Introdução ao estudo de ondas

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1 Introdução ao estudo de ondas Pedro P. Bittencourt Resumo Documento introdutório para o estudo de ondulatória. Nele, deniremos algumas grandezas físicas e conceitos fundamentais para tal, como frequência, período, comprimento de onda, entre outros. Adaptado de GASPAR, Alberto [1] e PIETROCOLA, Maurício [2]. 1 Raios e trovões! Em nossos estudos iniciais de mecânica, analisamos o movimento de corpos ao longo do tempo e do espaço, em diferentes trajetórias: retilíneas, parabólicas ou circulares. Estudamos também as causas que os produzem, a energia e a quantidade de movimento a eles associadas. Em todos esses movimentos, no entanto, há algo em comum: a partícula descreve efetivamente sua trajetória em relação a determinado referencial. E, em relação a esse referencial, é possível denir a posição dessa partícula, associando a ela algumas grandezas físicas vetoriais, tais como velocidade, aceleração e força. Em outras palavras, existe claramente um transporte dessa partícula ao longo de sua trajetória. Contudo, nem todos os movimentos na natureza exibem essas características. Do ponto de vista da física clássica, numa tempestade, quando o ruído e o clarão de um relâmpago são por nós detectados ocasionando, às vezes, aquele susto vergonhosamente disfarçado nenhuma partícula do relâmpago nos atinge. Detectamos, apenas, através de nossos órgãos sensoriais (olhos e orelhas), uma grande quantidade de energia, que se propaga através do espaço nas formas de luz e de som. Ademais, a luz e o som não se propagam pelo espaço da mesma maneira. Isto é fácil de ser percebido quando levamos em consideração que o clarão nos atinge antes do ruído; inclusive, somos ensinados, ao longo da vivência cotidiana, a estimar o quão próxima foi a descarga elétrica: quanto menor a diferença de tempo entre a luz e o som do relâmpago, mais próximo ele ocorreu e maior é nosso temor pela saúde de nossos equipamentos elétricos e, por que não?, de nossa própria vida. 1

2 2 ONDAS MECÂNICAS E ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 2 Ondas mecânicas e ondas eletromagnéticas A principal característica do movimento ondulatório é a propagação. Onda é algo que se movimenta pelo espaço, sem que, a rigor, haja deslocamento de matéria. Assim, retomando o que foi dito no tópico anterior, podemos dizer que ondas são entes físicos que transportam energia, sem que haja transporte de matéria. A palavra propagar tem vários signicados, como difundir, multiplicar, generalizar, transmitir, entre outros, todos relacionados de alguma forma com movimento. Mas nenhum deles é aplicável ao movimento de partículas ou corpos materiais. Não se pode dizer que um automóvel se propaga com velocidade de 100 km/h, por exemplo. Essa distinção é muito importante, porque mostra a diferença entre o movimento ondulatório e o movimento de corpos ou partículas. Ondas não se movimentam como corpos, mas propagam-se, mais ou menos como se propagam boatos ou ideias. A fonte das ondas (ou dos boatos, ou das ideias) pode se deslocar, mas isto não é necessário. Podemos tomar como exemplos ondas se propagando em molas, ondas se propagando na água, o som emitido por uma pessoa, por um instrumento musical ou por um golnho, bem como o já mencionado relâmpago. É importante notar que boa parte das ondas utilizadas como exemplo necessitam de um meio material para se propagar; é o caso, por exemplo, do som. Os golnhos se comunicam através de assobios dentro da água. Se não houvesse água (ou até mesmo o ar), a comunicação não seria possível. O mesmo ocorre com o ser humano, cuja audição depende essencialmente do ar, meio material que permitirá a propagação da onda sonora discutiremos essa relação entre os diferentes meios de propagação do som mais futuramente. No caso da luz, entretanto, não há a necessidade de um meio material para sua propagação. Isto pode ser percebido se levarmos em consideração a luz das estrelas que se propagam através do espaço, no vácuo. Ondas em molas, na água, no ar, ou em qualquer meio elástico que torne possível sua propagação, são ditas ondas mecânicas. Ondas como a luz, que não precisam de meio material para se propagarem, são ditas ondas eletromagnéticas. Um paralelo interessante, neste momento, é a análise de algumas cenas de lmes clássicos da cção cientíca. Poderíamos comparar, por exemplo, a representação do espaço nos lmes 2001: uma odisseia no espaço (1968), de Stanley Kubrick, e Star Wars (1977), de George Lucas ou os outros cinco lmes da hexologia 1 (se é que o termo existe). Enquanto no primeiro temos sequência de planos silenciosos, intercalados com música clássica para ambientação sonora, na qual nenhum ruído pode ser ouvido, o segundo nos brinda com uma série de explosões, tiros e barulhos de armas a laser (ainda 1 No presente ano em que este texto é escrito, teremos a estreia de mais um episódio da saga, dirigido por J. J. Abrams. Me arrisco a dizer que não fecharemos uma heptologia. 2

3 3 FORMAS DE PROPAGAÇÃO, DIMENSÕES E FRENTE DE ONDAS não sei se armas a laser, de fato, emitem algum som). Nada disso seria possível, no espaço, uma vez que o som precisa de um meio para se propagar. Do ponto de vista físico, bola fora para a turma do senhor Lucas. Porém, como uma experiência estética, e utilizando o liberdade lírica do artista, tudo é permitido para retratar essa bela história de western-samurai espacial. 3 Formas de propagação, dimensões e frente de ondas Classicamos ondas quanto à sua forma de propagação em transversais ou longitudinais (ver gura 1). Enquanto a onda transversal se propaga horizontalmente, cada ponto da mola executa movimento oscilatório vertical. A oscilação que gera a onda, produzida na extremidade da mola, é perpendicular (ou transversal) à direção em que ela se propaga. A onda longitudinal se propaga na mesma direção do movimento oscilatório de qualquer ponto da mola. A oscilação geradora do movimento ondulatório tem também a mesma direção da propagação. (a) Onda transversal (b) Onda longitudinal Figura 1: Classicação de ondas quanto à forma de propagação Nos exemplos citados, as ondas são unidimensionais (gura 2), porque é possível determinar a posição da frente da perturbação, também chamada de frente de onda, por meio de um único eixo de coordenadas. Portanto, nas ondas unidimensionais, a frente de ondas é um ponto material. Figura 2: Onda unidimensional As ondas na superfície da água são bidimensionais (gura 3). Para sua descrição matemática são necessários dois eixos coordenados e sua frente de onda é uma curva plana. As ondas sonoras propagam-se por todo o espaço. São ditas ondas tridimensionais, descrevendo-se, portanto, através de três eixos coordenados 3

4 4 ONDAS PERIÓDICAS Figura 3: Onda bidimensional (gura 4). Deste modo, a frente de ondas é sempre uma superfície; no caso de ondas sonoras, podem ser superfícies esféricas. Figura 4: Onda tridimensional 4 Ondas periódicas Você provavelmente já assistiu a algum jogo de futebol no estádio. Caso ainda não tenha tido uma oportunidade dessas e é extremamente recomendável que tente algumas vezes na vida, apesar de alguns preços salgados que certas arenas vêm cobrando certamente presenciou, pela televisão, uma torcida alegre e aparentemente vitoriosa celebrando sua equipe do coração com uma manifestação efusiva e coletiva: a chamada ola 2. Na ola, palavra espanhola que signica onda, as pessoas levantam-se e abaixam-se, simulando o que é conhecido como pulso, que se propaga ao longo da extensão das arquibancadas. Caso as pessoas, por algum motivo qualquer, resolvessem 2 Caso você seja parte de uma parcela da sociedade que desconhece tal fenômeno, temos um vídeo para sanar esse vazio cultural: 4

5 4.1 Frequência e período 4 ONDAS PERIÓDICAS permanecer levantando e abaixando periodicamente, teríamos uma sequência de pulsos, de propagação também periódica. Essa sequência de pulsos é denominada trem de ondas periódicas. Na gura 5, temos uma fonte F que produz oscilações regulares, de período constante; com isto a corda é percorrida por ondas periódicas. O trem de ondas da gura é de ondas transversais, mas essa classicação também vale para ondas longitudinais. Tendo em vista sua facilidade de representação gráca, estudaremos ondas transversais simples (que passaremos a chamar simplesmente de ondas). É importante, contudo, saber que todos os conceitos apresentados a seguir podem ser aplicados a qualquer onda periódica. Figura 5: Onda periódica gerada por uma fonte F oscilante 4.1 Frequência e período No estudo de movimentos periódicos como a rotação de uma roda ou a oscilação de um pêndulo denimos duas grandezas essenciais: a frequência do movimento e seu período. Frequência de um ponto em movimento oscilatório é o número de oscilações completas por ele na unidade de tempo; por exemplo, a frequência de giro de um motor é o número de voltas completas que ele efetua a cada segundo, ou a cada minuto, a depender da unidade de tempo adotada. Período é o intervalo de tempo em que o ponto material efetua uma oscilação completa; ainda no exemplo do motor do carro, o período seria o intervalo de tempo necessário para o motor completar cada giro. É interessante notar que essas duas grandezas são inversamente proporcionais. Quando maior a frequência do movimento, menor é seu período, e vice versa. Quanto mais rápido um motor gira, mais voltas ele completa numa determinada unidade de tempo. Matematicamente, podemos expressar um em função do outro: f = 1 T ou T = 1 f (1) A partir das equações acima, nota-se que a unidade de medida da frequência é o inverso da unidade de medida do período. A unidade do período é a unidade de tempo, portanto no SI é o segundo (s). A unidade de frequência do SI é ciclos por segundo, que se denomina hertz (Hz), em homenagem ao físico alemão Heinrich Hertz ( ). Se a fonte gera um pulso, propaga-se na mola um pulso. Se a fonte gerar n pulsos num determinado intervalo de tempo, vão se propagar na mola 5

6 4.2 Amplitude, fase e comprimento de onda 4 ONDAS PERIÓDICAS n pulsos no mesmo intervalo de tempo. Portanto a frequência da fonte e, consequentemente, seu período são iguais à frequência e ao período da onda. 4.2 Amplitude, fase e comprimento de onda Localizando a origem das ordenadas de um ponto P da mola, na sua posição de repouso, a amplitude A é o módulo da ordenada ou elongação máxima desse ponto: A = y max. Para denir comprimento de onda, precisamos entender a ideia de fase do ponto em movimento oscilatório. Acompanhe na gura 6. Figura 6: Representação gráca da amplitude e do comprimento de onda Os pontos materiais P 1, P 2, P 3 e P 4 têm a mesma elongação, ou seja, a mesma ordenada y, mas não têm velocidade de mesmo sentido. Enquanto P 1 e P 3 sobem, P 2 e P 4 descem. Por essa razão, somente os pares (P 1, P 3 ) e (P 2, P 4 ) estão na mesma fase. A distância entre eles é o comprimento de onda, representado pela letra grega λ. Em qualquer onda existem muitos pontos na mesma fase, como os pontos C, da crista (pontos de ordenada máxima). Assim, deni-se comprimento de onda (λ) como a menor distância entre dois pontos na mesma fase. 4.3 Velocidade de propagação Para a propagação ondulatória, só tem sentido utilizar o conceito de velocidade média. Assim, da expressão v m = p t obtemos a velocidade de propagação, dividindo o espaço que a onda percorre pelo correspondente intervalo de tempo. Observe a gura 7. (2) 6

7 4.3 Velocidade de propagação 4 ONDAS PERIÓDICAS Figura 7: Enquanto C percorre um comprimento de onda, o ponto P efetua uma oscilação completa. Enquanto a crista C percorre a distância correspondente a um comprimento de onda, cada ponto da corda, como o ponto P, efetua uma oscilação completa. Portanto o intervalo de tempo correspondente a esse percurso é igual ao período T da onda. Assim, voltando à expressão da velocidade média (2), enquanto a crista C da onda percorre a distância p = λ, o intervalo de tempo transcorrido é t = T. Portanto, a velocidade de propagação da onda é: 7

8 REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS v = λ T (3) ou, utilizando a equação 1: v = λf (4) Se a velocidade de propagação da onda é constante, a partir da expressão v = λf, concluimos que frequência e comprimento de onda são sempre grandezas inversamente proporcionais. Assim, quando a frequência da fonte geradora de uma onda dobra, triplica, ou quadruplica, o comprimento de onda se reduz, respectivamente, à metade, a um terço ou a um quarto. Referências [1] GASPAR, A. Física, v ed. São Paulo: Ática, [2] PIETROCOLA, M. Física em contextos: pessoal, social e histórico: energia, calor, imagem e som. 1 ed. São Paulo: FTD,