Lista de Exercícios I

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1 UNIVRSIDAD FDRAL FLUMINNS Departamento de conomia Laboratório de conometria I Lista de xercícios I Questão 1 - A tabela abaixo apresenta a distribuição de probabilidade conjunta entre a situação empregatícia e a região de residência em uma determinada cidade. Desempregados (0 mpregados (1 Total Região Sul (0 0,15 0,45 0,60 Região Norte (1 0,10 0,0 0,40 Total 0,5 0,75 1,00 a A taxa de desemprego é a fração da força de trabalho que está desempregada. Mostre que a taxa de desemprego é dada por 1-[]. Taxa de desemprego (0/[(0+(1 0,5/1 0,5 Agora calcule 1-[] 1 ( 0. ( ( 1 ( 0, 5 0.0, ,75 0,75 Valor igual ao calculado acima para a taxa de desemprego. b Calcule [ 1] e [ 0]. ( ( ( ( 1, ( 1 ( ( ( ( 1, ( 0 0, 0,75 0,4 0,45 0,75 0,6 c Usando a lei das expectativas iteradas, obtenha []. Usando os resultados que você já encontrou no exercício da letra (b, pode fazer direto: ( ( ( (. ( (. ( 0 + (. ( ,75.0,6 + 0,75.0,4 0,75 1

2 d Calcule a taxa de desemprego para: i Indivíduos na região sul. ii Indivíduos na região norte. (i Da letra (a, você já sabe que a taxa de desemprego é igual a 1-(y: ara moradores da Região Sul: taxa de desemprego é igual a: 1 ( 1 0,75 0, 5 0 ( 0 ( 0, 0 0,15 0, ,6 ( (ii Fazendo de forma similar ao item acima, chegará numa taxa de desemprego de 0,5 e Um morador dessa cidade selecionado aleatoriamente diz que está desempregado. Qual é a probabilidade de que este indivíduo more na região sul? ( ( 0, 0 0 0,15 0,6 0 0,5 ( 0 f ode-se dizer que a região de residência e a situação do trabalhador (empregado/desempregado são independentes? xplique. Teria que verificar se as probabilidades conjuntas são iguais à multiplicação de todas probabilidades marginais, ou seja: ( 0, 0 ( 0. ( 0 0,15 0,6.0,5 VRDAD ( 0, 1 ( 0. ( 1 0,45 0,6.0,75 VRDAD ( 1, 0 ( 1. ( 0 0,10 0,4.0,5 VRDAD ( 1, 1 ( 1. ( 1 0, 0,4.0,75 VRDAD

3 Questão - [Baseado na Tabela. de Stock e Watson (00] Você precisa usar um computador do laboratório para escrever um texto. O computador designado aleatoriamente para você pode ser velho ou novo, e pode congelar algumas vezes durante seu uso, sendo necessário reiniciá-lo. Defina variável aleatória que assume valor 0 se o computador é velho e 1 se o computador é novo; variável aleatória que assume valor 0 se o computador não congela nenhuma vez, valor 1 se o computador congela 1 vez etc. A distribuição de probabilidade conjunta das variáveis e é dada pela tabela abaixo: Total 0 0,5 0,065 0,05 0,05 0,01 0,50 1 0,45 0,05 0,01 0,005 0,00 0,50 Total 0,80 0,10 0,06 0,0 0,01 1,00 a Qual é a probabilidade de você receber um computador velho? ( 0 0,5 50% b Qual é a probabilidade de você receber um computador que não congele nenhuma vez? ( 0 0,8 80% c Qual é a probabilidade de você receber um computador velho que não congele nenhuma vez? ( 0, 0 0,5 5% d Você usou o computador e ele não congelou nenhuma vez. Qual é a probabilidade de se tratar de um computador velho? ( 0 / 0 0,5 / 0,8 0,475 4,75% e Você recebeu um computador velho. Qual é a probabilidade dele não congelar nenhuma vez? 0 / 0 0,5 / 0,5 0,7 70 ( % f Você recebeu um computador velho. Qual é o número esperado de congelamentos dado que o computador é velho? ( 0. ( ( 1 +. ( +. ( + 4. ( 4 0 ( 1, 0 ( (, 0 ( (, 0 ( ( 4, 0 ( 0 0 0,56 0

4 g Você recebeu um computador novo. Qual é o número esperado de congelamentos dado que o computador é novo? ( 0. ( ( 1 +. ( +. ( + 4. ( 4 1 ( 1, 1 ( (, 1 ( (, 1 ( ( 4, 1 ( 1 1 0,14 1 h Você ainda não sabe se receberá um computador velho ou novo. Qual é o número esperado de congelamentos? ( 0,10 + 0,1 + 0,09 + 0,04 0, 5 Questão -Sejam e duas variáveis aleatórias com médias µ x e µ y e variâncias σ x e σ y respectivamente. rove: a Cov(,[(-µ x ] [(-µ y ] COV OU (, [ ( µ ( µ ] ( µ µ + µ µ ( µ ( µ ( + µ µ ( µ µ µ µ + µ µ ( µ µ ( µ µ ( µ [ ( µ ] ( µ µ ( µ µ ( µ [ ( µ ] b Se µ y 0 ou µ x 0, então cov(, (. Vem direto da fórmula da covariância: cov(, ( (. ( ( µ µ ( 0 c Se ( µ y, então cov(, 0. Da letra (b, sabemos que: cov(, ( ( (. (. µ ( ( 0 ( 4

5 VAR a a d Sejam a e b duas constantes, prove que var [a+b] a var( [Use var(w(w - [(W] ]. ( a + b ( a + b ( a + b ( ( a + ab + b ( a. ( + b ( + ab. ( + b a ( ( ab. ( b a ( a ( ( ( ( ( a.var( ( Questão 4 ste exercício mostra que cov(, 0 não implica necessariamente ( µ y (uma constante independente de. Sejam e Z duas variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão e +Z. a Mostre que ( ( + Z + ( Z + 0 Lembre que Z e são duas variáveis aleatórias independentes, logo, (Z/(Z0 Lembre que toda variável aleatória normal padrão tem média igual a zero b Mostre que (0 [Você deve usar o resultado do item (a e o fato que, para uma variável normal padrão qualquer W, (W 0]. [. ] [.( + Z ] [ +. Z ] [ ] + [. Z ] 0 c Mostre que cov(,0. [. ] 0 [ ]. [ ] 0 cov( ( (. ( 0 Questão 5 Seja igual ao número de gols que um jogador de futebol faz em lances para o gol. Sendo (00,44, (10,, (0,6. Calcule as probabilidades abaixo: a ( 0 1 b ( 1 0,64 c (0< 0,56 5

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