2ª Série de Problemas para começar Mecânica e Ondas MEEC

Transcrição

1 2ª Série de Problemas para começar Mecânica e Ondas MEEC A. Um bloco com 60 kg de massa está num plano inclinado a 30º com a horizontal. A.a) Determine a aceleração do bloco. A.b) Determine a velocidade atingida pelo bloco depois de ter descido 10 m, supondo que partiu do repouso. A.c) A.d) A.e) Calcule a diferença de energia potencial entre o ponto inicial e final. Calcule a energia cinética no início e no final da descida. Verifique a conservação da energia mecânica. B. Numa lenda urbana recente, conta-se a história de uma reclamação de seguro que teria sido investigada e declarada como tentativa de fraude, na sequência de um acidente de motorizada. Um senhor teria apresentado a seguinte discrição de sinistro. Eu sou pedreiro e tinha acabado de fazer obras num apartamento no 6º andar de um prédio. Como tinha sobrado uma palete de tijolos com 240 kg de peso total, e a roldana na varanda exterior ainda estava montada, decidi enrolar bem a palete tijolos numa corda bem tensa, para depois os baixar calmamente. Passei a corda pela roldana e a ponta caíu para o chão. Desci ao rés-do-chão, fixei bem esse extremo da corda numa estaca bem enterrada no solo, e subi ao 6º andar onde gentilmente e com cuidado coloquei a palete no exterior do edifício, ficando a palete suspensa na corda. Voltei ao rés-do-chão e libertei a corda da estaca, segurando-a com muita força para descer a palete com cuidado. Ora, claro que não me ocorreu que, ao libertar a corda da estaca, mesmo que a segurasse bem, a palete com os tijolos iria cair e eu iria subir. E foi isso que aconteceu: Eu comecei a subir cada vez mais depressa e, quando ia no nível do 3º andar, choquei com a palete de tijolos, e parti as pernas; um pouco depois, entalei os dedos com toda a força na roldana, enquanto a palete tinha caído no chão, tendo-se partido os tijolos e ficando a corda a segurar os restos da palete. Reparei então para meu terror que estava mais pesado do que a palete, e portanto comecei a cair, tendo batido com as costas na palete (ao nível do 3º andar), e partindo os braços quando caí no chão. Nesse momento de dor larguei a corda. Naturalmente a palete caíu então em cima da minha cabeça, tendo partido a cabeça. Suponha que o 6º andar estava a 18m de altura, que o homem pesava 80 kg e que os restos de palete pesavam 10 kg, e despreze a massa da roldana fixa no tecto do 6º andar. B.a) Qual a aceleração de subida? Qual a altura a que ele já tinha subido passado um segundo?

2 B.b) Qual a velocidade com que ele embate com os dedos na roldana, assumindo que quando chocou com o barril no sentido ascendente teria momentaneamente perdido toda a velocidade? B.c) Qual a velocidade com que volta a chocar com o solo? E qual a velocidade com que os restos da palete lhe caem em cima? B.d) Qual o tempo total desde que ele começou a subir até estar tudo parado no chão? B.e) Faça um gráfico das distâncias ao chão do senhor e da palete em função do tempo.

3 Proposta de Resolução da 2ª Série de Problemas para começar Mecânica e Ondas MEEC A. Um bloco com 60 kg de massa está num plano inclinado a 30º com a horizontal. A.a) Determine a aceleração do bloco. As forças a atuar o bloco são o peso, na vertical e dirigido para baixo, e a reação do plano, perpendicular ao plano. A reação do plano é anulada pela componente do peso perpendicular ao plano. A componente do peso paralela ao plano, de módulo F P = mg sen 30º, é a resultante das forças e responsável pela aceleração do bloco, paralela ao plano e no sentido descendente: a = a P = F P /m = g sen 30º = g/2 = 4,9 m/s 2. A.b) Determine a velocidade atingida pelo bloco depois de ter descido 10 m, supondo que partiu do repouso. Num movimento uniformemente acelerado, a lei do movimento escreve-se s(t) = s 0 + v 0 t + 0,5at 2, em que s=s(t) s 0 é o deslocamento. Como v 0 é nulo neste caso, temos que o tempo que levou para se deslocar 10 m é t 2 = 2 s/a; a velocidade atingida é v = v 0 +at, e como v 0 =0, vem também v=a.t=a.[2 s/a] 1/2 =[2a s] 1/2 =9,90 m/s. Note-se que, se v 0 não fosse zero, então poderíamos ter usado a expressão v 2 =v a. s. A.c) Calcule a diferença de energia potencial entre o ponto inicial e final. A diferença de energia potencial é dada por E p =mg h, sendo h a diferença entre a altura ao solo do ponto inicial e final, que se pode obter do deslocamento: h = s. sen30º = 5m. Assim, E P = 5mg = 2940 J(Joule). A.d) Calcule a energia cinética no início e no final da descida. Como partiu do repouso, a energia cinética no início é nula. No final da descida, a energia cinética é E C = 0,5mv 2 =0,5x60x9,90 2 =30x98=2940 J. A.e) Verifique a conservação da energia mecânica. A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial. A variação da energia mecânica é E MEC = E C + E P = 0, pois, segundo os resultados das alíneas anteriores c) e d), E C e E P são simétricas e a sua soma é nula. B. Numa lenda urbana recente, conta-se a história de uma reclamação de seguro que teria sido investigada e declarada como tentativa de fraude, na sequência de um acidente de motorizada. Um senhor teria apresentado a seguinte discrição de sinistro. Eu sou pedreiro e tinha acabado de fazer obras num apartamento no 6º andar de um prédio. Como tinha sobrado uma palete de tijolos com 240 kg de peso total, e a roldana na varanda exterior ainda estava montada, decidi enrolar bem a palete tijolos numa corda bem tensa, para depois os baixar calmamente. Passei a corda pela roldana e a ponta caíu para o chão. Desci ao rés-do-chão, fixei bem esse extremo da corda numa estaca bem enterrada no solo, e subi ao 6º andar onde gentilmente e com cuidado

4 coloquei a palete no exterior do edifício, ficando a palete suspensa na corda. Voltei ao rés-do-chão e libertei a corda da estaca, segurando-a com muita força para descer a palete com cuidado. Ora, claro que não me ocorreu que, ao libertar a corda da estaca, mesmo que a segurasse bem, a palete com os tijolos iria cair e eu iria subir. E foi isso que aconteceu: Eu comecei a subir cada vez mais depressa e, quando ia no nível do 3º andar, choquei com a palete de tijolos, e parti as pernas; um pouco depois, entalei os dedos com toda a força na roldana, enquanto a palete tinha caído no chão, tendo-se partido os tijolos e ficando a corda a segurar os restos da palete. Reparei então para meu terror que estava mais pesado do que a palete, e portanto comecei a cair, tendo batido com as costas na palete (ao nível do 3º andar), e partindo os braços quando caí no chão. Nesse momento de dor larguei a corda. Naturalmente a palete caíu então em cima da minha cabeça, tendo partido a cabeça. Suponha que o 6º andar estava a 18m de altura, que o homem pesava 80 kg e que os restos de palete pesavam 10 kg, e despreze a massa da roldana fixa no tecto do 6º andar. B.a) Qual a aceleração de subida? Qual a altura a que ele já tinha subido passado um segundo? A força que atua o homem é F H = T 80g segundo a vertical (orientada para cima se positiva). T é a tensão na corda, que é igual ao longo de toda a corda. Portanto, a força que atua a palete de tijolos é F P = T 240g (note-se que é negativa). A aceleração da palete é simétrica da aceleração do homem (a corda mantém-se tensa), e é dada por a P = F P /M = (T 240g)/240 = a H = F H /m = (80g T)/80. Podemos assim eliminar a tensão da equação para escrever: T 240g = 240g 3T ó T = 480g / 4 = 120 g ó a H = (120g 80g)/80 = 0,5 g = 4,9 m/s 2. Como a aceleração é constante, podemos escrever a lei do movimento para o homem: y = y 0 + v 0y t + (g/2)t 2 = 2,45 t 2 [m] ó y(t=1s) = 2,45 m. B.b) Qual a velocidade com que ele embate com os dedos na roldana, assumindo que quando chocou com o barril no sentido ascendente teria momentaneamente perdido toda a velocidade? Portanto a 9m do solo, volta a ter velocidade nula. Mas a aceleração não é alterada. Para saber a velocidade que vai ganhar nos 9 m que ainda vai subir, pode-se usar a expressão * (válida para aceleração constante): v 2 =v a Δs, em que a = 4,9 m/s 2 e Δs é o deslocamento, Δs = 9 m neste caso. Temos v=(2 4,9 9) 1/2 = 9,39 m/s (Ai!). B.c) Qual a velocidade com que volta a chocar com o solo? E qual a velocidade com que os restos da palete lhe caem em cima? Quando o homem começa a descer, a palete pesa apenas 10 kg, porque os tijolos se partiram todos. Assim, a aceleração de descida vem de: F = ( )g = (m H + m P ) a H ó a H = (7/9) g = 7,62 m/s 2. A * Δs = y y 0 = v 0Y t + (g/2)t 2 e v = v 0Y + gt ó t = (v v 0Y )/g e Δs = v 0Y (v v 0Y )/g + (g/2)((v 2 2v 0Y v + v 0Y 2 )/g 2 ) ó 2gΔs = 2v 0Y v 2v 0Y 2 +v 2 2v 0Y v+v 0Y 2 = v 2 v 0Y 2 ó v 2 = v 0Y g Δs

5 velocidade de choque com o solo é assim: v solo 2 = 2 a Δs ó v solo = (2 7,62 18) 1/2 = 16,6 m/s. Depois do homem cair no chão e largar a corda, a palete tem apenas a aceleração da gravidade, e portanto a velocidade com que a palete lhe cai em cima da cabeça é: v P = (2 9,8 18) 1/2 = 18,8 m/s (Ui!). B.d) Qual o tempo total desde que ele começou a subir até estar tudo parado no chão? Como as acelerações são diferentes, temos de separar o problema em 4 partes, do ponto de vista do homem (por ex.): subida até 9 m (1º choque com a palete), subida dos 9 m aos 18 m, queda do homem, queda da palete. A relação entre o tempo e a posição y(t), no movimento uniformemente acelerado com aceleração a é y(t) = y 0 + v 0Y t + (a/2) t 2. Assim o tempo total é o instante t 4 em que a palete bate na cabeça do homem, lembrando que em cada fase podemos ter um a diferente. Temos então t 1 = (2y(t 1 )/a 1 ) 1/2 = 1,92 s, t 2 = t 1 +(2(y(t 2 ) 9)/a 2 ) 1/2 = 1,92+1,92 = 3,83 s, em que em ambos os casos temos a = 4,9 m/s 2, t 3 = t 2 + (2(y(t 3 ) 18)/a 3 ) 1/2 = 3,83+2,17 = 6,00 s, com a = 7,62 m/s 2 e finalmente temos, com a 4 = 9,8 m/s 2, t 4 = t 3 + (2(y(t 3 ) 18)/a 4 ) 1/2 = 6,00 + 1,92 = 7,92 s. B.e) Faça um gráfico das distâncias ao chão do senhor e da palete em função do tempo. No gráfico seguinte, a curva mais avermelhada é a da palete; a curva violeta é a do homem, e devia terminar perto do valor 6s (o homem não voltar a subir depois de caído no chão).