Muios pesquisadores êm rabalhado no problema de deecção de falhas no roor em máquinas de indução enquano a máquina ainda permanece em operação. Os méodos proposos êm sido variados, incluindo medições da velocidade do roor para verificar falhas indicadas por ripples de velocidade, medições de vibração e medições de fluxo radial. O principal problema desses méodos de moniorameno é que eles são essencialmene invasivos, necessiando a colocação de ransduores inernamene ou ao redor da maquina, além de inerromper a operação. Por essas razões, a correne de linha em se ornado o parâmero favorio para o propósio de deecção de falhas no roor nos moores de indução. A correne de linha pode ser moniorada de forma não-invasiva aravés de ransduores de correne clip-on sem a necessidade de inerromper a operação e o sisema pode ser versáil e poráil [7]. Tradicionalmene, a MCSA (Moor Curren Signaure Analysis) em sido uilizada para deecção de falhas eléricas e mecânicas dos moores de indução [8]. Por muios anos esa análise em sido implemenada uilizando ferramenas maemáicas e capacidade compuacional limiada [9].

17 Inrodução 5 Uma das principais razões para o uso de écnicas de moniorameno on-line por MCSA se deve ao fao das ouras écnicas necessiarem de acesso mais invasivo na máquina. Iso implica que a operação do moor deve ser inerrompida devido à insalação dos equipamenos necessários para a medição de sinais confiáveis. Esa écnica de moniorameno facilia o uso conveniene de alicaes de correne para moniorar remoamene qualquer número de moores da plana []. Os méodos mais uilizados no moniorameno das condições das máquinas de indução uilizam o especro dos componenes do esaor rabalhando em regime permanene. Eses componenes especrais incluem ensão, correne e poência e são usados para deecar barras quebradas no roor, falhas no rolameno e excenricidade do enreferro. A precisão dessas écnicas depende da carga da máquina, da relação sinal-ruído dos componenes especrais que esão sendo examinados []. Os rabalhos mais recenes, no enano, em desenvolvido écnicas de moniorameno da correne do moor em regime ransiório, ou sea, na parida do moor. As alas correnes durane ese curo período removem a necessidade de colocar o moor em carga e resula em vanagens significaivas [7]..3 OBJETIVOS O presene rabalho preende avaliar as condições do roor aravés da correne de parida adquiridas nos painéis de ese de monagem e dessa forma agregar mais valor aos ensaios realizados. Além disso, o rabalho obeiva poder avaliar % dos roores aravés de sisemas á exisenes e conribuir para a diminuição dos índices de defeio em campo..4 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO Esa disseração se compõe de 7 capíulos. O capíulo versa sobre os méodos usualmene uilizados para deecção de falhas em roores. Eses méodos são ano invasivos quano não-invasivos e uilizam diversas ferramenas maemáicas. O capíulo 3 explora a eoria das waveles, dando um panorama geral de sua aplicabilidade e enfoca de modo mais especifico a eoria de múliplas resoluções. Uma das ferramenas principais desse rabalho esá relacionada às waveles.

18 Inrodução 6 No capíulo 4 finaliza-se a pare eórica, mosrando uma ferramena para exração da fundamenal de sinais não-esacionários. Esa ferramena em sido uilizada para deecção de falhas nos roores, unamene com a ransformada wavele em alguns rabalhos cieníficos. São relaados nos capíulos 5, 6 e 7, respecivamene, a meodologia uilizada, os resulados obidos e a conclusão do rabalho.

19 Deecção de Falhas no Roor 7 DETECÇÃO DE FALHAS NO ROTOR. INTRODUÇÃO Aualmene exisem diversos méodos de deecção de falhas em roores. Esses méodos podem ser ano invasivos, onde há a necessidade de ese direamene no roor ou não-invasivos, cua análise se concenra na correne esaórica do moor. A vanagem de se uilizar os méodos não-invasivos se enconra na possibilidade de realizar avaliações in loco sem a necessidade de reirar o moor de operação. O méodo nãoinvasivo mais difundido uiliza o especro da correne do moor em carga para avaliar possíveis barras falhadas. Os méodos mais recenes uilizam a correne de parida para a análise de falha, endo como vanagem principal a não necessidade de se operar o moor em carga. Assim, a correne do moor parindo em vazio seria suficiene para a deecção. Nesses méodos, a ferramena mais difundida para análise do sinal é a ransformada Wavele discrea, que será discuida poseriormene.. O ROTOR DE GAIOLA Os eses de um roor gaiola de esquilo requerem alguns enendimenos de como funciona o roor. O roor de um moor de indução é igual ao secundário de um ransformador, sendo o esaor do moor o primário. Isso é mais fácil de visualizar na parida do moor, quando o roor não esá girando. Correnes e ensão são induzidas nas barras e anéis de curo que formam a gaiola do roor.

20 Deecção de Falhas no Roor 8 Figura. - Gaiola do roor de um moor de indução. Exisem ouros ipos de roores uilizados em moores AC ais como síncronos e roores bobinados, no enano, o foco dese rabalho esá nos roores de gaiola dos moores de indução. As barras do roor de gaiola formam caminhos paralelos, unidos nas exremidades pelos anéis de curo. Os pólos do enrolameno do esaor dividem as barras do roor em circuios paralelos, iguais em número à quanidade de pólos do esaor. O número de pólos do roor é sempre igual ao número de pólos do esaor. Um enrolameno de pólos divide o roor em dois circuios paralelos que se movem coninuamene ao redor da gaiola do roor. Quano maior o número de pólos, maior o número de circuios do roor. Os anéis de curo compleam esses circuios. Assim, o anel de curo de um enrolameno de pólos esará sueio a correnes maiores do que aquelas nos enrolamenos com polaridade superior. Ese faor faz com que a inegridade do anel de curo sea mais críica conforme o número de pólos diminui (e a velocidade aumena). A correne conduzida aravés das barras do roor é essencialmene proporcional ao número de pólos num enrolameno para um dado moor. Por exemplo, um enrolameno de pólos espalha os pólos em cerca de meade das barras, enquano que um enrolameno de 4 pólos divide as barras em um quaro (quadrane). Isso possibilia a uilização do mesmo formao e do mesmo amanho da barra do roor para um número de proeos de enrolameno com diferene número de pólos. Sem considerar o número de pólos, uma única barra do roor abera pode reduzir o orque do moor, além de provocar ouros problemas ais como

21 Deecção de Falhas no Roor 9 vibração. Os disúrbios no orque e na vibração se devem ao fao que a correne na barra falhada será menor que nas barras adacenes. A barra falhada conribuirá dessa forma com menos orque quando passa nos pólos do enrolameno do esaor, criando uma vibração adicional ao moor. Diversas écnicas de diagnósico esão disponíveis para roores e esaores em moores de indução, enre eles eses padrões como resisência de isolameno, índice de polarização, absorção dielérica, ese de suro e descargas parciais. Todos eles indicam as condições de isolameno do esaor bobinado. Alguns eses off-line como ese Growler ou Roor Influence Chec (RIC), deerminam as condições do roor. Os disposiivos Growlers são uilizados para deecar barras inerrompidas no inerior do núcleo de chapas. O fluxo gerado pelo enrolameno do disposiivo passa ao redor do circuio criado pelo disposiivo e as chapas do roor. Quando exise uma barra inerrompida, a pare meálica do disposiivo irá vibrar devido à força magnéica gerada pelo fluxo magnéico na barra. O Roor Influence Chec (RIC) é um ese que examina a relação enre os campos do roor e esaor. O roor é girado incremenalmene aravés de uma face do pólo, gravandose a induância de fase para cada posição. Os padrões gerados são combinados com os resulados dos eses padrão para confirmar a presença de problemas no roor, esaor e enreferro. Os parâmeros coleados são sensíveis o basane para deecar porosidade excessiva em roores ineados, barras do roor rachadas ou quebradas ou ouras condições de falha []. No enano, é necessário reirar o roor do moor monado ou ao menos, er o moor fora de serviço para aplicar o diagnósico. Dessa forma, não é surpresa que os esforços esão direcionados para o desenvolvimeno de ese on-line com sensibilidade suficiene para subsiuir o ese off-line de avaliação das condições do roor considerando inegridade mecânica e elérica [3]..3 FLUXOGRAMA DE DETECÇÃO DE FALHAS Segundo [4], o processo de deecção de falhas no roor pode ser dividido em quaro blocos. O primeiro bloco consise na aquisição dos sinais do moor de indução, aravés de sensores e uma placa de aquisição de dados. As grandezas podem ser correnes, ensões,

22 Deecção de Falhas no Roor velocidade, vibração, ec. São eses sinais que serão analisados pelo segundo bloco chamado de condicionameno de sinal. Nesa pare os sinais são preparados de acordo com o méodo a ser aplicado. Vários são os méodos uilizados na busca pela deecção das falhas, podendo uilizar desde ransformadas de Fourier, Waveles aé méodo de elemenos finios. E são exaamene eses diversos méodos que represenam o erceiro bloco. A úlima pare do processo consise na avaliação da severidade da falha, ou sea, o quano essas falhas esão afeando a vida úil do moor. Figura. - Diagrama de bloco de um esquema genérico de deecção de falhas..4 ANÁLISE DA CORRENTE DO MOTOR EM REGIME PERMANENTE.4. Méodo Uilizando o MCSA Durane os anos 7, uma eoria de campo generalizada foi uilizada de modo a mosrar que a presença de assimerias em ambos os membros de uma máquina de indução levam à indução de correnes com uma seqüência infinia de freqüências [5]. Da eoria do campo roacional generalizado é sabido que uma assimeria magnéica ou elérica no roor de uma máquina de indução causa uma componene especral na correne fundamenal do esaor. Uma barra quebrada pode ser visa como uma assimeria e os componenes especrais podem ser uilizados em diagnósicos, caso as diferenes causas possam ser claramene separadas daquelas de mesmo efeio. Por exemplo, assimerias inrínsecas ao processo de fabricação podem produzir o mesmo componene no especro de correne do moor, mas sua ampliude é usualmene mais baixa que os componenes de correne produzidas por uma única barra quebrada [6].

23 Deecção de Falhas no Roor O efeio de uma barra quebrada pode ser decomposo como a superposição de duas configurações: a máquina no esado sadio mais uma máquina com uma fone de correne fluindo aravés da barra quebrada, com um valor igual à correne em condições saudáveis, mas com senido oposo, dando a soma uma correne nula aravés da barra considerada. Denre esses componenes de correne gerados no enrolameno do moor provenienes a variações no campo do enreferro, os mais relevanes são aqueles que são induzidos pelos componenes do campo falho com p pares de pólos. Esses componenes são conhecidos como harmônicas de banda laeral e suas freqüências são dadas por (.). ( ± ) f f b = s (.) em que s é o escorregameno e f é a freqüência de alimenação do moor. Essas harmônicas á exisem na máquina sadia devido às assimerias, imperfeições causadas pelo processo de fabricação e ouras caracerísicas consruivas da máquina. Mas, no caso de uma barra falhada no roor, essas ampliudes são significaivamene maiores. Alguns dos rabalhos á mencionados observaram que o componene ( s) f deve especificamene ao campo falho, considerando que os componenes ( + s) f se devem a conseqüene oscilação de velocidade causada pelo campo falho [5]. Ese méodo em sido largamene uilizado devido a suas vanagens inerenes. No enano, ele possui algumas desvanagens relacionadas ao diagnosico [7]. A presença de barras falhadas é indicada pela diferença de ampliude menor que 5 db enre a freqüência fundamenal e as freqüências de bandas laerais []. No enano, o sucesso dessas écnicas de deecção é limiado, uma vez que depende primeiramene da precisão das medições assim como de sua habilidade de diferenciar enre condições normais e condições de falha []. Ese méodo de deecção de falhas no roor é baseado nas seguines condições: se. A velocidade da máquina é consane e conhecida;. A freqüência fundamenal do esaor é consane;

24 Deecção de Falhas no Roor 3. A carga é consane; 4. A máquina em carga suficiene para separar as bandas laerais da fundamenal. Enre odas as diferenes écnicas para deecção de falhas em máquinas de indução, o MCSA (Moor Curren Signaure Analysis) é uma das écnicas mais usadas. O MCSA foca seus esforços na análise especral da correne do esaor e em sido uilizada com sucesso na deecção de barras falhadas. Tipicamene o procedimeno consise em avaliar a ampliude relaiva da harmônica de correne [8]. A MCSA, desenvolvida pelo Oa Ridge Naional Laboraory (ORNL), é baseada no reconhecimeno que um moor elérico acionando uma máquina elérica ambém aua como um ransduor permanenemene conecado e eficiene, deecando pequenas variações de carga do moor no empo, geradas denro do sisema mecânico e converendo-as em sinais de correne elérica que fluem pelos cabos de força do moor. Esses sinais, mesmo pequenos em relação à correne média absorvida pelo moor, podem ser exraídos confiavelmene e nãoinvasivamene e processada para fornecer indicadores da condição do moor. O desenvolvimeno desses sinais pode ser deerminado no empo para dar informações concernenes ao moor e a carga [9]. As freqüências dos sinais de correne são dadas por: f brb s = f m ± s (.) p em que p é o número de pares de pólos e m =,,3... é a ordem da harmônica. Se a ampliude dessas harmônicas considerando a ampliude da harmônica principal em f é menor que o valor limie, enão a máquina é considerada sadia. Caso conrário, uma condição de falha pode ser assumida. O méodo clássico de análise com MCSA uiliza a primeira harmônica, enconrando a falha pero de f ( s) ±. Ouros esudos propõem avaliar o lado da quina harmônica, enconrando a falha em f( 5 4s) e f ( 5 6s) [8].

25 Deecção de Falhas no Roor 3 Figura.3 Especro de correne ípico de um moor de indução sadio []. Figura.4 - Especro de correne ípico de um moor de indução com barras falhadas []..4. Ouros Méodos.4.. Deecção Uilizando uma Classificação Baseada em Redes Neurais Em [4] é mosrado um sisema que consise de quaro eapas. O procedimeno de diagnósico é baseado na análise no domínio da freqüência do sinal de correne do esaor.

26 Deecção de Falhas no Roor 4 Figura.5 - Fluxograma para deecção de falhas via Redes Neurais [4]. O primeiro bloco consise em aplicar a Transformada Rápida de Fourier (FFT) para uilizar o sinal no domínio da freqüência. Um dos passos mais imporanes no desenvolvimeno de um sisema de diagnósico de falha é a exração de caracerísicas apropriadas do sinal de enrada. Como explicado aneriormene, a exisência de barras do roor quebradas resula no aparecimeno de algumas bandas laerais no especro da correne, as quais podem servir como sinoma de falha. Dessa forma, a primeira arefa é localizar as harmônicas de ineresse no especro de freqüência da correne de linha da máquina e disingui-los do ruído indeseado, endo como referência o especro na condição sem falhas. Um algorimo de deecção de pico eficiene é desenvolvido para localizar a posição exaa da fundamenal e das harmônicas de banda laeral. Nese algorimo, o especro de freqüência do sinal é comparado com sua versão suavizada para localizar os picos. A versão suavizada é derivada uilizando filragem por média. Como o filro por média nauralmene não em sensibilidade para ponos disanes, sua uilização inroduz uma insensibilidade robusa e ruidosa para o algorimo. A diferença enre o sinal e sua versão filrada é calculada e os picos esão localizados em freqüências onde a diferença esá acima de cero nível. O limiar de ampliude deve ser escolhido de modo a disinguir enre picos consideráveis que deverão er surgido de falhas e ruídos menores. A média de valores posiivos da diferença mencionada

27 Deecção de Falhas no Roor 5 provou ser uma boa medida para o limiar. A diferença enre o especro de freqüência do sinal aual e sua versão filrada é ilusrada na figura.6 uno com a linha de limiar. Figura.6 Diferença enre o especro de freqüência do sinal e sua versão filrada & o limiar. O algorimo uiliza as écnicas mencionadas para deecar o pico mais elevado denro de um inervalo ao redor das bandas laerais. Dessa forma, ele não confia na precisão das freqüências de banda laerais compuadas e pode rabalhar mesmo se o valor do escorregameno não é preciso. Várias caracerísicas descrevendo o amanho e o formao das harmônicas de banda laeral poderiam ser uilizadas como criério de disinção para os dados vindos de moores sem e com falhas. Algumas das caracerísicas uilizadas esão lisadas abaixo: A razão enre a área sob as bandas laerais e a área sob o pico principal; A razão enre a alura das bandas laerais e a alura do pico principal; O ângulo das harmônicas de banda laeral. O moivo de se uilizar a razão enre os valores das bandas laerais e o pico principal para a ª e ª caracerísicas é que a ampliude da harmônica principal e as bandas laerais aumenam conforme a carga no moor vai se ornando mais pesada. Dessa forma, o uso da razão dos valores como descrio acima fazem das caracerísicas menos dependene da carga. Dese modo, podemos er dados comparaivos para diferenes condições de carga. As primeiras duas caracerísicas esão direamene relacionadas ao amanho das harmônicas de banda laeral, enquano a erceira caracerísica é uma medida de seu formao.

28 Deecção de Falhas no Roor 6 As primeiras duas medidas aumenam com o grau de falha (iso é, número de barras falhadas e exensão da falha). Mas a erceira caracerísica diminui com a exensão da falha. Como exisem duas harmônicas de banda laeral (direia e esquerda), que podem conar similarmene para a falha, os valores médios das caracerísicas calculadas para as bandas laerais direia e esquerda foram uilizados. Tem sido mosrado que o momeno de inércia da carga afea a ampliude relaiva das bandas laerais direia e esquerda. De modo a verificar se as caracerísicas são apropriadas para a condição de decisão do moor, uma aproximação consise em calcular cada caracerísica para um conuno de dados dos moores sadio e com falhas. Obém-se assim o hisograma dos valores de cada caracerísica para as condições sadio e com falhas, observando-se se os valores das caracerísicas são suficienemene separáveis para as duas condições mencionadas. O reinameno de redes neurais pode ser feio de modo mais eficiene se alguns passos de pré-processameno forem desenvolvidos nas enradas e alvos da rede. A. Normalização Min-Max Anes de reinar, é muio usual escalar as enradas e alvos de modo que sempre caiam denro de uma faixa especificada. Uma aproximação para obermos isso é normalizar os dados relacionados ao seu máximo e mínimo. Assuma n dados dimensionais denoados por x, na qual N amosras esão disponíveis. Mosrando o máximo e o mínimo da dimensão h de x sobre N amosras por Min e ser escalada para cair na faixa [, + ] ( x Min ) Max respecivamene, a dimensão usando a seguine relação: h de x pode x = =,,..., n (.3) Max Min B. Normalização Média & Variância Uma oura aproximação para escalar as enradas e alvos da rede é normalizar a média e a variância do conuno de dados. Nese méodo, a média e a variância da dimensão dos dados h são calculados por N amosra de dados do seguine modo:

29 Deecção de Falhas no Roor 7 N µ = (.4) x i N i= em que µ é a média dos dados na dimensão e x i são os dados na dimensão. σ (.5) N = x i N i= ( µ ) em que σ é a variância dos dados na dimensão. Assim, cada dimensão de x é normalizada uilizando a seguine relação: x µ xˆ =,,..., n σ = (.6) Os dados normalizados dese modo erão média zero e variância uniária. A aproximação por Redes Neurais deveria superar odas as dificuldades e limiações de modelos de máquinas com problemas. A rede idenifica o sisema físico aravés de padrões obidos de diversos exemplos experimenais de máquinas com e sem falhas. Como é bem conhecido, redes neurais são unidades de processameno paralelo com diferenes arquieuras de conexão e mecanismos de processameno. A idenificação do sisema físico é desenvolvida pela sinonia dos pesos de conexão dos processadores compuacionais (neurons) aravés do procedimeno de reinameno da rede..5 ANÁLISE DA CORRENTE DO MOTOR EM REGIME TRANSITÓRIO A aproximação clássica uilizada no ambiene indusrial para deecção de barras falhadas no roor de máquinas de indução esá baseada na análise da correne do esaor em regime permanene, usando dois componenes harmônicos colocados ao redor da componene principal de freqüência, disanes de -sf e +sf (harmônicos de banda laeral), onde f é a freqüência de alimenação e s o escorregameno. Esa aproximação em sido largamene uilizada devido às suas vanagens inerenes. Conudo, exisem alguns problemas no que diz respeio aos propósios de diagnósico. Um deles é a dependência da carga, uma vez que a ampliude das componenes de correne depende da carga conecada ao moor e da inércia do sisema moor-carga. Além disso, se a máquina esá sem carga, esa aproximação é inadequada viso que o escorregameno esará bem próximo de zero e as freqüências

30 Deecção de Falhas no Roor 8 associadas com as falhas nas barras do roor esarão sobreposas à correne de alimenação. Um ouro problema dese méodo é que freqüências similares àquelas uilizadas na deecção das barras inerrompidas podem ser geradas por ouras causas ais como oscilação do orque da carga em baixa freqüência, fluuações de ensão ou falhas no rolameno [7]. A necessidade de uma ala correne, em alguns casos, pode não ser apropriada ou aingível se, por exemplo, o moor foi irado da plana ou foi removido para uma assisência écnica. Além de necessiar de uma ala correne, essas écnicas de moniorameno ambém êm dificuldades em deecar ouras falhas comuns em roor. Essas falhas incluem: anéis de curo danificados ou barras falhadas em roor com dupla gaiola []. Uma oura desvanagem dese méodo é que exisem muias aplicações em que a operação com velocidade consane não é possível, como por exemplo em geração eólica ou válvulas operadas por moores. Uma alernaiva para a deecção de barras falhadas no roor seria examinar o ransiene de parida de uma máquina de indução. As vanagens seriam que o ransiene em um alo escorregameno e uma ala relação sinal/ruído, na qual implica que os componenes especrais podem ser mais facilmene separados. Nese caso, a carga não afea a ampliude do ransiene durane a parida. Um dos desafios na análise do ransiene é a dificuldade em enar analisar o complexo ransiene do sinal de correne de parida. Iso consise de uma freqüência fundamenal não-esacionaria assim como freqüências não-esacionarias associadas às barras do roor. As freqüências da barra do roor são uma função do escorregameno da máquina e muda conforme a mesma acelera []. Trabalhos recenes êm uilizado a eoria Wavele para o esudo da correne de parida. A análise é baseada na convolução da correne de parida com uma wavele Gaussiana, o que equivale a uma filragem do sinal, exraindo os componenes denro de uma banda de freqüência associada à wavele. Wason e ouros apresenaram uma análise do ransiene da correne de parida aravés de um especrograma obido por decomposição Wavele. Ese rabalho surgiu na Universidade Rober Gordon e visava invesigar a possibilidade de uilizar a elevada correne

31 Deecção de Falhas no Roor 9 de parida. Eles esperavam com isso ober informações sobre a saúde do moor e quem sabe deecar falhas nas barras do roor sem precisar submeer o moor à carga nominal. Uma das dificuldades dese méodo esá na variação do escorregameno durane a parida, pois o moor pare de uma roação nula aé chegar próximo à roação síncrona, diferenemene dos méodos em regime permanene. O especrograma mosra a ampliude da correne com relação à variação do empo e freqüência e a deecção é feia aravés da avaliação de uma faia desse especrograma, ou sea, as ampliudes de correne são avaliadas para uma deerminada freqüência e elas endem a ser elevadas quando exisem falhas nas barras do roor []. rês picos. Figura.7 Deecção da falha aravés do especrograma []. Pelo gráfico da figura.8 podemos verificar que a análise consise na ampliude de

32 Deecção de Falhas no Roor Figura.8 Análise do ransiene da correne de parida para uma deerminada freqüência []. Os picos A e B aumenam gradaivamene, à medida que o número de barras falhadas aumena conforme mosra o gráfico da figura.9. Figura.9 Análise para diferenes quanidades de barras falhadas []. Anonino e ouros uilizam a ransformada wavele discrea no sinal de correne na parida do moor. Cada sinal wavele resulane da decomposição coném os componenes do sinal original que esão incluídos denro da banda de freqüência associada ao sinal wavele. Dessa forma, se exise uma falha na máquina, a evolução do componene da banda laeral esquerda associado às barras danificadas, durane a parida, pode ser refleida nos níveis mais alos dos sinais wavele resulanes da análise da correne de parida. Como o escorregameno muda durane o ransiene de parida, a freqüência do componene de banda laeral ambém mudará []. (ver figura.)

33 Deecção de Falhas no Roor Figura. Exemplo de variação da freqüência durane o processo de parida [5]. (a) Figura. TWD de uma correne de parida simulada: (a )sem falhas e (b) com barra falhada [5]. (b) Trabalhos mais recenes como de Niu e Huang, uilizam a análise do orque eleromagnéico de parida aravés do especro de energia das waveles [3]. A uilização do orque ao invés da correne de parida se deve ao fao do orque eleromagnéico er uma capacidade mais elevada de mosrar as caracerísicas de falha. As curvas apresenadas nas figuras. e.3 mosram as diferenças enre os sinais de orque eleromagnéico considerando o roor com e sem falhas.

34 Deecção de Falhas no Roor Figura. - Correne e orque eleromagnéico de parida considerando o roor sem falhas [4]. Figura.3 - Correne e orque eleromagnéico de parida considerando duas barras falhadas [4]. Figura.4 - Exração caracerísica baseada no orque eleromagnéico para o roor sem falhas [3].

35 Deecção de Falhas no Roor 3 Figura.5 Exração caracerísica baseada no orque eleromagnéico para duas barras falhadas [3].

36 Waveles 4 3 WAVELETS 3. INTRODUÇÃO As waveles êm sido aplicadas em diversos ramos da ciência, devido à sua caracerísica peculiar de dealhar ponos específicos de um sinal [4]-[5]. Nas aplicações em que uma maior precisão na análise em freqüência é requerida, a radicional ransformada de Fourier não apresena resulados saisfaórios por não possuir a capacidade de dealhar regiões de ineresse do sinal. Em se raando dos méodos de deecção de falhas em roores uilizando a correne de parida do moor, as waveles êm grande valia. Durane a parida do moor, a velocidade varia de zero aé próximo à velocidade síncrona. Com isso, a falha não pode ser deecada numa freqüência fixa, como nos méodos uilizando a correne em regime. A falha irá variar denro do especro de freqüência e pelos méodos radicionais fica impossível visualizar qualquer falha no roor. Desse modo, a ransformada wavele (TW) é uma ferramena poderosa que pode ser uilizada com sucesso neses casos. Em rabalhos mais recenes, uma meodologia de exração da fundamenal da correne aliada à decomposição wavele é uilizada para deecar falhas durane a parida do moor. Dessa forma, o sinal na freqüência de alimenação é descarado e a análise é feia com o resane do sinal. Um méodo de exração da fundamenal de sinais não-esacionários é descrio no capíulo IV. 3. HISTÓRICO E TEORIA Na hisória da maemáica, a análise wavele mosra origens muio diferenes. Muio dos rabalhos foram desenvolvidos nos anos 3, e naquela época, os esforços separados não apareceram para serem pares de uma eoria coerene. Gradualmene, a aenção dos pesquisadores foi migrando da análise em freqüência para a análise em escala, que é a abordagem da análise por waveles, uma vez ficando claro que uma abordagem medindo fluuações médias em escalas diferenes levava a uma menor sensibilidade ao ruído.

37 Waveles 5 A primeira menção das waveles apareceu no anexo da ese de Alfred Haar (99). O conceio de waveles na sua forma eórica aual foi proposo pela primeira vez por Jean Morle e pela equipe de pesquisadores de Alex Grossman, no Cenro de Física Teórica de Marselha, na França. No que diz respeio ao campo do processameno de sinais propriamene dio, as aplicações incluem: deecção de desconinuidades e ponos de quebra, análises específicas dos comporamenos de curo e longo prazo, idenificação no domínio da freqüência (ainda que não ão direa e facilmene como a eoria de Fourier, mas com a vanagem de poder acompanhar variações com o empo), supressão de sinais, supressão de ruído e compacação. Em paricular, esas duas úlimas parecem ser as aplicações mais comuns da eoria de waveles aualmene. Enreano, é fácil consaar que, à medida que a eoria vem sendo difundida e compreendida, novas aplicações vêm surgindo nas mais diversas áreas. Um dos grandes araivos da eoria de waveles é a capacidade de analisar sinais com especro variane no empo. Tradicionalmene, os sinais são esudados ou como função do empo, ou como função da freqüência. Enreano, a maioria dos sinais enconrados na práica apresena especros varianes no empo, como por exemplo, ons de música. Na naureza, poucos sinais possuem coneúdo no domínio da freqüência que não mude ao longo do empo. Em várias aplicações práicas, caracerizar o sinal simulaneamene nos domínios do empo e da freqüência é de grande uilidade, como no processameno de sinais de voz [4]. Embora para muios sinais a análise de Fourier sea exremamene úil, ela apresena uma séria limiação. A ransformação especral acarrea perda oal da informação emporal do sinal, e vice-versa com a ransformação inversa. Se as propriedades do sinal não se modificam subsancialmene ao longo do empo, a limiação não é muio relevane. Enreano, a maioria dos sinais de ineresse coném diversas caracerísicas ransiórias ou não esacionárias: desvios, endências, mudanças bruscas e começos e érminos de evenos. Esas caracerísicas são evenualmene as mais imporanes do sinal, mas nesses casos, a análise de Fourier não é adequada para deecá-las. Num esforço para sobrepor a limiação previamene ciada em 946, Dennis Gabor propôs uma adapação à ransformada de Fourier em que apenas uma pequena seção do sinal em um dado insane era analisada uma écnica chamada de anelameno do sinal. A adapação de Gabor, chamada Transformada de Fourier em Inervalos Curos (Shor-Time

38 Waveles 6 Fourier Transform STFT) mapeia um sinal em uma função bidimensional do empo e da freqüência. O anelameno emporal raz consigo uma incereza associada à precisão da análise, o que não havia na ransformada Fourier convencional. Essa imprecisão se manifesa em uma relação de compromisso enre a resolução no domínio da freqüência e a capacidade de acompanhar as variações especrais ao longo do empo. Além disso, quano menor a largura da anela, maior o esforço compuacional necessário para realizar a análise especral do sinal. Na STFT, a largura da anela emporal é fixa para um dado sinal analisado. Com isso, o grau de incereza associado ao anelameno é o mesmo para odo o especro no conuno freqüência-empo. A ransformada wavele ou análise wavele é provavelmene a solução mais recene para superar os problemas da ransformada de Fourier. Na análise wavele, o uso de uma anela oalmene escalonável soluciona o problema de segmenação do sinal. A anela é deslocada ao longo do sinal e para cada posição o especro é calculado. Enão, ese processo é repeido muias vezes com uma anela um pouco mais cura (ou mais longa) para cada novo ciclo. No final, o resulado será uma coleção de represenações de empo-freqüência do sinal, odas com diferenes resoluções. Por causa desa coleção de represenações, podemos falar numa análise de múliplas resoluções. Uma comparação enre a STFT e a ransformada de waveles pode ser visa na figura 3.. Figura 3. Resolução da STFT (esquerda) e a ransformada wavele (direia). Uma das esraégias de anelameno emporal mais uilizada na análise por waveles é a que aplica as menores larguras ao coneúdo de ala freqüência (inimamene associado às variações rápidas), e as maiores larguras ao coneúdo especral baixo (variações lenas).

39 Waveles 7 Os algorimos de waveles processam dados em diferenes escalas ou resoluções e, independenemene da função de ineresse ser uma imagem, uma curva ou uma superfície, waveles oferecem uma écnica elegane na represenação dos níveis de dealhes presenes. Elas consiuem uma ferramena maemáica para decompor funções hierarquicamene, permiindo que uma função sea descria em ermos de uma forma grosseira, mais oura forma que apresena dealhes que vão desde os menos delicados aos mais finos. O obeivo na análise de waveles é ver a floresa e as árvores [6]. A idéia por rás dessas represenações no empo-freqüência é o core (ou segmenação) do sinal de ineresse em diversas pares e depois a análise das pares separadamene. É claro que analisar um sinal dese modo dará mais informação sobre o quando e onde dos diferenes componenes de freqüência, mas leva a um problema fundamenal: como corar o sinal? Segundo o Princípio da Incereza de Heisenberg, em ermos de processameno de sinais, é impossível saber a freqüência exaa e o empo exao de um sinal. Em ouras palavras, um sinal não pode ser simplesmene represenado como um pono no espaço empofreqüência. O princípio da incereza mosra que é muio imporane o modo como o sinal é corado. Mas o que seria afinal uma wavele? Uma wavele é uma forma de onda de duração limiada e que possui um valor médio igual a zero. A comparação inicial ineviável é a de uma wavele com uma senóide, que é a base da análise de Fourier. Senóides são ilimiadas no empo elas se esendem de a +. Mais ainda, enquano senóides são suaves e previsíveis, waveles endem a ser irregulares e assiméricas. A análise de Fourier consise em decompor um sinal em ondas senoidais de várias freqüências. De forma análoga, a análise por waveles é a decomposição de um sinal em versões deslocadas e escalonadas da wavele original (ou wavele mãe ). Ao observar ilusrações de waveles e ondas senoidais, deduz-se inuiivamene que sinais com mudanças abrupas são poencialmene mais bem analisados com uma ípica e irregular wavele do que com uma senóide suave. É essa caracerísica das waveles que viabiliza aplicações como a compacação do sinal, a focalização da análise para uma região específica de ineresse do especro variane no empo, ou ainda a localização das áreas de maior concenração de energia, enre ouras.

40 Waveles 8 O raameno analíico para a análise por waveles inclui a ransformada conínua de wavele, assim como a discrea, além de suas respecivas ransformadas inversas. A ransformada conínua raz consigo uma grande redundância de informações sobre o sinal analisado, o que a orna compuacionalmene desineressane. Via de regra, a ransformada discrea é uilizada, sea em sua versão mais simples na chamada análise de múlipla resolução, sea na versão que permie um dealhameno personalizado do especro, que é a análise por pacoes. 3.3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Toda a formulação maemáica das waveles será abordada no Apêndice A.

41 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 9 4 MÉTODO DE EXTRAÇÃO DE SENÓIDES NÃO-ESTACIONÁRIAS 4. INTRODUÇÃO Um dos méodos mais recenes de deecção de falhas em roores uiliza a exração da fundamenal de correne. Aliado à decomposição wavele, orna-se um ineressane méodo de deecção, principalmene pelo fao do algorimo ser exremamene simples. O fao da análise se concenrar no sinal cua fundamenal foi exraída é de cero modo mais fácil, pois se pode avaliar o especro de freqüência ao longo do empo e idenificar em quais faixas de freqüência as falhas se acenuam. Toda a descrição do méodo foi exraída do rabalho desenvolvido em []. 4. DESCRIÇÃO DO ALGORITMO Sea u() a represenação de um sinal de ensão ou correne. Esa função é usualmene conínua e quase periódica. Um componene senoidal desa função, y( ) = Asinφ( ), é de ineresse quando A é a ampliude e φ () represena a fase oal dese componene. Quando a freqüência é fixa, o ermo φ () pode ser expresso como ω + δ, em que é a freqüência angular e δ é a fase consane. Idealmene, os parâmeros A, ω e δ são quanidades fixas; mas na práica, isso não é verdadeiro. Numa siuação ípica, u () em uma forma geral de u( ) = i= A sinφ n( ) (4.) i i + em que n () denoa o disúrbio/ruído superposo. Na práica, odos os parâmeros das senóides consiuines podem sofrer variações no empo. No algorimo proposo, o obeivo é exrair uma componene senoidal mais ou menos específica de u (). Um componene deseado pode ser definido como y( ) = Asinφ( ) incorporando odas as variações de fase no ermo φ (). Para incorporar expliciamene o conceio de freqüência insanânea na fase oal, podemos definir a saída como

42 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 3 y ( ) = A( ) sin ( ) + ( ) ω τ dτ δ Sea χ um disribuidor conendo odos os sinais senoidais, definido como: χ = A min max min max min, max ( ) sen ω( τ ) dτ + δ ( ) A( ) [ A, A ], ω( ) [ ω, ω ], δ ( ) [ δ δ ] em que ψ ( ) [ A( ), ω( ), δ ( ) ] T = é o veor de parâmeros que perencem ao parâmero de espaço Ψ = T {[ A, ω, δ ] A [ A, A ], ω [ ω, ω ], δ [ δ δ ]} min max min max min, max e o sobrescrio T denoa a ransposição maricial. A saída é definida como o componene senoidal deseado denominado y (, ψ ( ) ) = A( ) sen ( ) + ( ) ω τ dτ δ Para exrair um deerminado componene senoidal de u ( ), a solução em que ser uma proeção orogonal de u ( ) no disribuidor χ, ou equivalenemene precisa ser um óimo ψ que minimiza uma função disância d enre y(, ψ ( ) ) e ( ) ( ) [ y(, ψ ( ) ) u( ) ] ψ op = arg min d, ψ Ψ u, iso é, A função disância insanânea d é usada: d (, ψ ( ) ) = [ u( ) y(, ψ ( ) )] e ( ) Daqui, a função cuso é definida como J ( ψ ( ), ) d (, ψ ( ) ) esimado usando o méodo de descida do gradiene:. O veor parâmero ψ é dψ d ( ) [ J (, ψ ( ) )] = µ ψ ( ) (4.)

43 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 3 em que µ é uma mariz diagonal. Os valores de enrada dessa mariz conrolam a axa de convergência assim como a esabilidade do algorimo. O méodo de descida do gradiene garane fornecer a solução deseada se a função cuso é globalmene quadráica. Caso conrário, iso é, se a forma da função cuso não é quadráica como é o caso aqui ou não claramene descria, uma prova maemáica deveria ser dada para garanir a convergência das soluções do méodo de descida do gradiene para o pono mínimo da função cuso. A formulação do algorimo, conseqüenemene, requer provas maemáicas direas de convergência e esabilidade. Daqui para frene, o valor esimado do veor parâmero ( ) ψ é denoado por ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] T A δ ω ψ ˆ, ˆ, ˆ ˆ = Conseqüenemene, ( ) Â, ( ) ωˆ e ( ) δˆ represenam os valores esimados de ampliude, freqüência e fase consane, respecivamene. A mariz diagonal µ é definida como = 3 m m m µ Considerando a equação 4., emos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 ˆ ˆ sin ˆ ˆ ˆ ˆ sin ˆ ˆ ˆ ˆ sin ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d A u d A u d A u A m m m d d d d d da δ τ ω τ δ δ τ ω τ ω δ τ ω τ δ ω Assim, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = d m e d da δ τ τ ω ˆ ˆ sin ˆ, (4.3)

44 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 3 dωˆ d ( ) dδˆ d ( ) Onde e ( ) é definido como e Desde que φˆ ( ) = ωˆ ( τ ) dτ ( ) + δˆ ( ) = m e( ) Aˆ ( ) ( ) ( ) + ( ) ω ˆ τ dτ δˆ cos, (4.4) = m e( ) Aˆ ( ) ( ) ( ) + ( ) ω ˆ τ dτ δˆ 3 cos, (4.5) = ˆ, ( ) u( ) A( ) sin ωˆ ( τ ) dτ ( ) + δˆ ( ), pode-se escrever a seguine equação aumenada: parcial de dφˆ d ( ) ( ) dδˆ = ωˆ ( ) +, (4.6) d Um faor de empo variável aparece no lado direio de (4.4) uma vez que a derivada ω dτ com respeio à ω é igual a. Em ouras palavras, obém-se uma gama de equações variáveis no empo nas quais a variável empo esá expliciamene presene. Tal sisema variane no empo em sido observado a ser insável e praicamene sem valor. Isso, claro, vem sem grandes surpresas dado que a formulação da função cuso não convexa do algorimo não conempla as garanias de desempenho fornecidas pela eoria de descida do gradiene. Novamene, dado que a formulação é heurísica e não conforme com o méodo de descida do gradiene, provas maemáicas direas (iso é, independene da formulação maemáica) são necessárias. O méodo heurísico empregado para execuar o sisema variane no empo consise em subsiuir pelo número consane m 4. Ese processo convere o sisema variane no empo para um sisema invariane no empo que se desenvolve muio bem na práica. As equações diferenciais resulanes podem ser escrias como

45 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 33 Onde o erro e ( ) é dωˆ d ( ) daˆ d ( ) dφˆ d e ( ) sinφ( ) = µ e ˆ, (4.7) ( ) Aˆ ( ) cosφˆ ( ) = µ e, (4.8) ( ) ( ) dωˆ = ωˆ ( ) + µ 3, (4.9) d ( ) u( ) Aˆ ( ) sinφˆ ( ) =, (4.) E os parâmeros µ, µ e µ 3 são consanes dados por µ = m µ = mm4 µ 3 m3 = m m 4 As equações (4.7)-(4.) apresenam as equações diferenciais que governam o algorimo proposo. O desenvolvimeno dessas equações, apesar de inspirado pelos conceios de minimização de erros por mínimos quadrados e descida mais íngreme, não obedece às condições nas quais esses conceios podem ser legiimamene empregados. Iso implica que as propriedades maemáicas do algorimo proposo ais como esabilidade, convergência e solução única, e sua uilidade em engenharia devem ser provadas. Figura 4. - Diagrama em blocos do algorimo de exração da fundamenal [37].

46 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 34 Na seção seguine, é mosrado que o sisema dinâmico represenado pelas equações diferenciais possui uma única órbia periódica esável assinoicamene que se enconra numa vizinhança da órbia associada com o componene deseado da função u ( ). Em ermos de desempenho de engenharia do sisema, iso indica que a saída do sisema y( ) = Aˆ ( ) sinφˆ ( ) aproxima-se de um componene senoidal do sinal de enrada u ( ). Em ouras palavras, o sisema é um filro noch que exrai o componene senoidal do sinal de enrada. Além disso, as variações lenas dos parâmeros em u ( ) são oleradas pelo sisema, iso é, o filro é adapaivo e a saída segue as variações no sinal de enrada. A figura (4.) mosra uma represenação em diagrama de blocos do algorimo. Nesa figura, o valor da condição inicial da operação de inegração requerido para compuação da freqüência é represenado expliciamene por ω. A aribuição do valor de ω fornece meios de especificar aproximadamene o componene senoidal de ineresse, ou sea, o componene que o algorimo deve exrair. Em ouras palavras, o algorimo enconra aquele componene senoidal do sinal de enrada que esá mais próximo em freqüência à ω, a condição inicial aribuída à freqüência. Nos casos onde a priori não exise conhecimeno da freqüência do componene senoidal de ineresse, ω pode ser ausado em zero para inicializar o sisema a parir de freqüência zero. Com esa provisão, o sisema enconra e rava num componene senoidal do sinal de enrada que possui a menor freqüência, ese componene sendo de uma freqüência próxima de ω =. 4.3 PROPRIEDADES MATEMÁTICAS DO ALGORITMO A expressão para a função erro (4.) pode ser uilizada em (4.7)-(4.9) para resular numa forma mais explícia. A presença de ermos senoidais e cossenoidais nas expressões sugere uma mudança das equações para o sisema de coordenadas esféricas. Se a forma explícia das equações diferenciais governanes do algorimo for dada em coordenadas esféricas (subsiuindo Â, ωˆ e φˆ por r, θ e φ ), as equações diferenciais ornam-se: dr d ( ) = µ r sin φ µ sinφu (4.) +

47 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 35 dθ d ( φ ) + µ r cosφu( ), = µ r sin (4.) dφ d dθ = θ + µ, (4.3) 3 d Sea u ( ) = u ( ) + g( ) em que u ( ) = A sinφ ( ) e φ ( ) = ω + δ. Em ouras palavras, assume-se que o sinal de enrada em um componene senoidal na freqüência ω = πf e alguns ouros componenes sobreposos. Reescrevem-se as equações (4.)- (4.3) como dr d ( ω + δ ) sinφ µ φg( ) = µ r sin φ + µ A sin sin (4.4) + dθ d ( φ ) + µ A sin( ω + δ ) r cosφ + µ rg( ), = µ r sin (4.5) dφ d dθ = θ + µ, (4.6) 3 d O seguine eorema raa da exisência, da unicidade e da esabilidade de uma órbia periódica para ese sisema dinâmico. A prova é baseada no eorema do mapa de Poincaré. De acordo com o eorema, o comporameno do sisema dinâmico pero de sua órbia periódica poderia ser invesigado usando um mapa discreo. Os ponos fixos dese mapa correspondem às órbias periódicas das dinâmicas principais e seus ipos de esabilidade são equivalenes. Teorema : Sea u ( ) A ( + ) + g( ) = sin δ ω onde A, ω e δ são consanes reais e ( ) g é uma função conínua periódica limiada T arbirária que não possui componene de freqüência em ω. Para uma escolha apropriada dos parâmeros {, i =,,3 } µ, as dinâmicas escrias pelas equações (4.4)-(4.6) êm uma única órbia periódica γ ( ) nos espaços ( r,,φ ) numa vizinhança de u ( ) = A ( ω + ) função ( ) sin δ i. Esa vizinhança é deerminada pela g e os parâmeros µ µ 3. Além disso, esa órbia periódica é assinoicamene esável. A órbia periódica coincide com u ( ) quando ( ) g é zero. Em ermos de desempenho do sisema, quando o sinal de enrada é uma senóide pura, o algorimo exrai al sinal senoidal e fornece-o como saída do sisema. Quando o sinal de

48 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 36 enrada é uma senóide poluída por uma oalidade de componenes indeseados, o sinal de saída aproxima-se de um componene senoidal simples na qual a convergência é deseada. 4.4 SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS O algorimo de processameno de sinais descrio pelo sisema dinâmico (4.7)-(4.9) em uma esruura muio simples. Pode ser facilmene implemenado em qualquer linguagem de programação cienífica ou ambiene de proeo esquemáico. Se uma aproximação de primeira ordem para derivações é assumida, a forma discreizada das equações pode ser escria como: [ n ] = A[ n] + T µ e[ n] sin [ n], A + S φ (4.7) [ n ] = ω[ n] TS µ e[ n] A[ n] cosφ[ n], ω + + (4.8) [ n ] = φ[ n] + T ω[ n] T µ µ e[ n] A[ n] cosφ[ ], φ + + (4.9) S S 3 n y [ n] A[ n] sinφ[ n], e = (4.) [ n] u[ n] y[ n] = (4.) em que T S é o empo de amosragem e n é índice do passo de empo. Figura 4. Convergência da órbia periódica ( A =, ω = π, φ = π + δ ) [37].

49 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 37 Um dos ópicos a ser considerado no desenvolvimeno de aplicações uilizando o algorimo proposo é o ause dos valores dos parâmeros µ, µ e µ 3, os quais deerminam a velocidade de convergência versus o erro. Sea uma senóide pura com ampliude uniária, freqüência f = 6Hz e fase consane. O eorema prediz a exisência de uma órbia periódica para ese caso. As condições iniciais são escolhidas como A =, f = 6 Hz e φ =. A figura 4. mosra o desempenho do algorimo na convergência da órbia periódica ( A =, ω = π rad/s, φ = π + δ ). A órbia periódica, conseqüenemene, é descria por um círculo que esá ausado fora do plano horizonal para uma disância verical igual ao valor da freqüência. É claro que o algorimo converge para a órbia associada com a senóide de enrada em poucos ciclos. O sinal exraído, suas ampliudes e suas freqüências são mosradas na figura (4.3). Os valores dos parâmeros escolhidos foram µ =, µ =., µ 3 =,. A escolha dos parâmeros considerou o empo de convergência e a precisão do sinal exraído. Figura 4.3 Desempenho do algorimo na exração do sinal senoidal [37].

50 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 38 O empo de convergência é uma função dos auses dos parâmeros do algorimo. Em geral, quano mais rápida a convergência, mais erros em regime permanene são inroduzidos no processo de esimação. Assim, exise um compromisso inerene enre a velocidade de convergência e o erro em regime permanene. Isso limia o desempenho preciso do algorimo quando uilizado para a análise de sinais de cura duração. Conano que a freqüência do sinal é próxima ao seu valor nominal ω, o compromisso enre a velocidade e o erro em regime permanene não inroduz uma limiação significane. Como a freqüência do sinal desvia do seu valor nominal (iso é, resolução em ala freqüência é deseada), o algorimo inroduz mais compromissos significanes enre a velocidade e o erro em regime permanene. A figura (4.4) mosra o desempenho do algorimo no caso da fase consane ser ausada para π /. O algorimo não em sensibilidade para as condições iniciais. A figura (4.5) mosra a convergência do algorimo para a mesma órbia periódica, considerando f = 7 Hz. Figura 4.4 Desempenho do algorimo considerando fase consane [37].

51 Méodo de Exração de Senóides Não-Esacionárias 39 Figura 4.5 Convergência da órbia periódica considerando uma condição inicial diferene [37]. O algorimo é consideravelmene robuso levando em cona sua esruura inerna. Experimenos numéricos demonsraram que o desempenho do algorimo quase não se alera quando as variações dos parâmeros µ são ão grandes quano 5%. Da mesma forma, o algorimo mosrou-se robuso com relação às suas condições exernas.

52 Meodologia de Trabalho 4 5 MÉTODOLOGIA DE TRABALHO 5. OBJETIVOS DO MÉTODO Geralmene a deecção de falhas nos roores uilizando méodos não-invasivos é realizada em campo ou em oficinas e laboraórios especializados, pois os equipamenos uilizados são muio específicos e dificilmene os consumidores finais de moores eléricos possuem ais equipamenos. Além disso, os eses realizados no roor de maneira invasiva não abrangem oda a gama de moores, uma vez que, dependendo do amanho dos roores, ornase inviável essa avaliação. O méodo proposo preende avaliar a saúde do roor aravés da correne de parida do moor obida na própria linha de produção. Com isso, em-se a possibilidade de avaliação em % dos moores fabricados, minimizando o índice de defeio em campo e maximizando a garania de um moor saudável. A figura 5. mosra o fluxograma do algorimo uilizado nese rabalho, em que cada eapa será dealhada a seguir. As eapas são: Aquisição de Dados, Exração da Fundamenal, Decomposição Wavele e Deecção de Falhas. Figura 5. Fluxograma da meodologia de rabalho.

53 Meodologia de Trabalho 4 5. AQUISIÇÃO DE DADOS Para avaliação do méodo, foram uilizados 3 moores com polaridades diferenes de modo que o empo de parida pudesse variar e a qualidade dos resulados fosse avaliada. Todos os moores foram alimenados em V para a obenção da maior correne de parida. Os moores uilizados no rabalho esão descrios na abela abaixo: Tabela 5. - Dados dos moores eléricos uilizados no ensaio. Po [cv] Polaridade Carcaça Tensão [V] Correne [A] 7,5 II M /38 9,/, 3 IV 9L /38 8,68/5,3 4 VI M /38,6/7,9 Figura 5. Placa de idenificação dos moores ensaiados (WEG Equipamenos Eléricos) Para a simulação de falhas, as barras foram inerrompidas em ponos com a uilização de uma furadeira verical. Tomou-se o cuidado de inerromper por compleo as barras para eviar qualquer fluxo de correne pela barra e preudicar os resulados. A figura 5.3 mosra os furos realizados no roor.

54 Meodologia de Trabalho 4 Figura 5.3 Furos na barra do roor para simulação da falha. No oal foram inerrompidas 4 barras em cada roor de modo a avaliar a precisão do méodo. Para cada barra danificada foram realizadas duas aquisições de correne de parida. As falhas em cada roor esão disposas conforme a figura 5.4. Figura 5.4 Disposição das falhas nos roores de II, IV e VI pólos respecivamene. Uma axa de amosragem de 5 Hz foi uilizada para aquisição dos sinais de correne de parida e um programa de aquisição de dados foi desenvolvido em Visual Basic para esse rabalho. A figura 5.5 mosra os sinais de correne de parida do moor de 7,5 cv/iip considerando o roor sem barras falhadas.

55 Meodologia de Trabalho 43 Correne de Parida 5 5 Ampliude [A] Tempo [s] I I I3 Figura 5.5 Correne durane a parida do moor de 7,5cv. 5.3 EXTRAÇÃO DA FUNDAMENTAL A idéia de exrair a fundamenal do sinal de correne de parida permie rabalhar somene com o sinal com freqüências diferenes da freqüência de alimenação do moor. O méodo descrio no capíulo IV possui uma facilidade bem grande em ermos de implemenação usando qualquer linguagem de programação. A grande dificuldade se enconra em ausar os coeficienes µ, µ e µ 3 de modo a ober o melhor resulado possível. As figuras 5.6 e 5.7 mosram o comporameno do sinal exraído considerando a variação dos coeficienes µ e µ.

56 Meodologia de Trabalho 44 Figura Sinais de freqüência variando-se somene o parâmero µ. Figura Sinais de freqüência variando-se somene o parâmero µ. Os resulados mosram que a ampliude do sinal exraído em influência direa do parâmero µ. Por ouro lado, a variação do parâmero µ alera não somene a ampliude como ambém o sinal como um odo. Isso significa que uma variação muio brusca no parâmero µ pode ocasionar uma grande variação no sinal exraído. É como se o parâmero µ esivesse relacionado ao filro da fundamenal.

57 Meodologia de Trabalho DECOMPOSIÇÃO WAVELET Esa é uma das pares mais imporanes do méodo uilizado, pois a deecção de falha fica visível após a decomposição por ransformada wavele. Nesa pare, o sinal que resou após a exração da fundamenal é filrado em escalas uilizando-se uma deerminada wavele. No rabalho foram esadas as waveles da família Daubechies, sendo escolhido a db8 para a análise dos resulados. Figura 5.8 Wavele Daubechies 8. A figura 5.8 mosra a decomposição para uma deerminada escala uilizando diferenes waveles. Observa-se claramene que as falhas são deecadas devido à presença de disúrbios no sinal filrado, porém elas se deslocam conforme se alera a wavele. Figura 5.9 Sinais escalonados para diferenes waveles.

58 Meodologia de Trabalho 46 Além da escolha adequada da wavele, o processo de deecção depende ambém da escala a ser analisada, ou sea, dependendo da faixa de freqüência uilizada, as falhas não podem ser visualizadas. A figura 5.9 mosra a decomposição usando a wavele db8 para diferenes escalas. Figura 5. Decomposição em diversas escalas para o mesmo sinal. 5.5 INSTRUMENTAÇÃO UTILIZADA Abaixo esão descrios odos os equipamenos uilizados para a realização dos ensaios: a. Dinamômero CC de W; b. Analisador de poência LEM modelo NORMA D555; c. Sensores de Efeio Hall LEM modelo LS-; d. Placa de Aquisição de Dados Naional Insrumens modelo PCI-64E; e. Condicionador de Sinais Naional Insrumens modelo BNC-; f. Furadeira Verical; g. Linguagem de Programação Visual Basic; h. Malab.

59 Meodologia de Trabalho CONCLUSÃO Uilizando a meodologia apresenada no rabalho, as falhas mosraram-se visíveis no especro de freqüência e os disúrbios provocados por essas falhas se ornavam mais inensos à medida que o número de falhas aumenava. Porém, percebeu-se que as falhas não se localizam sempre na mesma escala wavele, o que dificulava uma análise não-visual. Pode-se verificar isso nos resulados apresenados a seguir.

60 Resulados 48 6 RESULTADOS 6. INTRODUÇÃO Nese capíulo são apresenados os resulados obidos uilizando o méodo descrio no capiulo anerior. Foram usadas as correnes provenienes da fase R do moor em odas as análises de modo que as diferenças enre fases não fossem consideradas. Diversas configurações envolvendo os ipos de waveles, as escalas da decomposição e os parâmeros do sisema de exração da fundamenal foram analisadas com o inuio de enconrar o melhor ause possível. cada moor. Na abela 6. são mosrados os valores dos parâmeros µ, µ e µ 3 uilizados para Tabela 6. Parâmeros do Sisema de Exração da Fundamenal µ µ µ 3 pólos 75 65, 4 Pólos, 6 Pólos 75 65, A idéia inicial era considerar os mesmos parâmeros para odos os moores. Aravés das análises ficou consaado que o empo de resposa do sisema varia de acordo com a aceleração da máquina. Foi considerado como empo de resposa um valor enre 3% a 5% do empo de aceleração da máquina, pois acima disso os resulados não se mosraram saisfaórios. Além disso, conforme os empos de resposa se ornavam mais baixos, o sisema perdia em precisão, ocasionando resulados inexpressivos. Na decomposição por waveles, diversas escalas foram analisadas de modo que as falhas fossem ressaladas ao máximo. Para a compilação dos resulados foi uilizado a wavele db8, da família Daubechies. Os melhores resulados foram obidos enre as escalas D5 e D7, pois a visualização das falhas mosrou-se mais evidene. De modo que a falha pudesse ser quanificada, calculamos a energia do sinal escalonado (no recho onde as falhas eram aparenes) aravés da equação:

61 Resulados 49 energia = N i= x [ n] em que N é o oal de ponos do sinal. 6. SINAIS E RESULTADOS São apresenados a seguir os resulados obidos para cada moor ensaiado em ermos de exração da fundamenal e da deecção de falhas via ransformada waveles. 6.. Moor: 7,5cv pólos V M A figura abaixo apresena a correne de parida rifásica após a exração da fundamenal para odas as condições de falhas Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Ampliude [A] Tempo [s] Figura 6. Fundamenal exraída para o moor de pólos. A análise da ampliude (Figura 6.) e da freqüência (Figura 6.3) dos sinais exraídos serve como complemeno para verificar se os parâmeros do sisema foram ausados de modo que a convergência fosse visível. A freqüência, em paricular, serve para verificar o empo de resposa do sisema.

62 Resulados Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Ampliude [A] Tempo [s] Figura 6. Ampliude dos sinais exraídos para o moor de pólos Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras 6 Freqüencia [Hz] Tempo [s] Figura 6.3 Sinais de freqüência exraídas para o moor de pólos. Os sinais de erro foram analisados desconsiderando o período de convergência do sisema, pois poderia inerferir nos resulados finais. A figura 6.5 mosra o sinal uilizado na deecção de falhas.

63 Resulados Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras. Erro [A] Tempo [s] Figura 6.4 Sinal sem a fundamenal para o moor de pólos..6.4 Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras. Erro [A] Tempo [s] Figura 6.5 Sinal sem a fundamenal após a convergência do sisema. Considerando a análise wavele, a escala que melhor apresenou as falhas no roor foi a 6. O cálculo de energia do sinal foi realizado considerando o inervalo de a 4.

64 Resulados 5 Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Amosra [n] Figura 6.6 Decomposição wavele para a escala D Moor: 3cv 4 pólos V 9L fundamenal. A figura abaixo mosra os sinais de correne de parida após a exração da Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Correne [A] Tempo [s] Figura Fundamenal exraída para cada condição de falha.

65 Resulados 53 As figuras 6.8 e 6.9 mosram os sinais de ampliude e freqüência dos sinais exraídos Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Ampliude [A] Tempo [s] Figura Ampliude da fundamenal exraída do moor 4 pólos Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Freqüencia [Hz] Tempo [s] Figura Freqüência da fundamenal exraída do moor 4 pólos. As figuras 6. e 6. mosram o sinal de erro obido para o moor de 4 pólos. Novamene o sinal aé,4 s foi descarado na análise wavele.

66 Resulados Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras. Erro [A] Tempo [s] Figura 6. - O sinal de correne após a exração da fundamenal...5 Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Erro [A] Tempo [s] Figura 6. - Sinal considerado na análise por decomposição wavele. Para ese moor, a melhor escala enconrada para a visualização das falhas foi a 6. Os disúrbios provocados pelas barras inerrompidas esão localizadas enre os ponos e 3.

67 Resulados 55 Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Amosra [n] Figura 6. Decomposição Wavele para a Escala D Moor: 4cv 6 pólos V M Ese moor apresenou a menor correne de parida enre os rês moores analisados. A maior preocupação esava em convergir o sisema de modo que a análise pudesse ser feia Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Ampliude [A] Tempo [s] Figura 6.3 Fundamenal exraída do moor 6 pólos considerando as diversas falhas.

68 Resulados 56 Os resulados foram os menos saisfaórios, viso que a precisão na exração foi preudicada devido ao empo e convergência ser relaivamene baixo..4. Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Ampliude [A] Tempo [s] Figura 6.4 Ampliude da fundamenal exraída do moor 6 pólos Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Freqüencia [Hz] Tempo [s] Figura 6.5 Freqüência da fundamenal exraída do moor 6 pólos. Pode-se observar que o sinal exraído ainda possui componenes de baixa freqüência de forma mais acenuada. Foi descarado o sinal de erro enre e,5s, que corresponde ao período de convergência.

69 Resulados Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras. Erro [A] Tempo [s] Figura 6.6 O sinal de correne após a exração da fundamenal..5. Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras.5 Erro [A] Tempo [s] Figura 6.7 Sinal considerado na análise por decomposição wavele. Os disúrbios apresenaram-se enre os ponos 6 e 8 considerando a escala 6. Podemos observar que a posição onde as falhas foram deecadas são um pouco diferenes dos demais moores e que a concenração do sinal se enconra em baixa freqüência.

70 Resulados 58 Barras Barra Barras 3 Barras 4 Barras Amosra [n] Figura 6.8 Decomposição Wavele para a Escala D CONSIDERAÇÕE SOBRE OS RESULTADOS Pode-se perceber que os valores de µ, µ e µ 3 possuem uma influência muio imporane no que ange à visualização das falhas. Tenou-se avaliar a saúde do roor sem alerações desses parâmeros, mas os resulados mosraram-se inconclusivos. Os parâmeros para os moores de e 6 pólos foram manidos e observou-se alerações na qualidade dos resulados. A abela abaixo mosra os valores de energia em p.u. calculados denro dos inervalos onde as falhas eram evidenciadas. Pode-se perceber que exise uma relação direa enre o número de barras falhadas e a energia do sinal.

71 Resulados 59 Tabela 6. - Comparaivo enre a energia do sinal em p.u. e o número de barras danificadas. Número de Falhas 3 4 7,5cv P,,744 3,756 7,37 9,967 4,cv 4P, 5, 4,6 4,76 6,7 3,cv 6P, 6,987 7,7376 8,6964 3, CONCLUSÃO Os resulados apresenados nese capíulo mosram que a meodologia de deecção funciona, considerando as falhas envolvidas no rabalho. Não se pôde consaar um padrão de falha que possa ser facilmene implanado no painel de ese. Assim, essa ferramena deverá coner mais algumas análises para se ornar efeiva e realmene agregar valor aos ensaios realizados na fábrica.

72 Conclusão 6 7 CONCLUSÃO Nese rabalho foram esudados alguns méodos de deecção de falhas nas barras do roor dos moores de indução de modo a desenvolver uma ferramena de deecção de falhas na linha de produção da WEG Equipamenos Eléricos Moores. Diversos méodos êm sido desenvolvidos uilizando a correne de parida dos moores de indução rifásicos como meio de deecção, uma vez que para execuar esse ipo de análise não é necessário rabalhar com o moor em carga e ampouco reirar o roor. O méodo uilizado nese rabalho foi baseado em méodos á publicados, porém com um enfoque mais práico, uma vez que a idéia é desenvolver roinas de cálculo que possam ser uilizadas no fuuro nos painéis de ese de monagem. Considerando os resulados obidos no méodo de exração da fundamenal, raa-se de uma ferramena poderosa para essa finalidade. A grande dificuldade enconra-se em ober os valores ideais dos coeficienes de convergência do sisema, pois a relação enre empo de resposa e precisão do sinal exraído em um papel fundamenal na análise por decomposição wavele. A idéia inicial era uilizar os mesmos parâmeros de convergência para odos os moores, pois iso faciliaria em muio o processameno de dados. Porém, os moores uilizados no rabalho possuíam empos de aceleração bem disinos e, dessa forma, o empo de resposa do sisema precisou ser alerado para garanir cera coerência no sinal exraído. Considerando que na linha de produção não haverá meios de se aumenar a inércia de parida do moor fisicamene, a única forma de aumenar o empo de parida seria reduzindo a ensão de alimenação a um valor mínimo. Enreano, os resulados obidos com esse procedimeno não se apresenaram ão saisfaórios. Uma das vanagens do méodo de exração esá no equacionameno simples do sisema, que pode ser facilmene implanado uilizando qualquer linguagem de programação. A decomposição por ransformada wavele é uma ferramena excepcional no que ange a análise especral de freqüência. No rabalho foram analisadas algumas waveles da família Daubechies com o inuio de produzir resulados analíicos eficazes. Dependendo da wavele uilizada, os gráficos de escala da decomposição não evidenciam claramene onde as falhas se enconram. Além da wavele uilizada, é preciso idenificar em qual escala as perurbações provocadas pela falha nas barras do roor são mais visíveis, ou sea, em que faixa

73 Conclusão 6 de freqüência as falhas esão presenes. Os resulados foram mais significaivos enre as escalas D5 e D7. Para disponibilizar o resulado de maneira quaniaiva, foi proposo o cálculo da energia do sinal denro da faixa em que a falha mosra-se evidene. A grande dificuldade em uilizar ese cálculo enconra-se em idenificar de maneira não-visual a posição da falha. Os resulados obidos no rabalho mosram que, para os moores uilizados, a falha se enconra nos primeiros 3 ponos do sinal escalonado. Dessa forma, o cálculo de energia ficou concenrado abaixo desse pono. Não é possível afirmar que as falhas sempre esarão concenradas na mesma região, uma vez que não uilizamos uma diversidade muio grande de moores. Além disso, alguns faores como a freqüência de alimenação, o número de barras do roor e empo de aceleração podem afear consideravelmene os resulados. De um modo geral, o méodo uilizado no rabalho mosrou-se eficiene na deecção de falhas nas barras do roor, porém sua uilização na deecção de falhas em larga escala irá depender de ouras análises. A dificuldade em maner os parâmeros de convergência consanes para odos os moores devido ao empo de aceleração e a dificuldade de deecar a região de falha de maneira não-visual exigem um esudo mais aprofundado de como relacionar essas dificuldades aos parâmeros do moor. Algumas análises não foram conempladas nese rabalho e poseriormene poderão ser realizadas para aprimorameno e conseqüene aplicação na linha de produção. Como sugesão para rabalhos fuuros, pode-se ciar: Influência dos parâmeros de convergência do sisema de exração da fundamenal na deecção de falhas; Influência da freqüência de amosragem uilizada na aquisição da correne de parida na deecção de falhas; Como ornar o sisema de deecção apo a operação em larga escala, manendo a repeibilidade dos resulados independene de velocidade e empo de aceleração do moor; Avaliar a eficácia na deecção para grandes loes do mesmo moor.

74 Apêndice A 6 APÊNDICE A A. A TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA (TWC) É bem conhecido que um sinal de energia limiada (iso é, um sinal inegrável quadráico), f ( ), pode ser decomposo por sua ransformada de Fourier F( ω) como: f + i = e ω dω π ( ) F( ω) (A.) onde, Noa-se que F ( ω) e ( ) ( ) f ( ) + iω = e d F ω (A.) f consiuem um par de ransformadas de Fourier. A equação (A.) é chamada de ransformada de Fourier de f ( ) e a equação (A.) é chamada de ransformada inversa de Fourier. Do pono de visa maemáico, a equação (A.) implica que o sinal f ( ) pode ser decomposo em uma família de harmônicas represenam as ampliudes das harmônicas em f ( ). i e ω e os coeficienes F ( ω) harmônicas A ransformada wavele é definida de modo similar. No enano, em vez de uilizar as i e ω, a ransformada wavele uiliza funções de bases a,b ( ) ψ [7]. As waveles são geradas de uma única wavele básica ψ ( ), a chamada wavele mãe, por escalonameno e ranslação: b ψ a, b ( ) = ψ (A.3) a a Na equação acima, a é o faor de escala e b é o faor de ranslação. A muliplicação por a faz a normalização de energia nas diferenes escalas. como: A ransformada wavele W x ( b, a) de um sinal de empo conínuo ( ) x é definido

75 Apêndice A 63 W onde * indica conugação complexa. x * b, = ψ a, b ψ d (A.4) a a + * ( b a) x( ) ( ) d = x( ) Assim, a ransformada wavele é compuada como o produo inerno de x ( ) e as versões deslocadas e escalonadas de uma única função ψ ( ), a enão chamada wavele. Considerando ψ ( ) uma resposa ao impulso do ipo passa-banda, enão a análise wavele pode ser enendida como uma análise passa-banda. Pela variação do parâmero de escala a, a freqüência cenral e a largura de banda do passa-banda são influenciadas. A variação de b simplesmene significa uma ranslação no empo, de modo que, para um a fixo, a ransformada da equação (A.4) pode ser visa como uma convolução de x ( ) com a wavele de empo reversível e escalonada: W x (, a) = x( ) * ψ ( ), ( ) = ψ a a ψ a * (A.5) a O pré-faor / a é inroduzido de modo a assegurar que odas as funções de escala / ( a) a ψ * / com a R enham a mesma energia. Desde que a função análise ψ ( ) é escalonada e não modulada como o ernel da STFT, uma análise wavele é muias vezes chamada de análise empo-escala em vez de análise empo-freqüência. No enano, ambos esão nauralmene relacionados enre si pela inerpreação de passa-banda. A figura A.. mosra exemplos dos ernels da STFT e a ransformada wavele. Como se pode verificar, uma variação do empo de araso b e/ou do parâmero de escala a não em efeio na forma do ernel da ransformada wavele. No enano, a resolução de empo e freqüência da ransformada wavele depende de a. Para análise de alas freqüências ( a pequeno), em-se uma boa localização de empo, mas uma fraca resolução de freqüência. Por ouro lado, para análise de baixas freqüências, em-se uma boa localização de freqüência, mas uma fraca resolução de empo. Enquano a STFT é uma análise de largura de banda consane, a análise wavele pode ser enendida como uma análise em oiavas.

76 Apêndice A 64 É imporane noar que nas equações acima, as funções waveles de base não são especificadas. Esa é uma diferença enre a ransformada wavele e a ransformada de Fourier, ou ouras ransformadas. A eoria das ransformadas waveles raa somene de propriedades gerais das waveles e das ransformadas wavele. Isso define uma esruura para que possam se desenvolver waveles do modo que se desear. f + + ( ) = γ ( a b) ( ) dadb = W ( a, b) b, ψ a, b ψ dadb C a a ψ (A.6) A. PROPRIEDADES A.. Condição de Admissibilidade Quando se uiliza uma ransformada de modo a ober melhor enendimeno das propriedades de um sinal, deve ser assegurado que o sinal possa ser perfeiamene reconsruído. Caso conrário, a represenação pode não er senido compleamene ou em pares. Para a ransformada wavele, a condição que deve ser assegurada de modo a garanir a perfeia reconsrução é ( ω) Ψ C = ψ dω < ω (A.7) onde Ψ ( ω) denoa a ransformada de Fourier da wavele. Esa condição é conhecida como a condição de admissibilidade para a wavele ψ ( ). Obviamene, de modo a saisfazer a equação (A.7) a wavele deve saisfazer Além disso, ( ω) Ψ ( ) = ( ) d = ψ (A.8) Ψ deve decrescer rapidamene para ω e para ω. Iso é, ψ ( ) deve ser uma resposa ao impulso do ipo passa-banda. Uma vez que a resposa ao impulso passa-banda parece uma pequena onda, a ransformada é nomeada de ransformada wavele.

77 Apêndice A 65 Figura A.. Comparação enre a análise aravés da STFT e da ransformada wavele de alas e baixas freqüências. Como pode ser viso de (A.4), a ransformada wavele de uma função unidimensional é bidimensional; a ransformada wavele de uma função bidimensional é de quaro dimensões. O produo empo-largura de banda da ransformada wavele é o quadrado do sinal de enrada e para a maioria das aplicações práicas iso não é uma propriedade deseável. Porano, são imposas algumas condições adicionais nas funções waveles de modo a fazer a ransformada wavele decrescer rapidamene com o decréscimo da escala a. Esas são as condições de regularidade e elas deerminam que a função wavele deva er suavidade e concenração em ambos os domínios de empo e freqüência. A.. Resoluções de Tempo e Freqüência A ilusração na figura A.. é comumene uilizada para explicar como as resoluções de empo e freqüência deveriam ser inerpreadas. Cada caixa na figura A.. corresponde ao valor da ransformada wavele no plano empo-freqüência. Noa-se que as caixas possuem cera área não nula, o que implica que o valor de um pono paricular no plano empofreqüência não pode ser conhecido. Todos os ponos no plano empo-freqüência que caem numa caixa são represenados por um valor da TW [8].

78 Apêndice A 66 Figura A.. Represenação das resoluções de empo e freqüência[4]. A primeira coisa a se noar é que, embora as larguras e aluras das caixas mudam, a área é consane. Iso é, cada caixa represena uma porção igual do plano empo-freqüência, mas dando diferenes proporções de empo e freqüência. Noa-se que, para baixas freqüências, a alura das caixas é menor (o que corresponde a melhores resoluções de freqüência, uma vez que exise menos ambigüidade considerando o valor da freqüência exaa), mas suas larguras são maiores (o que corresponde a uma resolução de empo pobre, uma vez que exise mais ambigüidade considerando o valor do empo exao). Para alas freqüências, a largura das caixas decresce, iso é, a resolução de empo orna-se melhor e a alura das caixas aumena, iso é, a resolução de freqüência orna-se mais pobre. É ineressane mencionar como as parições parecem no caso da STFT. Recorde que na STFT, as resoluções de empo e freqüência são deerminadas pela largura da anela de análise, que é selecionada uma vez para oda análise, iso é, ano a resolução de empo quano a de freqüência são consanes. Conseqüenemene, o plano empo-freqüência consise de quadrados no caso da STFT. Não obsane as dimensões das caixas, as áreas de odas as caixas, ano na STFT quano na TW, são as mesmas e deerminadas pela desigualdade de Heisenberg. Como um resumo, a área da caixa é fixada por cada função anela (STFT) ou wavele mãe (TWC), viso que anelas ou waveles mãe diferenes podem resular em áreas diferenes. No enano, odas as áreas são limiadas por π / 4. Iso é, não é possível reduzir as áreas das caixas ano quano

79 Apêndice A 67 se desea devido ao principio da incereza de Heisenberg. Por ouro lado, para uma dada wavele mãe, as dimensões das caixas podem ser modificadas, manendo-se a mesma área. Iso é exaamene o que a ransformada wavele faz. A.3 A DISCRETIZAÇÃO DA TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA: AS SÉRIES WAVELET Apesar da ransformada wavele conínua discreizada permiir a compuação da ransformada wavele conínua por compuadores, ela não é a verdadeira ransformada discrea. De fao, as séries wavele são simplesmene uma versão amosrada da TWC, e a informação que ela fornece é alamene redundane. Esa redundância, por um lado, requer uma quanidade significane de empo e recursos compuacionais. A ransformada wavele discrea (TWD), por ouro lado, fornece informação suficiene ano para a análise quano para a sínese do sinal original, com uma redução significaiva no empo compuacional. Além disso, a TWD é consideravelmene mais fácil de implemenar se comparada com a TWC. A idéia principal é a mesma da TWC. Uma represenação empo-escala de um sinal digial é obido uilizando-se écnicas de filragem digial. É preciso recordar que a TWC é uma correlação enre uma wavele para diferenes escalas e o sinal com a escala (ou a freqüência) sendo uilizada como uma medida de similaridade. A ransformada wavele conínua foi compuada aravés da mudança de escala da anela de análise, deslocando a anela no empo, muliplicando pelo sinal e inegrando ao longo do empo. No caso discreo, filros com diferenes freqüências de core são uilizadas para analisar o sinal em diferenes escalas. O sinal passa aravés de uma série de filros passa-ala para analisar as alas freqüências e passa aravés de uma série de filros passa-baixa para analisar as baixas freqüências. A resolução do sinal, que é uma medição da quanidade de dealhes de informação no sinal, é alerada pelas operações de filragem e a escala é alerada pelas operações de superamosragem e sub-amosragem. Sub-amosrar um sinal corresponde a reduzir a axa de amosragem ou remover algumas amosras do sinal. Sub-amosrar por um faor n reduz o número de amosras no sinal n vezes.

80 Apêndice A 68 Super-amosrar um sinal corresponde a aumenar a axa de amosragem de um sinal pela adição de novas amosras no sinal. Super-amosrar um sinal por um faor n aumena o número de amosras no sinal por um faor de n [9]. A ransformada wavele em rês propriedades que dificulam a sua uilização direamene na forma da eq. (A.4). A primeira propriedade é a redundância da TWC, á mencionada. Mesmo sem a redundância da TWC, ainda em-se um número infinio de waveles na ransformada wavele e reduzir esse número para uma quanidade mais gerenciável é o segundo problema. O erceiro problema é que, para muias funções, as ransformadas waveles não possuem soluções analíicas e elas podem ser calculadas somene numericamene. Algorimos rápidos são necessários para explorar a poência da ransformada wavele e é, de fao, a exisência desses algorimos rápidos que em colocado as ransformadas wavele onde elas esão hoe. Como mencionado anes, a TWC ransforma um sinal unidirecional para uma represenação bidirecional de empo-escala que é alamene redundane. O produo empolargura de banda da TWC é o quadrado daquele sinal e para muias aplicações, em que se busca uma descrição do sinal com ão poucos componenes quano possível, isso não é suficiene. Para superar ese problema, as waveles discreas êm sido inroduzidas. As waveles discreas não são escalonáveis e ranslacionáveis coninuamene, mas podem somene ser escalonadas e ransladadas em passos discreos. Ψ, b a ( ) = Ψ a a o (A.9) Apesar de ser chamada de wavele discrea, é normalmene uma função conínua. Na equação acima e são ineiros e a é um passo de dilaação fixo. O faor de ranslação > b depende do passo de dilaação. O efeio de discreizar a wavele esá no fao do espaço empo-escala ser agora amosrado em inervalos discreos. Usualmene escolhemos a =, de modo que a amosragem do eixo da freqüência corresponda à amosragem diádica. Iso é uma escolha muio naural para compuadores, ouvido humano e música. Para o faor de radução, usualmene escolhemos b de modo que ambém enhamos uma amosragem diádica no = eixo do empo (ver figura A.3.).

81 Apêndice A 69 Figura A.3. - Localização das waveles discreas no espaço empo-escala num grid diádico [3]. Quando as waveles discreas são uilizadas para ransformar um sinal conínuo, o resulado será uma série de coeficienes waveles, e é referenciada como uma decomposição em série wavele. Um pono imporane no esquema de decomposição é a quesão da reconsrução. Mas de fao é possível reconsruir um sinal de sua decomposição em série wavele. Segundo Daubechies, a condição necessária e suficiene para reconsrução esável é que a energia dos coeficienes wavele deve esar enre duas froneiras posiivas, iso é A f, f, Ψ, B f (A.) onde f é a energia de ( ) f, A >, < B e A, B são independenes de f ( ) equação acima é saisfeia, a família de funções base ( ) uma esruura com esruuras de froneira A e B. Quando,. Quando a ψ com, Ζ é referida como A = B a esruura é aperada e as waveles discreas comporam-se exaamene como uma base oronormal. Quando A B, a reconsrução exaa ainda é possível para o cuso de uma esruura dual. Em uma ransformada wavele discrea de esruura dual, a decomposição wavele é diferene da reconsrução wavele. Esqueceremos imediaamene as esruuras e coninuaremos com a remoção de odas as redundâncias da ransformada wavele. O úlimo passo consise em fazer as waveles discreas oronormais. Isso pode ser feio somene com waveles discreas. As waveles discreas podem ser feias orogonais para suas dilaações e raduções pelas escolhas especiais da wavele mãe, que significa:

82 Apêndice A 7 Ψ * se = e = n, ( ) Ψm, n ( ) d = (A.) demais Um sinal arbirário pode ser reconsruído, somando as funções wavele orogonais de base, aravés dos coeficienes da ransformada wavele: f ( ) = γ (, ) Ψ ( ),, (A.) A equação acima mosra a ransformada wavele inversa para waveles discreas. A orogonalidade não é essencial na represenação de sinais. As waveles não precisam ser orogonais e em algumas aplicações a redundância pode audar a reduzir a sensibilidade do ruído ou melhorar a invariância de posição da ransformada. Essa é uma desvanagem das waveles discreas: a ransformada wavele resulane não é invariane ao deslocameno, o que significa que as ransformadas wavele de um sinal e uma versão empo-deslocameno do mesmo sinal não são simplesmene versões deslocadas de cada um. A.4 A TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA A.4. Análise de Múlipla Resolução (AMR) [9] Apesar dos problemas de resolução de empo e freqüência serem resulados de um fenômeno físico (o princípio de incereza de Heisenberg) e exisirem independene da ransformada uilizada, é possível analisar qualquer sinal uilizando uma aproximação alernaiva chamada de Análise de Múlipla Resolução (AMR). AMR, como o próprio nome sugere, analisa o sinal para diferenes freqüências com diferenes resoluções. AMR é proeado para dar uma boa resolução de empo e uma fraca resolução de freqüência para alas freqüências e boa resolução de freqüência e fraca resolução de empo para baixas freqüências. Essa aproximação faz senido especialmene quando o sinal iver componenes de ala freqüência para durações curas e componenes de baixa freqüência para durações longas. Felizmene, os sinais que são enconrados em aplicações práicas são muias vezes desse ipo.

83 Apêndice A 7 O inuio de enconrar waveles, ω ( ), com as mesmas propriedades da wavele de Haar, iso é, as waveles filhas, ω = ( ), ω orogonal, implica na usual Análise-Sínese para odos os sinais:, para odo e, formam uma base, Análise: c x( ) ( ), = ω d (A.3) Sínese: ( ) c ( ) x, ω, = (A.4) Sea filhas ( ), W o conuno de odos os sinais x ( ), que pode ser sineizado das waveles ω, < <. Esses espaços são orogonais enre eles e pode-se sineizar qualquer sinal (energia) x ( ) como: x ( ) = x ( ) onde ( ) = c ( ) = x, = Exise ouro modo de expressar essa idéia. Sea que pode ser sineizado das waveles filhas ( ) i,, ω (A.5) V o conuno de odos os sinais x ( ) ω onde i < e < <. Iso é x i, i, i= ( ) = c ( ) ω (A.6) Os espaços V são aninhados denro deles mesmos. Iso é, { } V V V V V L Como vai para o infinio, V amplia-se para ornar odos os sinais de energia ( ) L. Como vai para o infinio negaivo, V regride apenas para o sinal zero. É claro das definições que odo sinal em V + é uma soma de um sinal em V e W pois: x i, i, i, i, +, ω, i= i= ( ) = c ( ) = c ω ( ) c ( ) ω (A.7)

84 Apêndice A 7 Iso é, pode-se escrever: V = W + V + Iso mosra que os espaços espaços adacenes V e V +. W são as diferenças (no senido de subespaço) enre os Os espaços V e W podem ser visualizados como segue Figura A.4. Espaços V e W. O ermo Análise de Múlipla Resolução refere-se a análise dos sinais em relação a esa seqüência de subespaços. Para er-se uma idéia melhor da análise de múlipla resolução, é necessário decompor um sinal x ( ) em V em poucas vezes. Pode-se uilizar a decomposição: V = V = V = V = V W + W + W + W W + W + W 3 + W + W + W Iso leva a várias decomposições:

85 Apêndice A 73 x ( ) = A = A = A 3 = A ( ) + D ( ) ( ) + D ( ) + D ( ) ( ) + D3 ( ) + D ( ) + D ( ) ( ) + D ( ) + D ( ) + D ( ) + D ( ) Onde D i ( ) em W i é chamado de dealhe para o nível i e ( ) aproximação para o nível i. A i em V é chamado de Os diferenes aspecos do sinal aparecem nos dealhes e nas aproximações. Os espaços V êm uma propriedade muio imporane relacionada ao empo de compressão pelos faores de. A.4.. A propriedade de duas escalas da Múlipla Resolução Um sinal x ( ) esá no espaço V se, e somene se ( ) x esá no próximo espaço V +. Iso segue da equação: ω i, ( ) = ωi+, ( ) (A.8) A invesigação da análise de múlipla resolução leva a uma função de escala, um par de filros discreos no empo, e um banco de filros de reconsrução perfeia que pode ser uilizado para calcular a DWT rapidamene. A.4.. A Função de Escala As waveles usuais ω ( ) êm uma função de escala ( ) subespaços de Múlipla Resolução V como segue. φ que pode produzir os Seam as funções filhas de escala, φ (A.9) ( ) = ( ), φ onde < < e < <. Para a wavele, a escala de φ ( ) é / e a posição é, /.

86 Apêndice A 74 De modo que os sinais no espaço escala φ ( ), < <,, deve-se enconrar a função ( ) V possam ser sineizados das funções filhas de φ. Uma vez que os espaços V são obidos de V pelo empo de compressão ou dilaação elevado a poência de, precisa-se somene verificar os espaços V. Assim, é necessário enconrar uma função φ ( ) de modo que os sinais em V possam ser sineizados das chamadas ranslações ineiras φ ( ) da função de escala. No caso da wavele Haar, as funções de escala são a caixa uniária arasada por / : que: Enão, ( ), φ ( ) = (A.) ouras pares φ é a caixa de comprimeno / esendendo de / a ( ) / +. Para consaar que as ranslações ineiras de φ ( ) formam uma base para V, noa-se ω φ / ( ) = ω ( ) =, ( ) = ( φ( ) φ( ) ), Por uma fórmula similar, pode-se sineizar ω ( ) de ( ) qualquer i negaivo. i, φ e suas ranslações para A.4..3 A Equação de Duas Escalas e os Filros Exise uma imporane equação conecando a função de escala a ela mesma para duas escalas de empo diferenes. Esa equação fundamenal é chamada de Equação de Duas Escalas e produz um dos filros. Exisem coeficienes do filro discreo no empo h ( n) al que:

87 Apêndice A 75 ( ) = h ( n) ( n) φ φ (A.) n Isso segue rivialmene da suposição que V V mas é provavelmene a equação mais imporane envolvendo a função de escala. Uma vez que W é ambém um subconuno de V, há ouras duas equações de escala para a wavele que produz um ouro filro h ( n), al que: ( ) = h ( n) ( n) ω φ (A.) n No caso da wavele de Haar, a função de escala é a caixa de largura esendendo do empo aé o empo. Segue que φ ( ) é a caixa de largura ½ esendendo do empo aé o empo ½. Similarmene, ( ) φ é a caixa de largura ½ esendendo do empo ½ aé o empo. Quando se adicionam essas duas funções caixa menores, obém-se φ ( ). Iso é, φ ( ) = φ( ) + φ( ) = φ ( ) + φ ( ) (A.3) O filro para a função de escala é h =, Figura A.4. A equação de duas escalas para a escala Haar. Similarmene, a wavele Haar pode ser expressa como:

88 Apêndice A 76 φ ( ) = φ( ) φ( ) = φ ( ) φ ( ) (A.4) O filro para o função de escala é h =, Figura A.4.3 A equação de duas escalas para a escala Haar. A.4. Banco de Filros [9] Foi viso previamene que a Análise de Múlipla Resolução permie decompor um sinal em aproximações e dealhes., ( ) No nível eórico iso é uma siuação de Análise-Sínese, iso é, emos as bases ( ) ω e uilizam-se essas bases para decompor o sinal. φ e, No nível práico, assume-se que o sinal é represenado por seus coeficienes de aproximação para alguma escala escalas maiores. J / e decompõe-se em ermos de seus coeficienes para Ambos os ponos de visa são necessários para um real enendimeno do assuno. Nesa seção será mosrado que os coeficienes de aproximação e dealhe podem ser compuados usando os filros previamene mencionados. Como se devem compuar esses coeficienes para muias escalas diferenes, necessia-se de um banco de filros.

89 Apêndice A 77 A.4.. Análise: Da Escala Fina à Escala Grosseira Na Transformada Wavele Discrea emos = + V W V. Iso é, cada sinal ( ) V pode ser expresso de dois modos usando as funções bases em cada um dos espaços. x em x ( ) = = ca ca ( ) φ ( ), ( ) φ ( ) cd ( ) ω ( ), +, (A.5) Inicia-se com os coeficienes A ( ) no índice de escala e produzimos os dois conunos de coeficienes A ( ) e ( ) D no índice de escala (análise). Alernaivamene, pode-se começar com dois conunos de coeficienes A ( ) e ( ) e os coeficienes A ( ) no índice de escala (sínese) são produzidos. D no índice de escala Figura A Visão da Análise/Sínese da DWT. Pode-se mosrar que as duas operações de Análise e Sínese são produzidas por deerminado banco de filros. Como as waveles e as escalas em cada nível de índice são orogonais, os coeficienes ca ( ) e ( ) D podem ser compuados pela equação do produo inerno usual: = x ( ), φ ( ), ca ( ) = = n n ca ca ( n) φ ( ), φ ( ), n, ( n) φ ( ), φ ( ), n, Para complear esse cálculo, é necessário compuar o produo inerno:

90 Apêndice A 78 φ ( ) φ ( ), n,, = = φ ( n) φ( ) φ( n) φ( )d d Considerando s =, em-se: φ ( ) φ ( ) φ( s + n) φ( s), n,, Uilizando a equação de duas escalas para φ ( s), = ds φ ( ) φ ( ), n,, = = m h φ ( s + n) h ( m) φ ( s ) ( m) φ( s + n) φ( s m) m ds m ds Assim: φ ( ) φ ( ) = h ( n ), n,, Pode-se agora complear o cálculo previamene iniciado: ( ) = h ( n ) ca ( n) ca (A.6) n Os coeficienes de dealhe podem ser compuados similarmene. = x ( ), ω ( ), cd ( ) = = n n ca ca ( n) φ ( ), ω ( ), n, ( n) φ ( ), ω ( ), n, Para complear ese cálculo, o produo inerno precisa ser compuado: φ ( ) ω ( ), n,, = = φ ( n) ω( ) φ( n) ω( )d d Considerando s = em-se:

91 Apêndice A 79 φ ( ) ω ( ) φ( s + n) ω( s), n,, Uilizando a equação de duas escalas para φ ( s), = ds φ ( ) ω ( ), n,, = = m h φ ( s + n) h ( m) φ ( s ) ( m) φ( s + n) φ( s m) m ds m ds Assim: φ ( ) ω ( ) = h ( n ), n,, Em cima da subsiuição desa fórmula no cálculo precedene, obém-se: ( ) = h ( n ) ca ( n) cd (A.7) n A.4.. Filragem e Sub-amosragem As duas fórmulas para os coeficienes de aproximação e dealhe parecem similares à convolução, mas exise uma sub-amosragem envolvida. ( ) = h ( n ) ca ( n) ca n ( ) = h ( n ) ca ( n) cd n Sub-amosrar um sinal de empo discreo x ( n) consise em omiir odos os ouros valores. Pode-se lembrar de um sisema cua enrada é x ( n) e cua saída é y( n) x( n) =. Figura A.4.5 Sub-amosragem.

92 Apêndice A 8 Enender as equações de aproximação e dealhe audará a definir os filros de empo h ~ n h n h ~ n h n. Uiliza-se emporariamene m = para visualizar a reverso ( ) ( ) convolução. = e ( ) ( ) = u ( m) = = n n ~ = h h ~ h ( n m) ca ( n) ( m n) ca ( n) ( m) ca ( m) próximo nível. Ao seguir ese filro pelo sub-amosrador, obêm-se os coeficienes de aproximação no Figura A.4.6 Filro e Sub-amosragem. O mesmo cálculo permanece para os coeficienes de dealhe. Iso é, a convolução com o filro inverido no empo h ( n) seguido pela sub-amosragem produz os coeficienes de dealhe no próximo nível. Figura A.4.7 Filro e Sub-amosragem. A.4..3 O Banco de Filros de Análise de Um Eságio Dever-se-ia realmene pensar nas operações com dois filros por sub-amosragem como um banco de filros. Têm-se analisado uma função x ( ) em V num dealhe ( ) aproximação ( ) cd ( ) e ( ) ca. D em W e numa A em V, aravés de um banco de filros para calcular os coeficienes

93 Apêndice A 8 ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D A cd ca ca,,, + = + = = ω φ φ A.4..4 O Banco de Filros de Análise Pode-se decompor ainda mais ( ) A para ober: ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D A cd cd ca D A,,, + + = + + = + = ω ω φ Pode-se enão decompor ( ) A para ober: ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D A cd cd cd ca D D A cd cd ca D A 3 3,, 3, 3 3, 3,,, = = + + = + + = + = ω ω ω φ ω ω φ Os coeficienes, ( ) ca m e ( ) cd m forma 3 =,, m pode ser calculado pela ieração ou cascaa do banco de filro de eságio único para ober um banco de filros de múliplo eságio.

94 Apêndice A 8 A.4..5 Sínese: Da Escala Grossa à Escala Fina A decomposição de um sinal numa aproximação e num dealhe pode ser inverida, iso é, pode-se iniciar com dois conunos de coeficienes A ( ) e ( ) e produzir os coeficienes A ( ) no índice de escala (sínese). Tem-se: D no índice de escala x ( ) = = = A ca ca ( ) φ ( ), ( ) φ ( ) + cd ( ) ω ( ), ( ) + D ( ), Do fao que ( ) φ,n é uma base orogonal para V em-se: = x ( ), φ ( ), ca ( n) = = = ca ca ca ( ) φ ( ) + cd ( ) ω ( ), φ ( ), ( ) φ ( ), φ ( ) + cd ( ) ω ( ), φ ( ),, n ( ) h ( n ) + cd ( ) h ( n ),, n,, n Esa equação de sínese pode ser enendida em ermos de super-amosragem e filragem. A.4..6 Super-Amosragem e Filragem As expressões: ( n) = ca ( ) h ( n ) u

95 Apêndice A 83 ( n) = cd ( ) h ( n ) v Parecem convoluções, mas a super-amosragem é envolvida. A super-amosragem de um sinal no empo discreo x ( n) consise em inserir zeros enre os valores. Pode-se pensar sobre um sisema com enrada x ( n) e saída y ( n) = x( n / ) para valores pares de n e y ( n) = para valores impares de n. filragem. As expressões para u ( n) e ( n) v consisem de uma super-amosragem seguida de A.4..7 O Banco de Filro de Sínese de Um Eságio Segue que a fórmula de sínese consise em adicionar as saídas dos coeficienes de dealhe e aproximação super-amosrados e filrados. Figura A.4.8 Sínese de um eságio.

96 Apêndice A 84 A.4..8 Banco de Filro de Reconsrução Perfeia Ao alimenar a saída do banco de filros de análise de um-eságio na enrada do banco de filros de sínese de um-eságio, obêm-se os coeficienes originais de vola. Pode-se dizer que há uma reconsrução perfeia do banco de filros. Figura A.4.9 Banco de Filros de Reconsrução Perfeia Noe que a naureza não casual dos filros do Banco de Análise não causa um problema na práica, uma vez que esamos raando com filros FIR. Isso significa que pode-se aplicar um araso fixo N para cada filro para ransformá-lo em casual anes de aplicar o sinal de enrada. Isso é o mesmo que arasar o sinal de enrada por N anes de aplicá-lo no banco de filros. Para ornar as coisas simples, assume-se que ambos os filros h ( n) e ( n) comprimeno + N. Se o empo do filro reverso h ( n) Casual Flip do filro h i ( n). h em é arasado por N, obém-se assim o Denoe os filros reversos por rh ( n) h ( N n) i =, =, i i. Filrar um sinal ( n) rh i ( n) é o mesmo que arasar o sinal por N e em seguida filrar por h ( n) x por. Assim, pode-se er um banco de filros consisindo de filros causais que dão uma reconsrução perfeia com um araso oal de N. Os filros de análise são rh ( n) e ( n) são h ( n) e ( n) h. rh enquano os filros de sínese

97 Apêndice A 85 Figura A.4. Banco de filros de reconsrução perfeia causal. A.4..9 O Banco de Filros de Sínese As saídas do banco de filros de múliplos eságios podem ser alimenadas em um banco de filros de sínese de múliplo eságio para reproduzir os coeficienes originais. Por exemplo, um banco de análise de nível 3 produz as saídas cd ( ), cd ( ), cd 3 ( ) e ( ) Eses são alimenados em um banco de filros de sínese como mosrado: ca 3.

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