ESTUDO SOBRE AS FORMAS DO DISCURSO UTILIZADAS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

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1 ESTUDO SOBRE AS FORMAS DO DISCURSO UTILIZADAS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS BRANDT, Célia Finck (UEPG) BASSOI, Tânia Stella (UEPG) KLUPPEL, Gabriela Teixeira (UEPG) WOLSKI, Denise Therezinha Marques (UEPG) Introdução De acordo com Freitas (2003), a partir das séries finais do ensino fundamental, existe grande número de alunos com dificuldade para realizar a passagem da aritmética para a álgebra. Neste estudo, realizamos uma análise dos registros de representação utilizados por alunos para resolução de determinadas situações problema à luz da teoria de registros de representação semiótica de Raymond Duval. Os dados empíricos são referentes a situações problema propostas a alunos da educação básica e superior. Com base nesses dados coletados, analisamos a produção dos alunos e concentramos nossa atenção nas operações cognitivas de tratamento e conversão utilizadas durante a resolução das situações problema. Neste contexto, analisamos os três tipos de registros identificados, pertencentes a sistemas semióticos diferentes: língua natural, linguagem numérica e algébrica. Buscou-se, com as análises realizadas, a compreensão dos sentidos e dos significados das respostas apresentadas pelos alunos, partindo de um quadro definido de categorias prévias que pudessem determinar o tipo de registros de representação em problemas de aritmética-álgebra estariam sendo efetuados. Assim, conhecer como os alunos têm apresentado as respostas das situações problema é uma problemática que se põe e que nos inquieta e, por essa razão buscamos resposta para as seguintes questões: Que operações discursivas são mais recorrentes pelos alunos na resolução de problemas matemáticos? Há diferenças de discurso na 1

2 resolução de problemas segundo o grau de escolaridade? A que se devem essas diferenças? O discurso utilizado na resolução do problema matemático é válido do ponto de vista de argumentação matemática? Esta investigação tem por objetivos apresentar explicitar as operações discursivas mais recorrentes pelos alunos na resolução de problemas matemáticos; apontar, por meio de reflexão analítica, as diferenças de discurso na resolução de problemas segundo o grau de escolaridade e a que se devem essas diferenças; validar, do ponto de vista de argumentação matemática, o discurso utilizado na resolução do problema matemático. Procedimentos de coleta de dados e análise de dados: resultados O procedimento de coleta de dados empíricos compreendeu a organização de problemas matemáticos cuja especificidade diz respeito à possibilidade de utilização ou não da linguagem algébrica para a sua resolução. Os problemas foram propostos para alunos de diferentes graus de ensino (fundamental, médio e superior) de duas cidades paranaenses. Para os alunos do ensino fundamental e médio foram propostos dois problemas 1 e para os alunos do ensino superior, três problemas, conforme apontados no quadro a seguir: Problema 1 Problema 2 Problema 3 Susan comprou um produto que custa R$ 25,00. A máquina que aceita o pagamento do produto, aceita notas de R$ 1,00, R$ 5,00 e R$ 10,00. Faça uma lista das diferentes combinações de notas que Susan poderia usar para pagar o produto. Há mais de uma resposta para o problema? Justifique. Escrevam três números naturais ímpares cuja soma é vinte, Justifique sua resposta. Proposto aos alunos do ensino fundamental, médio e superior. Proposto aos alunos do ensino fundamental, médio e superior. Estou pensando em dois números de dois algarismos. A soma dos algarismos de cada um é 10 e a diferença entre os números é 18. Quais são os números? Justifique sua resposta e escreva como a obteve. Proposto aos alunos do superior. 1 Um dos problemas foi retirado do estudo realizado por Freitas (2003). 2

3 As informações qualitativas oriundas dos registros escritos apresentados pelos alunos dos diferentes níveis foram analisadas de acordo com as seguintes especificidades: 1. Registro numérico 2. Registro algébrico 3. Registro com utilização da língua materna 4. Registro com utilização da língua formal As respostas dadas aos problemas foram analisadas em relação ao valor de prova entendido como provas de natureza pragmática ou intelectual. As respostas apresentadas com utilização da linguagem algébrica foram avaliadas em relação ao estatuto da letra, conforme classificação de Lombard (1991, citado por FREITAS,2003, p.114): como variável, como valor desconhecido ou como valor indeterminado. Esse estatuto se relaciona ao valor da argumentação ou dedução matemática. Os registros foram considerados em relação ao valor de prova e, por essa razão, os dados foram organizados segundo a tabela a seguir: Monofuncional Multifuncional Numérico Algébrico Língua natural e/ou formal Problema Letra com estatuto de variável Letra com estatuto de incógnita Letra com estatuto de indeterminação Raciocínio argumentativo Raciocínio dedutivo Prova Pragmática Intelectual Não Algébrica Algébrica Os sujeitos da pesquisa serão identificados por um código para preservar suas identidades. Os alunos do ensino fundamental serão precedidos da letra F, do ensino médio da letra M e do superior da letra S. Os problemas foram numerados de 1 a 3 e os sujeitos de 1 a n. Os dados empíricos puderam então ser identificados. Assim 3-S8 refere-se à solução apresentada ao problema 3 pelo aluno número 8 do ensino superior. 3

4 Após a coleta de dados, foi realizada uma leitura de cada uma das respostas apresentadas pelos alunos. Essa primeira análise deu-se por meio de leituras efetuadas sem interpretações prévias e sem hipóteses em relação a teoria. Em seguida separamos as respostas cujos resultados foram apresentados, em língua natural, numérica ou algébrica. O número de respostas apresentadas foi codificado segundo o tipo de registro utilizado, a saber: Registro Numérico que significa uma solução estritamente numérica Registro Algébrico que significa uma solução que lança mão da linguagem algébrica e na qual a letra pode assumir diferentes estatutos (letra como variável,por exemplo, y = 2x; como incógnita, por exemplo x + 3 = 5; ou como valor desconhecido, por exemplo A = b x h) Registro Língua Natural caracterizado por soluções que utilizam a somente a língua natural para expressar a solução Para esses três tipos registros, as respostas apresentadas para os três problemas podem ser representados nos gráficos a seguir: PROBLEMA 1 Ensino Fundamental / Ensino Médio / Ensino Superior PROBLEMA 2 Ensino Fundamental / Ensino Médio / Ensino Superior 4

5 PROBLEMA 3 Ensino Médio / Ensino Superior A qualidade da produção apresentada por um sujeito individual vai ser evidenciada, enquanto análise, em relação ao embasamento ou elaboração teórica (apoiadas em propriedades ou teoremas matemáticos) e à utilização de certos procedimentos de análise e argumentação. Para a análise dos trabalhos elegemos duas frentes. A primeira, como já relatamos, refere-se aos dados resultados em língua natural, numérica e algébrica, para os quais temos os Registros Monofuncionais. Temos igualmente o Registro 5

6 Monofuncional algébrico que foi dividido em três tipos em virtude do estatuto da letra: variável, incógnita e ou indeterminação. Os Registros Multifuncionais como a língua materna e o raciocínio argumentativo foram utilizados e apresentam discurso utilizando a língua natural e raciocínios baseados em observações, além de não seguirem regras fixas pré-definidas. Para os três tipos de problemas os registros dos tipos monfuncionais ou multifuncionais podem ser representados nos gráficos a seguir: 20% PROBLEMA 1 80% Registros As respostas que utilizaram registros monofuncionais lançaram mão de registros numéricos (alunos do Ensino Fundamental, Médio e Superior). 91% As respostas que utilizaram registros multifuncionais lançaram mão da língua natural. Os dados empíricos a seguir ilustram exemplos desse fato. 9% Registros Monofuncional Multifuncional 33% 67% Registros Ensino Fundamental Ensino Médio Ensino Superior Monofuncional Multifuncional Monofuncional Multifuncional 6

7 PROBLEMA 2 No ensino fundamental todos os registros monofuncionais são numéricos, os registros multifuncionais não são utilizados na resolução dos problemas. No ensino médio é utilizada a língua materna nos registros multifuncionais e nos registros monofuncionais 65% são registros numéricos e 35% são registros algébricos. No ensino superior os alunos utilizam nos registros multifuncionais língua natural (30%), raciocínio argumentativo (30%) e raciocínio dedutivo (40%), para os registros monofuncionais 60% dos alunos utilizam registros numéricos e 40% registros algébricos. PROBLEMA 3 Ensino Médio Ensino Superior No problema três os alunos do ensino médio utilizam registros multifuncionais de língua materna (60%) e raciocínio argumentativo (40%), nenhum aluno utilizou os registros monofuncionais. No ensino superior em relação aos registros multifuncionais 45% dos alunos utilizam língua materna, 27,5% raciocínio argumentativo, 27,5% 7

8 raciocínio dedutivo, os registros monofuncionais foram utilizados 20% registro numérico e 80% registro algébrico. As respostas dos alunos também foram classificadas em dois tipos de provas: pragmática ou intelectual, que podem ser representados nos gráficos a seguir: PROBLEMA 1 Ensino Fundamental / Ensino Médio/ Ensino Superior PROBLEMA 2 Ensino Fundamental/ Ensino Médio/ Ensino Superior PROBLEMA 3 Ensino Médio/ Ensino Superior 8

9 Para a análise os exercícios foram corrigidos, a correção esta representada pelos gráficos a seguir: PROBLEMA 1 ENSINO FUNDAMENTAL PROBLEMA 2 ENSINO FUNDAMENTAL PROBLEMA 1 ENSINO MÉDIO PROBLEMA 2 ENSINO MÉDIO PROBLEMA 3 ENSINO MÉDIO PROBLEMA 1 ENSINO SUPERIOR PROBLEMA 2- ENSINO SUPERIOR PROBLEMA 3 ENSINO SUPERIOR 9

10 Exemplos de algumas respostas apresentadas pelos alunos Respostas referente ao Problema 1. A resolução desta situação problema foi a mesma, independente do nível de Ensino, pragmática e não-algébrica. A maioria dos alunos utilizou registros numéricos. Aluno: M1 Resposta pragmática, não-algébrica com registro numérico. Aluno: M5 Resposta pragmática, não-algébrica com registro em língua natural. 10

11 Aluno: S2 Resposta pragmática, não-algébrica com registro numérico. Respostas referentes à questão 3. Os alunos do ensino fundamental na sua maioria não conseguiram concluir este exercício. Aluno: F10 Resposta pragmática, não-algébrica com registro numérico. Aluno: M5 Resposta não-algébrica com registro em língua natural. Aluno: M7 Resposta não-algébrica com registro em língua natural. 11

12 Por meio das respostas apresentadas por escrito, a análise dos dados empíricos nos leva ao plano do discurso, exigindo o entendimento que a língua possui no funcionamento do pensamento humano. Dessa forma, refletimos sobre a afirmação de Duval (1995), que nos mostra que a linguagem, enquanto sistema semiótico, não deve ter apenas a função de comunicação. As funções discursivas possuem operações cognitivas e, para que seja possível o discurso, de acordo com Duval (1995), um sistema semiótico precisa cumprir determinadas funções. São elas: apofântica (expressa enunciados completos), expansão discursiva (articulação de enunciados completos numa unidade coerente), referencial (designa objetos) e reflexividade (transformação recorrente de um enunciado completo). Essas funções são apresentadas num esquema proposto pelo autor:emprego de uma língua: o Discurso Funções Discursivas Referencial Apofântica De expansão discursiva Reflexividade discursiva Designação de objetos (Operações discursivas...) Construção de um enunciado completo (Operações discursivas...) Articulação de enunciados completos numa unidade coerente (Operações discursivas...) Transformação potencialmente recorrente de um enunciado completo (Operações discursivas...) Narração Raciocínio Regras: gramática da narração Descrição Explicação Argumentação Retórica Dedução Lógica FIGURA 5 Esquema das operações discursivas segundo Duval Fonte: Duval (1995, p.89) 12

13 As Operações da Função de Expansão Discursiva As operações de expansão discursiva podem ser determinadas a partir de dois modos de progressão do discurso: o primeiro é caracterizado como lógico e o segundo como natural por ser mais espontâneo. Quando um discurso se limita a produzir inferências, segundo Duval (1995), a progressão das proposições é realizada por substituição do resultado das novas inferências sobre as que foram feitas nas proposições anteriores. Essa expansão discursiva por inferência funciona por substituição, como em um cálculo (DUVAL, 1995, p.114). Para ele o entendimento de um discurso desenvolvido nesse modelo, requer que cada vez mais se note a aplicação da regra utilizada, estando esta se coloca explícita ou implícita ao discurso. Não é desse modo que se faz a progressão do discurso em uma narração, descrição ou em uma explicação. O autor mostra que durante os diferentes discursos, as frases se unem umas às outras e vão, desse modo, determinando a progressão dos objetos neles tratados, transformando-os ou enriquecendo-os no próprio percurso discursivo. As unidades apofânticas serão consideradas de formas diferentes (ora como proposições, ora como frases) em cada um dos modos de expansão discursiva, segundo Duval (1995). Desta forma, essas unidades apofânticas podem ser consideradas por meio de seu conteúdo ou a partir de seu estatuto. De acordo com o conteúdo, elas podem ser identificadas por diferentes aspectos: a materialidade dos signos que permitem a sua distinção em relação à outra unidade apofântica, a significação das suas expressões referenciais e predicativas assim como das associações que são permitidas 13

14 devida a rede semântica da qual provem, ou de seu valor lógico de verdade. Diante de outro enunciado na organização do discurso (premissa, regra, conclusão), o estatuto de uma unidade apofântica corresponde ao papel que esta cumpre. Normalmente, estabelece um valor epistêmico à unidade apofântica, que se fará a partir do contexto ao qual se localiza o discurso: marco teórico (definições, axiomas, teoremas), como também, marco social (normas, opiniões, crenças). Duval (1995) aponta ainda que a expansão discursiva por substituição dependerá do estatuto dos respectivos enunciados, que podem estar previa e explicitamente fixados desde o começo, de acordo com o marco teórico e com as hipóteses que fundamentam o enunciado, ou no momento em que ele aparece durante o discurso. Assim esse estatuto faz parte do sentido do enunciado. De outra forma, quando a expansão discursiva acontece por acumulação, a evolução do enunciado depende do conteúdo expresso. O estatuto é quase sempre esquecido, pois se imagina que as informações expressadas têm o mesmo valor epistêmico e estão relacionadas ao mesmo assunto. As formas de expansão discursiva Para as formas de expansão discursiva, Duval (1995) salienta quatro formas associadas à expansão discursiva que possibilitam o reconhecimento do propósito que há na unidade de uma série de frases como, a narração de um conto, os passos de um raciocínio, a descrição de um objeto, a justificativa de uma declaração. São elas: expansão lexical, expansão formal, expansão natural e expansão cognitiva. 14

15 Análises dos dados empíricos Os discursos apresentados por meio de respostas aos problemas propostos, em virtude de sua expansão discursiva foram investigados cognitivamente e possibilitaram a compreensão dos textos buscando enfrentar a dificuldade relacionada ao que se não se tornou explícito exigindo do pesquisador inferências apoiadas na mobilização de conhecimentos referente à temática. As operações de expansão discursivas mobilizadas pelos alunos, nesses discursos, foram avaliadas conforme sua natureza lógica ou espontânea e conforme a produção de inferências realizadas por substituição. Dessa forma foi possível perceber a regra utilizada estando ela explícita ou não. Podemos apresentar a solução do aluno M8 que envolveu uma prova pragmática não algébrica em língua natural. A natureza lógica do raciocínio pode ser percebida quando ele afirma que trabalhou com numerais cuja soma dos algarismos fosse 10 e a partir da retirada de 18 unidades encontra o outro número. Essa lógica possibilita inferências que correspondem aos numerais que substituem as frases do enunciado do problema. Quando os discursos caracterizaram narração, descrição ou explicação também foi possível avaliar a progressão dos objetos neles tratados realizada por acumulação de informações, sendo que o desenvolvimento desses discursos requereu, segundo 15

16 Duval (1995) uma apreensão sinóptica de todas as frases e de todas as relações que existem entre elas (p. 114) e tornou-se necessário uma assimilação dos aspectos gerais que compunham as frases e as relações estabelecidas entre elas. É o caso da solução apresentada por S4 cuja solução é caracterizada como pragmática, não-algébrica com registro numérico e registro em língua natural. A explicação dada permite que se verifique a progressão do pensamento do aluno ao descobrir uma PA com a sequência dos números formados de acordo com a condição do problema. Essa descoberta se deu por acumulação das informações que essa sequência forneceu, permitindo a obtenção da solução do problema. Do ponto de vista de valor de prova é possível inferir que essa solução é válida, do ponto de vista de argumentação matemática na qual o discurso utilizado na resolução do problema matemático combina registro numérico com registros na língua natural.. Os discursos foram avaliados em relação às suas unidades apofânticas que foram consideradas ora como proposições, ora como frases, por meio de seu conteúdo (materialidade dos signos que permitem a sua distinção) ou a partir de seu estatuto (a significação das suas expressões referenciais e predicativas assim como das associações que são permitidas devido à rede semântica da qual provem, ou de seu valor lógico de verdade). Esse estatuto correspondeu ao papel que cumpriu diante de outro enunciado na organização do discurso (premissa, regra, conclusão...) e de que forma estabeleceu um valor epistêmico à unidade apofântica por meio das definições, teoremas, axiomas. No caso do aluno M7 as unidades apofânticas caracterizaram um conteúdo (7 + 16

17 3 = 10 e = 10) que cumpriu o papel de organização da solução do problema pelo aluno, ou seja, de sua conclusão, confirmada pela operação de subtração apresentada em forma de algoritmo: Do ponto de vista de validade argumentação matemática essa solução é válida mas não esgota todas as soluções possíveis para o problema. As unidades apofânticas utilizadas expandem o discurso permitindo inferir que a solução obtida levou em consideração os dados do problema. Já a solução apresentada pelo aluno S1 não pode se validada do ponto de vista da argumentação matemática (apesar de certa por acaso), pois o estatuto das unidades apofânticas utilizadas são falsos em relação à significação referencial, pois a sentença x y = 18 não poderia expressar a diferença entre os números visto que x e y designavam os algarismos da cada um desses números. Já o aluno S8 que apresenta uma solução algébrica utiliza unidades apofânticas de outra natureza que tem validade pelo seu estatuto que confere significação às suas expressões referenciais e predicativas e às associações permitidas pela rede semântica da qual provem, isto é, da linguagem algébrica. O valor lógico de verdade vai depender das relações matemáticas corretas estabelecidas. 17

18 Agora quando a expansão discursiva se faz por acumulação, a evolução do enunciado depende do conteúdo expresso. O estatuto é quase sempre esquecido, pois acredita-se que as informações expressadas possuem o mesmo valor epistêmico e estão relacionadas ao mesmo assunto. Os discursos foram avaliados em relação às quatro formas associadas à expansão discursiva, apontadas por Duval (1995), que permitem o reconhecimento do propósito que há na unidade de uma série de frases como, os passos de um raciocínio, a narração de uma história, a descrição de um objeto, a justificativa de uma declaração. São elas: expansão lexical, expansão formal, expansão natural e expansão cognitiva. A análise dessas formas se faz pela coerência do texto, ditadas por regras que asseguram a continuidade do propósito em uma sequência de frases ou nas proposições assertivas. Uma caminhada discursiva pode ser feita por meio de uma dessas formas, entretanto elas podem ser combinadas em um texto, desde que sejam respeitadas as regras de coerência e a gramática textual. Sendo assim, segundo o que afirma esse autor, não se pode pretender uma aprendizagem da produção escrita, bem como, da compreensão de texto se não se levar em consideração o desenvolvimento de 18

19 capacidades de discriminação destas quatro formas de expansão discursiva. Nossas análises foram baseadas na existência de relações de similaridade entre as unidades apofânticas (similaridades semióticas e semânticas ou similaridades internas ou externas), pois segundo Duval (1995) são essas relações que permitem a expansão discursiva e as inferências. Essa similaridade entre duas unidades apofânticas é dada pelos significantes que constituem cada uma delas respectivamente. Quando há uma repetição dos mesmos significantes de um enunciado a outro, temos uma similaridade semiótica. Por exemplo, a palavra razão (significante) pode ser empregada em duas expressões referenciais não equivalentes: a razão entre duas grandezas é... ou ele tem razão ao afirmar que.... Se expressões referenciais equivalentes são empregadas em enunciados diferentes provocando uma invariância referencial enquanto que a diferença de sentido entre elas permite que a segunda tenha um progresso discursivo em relação à primeira, então estamos falando de uma similaridade semântica. Por exemplo, o produto de dois números é positivo ou x.y > 0. Quando a passagem de um enunciado a outro se faz naturalmente, ou seja, quando o reconhecimento do léxico (vocabulário) básico da língua é suficiente para a identificação da similaridade semiótica ou da similaridade semântica, então dizemos que há uma similaridade interna entre os dois enunciados. É o que revela a solução apresentada por M5 classificada como não algébrica em língua natural caracteriza uma similaridade interna. Do ponto de vista da argumentação matemática essa solução é válida visto que em função da expansão do discurso pode-se inferir que existe o conhecimento da propriedade matemática a soma de dois números ímpares é par e ao somar um terceiro não poderia dar 20 que é par. Já a solução apresentada por S8 classificada como algébrica explicita uma similaridade semântica e sua validade, do ponto de vista da argumentação matemática 19

20 está assegurada, pois o estatuto das unidades apofânticas utilizadas é verdadeiro em relação à significância referencial. Interessante é o caso dessa passagem ser feita indiretamente pelo recurso a um terceiro enunciado. Duval (1995) aponta que este enunciado estabelece uma continuidade discursiva entre os outros dois quando cumpre duas condições: ter uma similaridade semiótica ou semântica com um deles e ter um estatuto teórico e social tanto por aquele que o produz ou para o seu destinatário. Nesse caso temos uma similaridade externa dos enunciados. Por exemplo, os enunciados um número é 5 unidades maior que outro e a diferença entre dois números é 5 podem ser substituídos por um terceiro enunciado x y = 5 ou subtraindo dois números encontramos 5 com estatutos teóricos diferentes para alunos com maior ou menor conhecimento matemático e, por esta razão, com similaridade externa diferente. A solução apresentada por S4 explicita essa similaridade externa quando o aluno recorre a dois discursos para dizer a mesma coisa: se eu pegar... n o par + n o ímpar = ímpar. Essa continuidade semântica assegura a validade da solução apresentada do ponto de vista da argumentação matemática. 20

21 Obtém-se assim as quatro formas de expansão discursiva possíveis para o registro de uma língua. Mecanismos de expansão Similaridade semiótica (são recuperados alguns significantes) Similaridade interna (continuidade sem um terceiro enunciado) Expansão LEXICAL (recuperação do sentido de uma mesma unidade do vocabulário sob um modo fonético-auditivo ou gráfico-visual) Associações verbais, ocorrências Linguagem do inconsciente a razão entre duas grandezas é... ou ele tem razão ao afirmar que.... Similaridade externa (continuidade com um terceiro enunciado) Expansão FORMAL (recurso exclusivo aos símbolos: notações, escrita algébrica,...) Raciocínio dedutivo (proposições de estrutura funcional) Calculo proposicional, cálculo de predicados,... um número é 5 unidades maior que outro e a diferença entre dois números é 5 Terceiro enunciado subtraindo dois números encontramos 5 21

22 Similaridade semântica Lei de Frege: significantes diferentes e mesmo objeto. (Invariância referencial estrita ou global) Expansão NATURAL (somente o conhecimento da linguagem corrente é suficiente) Descrição, Narração Argumentação retórica Silogismo aristotélico (proposição de estrutura temática predicativa) Expansão COGNITIVA (exige o conhecimento de definições, regras e leis para um domínio de objetos) Explicação Raciocínio dedutivo (proposição de estrutura temática condicional) Raciocínio pelo absurdo o produto de dois números é positivo ou x.y > 0 Raciocínio pelo absurdo Terceiro enunciado x y = 5 FIGURA 6 - As quatro formas de expansão discursiva de uma expressão Fonte: Duval (1995, p. 119) A expansão lexical é baseada na recuperação de um mesmo significante, por identificação homofônica ou homográfica, que garante a continuidade e a coesão do discurso na passagem de uma frase à outra. Nossas análises também se voltaram para a expansão formal que ocorre pela aplicação de regras de substituição, embasadas exclusivamente em símbolos que representam variáveis ou proposições, independentemente de sua significação Tais regras permitem a obtenção de uma nova asserção quando há a substituição de símbolos na asserção de partida, como em uma demonstração. Outra forma de expansão discursiva levada em conta na análise dos dados foi a expansão cognitiva, caracterizada pelo emprego especializado da linguagem natural cujo vocabulário é limitado pelas terminologias restritas a um conhecimento dominado pelos alunos ao registrarem a resolução dos problemas. Esse vocabulário associativo vai expressar significações estabelecidas pelas definições, pelos enunciados das demonstrações, por observações, experiências, etc. São associados a essa expansão discursiva as descrições, explicações técnicas e teóricas, além de algumas demonstrações. Em relação às demonstrações o que as difere da forma de expansão formal está no fato de que as regras de substituição, baseadas apenas na forma do símbolo, já não são relevantes. A quarta e última expansão discursiva, considerada nas análises foi a expansão natural, caracterizada pelo emprego comum da linguagem. Nela há a mobilização 22

23 simultânea da rede semântica de uma língua natural e dos conhecimentos práticos do próprio meio sócio-cultural daqueles que produzem o discurso. Considerações finais Na presente pesquisa buscamos identificar as operações discursivas recorrentes pelos alunos na resolução de problemas matemáticos. Procuramos identifica diferenças de discurso na resolução de problemas segundo o grau de escolaridade. E Também se o discurso utilizado na resolução do problema matemático é válido do ponto de vista de argumentação matemática. Avançamos com algumas análises e nos aproximamos de algumas respostas que puderam ser expostas neste texto. As reflexões analíticas foram fundamentadas na teoria de Representações Semióticas de Raymond Duval que se mostrou adequada para encontrar explicações sobre as diferentes formas de resolver problemas, apresentadas pelos alunos e de validálas do ponto de vista da argumentação matemática. Estamos ainda procedendo com análises dos diversos dados empíricos oriundos da aplicação dos instrumentos nas diferentes turmas. REFERÊNCIAS DUVAL, Raymond. Sémiósis et pensée humaine :registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Suisse: Peter Lang, FREITAS, J. L. M. Registros de representação na produção de provas na passagem da aritmética para a álgebra. In: Aprendizagem em matemática: registros de representação semióticas. MACHADO, S. M. (org.). Capinas, SP: Papirus, p LOMBARD, P. A propôs de nouveaux programmes. Repères-Irem, n. 2, Topiques Editions,