Fundamentos de Matemática

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1 Universidade Federal do Piauí Campus Ministro Reis Velloso Departamento de Matemática Fundamentos de Matemática por Cleyton Natanael Lopes de Carvalho Cunha Parnaiba, de 20

2 Sumário 1 Teoria Elementar dos Conjuntos Conceitos Primitivos Conjunto Universo Subconjuntos Conjunto das Partes Operações com Conjuntos Exercícios Relações Par Ordenado e Produto Cartesiano Relação Binária Propriedades das Relações Binárias Relações de Equivalência Classes de Equivalência Relações de Ordem Minorantes e Majorantes Funções Tipos de Funções Operações Binárias Propriedades das Operações Isomorfismos Exercícios Números Naturais Axiomas de Peano

3 Sumário Operações em N Adição Multiplicação Relação de Ordem em N Potências e Multiplos Exercícios Números Inteiros Construção de Z Operações em Z Adição e Multiplicação Subtração Relação de Ordem em Z Imersão de N em Z Exercícios Aritmética dos Inteiros Valor Absoluto Divisores e Números Primos Sistema de Numeração MDC e MMC Exercícios Números Racionais Construção de Q Operações em Q Adição e Multiplicação Subtração e Divisão Relação de Ordem em Q Imersão de Z em Q Densidade e Propriedade Arquimediana de Q Exercícios

4 Sumário 3 7 Números Reais Cortes de Dedekind Operações em R Adição e Subtração Relação de Ordem Multiplicação e Divisão Teorema do Supremo Exercícios A Noções Básicas de Lógica Matemática 75 A.1 Regras Fundamentais da Lógica Matemática A.2 Valores lógicos de proposições compostas (Tabelas - Verdade) A.3 Implicações Lógicas A.4 Equivalências Lógicas A.5 Quantificadores A.5.1 Negação de Quantificadores A.6 Teoremas, Corolários e Lemas A.6.1 Condições Necessárias e Condições Suficientes A.7 Como demonstrar um teorema? A.7.1 Passos de uma Demonstração A.7.2 Demonstração Direta A.7.3 Demonstração Indireta A.7.4 Demonstração por Indução A.8 Exercícios Bibliografia 104

5 Capítulo 1 Teoria Elementar dos Conjuntos 1.1 Conceitos Primitivos Neste capítulo introduziremos algumas nocões básicas da teoria de conjuntos. Não apresentaremos uma exposicão axiomática e rigorosa da teoria, mas sim uma exposicão intuitiva e simples, incluindo apenas o material e a terminologia que usaremos mais adiante. Assim como a noção de ponto na Geometria Euclidiana, aqui admitiremos como termos primitivos, isto é, sem uma explicação formal do seu significado: Conjuntos, Elemento e Relação de Pertinência. Procuremos, no entanto, explicar em termos intuitivos o significado destas noções. A noção de conjunto é, intuitivamente, a do senso comum, isto é, a idéia dada pela palavra Coleção. Assim, conjunto significa coleção de objetos. Objetos estes que denominam-se elementos do conjunto. Indicaremos os conjuntos por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C, etc. Quanto aos seus elementos, serão indicados por letras minúsculas do alfabeto latino; a, b, c, etc. Chamamos a atenção do leitor para o fato de um elemento de um conjunto poder ser qualquer coisa, por exemplo: uma cadeira, uma fruta, uma matriz 2 2, uma pessoa, e etc. É importante saber que mesmo um conjunto pode ser também um elemento de um outro conjunto. Exemplo A = {a, b, c, d}. Exemplo B = {estudantes do curso de licenciatura em matematica da UFPI/CMRV}. 1

6 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos 2 Exemplo Alguns conjuntos numéricos: N = {1, 2, 3, 4, }, Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }. { Exemplo M 2 (Z) = a } 1 a 2 ; a 1, a 2, a 3, a 4 em Z. a 3 a Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjuntos com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio ( ). Exemplo Conjunto dos meses do ano que possuem menos de 30 dias: {fevereiro}. Em geral um conjunto fica determinado pela enumeração de seus elementos ou por uma propriedade P comum de seus elementos. Exemplo A = {1, 2, 3, 4, 5}. Exemplo B = {x ; x é um número inteiro e x > 2}. O conjunto vazio pode ser obtido descrevendo um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa. Exemplo {x Z; x > 0 e x < 0} =. Observação 1.1. Quando representamos um conjunto mediante uma lista, as repeticões e a ordem na qual aparecem os elementos na lista são irrelevantes. Por exemplo, o conjunto A = {a, b, c} é também representado como A = {b, c, a} ou A = {a, c, b}. Dado um conjunto A, se x é um elemento de A diremos que x pertence a A e escreveremos : x A. Se x não for um elemento de A diremos que x não pertence a A e escreveremos x A. Em [Halmos] o autor comenta a simbologia adotada acima para relação de pertinência, o mesmo diz que a versão da letra grega epsilon ( ) é tantas vezes usada para denotar

7 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos 3 pertinência que seu emprego é proibido para indicar qualquer outra coisa em Matemática. A maioria dos autores deixa para sempre na teoria dos conjuntos e usa ε quando necessita da quinta letra do alfabeto grego. Uma outra relação entre conjuntos, mais elementar do que a de pertinência, é a de igualdade. Definição 1.1. Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A é igual à B, e denota-se por A = B, se eles tem os mesmos elementos. Assim, A = B ( x)(x A x B). O fato de A e B não serem iguais é expresso escrevendo A B. Note que para ter A B é suficiente garantir a existencia de um x A tal que x B, ou vice-versa. 1.2 Conjunto Universo Em Teoria dos Conjuntos, para evitar ambiguidades, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo. Por exemplo, o conjunto A = {x ; 2 x 2} das soluções da inequação x 2 é tal que se x R é um conjunto infinito ao passo que se x Z então A = { 2, 1, 0, 1, 2}, o qual é finito. Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o ambiente em que estamos trabalhando. Tal ambiente é usualmende denominado Conjunto Universo e denotado por U, ficando claro que o termo universo é empregado no sentido de universo de discurso. Exemplo Se estudamos Geometria Plana, o conjunto universo é o conjunto dos pontos de um plano: U = {(x, y); x R e y R} = R 2. Exemplo Se estudamos máximo divisor comum (m.d.c.), o conjunto universo é, em geral, U = Z. 1.3 Subconjuntos Sejam A e B conjuntos de um mesmo conjunto universo U.

8 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos 4 Definição 1.2. Diz-se que A é um subconjunto de B, e indica-se por A B, se para todo x A tem-se x B. Ou seja, A B ( x)(x A x B). O símbolo é dito sinal de inclusão e significa contido em. Exemplo N Z Q R. Exemplo A, para todo conjunto A. De fato, se ocorrer o contrário deve existir algum elemento de que não pertence a A. Desde que não possui elementos, tem-se um absurdo. Conclusão: A não é falso, e portanto A para todo conjunto A. Exemplo A, B U e A A. A negação de A B será indicada por A B e significa que existe x A tal que x B: A B ( x)(x A e x B). Proposição 1.1. Dados os conjuntos A, B e C U, temos: (i) A = B A B e B A; (Anti-Simetria) (ii) A = A; (Reflexividade) (iii) A B e B C A C. (Transitividade) Demonstração. (i) Ora, A = B A e B possuem os mesmos elementos todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A A B e B A. (ii) Consequência imediata de (i). (iii) Dado x A temos x B. Daí, como B C, segue que x C. Sendo x A arbitrário temos A C.

9 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos 5 Em virtude da proposição acima item (i), temos que quase toda demonstração de igualdade entre dois conjuntos A e B se dividem em duas partes, deve-se primeiro mostrar que A B e depois mostrar que B A. Por outro lado, vale a seguinte equivalência A B (A B ou B A). Observação 1.2. Observe que a pertinência ( ) e a inclusão ( ) são na verdade coisas conceitualmente diferentes. A pertinência relaciona elemento e conjunto enquanto a inclusão relaciona dois conjuntos. Mais ainda, a inclusão é reflexiva e transitiva e a pertinência não. Definição 1.3. Se A B e A B, diz-se que A é um subconjunto próprio de B e indica-se por A B. Exemplo N Z, pois 1 Z e 1 N. Exemplo Q R, pois π R e π Q. 1.4 Conjunto das Partes Para todo conjunto E admitimos a existência de um outro conjunto P(E) cujos elementos são os subconjuntos de E. Tal conjunto é denominado conjunto das partes de E. Assim, P(E) = {X ; X E}. Note que P(E) é caracterizado pelo fato de X E X P(E). Exemplo E = {a, b}; P(E) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Exemplo P( ) = { } e P({ }) = {, { }}. Prova-se que se E possui n elementos então P(E) possui 2 n elementos. Devido a esse fato alguns autores chamam o conjunto das partes de E de conjunto potência de E denotando o mesmo por 2 E. Nestas notas utilizaremos a notação usual P(E). Observação 1.3. O número de elementos de um conjunto E será denotado por #E. Assim, temos # = 0 e, se #E = n, #P(E) = 2 n.

10 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos Operações com Conjuntos Nesta parte vamos introduzir as leis básicas de formação e operação com conjuntos. Aqui consideraremos os conjuntos em questão contidos num mesmo conjunto universo. Definição 1.4 (União). Dados dois conjuntos A e B, definimos a união A B de A e B como sendo o conjunto A B = {x ; x A ou x B}. Em outros termos, a união de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a um ou ambos os conjuntos A e B. Definição 1.5 (Interseção). Dados dois conjuntos A e B, definimos a interseção A B de A e B como sendo o conjunto A B = {x ; x A e x B}. Ou seja, a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a ambos os conjuntos A e B. Observação 1.4. Se A B = diz-se que os conjuntos A e B são Disjuntos. As propriedades formais das operações de união ( ) e interseção ( ) são colocadas no seguinte resultado: Teorema 1.1. Dados os conjuntos A, B, C, temos: (i) A A = A = A A; (Reflexiva) (ii) A B = B A e A B = B A; (Comutativa) (iii) (A B) C = A (B C) e (A B) C = A (B C); (Associativa) (iv) A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C); (Distributiva) Demonstração. Os itens (i)-(iii) ficam como exercícios para o leitor. Demonstremos então o item (iv) 1. Dado x A (B C) temos que x A ou x B C. Se x A então x A B e x A C, donde x (A B) (A C). Se x B C, então x B e x C, donde x A B e x A C e, portanto, x (A B) (A C). Assim, em qualquer caso, x A (B C) x (A B) (A C). Logo, A (B C) (A B) (A C).

11 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos 7 Reciprocamente, dado x (A B) (A C) temos x A B e x A C. Ou seja, (x A ou x B) e (x A ou x C). Daí segue que x A ou x B C (recorde a regra de substituição: distributiva!). Assim, (A B) (A C) A (B C). Portanto, vale (iv) 1. Embora as operacões e foram definidas para dois conjuntos, podemos generalizar e reescrever a definicão para mais de dois conjuntos, mesmo para famílias de conjuntos. Definição 1.6. Sejam Λ um conjunto não vazio e X um conjunto. Se a cada elemento λ Λ corresponde um único conjunto A λ X, dizemos que a coleção F = {A λ } λ Λ é uma família de elementos de X indexada pelo conjunto Λ. O conjunto Λ é denominado conjunto de índices da família. Note que uma família F = {A λ } λ Λ de elementos de X é um subconjunto de P(X). Os índices λ Λ servem como indicativo para os subconjuntos de X que estamos considerando bem como a quantidade dos mesmos. Assim, a grosso modo, uma família de elementos de um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X. Observamos que qualquer conjunto não vazio pode servir como conjunto de índices de uma família de conjuntos. Exemplo Seja X um conjunto não vazio. Para cada x X defina o conjunto A x = {x} e a família F = {A x } x X. Neste caso tem-se Λ = X. Exemplo Sejam Λ = I n = {1, 2,, n} um conjunto de índices e X um conjunto. Uma família de elementos de X indexada por I n é o conjunto F = {A λ } λ In = {A 1, A 2,, A n }. No caso geral, Λ = N e F = {A λ } λ N = {A 1, A 2,, A n, }. Definição 1.7. Seja F = {A λ } λ Λ uma família de conjuntos com índices em Λ. Define-se a união e a interseção da família F do seguinte modo A λ = {x; x A λ para algum índice λ Λ} λ Λ e A λ = {x; x A λ λ Λ}. λ Λ Exemplo Considerando a família do exemplo 1.5.1, temos A x = X e x X A x =. x X

12 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos 8 Exemplo Nas famílias do exemplo 1.5.2, temos A λ = λ I n e A λ = λ I n No caso de Λ = N, temos n A λ = A 1 A 2 A n λ=1 n A λ = A 1 A 2 A n. λ=1 A λ = A λ = A 1 A 2 A n λ N λ=1 e A λ = A λ = A 1 A 2 A n. λ N λ=1 Exemplo Para cada n N, consideremos o conjunto A n = { n, n + 1,, 1, 0, 1,, n 1, n}. Então A n = Z e A n = { 1, 0, 1}. n N n N Pode-se provar com um pouco de esforçoo, que a união de famílias distribui sobre a interseção e que a interseção de famílias distribui sobre a união. Definimos a seguir uma outra operação entre conjuntos. Definição 1.8 (Diferença). Sejam A e B conjuntos. Definimos o conjunto diferença A\B como sendo A\B = {x ; x A e x B}. É importante observar que, se A e B são conjuntos, A\B e B\A são, em geral, conjuntos diferentes. Também é claro que A\B A. Exemplo Sejam A = {x Z ; x 3} e B = {x Z ; x 2}. A\B = {x Z ; x 3} e B\A = {x Z ; x 4}. Então Note que não se exige que B seja um subconjunto de A para formar a diferença A\B. Quando A e B são disjuntos tem-se A\B = A. Quando se tem B A, a diferença A\B chama-se o complementar de B em relação a A e esceve-se C A B = A\B. Assim,

13 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos 9 Definição 1.9 (Complementar). Sejam A e B conjuntos com B A. O complementar de B em relação a A é o conjunto C A B definido por C A B = A\B. No caso do complementar de X em relação ao conjunto universo U, diz-se apenas o complementar de X e usa-se a seguinte notação C U X = X c. Observe ainda que, neste caso, temos x X c x X. Exemplo No exemplo 1.5.6, considerando U = Z temos A c = {x Z ; x < 3} e B c = {x Z ; x > 2}. Exemplo Considerando U = N e A = {n N ; n é par} temos A c = {n N ; n é ímpar}. Teorema 1.2. Sejam A e B conjuntos contidos num mesmo conjunto universo U. Então, (i) Se A B, então B c A c ; (ii) (A c ) c = A; (iii) c = U e U c = ; (iv) A\B = A B c ; (v) [Leis de De Morgan] (A B) c = A c B c e (A B) c = A c B c. Demonstração. Deixamos a cargo do leitor as demonstrações dos itens (i)-(iv). Provemos as Leis de De Morgan. (v) (1) (A B) c = A c B c. Com efeito, x (A B) c x A B x A e x B x A c B c. Portanto, (A B) c = A c B c. (2) (A B) c = A c B c. Com efeito, x (A B) c x A B x A ou x B x A c B c. Logo, (A B) c = A c B c.

14 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos 10 As leis de De Morgan podem ser generalizadas, sem dificuldade, a uniões e interseções de famílias de conjuntos da seguinte maneira: Se F = {A λ } λ Λ é uma família de elementos de um conjunto X, então ( ) c A λ = e 1.6 Exercícios λ Λ λ Λ A c λ ( ) c A λ = A c λ. λ Λ λ Λ Nos problemas listados abaixo os conjuntos considerados são subconjuntos de um mesmos conjunto universo U. 1. Sejam A, B e C conjuntos. a) Mostre que se A B e B C, então A C. b) Mostre que se A B e B C, então A C. 2. Mostre que: a) A B = A B se, e somente se, A = B. b) A B = A se, e somente se, A B. 3. Mostrar que se A C, então A (B C) = (A B) C. 4. Mostre que B = A c se, e somente se, A B = E e A B =. 5. Verificar as seguintes igualdades: a) A (A c B) = A B. b) A (A c B) = A B. c) A (B (A C)) = A (B C). d) (A\ B) (A\ C) = A\ (B C). e) A\ (B\ A) = A. 6. Sejam A = {x R; x 2 + 2x 1 > 0} e B = {x R; x + 1 > 0}. Determine: x + 2 a) A B; b) A c B; c) A B c ; d) A c B c.

15 Capítulo 1. Teoria Elementar dos Conjuntos Defina A B = A c B c. Mostre as seguintes igualdades: a) A A = A c b) (A A) (B B) = A B c) (A B) (A B) = A B. 8. Sejam A, B E. O conjunto A B = (A\ B) (B\ A) é denominado diferença simétrica entre A e B. Mostre que: a) (A B) C = A (B C). b) A B = B A. c) A (B C) = (A B) (A C). d) A A = e A = A. 9. Sejam A e B conjuntos. Mostre que P(A) P(B) se, e somente se, A B. 10. Prove que : a) P(A B) = P(A) P(B); b) P(A B) P(A) P(B); c) P(A) P(A c ) = P( ) = { }. 11. Mostrar que se A possui n elementos, então P(A) possui 2 n elementos. 12. a) Se A 1 = {1, 10}, A 2 = {2, 4, 6, 10}, A 3 = {3, 6, 9}, A 4 = {4, 8} e Λ = {1, 2, 3, 4}, determine A λ e A λ. λ Λ λ Λ b) Se A λ = [0, 1 ] e Λ = N, determinar A λ e A λ. λ λ Λ λ Λ ( ) c c) Prove que A λ = ( ) c A c λ e A λ = A c λ. λ Λ λ Λ λ Λ λ Λ

16 Capítulo 2 Relações A noção de Relação Binária está presente em praticamente toda a fundamentação lógica da construção dos conjuntos numéricos além de ser parte importante do universo matemático. Assim dedicamos este capítulo para o estudo deste importante conceito. Antes, porém, para um bom aprendizado deste conceito estudaremos inicialmente as noções de par ordenado e produto cartesiano. 2.1 Par Ordenado e Produto Cartesiano Intuitivamente um par ordenado é um par de objetos cuja ordem em que estão listados tem importância. No que segue torna-se preciso matematicamente o conceito de par ordenado. Consideremos um conjunto A e a, b A, e suponha que queiramos considerar os elementos na ordem ab. Para indicar que a é o primeiro elemento consideramos o conjunto unitário formado pelo mesmo, {a}, para indicar que b é o segundo considera-se o conjunto com dois elementos formado por a (primeiro elemento) e por b, {a, b}, e para completar a tradução considera-se o conjunto C = {{a}, {a, b}}. Reciprocamente, uma rápida análise do conjunto C permite recuperar a ordem imposta nos elementos a, b A. Procura-se o menor elemento de C, no sentido de está contido em todos os outros. Desde que {a} satisfaz a procura temos que a deve ter sido o primeiro elemento. Olha-se a seguir o segundo menor elemento, desde que {a, b} satisfaz a procura, já sendo a o primeiro elemento, segue que b deve ser o segundo elemento. Assim recupera-se a ordenação ab em A. Logo, o conjunto C, com o roteiro acima, traduz matematicamente a ordenação 12

17 Capítulo 2. Relações 13 ab. ab {{a}, {a, b}} Se a ordem desejada fosse ba, teríamos C = {{b}, {a, b}}. seguinte Dessa forma temos a Definição 2.1. Dados A um conjunto não vazio e a, b A, definimos o par ordenado (a, b) como sendo o conjunto {{a}, {a, b}} P(A). Assim, (a, b) = {{a}, {a, b}} e (b, a) = {{b}, {a, b}}. Observação 2.1. A definição de par ordenado dada acima evidencia dois fatos importantes, a saber: (1) Em geral (a, b) (b, a), valendo a igualdade se, e somente se, a = b; (2) (a, b) {a, b}. Com o teorema seguinte recuperamos a noção que tinhamos intuitivamente de par ordenado, isto é, Teorema 2.1. Sejam A um conjunto e a, b, c, d A. Então, (a, b) = (c, d) a = c e b = d. Demonstração. Se a = c e b = d, então {a} = {c} e {a, b} = {c, d}. Daí, (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} = (c, d). Suponhamos agora que (a, b) = (c, d). Se a = b, então temos {a, b} = {a} = {{a}} = {{c}, {c, d}} = {c} = {c, d} = {a} = b = a = c = d. Logo, em particular, a = c e c = d. Se a b, então (a, b) = (c, d) implica em {a} = {c} ou {a} = {c, d}. {a} = {c, d}, então a = c = d donde Se for {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, c}} = {{c}} = {a, b} = {c} = a = c = b = a = b, um absurdo. Logo devemos ter {a} = {c}, donde, a = c. Daí, (a, b) = (c, d) = {{a}, {a, b}} = {{a}, {a, d}} = {a, b} = {a, d} = b = d, pois a b = {a, b} {a}. Portanto, a = c e b = d.

18 Capítulo 2. Relações 14 No que segue utilizaremos a noção de par ordenado segundo o teorema acima, ou seja, Dados a, b A o par ordenado (a, b) é uma lista binária tal que se c, d A e (a, b) = (c, d) então a = c e b = d. Sejam A e B conjuntos não vazios. Definição 2.2. Chama-se Produto Cartesiano de A por B ao conjunto A B = {(x, y) ; x A e y B}. Graficamente temos: Figura 2.1: Observe que A B P(P(A B)). Exemplo Considere A = {1, 3} e B = {1, 2, 3}. Então: A B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} e B A = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}. Note que A B B A. Figura 2.2: Exemplo Se A = ou B =, então A B =. 2.2 Relação Binária Na linguagem comum o termo Relação significa Conexão existente entre objetos. No caso de Relação Binária, tal conexão deve ocorrer entre dois objetos. Assim, é natural o uso da teoria dos conjuntos através da noção de par ordenado para obter uma definição rigorosa de Relação Binária, isso devido a arbitrariedade da expressão dois objetos. Para entender melhor esta última afirmação, vejamos um exemplo. Consideremos a expressão x é o chefe de y. (2.1)

19 Capítulo 2. Relações 15 Olhando para tal expressão somos tentados, em virtude da noção intuitiva de relação binária, a considerar os pares ordenados (x, y), nos quais x é um chefe e y um empregado de x. Se denotarmos por A o conjunto dos chefes e por B o conjunto dos empregados, temos que (2.1) determina um conjunto R A B. Reciprocamente, se somos apresentados ao conjunto A B dos pares ordenados que correspondem a associação chefe-empregado deveríamos poder dizer quando x é ou não o chefe de y. Teríamos que verificar somente se o par (x, y) pertence ou não ao conjunto em questão. Na situação descrita acima fica claro a forte ligação existente entre relações e conjuntos: cada relação determina, de modo único, o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) nos quais x está se relacionando com y, segunda a relação em questão, e, se conhecemos o conjunto conhecemos a relação. Dessa forma temos a seguinte definição. Definição 2.3. Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma Relação Binária, ou simplesmente Relação, de A em B é um subconjunto R A B. Com a definição acima, se R é uma relação de A em B dizer que x está se relacionando com y segundo R significa que o par ordenado (x, y) R. E tal fato será indicado por xry. Ou seja, xry (x, y) R x se relaciona com y segundo R. Observação 2.2. Na definição acima se A = B, uma relação R de A em B é dita apenas uma relação sobre A (ou sobre B!). Exemplo A B e são as relações triviais de A em B. Exemplo Se A = {1, 2, 3}, então R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 3)} é uma relação binária sobre A. Exemplo Seja A um conjunto qualquer, e seja S = {(x, y) A A ; x = y}. Temos que S é a relação de igualdade entre os elementos de A. Assim, se x e y estão em A, então xsy significa o mesmo que x = y. Exemplo Seja X um conjunto qualquer, e seja T o conjunto dos pares ordenados (x, A) X P(X) para os quai x A. Ou seja, T = {(x, A) X P(X) ; x A}.

20 Capítulo 2. Relações 16 Temos que T é uma relação de X em P(X). Mais ainda, T é a relação pertence a entre os elementos de X e os subconjuntos de X. Portanto, se x X e A X, então xta significa que x A. Associados a cada relação R A B existem dois conjuntos chamados de DOMÍNIO e IMAGEM de R e denotados respectivamente, por D(R) e Im(R). Os mesmos são definidos a seguir: D(R) = {x A ; y B de modo que xry} e Im(R) = {y B ; x A de modo que xry}. Exemplo No exemplo temos D(A B) = A, Im(A B) = B e D( ) = Im( ) =. Exemplo No exemplo temos D(R) = {1, 3} e Im(R) = A. Exemplo Nos exemplos e temos, respectivamente, D(S) = Im(S) = A, D(T) = X e Im(T) = P(X)\{ }. Conforme vimos acima a noção de relação binária acha-se intimamente ligado a noção de produto cartesiano, e com isso pôde-se definir rigorosamente o que se entende em matemática por relação. No entanto, é sempre útil termos em mente a noção intuitiva de relação binária, a saber, uma relação binária R entre os elementos de um conjunto A e os elementos de um conjunto B é uma condição ou um conjunto de condições que permitem determinar, dados x A e y B, se x está ou não se relacionando com y segundo R. Por exemplo na relação de pertinência a condição que nos permite escrever x X A, com x elemento de A, é x está no conjunto X. Em R, a condição que permite escrever x < y é y x > 0. A noção intuitiva acima burla a abstração proveniente da Definição 2.3 de relação como um conjunto. Mais ainda, a noção intuitiva induz uma dinâmica no conceito de relação, isto é, transmite a idéia de relação como correspondência ou transformação. Tal idéia será últil mais adiante quando definirmos função. Por enquanto vejamos algumas das propriedades das relações binárias.

21 Capítulo 2. Relações Propriedades das Relações Binárias Definição 2.4 (Reflexiva). Uma relação R sobre A é dita Reflexiva se para todo x A tem-se xrx. Ou seja, se, e somente se, R contém a diagonal = {(x, x) ; x A} A A. Exemplo Sejam A = {1, 2, 3}, R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} e S = {(1, 3), (2, 1), (3, 3)}. Temos que R é reflexiva e que S não é reflexiva. Exemplo A relação de igualdade (em qualquer conjunto) é uma relação reflexiva, pois para todo x vale x = x. Exemplo Seja E =conjunto de todas as retas de um plano α. paralelismo P: xpy x coincide com y ou x y =, A relação de é uma relação reflexiva. Em geral, na relação de paralelismo substitui-se a notação P por duas barras paralelas //. Assim, x P y x // y. Definição 2.5 (Simétrica). Uma relação R sobre um conjunto A é dita simétrica se para todos x, y A vale a implicação xry yrx. Isto é, toda vez que (x, y) pertence a R então (y, x) deve também pertencer a R. Em caso contrário, ou seja, se existem x, y A com x y tais que (x, y) R e (y, x) R, então R não será simétrica. Exemplo Sejam A = {1, 2, 3}, R = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)} e S = {(1, 3), (2, 1), (3, 3)}. Temos que R é simétrica e que S não é simétrica, pois (1, 3) S mas (3, 1) S. Exemplo A relação de igualdade (em qualquer conjunto) é uma relação simétrica, pois para todos x, y vale x = y y = x. Exemplo Se A = P(B), onde B = {1, 2, 3, 4, 5}, temos que a relação XRY X Y, não é simétrica. De fato, X = {1, 2} Y = {1, 2, 3} mas Y X, já que 3 Y e 3 X.

22 Capítulo 2. Relações 18 Consideremos um conjunto A munido de uma relação de igualdade, a qual denotaremos simplismente por =. Definição 2.6 (Anti-Simétrica). Uma relação R sobre A é dita anti-simétrica se para todos x, y A vale a implicação xry e yrx x = y. Como anteriormente, interpreta-se a implicação acima da seguinte forma: Toda vez que (x, y), (y, x) R necessariamente devemos ter x = y. Assim, afim de que uma relação R A A não seja anti-simétrica é necessário e suficiente que existam x, y A com x y tais que (x, y), (y, x) R. Exemplo Sejam A = {a, b, c}, R = {(a, a), (a, c)} e S = {(a, a), (a, c), (c, a)}. Temos que R é anti-simétrica e S não é anti-simétrica, pois (a, c) e (c, a) estão em S mas a c. Exemplo Dado um conjunto A, a relação de inclusão sobre P(A): XRY X Y, é anti-simétrica. Pois, X Y e Y X X = Y. Definição 2.7 (Transitiva). Uma relação R sobre um conjunto A é dita transitiva se para todos x, y, z A vale seguinte implicação xry e yrz xrz. Exemplo Sejam A = {a, b, c, 1, 2, 3}, R = {(a, a), (2, 2), (a, 2), (1, c), (2, b), (a, b)} e S = {(a, 1), (1, c), (c, a)}. Temos que R é transitiva e S não é transitiva, pois (a, 1) e (1, c) estão em S mas (a, c) S. Exemplo Dado um conjunto A, a relação de inclusão sobre P(A): XRY X Y, é também transitiva. Pois, X Y e Y Z X Z.

23 Capítulo 2. Relações Relações de Equivalência O conceito de relação de equivalência permeia grande parte destas notas. Por isso, destacamos uma seção inteira para tratar do assunto. Aqui admitiremos a noção intuitiva dos conjuntos núméricos e das suas propriedades básicas com o propósito de obter exemplos interessantes. Não esquecendo que nosso objetivo nos capítulos seguintes é construir de modo rigoroso tais conjuntos. Ultilizaremos a notação usual para os conjuntos númericos. Definição 2.8. Seja E. Uma relação R sobre E é dita uma Relação de Equivalência se E 1 ) R é Reflexiva; E 2 ) R é Simétrica; E 3 ) R é Transitiva. Exemplo Dado E = {a, b, c}, temos que R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)} é uma relação de equivalência sobre E. No entanto, S = {(a, a), (c, c), (a, c), (c, a), (a, b)} não é uma relação de equivalência, pois não é reflexiva (e nem simétrica!): (b, b) S. Exemplo Dados E = Z e m Z com m 1, consideremos a seguinte relação sobre Z denominada Congruência Módulo m x y (mod. m) m x y, isto é, x y (mod. m) x y = km, para algum k Z. Temos que (mod. m) é uma relação de equivalência sobre Z. De fato, (E 1 ) Tomando k = 0 temos x x = 0 m, donde x x (mod. m). (E 2 ) Se x y (mod. m), então x y = km (y x) = km y x = ( k)m, logo y x (mod. m).

24 Capítulo 2. Relações 20 (E 3 ) Se x y (mod. m) e y z (mod. m), então x y = k 1 m y z = k 2 m, daí, somando as duas equações, temos x z = (k 1 + k 2 )m x z (mod. m). Exemplo Sendo E =conjunto de todas as retas de um plano α, temos que a relação de paralelismo x // y x y ou x y =, é uma relação de equivalência sobre E. Verifique!! Classes de Equivalência Uma relação de equivalência sobre um conjunto E na prática funciona como uma espécie de seletor natural, separando e colecionando os elementos de E com mesma características. Essa coleção é o que chamamos de classe de equivalência. De modo preciso Definição 2.9. Seja E um conjunto não vazio e R uma relação de equivalência. Dado a E chama-se classe de equivalência determinada por a ao conjunto ā = {x E ; x R a}. O elemento a E é dito um representante da classe ā. Exemplo Dados E = {a, b, c} e R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)} relação de equivalência sobre E, temos ā = b = {a, b} e c = {c}. Exemplo Na relação de congruência módulo m sobre Z (ver exemplo 2.4.2), dado a Z temos que x a (mod. m) x a = km x = mk + a. Assim, ā = {x Z ; x = mk + a} = Conj. dos x Z que deixa resto a quando dividido por m. Em virtude do Algoritmo de Euclides: Dados x, m Z com m 0, existe um único par de inteiros k, a Z tais que x = mk + a com 0 a < m,

25 Capítulo 2. Relações 21 para o inteiro a destacam-se as classes 0, 1,, m 1, pois m 1. Além disso, mostra-se que tais classes são as únicas. Assim, se m = 3 temos apenas 0 = {0, ±3, ±6, ±9, ±12, }, 1 = {, 14, 11, 8, 5, 2, 1, 4, 7, 10, } e 2 = {, 13, 10, 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11, }. A coleção das classes de equivalência é denominada de Conjunto Quociente e denotado por E/R. Portanto, E/R = {ā ; a E}. Exemplo No exemplo temos E/R = {ā, c}. Exemplo No exemplo com m = 3, temos Z/ (mod. 3) = { 0, 1, 2}. De modo geral: Z/ (mod. m) = { 0, 1, 2,, m 1}. Nos textos matemáticos, o conjunto quociente de Z pela relação de congruência módulo m é denotado por Z m. Assim, no exemplo acima temos Z m = { 0, 1, 2,, m 1}. Definição Sejam E um conjunto não vazio e F = {X ; X E e X }. Diz-se que F é uma Partição de E se (i) X Y =, X, Y F com X Y; (ii) E = X. X F O item (i) nos diz que os elementos de F são dois a dois disjuntos. { } Exemplo Se E = {1, 2, 3, 4, 5}, temos que F = {1}, {2, 4}, {3} é uma partição de E.

26 Capítulo 2. Relações 22 Exemplo Já o conjunto { } F = {x N ; x = 2n, n N}, {x N ; x = 2n 1, n N} é uma partição do conjunto dos números naturais N. Proposição 2.1. Seja R uma relação de equivalência sobre E e sejam a, b E. seguintes itens são equivalentes entre si: Os (1) a R b; (2) a b; (3) b ā; (4) ā = b. Demonstração. É suficiente provar a seguinte cadeia de implicações (1) (2) (3) (4) (1). A equivalência entre itens acima segue por transitividade. (1) (2) Segue imediatamente da definição de b. (2) (3) De a b temos que a R b. Por outro lado, R é relação de equivalência donde simétrica. Daí, a R b b R a b ā. (3) (4) Devemos provar que ā b e que b a. Ora, dado x ā temos x R a. Por outro lado, b ā b R a a R b. Logo, por transitividade, temos x R b donde x b. Portanto, ā b. Agora, dado x b temos x R b. Assim, por transitividade, x R b e b R a x R a x ā. Daí, b ā. Portanto, ā = b. (4) (1) De ā = b temos em particular que ā b. Como R é reflexiva tem-se a ā. Logo, a b donde a R b. Em vista da Proposição 2.1 temos que ā b ā = b,

27 Capítulo 2. Relações 23 ou de modo equivalente ā b ā b =. Assim, podemos decompor o conjunto E em classes de equivalência conforme o diagrama abaixo: Figura 2.3: Daí a interpretação de uma relação de equivalência como um seletor natural mencionada anteriormente. Em termos precisos temos que toda relação de equivalência R sobre um conjunto E induz uma partição no mesmo, a saber, F = E/R. Observação 2.3. Resulta ainda da Proposiçãp 2.1 que se x ā, então x = ā, ou seja, todo elemento de ā pode ser usado como um representante da classe. O teorema a seguir mostra que Conjunto Quociente e Partição estão em correspondência biunívoca, pois garante a recíproca do fato em destaque acima, isto é, que qualquer partição de E provém de uma relação de equivalência. De modo preciso: Teorema 2.2. Seja R uma relação de equivalência sobre E. Então E/R é uma partição de E. Reciprocamente, se F é uma partição de E, então existe uma relação de equivalência R sobre E tal que F = E/F. Demonstração. A primeira parte do teorema é consequência direta da Proposição 2.1, conforme observou-se acima. Vejamos a recíproca. Seja F P(E) uma partição de E. Defina a seguinte relação sobre E: x R y A F com x, y A. Afirmação: (i) R é uma relação de equivalência; (ii) E/R = F. De fato, é imediato que R é reflexiva e simétrica. Assim, vejamos a transitividade. Dados a, b, c E tais que a R b e b R c, temos que existem A, B F tais que a, b A e b, c B. Daí, A B. Sendo F uma partição segue que A = B. Logo, a, c A

28 Capítulo 2. Relações 24 donde a R c. Portanto, R é uma relação de equivalência. Provemos agora o item (ii). Dado a E temos que para cada x ā vale x R a, donde existe A F tal que x, a A. Em particular, x A. Logo, ā A. Por outro lado, para y A também temos y R a, pois a A. Daí, y ā. Assim, A ā e, portanto, ā = A F. Sendo ā E/R tomado de modo arbitrário, segue que E/R F. Agora, considere A F e fixemos a A. Então, para todo x A temos x R a donde x ā. Logo, A ā. Da mesma forma, dado x ā, existe B F tal que x B e a B. Sendo F partição e A B, segue que A = B. Assim, x ā implica em x A e, consequentemente, ā A donde A = ā E/R. Portanto, F E/R donde segue o item (ii). Provou-se então que toda partição provém de uma relação de equivalência e viceversa. O teorema acima é a base da construção dos conjuntos numéricos. Fazendo uma comparação com a construção civil, podemos dizer que o teorema acima seria o engenheiro da obra. 2.5 Relações de Ordem Na seção anterior vimos que introduzindo num conjunto não vazio E uma relação de equivalência isso gera uma partição do mesmo. Agora estudaremos um outro tipo de relação que, a grosso modo, organiza os elementos do conjunto E. São as chamadas Relações de Ordem. Definição Seja E. Uma relação R sobre E é dita uma Relação de Ordem Parcial se satisfaz as seguintes propriedades O 1 ) R é Reflexiva; O 2 ) R é Anti-Simétrica; O 3 ) R é Transitiva. Neste caso diz-se que R é uma ordem parcial sobre E e que E é um conjunto parcialmente ordenado por R. Se R é uma relação de ordem parcial sobre E e, para x, y E, ocorre de x R y, denotaremos este fato por x y,

29 Capítulo 2. Relações 25 que se lê "x precede ou é igual à y". Dessa forma denotamos por (E, ) um conjunto ordenado com ordem. Com essa notação as propriedades (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ) ficam O 1 ) x x, x E; O 2 ) x y e y x x = y; O 3 ) x y e y z x z. Um conjunto parcialmente ordenado (E, ) é dito Totalmente Ordenado se valer: O 4 ) x, y E, x y ou y x. Exemplo Considere o conjunto E = {a, b, c} e as relações R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (a, c)} e S = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)}. É fácil ver que R é uma relação de ordem parcial (note que a b e b a!) e que S é uma relação de ordem total sobre E. Neste ultimo caso temos a seguinte organização no conjunto E: a b c. Exemplo A relação definida sobre os números reais por x y x y (menor que ou igual), é uma relação de ordem total sobre R. Exemplo (Relação de Divisibilidade). Consideremos E = N Z e a relação sobre N dada por x y x y. Isto é, x y y = kx, para algum k N. Então:

30 Capítulo 2. Relações 26 O 1 ) x x, pois x = 1 x; O 2 ) Se x y e y x, então existem k 0 e k 1 em N tais que y = k 0 x x = k 1 y Daí, y = k 0 k 1 y k 0 k 1 = 1 k 0 = k 1 = 1. Logo, x = y. O 3 ) Analogamente, se x y e y z, então existem k 0 e k 1 em N tais que y = k 0 x z = k 1 y Daí, z = k 0 k 1 x = k 2 x. Logo, x z. Assim a relação dada acima é uma relação de ordem parcial sobre N Z denominada Relação de Divisibilidade. Note que tal relação não é total pois 3 5 e 5 3, isto é 3 e 5 não são comparáveis na ordem de dividibilidade. Exemplo (Relação de Inclusão). Dado E = P(A), com A um conjunto fixo, já observamos que a relação de inclusão X Y X Y, satisfaz O 1 ) X X, X E; O 2 ) X Y e Y X X = Y; O 3 ) X Y e Y Z X Z. Logo, a relação de inclusão é uma relação de ordem parcial sobre P(A). Note que tal ordem não é total.

31 Capítulo 2. Relações 27 Definição Seja R uma relação sobre um conjunto E. Diz-se que R é uma relação de ordem estrita ou, simplesmente, uma ordem estrita sôbre E, se valem as seguintes propriedades: O 1) x R x, x E; (Anti-Reflexiva) O 2) xr y y R x (Não Simétrica) O 3 ) x R y e y R z x R z. (Transitiva) Denotaremos daqui em diante uma ordem estrita apenas por em vez de R, e (E, ) indicará um conjunto estritamente ordenado. Exemplo Em R a relação x y x < y (menor que), é uma relação de ordem estrita. Os conceitos de ordem parcial e ordem estrita estão relacionado pelo seguinte teorema. Teorema 2.3. Um conjunto E é parcialmente ordenado se, e somente se, é estritamente ordenado. Demonstração. Seja (E, ) um conjunto parcialmente ordenado. Defina a relação x y x y e x y. Verifica-se (Exercício!) que é uma ordem estrita, donde (E, ) é um conjunto estritamente ordenado. Reciprocamente, se (E, ) é um conjunto estritamente ordenado, então a relação sobre E dada por x y x y ou x = y é uma relação de ordem parcial sobre E. ordenado. Logo, (E, ) é um conjunto parcialmente Em outras palavras, o teorema acima nos diz que toda ordem parcial sobre E induz de modo natural uma ordem estrita sobre E e vice-versa.

32 Capítulo 2. Relações Minorantes e Majorantes Uma relação de ordem sobre um conjunto E trás consigo uma série de novos objetos extremamente importantes na matemática, a saber, os conceitos de cota inferior, cota superior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto A E. Tais objetos são classificados como Minorantes e Majorantes do conjunto A E. Sejam (E, ) um conjunto parcialmente ordenado e A E não vazio. Definição Um elemento L E é dito uma cota superior de A relativa a ordem, se para todo x A valer x L. De modo análogo, diz-se que l E é uma cota inferior de A relativa a ordem, se para todo x A valer l x. Exemplo Considere o conjunto E = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 24, 30, 48, 144} ordenado por x y x y e A = {6, 24} E. Vejamos quem são as cotas do conjunto A relativas a ordem de divisibilidade. 1) (Cotas Superiores) Note inicialmente que para L E x L, x A x L, x A, ou seja, L E é cota superior de A se, e somente se, todos os elementos de A dividirem L. Assim, analisando o conjunto E temos S A = {48, 144} como conjunto das cotas superiores. 2) (Cotas Inferiores) Analogamente, para l E l x, x A l x, x A, ou seja, l E é cota inferior de A se, e somente se, l divide todos os elementos de A. Assim, analisando o conjunto E temos I A = {1, 2, 3, 6} como conjunto das cotas inferiores. Exemplo Sendo (E, ) o mesmo conjunto ordenado do exemplo anterior, temos que o conjunto B = {3, 5} possui apenas L = 30 como cota superior e l = 1 como cota inferior. Já o conjunto C = {1, 3, 30} possui L = 30 como cota superior e não possui cota inferior.

33 Capítulo 2. Relações 29 Exemplo Considere o conjunto F = {{1}, {2}, {1, 3}, {3, 5}, {1, 2, 3, 5}, {2, 5}} munido da ordem de inclusão X Y X Y, e o conjunto A = {{1}, {2, 5}, {3, 5}} F. Para tal conjunto temos 1) (Cotas Superiores) Note inicialmente que para L F X L, X A X L, X A, ou seja, L F é cota superior de A se, e somente se, todos os elementos de A estão contidos em L. Assim, analisando o conjunto F temos S A = {{1, 2, 3, 5}} como conjunto das cotas superiores. 2) (Cotas Inferiores) Analogamente, para l F l X, X A l X, X A, ou seja, l F é cota inferior de A se, e somente se, l está contido em todos os elementos de A. Assim, analisando o conjunto F temos I A = como conjunto das cotas inferiores. Exemplo Considerando (R, ) com a ordem usual, temos que o conjunto N R não possui cotas superiores. No entanto, o conjunto das cotas inferiores é I N = (, 1) = {x R ; x < 1}. Alguns autores se referem as cotas superiores e inferiores como limites superiores e inferiores, respectivamente. Definição Um conjunto A (E, ) é dito limitado superiormente se A possui cotas superiores relativas a ordem. Analogamente, A é dito limitado inferiormente se A possui cotas inferiores relativas a ordem. Se A é limitado inferior e superiormente relativamente a ordem, diz-se apenas que A é limitado em (E, ), em caso contrário, diz-se que A é não limitado. Acima podemos perceber vários exemplos de conjuntos limitados e de conjuntos não limitados. Definição Nas condições acima descritas, um elemento M E é dito Máximo de A E se M é uma cota superior de A tal que M A. Analogamente, m E é dito Mínimo de A E se m é uma cota inferior de A tal que m A.

34 Capítulo 2. Relações 30 Adotaremos as seguintes notações para o máximo de A e o mínimo de A, respectivamente: max A e min A. Exemplo Em (R, ) temos que o conjunto [a, b] = {x R ; a x b} (Intervalo Fechado) é limitado e max[a, b] = b e min[a, b] = a. Temos ainda que max N não existe, pois N não é limitado superiormente, e min N = 1. Exemplo No exemplo considerando A max A = {1, 2, 3, 5} e min A = {2}. = {{2}, {2, 5}, {1, 2, 3, 5}}, temos Exemplo Nos exemplos e temos que não existe max A e min A = 6, não existem max B e min B, e max C = 30 e não existe min C. A proposição a seguir justifica as notações adotadas para máximo e mínimo de um conjunto. Proposição 2.2. Quando existem, o máximo e o mínimo de A (E, ) são únicos. Demonstração. Provaremos apenas a unicidade do máximo. Suponha que existam M = max A e M = max A em E. Então, para todo x A temos x M e x M. Além disso, M, M A. Daí, em particular, temos M M e M M donde por anti-simetria obtemos M = M. Definição Chama-se Supremo de A o mínimo, caso exista, do conjunto das cotas superiores. Analogamente, o Ínfimo de A é o máximo, caso exista, do conjunto das cotas inferiores. Assim, o supremo de um conjunto é a menor das cotas superiores e o ínfimo é a maior das cotas inferiores. Adotaremos as seguintes notações para supremo de A e ínfimo de A, respectivamente: sup A e inf A. Se denotarmos por S A o conjunto das cotas superiores de A e por I A o conjunto das cotas inferiores de A temos, então, sup A = min S A e inf A = max I A.

35 Capítulo 2. Relações 31 Exemplo Considere E = {1, 2, 3, 4, 5, 24, 32} com a ordem de divisibilidade e A = {2, 4} E. Então, S A = {4, 24, 32} e I A = {1, 2} donde sup A = 4 e inf A = 2. Exemplo Dados (Z, ) com a ordem usual e B = {1, 2, 3, 4,, 10} Z temos S B = {10, 11, 12, 13, } e I B = {1, 0, 1, 2, 3, }. Logo, sup B = 10 e inf B = Funções O conceito de função, junto com sua representação gráfica, é certamente um dos mais importantes em Matemática e é ferramenta poderosa na modelagem de fenômenos. Uma primeira definição para função é a seguinte Definição Uma relação F A B é dita função de A em B se: (i) D(F) = A; (ii) Dados x A e y, y B, se x F y e x F y então y = y. De modo equivalente, F A B é dita função se (iii) x A,! y B tal que x F y. Com o avanço da Matemática, mais precisamente com as inúmras aplicações da mesma nas demais ciências e engenharias, a definição acima apresentou o inconveniente de ser estática e bastante abstrata, não deixando claro a intrínseca ligação do conceito de função com modelagens de fenômenos, estudo de figuras geométricas via transformações dentre outras. O que podemos perceber na definição dada acima é a dependência que o elemento y B possui em relação ao elemento x A, os quais nesse contexto são denominados variável dependente e variável independente, respectivamente. Para eliminar tal inconveniente recorre-se a noção intuitiva de relação binária vista anteriormente e (re)definimos função como segue. Definição Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma regra ou conjunto de instruções que diz como associar cada elemento x A um único y B. Dessa forma fica clara a dependência de y B em relação a x A bem como a idéia de correspondência entre os conjuntos A e B. A definição de função dada em acima é a que usaremos em toda essas notas.

36 Capítulo 2. Relações 32 f : A B x y = f(x), Sintetizamos a definição acima na notação: A dependência de y para com x é denotada acima por y = f(x) em vez de x f y. Note que estamos usando uma letra minúscula para representar uma função. Isso foi colocado propositalmente para fugir da idéia de função como conjunto. Dada uma função f : A B, o conjunto A é denominado Domínio de f e o conjunto B de Contradomínio de f. A imagem da função f é definida como sendo o conjunto Im(f) B dado por Im(f) = {y B ; x A com y = f(x)}. Observação 2.4. Note que uma função f consiste essencialmente em três objetos: domínio, contradomínio e a lei de correspondência x y = f(x). Sem que estes objetos sejam específicados não existe função. No entanto, por um abuso de linguagem, as vezes dizemos considere a função f dada por..., neste caso ficam subentendidos o domínio e o contradomínio. Exemplo Seja X o conjunto dos triângulos de um plano α. Se, a cada t X fizermos corresponder o número real f(t) = área de t, obteremos uma função f : X R. Exemplo A correspondência id A : A A, que para cada x A associa o próprio x, isto é, id A (x) = x é uma função a qual recebe o nome de função identidade de A. Exemplo Dados A e B conjuntos e b B um elemento fixo, temos que a correspondência f : A B dada por f(x) = b, x A é uma função, denominada função constante. Exemplo A correspondência f : R R dada por f(x) = mx + b, com m, b R fixos, define a chamada função linear. Definição Dizemos que duas funções f e g são iguais, e escreve-se f = g, se as mesmas possuem os mesmos domínio, contradomínio e mesma lei de correspondência. Assim, no Exemplo 2.7.4, se A = R, m = 1 e b = 0 temos id A = f.

37 Capítulo 2. Relações 33 O gráfico de uma função f : A B é um subconjunto G(f) A B dado por G(f) = {(x, y) A B ; y f(x)} = {(x, f(x)) ; x A}. No Exemplo o gráfico da função constante é Figura 2.4: Já para função identidade o gráfico é dado a seguir. Figura 2.5: Para as funções de R em R é usual apresentar o produto cartesiano R R como um sistema de coordenadas da seguinte forma: Figura 2.6: Neste caso o gráfico de uma função linear (ver Exemplo 2.7.4) é dado por uma das três retas abaixo, dependendo do sinal de m. Figura 2.7: Tipos de Funções Definição Seja f : A B uma função. quaisquer x, y A com x y tem-se f(x) f(y). Dizemos que f é injetora se dados De modo equivalente, f é injetora se, e somente se, dados x, y A com f(x) = f(y) tem-se x = y. Definição Dada uma função f : A B, diz-se que f é sobrejetora se para todo y B existe x A tal que y = f(x). Ou seja, f é sobrejetora se Im(f) = B. Definição Uma função f : A B é dita bijetora ou uma bijeção se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

38 Capítulo 2. Relações 34 f : N N n f(n) = n 2, Neste caso diz-se que os conjuntos A e B estão em correspondência biunívoca. Exemplo A função é injetora, pois n 2 = m 2 = n = m, n, m N, mas não é sobrejetora, pois não existe n N tal que n 2 = 2. Exemplo Uma função linear f : R R x f(x) = mx + b,, com m 0, é injetora e sobrejetora. Logo, uma bijeção. De fato, f(x) = f(y) = mx + b = my + b = mx = my = x = y. Assim, f é injetora. Por outro lado, dado y R tome x = y b R. Daí, m f(x) = f( y b ( ) y b m ) = m + b = (y b) + b = y. m Logo, f é sobrejetora. Exemplo Toda função identidade id X : X X é bijetora. Exemplo A função f : Z Z x f(x) = 2, não é injetora nem sobrejetora. Considere as funções f : A B e g : C D. Se B C podemos definir uma nova função h : A D pondo h(x) = g(f(x)). Tal função é denominada função composta de g com f e será denotada por g f. Assim, nas condições acima, temos (g f)(x) = g(f(x)).

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