Modelos de Precificação e Ruína para Seguros de Curto Prazo

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1 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo

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3 Paulo Perera Ferrera Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo ª Edção - 00 ª Rempressão - 00 Ro de Jaero 00

4 ª edção: outubro 00 ª rempressão - Juho 00 Esa Nacoal de Seguros Fueseg Rua Seador Datas, 74 Térreo, o, 3o, 4o e 4o adares Ro de Jaero/RJ Brasl CEP Tel.: () Fax: () Iteret: e-mal: falecoosco@fueseg.org.br Impresso o Brasl/Prted Brazl Nehuma parte deste lvro poderá ser reproduzda ou trasmtda, sejam quas forem os meos empregados: eletrôcos, mecâcos, fotográfcos, gravação ou quasquer outros, sem autorzação por escrto da Esa Nacoal de Seguros Fueseg. Coordeação Edtoral Dretora de Pesqusa e Desevolvmeto/Núcleo de Publcações e-mal: publcacao@fueseg.org.br Capa Larssa Mederos Dagramação Ifo Acto Edtoração Eletrôca Ltda. Me Revsão Mara Helea de Lma Hatschbach Thas Chaves Ferraz Vrga L. P. de S. Thomé Bblotecára Resposável pela elaboração da fcha catalográfca F443m Ferrera, Paulo Perera Modelos de precfcação e ruía para seguros de curto prazo / Paulo Perera Ferrera. Ro de Jaero : FUNENSEG, p.: l. ; 5 cm. ISBN Teora do rsco.. Tarfação (Seguro). 3. Atuára. 4. Precfcação. 5. Dstrbuções de sstros. 6. Processo de ruía. 7. Teora da credbldade. I. Título CDU 368.0

5 Sumáro Prefáco, x Apresetação, x Tarfação, TIPOS DE PRÊMIOS... Prêmo de Rsco... Prêmo Puro... Prêmo Comercal... PRÊMIO INDIVIDUAL...3 MÉTODOS DE TARIFAÇÃO...5 Julgameto ou subjetvo...6 Sstraldade...6 Prêmo Puro...6 Tábua de mortaldade...6 PRINCÍPIOS DE CÁLCULO DE PRÊMIOS...7 Prcípo da Equvalêca...7 Prcípo do Valor Esperado...8 Prcípo da Varâca...8 Prcípo do Desvo Padrão...8 Prcípo da Utldade Zero...9 Prcípo Expoecal...4 Prcípo do Percetl...4 PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DE UM PRINCÍPIO DE CÁLCULO DE PRÊMIOS...4 Carregameto de seguraça ão egatvo...4 Perda Máxma...4 Cosstêca...5 Adtvdade...5 Iteratvdade...5 EXERCÍCIOS...6 Modelo do Rsco Idvdual Aual, 9 O MODELO DO RISCO INDIVIDUAL ANUAL...9 CÁLCULO DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE X...0 EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DO MODELO... DISTRIBUIÇÃO DE S d... Por Covolução a Partr da Dstrbução de X... v

6 v Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Pela Fução Geratrz de Mometos... CÁLCULO DE E [S d ] e V [S d ]... CASO EM QUE B É FIXADO PARA CADA APÓLICE...3 APROXIMAÇÃO NORMAL...5 EXERCÍCIOS Modelo do Rsco Coletvo Aual, 33 O MODELO DO RISCO COLETIVO ANUAL...33 DISTRIBUIÇÃO DE S...34 Por Covolução, a Partr das Dstrbuções de X e N...34 Cálculo de p * (x) e P * (x)...35 X Dscreto...35 X Cotíuo...36 Pela Fução Geratrz de Mometos...40 CÁLCULO DE E [S COL ] E V [S ]...4 Cálculo de E [S ]...4 Cálculo de V [S ]...4 EXERCÍCIOS Dstrbução da Varável Aleatóra Valor de Sstro, 47 MÉTODOS DE OBTENÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DO VALOR DE SINISTRO...47 Paramétrco...48 Não Paramétrco...48 DISTRIBUIÇÃO DO VALOR DE SINISTRO COM LIMITE DE INDENIZAÇÃO...48 AJUSTAMENTO DE DISTRIBUIÇÕES PARAMÉTRICAS...49 o Etapa: Determação dos Parâmetros...49 o Etapa: Teste de Aderêca...49 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES PARAMÉTRICAS...49 Log Normal...50 Utlzação Prátca...5 Pareto...5 Utlzação Prátca...5 Gama...5 Utlzação Prátca...54 EXERCÍCIOS Dstrbuções para o Número de Sstros, 59 DISTRIBUIÇÕES PARA O NÚMERO DE SINISTROS NO MODELO INDIVIDUAL...59 Itervalo de Cofaça para E[N]...6 DISTRIBUIÇÕES PARA O NÚMERO DE SINISTROS NO MODELO COLETIVO...65 Dstrbução de Posso para N...66 Propredades da Posso...66 Dstrbução Bomal Negatva para N...67 Propredades da Bomal Negatva...67 Iterpretações para a Bomal Negatva...68

7 Sumáro v Iterpretação Tradcoal...68 Iterpretação de Polya...68 EXERCÍCIOS Dstrbuções para o Sstro Agregado, 73 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMPOSTA PARA S COL...73 Fução Geratrz de Mometos da Posso Composta...73 Mometos da Posso Composta...74 Propredades da Posso Composta...77 Teorema...77 Teorema...78 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA COMPOSTA PARA S COL...80 Fução Geratrz de Mometos da Bomal Negatva Composta...8 Mometos da Bomal Negatva Composta...8 APROXIMAÇÕES PARA S COL...8 Aproxmação Normal para S...8 Aproxmação Normal quado S ~ Posso Composta (λ, P(x))...83 Aproxmação Normal quado S ~ Bomal Negatva Composta (r, p, P(x))...86 Aproxmação Gama para S...87 Aproxmação Gama quado S ~ Posso Composta (λ, P(x))...88 Aproxmação Gama quado S ~ Bomal Negatva Composta (r, p, P(x))...89 Outras Aproxmações para S...90 EXERCÍCIOS Fórmula Recursva de Pajer, 95 A FÓRMULA RECURSIVA DE PANJER...95 Posso ( λ )...96 Geométrca ( p )...96 Bomal Negatva ( r, p )...96 DEMONSTRAÇÃO DA FÓRMULA RECURSIVA DE PANJER...96 CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS...99 X Dscreto...99 X Cotíuo...99 EXERCÍCIOS Processo de Ruía Período Fto, 03 O PROCESSO DE RUÍNA...03 PROBABILIDADE DE RUÍNA...06 Probabldade Aual de Ruía...06 MODELO PRÁTICO DE RUÍNA...07 Cálculo da Probabldade de Ruía em ao (δ )...08 Cálculo da Reserva de Rsco ( μ )...08 Cálculo do Lmte Técco ( LT )... 0 Relação etre μ, δ e LT...

8 v Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Carregameto de Seguraça ão Postvo... Carregameto de Seguraça Postvo... K Cálculo de λ, E [ X ] e P... 7 Cálculo de λ... 7 K Cálculo de E [ X ]... 8 Quado X Possu Dstrbução Paramétrca Cohecda... 8 A Partr dos Valores Observados de X... 8 Cálculo de P... 8 EXERCÍCIOS Processo de Ruía Período Ifto, 7 O PROCESSO DE RUÍNA EM UM PERÍODO INFINITO...7 PROCESSO DE POISSON COMPOSTO S () t...8 ϕ μ NO CASO POISSON COMPOSTO...9 CÁLCULO DE ( ) Coclusões sobre ( μ) ϕ...3 DISTRIBUIÇÃO DO º EXCEDENTE ABAIXO DE μ...33 PERDA MÁXIMA AGREGADA...34 ϕ μ...35 Fórmula Aproxmada Para ( ) FÓRMULA APROXIMADA DE SOUZA MENDES PARA O CÁLCULO DO LT...37 EXERCÍCIOS Aplcações em Resseguro, 43 CONTRATOS DE RESSEGURO...43 Classfcação dos Cotratos de Resseguro...43 Cotratos Proporcoas...44 Cotrato de Quota-Parte...44 Cotrato de Excedete de Resposabldade ou Surplus...44 Cotratos Não Proporcoas...48 Cotrato Excesso de Daos ou Excess of Loss...48 Cotrato de Catástrofe...5 Cotrato de Stop Loss...5 Cotrato de Stop Loss por Lmte de Sstraldade...5 Cotrato de Stop Loss por Lmte de Perda...53 DISTRIBUIÇÃO DO SINISTRO IDO...57 Cotrato de Excesso de Daos...57 Cotrato de Excesso de Daos Cojugado Com um Cotrato de Quota-Parte...57 Cotrato de Excedete de Resposabldade...58 EXERCÍCIOS...60 Aplcações Dversas, 63 APLICAÇÕES PRÁTICAS NA PRECIFICAÇÃO...63 Cálculo de λ...64 K E X...64 Cálculo de [ ]

9 Sumáro x Quado X Possu Dstrbução Paramétrca Cohecda...64 A Partr dos Valores Observados de X...64 P...64 Cálculo do Prêmo Puro Total ( ) Cálculo do Prêmo Puro Idvdual ( ) P...65 I Precfcação de Seguros com Fraqua...65 Fraqua Proporcoal...65 Coceto...65 Modelo Atuaral...65 Fraqua Dedutível...66 Coceto...66 Modelo Atuaral...66 Fraqua Smples...67 Coceto...67 Modelo Atuaral...67 Cudados a Precfcação de Seguros com Fraqua...70 Precfcação de Seguros a Prmero Rsco Absoluto e Cláusula de Rateo...7 Prmero Rsco Absoluto...73 Característcas...73 Comparação para IS e IS...73 Cláusula de Rateo...74 Característcas...74 Comparação para IS e IS...74 Precfcação Para a Retegração Automátca da Importâca Segurada...78 TARIFAÇÃO ESPECIAL PARA SEGUROS DE VIDA EM GRUPO...80 EXERCÍCIOS...8 Teora da Credbldade, 85 CONCEITO BÁSICO...85 CREDIBILIDADE TOTAL...86 CREDIBILIDADE PARCIAL...89 Prcípo da Flutuação Lmtada...89 Prcípo da Credbldade Hperbólca...9 Comparação com o Prcípo da Flutuação Lmtada...93 Prcípo da Credbldade Bayesaa Empírca...94 EXERCÍCIOS...94 Bblografa, 97 Apêdce Exposção ao Rsco, 99 CÁLCULO DA EXPOSIÇÃO INDIVIDUAL...99 ENDOSSO DE CANCELAMENTO POR SINISTRO...0 CÁLCULO SIMPLIFICADO DA EXPOSIÇÃO AGREGADA...0 Apêdce Tabela Dstrbução Normal Padrozada Acumulada, 05 Respostas dos Exercíos, 07

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11 Prefáco Acete com muta satsfação o covte de preparar o prefáco para esta seguda rempressão do lvro Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo, de autora do Paulo Perera Ferrera. Acredto que um lvro de Cêcas Atuaras, especfcamete de Teora do Rsco, que já camha para a seguda rempressão, após somete oto aos de sua prmera publcação, pode dspesar qualquer apresetação; o lvro já fala por s mesmo e pelo seu autor. Desde o seu laçameto, este lvro tem sdo utlzado em cursos regulares de graduação em Atuára, assm como em cursos de Pós-graduação e MBA de Seguros e Atuára. Hoje, esta obra já está cosagrada como bografa dspesável os cursos de Atuára de osso país. Paulo coseguu alar ao rgor técco uma grade quatdade de exemplos apresetados de forma smples e sempre procurado assocar a teora atuaral com a prátca do da a da. Em um mercado como o osso, com pouquíssma lteratura atuaral em português, este lvro tem sdo muto bem recebdo. Possudor de uma telgêca brlhate, um eorme cohecmeto técco e uma grade smplcdade, Paulo é recohecdamete um dos profssoas mas destacados do mercado. Alado a estes dos, seu amor pelo Magstéro e pela Atuára completam seu brlhate currículo. O etusasmo com a publcação e sucesso desta obra levou-o a ovas publcações o campo atuaral. Na ova obra publcada pela Fueseg em 009, tve a hora de ser co-autora do lvro Aspectos Atuaras e Cotábes das Provsões Téccas, que esperamos camhe a mesma trlha de sucesso deste lvro de Teora do Rsco. Espero que sua vea lterára ão pare por aqu e que o Paulo cotue proporcoado à comudade atuaral os frutos de seu trabalho como Professor Uverstáro alado à prátca de sua experêca como Cosultor Atuaral por tatos aos. Parafraseado o autor desta obra, saudações atuaras! Ro de Abrl de 00 Crsta Mao Sóca Cosultora da Towers Watso x

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13 Apresetação Este lvro é o resultado de 30 aos de vda profssoal, sedo 9 deles dedcados ao magstéro como professor do curso de cêcas atuaras da Uversdade Federal do Ro de Jaero, tempo o qual tve um evolvmeto costate e crescete com as cêcas atuaras. Nesses 30 aos, dversos foram os mometos de descobertas, as quas, de tão fascates, passe a classfcar como maravlhas atuaras. Neste lvro, procure destacar algumas destas maravlhas, as quas, em sempre se ecotram com o devdo destaque em outros lvros. A prcpal motvação para realzar este lvro fo a elaboração da prmera lteratura em lígua portuguesa sobre a Teora do Rsco, área das cêcas atuaras já bastate explorada em outras líguas, e que trata de modelos de precfcação e ruía para seguros de curto prazo. Como motvação adcoal, preted apresetar uma lteratura que mesclasse o efoque acadêmco com o efoque profssoal. Por este motvo, dversos exemplos prátcos são apresetados este lvro, o que permte que outros profssoas, além dos atuáros, possam, também, desfrutar das maravlhas atuaras. O capítulo trata do processo de tarfação, apresetado os tpos de prêmos e métodos de tarfação, ode se serem os métodos que utlzam a Teora do Rsco. Os capítulos e 3 abordam os modelos do rsco dvdual e etvo, respectvamete. Pelo modelo do rsco dvdual, precsamos cohecer a probabldade de ocorrêca de sstro e de dstrbução do valor de sstro, para cada rsco dvdualmete, equato que o modelo do rsco etvo trabalhamos com o rsco de forma agregada, utlzado as varáves aletóras úmero de sstros e valor de sstro para a cartera de seguros como um todo. Pela sua smplcdade, o modelo etvo predoma em relação ao modelo dvdual, a utlzação prátca, o que faz algumas pessoas cofudrem a Teora do Rsco com sedo a Teora do Rsco Coletvo. Nos capítulos 4 e 5 são apresetadas as prcpas dstrbuções de probabldades para as varáves aleatóras valor de sstro e úmero de sstros ocorrdos em ao, respectvamete, Estas dstrbuções de probabldades servem de base para a determação da dstrbução de probabldade do valor total de sstros em ao em uma cartera de seguros, a qual é abordada o capítulo 6. Devdo à complexdade a obteção da dstrbução de probabldade do valor total de sstros em ao, Pajer desevolveu uma fórmula smples e recursva para a obteção da sua dstrbução exata. A demostração da fórmula recursva de Pajer e a sua aplcação prátca são apresetadas o capítulo 7. Os capítulos 8 e 9 tratam do processo de ruía em um período fto e fto, respectvamete, apresetado o cálculo da probabldade de ruía, do lmte técco e da reserva de rsco. x

14 x Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo O capítulo 0 mostra algumas aplcações da Teora do Rsco a área de resseguro, apresetado os prcpas cotratos de resseguro, com as suas dstrbuções do valor de sstro retdo. No capítulo são apresetadas dversas aplcações prátcas o processo de precfcação, tedo destaque especal as aplcações os seguros com fraqua. Uma das ferrametas mas moderas o processo de tarfação, chamada de Teora da Credbldade, é abordada o capítulo, sedo apresetada tato a credbldade total, quato a credbldade parcal. O cálculo da exposção dvdual é uma das fases essecas o processo de tarfação, ão sedo, porem, abordado com profuddade a maora dos lvros de atuara. O apêdce procura preecher esta lacua. A dstrbução de probabldade da varável aleatóra valor total dos sstros em ao costuma se aproxmar muto bem da dstrbução Normal, apresetado exceletes resultados as faxas de probabldade de maor teresse os processos de tarfação ou de ruía. Devdo à sua mportâca prátca, o apêdce são dcados os valores da dstrbução de probabldade acumulada da Normal Padrozada. Assm como a maora dos lvros de Teora do Rsco que tratam de seguros de curto prazo, a taxa de juros ão é cosderada os processos de precfcação e ruía. Aqueles que uca produzram um lvro ão podem magar o quato de esforço própro e de terceros é ecessáro para cocluí-lo. Por outro lado, todo esse esforço é pleamete recompesado a cada etapa do lvro que se supera, até chegar à realzação máxma com a sua coclusão. Agradeço a todos aqueles que dreta ou dretamete cotrbuíram para esta realzação. Em especal sou grato a todos os compaheros da Tllghast, que muto me ajudaram sob o poto de vsta acadêmco e operacoal. Detre esses compaheros, destaco o Carlos Eduardo Texera, a Crsta Mao e o Roberto Westeberger pelas suas cotrbuções acadêmcas, e a Clauda Goçalves pela sua dedcação a motagem deste lvro. Gostara, também, de agradecer aos professores do Isttuto de Matemátca da Uversdade Federal do Ro de Jaero, que me esaram a ter respeto e amor pela vda acadêmca. Um agradecmeto especal à Crsta Mao e Alexadre Goretk pela revsão cudadosa e etusasmada deste lvro. Agradeço à mha esposa Rosaa, à mha mãe Alce e ao meu rmão Máro, pela compreesão da mportâca que a realzação deste lvro teve para mm, dado todo o cetvo para a sua coclusão, mesmo com o detrmeto de um tempo maor de covvêca famlar. Por últmo, gostara de dedcar este lvro aos meus flhos Felpe e Gabrel e ao meu pa Abal que, equato esteve vvo, sempre me cetvou a mha vda pessoal, profssoal e acadêmca, tedo servdo como um modelo de humldade, smplcdade, hoestdade, humadade e postura étca. Saudações Atuaras.

15 Tarfação Dversos são os cocetos e metodologas evolvdos o cálculo do preço pago pelo segurado, o qual deomamos de prêmo. Esses cocetos e metodologas e os dversos prcípos de cálculo de prêmo serão abordados este capítulo e lustrados com algus exemplos prátcos. Os cocetos desevolvdos este capítulo podem ser classfcados como báscos em um processo de precfcação e serão, portato, utlzados os capítulos posterores. TIPOS DE PRÊMIOS No processo de precfcação do custo de um seguro exstem 3 tpos de prêmos: Prêmo de Rsco O prêmo de rsco cobre o rsco médo ( E [ S] ). P E[ S] Ode, S represeta a varável aleatóra valor total das dezações ocorrdas em uma cartera de seguros em um determado tempo.

16 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Prêmo Puro O prêmo puro é gual ao prêmo de rsco mas um carregameto de seguraça estatístco (θ ). [ S]( ) P E + θ O carregameto de seguraça serve como uma margem de seguraça para cobrr as flutuações estatístcas do rsco, de modo que exsta uma probabldade pequea dos sstros superarem o prêmo puro. Prêmo Comercal O prêmo comercal (p) correspode ao prêmo puro acrescdo do carregameto para as demas despesas da seguradora (a), cluída uma margem para lucro. π απ + P P π α E [ S]( + θ ) α Logo, [ S] E α π + ( θ ) E é a chamada sstraldade esperada sobre o prêmo comer- Na prátca cal. [ S] / π Algus autores troduzem um quarto tpo de prêmo, chamado de prêmo bruto, o qual é gual ao prêmo comercal acrescdo das despesas com mpostos que cdem dretamete sobre o prêmo comercal e das despesas com custo de apólce. Exemplo : Uma cartera de seguros fo precfcada cosderado-se 0% de carregameto de seguraça e 30% de carregameto para despesas. Qual a sstraldade esperada sobre o prêmo comercal e sobre o prêmo puro?

17 Tarfação 3 Resposta: Sobre o prêmo comercal Sobre o prêmo puro PRÊMIO INDIVIDUAL Após calcularmos o prêmo comercal ( π ) sufcete para cobrr todos os ss- E S ) e as demas despesas da seguradora (απ), precsa- π, ou seja: tros esperados a cartera ( [ ] mos calcular o prêmo por cada udade de exposção ao rsco ( ) π π F ode F é o total de exposção ao rsco. Quado cosderamos F como sedo o úmero de rscos expostos, π represeta o prêmo comercal dvdual a ser pago por cada segurado. Quado F é o total de mportâca segurada exposta, etão π é a taxa comercal dvdual a ser aplcada à mportâca segurada de cada apólce, resultado o prêmo comercal dvdual. No cálculo da exposção ao rsco, coforme abordado o apêdce deste lvro, leva-se em cosderação a relação etre o tempo em que o rsco fcou exposto o período de aálse e o tempo total do período de aálse, mesmo que o rsco teha cado ates do período de aálse. Um estudo detalhado de como calcular a exposção ao rsco pode ser vsto em TEIXEIRA 7.

18 4 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Exemplo : Calcular o prêmo de rsco dvdual aual, taxa de rsco aual, prêmo puro dvdual aual, taxa pura aual, prêmo comercal dvdual aual e taxa comercal aual o ao t de um seguro com as segutes característcas: a) Valor esperado do motate de sstros produzdos a cartera o ao cvl t é de $ ; b) O úmero de rscos que produz esse motate de sstros é de 000 apólces com vgêca aual cado-se em de outubro do ao t- e mas 500 apólces com vgêca semestral cado-se em de setembro do ao t; c) A mportâca segurada (IS) de cada apólce é fxa em $50.000; d) Carregameto de seguraça (θ ) 5%; e) O carregameto para despesas é de 50% do prêmo comercal. Resposta: Vamos calcular calmete o úmero de rscos expostos e o total de IS expostas: As 000 apólces com vgêca aual, cado-se a vgêca em de outubro do ao t-, fcaram expostas ao rsco o ao t durate 9 meses de um total de meses de vgêca. Já as 500 apólces com vgêca semestral cado-se em de setembro do ao t fcaram expostas ao rsco o ao t durate 4 meses de um total de meses. Logo, o úmero de rscos expostos o ao t será de: ,67 como cada rsco possu uma IS costate de $50.000, logo, o total de IS exposta o ao t será de: 96,67 $ $ ,34 Prêmo de rsco dvdual aual E[S Nº Rscos Expostos [ $ $.090,9 96,67

19 Tarfação 5 Taxa de rsco aual E[S Total IS Exposta [ $ $ ,34,8% Prêmo puro dvdual aual Taxa pura aual Prêmo comercal dvdual aual Correspode ao prêmo puro dvdual aual acrescdo do carregameto para despesas (50%), ou seja: Taxa comercal aual Correspode à taxa pura aual acrescda do carregameto para despesas (50%), ou seja: Observe que as taxas de rsco, pura e comercal também podem ser calculadas pela dvsão do prêmo de rsco, puro e comercal pela IS de cada apólce. Por exemplo, a taxa de rsco pode ser calculada como segue: MÉTODOS DE TARIFAÇÃO Podemos ctar 4 métodos de tarfação:

20 6 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Julgameto ou subjetvo Esse método é utlzado quado ão se tem formação sufcete o processo de tarfação. É um processo subjetvo, ode a tarfa é defda pelo uderwrter através de comparação com rscos smlares. A teora da credbldade, que é abordada o capítulo, pode ser classfcada detro desse cotexto, pos, por vezes, cojuga a experêca própra da seguradora com a experêca de outras seguradoras. Sstraldade A tarfa é atualzada em fução da aálse da sstraldade. O prêmo de rsco pode ser, por exemplo, calculado pela aplcação da sstraldade (apurada sobre o prêmo comercal) ao prêmo comercal. Devemos tomar muto cudado a utlzação deste método em fução de evetuas modfcações a estrutura de prêmos o período sob aálse. Se, por exemplo, a seguradora acabou de reduzr a sua tarfa, a sstraldade passada ada ão reflete essa redução, e é feror àquela que se tera caso a tarfa tvesse sdo reduzda o íco do período de aálse. Caso aplcada ao prêmo comercal recete, coduzrá a um cálculo de prêmo de rsco feror ao ecessáro para equlbrar a cartera. Prêmo Puro Este método começa com a estmatva do prêmo de rsco, passado por um processo de regularzação estatístca (modelagem), e, por fm, adcoado-se um carregameto de seguraça. O processo de modelagem ão é abordado este lvro, mas é um compoete mportate o processo de tarfação, pos permte estmar o prêmo do seguro em classes de rsco com pouca ou até ehuma formação. Tábua de mortaldade É o método utlzado os seguros de vda e de audades. Trata-se de um método determístco, pos aplca fórmulas determístcas e probabldades de morte defdas a partr de estudos prévos realzados por atuáros, quado eles produzem as chamadas tábuas de mortaldade.

21 Tarfação 7 As tábuas de mortaldade são costruídas a partr de formações brutas de mortaldade, passado por um processo de regularzação estatístca, um processo de ajustameto aalítco e falmete é aplcado um carregameto de seguraça; postvo, quado a tábua é utlzada em seguros de vda, ou egatvo, quado a tábua é utlzada em seguros de audade. Apesar das tábuas já apresetarem uma margem de seguraça para flutuações estatístcas, precsamos tomar muto cudado a sua utlzação, pos a margem de seguraça embutda a tábua pode ser sufcete para grupos com um pequeo úmero de segurados, ode se espera uma maor flutuação o rsco. (BOWERS, GERBER, HICKMAN, JONES ad NESBITT) apresetam uma abordagem mas modera para a precfcação dos seguros de vda e audades, corporado os aspectos da flutuação estatístca. PRINCÍPIOS DE CÁLCULO DE PRÊMIOS Um prcípo de cálculo de prêmo é uma fução H : υ R que assoca a cada dstrbução de sstros agregada S um úmero real P tal que P H[ S] Na verdade P é uma fução de F S ( x) Ode, ( x) F S represeta a fução de dstrbução acumulada de S o poto x. O fluxo da operação para o segurador é o segute: Recebe P (fxo, ão é varável aleatóra) Paga S (varável aleatóra) gaho P S (varável aleatóra) Vejamos a segur algus prcípos de cálculo de prêmos: Prcípo da Equvalêca P E[ S] Prêmo de Rsco ou Prêmo Estatístco. Desta forma, se o segurador operar durate um úmero grade de aos, ele terá S, S,, S de sstro agregado em cada ao, e, a méda, o sstro agregado será: S + S + + S E [ S]

22 8 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Se ele operar essa base, etretato, certamete se arruará ao logo do tempo. Essa afrmação decorre de um teorema exstete a teora dos jogos, o qual, se a baca (seguradora) jogar cotra um jogador (segurado) ftamete mas rco (pos o fluxo de ovos prêmos ao logo do tempo é esgotável), com as mesmas chaces ( ), etão, ao logo do tempo, certamete a baca se arruará. Prcípo do Valor Esperado [ S] + θ E[ S] E[ S]( +θ ) P E Sedo: θ : Carregameto de seguraça eshdo arbtraramete; +θ. P : Prêmo Puro Prêmo de Rsco ( ) Este prcípo é bastate utlzado a prátca, sedo muto comum a esha de θ gual a 0%. Observam-se, também, eshas ao redor de 5% e outras bem superores a 0%, depededo do grau de aversão ao rsco da seguradora. Prcípo da Varâca [ S] + α Var[ S] > 0 P E α Ode o fator α é eshdo arbtraramete. Este prcípo ão possu aplcação prátca, pos a esha de α é dfcultada pelo fato da varâca possur uma ordem de gradeza dferete da ordem de gradeza da méda. Prcípo do Desvo Padrão [ S] + β σ [ S] > 0 P E β ode o fator β é eshdo arbtraramete, sedo que a prátca o fator β vara etre e.

23 Tarfação 9 Prcípo da Utldade Zero μ a fução utldade que o segurado/segurador assoca a cada excedete x em relação à sua rqueza cal W. seja: Seja ( x) Na prátca utlzamos ( x) μ ( x) > 0 μ ( x) μ que atede ao coceto de utldade margal, ou é crescete, pos quato maor o x (dhero), maor a utldade; μ x < 0 quato maor o x, meor o crescmeto da utldade para varações de x. ( ) Chama-se de côcava a fução que obedece às propredades acma, e, pode ser represetada grafcamete coforme apresetado o Gráfco.: μ( x) Excedete Margal x Gráfco. Sejam: μ - Fução utldade assocada ao segurado; μ - Fução utldade assocada ao segurador; S - Varável aleatóra valor do sstro agregado ; G - Prêmo aceto como bom pelo segurado devdo à sua fução utldade; H - Prêmo proposto pelo segurador devdo à sua fução utldade. ( x) ( x)

24 0 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Assm sedo, o prêmo que atede a este prcípo de cálculo é aquele que ão reduz a fução utldade do segurado em fução da decsão de cotratar ou ão o seguro. Da mesma forma, para a seguradora, o prêmo a ser cobrado será aquele que ão reduzrá a sua fução utldade pela decsão de acetar o rsco. Desta forma, etão, podemos calcular o prêmo aceto pelo segurado ou pelo segurador que ão reduzrá as respectvas fuções utldades coforme a segur: a) Usado o μ ( x) do segurado cálculo de G μ ( W G) E[ μ( W S) ] Ode: E[ ( W S) ] μ represeta o quato o segurado espera de utldade se ele ão fzer o seguro; ( W G) μ represeta a utldade do motate exstete após o segurado cotratar o seguro e pagar G. b) Usado ( x) μ do segurador cálculo de H ( W ) E[ ( W + H S) ] μ μ Ode: E[ ( W + H S) ] μ represeta o quato o segurador espera de utldade se ele acetar o seguro; ( W ) μ represeta a utldade do motate exstete se o segurador ão acetar o seguro. Como G e H depedem de W, etão, μ() 0 E[ μ( G S) ] e μ ( 0 ) E[ μ ( H S) ] Daí o ome de Utldade Zero.

25 Tarfação Exemplos de μ(x) e relação etre G, H e E[S] μ(x) é Lear μ(x) ax + b Se μ(x) é uma reta G E(S), pos a rqueza cresce a mesma proporção que a fução utldade. Demostração: Sob o poto de vsta do segurado, o prêmo que matém a sua fução utldade será: μ ( W G) E[ μ( W S) ] ( W G) + b E[ a( W S) + b] a( W E[ S] ) b a + G E[ S] Exemplo 3: Seja um segurado com a segute fução utldade lear, represetada o Gráfco.: Gráfco.

26 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Dado que o motate de sstros agregados pode assumr o valor zero com probabldade de 50% e o valor $0.000 com probabldade de 50%, calcular o prêmo G aceto pelo segurado de modo a ão dmur a sua fução utldade. Resposta: μ(0.000) 0 μ(0) - P(S 0.000) 0,5 P(S 0) 0,5 Logo, E[S] 0,5 x $0.000 $0.000 Para calcular G é só gualar: μ( G) E[μ ($0.000 S)] μ ($ ) P(S 0) + μ($ $0.000) P(S $0.000) 0 x 0,5 x 0,5 0,5 $0.000 G $0.000 G $0.000 E[S] Ou seja, o prêmo aceto como bom pelo segurado é gual ao valor esperado do sstro agregado. μ e Neste caso, μ(x) atede ao prcípo da utldade margal. Sob o poto de vsta do segurado, o prêmo que matém a sua fução utldade será: ( W G) E[ μ( W S) ] μ( E[ W S] ) μ( W E[ S] ) A desgualdade acma é explcada pela chamada desgualdade de Jese, ode se a fução é côcava, como acotece com μ(x), etão, E[μ(S)] μ(e[s]), sedo S uma varável aleatóra qualquer. μ(x) é crescete, pos μ (x) > 0 Logo, para que μ(w G) μ(w E[S]), etão,

27 Tarfação 3 Da mesma forma, sob o poto de vsta do segurador H E[S], pos: μ ( W ) E[ μ ( W + H S) ] ( W + H E[ S] ) μ Como μ (x) é uma fução crescete, logo, para que tehamos atedda a desgualdade acma, etão, Observe que o segurado aceta pagar um prêmo superor à expectatva de sstros, porém o segurador também só aceta o rsco se o prêmo for superor à expectatva de sstros. Desta forma, as partes somete chegarão a um acordo quado: G H E[ S] E, etão, a utldade esperada de ehuma das partes será dmuída com o seguro. Observações: A prcípo pode parecer estraho que o segurado acete pagar um prêmo G superor à expectatva de sstro E[S]. A justfcatva está o fato de que a decsão de ão fazer o seguro pode represetar um decréscmo grade a utldade, em fução do pagameto dos sstros. Este fato é mas relevate para os segurados com uma rqueza cal pequea. A perda de um automóvel para um segurado que depede desse automóvel para a sua sobrevvêca, como um taxsta, por exemplo, é muto mas setda do que a perda desse mesmo automóvel para um segurado rco. Esse segurado rco dfclmete acetará pagar um prêmo superor à expectatva de sstros, e, muto provavelmete, decdrá pelo auto seguro. O gráfco a segur lustra essas duas stuações: Gráfco.3

28 4 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo A costatação acma é tão fascate que pode ser classfcada como uma das maravlhas atuaras. Pela sua dversdade a fução utldade do segurado/segurador deve ser pesqusada em cada caso. Prcípo Expoecal Ode M S (a) represeta a Fução Geratrz de Mometos de S o poto a. Esse prcípo é um caso partcular do prcípo da utldade zero, quado utlzamos a segute fução utldade: Prcípo do Percetl Nesse caso, o prêmo é determado de modo que exsta uma probabldade muto pequea (α) do motate de sstros (S) superar o total de prêmo puro (P). O valor de α é eshdo arbtraramete, sedo que a prátca α vara etre % e 0%. PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DE UM PRINCÍPIO DE CÁLCULO DE PRÊMIOS São cco as propredade desejáves de um prcípo de cálculo de prêmos: Carregameto de seguraça ão egatvo Ou seja, Perda Máxma Seja o r S sstro agregado máxmo para a dstrbução S, ou seja, r S é a perda máxma, etão,

29 Tarfação 5 Cosstêca [ S C] H[ S] C H + + sedo C costate Exemplo: um determado seguro, caso a seguradora quera pagar C$ para todos os segurados, depedetemete de haver ou ão sstro ao fal do ao, etão, ao prêmo de rsco, devemos adcoar a costate C$ Adtvdade Se S S H[ S + S ] H[ S ] + H[ ] S Exemplo: O prêmo de rscos que são depedetes é a soma dos prêmos dos rscos dvdualmete. Iteratvdade Se S e S são rscos arbtráros, etão, H [ S] H[ H[ S S ]] As propredades acma são mas detalhadas em (BOWERS, GERBER, HICK- MAN, JONES ad NESBITT). Pode-se demostrar que os prcípos da equvalêca e expoecal são os úcos que satsfazem a todas as 5 propredades acma. Como o prcípo da equvalêca o carregameto de seguraça é ulo (mplcado em ruía a logo prazo), o prcípo expoecal é o que se apreseta como sedo o melhor sob o poto de vsta teórco. Na prátca, porém, os prcípos mas utlzados são o prcípo do valor esperado, o prcípo do desvo padrão e o prcípo do percetl, dada a dfculdade de se determar a fução utldade do segurado/segurador. Apesar de o prcípo do percetl ser o melhor etre esses 3 prcípos, pos permte à seguradora dmesoar melhor o rsco (a) que ela assume, em sempre ele é utlzado em fução da mpossbldade/dfculdade de se calcular a fução de dstrbução acumulada do sstro F S x. agregado ( ( ))

30 6 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo EXERCÍCIOS ) Determar a sstraldade esperada em uma cartera de seguros precfcada cosderado-se 5% de carregameto de seguraça e 35% de carregameto para despesas. a) sobre o prêmo comercal b) sobre o prêmo puro ) Calcular o prêmo comercal dvdual aual de um seguro com as segutes característcas: Valor esperado do motate de sstros produzdos a cartera o ao cvl t é de $ ; O úmero de rscos que produz esse motate de sstros é de 800 apólces com vgêca aual cado-se em de agosto do ao t-, 600 apólces com vgêca semestral cado-se em de mao do ao t e mas 300 apólces com vgêca trmestral cado-se em de outubro do ao t; Carregameto de seguraça (q) 0%; O carregameto para despesas é de 30% do prêmo comercal. 3) Seja um segurado com uma fução utldade potecal fracoára, ou seja, μ α ( x) x x > 0, 0 < α < Ode o motate de sstros agregados possu uma dstrbução Uforme (0, $0). Calcular o prêmo G aceto pelo segurado de modo a ão dmur a sua fução utldade, dado que α 0, 5 e que a rqueza cal do segurado é de $0. 4) Refazer o exercíco ateror, supodo que o seguro só cobre 50% dos sstros.

31 Tarfação 7 5) Seja a segute dstrbução de probabldades, referete ao valor dos sstros agregados: Valor do Sstro ($) Probabldade 0,50 0,30 0,0 0,05 0,05 Determe o prêmo puro pelos segutes prcípos: a) Prcípo do Desvo Padrão, supodo β, 8 ; b) Prcípo da Equvalêca; c) Prcípo do Percetl, supodo α 0,. 6) Seja um segurado com fução utldade lear, da forma a x + b. O motate de sstros agregados assume o valor zero com probabldade 0,8 e assume o valor $5 com probabldade 0,. Calcular o valor do prêmo G aceto pelo segurado, de modo tal que a sua fução utldade ão seja dmuída pela decsão de cotratar ou ão o seguro, as segutes stuações: a) a e b 0 ; b) a e b. 7) A partr do exercíco ateror, demostre que se dos segurados possuem fução utldade lear dferdo apeas pelo valor b, etão eles acetarão pagar o mesmo prêmo G, cosderado-se a mesma dstrbução do valor dos sstros agregados.

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33 Modelo do Rsco Idvdual Aual No processo de precfcação é mportate cohecermos a dstrbução do valor total dos sstros produzdos em uma cartera de seguros em um determado período. Neste capítulo desevolveremos o modelo do rsco dvdual para a determação do valor total dos sstros produzdos em uma cartera de seguros em ao. No modelo do rsco dvdual, todo o efoque para obteção do valor total dos sstros é dvdual, pos utlzamos as dstrbuções do valor do sstro e da ocorrêca de sstros dvdualmete em cada apólce. Cabe destacar que os cocetos utlzados este capítulo e os demas capítulos servem, também, para períodos dferetes do período aual tomado como base. O MODELO DO RISCO INDIVIDUAL ANUAL Neste modelo cohecemos a dstrbução de sstros de cada rsco dvdualmete. HIPÓTESES:. Cohecemos a probabldade de ocorrêca de sstros em ao de cada apólce (rsco) q ; 9

34 0 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo. Cohecemos a dstrbução da varável aleatóra valor do sstro de cada apólce B ; 3. Desprezamos a probabldade de mas de sstro por apólce; 4. Cohecemos o o de apólces ( ) e ão levamos em cota ovas etradas e saídas; 5. Os rscos assumdos em cada apólce são depedetes. Seja d S X + X + + X Ode X X X e X I B Sedo: d S - Varável aleatóra valor total das dezações a cartera em ao ou varável aleatóra valor do sstro agregado da cartera em ao ; X - Varável aleatóra que está assocada ao sstro da apólce em ao; I - Varável aleatóra ocorrêca de sstro da apólce em ao ; B - Varável aleatóra valor do sstro da apólce dado que o sstro ocorreu em ao. Sedo: I 0 com probabldade q com probabldade p q Observações: ) I ~ Beroull ( q ); ) B é melhor defda por B / I, ou seja, B só faz setdo dado que o sstro ocorreu. ( I ) q P ( I 0 ) p E ( I ) q V ( I ) q p P CÁLCULO DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE X FX ( x) P( X x) P( X x, I k) K 0 ( X x / I ) P( I ) + P( X x / I 0) P( I 0) P

35 Modelo do Rsco Idvdual Aual B ( x) q I ( x) p F + Ode, I ( x) 0 x 0 x < 0 EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DO MODELO Este modelo pode ser utlzado o cálculo do prêmo puro P. Exstem város métodos que podem ser utlzados para se calcular o prêmo puro, coforme abordado o capítulo. Bascamete o prêmo puro é calculado de tal forma que exsta uma probabldade muto pequea de que o motate de dezações exceda o motate de prêmos puros, como por exemplo: d d P E[ S ] + Kσ [ S ] P é tal que (P) α FS d P E[ S d ]( +θ ) Ode θ é o carregameto de seguraça. d Dessa forma é mportate cohecermos a dstrbução de S ou, alteratvamete, calcularmos E [ S ] e V [ S ], os quas defem a dstrbução Normal se d d aplcarmos o Teorema Cetral do Lmte. DISTRIBUIÇÃO DE d S Podemos obter a dstrbução de d S de maeras: Por Covolução a Partr da Dstrbução de F d S d [ x] FX FX F X ( x) P S O processo de covolução é um processo recursvo, ode prmero se calcula a dstrbução de X e, a partr da dstrbução de X, se calcula a dstrbução de X + X e, assm sucessvamete, até se calcular a dstrbução de d S X + X + + X. X

36 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Pela Fução Geratrz de Mometos M X () t M () t M () t X X Assm, se cohecermos X (t), obteremos M d (t) M d d CÁLCULO DE E [ S ] E V [ S ] S Hpóteses: I B e I d Ou seja, o valor do sstro em cada apólce depede da sua ocorrêca e as varáves aleatóras ocorrêca de sstro em cada apólce são depedetes e detcamete dstrbuídas. Desta forma, etão, E d [ S ] E[ X ] E[ I ] E[ B ] q E[ B ] d [ S ] V [ X ] E V [ X / I ] V + [ ] V [ E[ X / I ]] () ( ) ( ) V [ E[ X / I ]] V [ E[ I B / I ]] V [ I E[ B ]] E[ B ] V ( I ) V d [ S ] () + ( ) V [ B ] q + E[ B ] V [ I ] [ B ] q + E[ B ] q p V

37 Modelo do Rsco Idvdual Aual 3 CASO EM QUE B É FIXADO PARA CADA APÓLICE Seja Ode, B C C - Valor fxado (costate) para a apólce de ordem Logo, V [ B ] 0 E V d [ S ] d [ S ] Observações: q p C q C ) Este modelo se aplca ao seguro de vda, valdez e todo aquele em que, em caso de sstro, a dezação é cohecda atecpadamete para cada apólce; ) Se B C, q q e p p, etão, d Ou seja, S é a soma de varáves aleatóras com dstrbução de Beroull ( q ) depedetes, etão: d S ~ Bomal (, q ) Exemplo : Seja um seguro que cobre morte por qualquer causa com dezação fxa de $0.000 e valdez total e permaete com dezação fxa de $ As probabldades auas de sstros em cada cobertura são de 0,00 e 0,000, respectvamete. Determar as dstrbuções de I, B e X.

38 4 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Resposta: a) Dstrbução de I P ( I, B $5.000) 0, 000 Logo, P E ( I ) 0,00 ; P( I 0) 0, 9988 [ I ] 0,00 ; V [ I ] 0, 0099 b) Dstrbução de B P ( B / I ) ( B $5.000, I ) P( I ) P 0,000 $ 0,67 0,00 c) Dstrbução de X P 0 0, P ( ) 9988 X ( $ 5.000) 0, 000 X V [ X ] $ Veja que podemos também calcular E [ ] e [ ] V utlzado as fórmulas desevolvdas este lvro: X X V [ X ] V [ B ] E[ I ] + E[ B ] V [ I ]

39 Modelo do Rsco Idvdual Aual 5 Veja também que: O que represeta um elevado coefcete de varação, cosequêca de estarmos cosderado somete um úco segurado exposto ao rsco. APROXIMAÇÃO NORMAL d d d Sob certas codções S ~ N ( E[ S ], V [ S ]) a) Este modelo é aplcado quado ão se cohece a dstrbução de, ou quado a sua obteção é trabalhosa; b) Não basta ateder somete às codções do Teorema Cetral do Lmte, pos, além dos X terem que ser depedetes e detcamete dstrbuídos, o úmero de sstros tem que ser grade e ão somete o úmero de apólces ( ). d S A partr dessas codções, pode-se calcular o prêmo ( P ) e o carregameto de seguraça (θ ), como segue: P P ( S d P) α ( S d P) α d d d Como S ~ N ( E[ S ], V [ S ]) Etão, Logo, P é tal que

40 6 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Ou seja, d d [ S ] + Z σ [ S ] P E α Para calcular o carregameto de seguraça ( θ ) é só levar em cota que d [ S ]( + θ ) P E. Logo, E d d d [ S ]( θ ) E[ S ] + Z σ [ S ] Z α θ E Coclusões: + d σ [ S ] d [ S ] α a) α θ b) Z α Ou seja, quato meor a probabldade do sstro agregado superar o prêmo puro total da cartera, maor terá que ser o carregameto de seguraça. Da mesma forma, quato maor o desvo padrão do sstro agregado em relação à méda do sstro, maor será o carregameto de seguraça. Exemplo : Uma cartera de seguro de vda possu 3 faxas de mportâcas seguradas, quas sejam: $0.000, $ e $ O úmero de apólces em cada faxa é de , e , respectvamete. Em cada uma dessas 3 faxas a probabldade de morte em ao é de 0,0, 0,005 e 0,0 respectvamete. Calcular o

41 Modelo do Rsco Idvdual Aual 7 carregameto de seguraça e o prêmo puro total aual de modo que a probabldade do sstro agregado superar o prêmo puro total aual ão exceda a 5%, utlzado a d aproxmação Normal para S. Resposta: Exemplo 3: Calcular o prêmo puro aual dvdual que cada segurado, a faxa de mportâca segurada de $0.000, deve pagar o exemplo. Resposta:

42 8 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Veja que aplcamos o carregameto de seguraça calculado o exemplo, ou seja, cosderado toda a cartera. Caso tvéssemos cosderado somete a ª faxa de mportâca segurada, o carregameto de seguraça sera calculado da segute forma: Nesse caso o carregameto de seguraça sera superor ao do exemplo, coduzdo, cosequetemete, a um prêmo puro aual dvdual superor. Essa seguda abordagem de cálculo do prêmo puro aual dvdual coduz a um carregameto de seguraça maor, pos dmu o úmero de rscos para os quas estamos calculado o carregameto de seguraça, ão admtdo, portato, a compesação de osclação de rscos etre as 3 faxas. Devemos evtar o uso dessa seguda abordagem, pos ela é cofltate com o prcípo da le dos grades úmeros que rege a operação de seguros. Exemplo 4: Dado que d varação de S. Resposta: B C, q q e apólces, calcular o coefcete de

43 Modelo do Rsco Idvdual Aual 9 Veja que, quato maor o úmero de apólces ( ), meor será o coefcete de varação. Por outro lado, quato maor a probabldade de sstro ( q ) e quato maor o úmero médo de sstros ( q ), meor também será o coefcete de varação, ou seja, para se reduzr o coefcete de varação e, cosequetemete, reduzr o carregameto de seguraça, precsa-se aumetar o úmero de apólces, cojutamete com a probabldade de sstro. Não basta, por exemplo, ter um grade úmero de apólces em uma cartera que possua uma pequea probabldade de sstro, produzdo, cosequetemete, um pequeo úmero de sstros. Esse exemplo é mportate para mostrar que, o seguro, a le dos grades úmeros está muto mas relacoada ao úmero de sstros do que ao úmero de apólces. Esta costatação também pode ser classfcada como uma das maravlhas atuaras. EXERCÍCIOS ) Seja um seguro com as coberturas A, B e C, com dezação fxa de $.000, $.000 e $5.000, respectvamete. As probabldades auas de sstros em cada cobertura são de 0,00, 0,00 e 0,0005, respectvamete. Determar: a) Dstrbução de X b) σ [ X ] E[ X ] ) A probabldade de ocorrer um sstro de vedaval em um seguro resdecal é de 0,00. Seja uma cartera com.000 apólces e com o valor de cada sstro ocorredo de acordo com uma dstrbução Expoecal ( α 0, 000 ). Calcular o carregameto de seguraça de modo que a probabldade do sstro agregado superar o prêmo puro total ão exceda a 5%, utlzado a aproxmação Normal d para S.

44 30 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo 3) Dado que a probabldade de ocorrer o sstro é de 0,0, calcular E [ ] e V [ ] as segutes stuações: a) Dstrbução do valor de sstro é fxa em $.000 b) Dstrbução do valor de sstro é Uforme (0,$.000) Aalse o resultado, sob a ótca de que ambas as dstrbuções do valor de sstro possuem a mesma méda. X X 4) Seja a dstrbução do valor total das dezações a cartera em ao com fução geratrz de mometos coforme abaxo: M d S 9 () t ( t) t < 0, 5 d d Calcular E [ S ] e [ S ] V. 5) Cosdere uma cartera com 00 apólces. Para cada apólce a probabldade de ocorrer um sstro é de /3 e B tem a segute fução de desdade: f B ( x) ( x) 0 < x < 0 caso cotráro Calcular P (S d >30) utlzado a aproxmação Normal. 6) Uma seguradora cobre o rsco de desmoroameto em um seguro resdecal em uma cartera com 00 resdêcas, coforme a segute dstrbução de mportâca segurada (IS): IS ($) Número de Apólces

45 Modelo do Rsco Idvdual Aual 3 A probabldade de ocorrer um desmoroameto em uma resdêca em ao é de 0,0. Os valores dos sstros seguem uma dstrbução Uforme (0,IS). Calcular: a) Méda do úmero esperado de sstros em ao; b) Varâca do úmero esperado de sstros em ao; c) Prêmo puro total aual que a seguradora deve cobrar de modo que a probabldade do sstro agregado aual superar o prêmo puro total aual ão exceda a 5%, cosderado uma aproxmação Normal para o sstro agregado;. d) Prêmo puro dvdual para cada segurado, cosderado os parâmetros do tem c); e) Taxa pura a ser aplcada à IS, cosderado os parâmetros do tem c); f) Carregameto de seguraça, cosderado os parâmetros do tem c).

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47 Modelo do Rsco Coletvo Aual Na costrução do modelo do rsco dvdual, abordado o capítulo, é utlzada a dstrbução do valor do sstro em cada apólce, assm como a dstrbução da ocorrêca de sstros em cada apólce. Neste capítulo desevolveremos o modelo do rsco etvo, o qual utlza o coceto de rsco agregado, ode a varável aleatóra sstro total produzdo por uma cartera de seguros, também chamada de varável aleatóra sstro agregado, é terpretada como a soma dos sstros de toda a cartera. No modelo do rsco etvo precsamos cohecer a dstrbução do valor de cada sstro, depedetemete da apólce à qual o sstro pertece, e cohecer a dstrbução do úmero total de sstros produzdo em uma cartera. As prcpas formas de obteção do sstro agregado serão apresetadas este capítulo, lustradas com algus exemplos prátcos. O MODELO DO RISCO COLETIVO ANUAL Neste modelo, estudamos a dstrbução de sstros de uma cartera como um todo, sem os preocuparmos com as característcas dos sstros produzdos por cada apólce, como acotece o modelo do rsco dvdual. 33

48 34 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Descrção do Modelo: S X+ X... + X Ode: S - Varável aleatóra que represeta o sstro agregado da cartera em um ao, ou varável aleatóra que represeta o valor total das dezações da cartera em um ao; N - Varável aleatóra que represeta o úmero de sstros a cartera em um ao; X - Varável aleatóra que represeta o valor do -ésmo sstro a cartera. N Veja que S é uma soma das varáves aleatóras X, sedo o úmero de termos da soma também aleatóro e gual a N. Hpóteses: a) X, X, X N são depedetes e detcamete dstrbuídas, sedo: p ( x) - Fução de probabldade de X : P ( x) - Fução de dstrbução acumulada de X. b) X, X, X N são depedetes de N Vejamos a segur, como determar a dstrbução de S, ou, alteratvamete, calcular ES [ ] e V [ S ], os quas defem a dstrbução de S. Se aplcarmos o Teorema Cetral do Lmte, a dstrbução de S pode ser cosderada Normal. TURLER 8, CRAMÉR 3 e BUHLMANN fazem uma descrção bastate detalhada do modelo do rsco etvo. DISTRIBUIÇÃO DE S Podemos obter a dstrbução de S de duas maeras: Por Covolução, a Partr das Dstrbuções de X e N F ( x) P( S x N ) P( N S 0 )

49 Modelo do Rsco Coletvo Aual 35 ( X + X X x) P( N ) F ( x) P S 0 ( x) P( N ) F ( x) P S Da mesma forma, 0 f ( x) p ( x) P( N S 0 Observações: ) a) P (x) e p (x ) são, respectvamete, a fução de dstrbução acumulada e a fução de probabldade da varável aleatóra valor de sstros ( X ); b) Se X tem dstrbução dscreta, etão, S terá dstrbução dscreta; Se X tem dstrbução cotíua, etão, S terá dstrbução cotíua. Cálculo de p * (x) e P * (x) Para calcular p (x) e P (x) desevolvdo a segur: utlza-se o processo de covolução, coforme X Dscreto Seja y um dos possíves valores que X pode assumr, etão, p ( X + X +... X x) P( X + X + X x y) P( X y) ( x) P... y p y ( x y) p( y), e pode ser represe- Ode p (x) é chamada de -ésma covolução de p (x ) tada por: p p p Da mesma forma, P ( x) P ( x y) p( y) y Ode, P P P

50 36 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo X Cotíuo Da mesma forma, Logo, P P P P P Ou seja, se M X (t) é a Fução Geratrz de Mometos assocada a Px ( ),etão, a Fução Geratrz de Mometos assocada a P (x) será: Observações: a) Se X ~ Gama ( α, β ), etão, X ~ Gama ( α, β ) Demostração: M X ( t) β β t α Gama (, β ) Coseqüêca: Se X ~ Expoecal ( β ), etão, X ~ Gama (, β ) Pos, Expoecal ( β ) é uma Gama (, β ) E, desta forma, etão,

51 Modelo do Rsco Coletvo Aual 37 b) A determação da dstrbução de S é extremamete trabalhosa, tato quado X possu dstrbução paramétrca cohecda, o que mplca em cálculos complexos de tegral e somatóros, tato quado trabalhamos com dstrbução empírca para X, o que requer recursos computacoas ão trvas. Exemplo : Uma cartera de seguros produz 0, ou sstros com as respectvas probabldades: 0,3; 0,4 e 0,3. Um sstro dessa cartera assume os valores $, $ ou $3, com as respectvas probabldades: 0,6; 0,3 e 0,. Obter (x) f S e F (x) x 0,,, 6 S Resposta: f ( x) p ( x) P( N S 0 ) Ode, p ( x) p ( x y) p( y) y Veja que as dstrbuções de N e X são: o p ( 0 ) p P ( N ) x p( x) 0 0,3 0,6 0,4 0,3 0,3 3 0, () 0,6 p ( ) 0,3 p () 3 0, p (4) p () p () + p (3) p () + p () p (3)

52 38 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo F S ( x) F S ( 0) x y 0 0,3 f S ( y) F S F S F S F S ( 3) 0, ,48 0,96 ( 4) 0,96 + 0,063 0,979 ( 5) 0, ,08 0,997 ( 6) 0, ,003 Observe como fo trabalhosa a obteção do valor de sstros pelo processo de covolução, mesmo X possudo somete 3 valores e dspostos de forma seqüecal. Quado o úmero de valores de X é grade, o processo de covolução é mpratcável. Exemplo : Calcular P ( x) e ( x ) F S, quado X possu dstrbução Expoecal (α ) e N possu dstrbução de Posso ( λ ). Resposta: a) Cálculo de P ( x) Sabemos que se X possu dstrbução Expoecal (α ), etão,

53 Modelo do Rsco Coletvo Aual 39 p P α x ( x) α e x > 0 α x ( x) e x > 0 Logo, P P Ao resolvermos esta tegral, chegaremos ao segute resultado: ( x) e ( + α x + ( α ) ) 3 α x x! Desta forma, etão, chegaremos à segute fórmula para P ( x) ( x) e ( α x) α x 0! α x α x Observe que lm P ( x) e e 0 : O que é um resultado bastate teressate, pos mostra que quado o úmero de sstros tede para fto, a probabldade do valor dos sstros ser meor ou gual a um valor de x fto é gual a zero. b) Cálculo de F ( x) F S S ( x) P ( x) P( N ) ( α x) λ α x e λ e 0 o 0!! Observe que o cálculo de F ( x) ão é smples de ser realzado, mesmo S quado se tem uma fórmula defda para P (x).

54 40 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo Pela Fução Geratrz de Mometos Sabemos que: M ( t) E[ e X M ( t) E[ e M N t X t N ] ] t S t S () t E[ e ] E[ E[ e N ]] S Seja: Logo, () t M ( t) M ( t M ) Pos as varáves X ( t) M X X X são depedetes. N N log M X ( t) [ M ( t) ] E[ e ] M ( t) E M S X ( log M ( )) ( t) M t S N X Desta forma, se cohecermos as dstrbuções de X e N, etão, coheceremos M N (t) e M X (t) e, cosequetemete, (t). X M S Exemplo 3: Dado que N possu dstrbução Geométrca ( p ) e que X possu dstrbução Expoecal com parâmetro α, calcule (t). M S Resposta: Se N possu dstrbução Geométrca ( p ), etão, Se X possu dstrbução Expoecal (α ), etão,

55 Modelo do Rsco Coletvo Aual 4 ( α t ) α e α t x α α α 0 ( ) α t t Como M ( t) M ( log M ( t) ) M S S N X, etão, p ( t) α q α t CÁLCULO DE ES [ ] E V [ S ] Cálculo de ES [ ] [ S ] M (0) E S M (0) M (0) M N N X ) E X ( log) M (0) M (0 E[ N ] E[ X ] S Podemos, também, calcular E [ S ] como segue: [ S ] E[ E[ S N ]] E[ E[ X + X + + X N ]] E E [ N E[ X ]] [ N ] E[ X ] N Pos os X são varáves aleatóras depedetes e detcamete dstrbuídas com dstrbução X. Este resultado é bastate tutvo, pos o valor esperado do sstro agregado é gual ao úmero médo de sstros multplcado pelo valor médo de sstro. Cálculo de V [ S ] [ S ] M (0) E[ S ] V S M S [ X ] E[ ] ( 0) E N

56 4 Modelos de Precfcação e Ruía para Seguros de Curto Prazo M N (0) E[ X ] E[ X ] + M N (0) ( E[ X ] E[ X ] E[ X ]) [ N ] E[ X ] + E[ N ] ( E[ X ] E[ X ] ) [ N ] E[ X ] E[ N ] V[ X ] (0) M S Logo, V S V E E + [ ] M ( 0) E[ X ] E[ N ] S E[ N ] E[ X ] + E[ N ] V [ X ] E[ X ] E[ N ] E [ X ] ( E[ N ] E[ N ] ) + E[ N ] V [ X ] [ X ] V [ N ] E[ N ] V [ X ] E + Podemos, também, calcular [ S ] V como segue: [ S ] E[ V [ S N ]] + V [ E[ S N ]] E[ V [ X + X + X N ]] + V [ E[ X X X N ]] N + [ N V [ X ]] V [ N E[ X ]] E + V [ X ] E[ N ] + E[ X ] V [ N ] N Pos os X são varáves aleatóras depedetes e detcamete dstrbuídas com dstrbução X. Este resultado os mostra que a varâca do sstro agregado é dretamete proporcoal à varâca do úmero de sstros e à varâca do valor de sstro. Exemplo 4: Calcular E [ S ] e [ S ] Resposta: V o exemplo.