Computação. Fundamentos do Cálculo. Raquel Montezuma Pinheiro Cabral

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1 Computção Fundmentos do Cálculo Rquel Montezum Pinheiro Cbrl Ciêncis Artes Químic Biológics Plástics Computção Físic Mtemátic Pedgogi

2 Computção Fundmentos do Cálculo Rquel Montezum Pinheiro Cbrl Fortlez 06 Ciêncis Artes Químic Biológics Biologi Plástics Artes Computção Físic Mtemátic Pedgogi Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

3 Copyright 06 Todos os direitos reservdos dest edição à UAB/UECE Nenhum prte deste mteril poderá ser reproduzid, trnsmitid e grvd, por qulquer meio eletrônico, por fotocópi e outros, sem prévi utorizção, por escrito, dos utores Editor Filid à President d Repúblic Dilm Vn Rousseff Ministro d Educção Aloísio Mercdnte Presidente d CAPES Crlos Afonso Nobre Diretor de Educção Distânci d CAPES Jen Mrc Georges Mutzig Governdor do Estdo do Cerá Cmilo Sobreir de Sntn Reitor d Universidde Estdul do Cerá José Jckson Coelho Smpio Vice-Reitor Hidelbrndo dos Sntos Sores Pró-Reitor de Pós-Grdução Jerffeson Teieir de Souz Coordendor d SATE e UAB/UECE Frncisco Fábio Cstelo Brnco Coordendor Adjunt UAB/UECE Eloís Mi Vidl Diretor do CCT/UECE Lucino Mour Cvlcnte Coordenção d Licencitur em Computção Frncisco Assis Amrl Bstos Coordenção de Tutori e Docênci em Computção Mri Wild Fernndes Felipe Editor d UECE Ersmo Miess Ruiz Coordendor Editoril Rocylâni Isidio de Oliveir Projeto Gráfico e Cp Roberto Sntos Digrmdor Frncisco Oliveir Conselho Editoril Antônio Lucino Pontes Edurdo Dithy Bezerr de Menezes Emnuel Ângelo d Roch Frgoso Frncisco Horácio d Silv Frot Frncisco Josênio Cmelo Prente Gisfrn Nzreno Mot Jucá José Ferreir Nunes Liduin Fris Almeid d Cost Lucili Grngeiro Cortez Luiz Cruz Lim Mnfredo Rmos Mrcelo Gurgel Crlos d Silv Mrcony Silv Cunh Mri do Socorro Ferreir Osterne Mri Slete Bess Jorge Silvi Mri Nóbreg-Therrien Conselho Consultivo Antônio Torres Montenegro (UFPE) Eline P Zmith Brito (FGV) Homero Sntigo (USP) Ied Mri Alves (USP) Mnuel Domingos Neto (UFF) Mri do Socorro Silv Argão (UFC) Mri Lírid Cllou de Arújo e Mendonç (UNIFOR) Pierre Slm (Universidde de Pris VIII) Romeu Gomes (FIOCRUZ) Túlio Btist Frnco (UFF) Editor d Universidde Estdul do Cerá EdUECE Av Dr Sils Mungub, 700 Cmpus do Itperi Reitori Fortlez Cerá CEP: Fone: (85) Internet: wwwuecebr E-mil: eduece@uecebr Secretri de Apoio às Tecnologis Educcionis Fone: (85) Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

4 Sumário Apresentção5 Cpítulo - Limites7 Sequêncis reis e limites9 Mtemátic básic0 Gráficos de rets e limites0 4 Conceito de limites e continuidde de funções 5 Proprieddes dos limites5 6 Limites lteris9 7 Limites infinitos e no infinito 7 Limites infinitos 7 Limites no infinito4 8 Teorem do confronto7 9 Limite trigonométrico fundmentl8 Cpítulo - Derivds Introdução5 Velocidde médi e instntâne5 A ret tngente um curv6 Definição de derivd7 Derivds de funções elementres8 4 Continuidde e derivbilidde9 5 Proprieddes opertóris ds derivds4 5 Derivd do produto de um constnte por um função4 5 Derivd d som4 5 Derivd de um polinômio4 54 Derivd do produto de dus funções4 55 Derivd do quociente de dus funções4 56 Derivd de potêncis com epoente negtivo4 57 Derivds de ordem superior44 6 A regr d cdei45 6 Derivd d função compost45 6 Derivd de funções trigonométrics, eponenciis e logrítmics46 6 Derivd ds funções eponenciis48 64 Derivd ds funções logrítmics 48 Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

5 Cpítulo - Aplicções ds Derivds5 Introdução55 Equção d ret tngente55 Crescimento e decrescimento de funções56 Máimos e mínimos58 4 Utilizndo derivd primeir e derivd segund pr trçr gráficos6 5 Problems de otimizção64 6 Regr de L Hôpitl66 Cpítulo 4 - Noções de Integris69 Introdução7 A integrl como ntiderivd7 Proprieddes d integrl indefinid7 Método d substituição pr clculr integris74 4 Integrl definid e o Teorem Fundmentl do Cálculo75 5 Proprieddes ds integris definids79 6 Integris de Riemnn8 Sobre utor85 Fundm_Clculoindd 4 9/0/6 4:8

6 Apresentção Este mteril foi produzido pr Disciplin de Fundmentos do Cálculo, do Curso de Licencitur em Computção, ofertdo distânci pel Universidde Estdul do Cerá e tem como objetivo oferecer um cnl de comunicção com o luno, pr que poss orientr seus estudos e fcilitr su prendizgem O mior responsável pelo sucesso d prendizgem é o próprio luno e, pr isso, é necessário que ele se orgnize, estbeleç horários de estudo, lei tentmente o mteril, fç s tividdes proposts, note dúvids e erros que tenh cometido n resolução ds tividdes, pr que poss tirr sus dúvids, sej no momento presencil com o professor d disciplin, ou com jud de colegs e tutores Os conceitos qui presentdos são úteis pr estudntes do curso de Licencitur em Computção e pr compreendê-los são necessários, pens, conteúdos no ensino básico (Ensino Fundmentl e Ensino Médio) Compreendemos que, muits vezes, lguns desses conhecimentos form esquecidos, ou não form bem prendidos e, por isso, são oferecids, o longo dos cpítulos, informções e eplicções d mtemátic básic utilizd Demonstrções de teorems são de grnde importânci n mtemátic, oferecendo melhor compreensão e comprovção do que foi firmdo No entnto, demonstrções longs estão lém d finlidde desse mteril, por isso, lgums dels serão presentds de form simplificd ou omitids Nesses csos, indicmos um bibliogrfi complementr pr queles que desejrem profundr seus estudos de Cálculo Este mteril foi elbordo com muito cuiddo, pr que poss judr o estudnte construir conhecimentos e utilizá-los qundo deles necessitr Estmos torcendo pelo seu sucesso! A utor Fundm_Clculoindd 5 9/0/6 4:8

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8 Cpítulo Limites Fundm_Clculoindd 7 9/0/6 4:8

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10 Fundmentos do Cálculo 9 Objetivos Compreender conceitos de limite e continuidde de funções Operr com limites de funções Compreender limites lteris, infinitos e no infinito Utilizr o teorem do confronto pr resolver limites Conhecer limites trigonométricos Neste cpítulo bordmos o conceito de limite, fundmentl pr o Cálculo Diferencil e Integrl Apresentmos, inicilmente, idei de limites recordndo conhecimentos de sequêncis e gráficos de rets, borddos no Ensino Médio e, prtir desss noções, pssmos os conceitos Ao finl dest unidde esper-se que o luno compreend os conceitos de limite e continuidde de funções, sib operr com limites de funções, compreend csos prticulres de limites lteris, infinitos e no infinito, lém de conhecer e utilizr o teorem do confronto e o limite trigonométrico fundmentl no cálculo de limites Sequêncis reis e limites Podemos compreender noção de limites estudndo sequêncis de números reis Eemplo: Imgine que um pesso desej percorrer um distânci de km, ms pretende fzê-lo de form relizr, inicilmente, metde do cminho, em seguid, metde d metde que sobrou e ssim sucessivmente n Prtindo do somtório presentdo, podemos supor que pesso jmis percorreri este quilômetro totlmente, pois sempre restri um distânci percorrer (Conhecido como Prdoo de Zenão) Fundm_Clculoindd 9 9/0/6 4:8

11 0 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Mtemátic básic Note que s prcels d som podem ser vists como um sequênci e que, n medid em que o denomindor cresce, frção n se proim de zero, 4, 8,, n k No Ensino Médio, estudmos s Progressões Geométrics, sequêncis que se modificm prtir do produto de um vlor constnte N sequênci presentd, cd novo termo é encontrdo prtir d multiplicção do termo nterior por q (rzão d PG) No estudo ds Progressões Geométrics, deduzimos lgums fórmuls n- que judm determinr o termo gerl, n q, e som dos termos: - n q Sn n - q Note que qundo n tende zero, escrevemos n " 0, então, S - q No cso d sequênci nteriormente presentd, os termos estão diminuindo e se proimndo de zero, tnto qunto se queir Utilizndo os ddos do eemplo, onde e q, temos que: S & S - Conclusão: N medid em que n cresce, n torn-se próimo de zero, chegndo o limite dess sequênci que será igul Assim, pesso do eemplo citdo, lcnçri seu objetivo de ndr km Podemos escrever que: lim n n" Gráficos de rets e limites Outr mneir simples de bordr noção de limite é fzendo uso do gráfico de um ret, ou sej, gráfico de um função do º gru Eemplo: Sej f: R " R, um função definid por f () - Desejmos nlisr o comportmento dest função qundo se proim de O gráfico d função é um ret, como podemos determinr: y 0 - Fundm_Clculoindd 0 9/0/6 4:8

12 Fundmentos do Cálculo O gráfico d função mostr como vrim os vlores de (f) Y y,9 4,7, 5,,99 4,97,0 5,0,999 4,997,00 5,00 Observndo o que contece com f() qundo se proim de, por números menores ou miores que, notmos que função se proim de 5 Mtemátic básic: Um função f: R " R, definid por f() +b, é chmd função polinomil do primeiro gru e seu gráfico é um ret Além disso, ess ret é contínu, ou sej, não possui interrupções Conclusão: N medid em que se escolhem vlores de cd vez mis próimos de, encontrmos vlores pr f() cd vez mis próimos de 5 Como f() 5, podemos dizer que qundo tende pr, f() tende f(), ou sej, o limite de f() qundo tende pr é f() Escrevemos que: lim f () f( ) 5 " Outro eemplo despert pr o tipo de funções que não estão definids pr todos os reis Eemplo: Anlise o comportmento d função presentd seguir, qundo se proim de f () - - Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

13 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Solução: Y y 0,9,9,, 0,99,99,0,0 0,999,999,00,00 Note que função não está definid pr, pois este vlor nul o denomindor Por outro ldo, função f proim-se de qundo se proim de Conclusão: A função f() está definid pr todos os vlores em torno de, eceto pr, ms f() fic rbitrrimente próimo de, qundo se proim de Podemos, portnto, dizer que o limite eiste e: lim - " 4 Conceito de limites e continuidde de funções Agor que temos um noção intuitiv de limite formlizmos su definição Definição: Sej f() um função definid em um intervlo berto em torno de o, podendo, ou não, estr definid em o Dizemos que f() tem limite L qundo tende 0, se n medid em que se proim de o, o vlor de f() se proim de L Nesse cso escrevemos: lim f () L " o Conceito: Um função f() é contínu em o, se e somente se f( o ) e lim f() eistem e 0 lim f () f ( o) " o Conceito: Dizemos que um função f é contínu em um determindo intervlo [,b], se el é contínu em cd ponto do intervlo, ou sej, f não possui interrupções Se função não for contínu em um ponto 0, dizemos que este é um ponto de descontinuidde São eemplos de funções contínus em seus domínios s funções: polinomiis, rcionis, trigonométrics, eponenciis e logrítmics Mtemátic básic: Um função rcionl é um rzão entre dois polinômios: p^h r^h q^h Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

14 Fundmentos do Cálculo A função r() não é definid pr vlores de que nulm o denomindor, ou sej, com q()0, pois nesse cso terímos um indeterminção Esse e outros tipos de indeterminções ocorrem nturlmente qundo considermos limites de funções rcionis e outrs funções elementres, como veremos dinte Eercícios resolvidos lim f (): Dd f() 4, R, clcule " lim f () lim( 4 - ) 4-6 " " Sej f() -5+6, R, clcule lim - f(): lim f () lim( ) (-) -5(- ) " - " - Pr refletir Clcule os limites seguir: ) lim 4 b) lim 4 +4 c) lim Podemos, ind, encontrr o limite em pontos de descontinuidde de um função qundo est coincidir com um função contínu, como foi mostrdo no eemplo d função f ^ h -, que não está definid em - Note que podemos simplificr epressão, usndo ftorção: ( )( ) f () , pr! Assim, ( )( ) lim lim - lim( + ) + " " " Mtemátic básic: No ensino fundmentl são estuddos os produtos de polinômios e lguns deles são tão utilizdos, que recebem o nome de produtos notáveis Destcmos lguns dos mis importntes produtos notáveis, pr que se poss recordr (+y) + y + y (Qudrdo d som de dois termos) (-y) y + y (Qudrdo d diferenç de dois temos) (+y)(-y) y (Produto d som pel diferenç de dois termos) Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

15 4 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro (+y) + y+y + y (-y) y+y y (Cubo d som de dois termos) (Cubo d diferenç de dois termos) No eemplo presentdo, trnsformmos epressão em produto, por meio d ftorção, pr poder simplificá-l Recordmos lguns csos de ftorção que serão muito úteis - Ftor comum em evidênci E: (-) - Agrupmento E: + b + y + by (+b) + y(+b) (+b)(+y) - Reconhecimento de produtos notáveis E: y (+y)(-y) E: + y + y (+y) - Som e diferenç de dois cubos E: + y (+y)( -y+y ) E: y (-y)( +y+y ) - Diferenç de potêncis E: n y n ( y)( n + n y++y n +y n ) Eercícios resolvidos Determine lim f ^h +, se! 0, d função descontínu f () ' " 0 5, se 0 Solução: Como f() é descontínu em 0 e considerndo função contínu g () +,! R, temos: lim f () lim g () lim " 0 " 0 " 0 Note que, n função, pr 0 temos que y 5, no entnto, o limite d função no ponto 0 é Fundm_Clculoindd 4 9/0/6 4:8

16 Fundmentos do Cálculo 5 Considere função f ^ h + Encontre lim f^h " 0 Solução: Como f() é um função descontínu pr 0, simplificmos epressão e encontrmos função g()+ que é contínu pr qulquer vlor de + ^+ h + Dest form, lim f () lim g () lim " 0 " 0 " 0 Pr refletir Clcule os limites: ) lim " b) lim " c) lim " 8 - -, se> Clcule lim f (), sendo( - +, se< " 5 Proprieddes dos limites Sejm f e g funções, contínus ou não no ponto o, de modo que eistm lim" 0 f () Lelim" 0 g () Kcom, LK,! R Propriedde d som: O limite d som de dus funções é igul à som dos seus limites lim6 f ^ h+ g ^ h@ L+ K " 0 Propriedde d diferenç: O limite d diferenç de dus funções é igul à diferenç dos seus limites lim6 f ^ h- g ^ h@ L- K " 0 Propriedde do produto por um constnte: O limite de um constnte c! R, por um função é igul o produto d constnte pelo limite d função Fundm_Clculoindd 5 9/0/6 4:8

17 6 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro lim(()) cf c L " o Propriedde do produto: O limite do produto de dus funções é igul o produto dos seus limites lim( f ( ) g () h L K " o Propriedde do quociente: O limite do quociente de dus funções, considerndo que o limite do denomindor sej diferente de zero, é igul o quociente de seus limites f () lim, g () K L com K! 0 " o Propriedde d potênci: Sejm r, s Z, com s 0, tl que L! R O limite d potênci rcionl de um função é igul à potênci do limite d função r lim(()) f / s r L / s " o Propriedde d compost: Sej g um função contínu, tl que seu domínio contém L Então vle dizer que: lim gf (()) glim f () k gl ( ) " 0 " 0 Mtemátic básic Dds dus funções fa : " BegB : " C, chmmos de função compost de g e f função gof: A" C, definid por g(f()), com A Eemplo: Dds s funções f: R " R, definid por f() + e g: R " R, definid por g() Podemos determinr função compost g(f()) d seguinte mneir: g(f()) (f()) - (+) r s Eercícios resolvidos: Clcule: lim( - + ) 0 Solução: lim( - + ) lim 0 lim 0 + lim Determine lim : " 0 Solução: lim ( - + ) lim ( ) lim " " " 0 Fundm_Clculoindd 6 9/0/6 4:8

18 Fundmentos do Cálculo 7 Clcule o vlor de lim ( + ) : Solução: lim ( + ) (lim ( + )) ( +) 5 5 Mtemátic básic: vimos que funções trigonométrics, eponenciis e logrítmics são eemplos de funções contínus Isso sugere que, em lguns eercícios sobre limites, possm ser envolvids esss funções e, por isso, é necessário um breve recordção - Função eponencil: Sej > 0 e A função eponencil de bse é d form: f() Podemos trçr um esboço do gráfico de um função eponencil, considerndo que função será crescente qundo bse > e decrescente qundo 0 < < > 0<< - Função logrítmic: Sej > 0 e A função logrítmic de bse é invers d função eponencil y, e escreve-se d form: f()log Definição de logritmo: Sejm, b > 0 e, log b b Podemos trçr um esboço do gráfico de um função logrítmic f()log, considerndo que função será crescente se bse > e decrescente se 0 < < > 0<< Fundm_Clculoindd 7 9/0/6 4:8

19 8 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Proprieddes importntes dos logritmos: Sejm m R, > 0 e, log 0 e log m m Proprieddes opertóris dos logritmos: Logritmo do produto: Sejm m, n, > 0 e log (m n) log m + log n Logritmo do quociente: Sejm m, n, > 0, n 0 e m log n logm logn Logritmo d potênci: Sejm n R, m, > 0 e log m n n log m Logritmos importntes: logritmos decimis e logritmos nturis b logblog 0 b e log e lnb onde e,78 - Funções trigonométrics: Pr trnsformção entre s uniddes de grus e rdinos, utilize: 80 o πrd Considerndo o círculo d figur, com centro no ponto (0,0) e rio r, definimos s funções: y sen y cos r, sen r, tg cos, sec cos, cossec sen e cot g tg Principis identiddes trigonométrics: sen α + cos α sec α + tg α cossec α + cotg α Eistem muits outrs identiddes trigonométrics importntes que devem ser recordds Pesquise em livros do ensino médio ou n internet Fundm_Clculoindd 8 9/0/6 4:8

20 Fundmentos do Cálculo 9 Pr refletir Clcule os limites: ) lim ( ) b) lim 4 (+) c) lim " d) lim " r sen f) lim " + + g) lim 4 log h) lim " i) lim - - " e) lim ( +) Supondo que lim f() 4 e lim g(), determine: ) lim (f() g()) c) lim b) lim (f() g()) " f () + g () f () 6 Limites lteris Eistem funções que não estão definids pr tod ret, presentndo pontos de descontinuidde É possível que esss funções presentem limites diferentes qundo nos proimmos pel direit, ou pel esquerd, dos pontos de descontinuidde, ou ind, que não presentem limites lteris Conceito: Dd f() definid em (,b), com < b Se f() se proim de L n medid em que se proim de nesse intervlo, dizemos que função possui limite lterl à direit o que é escrito ssim: lim f () L " + Conceito: Dd f() definid em (c,), com c< Se f() se proim de K n medid em que se proim de nesse intervlo, dizemos que função possui limite lterl à esquerd e escrevemos: lim f () K " - Conceito: A função f() terá um limite qundo se proim de se, e somente se, tiver limite lterl à esquerd e à direit e estes forem iguis lim f () L + lim f() L e lim f() L " - + " " Fundm_Clculoindd 9 9/0/6 4:8

21 0 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Observção: Utilizmos notção pr indicr proimção de por vlores à su esquerd (menores que ) De mneir totlmente nálog, notção + indic proimidde de por vlores à su direit (miores que ) Eemplos: Sej f () um função contínu em R * R-" 0, A função f(), pr 0, é definid em um intervlo berto contendo, ou sej, eiste f() pr próimo de pel esquerd e pel direit Assim, lim e lim & lim " - " + " Dd f () percebemos que: n medid em que se proim de 0 pel esquerd f() tende, e qundo se proim de 0 pel direit f() se proim de De fto,, f () se > 0 * - -, se < 0 Dess form, lim f () - elim f() " 0- " 0+ Considerndo f () A função é contínu em R + e pr todo > 0, temos que lim" elim" Porém, pr 0 não se + define o limite à esquerd, pois função não está definid pr vlores menores que zero Pr refletir Sej f () um função contínu definid no intervlo [0,] Determine os limites, se estes forem definidos: ) lim " f () d) lim f () - " 0 + b) lim " f () + e) lim " f () - c) lim " 0 f () - f) lim " f () + Determine os limites que forem definidos ns funções seguir: ) lim " log b) lim log - " + Fundm_Clculoindd 0 9/0/6 4:8

22 Fundmentos do Cálculo Considerndo função f () -, clcule os limites indicdos: ) lim " f () c) lim f () - " b) lim " f () + 7 Limites infinitos e no infinito Observmos, inicilmente, o comportmento ds funções dos eemplos seguir Eemplos: Desejmos encontrr o limite d função f () +, qundo + Note que qundo +, tem-se que " 0, ou sej, lim " + + k + 0 Mostrremos que lim + " Verificmos que não podemos utilizr propriedde do quociente, pois encontrrímos um indeterminção do tipo Note que, + e que qundo + temos que " Assim, lim + lim + " " Considermos função f () + 0, definid pr 0, e nlismos o seu gráfico Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

23 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Utilizndo função do eemplo podemos considerr dus situções: ª situção: O que ocorre com função no cso em que cresce rbitrrimente, lim " + f (), ou decresce rbitrrimente, lim "- f () Qundo bordmos s sequêncis decrescentes, visulizmos que qundo + frção " 0, pois form considerdos, pens, vlores positivos Observmos que o mesmo ocorre qundo - Donde concluímos que: lim f () 0 e lim f() 0 " + "- ª situção: Anlisndo o comportmento do gráfico qundo 0, notmos que qundo 0 - frção "-, Por outro ldo, qundo 0 + frção " + Assim, lim f () - e lim f() + " 0- " 0+ Observe que utilizmos noções e operções simples pr plicr os conhecimentos dquiridos Pr refletir Determine os limites: ) lim " b) lim " - c) lim " + Comprove iguldde seguir: + lim " 7 Limites infinitos Sej f() um função que ssume vlores positivos pr Se lim f() 0, então, lim" + + f () 0 De mneir nálog, sendo f() um função que ssume vlores negtivos pr e lim f() 0, lim f () 0 " - - Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

24 Fundmentos do Cálculo Eercícios resolvidos Determine o limite de lim " 0, se eistir Solução: Considerndo f(), observmos que lim o f() 0 e que função ssume vlores positivos pr 0 Dess form, temos que: lim + f () " 0 Adquirimos um compreensão ind mior, qundo observmos o gráfico de : Sej função f definid por - se 0 f () *, se > 0 Determine os limites lteris qundo 0 Solução: Anlisndo inicilmente o limite à esquerd: limf() lim( ) Por outro ldo, qundo nlismos o limite pel direit temos: lim f () lim " 0+ " 0+ Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

25 4 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Pr refletir Determine os limites seguir, se eistirem: ) lim " 0 - f) lim " 4-4 b) lim " 0 + c) lim " 0 6 d) lim e) lim 4 " " g) lim - " h) lim " + - i) lim " 0 log + j) lim " 0+ sen sen k) lim " cos 7 Limites no infinito Ness seção, trtmos dos limites de funções em que + ou -, e considermos, nos eemplos seguir, três situções prticulres Observção: As proprieddes opertóris dos limites, vists nteriormente, continum válids qundo se trt de limites no infinito ª situção: Alguns limites de funções qundo + ou -, podem tmbém ser iguis + ou - Eemplo : Considerndo função f(), tribuindo vlores pr e observndo seu gráfico, podemos clculr seus limites no infinito Y Fundm_Clculoindd 4 9/0/6 4:8

26 Fundmentos do Cálculo 5 Dess form, lim - e lim + + ª situção: Eistem funções que tendem pr um número rel qundo + ou - Eemplo : Sej f () +, definid pr 0 Construindo e nlisndo o gráfico d função, podemos perceber como est se comport qundo + ou - Y -0000, ,999-00,99-0,9-0, 00,0 000, ,000 Observmos ns sequêncis, que s frções do tipo, qundo, se proimm de, logo lim + k lim + lim + 0 " - " - "- De mneir semelhnte podemos concluir que: lim + k lim + lim + 0 " + " + " + ª situção: Há funções que não presentm tendêncis pr números ou infinitos Eemplo : Considere função f() sen Observe o gráfico d função seno Fundm_Clculoindd 5 9/0/6 4:8

27 6 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro A função seno é periódic de período π, ssim como função cosseno e função tngente, não possuindo limites no infinito; nem finitos, nem infinitos Eercícios resolvidos Mis lguns eercícios resolvidos poderão dr bos ideis de como trblhr com limites no infinito de polinômios e funções rcionis Lembre que o gru de um polinômio é o mior epoente d vriável em questão ª situção: Qundo clculmos limites no infinito de polinômios, podemos sempre colocr vriável de mior epoente em evidênci e verificr quis termos se nulm qundo Eercício : Clcule o vlor do limite: lim Solução: Colocndo em evidênci, podemos reescrever o polinômio e concluir o vlor do seu limite 5 lim" k lim" ª situção: Qundo função rcionl possuir o gru do numerdor menor que o gru do denomindor Eercício : Determine o limite: 8-5 lim 7 + " Solução: Observndo função rcionl seri difícil decidir quem cresce mis rápido, numerdor ou denomindor No entnto, podemos, com operções elementres, reescrever função Nesse cso, dividimos numerdor e denomindor por, que é vriável de mior epoente do denomindor Assim, lim 8 5 lim lim " + " " ª situção: Qundo função rcionl possuir o gru do numerdor mior que o gru do denomindor Eercício : Determine o limite: lim "- 4 + Solução: Nesse cso, o mior epoente de do denomindor é, por isso dividimos numerdor e denomindor por pr obter: Fundm_Clculoindd 6 9/0/6 4:8

28 Fundmentos do Cálculo 7 lim lim 5 lim "- "- " Notmos que s frções com denomindor tendem zero, porém, qundo - temos que 5-4ª situção: Numerdor e denomindor de mesmo gru Eercício 4: Clcule o limite: lim + 5- " + Solução: lim 5 lim lim " + " " Pr refletir Clcule os seguintes limites, se eistirem: ) lim " + ( ) b) lim " + ( - 4 ) e) lim 7 - k 5 " f) lim ( " ) c) lim "-(- 4 ) d) lim + k " g) lim "-( ) 8 Teorem do confronto Podemos encontrr situções em que não se consegue obter diretmente o vlor do limite de um função f() Qundo eistirem dus funções g() e h() que controlm os vlores d função f e seus limites forem iguis qundo c, então o limite de f() qundo c eiste e coincide com o limite de g() e h() Teorem: Supondo g() f() h() pr qulquer (,b), intervlo contendo c, eceto possivelmente, em c Se lim c g()lim c h()l, então lim c f()l Neste curso, omitimos demonstrção do teorem do confronto, que poderá ser encontrd n bibliogrfi indicd Eercício resolvido: Sej f()sen e sbendo que - sen pr qul- Fundm_Clculoindd 7 9/0/6 4:8

29 8 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro quer R Utilizndo s informções, determine lim 0 sen Solução: Sbemos que - sen e com isso podemos, fcilmente, clculr que: lim 0 0 e lim 0 0 Pelo teorem do confronto, lim 0 sen0 Mtemátic básic N figur seguir podemos ver que - sen Pr refletir Estude lim " 0 $ cos k Note que: Pr 0, temos que - cos k Sbendo que - f() +, pr todo 0 Determine lim 0 f() 9 Limite trigonométrico fundmentl Eemplo: Note que não podemos plicr regr do quociente pr sen determinr lim " 0 Fzendo um nálise do gráfico, vemos que este limite é igul Fundm_Clculoindd 8 9/0/6 4:8

30 Fundmentos do Cálculo 9 Teorem: Temos que lim " 0 sen Este é um importnte resultdo e, por vezes, é chmdo de limite trigonométrico fundmentl Pr demonstrá-lo utilizremos o teorem do confronto Demonstrção: Observe que: AT tg Pr: 0 r A AOB A SAOB A AOT Notção: AOB triângulo de vértices A,O e B, SAOB áre do setor circulr A,O e B e AOT triângulo de vértices A,O e T sen tg & sen tg e sen 0 Logo, sen sen cos & cos Como lim 0 cos lim 0, pelo teorem do confronto, concluímos que lim " 0 sen Depois d recordção ds identiddes trigonométrics, podemos resolver outro limite importnte pr o cpítulo, no qul estudremos s derivds Eercícios resolvidos Clcule o limite seguir: lim - cos " 0 Solução: lim - cos + cos lim - cos lim sen 0 + cos " " 0 ( + cos ) " 0 ( + cos ) lim sen sen cos " Fundm_Clculoindd 9 9/0/6 4:8

31 0 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Atividdes de vlição Clcule os limites, qundo eistirem: sen ) lim 5 5 " 0 Use t5 e note que qundo 0, temos que 5 0, ou sej, t 0 b) lim c) lim d) lim " 0 " 0 " 0 sen sen tg Observção: Outros limites importntes lim lim + k e lim + k e, " + "- ^ + h e e lim 0- ^+ h e + " 0 " Eercício resolvido Determine o seguinte limite lim - " 0 Solução: Considere u u + log (u+) Note que qundo 0, temos que u 0 Fzendo s substituições temos, lim u lim u lim u log ( u ) u " 0 + u " 0 u " 0 log( ) log ( ) u u + u + u log e ln ln ln e Atividdes de vlição Clcule os limites, se eistirem: Fundm_Clculoindd 0 9/0/6 4:8

32 Fundmentos do Cálculo ) lim b) lim + + k " + + k " Síntese do Cpítulo Inicimos est unidde com eemplos de sequêncis e gráficos de rets pr compreendermos noção de limite Considerndo um função f() definid em um intervlo berto em torno de o, dizemos que L é o limite d função f qundo tende o se à medid que se proim de o, o vlor de f() se proim de L Neste cso, escrevemos: lim o f()l Um função f é dit contínu em o qundo lim f () f ( o ); em gerl, função é contínu num " o intervlo [,b] qundo el é contínu em cd ponto do intervlo Em seguid, descrevemos lgums proprieddes opertóris básics envolvendo limites de mis de um função, por eemplo: considerndo funções f e g, tis que eistm lim o f()l e lim o g()k, com L,K R, temos: som: lim o [f() + g()]l+k diferenç: lim o [f() g()]l K produto por um constnte: lim o (cf())cl produto: lim o (f()g())lk f () quociente: lim, g () K L " o com K! 0 r r potênci: lim(()) f s L s " o compost: lim o g(f())g(lim o f())g(l) Introduzimos o conceito de limites lteris e observmos que em pontos de descontinuidde podemos encontrr limites lteris diferentes, e que o limite eiste sempre os limites lteris coincidem lim f () lim f () L & lim f() L " - " + " Resolvemos eemplos e eercícios relciondos limites de funções que tendem pr infinito e que vão pr o infinito Apresentmos o teorem do confronto, que diz: se g() f() h(), pr todo (,b), e c (,b) é tl que lim c g()lim c h()l, então lim c f()l Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

33 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Finlizmos unidde presentndo limites importntes, como limites envolvendo funções trigonométrics lim " 0 sen e eponenciis lim ( ) " 0 + e Leiturs, filmes e Sugerimos utilizção de progrms simples pr construção de gráficos, tis como o GeoGebr, WinPlot, Grph ou outro de su preferênci Cálculo Diferencil e Integrl - Nots de Aul: sm0/clculoc-am6pdf Fórmuls de rco duplo, rco triplo e rco metde: combr/mtemtic/trigonom/ trigo06htm Referêncis ÁVILA, G Cálculo ds funções de um vriável vol São Pulo: LTC, 00 GUIDORIZZI, H Um Curso de Cálculo Rio de Jneiro: LTC, 00 LEITHOLD, L O Cálculo com Geometri Anlític São Pulo: Hrbr, 994 THOMAS, G B Cálculo - vol 0 ed São Pulo: Addison Wesley, 00 Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

34 Cpítulo Derivds Fundm_Clculoindd 9/0/6 4:8

35 Fundm_Clculoindd 4 9/0/6 4:8

36 Fundmentos do Cálculo 5 Objetivos Compreender conceito de derivd Utilizr técnics de derivção Clculr derivds utilizndo s proprieddes opertóris Aplicr regr d cdei Conhecer derivds de funções trigonométrics, eponenciis e logrítmics Introdução O cpítulo seguir contrá com eemplos iniciis pr dr um noção de derivd A prtir dos eemplos, poderemos verificr que derivd de um função é o limite de um quociente de dus grndezs, qundo mbs se proimm de zero Munidos dess idei, pssremos às definições Ao finl dest unidde espermos que o luno compreend o conceito de derivd e sib clculr derivds de funções utilizndo definição, s técnics que não precism d definição e s operções, lém de sber plicr regr d cdei e conhecer s derivds de funções trigonométrics, eponenciis e logrítmics Novmente prtimos de eemplos pr dr um noção do que vem ser derivd Velocidde médi e instntâne Recordmos d físic que velocidde médi de um prtícul que se moviment segundo um função do tipo f(t) s, sendo s posição e t o tempo, é descrit por: s- s f^th 0 - ft ^ 0h Vm t - t t t 0-0 Ess é velocidde médi no intervlo de tempo entre t e t o Note que velocidde instntâne no ponto t o será clculd como o limite ds velociddes médis qundo t t o, ou sej, será definid por: lim f^th- ft ^ 0h Vi t t t" to - 0 Fundm_Clculoindd 5 9/0/6 4:8

37 6 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Eemplo: Considere um prtícul que se moviment segundo equção s(t) t +t+5, sendo s em metros e t em segundos Observe que velocidde médi entre os instntes e t é dd por: v m f^th- f^h t - t + t t t t - + t - - A velocidde, no instnte em que t, é: lim t + t- lim ( t )( t ) v lim t - + t t m/ s t - t " " t " Se considerrmos velocidde médi entre os instntes t o e t podemos escrever: f t ft0 t t 5 t ^ h- ^ h ^ 0 + t0 + 5h ( t - t 0 ) + ^t- t0h vm t- t 0 t- t 0 t- t0 ^t- t0h ^t+ t0h+ ^t-t0h ^t- t0h( t+ t0+ ) t t t t t t Considerndo velocidde no instnte em que t t 0, temos: vi lim t+ t0+ t0+ t" t0 Terímos, portnto, um equção pr velocidde e poderímos clculr velocidde em um instnte t qulquer No cso prticulr de t, escrevemos: v^th t+ ev^h + m/ s A ret tngente um curv Observndo o gráfico d ret r, dd como o gráfico d função fim f() y, podemos determinr su inclinção como vemos n figur seguir m r y- y f ^ h- f ^ 0h - 0 tg Mtemátic básic Lembrmos que, num triângulo retângulo, temos que tg Cteto oposto Cteto djcente Fundm_Clculoindd 6 9/0/6 4:8

38 Fundmentos do Cálculo 7 Considermos gor o gráfico de um curv dd por f() y e ret r secnte o gráfico, como representdo n figur seguir Note que qundo o, ret r proim-se d ret t tngente à curv no ponto o Dest form, qundo o limite eistir, temos que: lim ()-f ( 0) mt " 0 o - Eemplo: Sej f() 4 Podemos encontrr inclinção d ret tngente à curv y f() no ponto o lim ()-f ( 0) m - 0 " 0 " 0 4 lim lim ^ + 0 h^-0h( + 0) -^- 0h^+ 0h " 0-0 lim ^ h( + 0) " 0 0( 0 - ) Em prticulr, pr 0, temos que: m Conclusão: A ret tngente o gráfico de f() y em um ponto P( 0, f( 0 )) é ret r que pss pelo ponto P e que tem como coeficiente ngulr, qundo o limite eistir: lim ()-f ( 0) mr " Definição de derivd Definição: Dd função f() y, chmmos de derivd de f de 0, e escrevemos por f '( 0 ), o limite seguir, qundo ele eistir () ( ) ' lim f-f0 f ^0h " Podemos fzer 0 + h, e reescrever definição de derivd n form: ( ) ( ) ' lim f0+ h -f 0 f ^0h h " 0 h 0 Fundm_Clculoindd 7 9/0/6 4:8

39 8 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Pr fcilitr, podemos trocr o por e escrever: ( ) () ' lim f+ h -f f ^h h " 0 h Observção: A notção pr derivd de um função pode vrir bstnte dy Alguns utores preferem utilizr yl, d, d d f' ^h ou outrs notções pr representr derivd, que qui optmos por usr f '() Eercício resolvido Determine derivd d função f() + 5 Solução: ( ) ( ) '( ) lim + h h f h " 0 h lim + 4h+ h h- -5 h " 0 h lim 4h + h + 5h h " 0 h lim 4+ h+ 5 h " Note que definição foi presentd por um limite semelhnte os presentdos nos eemplos ddos, pois, derivd mede t de vrição de um função, que foi idei utilizd pr determinr velocidde em um ponto e o coeficiente ngulr d tngente em um ponto de um curv Nos eemplos, observmos que os cálculos pr obter derivd utilizndo definição, nem sempre são tão fáceis, lguns poderão ser bstnte trblhosos e, por isso, pssmos gor o estudo de técnics que fcilitm o cálculo ds derivds, sem precisr recorrer à definição Derivds de funções elementres - Derivd d função constnte Sej função constnte f() c, com R Note que: ( ) () '( ) lim f+ h -f f lim c- c lim h h 0 0 h" 0 h" 0 h " 0 Eemplo: Dd função f() 5, temos que f '() 0 - Derivd d função f() n, com n! N * Lembre que qundo n! N *, podemos escrever n y n ( y)( n + n y + + y n + y n ) Assim, Fundm_Clculoindd 8 9/0/6 4:8

40 Fundmentos do Cálculo 9 n n ( ) () ( ) '( ) lim f+ h -f lim + h - f h h" 0 h" 0 h lim ( + h- ) 6( + h) + ( + h) + + ( + h) + h " 0 h lim n- n- n- n- 6( + h) + ( + h) + + ( + h ) h " 0 n- n- n n n- n- n- n- n- Eemplo: Se f(), então f'() 0 Eemplo: Dd f() 4, derivd d função é f'() 4 4 Pr refletir Obtenh derivd d função f() utilizndo definição e compre com técnic ds funções constntes Determine derivd d função f() utilizndo definição e técnic Utilizndo s técnics determine derivd ds seguintes funções: ) f() b) f() 7 4 Continuidde e derivbilidde Apresentmos, té o momento, vários eemplos de funções contínus que são deriváveis em todo o seu domínio Mostrremos, nest seção, que tod função derivável é contínu, ms nem tod função contínu é derivável Eemplo: Sej f(), que é um função contínu Anlisndo derivd d função no ponto 0, temos que: Se eistisse derivd de f() em 0 terímos: '( ) lim 0+ h - 0 f lim h 0 h 0 h " h" 0 h lim h " 0 Porém, h h lim - h 0 h - e lim + " h" 0 h + Como os limites lteris são diferentes, podemos firmr que não eiste h Portnto, função não é derivável em 0 h Conclusão: A relção entre os limites, presentds no primeiro cpítulo, vle pr s derivds, ou sej, um função terá derivd em um ponto se e somente se possuir derivd à esquerd e à direit e ests forem iguis Observção: Dd um função f() contínu em todo o seu domínio, função Fundm_Clculoindd 9 9/0/6 4:8

41 40 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro será derivável sempre que houver um ret tngente o gráfico d função Neste cso, ret não será perpendiculr o eio Se observrmos bicos no gráfico de funções, nestes pontos função não será derivável Teorem: Se f possui derivd pr 0, então função é contínu em 0 Prov: Vimos no cpítulo que um função é contínu se, e somente se, lim " 0 f () f ( 0), ou sej, lim h 0 f( 0 +h)f( 0 ) f ( 0+ h) -f( 0) Como f é derivável em 0 então eiste limh " 0 temos: h lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim f0+ h -f 0 6 f0+ h - f ; h he f '( 0 ) 0 0 h" 0 h" 0 Assim, lim f ( ) lim 0 + h 6f( 0+ h) - f ( 0) + f ( h" 0 h" 0 lim6f ( h) f( ) lim f( 0) h" 0 h" f ( 0) f ( 0) Pr refletir Determine s derivds lteris pr 0, n função definid por:, se $ 0 f () ( -, se < 0 Conclu se função possui derivd no ponto 0 Anlise o gráfico bio e conclu se função é contínu em todos os pontos do intervlo fechdo ddo e ponte se eistirem pontos de descontinuidde Observe, tmbém, se função é derivável em todo o intervlo e presente, cso eistm, pontos em que função não é derivável Fundm_Clculoindd 40 9/0/6 4:8

42 Fundmentos do Cálculo 4 5 Proprieddes opertóris ds derivds Aprendemos lgums técnics que fcilitm o cálculo de derivds, sem necessrimente utilizr definição Consideremos s funções r() e s() deriváveis, e sus derivds r'() e s'(), respectivmente Veremos como se torn fácil derivr funções utilizndo s técnics que presentmos seguir 5 Derivd do produto de um constnte por um função Dd f() c r(), com c! R Clculemos f '() ( ) () '( ) lim f+ h -f f h " 0 h lim c r( + h) -c r() h " 0 h lim r ( h) r() ; + - c E h " 0 h ( ) () c lim r+ h -r h " 0 h c r'() Eercício resolvido Dd f() 4, clcule f '() Solução: Considere r() 4, ssim r'() 4 Logo: f '() r'() 4 5 Derivd d som Sej f() r() + s() Desejmos clculr f '() ( ) () ' lim f+ h -f f ^h h " 0 h lim r ( + h) + s( + h) -r ()-s h " 0 h lim r ( h) r() s ( h) s() ; h + E h " 0 h lim r ( + h) -r() lim s ( + h) -s() h 0 h + " h" 0 h r'( ) + s'() Observção: A propriedde d derivd d som vle pr soms de funções com qulquer quntidde finit de prcels Fundm_Clculoindd 4 9/0/6 4:8

43 4 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Eemplo: Sejm f() r() + s(), onde r() e s() Podemos clculr derivd d função f como: f' ^h r' ^h+ s' ^h Derivd de um polinômio A derivd de um polinômio pode ser fcilmente encontrd, derivndo termo termo, utilizndo s proprieddes nteriores Eercício resolvido: Encontre derivd d função polinomil y Solução: 5 4 y' y' Derivd do produto de dus funções Considere gor f() r() s() Desejmos determinr um epressão pr encontrr f '() ( ) () ( ) ( ) ()() '( ) lim f+ h -f f lim r+ hs+ h - rs h 0 h " h" 0 h Sem lterr epressão podemos somr e subtrir o termo r()s(+h) e teremos: ( ) ( ) ()( ) ()( ) ()() '( ) lim r+ hs+ h - rs+ h + r s+ h - rs f h " 0 h lim 6r ( + h) - s( + h) + r () 6s ( + h) h " 0 h lim 6r ( + h) - s( + h) lim r () 6s ( + h) h + h" 0 h" 0 h lim r ( + h) -r() ( ) () lim ( ) lim ( ) lim 6s+ h h s+ h + r h" 0 h" 0 h" 0 h" 0 h r'( ) s () + r () s'() Eercício resolvido Dd função f() ( 5) ( ), determine derivd de f Solução: Considerndo r() 5 e s(), temos que r'() 5 e s'() e Assim, f' ^h r' ^h s ^ h+ r ^ h s' ^h ^ -5h( - ) + ^ -5h f'( ) Fundm_Clculoindd 4 9/0/6 4:8

44 Fundmentos do Cálculo 4 55 Derivd do quociente de dus funções r () Sej f () Obteremos um epressão pr clculr f '() s () Podemos escrever que r() f() s() Aplicndo regr d derivd do produto, temos que: r'() f '() s() + f() s'() Substituindo f() e isolndo f '(), encontrremos epressão desejd r () r'( ) f'() $ s () + $ s'( ) s () r'( ) $ s ( ) f'() $ 6 s ()@ + r () $ s'( ) r'( ) $ s ( )- r ( ) $ s'() f'( ) s () Eemplo: Dd função f (), clculmos f '() considerndo - que r() e s() e utilizndo epressão cim Clculndo inicilmente s derivds de r() e s(), temos que r'() e s'() e, logo: $ ( -)-$( - ) f'( ) ( - ) Derivd de potêncis com epoente negtivo Qundo os epoentes são inteiros negtivos, plicmos mesm técnic utilizd pr inteiros positivos, demonstrd nteriormente Dess form, se f() n, então: f '() n n Eercícios resolvidos Determine derivd d função f '() 5 4 Solução: f '() 5 ( 4) Observção: N relidde, ess fórmul vlerá pr qulquer epoente rel, como veremos mis dinte e demonstrmos no eercício seguir pr f () Dd função f () encontre f '(), utilizndo definição Fundm_Clculoindd 4 9/0/6 4:8

45 44 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Solução: '( ) lim + h - f h h " 0 Multiplicndo o numerdor e o denomindor por + h +, encontrmos: '( ) lim + h - + h + f h $ h " 0 + h + lim + h- lim h" 0 h^ + h + h h" 0 + h + Note que utilizndo regr d potênci encontrrímos o mesmo resultdo, isso é: f () ef'( ) Derivds de ordem superior Dd um função f(), derivd d função é chmd de derivd primeir e representd por f'() Se f'() for derivável, su derivd será chmd derivd segund e será representd por f ''() Se f ''() ind for derivável, su derivd será chmd derivd terceir e será representd por f'''() e ssim sucessivmente, usndo f (n) () pr representr s derivds de ordens superiores Pr refletir Determine derivd de cd um ds seguintes funções: ) f ^ h 5 b) f ^ h - + g) f ^ h ^- + h^ - + h h) f ^ h c) f ^ h i) f ^ h + 5 d) f ^ h 5 + e) f ^ h 4 4 f) f ^ h ^ - h^+ h j) f ^ h -4 k) f ^ h l) f ^ h (Sugestão: escrev s potêncis de como epoentes negtivos) Fundm_Clculoindd 44 9/0/6 4:8

46 Fundmentos do Cálculo 45 Encontre um equção pr ret tngente à curv c ^ h , no ponto (,-) Sugestão: encontre o coeficiente ngulr que é derivd d função e utilize os conhecimentos de Geometri Anlític pr determinção d equção d ret conhecendo inclinção e um ponto, ou sej, y- y0 m ^ - 0h Determine s derivds de tods s ordens de f() 5 6 A regr d cdei A regr d cdei é um regr de derivção pr composição de funções Mtemátic básic: Dds dus funções r e s, com condição de que imgem de r estej contid no domínio de s, podemos considerr função compost: f ^ h rs ^ ^ hh ^r% sh^h 6 Derivd d função compost Sejm r e s funções reis tis que s sej derivável em e r sej derivável em s(), ou sej, stisfeit condição de que imgem d função s estej contid no domínio d função r, desejmos encontrr um regr pr derivr função compost f() r(s()) ( ) () (( )) (()) '( ) lim f+ h -f f lim rs+ h -rs h 0 h " h" 0 h Multiplicndo numerdor e denomindor por s(+h) s(), não ltermos frção e podemos regrupr o produto d seguinte mneir: '( ) lim rs (( + h)) - rs (()) s ( + h) -s() f h " 0 s ( + h) -s() h Note que qundo h 0, temos que v s( + h) s() 0 Utilizndo definição de derivd e regr do produto pr limites, escrevemos: (() ) (()) ( ) () '( ) lim rs + v - rs lim s+ h -s f v $ v" 0 h" 0 h f'( ) r'(()) s $ s'( ) Eercícios resolvidos Derive função f ^ h ^ + h 5 : Solução: Considere f() r(s()), com r(s) s 5 e s() + Assim, f '() r'(s) s'() 5 s 4 5 ( + ) 4 0( + ) 4 Fundm_Clculoindd 45 9/0/6 4:8

47 46 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Dd função f () 4-5, determine derivd d função f Solução: Fzendo f() r(s()), com r^sh s e s 4 5 Escrevemos: 8-5 f'( ) r'() s $ s'( ) $ ( 8-5) s 4-5 Pr refletir Clcule derivd de cd um ds funções seguir: ) f ^ h ^ + h 5 4 d) f ^ h - b) f () e) f ^ h ^ -5- h - c) f ^ h - Determine derivd primeir e derivd segund d função f ^ h ^ -7h 6 Derivd de funções trigonométrics, eponenciis e logrítmics Clculremos gor s derivds do seno, cosseno e tngente, utilizndo os limites já encontrdos no cpítulo, n seção Limite Trigonométrico Fundmentl, e lgums identiddes trigonométrics bem conhecids A prtir desss derivds poderemos clculr s derivds ds demis funções trigonométrics ) Derivd do seno Sej f() sen, temos que: ( ) '( ) lim sen + h -sen f h h " 0 Recorde que: sen( + b) sen $ cosb + senb$ cos Assim, '( ) lim sen $ cosh + senh$ cos -sen f h " 0 h lim senh$ cos+ sen ( cosh -) h " 0 h cos lim senh lim cosh $ h + sen $ - k h" 0 h" 0 h $ cos + sen $ 0 cos Fundm_Clculoindd 46 9/0/6 4:8

48 Fundmentos do Cálculo 47 b) Derivd do cosseno Sej f() cos, temos que: ( ) '( ) lim cos + h -cos f h h " 0 Recorde que: cos( + b) cos $ cosb - sen $ senb Assim, '( ) lim cos$ cosh-sen$ senh-cos f h " 0 h lim cosh cos lim senh : - $ D h - : sen $ D h" 0 h" 0 h ( cos ) $ 0-( sen) $ -sen c) Derivd d tngente Sej f ^ h tg, temos que: f ^ h sen tg cos Utilizndo derivd do quociente, temos: cos $ cos-sen $ (-sen) f' ^h cos cos + sen cos cos sec Pr refletir Obtenh derivd ds seguintes funções: ) f ^ h -sen e) f ^ h cossec b) f ^ h cos 5 cos f) f ^ h sen- c) f ^ h cot g g) f ^ h sen+ cos - d) f ^ h sec Sej f() sen, determine f (48) (): Encontre derivd d função f() sen cos 4 Utilize regr d cdei pr derivr s seguintes funções: ) f ^ h sen d) f^h $ sen b) f ^ h cos 4 e) f ^ h sen( -5) c) f ^ h ^cos h 5 Fundm_Clculoindd 47 9/0/6 4:8

49 48 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro 6 Derivd ds funções eponenciis Sej f (), > 0 e! Desejmos clculr f '() + h h h f'( ) lim - lim - lim h h : $ - kd h $ ln h " 0 h " 0 h " 0 h - h Lembre de que, no finl do cpítulo, encontrmos que limh " 0 ln Eercícios resolvidos Determine derivd d função f ^ h Solução: f' ^h ln Encontre f ' () d função f() e Solução: f ' () e ln e e 64 Derivd ds funções logrítmics Dd função f() log, > 0, > 0 e Clculremos f '() ( ) '( ) lim log log + h - f h " 0 h lim h $ 6log( + h) - log@ h " 0 lim h : h $ log + kd h " 0 lim h h ; log + k E h " 0 h Fzendo t & h t$, e qundo h 0, temos que t 0 Assim, o limite nterior pode ser reescrito como: lim7 log ( + t) t " 0 t $ lim $ log 7 ( + t) ta t " 0 lim ln7( + t) ta t " 0 ln lim ln7( + t) ta t " 0 ln ln A No último psso usmos o limite fundmentl limt ( t) t " 0 + e, visto n Unidde Fundm_Clculoindd 48 9/0/6 4:8

50 Fundmentos do Cálculo 49 Eercícios resolvidos Determine derivd ds seguintes funções: ) f ^ h ln Solução: f' ^h $ ln e b) f ^ h log Solução: f' ^h ln 0 c) f ^ h + ln Solução: f'( ) 0+ $ ln e Generlize derivd de f(), pr qulquer! R Solução: Sej f(), pr! R, temos que: ln f() ln ln f() ln Derivndo e usndo regr d cdei, encontrmos que: $ f'( ) $ f () $ f() $ - f'( ) $ Atividdes de vlição Determine s derivds ds funções: ) f ^ h 5e e) f ^ h ln b) f ^ h + f) f ^ h ^+ ln h c) f ^ h log g) f ^ h sen( e + log) d) f ^ h + 5ln h) f 5 - ^ h e Utilize regr d cdei pr derivr s funções dds: ) f ^ h sen b) f ^ h log c) f () e + Observção: Sej f() y um função derivável e bijetor em seu domínio de definição Podemos determinr derivd d função invers Como f() y, temos que f - (y) Dess form, podemos plicr regr d cdei pr obter: - f ^ f^hh - l^yh$ f l^h - 6 l^yh - f' 6 f ^yh@ Fundm_Clculoindd 49 9/0/6 4:8

51 50 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Eemplo: Sej f() rcsen Queremos encontrr derivd d função f Lembre que y rcsen sen y Assim, Derivndo, temos: fl ^h cos y sen y cos y f '() Lembrndo que sen y + cos y, temos que cos y - sen y - Dest form: fl ^h - Determine s derivds ds funções trigonométrics inverss seguir: ) f() rccos b) f() rctg c) f() rccotg d) f() rcsec e) f() rccossec Síntese do Cpítulo Inicimos est unidde com eemplos envolvendo o cálculo ds velociddes médi e instntâne de um objeto e gráficos de rets tngentes à curvs, pr introduzir noção de derivd Dd um função f() y, definimos derivd de f como ( ) () f' lim f+ h -f ^ h h " 0 h Concluímos, pr r() e s() deriváveis, s seguintes proprieddes opertóris: f() f '() c 0 c r() c r'() r()+s() r' ()+s' () r() s() r' () s()+r() s' () r () r'( ) $ s ( )- r ( ) $ s'() s () s () n n n Provmos que se f possui derivd em o, então f é contínu em o Pdronizmos notção pr derivds de ordem superior d função f(), usndo f '(), f"(), f"'() e f (n) (), pr n > Fundm_Clculoindd 50 9/0/6 4:8

52 Fundmentos do Cálculo 5 Apresentmos regr d cdei pr f() r(s()), com s derivável em e r derivável em s(), temos f '() r'(s()) s'() Estudmos outrs derivds importntes: f() f '() sen cos cos - sen tg sec ln log ln Encontrmos derivd d invers de f() y, derivável e bijetor em - seu domínio de definição, como '( y) - f' 6f ( Leiturs, filmes e Derivds: Derivds de funções: clculo/derivd/derivdhtm Tbel de derivds: Referêncis ÁVILA, G Cálculo ds funções de um vriável vol São Pulo: LTC, 00 GUIDORIZZI, H Um Curso de Cálculo Rio de Jneiro: LTC, 00 LEITHOLD, L O Cálculo com Geometri Anlític São Pulo: Hrbr, 994 THOMAS, G B Cálculo - vol 0 ed São Pulo: Addison Wesley, 00 Fundm_Clculoindd 5 9/0/6 4:8

53 Fundm_Clculoindd 5 9/0/6 4:8

54 Aplicções ds derivds Cpítulo Fundm_Clculoindd 5 9/0/6 4:8

55 Fundm_Clculoindd 54 9/0/6 4:8

56 Fundmentos do Cálculo 55 Objetivos Identificr intervlos de crescimento e decrescimento de funções Identificr pontos de máimos e mínimos, bsolutos e reltivos Utilizr primeir e segund derivds n construção de gráficos de funções Resolver problems de otimizção utilizndo derivds Aplicr regr de L Hôpitl pr resolver limites Introdução No cpítulo nterior já hvímos identificdo que, com derivd de um função em um ponto, seri possível determinr equção d ret tngente à curv neste ponto Neste cpítulo conheceremos outrs plicções ds derivds Ao finl do cpítulo, espermos que o luno sej cpz de utilizr derivd primeir pr pontr pontos críticos de um função, identificndo se estes são pontos de máimo, mínimo ou infleão Além disso, desejmos que o luno sib utilizr derivd primeir e derivd segund n construção de gráficos, em problems de otimizção e n plicção d regr de L Hôpitl Equção d ret tngente Como já mencionmos nteriormente, um ds plicções ds derivds é possibilidde de encontrr equção d ret tngente um curv f() em um ponto ddo, considerndo que f() é derivável neste ponto e sbendo que f '() é o coeficiente ngulr d ret Vejmos mis lguns eemplos Mtemátic básic A equção de um ret que pss por um ponto ddo ( o, y o ) e tem coeficiente ngulr m é d form: y- y0 m ^ - 0h Eemplo: Podemos obter equção d ret tngente à curv f ^ h - 6+ em 4 Note que, pr 4, temos y f^4h 4-6$ Fundm_Clculoindd 55 9/0/6 4:8

57 56 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Devemos clculr, gor, derivd d função no ponto 4 f '() 6, logo f '(4) 4 6 Dess form, equção d ret tngente à curv no ponto (4, 6) é: y ( 6) ( 4) y y 4 Pr refletir Encontre equção d ret tngente à curv f() 5 no ponto em que Ache equção d ret tngente à circunferênci y - no ponto (, ) Crescimento e decrescimento de funções Definição: um função f é crescente qundo, tribuindo vlores crescentes pr, encontrmos vlores crescentes de f(), ou sej, considerndo <, encontrmos f( ) < f( ) Definição: um função f é decrescente qundo, tribuindo vlores crescentes pr, encontrmos vlores decrescentes de f(), ou sej, considerndo <, encontrmos f( ) > f( ) Um função pode não ser crescente em todo o seu domínio Nesse cso, podemos encontrr intervlos, nos quis função é crescente e outros em que el é decrescente Eemplos: Observndo os gráficos ds funções, podemos verificr o seu crescimento ou decrescimento ) b) Crescente Decrescente Fundm_Clculoindd 56 9/0/6 4:8

58 Fundmentos do Cálculo 57 c) Decrescente no intervlo Crescente no intervlo 6, + 6 Anlisndo o crescimento e decrescimento d função +, f () ( -, se se $ 0 0 Notmos que, pr vlores miores que zero e <, temos: + + f^ h f^h& f é crescente em 60, Pr vlores menores que zero e considerndo <, temos: < multiplicndo por > > f( ) > f( ) é decrescente 0@ Pr refletir Observndo os gráficos, identifique intervlos de crescimento ou decrescimento: ) b) Fundm_Clculoindd 57 9/0/6 4:8

59 58 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro c) d) Anlise, qunto o crescimento ou decrescimento, função f (), qundo > 0 Máimos e mínimos Definição: um função f tem máimo bsoluto em um ponto o, se pr todo do seu domínio, temos que f () f ( 0 ) Nesse cso, f( 0 ) é chmdo vlor máimo d função Definição: um função f tem mínimo bsoluto em um ponto o, se pr todo do seu domínio, temos que f () $ f ( 0 ) Nesse cso, f( 0 ) é chmdo vlor mínimo d função Podemos nos referir os pontos de máimos e mínimos bsolutos como pontos etremos bsolutos d função Eercício resolvido Determine o vlor de máimo ou mínimo bsoluto, nlisndo os gráficos ds funções: ) b) Solução: ) é ponto de máimo bsoluto b) 0 é um ponto de mínimo bsoluto Definição: Considere 0 um ponto do domínio d função f Temos que f( o ) será: um vlor máimo locl (ou reltivo) em o, qundo f () f ( o ) pr qulquer n interseção do domínio de f com um intervlo berto I contendo o Um vlor mínimo locl (ou reltivo) em o, qundo f () $ f ( o ) pr qulquer n interseção do domínio de f com um intervlo berto I contendo o Fundm_Clculoindd 58 9/0/6 4:8

60 Fundmentos do Cálculo 59 Chmmos de pontos críticos os pontos em que f '() 0 Os etremos locis são pontos que tem f '() 0, pois ret tngente o gráfico, nesses pontos, é prlel o eio Por outro ldo, nem todo ponto que tem derivd zero é um etremo locl, como veremos no eemplo seguir Eemplo: Sej f() Neste cso, f '() e f '() 0 somente pr 0 Porém, pel definição, este ponto não é um etremo locl Nesse cso, o ponto 0 é chmdo ponto de infleão Qundo encontrmos os vlores em que derivd se nul, temos os possíveis cndidtos etremos locis onde função é derivável Porém, etremos locis podem ocorrer em pontos onde função não é derivável Eemplo: Considere função f() + Observe que função não é derivável pr, mesmo ssim, pel definição, este ponto é um mínimo locl Conclusão: Se o ponto o do domínio de um função é um etremo locl, então teremos que um ds seguintes firmções é verddeir: ) f não é derivável no ponto o b) f é derivável e f '( o ) 0 Qundo desejmos encontrr máimos e mínimos bsolutos de funções deriváveis, em um intervlo [, b], determinmos os pontos críticos no intervlo berto (,b) e comprmos com s etremiddes f() e f(b) O mior e o menor desses vlores serão, respectivmente, o máimo e o mínimo bsoluto Fundm_Clculoindd 59 9/0/6 4:8

61 60 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Eercícios resolvidos Anlise função f() sen, pr vlores de no intervlo fechdo [0, p] e determine o que se pede: ) máimos locis r Solução: e r b) mínimos locis r Solução: 0 e c) máimo bsoluto r Solução: d) mínimo bsoluto r Solução: Determine os pontos de máimo e mínimo bsoluto d função f() +, no intervlo [,] Solução: A função não possui pontos de descontinuidde e pr determinr os pontos críticos bst encontrr os pontos que nulm derivd f '() ( ) 0 0 ou Determinmos os vlores de f pr os etremos e os pontos críticos 50 f( - ) 0, f( ) 0, f( 0) e f k 7 Comprndo os vlores, temos que: em encontrmos o mínimo bsoluto e em encontrmos o máimo bsoluto Fundm_Clculoindd 60 9/0/6 4:8

62 Fundmentos do Cálculo 6 Pr refletir Sej f() + 4, [,] Encontre os pontos de máimo e mínimo bsolutos d função Determine os pontos críticos d função f() + 4 Encontre máimos e mínimos bsolutos de cd função: ) f(), com [,] b) f() 6, com R c) f(), com [,] 4 Utilizndo derivd primeir e derivd segund pr trçr gráficos Teste d derivd primeir: Sej f um função derivável em (,b) ) Se f '() > 0 pr todo (,b) então f é crescente em todo o seu domínio ) Se f '() < 0 pr todo (,b) então f é decrescente em todo o seu domínio Demonstrção: Demonstrremos pr f '() > 0 O cso em que f '() < 0 pode ser feito de mneir totlmente nálog ) Supondo que f '() > 0 pr um ponto (,b) temos lim f ( + h) -f() h f'( ) > 0 h " 0 Sendo ssim, pr vlores pequenos de h, temos f ( + h) -f() h > 0 Se h 0 & + h e f ^ + hh-f^h 0, donde segue que f ^ + hh f^h, pr h > 0 Por outro ldo, se h 0 & + h e f ^ + hh-f^h 0 Nesse cso, concluímos que f ^ + hh f^h, pr h < 0 Em mbos os csos, f é crescente perto do ponto (,b) Como f '() > 0 pr todo (,b), função f é crescente em todo o intervlo (,b) Utilizmos ess informção pr identificr se um ponto crítico é um etremo locl Conclusão: Pr identificr se um ponto crítico o é um etremo locl de f, é necessário verificr se f ' mud de sinl Fundm_Clculoindd 6 9/0/6 4:8

63 6 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro ) Se f '() > 0 ntes de o (à esquerd de o ) e f '() < 0 depois dele (à direit de o ), temos que o é um ponto de máimo locl d função f b) Se f ' () < 0 ntes de o (à esquerd de o ) e f '() > 0 depois dele (à direit de o ), temos que o é um ponto de mínimo locl d função f c) Se não houver mudnç de sinl ntes e depois do ponto crítico o, então o não é máimo, nem mínimo locl Eercício resolvido Encontre os pontos críticos d função f() 6 Use derivd primeir pr identificr intervlos de crescimento e decrescimento e pontos de máimo e mínimo locis Solução: Clculmos inicilmente derivd e os vlores que tornm f '() 0 f' ^h & - ou, que são os pontos críticos Testndo vlores temos: pr <-, vemos que f '() > 0 e função é crescente; f '() < 0 pr - < <, e função é decrescente neste intervlo; pr >, vemos que f '() >0 e função é crescente Dess form, concluímos que - é um ponto de máimo locl e é um ponto de mínimo locl Anlisndo os gráficos de curvs crescentes e decrescentes, notmos que: ) concvidde está voltd pr cim qundo derivd é crescente, ou sej, qundo derivd segund é mior que zero Note que n medid em que cresce inclinção ds rets tngentes tmbém cresce b) concvidde está voltd pr bio qundo derivd é decrescente, ou sej, qundo derivd segund é menor que zero Nesse cso, qundo cresce inclinção ds rets tngentes diminui Fundm_Clculoindd 6 9/0/6 4:8

64 Fundmentos do Cálculo 6 Teste d concvidde: Sej f um função que é dus vezes derivável em um intervlo berto (,b) ) Se f ''() > 0, pr todo (,b) então, neste intervlo, concvidde do gráfico de f está voltd pr cim b) Se f ''() < 0, pr todo (,b) então, neste intervlo, concvidde do gráfico de f está voltd pr bio Observção: Se concvidde mudr de sentido sem que função tenh muddo o crescimento, temos um ponto de infleão No teste d derivd primeir é necessário conhecer os sinis d derivd primeir em certos intervlos O teste seguir torn o trblho ind mis fácil, sendo necessário, pens, conhecer derivd segund nos pontos críticos Teste d derivd segund: Sej o um ponto crítico d função f, ou sej, f '( o ) 0 ) Se f ''( o ) < 0, então 0 é um ponto de máimo locl b) Se f ''( o ) > 0, então 0 é um ponto de mínimo locl Observção: Se em o, temos que f''( o ) 0 e concvidde mud de sentido, então este ponto é um ponto de infleão Eercício resolvido: Encontre os pontos críticos d função f() 6 Use derivd primeir e derivd segund pr identificr pontos de máimo e mínimo bsolutos Solução: Clculmos f '(), f "() e os vlores que tornm f '() 0 f'( ) - 6 e f "() 6-6 0& - ou que são os pontos críticos fm^- h -6 < 0, logo ponto de máimo fm ^ h 6 > 0, logo ponto de mínimo Verificmos que os testes nteriormente mostrdos são bons indicdores n hor d construção de gráficos de funções Podemos ter em mente lguns ddos importntes, como: ) conhecer os pontos críticos; b) intervlos de crescimento e decrescimento; c) posição d concvidde; d) interseções com os eios coordendos; e) limites próimos dos pontos de descontinuidde e no infinito 5 Eercício resolvido: Esboce o gráfico d função f ^ h -5 Solução: Note que f é contínu Clculndo derivd primeir e derivd segund, temos: Fundm_Clculoindd 6 9/0/6 4:8

65 64 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro f' ^h 5-5 e f" ^h & - e que são s rízes reis e 0 0 & 0 Observe que f^- h 4 e f " ^- h -0 0, logo ponto de máimo, f^h- 4 e f " ^h 0 > 0, logo ponto de mínimo Qunto à concvidde, 0," f ^h 0, concvidde pr bio 0 f," ^h 0, concvidde pr cim e 0 é ponto de infleão Pr refletir Esboce o gráfico ds funções: ) f ^ h - b) f ^ h -6 c) f ^ h + 4 d) f ^ h ^ -h e) f ^ h -sen 5 Problems de otimizção Dremos, seguir, eemplos de problems de otimizção que podem ser resolvidos utilizndo nossos conhecimentos de cálculo Destque os pontos importntes: ) identifique s grndezs envolvids no problem; b) nlise vlores que sejm possíveis pr resolução do problem; c) escrev equção ou s equções d) use derivd primeir e derivd segund pr detectr pontos críticos e possíveis soluções Eercícios resolvidos: Determine dois números cuj som é 00 e o produto é o máimo possível Solução: Considere e y como vriáveis Podemos escrever s seguintes equções: Fundm_Clculoindd 64 9/0/6 4:8

66 Fundmentos do Cálculo 65 + y 00 e P y P (00 ) P + 00 Clculmos P' e P", pr determinr pontos críticos P' + 00 e P" e P"(50) < 0, logo ponto máimo Portnto, os vlores devem ser y 50 Desejmos construir cis, sem tmp, com folhs de dimensão 0 cm por 5 cm A ci será construíd recortndo-se qudrdos dos cntos, como mostr figur Determine o ldo dos qudrdos que devem ser recortdos pr que se tenh um ci com volume máimo Solução: Chmremos de o ldo do qudrdo do cnto Escrevemos equção pr o volume: V $ ( 5 -) $ ( 0- ) V Sendo o domínio de definição o intervlo [0,0] Encontrmos V' e V", pr determinr pontos críticos V' e V" 4-0 De encontrmos pontos críticos proimdos 4, e 4, Podemos desprezr o segundo desses vlores, pois 4, não está no intervlo de definição [0,0] Pr derivd segund, temos que V"(4,) -,6 < 0, donde concluímos que 4, é vlor de máimo Portnto devemos escolher o vlor, 4, cm Pr refletir Encontre áre máim de um retângulo cujo perímetro é igul 60 cm Determine um ponto do gráfico d função f(), que sej o mis próimo possível do ponto (0, ) Lembre que distânci entre dois pontos (, y ) e (, y ) é dd por ^- h + ^y- yh Um reservtório, no formto de um cilindro, deve ter cpcidde de 0pm Pr construí-lo, o custo ds bses é de R$ 0,00 por metro qudrdo e o custo d lterl é de R$ 6,00 por metro qudrdo Determine o rio d bse e ltur do reservtório pr que o custo sej mínimo Fundm_Clculoindd 65 9/0/6 4:8

67 66 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro 6 Regr de L Hôpitl Concluímos unidde presentndo mis um plicção ds derivds A regr de L Hôpitl fcilit muito o cálculo de limites que envolvem indeterminções utilizndo os conhecimentos de derivds No cso de indeterminções do tipo 0 : supondo f() g() 0 e que 0 eistm f'() e g'(), com g'() 0, Regr de L Hôpitl nos diz que: lim f () f'( ) " g () g'( ) Demonstrção: Prtindo de f'( ), temos que: g'( ) lim f ()-f ( ) f ()-f ( ) f'( ) " - lim - g'( ) lim g ()-g ( ) g ()-g ( ) " - - Sbemos que f() g() 0, ssim, " " lim f ()-f ( ) g ()-g ( ) f'( ) lim f ()- 0 lim f () g'( ) " g ()-0 " g () sen Eercício resolvido: Clcule lim " 0 Solução: Note que, pr 0, temos um indeterminção do tipo 0 Aplicndo regr de L Hôpitl, temos: 0 lim sen lim cos cos 0 " 0 " 0 A regr de L Hôpitl pode ser utilizd em outrs indeterminções do tipo, $ 0 e - Se qundo plicrmos regr de L Hôpitl encontrrmos um nov indeterminção, podemos utilizá-l novmente pr derivd segund No cso de um nov indeterminção pssmos à derivd terceir, e ssim sucessivmente Atividdes de vlição Determine os limites: ) lim " + - sen b) lim " 0 sen Fundm_Clculoindd 66 9/0/6 4:8

68 Fundmentos do Cálculo 67 c) lim d) lim - cos " " Síntese do Cpítulo A primeir plicção de derivds presentd foi possibilidde de determinr equções de rets tngentes às curvs Conceitumos funções crescentes e decrescentes, máimos e mínimos bsolutos, máimos e mínimos locis, pontos críticos (f '() 0) e pontos de infleão Verificmos que os pontos críticos são possíveis cndidtos etremos locis, porém, os pontos em que função não é derivável tmbém podem ser etremos Teste d derivd primeir: Sej f um função derivável em (,b) ) Se f '() > 0 pr todo (,b) então f é crescente em todo o seu domínio ) Se f '() < 0 pr todo (,b) então f é decrescente em todo o seu domínio Um ponto crítico o de f é etremo locl se f ' mud de sinl em o Se o sinl mud de positivo pr negtivo temos um máimo locl em o,e um mínimo locl se o sinl de f ' mud de negtivo pr positivo Qundo não há mudnç de sinl, então o não é máimo, nem mínimo locl Teste d concvidde: Sej f dus vezes derivável em um intervlo berto (,b) ) Se f"() > 0, concvidde do gráfico de f está voltd pr cim b) Se f"() < 0, concvidde do gráfico de f está voltd pr bio Se concvidde mudr de sentido sem que função tenh muddo o crescimento (crescente ou decrescente), temos um ponto de infleão Teste d derivd segund: Sej o um ponto crítico d função f ) Se f"( o ) < 0, então o é um ponto de máimo locl b) Se f"( o ) > 0, então o é um ponto de mínimo locl c) Se f"( o ) 0 e concvidde mud de sentido, então o é um ponto de infleão Estudmos problems de otimizção que podem ser resolvidos utilizndo nossos conhecimentos d derivd primeir e derivd segund e concluímos unidde presentndo regr de L Hôpitl, que fcilit muito o cálculo de limites que envolvem indeterminções, e diz que: f () f'( ) lim " g () g'( ) Fundm_Clculoindd 67 9/0/6 4:8

69 68 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Leiturs, filmes e Pesquise mis eemplos e eercícios de plicções de derivds: e&id796:eercicios-pliccoes-derivds&ctid98:clculo Máimos e mínimos: Interpretção gráfic d derivd primeir e derivd segund: Referêncis ÁVILA, G Cálculo ds funções de um vriável vol São Pulo: LTC, 00 GUIDORIZZI, H Um Curso de Cálculo Rio de Jneiro: LTC, 00 LEITHOLD, L O Cálculo com Geometri Anlític São Pulo: Hrbr, 994 THOMAS, G B Cálculo vol 0 ed São Pulo: Addison Wesley, 00 Fundm_Clculoindd 68 9/0/6 4:8

70 Noções de Integris Cpítulo 4 Fundm_Clculoindd 69 9/0/6 4:8

71 Fundm_Clculoindd 70 9/0/6 4:8

72 Fundmentos do Cálculo 7 Objetivos Resolver integris definids e indefinids Utilizr proprieddes de integris Utilizr o método d substituição pr resolver integris Compreender interpretção geométric ds integris Conhecer o Teorem Fundmentl do Cálculo e s integris de Riemnn Introdução Neste cpítulo bordremos noções e proprieddes de integris indefinids, ou ntiderivds, s integris ds principis funções elementres, s integris definids, o teorem fundmentl do cálculo e um presentção ds integris como limites de soms de Riemnn Ao finl deste estudo, espermos que o luno sib resolver integris definids e indefinids e compreend interpretção geométric ds integris A integrl como ntiderivd Inicimos est unidde observndo s derivds de lgums funções G() 4 + e G'() 8 9 H() 4 e H'() 8 9 I() 4 e I'() 8 9 Note que presentmos funções diferentes, ms encontrmos mesm derivd pr tods s funções E mis, tods s funções do tipo F() 4 + c, com c! R, germ derivds f() 8 9 Chmmos função F() de ntiderivd ou primitiv d função f(), sempre que F'() f(), pr todo do domínio d função Definição: Denominmos como integrl indefinid d função f, o conjunto ds funções primitivs de f e representmos d seguinte mneir: fd () F () + c, onde é o sinl d integrl, f() é o integrndo, é vriável de integrção, c! R e F é um função tl que f F' Fundm_Clculoindd 7 9/0/6 4:8

73 7 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Eemplos: Sej f() 4 Podemos determinr s primitivs d função f 5 4 d 5 + c, com c! R De mneir gerl clculmos este tipo de integrl como: d c,, c! R e!- Em prticulr, d + c Dd f() cos, sus primitivs são d form F() sen + c, com c! R Vejmos mis lgums integris de funções trigonométrics: cos sen k d - k k + c sen k cos k d k +c sec d tg+ c cossec d- cot g+ c sectgd sec + c cossec cotgd- cossec + c Clculndo integrl: - - e e d - + c Qundo integrmos funções eponenciis, temos: k k e e d k + c d ln + c 4 Encontrndo integrl indefinid, temos: d ln + c, > 0 Pr clculrmos integris precismos lembrr bem s derivds Fundm_Clculoindd 7 9/0/6 4:8

74 Fundmentos do Cálculo 7 Pr refletir Determine s primitivs ds seguintes funções: ) f() 4 b) f() senp Clcule s integris: ) d b) d c) d Proprieddes d integrl indefinid As regrs lgébrics que prendemos pr limites e derivds, tmbém vlem pr o cálculo de integris k$ f() d k$ fd () 6 f ()! g ()@ d fd ()! gd () Eercícios resolvidos: 4 Clcule: ( + -) d Solução: Podemos nlisr integrl termo termo, pr encontrr primitiv 4 d+ d - 5 d 5 + c + + c- + c, c, c, c! R c, c c+ c+ c Clcule integrl: sen d cos Lembre que: sen - Solução: Dest form, cos sen d - d d - cos d sen sen - $ + c c Fundm_Clculoindd 7 9/0/6 4:8

75 74 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro Pr refletir Encontre s integris indefinids: ) ( sen+ cos ) d - d) d b) - k d e) e d c) 5send Método d substituição pr clculr integris Podemos mudr vriável pr resolver integris Sejm f e g funções tis que compost f o g estej definid O método d substituição consiste n seguinte idei: se soubermos clculr ntiderivd de f, então podemos encontrr fg ( ( )) $ g'( d ) De fto, se F' f, temos que ( F% g)'( ) ( f% g)( ) $ g'() Ou sej, fg ( ( )) $ g'( d ) ( F% g)( ) + c F( g ()) + c Podemos sintetizr ess discussão: fzendo substituição g() u, temos fg ( ( )) $ g'( d ) F( g ()) + c F( u) + c fudu ( ) N prátic, usmos relção cim pr justificr que: chmndo g() u, temos g'()d du e escrevemos diretmente iguldde simplificd fg ( ( )) $ g'( d ) f( udu ) Eemplo: Clcule integrl: + d Chmremos u + & du d & d du Assim, + d u du u $ + c ( + ) + c Fundm_Clculoindd 74 9/0/6 4:8

76 Fundmentos do Cálculo 75 Pr refletir Utilize substituição de vriável pr clculr s integris: ) ( - 5) 4 d b) d d) - c) cos( 5+ ) d d + 4 Integrl definid e o Teorem Fundmentl do Cálculo Considere um função contínu f() com f () $ 0 pr todo! 6, b@, onde [,b] é um intervlo fechdo e < b Desejmos clculr áre S d região limitd pelo gráfico de f, o eio e s rets e b, como mostr figur O Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) diz que áre S é igul F(b) F(), onde F(t) é um ntiderivd d função f(t) Pr tnto, considermos áre S(t) limitd pelo gráfico de f, o eio e s rets e t, pr cd t [,b] Observmos que S() 0 e S s(b) S() A fim de verificr o TFC, mostrremos que função áre S(t) stisfz S'(t) f(t), ou sej, S(t) F(t) + c é um primitiv de f(t) Ddos t e (,b) e h>0, sejm f( ) e f( ) os vlores de mínimo e máimo Fundm_Clculoindd 75 9/0/6 4:8

77 76 Cbrl, Rquel Montezum Pinheiro de f no intervlo [t, t +h], respectivmente, com, e [t, t +h] Um função contínu, sempre tinge seus etremos em um intervlo desse tipo Sendo ssim, podemos comprr áre S(t + h) S(t) representd n figur nterior, com s áres dos retângulos de mesm bse e lturs f( ) e f( ): f () h S( t+ h) -St ( ) f ( ) h St ( + h) -S() t f ( ) h f ( ) O mesmo ocorre com h < 0 Qundo h 0, temos que lim f ( ) lim f ( ) ft () Dess form, concluímos que h" 0 h" 0 ( ) () () lim St+ h -S t ft h ft () h " 0 e, portnto, ( ) () '( ) lim St+ h -S t S t h ft () h " 0 Em prticulr, pr o cálculo d áre d região que vi de té b, devemos encontrr função F cuj derivd é função f e clculr: S F(b) F() Definição: Sej f contínu no intervlo [,b] A áre F(b) F() é usulmente denomind integrl definid d função f de b, onde F é função áre construíd nos gráficos presentdos nteriormente Indicmos integrl definid de f por b fd () Fb ()-F ( ) Observção: N resolução ds integris definids, usremos seguinte notção: b F () Fb ( ) F ( ) - Eercícios resolvidos: Clcule áre d região sombred n figur delimitd pels curvs f() +5, o eio e s rets e 4 Fundm_Clculoindd 76 9/0/6 4:8

78 Fundmentos do Cálculo 77 Solução: Clculmos primitiv d função f e plicmos nos vlores e 4 F () F( ) 5$ 4 5$ e F( 4) - + S F( 4) - F( ) Encontre áre d região limitd pelo gráfico d curv f(), o eio e s rets e 4 Solução: Clculmos integrl d função definid de té 4, ou sej, ( ) d Pssemos nlisr o cso em que função ssume vlores positivos e negtivos, ou sej, seu gráfico pode gerr regiões cim ou bio do eio Dess form, s áres formds bio do eio são contds com vlor negtivo n integrl definid, ou sej: ) Se f () $ 0, pr! [, b], temos que b S f() d Fundm_Clculoindd 77 9/0/6 4:8