Um sistema sexagesimal é um sistema de numeração de base 60, ou seja, cada submúltiplo é 60 vezes menor que o anterior.

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1 LINHAS TRIGONOMÉTRICAS. UNIDADES DE MEDIDAS ANGULARES.. SISTEMA SEXAGESIMAL GRAU ( ) Um sistema sexagesimal é um sistema de numeração de base 60, ou seja, cada submúltiplo é 60 vezes menor que o anterior. Para medidas angulares, é comum adotar um sistema sexagesimal com unidade de medida grau ( ) que é de um ângulo reto. 90 Um grau pode ser dividido em 60 minutos e cada minuto dividido em 60 segundos. ângulo reto ângulo reto ângulo raso 80 ângulo de uma volta 60 Submúltiplos do grau: Minuto: ' 60' 60 Segundo: '' ' ' 60'' 600'' 60 Exemplo: Calcule RESOLUÇÃO: 80,7 0,7 60' ' 8.. SISTEMA CIRCULAR OU RADIOMÉTRICO RADIANOS (rad) O ângulo de radiano ( rad) é o ângulo central em uma circunferência de raio R que determina um arco de comprimento R sobre essa circunferência.

2 O sistema circular ou radiométrico adota como unidade de medida radiano ( rad). Como o comprimento de uma circunferência de raio R é R, então um ângulo de uma volta mede rad. rad ângulo de uma volta ângulo de uma volta rad ângulo raso rad ângulo reto rad.. COMPRIMENTO DO ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA, onde em radianos, onde em graus Exemplo: Calcule o comprimento de um arco de circunferência de rad em uma circunferência de raio cm. RESOLUÇÃO: O comprimento do arco é R cm.

3 .. RELAÇÕES ENTRE AS UNIDADES 80 rad Exemplo: Converta o ângulo de para radianos e o ângulo de 8 rad para graus. RESOLUÇÃO: rad rad rad rad, 0' 8 8 rad. O CICLO TRIGONOMÉTRICO O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada de raio unitário e centrada na origem. A origem do sistema de medidas é no ponto de coordenadas A,0 e o sentido positivo é o sentido anti-horário. A medida dos ângulos é feita por meio de uma função dos números reais sobre a circunferência, que associa a cada número real um único ponto P sobre a circunferência. O ponto P associado ao número real é o ponto final de um percurso de comprimento sobre a circunferência, a partir de A, no sentido anti-horário para 0 ou no sentido horário para 0. O Ponto P associado ao número real é chamado imagem de no ciclo trigonométrico. Isso é como se você enrolasse a reta real na circunferência com o zero sobre o ponto A e o sentido positivo no sentido anti-horário. Observe que o ciclo trigonométrico tem comprimento. Assim, os arcos pertencentes ao intervalo 0, estão na primeira volta; os arcos pertencentes ao intervalo, pertencentes ao intervalo,0 estão na volta ; e assim por diante. estão na segunda volta; os arcos

4 O ciclo trigonométrico é divido em quadrantes de radianos enumerados no sentido anti-horário. Assim, arcos cujas extremidades estão sobre o arco AB estão no primeiro quadrante Q ; sobre o arco BA', no segundo quadrante Q ; sobre o arco A'B', no terceiro quadrante Q e sobre o arco B'A, no quarto V quadrante Q. Para arcos no intervalo 0, (primeira volta), os arcos do primeiro quadrante pertencem ao intervalo 0,, os arcos do segundo quadrante pertencem ao intervalo,, os arcos do terceiro quadrante pertencem ao intervalo, e os arcos do quarto quadrante pertencem ao intervalo,. A figura a seguir traz a indicação dos quadrantes no ciclo trigonométrico. Exemplo: Identifique a que quadrante pertence cada um dos arcos a seguir: a) 7 9 ; b) ; c) ; d) 6 ; e). 7 RESOLUÇÃO: a) Q, pois. 7 b) Q 7 V, pois c) 9 Q, pois 7 d) 6 Q, pois e) Q, pois 0

5 .. ARCOS CÔNGRUOS Como o ciclo trigonométrico tem comprimento, a função que define o ponto P do ciclo trigonométrico associado a um número real é periódica de período, ou seja, números que diferem por múltiplos de possuem a mesma imagem no ciclo trigonométrico. Dois arcos são ditos côngruos quando possuem a mesma extremidade no ciclo trigonométrico. Assim, dois arcos e, expressos em radianos, são côngruos se, e somente se, k para algum k. Da mesma forma, dois arcos e, expressos em graus, são côngruos se, e somente se, 60 k para algum k. k, k radianos 60, k graus Exemplo: Marque no ciclo trigonométrico a imagem de cada um dos números a seguir e identifique os arcos côngruos. a) 7 9 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) RESOLUÇÃO: a) 7 6 b) c) 6 d) 6 e) f)

6 Os arcos das opções a) e e) são côngruos, assim como os das opções b) e c). A primeira determinação positiva de um arco é o arco 0, côngruo a. Para se identificar a imagem de um arco no ciclo trigonométrico e os valores de suas linhas trigonométricas é sempre útil encontrar a primeira determinação positiva. Exemplo: Encontre a primeira determinação positiva dos seguintes arcos. a) 0 ; b) ; c) ; d) 880 ; e) RESOLUÇÃO: a) A primeira determinação positiva de é, pois. b) A primeira determinação positiva de é, pois c) A primeira determinação positiva de 0 é 0, pois 7. d) A primeira determinação positiva de 70 é 0, pois e) A primeira determinação positiva de 00 é 0,pois

7 PROF. RENATO MADEIRA. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere os dois triângulos retângulos ABC e A'B'C', então podemos escrever: AB AC BC. A'B' A'C' B'C' Se conhecermos a medida dos lados do outros dois lados. ABC e de um dos lados do A'B'C', então é possível calcular seus Observe que todos esses dois triângulos possuem a mesma forma, diferindo apenas pelo tamanho. Para qualquer triângulo retângulo semelhante ao calcular os outros dois. ABC, é sempre possível, conhecendo-se um dos lados, A ideia da definição das linhas trigonométricas no triângulo retângulo é identificar características do ABC que permitam calcular os lados dos triângulos retângulos semelhantes a ele sem precisar de um triângulo matriz. Para isso vamos lançar mão de uma característica que todos esses triângulos semelhantes têm em comum. Eles possuem os mesmos ângulos. Assim, para todos os triângulos retângulos semelhantes ao ABC, a razão entre o cateto oposto ao ângulo ˆB e a hipotenusa é a mesma. A essa razão damos o nome de seno de ˆB. Da mesma forma, a razão entre o cateto adjacente ao ângulo ˆB e a hipotenusa é constante. A essa razão damos o nome de cosseno de ˆB. A razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo ˆB é chamada de tangente de ˆB. Seja o triângulo ABC retângulo em A, conforme a figura a seguir: 7

8 Definem-se, para o ângulo agudo ˆB : Seno: ˆ cateto oposto b senb hipotenusa a cateto adjacente c Cosseno: cosbˆ hipotenusa a cateto oposto b senbˆ Tangente: tgbˆ cateto adjacente c cosbˆ Cotangente: cateto adjacente c cosbˆ ˆ cotgb cateto oposto b senbˆ tgbˆ Secante: ˆ secb cosbˆ Cossecante: ˆ cossecb senbˆ Analogamente, são definidas para o ângulo agudo Ĉ : ˆ cossecc. sencˆ ˆ c senc ; a ˆ b cosc ; a ˆ c tgc, b ˆ b cotgc, c ˆ secc e coscˆ Comparando os resultados obtidos para os ângulos ˆB e Ĉ, concluímos que tgbˆ cotgcˆ ; cotgbˆ tgcˆ ; secbˆ cossecc ˆ e cossecb ˆ seccˆ. senbˆ coscˆ ; cosbˆ sencˆ ; Como ˆB Cˆ, ou seja, ˆB e Ĉ são ângulos complementares, então, para 0,, temos: sen cos cos sen tg cotg Assim, a razão trigonométrica de um ângulo agudo é igual à corrazão do seu complemento. Como a hipotenusa a é o maior lado do triângulo retângulo, concluímos que: 0 senbˆ e 0 cosbˆ 8

9 b c a b c Pela desigualdade triangular, temos: b c a senbˆ cosbˆ. a a a a Exemplo: Seja o triângulo retângulo de lados, e. Calcule as linhas trigonométricas dos dois ângulos agudos desse triângulo. RESOLUÇÃO: sen ; cos ; tg ; cotg ; sec ; cos cossec sen sen ; cos ; tg ; cotg ; sec ; cos cossec sen Nota: Todas as definições e relações estabelecidas nessa seção foram desenvolvidas apenas para ângulos agudos. Nas próximas seções, veremos generalizações dessas relações para um ângulo qualquer... RELAÇÕES FUNDAMENTAIS Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que b c temos: sen Bˆ cos Bˆ. a a Assim, para um ângulo agudo, podemos escrever: Dividindo a relação fundamental por Dividindo a relação fundamental por a b c. Dividindo-se ambos os membros da equação por sen cos (relação fundamental da Trigonometria) cos, temos: sen, temos: tg sec sen cos cos cos cotg cossec. sen sen tg sec cotg cossec. a, 9

10 Exemplo: Sabendo que o seno de um ângulo agudo é igual a, calcule o seu cosseno. RESOLUÇÃO: 8 sen cos cos cos 9 9 Como é um ângulo agudo, então 0 cos. Assim, temos: cos. Exemplo: Sabendo que a tangente de um ângulo agudo é igual a, calcule o seu cosseno. RESOLUÇÃO: tg sec sec sec cos. cos Como é um ângulo agudo, então 0 cos. Assim, temos: cos... ÂNGULOS NOTÁVEIS a) Ângulos de 0 e 60 Seja o triângulo equilátero ABC de lado x, conforme a figura a seguir: Seja M o ponto médio do lado BC, então retângulo AMB, temos: AMB ˆ 90. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo x x x x AM BM AB AM x AM x AM. A altura de um triângulo equilátero de lado x é x h. 0

11 No triângulo retângulo AMB, temos: x sen60 AM AB x x cos60 BM AB x tg60 sen60 cos60 sen0 cos60 cos0 sen60 tg0 tg60 Exemplo: Calcule x e y na figura. RESOLUÇÃO: BC y sen60 y AC AB x cos60 x AC b) Ângulo de Seja o quadrado ABCD de lado x, conforme a figura a seguir:

12 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: AC AB BC AC x x x AC x. A diagonal de um quadrado de lado x é d x. No triângulo retângulo ABC, temos: ˆ BC x sen senbac AC x ˆ AB x cos cosbac AC x sen tg cos Note que sen cos90 cos. Exemplo: Calcule os catetos de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa. RESOLUÇÃO: BC x sen x AC

13 c) Quadro Resumo Seno Cosseno Tangente LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO QUALQUER Na seção, definimos as relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Essas relações são válidas para ângulos agudos, ou seja, ângulos pertencentes ao intervalo 0,. Nessa seção, vamos generalizar esse conceito definindo as relações trigonométricas para um ângulo qualquer com auxílio do ciclo trigonométrico... SENO E COSSENO Seja P a imagem de um ângulo no ciclo trigonométrico. Define-se o seno do ângulo como a ordenada de P e o cosseno de como a abscissa de P. Assim, para obter o seno de, devemos projetar P sobre o eixo vertical Oy, denominado eixo dos senos, e, para obter o cosseno de, devemos projetar P sobre o eixo horizontal Ox, denominado eixo dos cossenos. Na figura a seguir, temos:

14 Observe que, OP y e OP x são segmentos orientados. Dessa forma, o seno de um ângulo assume valores positivos quando sua imagem no ciclo trigonométrico possui ordenada positiva, ou seja, quando essa imagem está acima do eixo Ox, e valores negativos, caso contrário. Do mesmo modo, o cosseno de um ângulo assume valores positivos quando sua imagem no ciclo trigonométrico possui abscissa positiva, ou seja, quando essa imagem está à direita do eixo OY, e valores negativos, caso contrário. Observe que a definição acima é coerente com a que foi estabelecida nos triângulos retângulos para ângulos agudos. Basta observar que o triângulo retângulo catetos OP x e OP y. Assim, temos: sen PP OPx P possui hipotenusa (raio do ciclo trigonométrico) e OP x y OPy e cos x x Denomina-se função seno, a função de em definida por fx O domínio da função seno é sen OP D e a imagem Im, sen. Denomina-se função cosseno, a função de em definida por fx O domínio da função cosseno é D e a imagem Im, cos cos. sen,, cos,, Seno e cosseno são funções periódicas de período. OP OP OPx OP. senx. cosx. Os sinais das funções seno e cosseno em cada um dos quadrantes estão representados nos diagramas a seguir:

15 .. TANGENTE E COTANGENTE No ciclo trigonométrico, o eixo paralelo ao eixo Oy, com a mesma orientação que este e passando pelo ponto A é denominado eixo das tangentes, e o eixo paralelo ao eixo Ox, com a mesma orientação que este e passando pelo ponto B é denominado eixo das cotangentes. Seja um ângulo tal que k, k, e cuja imagem no ciclo trigonométrico é P. A tangente de é a medida algébrica do segmento AP, onde P é a interseção da reta OP com o eixo das tangentes. Note que, se k, k, a reta OP não intersecta o eixo das tangentes e, portanto, a tangente de não está definida. Seja um ângulo tal que k, k, e cuja imagem no ciclo trigonométrico é P. A cotangente de é a medida algébrica do segmento BP, onde P é a interseção da reta OP com o eixo das cotangentes. Note que, se k, k não está definida., a reta OP não intersecta o eixo das cotangentes e, portanto, a cotangente de Na figura a seguir, temos: Observe que a definição acima é coerente com a que foi estabelecida nos triângulos retângulos para ângulos agudos. Basta notar que, no triângulo retângulo OAP, temos: AP AP tg AP tg OA BP BP cotg BP cotg OB

16 Note ainda que, se P x e P y são as projeções de P sobre os eixos dos cossenos e dos senos, respectivamente, então temos: PPx AP sen tg sen OPPx OPA tg OP OA cos cos. x PPy BP cos cotg cos OPPy OPB cotg OP OB sen sen y Essa demonstração foi feita para um ângulo no primeiro quadrante, para verificar que essa relação vale para qualquer ângulo, basta verificar que os sinais em cada quadrante satisfazem essa condição. Portanto, para um ângulo qualquer, no qual as linhas trigonométricas estejam definidas, valem as relações: sen cos tg cotg cotg cos sen tg Denomina-se função tangente, a função de D em definida por fx tgx. O domínio da função tangente é Dtg x x k,k tg e a imagem Imtg. Denomina-se função cotangente, a função de D em definida por fx cotgx. cotg O domínio da função cotangente é D x x k,k cotg Tangente e cotangente são funções periódicas de período. e a imagem Imcotg. De acordo com a definição acima, os ângulos do º e º quadrantes possuem tangente e cotangente positivas e os ângulos do º e º quadrantes possuem tangente e cotangente negativas, conforme representado no diagrama a seguir. 6

17 .. SECANTE E COSSECANTE Seja um ângulo tal que k, k, e cuja imagem no ciclo trigonométrico é P. A secante de é a medida algébrica do segmento OP', onde P' é a interseção da reta tangente ao ciclo trigonométrico em P com o eixo dos cossenos. Note que, se k, k, a reta tangente não intersecta o eixo cos cossenos e, portanto, a secante de não está definida. Seja um ângulo tal que k, k, e cuja imagem no ciclo trigonométrico é P. A cossecante de é a medida algébrica do segmento OP", onde P" é a interseção da reta tangente ao ciclo trigonométrico em P com o eixo dos senos. Note que, se k, k não está definida., a reta tangente não intersecta o eixo dos senos e, portanto, a cossecante de Na figura a seguir, temos: Observe que a definição acima é coerente com a que foi estabelecida nos triângulos retângulos para ângulos agudos. Basta notar que: OPP' : OPP" : OP cos OP' sec OP' OP' OP' cos OP sen OP'' cossec OP'' OP'' OP'' sen Denomina-se função secante, a função de D em definida por fx secx. sec 7

18 PROF. RENATO MADEIRA O domínio da função secante é Dsec x x k,k sec Im,,,. e a imagem Denomina-se função cossecante, a função de D em definida por fx cossecx. cossec O domínio da função cossecante é Dcossec x x k,k Im,,,. cossec e a imagem Secante e cossecante são funções periódicas de período. Os sinais da secante e da cossecante acompanham os sinais do cosseno e do seno, respectivamente... RELAÇÕES FUNDAMENTAIS O seno e o cosseno de um mesmo ângulo são coordenadas de um ponto que dista unidade da origem do sistema de eixos. Se P é a imagem do ângulo no ciclo trigonométrico, então P cos,sen d P,O cos0 sen0 sen cos. Essa é a chamada relação fundamental da trigonometria. Dividindo a relação acima por Dividindo a relação acima por cos, obtemos: sen, obtemos: sen cos tg sec cotg cossec. Assim, temos: Exemplo: Sabendo que, e que sen, calcule cos. RESOLUÇÃO: 8 sen cos cos cos 9 9 Como,, então cos 0. Assim, temos: cos. 8

19 EXERCÍCIOS DE COMBATE. (PUC 999) Uma linha fina de espessura desprezível e comprimento 6 cm foi enrolada em um disco de raio cm, a partir do ponto A, no sentido anti-horário. A posição da extremidade B do fio depois de enrolado está CORRETAMENTE indicada na figura:. (EPCAr 009) Um fardo de alimentos será entregue para alguns habitantes de uma região de difícil acesso na Floresta Amazônica por um helicóptero, conforme a figura abaixo. No momento em que o fardo atinge o ponto P no solo, o cabo que sai do helicóptero e sustenta o fardo está esticado e perpendicular ao plano que contém os pontos A, P e B. Sabe-se que o helicóptero está a uma altura h do solo e é avistado do ponto A sob um ângulo de 0 e do ponto B sob um ângulo de. Sabe-se, também, que a medida de O número que expressa a medida de h, em metros, a) é primo e ímpar. b) é múltiplo de maior que 0 c) é número par menor que 0 d) tem 6 divisores que são números naturais. APB ˆ 90 e que a distância entre A e B é 00 metros. 9

20 . (EPCAR 00) Chama-se agrimensura a arte de medição de terras. O agrimensor é aquele que obtém as medidas de um terreno. Um fazendeiro comprou um terreno cuja base planificada tem a forma de um retângulo. A pedido do fazendeiro, o agrimensor desenhou a vista frontal e a vista lateral desse terreno indicando medidas precisas que ele obteve utilizando-se de estacas auxiliares de mesma medida. Tomando-se como referência a forma planificada retangular do terreno cujo custo do metro quadrado foi de 0 reais para o fazendeiro, é correto afirmar que a) tem mais de 0 m de lateral. b) sua área total é de 6m. c) foi comprado pelo valor de 96.0 reais. d) tem menos de 0 m de frente.. (EPCAr 0) Em relação à figura abaixo, tem-se CÂD 0, AC cm e BC cm Se AC CB e AD DB, então, BD, em cm, é igual a a) 6 b) 6 c) d) 0

21 . (EPCAr 0) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 0, conforme mostra a figura abaixo. O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de com o chão e a uma distância BR de medida 6 metros. Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre a) e b) e c) e 6 d) 6 e 7 e) 7 e 8 6. (UNICAMP 00) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. A figura abaixo ilustra a rampa que terá que ser vencida pela bicicleta de Laura. Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação, tal que cos 0,99. Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer, m. Calcule a altura há (medida em relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 00 pedaladas. a) m b), m c) 60 m d) 6 m e),7 m

22 7. (AFA 000) Na figura a seguir, AD e CB. Se tg, então cotg é a) /7 b) /7 c) 7/0 d) 9/0 8. (AFA 00) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado cm. A distância BE, em cm, vale. a) b) 6 c) d) 6 9. (EFOMM 009) Duas pessoas estão na beira da praia e conseguem ver uma lancha B na água. Adotando a distância entre as pessoas como PP sendo 6 metros, o ângulo BPˆ P, BPˆ P, tg e tg. A distância da lancha até a praia vale a) 8 b) 8

23 c) 8 d) 86 e) (EFOMM 0) Dois observadores que estão em posições coincidentes com os pontos A e B, afastados km entre si, medem simultaneamente o ângulo de elevação de um balão, a partir do chão, como sendo 0 e 7, respectivamente. Se o balão está diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B, então a altura do balão, a partir do chão, em km, é: a) b) c) d) e). (IME CG 00) Seja um ângulo do quarto quadrante cujo cosseno é igual a. Determine o valor de y na sec seccosec expressão: y. (Obs.: sec(a), cosec(a) e ctg(a) representam respectivamente a secante, ctg a cossecante e a cotangente do ângulo a.) a) b) c) 6 d) 6 e). (ITA 99) Num triângulo ABC retângulo em A, seja D a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BD mede cm e que o ângulo DAC ˆ mede graus então a área do triângulo ABC vale: a) sectg

24 b) c) d) e) sec tg sectg cosseccotg cossec cotg. (EsPCEx 00) Se sen e,, então o valor de tg é igual a: a). b). c). d) e)... Se x é um arco do terceiro quadrante e tgx, então senx secx vale: a) 0 b) c) d) 0 e) 0

25 . Um arco de medida igual a x é tal que cotgx senx cosx é igual a: a) 0 b) c) d) e) o 0 x 60 e o tg x. O valor de 6. Se sen cos, onde, determine o valor de sen cos. a) b) c) d) e) Simplificando a expressão sen x cos x sen x cos x a) 0 b) c), obtemos: d) e) sen x cos x sen x cos x 8. (UEM 00) Se é a medida em radianos de um arco em que sec tg, assinale a alternativa correta. a)

26 b) c) d) e) sec tg sen sec tg 9. (AFA) Os valores de x que satisfazem a equação x x cotg cos x sen a) sen e tg b) sen e cos c) tg e cotg d) sec e cossec, 0, são: 0. (FUVEST 000) O dobro do seno de um ângulo, 0 é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor do seu cosseno é; a) b) c) d) e). (FUVEST 00) Se está no intervalo 0, e satisfaz sen cos, então o valor da tangente de é: a) 6

27 b) c) d) e) Sejam, e ângulos agudos tais que sen cossec. O valor de sen cos 9 tg 7 cos 6 sec0 é:, tg 0 cotg e a) 0 b) c) d) e). (ITA 000) Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo 0, e que o triplo da sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual a. Então, o cosseno de x é igual a: a) b) 7 c) d) 6 e) 9 7

28 . (EN 00) Sabendo que a equação x sec,, define implicitamente como uma função de x, considere a função f de variável real x onde fx é o valor da expressão cossec sen em termos de x. Qual o valor do produto x x 9 fx? a) b) c) x x 9 x x 9 x x 9 d) x x 9 e) x x 9. (AFA 0) No ciclo trigonométrico da figura abaixo acrescentou-se as retas r, s, t e z. Nestas condições, a soma das medidas dos três segmentos em destaque, AT, TP e PB, pode ser calculado, como função de, por a) sec b) cossec c) tg cotg d) cossec sec 8

29 GABARITO. O disco descrito tem as características do ciclo trigonométrico. Sendo o raio do disco igual a cm, então um arco de comprimento cm, corresponde a um ângulo de radianos. 6 6 O ponto B é a imagem do ângulo determinação positiva desse ângulo. 6 radianos no ciclo trigonométrico. Vamos identificar a primeira Portanto, a primeira determinação positiva de quadrante. 9 é que é um ângulo do º Logo, a extremidade B está no º quadrante. RESPOSTA: D. h APH: tg0 x h x h BPH: tg y h y Aplicando o teorema de Pitágoras no APB, temos: AP BP 00 h h 00 h 00 h 00 h 0 Como 0, então o número de divisores naturais de 0 é d0 6. RESPOSTA: D 9

30 . Vista frontal a h No ABD : sen60 cos60 a h No ABC : h tg 60 b 8 b. Vista lateral x No ABE: tg 60 x 8. Portanto, o terreno tem + 8 = m de comprimento e m de lateral. RESPOSTA: A. o CE tg0 CE BE ˆ ˆ o BD AEC 60 BED sen60 BE 0

31 BD BE RESPOSTA: C. O BPR é um triângulo retângulo isósceles, então BP PR h e, pelo teorema de Pitágoras, temos: h h 6 h 6 h 6 m. No, temos: ˆ APR PR PR h 6 tg A tg0 AB 6 m AP AB BP AB h AB 6 Mas,,7,8 0,7 0,8, 6,8 AB. RESPOSTA: B 6. sen cos sen 0,99 0,0 sen 0, Após 00 pedaladas a bicicleta percorre m. h sen 0, h,m RESPOSTA: B 7. CB tg AB AB AB 7 BD AB AD BD 7 7 cotg CB 0 RESPOSTA: C

32 8. EH AEsen60 6 AC BH BE EHBH 6 RESPOSTA: D 9. Projetando B sobre PP, obtemos o ponto H. Fazendo BH h e P H x, então P H6 x. BH h tg h x P H x

33 BH h tg x 6 x x e h 8 P H 6 x Logo, a distância da lancha até a praia é de 8 m. RESPOSTA: B 0. Seja P a posição do balão e P' a projeção de P sobre o segmento AB, então retângulos e APP' ˆ e BPP' ˆ Consequentemente, o ângulo APB ˆ APP' ˆ BPP' ˆ 60 7 ABP ˆ. Portanto, o triângulo ABP é isósceles e AP AB. No APP', temos RESPOSTA: E PP' PP' sen0 PP' km, que é a medida da altura do balão. AP APP' e BPP' são triângulos. e cos sen sec e cossec e ctg 6 6 sec sec cossec 6 y 6 ctg RESPOSTA: C

34 . DAC ˆ BAD ˆ 90 ABD ˆ AD AD ABD: tg AD tg BD CD CD ACD: tg CD tg AD tg tg tg BC AD BD DC AD SABC tg tg sec tg RESPOSTA: B. cos sen 69 69, cos 0 cos sen tg cos RESPOSTA: B. 0 tgx sec x tg x 9 9 xq secx 0 secx III 0

35 cosx 0 9 sen x cos x xq senx 0 senx III senx secx 0 0 RESPOSTA: B o o. 0 x x tgx 0 tg x tgx cotgx xq II 69 sec x tg x secx cosx sen x cos x senx cotgx senx cosx 0 RESPOSTA: A sen cos sencos sencos sencos (sen cos ) sencos sen cos 9 sen 0 e cos 0 sen cos 0 sen cos RESPOSTA: D sen x cos x sen x cos x sen x sen xcos x cos x sen x cos x sen x cos x

36 PROF. RENATO MADEIRA 6 6 sen x cos x sen x cos x sen x sen xcos x cos x sen x cos x sen x cos x sen x cos x sen x sen xcos x cos x sen x sen xcos x cos x sen x cos x RESPOSTA: B 8. tg sec sec tg sec tgsec tg sec tg sec sec cos tg sen tgcos REFERÊNCIA: UEM 00 INVERNO RESPOSTA: D 9. x x cotg cos x sen cotg x cos x sen 0 cos cotg sen cos cos cos cos cos cos cos cos x cotg cos cos cos cos cos x sen x tg cotg cos cotg cotg sen RESPOSTA: A 0. sen sen tg sen cos sen cos sen sen sen sen 0 sen não convém sen cos sen 6

37 0, cos 0 cos RESPOSTA: B. sen cos sen cos sen cos sen cos Dividindo a última expressão por cos, temos: sec tg tg tg tg tg 0, tg 0 tg RESPOSTA: B. Como, e são ângulos agudos, temos: sen cossec sen sen sen sen tg 0 cotg tg 0 tg 0 Observe que 0 0 e 8. sen96 sec0 sen96 sen96 cos0 cos Observe que sen cos 9 tg 7 sen 6 cos 69 9 tg 8 7 sen60 cos0 tg REFERÊNCIA: Trigonometría Plana y Esférica e Introducción al Cálculo Lumbreras Editores pg. 98 (adaptado) RESPOSTA: B 7

38 . secx tg x tg x secx tg x 9 8secx 9sec x sec x 9 8secx 9sec x sec x 8secx 0 secx secx cosx cosx x0, cosx cosx RESPOSTA: C. x sec x sec 9 x x 9 sec sec 9 sec 7 7 sec tg sec tg 7 tg tg x x 9 sec tg 9 7 x x 9 fx sec tg csc sen sen 9 sen sec sec sencos 8 cos sen cos sec 9sec cos sec 9sec x 9 x 9 x x 9 8 RESPOSTA: C 9 sec 9 sec sec 8

39 . Inicialmente, lembremos que o ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada de raio. Logo, na figura a seguir, temos OC OP OD. PB PB No triângulo retângulo OPB, temos tg PB tg. OP OT OP PT PT No triângulo retângulo OCT, temos sec PT sec. OC OC Ainda no triângulo retângulo OCT, temos CT AC AT AT tg AT tg. OC OC Portanto, a soma pedida é AT TP PB tg sec tg sec. RESPOSTA: A 9