XLVI Pesquisa Operacional na Gestão da Segurança Pública

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1 REDUÇÃO DA VARIABILIDADE DA SOLUÇÃO DA PROGRAMAÇÃO DINÂMICA DUAL ESTOCÁSTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO DE SISTEMAS HIDROTÉRMICOS Murilo Pereira Soares Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC Rio Marquês de São Vicente, 225, Gávea Rio de Janeiro, RJ, Brasil, Alexandre Street de Aguiar Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC Rio Marquês de São Vicente, 225, Gávea Rio de Janeiro, RJ, Brasil, Davi Michel Valladão Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC Rio Marquês de São Vicente, 225, Gávea Rio de Janeiro, RJ, Brasil, RESUMO O planejamento da operação energética no Brasil é realizado com o uso da Programação Dinâmica Dual Estocástica (PDDE), que é responsável por determinar as decisões de operação com base em modelos auto-regressivos (AR) e níveis de risco pré-estabelecidos. Neste trabalho mostramos que o uso de modelos AR para gerar cenários para a PDDE leva a uma desvantagem indesejável: a variabilidade da solução aumenta com relação às mudanças nas condições iniciais do problema. Propomos uma versão modificada da PDDE, com aversão a risco, com o objetivo de reduzir a variabilidade das decisões e dos custos marginais de operação induzida pelo uso de modelos AR. Mostra-se que é possível obter resultados com menos variabilidade e com as mesmas características que os obtidos pela abordagem tradicional. Além disso, consideramos que o método proposto é mais flexível, uma vez que não está limitado aos modelos lineares como no algoritmo da PDDE usado em sua forma original. PALAVARAS CHAVE. Otimização estocástica, planejamento energético, aversão a risco. Área principal. EN, OA ABSTRACT In the Brazilian energy operation planning, Stochastic Dual Dynamic Programming (SDDP) determines hydrothermal planning decisions based on auto-regressive (AR) models for associated risk factors. In this work we show that using AR models to generate scenarios leads to an undesirable drawback on SDDP: the variability of the solutions increases with respect to changes in the AR initial conditions. We propose a modified version of the risk averse SDDP algorithm aimed at reducing decisions and marginal costs variability induced by the use of AR models. We show that it is possible to obtain results with less variability and with the same characteristics of the ones obtained by traditional approach. Moreover, we argue that the proposed approach is more flexible since it is not restricted to linear models as in the original SDDP algorithm. KEYWORDS. Stochastic optimization, energy operation planning, risk aversion. Main area. EN, OA

2 1. Introdução 1.1. Motivação O planejamento da operação hidrotérmica no Brasil é realizado de forma centralizada por um operador independente, chamado Operador Nacional do Sistema Elétrico ONS, e é feito com o uso de uma cadeia de modelos computationais [Maceira (2002)] baseada na Programação Dinâmica Dual Estocástica (PDDE) [Pereira (1991)]. Estes modelos simulam o comportamento futuro do sistema hidrotérmico sob vários cenários hidrológicos e calculam uma política que minimiza a função objetivo, baseada em uma combinação entre valor esperado do custo total de operação e uma medida de risco. Os principais resultados dos estudos de planejamento da operação são as metas semanais de geração térmica e custos marginais de operação, além de índices de qualidade da solução que refletem as condições de fornecimento de energia esperados para um horizonte de até cinco anos. Estes resultados possuem impactos que vão desde contratos de comercialização de energia até políticas do Governo Federal para os setores de energia e economia. Os custos marginais de operação, que representam custos de oportunidade das usinas hidrelétricas considerando diferentes cenários para o horizonte futuro, também são usados como balizadores para os preços de energia em contratos bilaterais e na liquidação das diferenças no mercado de curto prazo. O planejamento da expansão do sistema elétrico, por sua vez, também usa um sinal dos custos marginais, e exige um comportamento estável e uma forte ligação entre o custo marginal calculado pelo modelo e o sistema real. No entanto, estes sinais podem ser inadequados devido à volatilidade da solução. Como exemplo, a ocorrência de condições hidrológicas favoráveis no curto prazo pode diminuir os custos marginais de operação para todo o horizonte, mesmo que haja problemas estruturais com fornecimento [Barroso (2006)] e, como conseqüência, o custo marginal refletiria a condição estrutural do sistema somente próximo a uma crise energética, quando não há tempo para investimentos adicionais [Barroso (2006)]. Um investidor, responsável por implementar o planejamento da expansão, pode desejar estabilidade regulatória e uma boa previsibilidade de preços futuros para reduzir o risco do investimento. O operador do sistema, por outro lado, deseja que decisões como a geração térmica sejam estáveis e não se alterem devido a pequenas variações nas condições iniciais do problema. Em todos os casos comentados, uma alta variabilidade na solução ou nos custos marginais aumenta a incerteza futura e pode ter consequências negativas, tais como a imprevisibilidade das necessidades de combustível de usinas térmicas, resultando em preços dos contratos de combustível mais elevados, menor previsibilidade de preços futuros e aumento do risco para os investidores, comercializadores e geradores hidrelétricos, fragilidade das decisões de operação do sistema, falta de um preço de referência realista para o mercado futuro e sinal distorcido para o planejamento da expansão. Além disso, sabe-se empiricamente que a solução da PDDE aplicada ao problema de planejamento da operação hidrotérmica é mais sensível às mudanças nas afluências passadas, que fornece uma informação incerta sobre a disponibilidade futura de recursos, do que à condição inicial de outras variáveis de estado, como o armazenamento. Este fato já foi apontado em [Barroso (2006)] e foi chamado de "ruído hidrológico" nesse trabalho. A variabilidade da solução e seus impactos são comentados com mais detalhes em [Barroso (2006)] e [Barroso (2011)]. Este comportamento é frequentemente criticado pelos agentes do mercado, uma vez que aumenta o risco do negócio e diminui a capacidade de investimento no setor de energia. Alguns mecanismos, tais como contratos bilaterais de energia, podem fornecer uma proteção adequada contra a volatilidade do preço à vista para as usinas térmicas, mas no caso de geradores hidrelétricos (maioria dos geradores brasileiros), estes contratos podem não ser suficientes para fornecer uma proteção completa e eles podem ser forçadas a transacionar quantidades substanciais de energia no mercado spot [Barroso (2011)] Objetivo O principal objetivo deste trabalho é propor uma modificação na PDDE visando reduzir

3 a variabilidade das decisões e dos custos marginais, sem comprometer as propriedades da solução obtida pela abordagem tradicional Contribuições e Organização do Trabalho Enquanto a variabilidade solução do problema de planejamento hidrotérmico e suas desvantagens foram previamente identificados na literatura, nenhuma referência a uma técnica de estabilização no âmbito PDDE foi encontrado. Com relação à literatura existente, a contribuição deste trabalho é propor uma abordagem que estabiliza as soluções primais e custos marginais, preservando suas características desejáveis, tal como a segurança do sistema, entre outras. Um método de solução mais estável e menos dependente da informação conjuntural (e incerta) aumenta a previsibilidade dos preços futuros e, como conseqüência, reduz os riscos dos agentes, faz com que os preços de curto prazo sejam mais estáveis, além de melhorar a qualidade do sinal recebido pelo planejamento da expansão. Como um subproduto da abordagem proposta, é possível utilizar a PDDE com qualquer modelo de séries temporais, mesmo aqueles não lineares, o que abre a possibilidade para muitas aplicações que não podem usar o algoritmo da PDDE hoje em dia. O restante do artigo está organizado da seguinte forma: a Seção Problema Hidrotérmico fornece uma visão geral do problema de planejamento da operação hidrotérmica e mostra alguns resultados que corroboram com a motivação deste trabalho. A Seção PDDE descreve brevemente a ideia geral do algoritmo PDDE. Na Seção Abordagem Proposta propomos e discutimos o uso de uma abordagem diferente no algoritmo PDDE visando reduzir a variabilidade das soluções. Na Seção Estudos de Caso apresentamos os resultados de um estudo baseado em dados reais para o sistema brasileiro e a Seção Conclusões contém algumas conclusões gerais do trabalho. 2. Problema Hidrotérmico 2.1. Descrição Geral O sistema elétrico interligado brasileiro é o maior da América Latina, com uma capacidade instalada no final de 2012 de ,00 MW (mais MW disponíveis da parte paraguaia de Itaipu), da qual 79,8% provém de usinas hidrelétricas, 18,8% provém de usinas térmicas e 1,4% de eólicas e biomassa [ONS (2012)]. A produção de energia durante 2012 foi de ,5 GWh, dos quais as usinas hidrelétricas foram responsáveis por 86% e as usinas térmicas por 12,4% [ONS (2012)]. O sistema hidrelétrico é composto de várias usinas com reservatórios e usinas a fio d água. Elas estão dispostas segundo uma topologia complexa ao longo de várias bacias e, juntas, têm uma capacidade de regularização plurianual. A capacidade de geração térmica inclui plantas nucleares, a gás natural, carvão e diesel. Estas diferentes fontes de energia estão distribuídas em todo o país e são interligadas por ,7 km de linhas de transmissão de alta tensão (igual ou superior a 230 kv) [ONS (2012)]. O objetivo do problema planejamento da operação é otimizar a operação do sistema seguindo um critério baseado em custos, considerando possíveis condições futuras do sistema, tais como a disponibilidade de recursos, a demanda de energia, restrições físicas, entre outros. Devido à capacidade de regularização plurianual das usinas hidrelétricas, o horizonte de planejamento é composto por até 60 meses (5 anos). A fim de reduzir a dimensão do problema, as usinas hidrelétricas em regiões com comportamentos hidrológicos semelhantes são agregadas em sistemas equivalentes de energia, conforme proposto por [Arvanitidits (1970)]. Como consequência, as variáveis do problema são representadas em termos energéticos, tais como fluxos de energia entre subsistemas e energia armazenada. Alguns subsistemas são conectados uns aos outros por linhas de transmissão, que são representadas como uma única ligação equivalente. O sistema interligado brasileiro é representado por quatro nós geração que compreende subsistemas Sudeste/Centro Oeste (SE/CO), Sul (S), Nordeste (NE) e Norte (N) e um nó fictício chamado Imperatriz. Os sistemas equivalentes estão sujeitos à capacidade de geração, disponibilidade de

4 energia armazenada e afluências incertas, enquanto as térmicas são representadas com uma capacidade máxima de geração e suas inflexibilidades, mas não estão sujeitas à disponibilidade de combustível na modelagem atual. Ao contrário das usinas hidrelétricas, as usinas térmicas tem um custo de produção por unidade de energia, que são representados pelos custos de combustível na formulação do problema. Para obter uma função de custo futuro que represente a continuidade do fornecimento de energia após o horizonte de planejamento, uma prática comum é adicionar um período de 60 estágios no final do horizonte de planejamento e considerar uma função de custo futuro vazia no final do último estágio. A função objetivo do problema de planejamento é minimizar uma medida do custo de operação (valor esperado ou a combinação convexa entre o valor esperado e uma medida de aversão ao risco) ao longo das até 120 etapas do problema. Em cada estágio, o custo total de operação é dado pelos custos de geração térmica, mais um termo que reflete o custo da falta de energia. O problema pode ser escrito, para todos os estágios t = T 1,,1 como: N Q t (v t 1, ξ t ) = min ct t gt t + d x i=1 cd i d t,i + β Q t+1 (1) t s. t. v t + gh t + s t = v t 1 + a t (2) v t+1 v t (3) gh t g t (4) gt t gt t gt t (5) N gh t,m + j NT m gt t,j + nf t,m + d i=1 d t,i,m = D t,m, m = 1,, N s (6) nf t,m = l Ω m (f t,l,m f t,m,l ), m = 1,, N s (7) f t,m,l f t,m,l, m = 1,, N s, l = 1,, N s (8) onde o vetor de variáveis de decisão, x t, é definido como x t = (gt t, gh t, d t, v t, s t, f t, nf t ). As variáveis do problema são: d t,i é o vetor de energias não atendidas (déficits) no patamar de déficit i, no instante t; v t é o vetor de energias armazenadasno início do estágio t; s t é o vetor de energias vertidas; gh t,m denota a geração hidráulica do sistema m no instante t; gt t,j denota a geração térmica da j-ésima usina térmica no estágio t; gh t é o vetor de gerações hidráulicas gh t = (gh t,1,, gh t,ns ); gt t é o vetor de gerações térmicas gt t = (gt t,1,, gt t,nt ); f t,l,m é o intercâmbio entre os sistemas l e m no estágio t; nf t,m é o intercâmbio líquido do sistema m; As constantes do problema são: ct t é o vetor de custos unitários da geração térmica; cd i é o vetor de custos unitários de déficit para a profundidade (patamar) i; a t é o vetor de energias afluentes nos sistemas no estágio t; β é a taxa de desconto usada para trazer os custos futuros para o valor presente; T é o número total de estágios do estudo; v t é o vetor de energias armazenáveis máximas no instante t; gh t é o vetor de geração hidráulica máxima; gt t é o vetor de geração témica máxima; gt t é o vetor de geração térmica mínima (inflexibilidades das usinas térmicas); f t,m,l é a capacidade de intercâmbio entre os sistemas m e l; N d é o número total de patamares de déficit; D t,m é a demanda de energia no sistema m no estágio t; NT é o número total de usinas térmicas;

5 NT m é conjunto com os índices das usinas térmicas do sistema m; Ω m é o conjunto de índices dos sistemas que possuem interligação com o sistema m; N s é o número total de sistemas; A aproximação da função de recurso, Q t+1, denota a aproximação da função de custo futuro esperado nos casos neutro a risco, mas também pode denotar a combinação convexa da função de custo futuro esperado com uma medida de risco. Embora simplificada em termos de representação física do sistema, a formulação mostrada preserva as características principais do problema e o seu porte, o que é importante para avaliar a abordagem proposta Variabilidade da Solução Algumas variáveis de decisão resultantes do planejamento da operação hidrotérmica são os intercâmbios de energia, a geração térmica e hidrelétrica, as energias armazenadas, turbinadas e vertidas ao longo do tempo. A incerteza do problema está associada às afluências incrementais às usinas hidrelétricas, que não são variáveis controláveis. Em aplicações reais, as afluências às usinas são representados por modelos de séries temporais auto-regressivos, o que exige um espaço de estados que inclua as afluências passadas. Embora igualmente representados como variáveis de estado, os volumes armazenados e as afluências passadas são diferentes em termos da informação que representam. Enquanto os volumes armazenados representam com precisão os recursos disponíveis em um dado instante de tempo, as afluências passadas ajudam a prever a disponibilidade futura de recursos, que é uma quantidade incerta. Outra característica dos volumes armazenados é que varia suavemente ao longo do tempo, enquanto as afluências apresentam variações elevadas em curtos períodos de tempo. Apesar de, intuitivamente, os volumes armazenados serem mais importantes, as afluências anteriores têm uma maior influência no processo de tomada de decisão. Como conseqüência, a solução obtida apresenta alta variabilidade, como mostrado na Figura 1 (plotada com dados de [ONS ( )]). São mostradas gerações térmicas semanais do sistema Sudeste de outubro/2012 a março/2013 (linha vermelha, o eixo da esquerda). A sua variação percentual é mostrada pelas barras (eixo da direita). A variação percentual absoluta média semanal é igual a 10,3%, com um valor máximo observado de 40%. Figura 1: Variação da geração térmica semanal entre outubro/2012 a março/2013 Como consequência, ocorre uma variabilidade indesejável do custo marginal, mostrada na Figura 2 (plotada com dados de [ONS ( )]). Esta figura mostra uma grande variação dos custos marginais por semana: a variação percentual absoluta média é de 25,5%. As barras mostram as mudanças dos custos marginais (em R$/MWh), e sua divisão em diferentes tipos de fontes de variação: a energia armazenada, as energias afluentes da primeira semana, dentre outras

6 razões. A proporção de cada tipo de variação é obtida por uma análise de sensibilidade, mudando apenas uma fonte de dados do problema a partir de uma semana para outra (por exemplo, previsão de afluências, volumes armazenados reais, etc.) e computando as mudanças no custo marginal. Parece claro que a principal fonte de variação é a mudança nas afluências da primeira semana, o que é contra-intuitivo para um problema que possui uma capacidade de regularização plurianual. Figura 2: Variação do custo marginal semanal entre outubro/2012 a março/ Redução da variabilidade da solução da PDDE Problemas de otimização multiestágios sob incerteza se tornaram muito comuns nas últimas décadas, com diversas aplicações práticas, especialmente em problemas de energia. Um dos fatores que contribuiram para o sucesso destas aplicações foi o desenvolvimento de algoritmos eficientes, geralmente baseados em técnicas de amostragem, tal como a Programação Dinâmica Dual Estocástica (PDDE), proposto por Pereira e Pinto [Pereira (1991)]. Este método é uma extensão da Decomposição de Benders para problemas estocásticos, os quais usam um processo de amostragem no espaço de estados do problema para a construção de uma aproximação da função de custo futuro. Algoritmos baseados em amostragem geralmente assumem independência temporal no sorteio de cenários usados no processo de estimação da função de custo futuro, ou seja, que esta função dependa apenas do estado do sistema em um dado instante. Assim, um corte calculado para um determinado cenário também é válido para qualquer outro cenário neste mesmo estágio. Apesar da independência temporal ser necessária, não é impositivo que apenas modelos independentes no tempo sejam usados para geração de cenários. A formulação do problema pode ser modificada de forma a considerar, no estado do sistema, informações passadas, tais como afluências anteriores ao estágio atual, o que possibilita que sejam utilizados modelos lineares para modelagem do processo estocástico [Pereira (1991)], tais como modelos autorregressivos. Basicamente, o algoritmo PDDE consiste em duas etapas: uma etapa direta no tempo (forward) e uma etapa reversa no tempo (backward). O passo forward da PDDE é realizado por meio da amostragem de um subconjunto de cenários de uma árvore de cenários finita, e executando uma simulação direta no tempo para cada um dos cenários amostrados. O principal objetivo deste procedimento é fornecer alguns estados prováveis do sistema para cada estágio do horizonte do estudo. Além disso, também pode ser utilizado para estimar um limite superior para a solução do problema, o que muitas vezes é usado por critérios de parada do algoritmo. Esta última possibilidade não será usada neste trabalho como um critério de parada pois, conforme

7 mencionado em [Shapiro (2011)], em problemas de grande escala os critérios tradicionais podem ser pouco úteis, já que usualmente se para o algoritmo bem antes de se obter a solução ótima do problema. O passo backward, por sua vez, é realizado em sentido reverso no tempo, e tem o objetivo de estimar a função de custo futuro para cada estado obtido pela etapa forward. Detalhes do algoritmo podem ser encontrados em diversos trabalhos, tais como [Pereira (1991)] e [Shapiro (2013)]. Uma possibilidade de melhorar os resultados PDDE em problemas de planejamento da operação hidrotérmica é recorrer a uma implementação avessa a risco. Embora usada por muitos anos no Brasil e em muitos países, a versão neutra ao risco do algoritmo PDDE pode levar, em algumas situações, a estados críticos de armazenamento do sistema e até mesmo à falta de energia. A probabilidade de alcançar tais estados críticos pode ser reduzida com a utilização de algum tipo de aversão a risco no algoritmo PDDE. O trabalho [Shapiro (2011)] propõe a introdução da medida de risco CV@R no algoritmo PDDE, e os primeiros resultados numéricos utilizando diferentes implementações são encontrados em [Philpott (2012)] e [Shapiro (2013)]. Esses trabalhos mostram que, dependendo da parametrização escolhida, a probabilidade de estados críticos do sistema é reduzida e, assim, a segurança energética é melhorada. A equação a seguir mostra a formulaçao geral do problema multiestágios, dos estágios t = 1,, T, considerando a medida de aversão a risco CV@R: min c Τ t x t + ρ λ (Q t+1 (x t, b t+1, ξ t+1 )) x t Q t (x t 1, b t, ξ t ) = s. t. T t x t 1 + A t x t = b t x t 0 onde ρ λ (Q t+1 (x t, b t+1 )) = (1 λ) E[Q t+1 (x t, b t+1, ξ t+1 )] + λ CV@R α (Q t+1 (x t, b t+1, ξ t+1 )) é a medida de risco que é responsável considerar o trade-off entre o valor esperado do custo futuro neutro ao risco e o valor esperado condicionado ao risco, CV@R. Esta medida de risco considera dois parâmetros: α é o percentual de cenários mais caros que são utilizados para estimar o CV@R, e λ [0,1] é o parâmetro que pondera a aversão a risco na função objetivo. A solução deste problema no âmbito PDDE é descrito em detalhes em [Shapiro (2013)]. Nos problemas de planejamento hidrotérmico, as afluências às usinas (ou aos sistemas equivalentes de energia) aparecem no lado direito das equações do problema, ou seja, podemos modelar o vetor b t como uma função de valores dos estados passados, tal como b t = k t + Φ [b t 1,, b t p ] Τ + ε t, onde k t é uma constante, p é a ordem modelo linear, Φ é a matriz de coeficientes de regressão e ε t é o vetor de inovações. Este modelo autorregressivo pode ser estimado por mínimos quadrados ou através das equações de Yule-Walker. Este tipo de modelo de séries temporais vem sendo utilizado em conjunto com o algoritmo de PDDE durante anos com o objetivo de obter uma melhor representação do problema real. Embora não possamos negar essa melhora, também não podemos negar o efeito colateral de aumentar a variabilidade solução. Com o objetivo de reduzir essa variabilidade, propomos que os estados do problema só considerem informações determinísticas sobre os recursos disponíveis ao sistema, isto é, apenas os armazenamentos iniciais. No problema hidrotérmico, isso implica que o acoplamento entre os estágios seja realizado apenas pelos armazenamentos, e que nenhuma informação sobre as afluências passadas seja utilizada no cálculo dos cortes Benders durante da etapa backward da PDDE. Em outras palavras, um modelo de séries temporais independente tem de ser utilizado para o processo de cálculo da função de custo futuro. No entanto, isto não significa que a geração de cenários deva ser míope com relação aos acontecimentos que possam impactar os cenários futuros, mas apenas que a distribuição dos cenários do estágio t não pode mudar devido a diferentes condições passadas. Desde que a independência temporal seja preservada, a utilização de informações, tais como correlações entre as usinas/sistemas e informações climatológicas, pode resultar em uma melhora na qualidade dos cenários gerados. (9)

8 Uma consequência imediata desta abordagem é a redução da variabilidade da solução, mas, por outro lado, a qualidade da decisão (em termos de custo e segurança) também pode ser reduzida. Para lidar com essa desvantagem, propomos que os estados para os quais são estimados os cortes da função de custo futuro, x t 1, sejam amostrados usando um modelo de série temporal bastante realista seja ele linear ou não com o objetivo de garantir que a função de custo futuro custo seja estimada para estados realistas. No entanto, este procedimento de uso de diferentes modelos para a estimação da função de custo futuro (modelo independente na etapa backward) e para a amostragem dos estados na etapa forward (modelo realista, sem restrições com respeito à sua formulação) pode não ser suficiente para garantir a mesma qualidade da solução que o algoritmo com dependência temporal pode proporcionar, e um passo adicional é necessário. Em situações críticas extremas, nas quais estágios com baixas afluências são seguidos por estágios de baixa afluência, o uso de um modelo autorregressivo permite que o algoritmo obtenha boas soluções, pois os cenários gerados para o cálculo dos cortes também serão críticos. Por outro lado, na ausência de informações a respeito do futuro, tais como previsões climáticas, um modelo de série temporal independente não será capaz de gerar seqüências de afluências críticas com a mesma frequência que o modelo autorregressivo. Assim, espera-se que a solução obtida seja menos conservadora do que a obtida com a utilização de um modelo de autorregressivo. Para lidar com estas situações críticas, o algoritmo da PDDE deve considerar uma medida de risco, como o CV@R, com peso superior ao utilizado para o caso de referência. A política resultante será mais conservadora, mesmo não considerando o viés proporcionado pelos modelos AR, e pode ser tão segura quanto a política calculada com o modelo AR. 4. Experimentos A fim de comparar a proposta apresentada com a abordagem tradicional da PDDE, foi realizada uma implementação computacional C++ usando o solver SoPlex [Wunderling (1996)], considerado as abordagens neutra a risco e com aversão a risco da PDDE, conforme detalhado em [Shapiro (2013)] Descrição dos estudos de casos Os estudos de caso utilizaram uma configuração simplificada do Sistema Interligado Nacional, baseada no Programa Mensal da Operação de janeiro de Os estudos de caso são: Neutro a risco: caso que representa a solução do problema quando nenhuma medida de risco é levado em consideração. CV@R (λ = 0.15 and α = 0.05): caso de referência para uma boa solução (pequenos riscos de corte de carga e aumento aceitável no custo de operação). CV@R BW indep. (λ = 0.40 and α = 0.05): abordagem proposta, com modelo de geração de cenários independente na etapa backward da PDDE e autorregressivo na etapa forward. Conforme mencionado anteriormente, o peso da aversão a risco nesta abordagem é maior que na tradicional, a fim de garantir a mesma segurança operativa. O protótipo computacional foi executado com um cenário por iteração (na etapa forward) ao longo de 3000 iterações. A árvore de cenários utilizada para cálculo da função de custo futuro possui 100 realizações por estágio com o número total de cenários = No final do processo iterativo, uma simulação forward extra com 2000 cenários foi realizada para avaliar propriedades da política. Os mesmos cenários foram usados em todos os estudos de caso para permitir a comparação justa dos mesmos. Por ser o maior subsistema, o Sudeste/Centro-Oeste será o foco das análises apresentadas. O tempo de processamento é similar entre as diversas abordagens, e não são alvo de detalhamento neste estudo, já que a abordagem proposta não apresenta nenhum impacto no esforço computacional. Os experimentos foram executados de forma monoprocessada, com duração média de 70 horas por caso, incluindo o tempo para realização da simulação forward extra Visão geral dos resultados A Tabela 1 mostra três índices que resumem os objetivos (conflitantes) do problema, os

9 quais devem ser minimizados. O objetivo de custo é representado pelo custo total médio considerando os 2000 cenários, e é melhor representado pela abordagem neutra a risco, o que é esperado, já que esta abordagem objetiva minimizar o valor esperado do custo total de operação. A segurança operativa, aqui representada pela frequência de déficits superiores a 3% da carga, é melhor representada pelo caso CV@R, o que também é esperado, já que este caso se trata de uma mudança no algoritmo para considerar, além do custo, a aversão a cenários muito caros. Isso resulta em uma política mais conservadora, com despacho térmico superior ao caso Neutro a risco, ou seja, com um maior custo de operação e um menor risco de déficit. Embora apresente um bom compromisso entre custo e segurança, a variabilidade solução é conhecida por ser semelhante ou até mesmo maior, em algumas situações, que o caso Neutro a risco. Por esta razão, o último índice compara a variabilidade solução (neste caso, mostra a média do intervalo de confiança a 90% dos custos marginais de operação), o que é melhor alcançado pela alternativa proposta. Tabela 1: Resumo dos resultados Custo Total Segurança (risco Variabilidade Esperado de déficit) Case study ( 10 6 ) (%) (R$/MWh) Neutro a risco 40, CV@R 49, CV@R BW indep. 47, Custos Operativos Os custos de operação para cada estágio são mostrados na Figura 3. As linhas contínuas mais grossas são os custos médios para a simulação com 2000 cenários. As linhas contínuas mais finas mostram os percentis 95%, e as linhas pontilhadas os percentis 99% de cada estágio. Ambos os casos com aversão a risco possuem resultados similares. Há uma redução nos picos de custo com um pequeno aumento no custo médio em relação ao caso neutro a risco Segurança Operativa Figura 3: Custo médio e percentis 95% e 99% em cada estágio Energia Armazenada Em um problema de planejamento hidrotérmico, uma solução conservadora pode ser caracterizada como aquela em que as térmicas são despachadas com mais freqüência e intensidade. Isto significa que as usinas hidrelétricas são usadas com mais cautela e os volumes armazenados são mantidos em níveis mais altos com o objetivo de reduzir os custos nas estações secas. Este comportamento é mostrado abaixo, onde ambos os casos com aversão ao risco têm maior volume (em média linha contínua e nos quantis 5% e 95% quantis linhas tracejadas).

10 Figura 4: Energia armazenada ao longo do estudo (média e percentis 95% e 5%) Riscos de déficit Os riscos de déficit, mostrados na Tabela 1, indicam que a abordagem proposta é capaz de reduzir o risco a valores aceitáveis e próximos aos obtidos com a abordagem tradicional Variabilidade da solução Além de ser capaz de encontrar soluções semelhantes às obtidas pelo caso com aversão a risco, a abordagem proposta deve ser capaz de reduzir a variabilidade da solução. O primeiro resultado avaliado, na Tabela 1, mostrou que houve uma redução na amplitude dos intervalos de confiança dos custos marginais de operação. O segundo resultado sobre variabilidade da solução é mostrado abaixo, onde vemos o custo marginal médio para cada estágio, juntamente com os percentis 5% e 95% da distribuição. Os custos médios marginais são semelhantes entre os casos com aversão ao risco, e maiores do que o caso neutro a risco, o que reflete a geração térmica mais elevada de casos com aversão ao risco. A dispersão dos custos marginais, por outro lado, é bastante reduzida com a abordagem proposta, uma vez que a distância entre os percentis 5% e 95% é menor neste caso. Figura 5: Custos marginais de operação (média e quatis 5% e 95%) Por fim, a figura abaixo mostra os histogramas das variações da geração térmica ao longo dos estágios. Para cada série foi calculada a variação da geração térmica em todo o horizonte de estudo, e em seguida foi calculado o desvio padrão destas variações. Com base nos 2000 valores

11 de desvios-padrão os histogramas foram plotados: em azul, o caso neutro a risco, e em vermelho os casos CV@R tradicional (esquerda) e com a abordagem proposta (direita). É possível observar com facilidade a redução da variabilidade da geração térmica se comparada ao caso neutro a risco e com aversão a risco tradicional. Figura 6: Variabilidade da geração térmica 5. Conclusões A proposta descrita neste trabalho visa reduzir a variabilidade solução do algoritmo PDDE. Experimentos computacionais aplicados ao problema de operação hidrotérmico mostraram que uma redução significativa da variabilidade é alcançada quando o modelo AR não é utilizado durante a estimativa da função de custo futuro na PDDE, e os resultados podem ser tão conservadores quanto os considerando a abordagem avessa a risco padrão no algoritmo PDDE. Referências Arvanitidits, N. and Rosing J. (1970), Composite representation of a multireservoir hydroelectric power system, Power Apparatus and Systems, IEEE, no. 2, pp Barroso, L., Rosenblatt, J., Guimarães, A., Bezerra, B. e Pereira, M. (2006), Auctions of contracts and energy call options to ensure supply adequacy in the second stage of the Brazilian power sector reform, 2006 IEEE Power Engineering Society General Meeting, p. 8. Barroso L. A., Street A., Granville S. e Pereira M. V. (2011), Offering Strategies and Simulation of Multi-Item Iterative Auctions of Energy Contracts, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 26, no. 4, pp Maceira M., Terry L., Costa F. S., Damázio, J. M. e Melo, A.C.G. (2002), Chain of optimization models for setting the energy dispatch and spot price in the Brazilian system, Power System Computation Conference, no. June, pp , ONS Operador nacional do sistema elétrico, Relatórios executivos dos programas mensais de operação, disponíveis em ONS Operador nacional do sistema elétrico dados relevantes [disponível online]: Pereira, M. e Pinto, L. (1991), Multi-stage stochastic optimization applied to energy planning, Mathematical Programming, vol. 52, pp Philpott, A. e Matos, V. (2012), Dynamic sampling algorithms for multi-stage stochastic programs with risk aversion, European Journal of Operational Research, vol. 218, no. 2, pp Shapiro, A. (2011), Analysis of stochastic dual dynamic programming method, European Journal of Operational Research, vol. 209, no. 1, pp Shapiro, A., Tekaya, W., da Costa, J. P. e Soares, M. P. (2013), Risk neutral and risk averse Stochastic Dual Dynamic Programming method, European Journal of Operational Research, vol. 224, no. 2, pp Wunderling, R. (1996), Paralleler und objektorientierter simplex, ZIB, Takustr.7, Berlin, Tech. Rep. TR