EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

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1 IST-1 o Semestrede2011/12 LEGM, MEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA 2- Espaços Vectoriais 1 1 CombinaçõeslinearesdevectoresdeR n PorR n entenderemosoconjuntodetodasassequênciasordenadasdennúmerosreais x=(x 1,...,x n ), àsquaischamaremosdevectores. Osvaloresreaisx 1,...,x n,tomamonomedecomponentes dovectorx. Doisvectoresx=(x 1,...,x n )ey=(y 1,...,y n )dizem-seiguaisseassuascomponentes homólogasforemiguais. Istoéx=y x 1 =y 1,...,x n =y n. EmR n introduzimosduasoperações. Umadesomadevectoreseoutrademultiplicação ouprodutodeumescalarporumvector. Paraissosejamu=(u 1,...,u n ),v=(v 1,...,v n ) ew=(w 1,...,w n )vectoresder n eα,β númerosreais. SomaemR n : ProdutoescalaremR n : u+v=(u 1 +v 1,...,u n +v n ). αu=(αu 1,...,αu n ). Estas operações gozam das seguintes propriedades, características da estrutura algébricader n : i) (u+v)+w=u+(v+w)(associatividade). ii) u+v=v+u(comutatividade). iii) u+0=u,onde0=(0,...,0)éovectornulo(existênciadeelementoneutro). iv) u+( u)=0,onde u=( u 1,..., u n )(existênciadeelementosimétrico). v) α(u+v)=αu+αv(distributividade). vi) (α+β)u=αu+βu(distributividade). vii) α(βu) =(αβ) u(associatividade). viii) 1u=u. 1 Coligidospor: JoãoFerreiraAlves,RicardoCoutinhoeJoséM.Ferreira. 1

2 Sejamv 1,v 2,...,v n,vectoresder m.umvectorv R m diz-seumacombinaçãolinear dev 1,v 2,...,v n,seexistiremnúmerosreaisx 1,...,x n,taisque x 1 v 1 +x 2 v x n v n =v. Osvaloresx 1,x 2,...,x n,tomamonomedecoeficientesdacombinaçãolinear. Oconjuntodetodasascombinaçõeslinearesdev 1,v 2,...,v n,designa-sepor L({v 1,v 2,...,v n }), e é chamado de conjunto gerado por {v 1,v 2,...,v n }, o qual toma o nome de conjunto gerador. SeL({v 1,v 2,...,v n })=R m,diremosque{v 1,v 2,...,v n }éumconjuntogeradorder m. Em termos de componentes, v 1 = (v 11,v 21,...,v m1 ), v 2 = (v 12,v 22,...,v m2 ),..., v n = (v 1n,v 2n,...,v mn )formamumconjuntogeradorder m seesóseamatriz v 11 v v 1n v 21 v v 2n , v m1 v m2... v mn pode ser transformada por operações elementares de linhas numa matriz em escada de linhas comumpivôemcadalinha(ie. semlinhasnulas). 1.1 Exercícios Exercício1 ConsidereemR 2 oconjuntog={(1,1),(2,2)}. a)mostrequeovector( 5, 5)écombinaçãolineardosvectoresdeG. b)étambémovector(1,0)combinaçãolineardosvectoresdeg? c)oconjuntoggerar 2? d)determineaformageraldosvectores(a,b) L(G). Exercício2 ConsidereemR 3 oconjuntog={(1,1,1),(0,1,1),(1,2,2)}. a)mostrequeovector(2,3,3)écombinaçãolineardosvectoresdeg. b)mostrequeovector(0,0,1)nãoécombinaçãolineardosvectoresdeg. c)oconjuntoggerar 3? d)determineaformageraldosvectores(a,b,c) L(G). Exercício3 IndiquequaisdosseguintesconjuntosdevectoresgeramR 3 : a){(1,3,3),(4,6,4),( 2,0,2),(3,3,1)}. b){(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}. c){(1,4,2),(0,0,0),( 1, 3, 1),(0,1,1)}. d){(26,47,29),(123,0,498)}. 2

3 Exercício4 QuaisdosconjuntosindicadosaseguirgeramR 4? a){(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1, 1)}. b){(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)}. c){(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,1,0,1)}. d){(11, 12,1,1),(45,17,1,20),(21,3,41,122)}. Exercício5 Determineoúnicovalordeaquefazcomque nãosejaumconjuntogeradorder 3. G={(1,1,1),(1,0,1),(0,2,0),(3,2,a)} Exercício6 ConsidereemR 3 oconjuntog={(1,0,1),(0,1,a),(1,1,b),(1,1,1)}.qualo únicopar(a,b) R 2 quefazcomquegnãogerer 3? Exercício7 ConsidereemR 4 oconjuntog={(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,0,0),(1,1,1,a)}. CalculeoúnicovalordeaquefazcomqueGnãogereR 4. 2 Dependência e independência linear OsvectoresdeR m,v 1,v 2,...,v n,dizem-selinearmentedependentessemprequeum delesécombinaçãolineardosrestantes. Ouseja,osvectoresv 1,v 2,...,v n,sãolinearmente dependentesseexistirj {1,...,n}talque v j L({v 1,...,v j 1,v j+1,...,v n }), oquesucedeseesóseexistiremnúmerosreaisc 1,...,c j 1,c j+1,...,c n,taisque v j =c 1 v c i 1 v j 1 +c j+1 v i c n v n. Emcasocontráriodiremosqueosvectoresv 1,v 2,...,v n,sãolinearmenteindependentes. São válidos os seguintes critérios para aferir se um conjunto de n vectores é linearmente dependente ou independente: i) No caso n = 2, v 1, v 2, são vectores linearmente dependentes se e só se um deles é múltiplo do outro. ii) Seexistej {1,...,n}talquev j =0,entãov 1,...,v j,...,v n,sãovectoreslinearmente dependentes. iii) v 1,v 2,...,v n,sãolinearmenteindependentesseesóseosistemahomogéneonaforma vectorial x 1 v 1 +x 2 v x n v n =0 nasvariáveisx 1,x 2,...,x n,sótemasoluçãonula. 3

4 Em termos de componentes, v 1 = (v 11,v 21,...,v m1 ), v 2 = (v 12,v 22,...,v m2 ),..., v n = (v 1n,v 2n,...,v mn ),sãolinearmenteindependentesseesóseosistemahomogéneo v 11 v v 1n x 1 0 v 21 v v 2n x = 0..., v m1 v m2... v mn x n 0 nasvariáveisx 1,x 2,...,x n,sótemasoluçãonula. iv) v 1 = (v 11,v 21,...,v m1 ), v 2 = (v 12,v 22,...,v m2 ),..., v n = (v 1n,v 2n,...,v mn ), são linearmenteindependentesseesóseamatriz v 11 v v 1n v 21 v v 2n v m1 v m2... v mn pode ser transformada através de operações elementares de linhas numa matriz em escadadelinhascomnpivôs. vi) Sen>m,v 1,v 2,...,v n,sãovectoreslinearmentedependentes. 2.1 Exercícios Exercício 8 Em cada um dos seguintes casos, mostre que os vectores indicados são linearmente dependentes: a)emr 3,v 1 =(1,1,2),v 2 =(2,2,4). b)emr 3,v 1 =(1,1,1),v 2 =(3,3,3),v 3 =(0,1,1). c)emr 4,v 1 =(0,1,0,1),v 2 =(1,0,1,0),v 3 =(2,3,2,3). d)emr 4,v 1 =(0,1,0,1),v 2 =(1,0,1,0),v 3 =(2,0,1,3),v 4 =(0,0,0,0). Exercício 9 Em cada um dos seguintes casos, analise se vectores indicados são linearmente independentes: a)emr 4,v 1 =(1,1,0,0),v 2 =(1,0,1,0),v 3 =(0,0,1,1),v 4 =(0,1,0,1). b)emr 3,v 1 =(1,1,2),v 2 =(1,2,1),v 3 =(3,1,1). Exercício 10 Quais dos seguintes conjuntos são constituídos por vectores linearmente independentes? a){(1,1,1),(1,2,1)} R 3. b){(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} R 3. c){(1,1,1),(2,2,0),(0,0,1)} R 3. d){(2,46,6),(23,2, 123),(1,23,1),(1,10,1)} R 3. e){(1,0, 1,0),(4,0, 3,1),(2,0, 1,1)} R 4. f){(1,0, 1,0),(4,0, 3,1),(2,1, 1,1)} R 4. g){(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)} R 4. h){(1,23,1,14),(1,12,1,0),(24, 1,0,0),(11,19,17, 123),(101,119,1,1)} R 4. 4

5 Exercício11 CalculeoúnicovalordeaquefazcomqueosvectoresdeR 4 sejam linearmente dependentes. v 1 =(1,0,0,2), v 2 =(1,0,1,0), v 3 =(2,0,1,a) 3 BasesdeR n B = {v 1,v 2,...,v n } diz-se uma base de R m se L(B) = R m e se v 1,v 2,...,v n forem vectores linearmente independentes. AsbasesdeR m possuemasseguintescaracterísticas: SeB={v 1,v 2,...,v n }éumabaseder m entãon=m.istoé,todasasbasesder m possuem m vectores. Se v 1,v 2,...,v n, são vectores linearmente independentes então B = {v 1,v 2,...,v n } é umabaseder n. Se{v 1,v 2,...,v n }éumconjuntogeradorder n entãob={v 1,v 2,...,v n }éumabase der n. 3.1 Mudanças de base Se B = {v 1,v 2,...,v n } é uma base ordenada de R n, qualquer vector x R n pode ser escritodeumúnicomodocomocombinaçãolineardosvectoresv 1,v 2,...,v n.istoé,existem escalaresúnicosα 1,α 2,...,α m taisque x=α 1 v 1 +α 2 v α n v n. Dizemosentãoque(α 1,α 2,...,α n )sãoascoordenadasdexnabaseordenadab: α 1 [x] B = α α n DesignandoporE n ={e 1,e 2,...,e n }abasecanónicader n econsiderandoashabituais coordenadasdovectorxnabasee n, x 1 [x] En = x 2..., x n passamosde[x] B para[x] En atravésdamultiplicaçãodeumamatrizquerepresentamospor M En B eaquechamamosmatrizdemudançadebase: [x] En =M En B[x] B. 5

6 Concretamente, sev 1 =(v 11,v 21,...,v n1 ), v 2 =(v 12,v 22,...,v n2 ),..., v n =(v 1n,v 2n,...,v nn ), então v 11 v v 1n M En B= v 21 v v 2n v n1 v n2... v nn ApassagemdabaseE n paraabasebseráfeitamedianteamatriz M B En =M 1 E n B. DadasduasbasesarbitráriasdeR n,b 1 eb 2 amatrizdemudançadebasedeb 1 para B 2,M B2 B 1,podeserobtidaporintermédiodabasecanónica,E n,atravésdodiagrama apartirdoqualfacilmenteseconcluique M En B1 B 1 En M B2 B 1 ւ MB2, En B 2 M B2 B 1 =M B2 E n M En B Exercícios Exercício12 MostrequequalquerbasedeR n temnvectores. Exercício13 DeterminequaisdosseguintesconjuntossãobasesdeR 2 : a){(1,0),(0,1)}. b){(1,1),(0,3)}. c){(1,0),(0,3),(2,5)}. d){(1,2)}. e){(1,1),(0,0)}. Exercício14 QuaisdosconjuntosindicadosaseguirconstituembasesdeR 3? a){(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}. b){(1,1,1),(1,0,1),(1,2,1)}. c){(3,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,3,5)}. d){(1,1,1),(2,2,0)}. Exercício15 IndiquequaisdosconjuntosseguintessãobasesdeR 4 : a){(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,0,1,0),(2,1, 1,0)}. b){(1,3,0,0),(1,1,3,1),(2,2,3,2),(2,3,3,2),(2,4,1,2)}. c){(2,0,0,2),(1,1,0,0),(0,0,2,3),(1,2,1,2)}. d){(2,0,0,2),(1,1,0,0),(1,2,1,2)}. 6

7 Exercício16 SejaB={v 1,v 2 }abaseder 2 constituídapelosvectores v 1 =(1,0)ev 2 =(1,1). a)qualéovectorder 2 quenabasebtemcomponentes(2,2)? b)calculeascomponentesdovector(3,5)nabaseb. c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector (a,b) R 2 nestabase. Exercício17 SejaB={v 1,v 2,v 3 }abaseder 3 constituídapelosvectores v 1 =(2,0,0),v 2 =(1,1,0)ev 3 =(1,1,1). a)qualéovectorder 3 quenabasebtemcomponentes(0,3,5)? b)calculeascomponentesdovector(2,0,1)nabaseb. c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector (a,b,c) R 3 nestabase. Exercício18 AématrizdemudançadebaseseesóseAéinvertível. Justifique. Exercício 19 Quais das matrizes indicadas a seguir podem ser matrizes de mudança da basecanónica,e 2,paraumaoutrabaseBdeR 2?Noscasosafirmativosindiquearespectiva base B. A= [ ] [ 2 1. B= 3 1 ] [ 1 4. C= 2 8 ] [ 1 1. D= 1 1 ]. Exercício20 Osvectoresu=( 1,2)ev=(2,3)constituemumabasedeR 2. a)qualamatriz,m B1 E 2,demudançadabasecanónica,E 2,paraB 1 ={u,v}? b)seb 2 ={x,y} forumaoutrabaseder 2 cujamatrizdemudançadabasecanónica, E 2, parab 2 é [ ] 2 4 M B2 E 2 =, 5 1 determinexey. c)qualamatriz,m B2 B 1,demudançadabaseB 1 parab 2? Exercício21 DoisvectoresuevdeR 2 têmnasbasesb 1 eb 2,respectivamente,asseguintes coordenadas: u B1 =(1, 1), u B2 =(0,2), v B1 =(1,2), v B2 =(3,6). Quaisasmatrizesdemudançadebase: M B2 B 1 em B1 B 2? 7

8 4 SubespaçosdeR n UmsubconjuntoS R n éditoumsubespaçoder n sesatisfizerasseguintescondições: 1) 0 S. 2) x+y S, x S, y S. 3) αx S, x S, α R. 4.1 Bases e dimensão de subespaços ÀsemelhançadoquesucedecomR n,relativamenteaumqualquersubespaçosder n, podemosanalogamenteformularoconceitodebasedes.assim,b={b 1,...,b p } Sdiz-se umabasedes,seb 1,...,b p foremvectoreslinearmenteindependentesel(b)=s. Mantêm-seasseguintescaracterísticasdasbasesdeR n : TodasasbasesdeSpossuemomesmonúmerodeelementos. Essenúmeroéchamado dedimensãodes erepresentadopordims. SedimS =p,qualquerconjuntodepvectoresdes quesejamlinearmenteindependentes constitui uma base de S. SedimS=p,qualquerconjuntodepvectoresdeSquesejamgeradoresdeS,constitui umabasedes. 4.2 Exemplos 1. S={0}constituiumsubespaçodeR n,chamadodesubespaçonulo. Adoptaremosa convenção de que este subespaço é gerado pelo conjunto vazio. Isto é, convenciona-se quel( )={0}.Assim,comoovectornuloélinearmentedependente,aúnicabase dosubespaçonuloéoconjunto eporconseguinte,asuadimensãoézero. 2. Se v 1, v 2,..., v p, são vectores de R n, L({v 1,v 2,...,v p }) é um subespaço de R n, dito agorasubespaçogeradopor{v 1,v 2,...,v p }. 3. SeU ev sãodoissubespaços der n, oconjuntou V tambéméumsubespaçode R n,ditosubespaço intersecção deu comv.oconjuntou V podenãoserum subespaçoder n.poressarazão,considera-seoconjunto U+V ={x+y:x U ey V}, o qual constitui umsubespaço de R n, dito subespaço soma de U comv. É ele o menorsubespaçoder n quecontému V.Asdimensõesdestesespaçosrelacionam-se através da fórmula dim(u+v)+dim(u V)=dimU+dimV. 8

9 4. Associadosaumamatrizm n, A= são considerados os seguintes subespaços: (a) Se a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn a 1 =(a 11,a 21,...,a m1 ), a 2 =(a 12,a 22,...,a m2 ),...,a n =(a 1n,a 2n,...,a mn ), sãoascolunasdea,l({a 1,a 2,...,a n })éumsubespaçoder m,chamadodesubespaço das colunas da matriz A e representado por ColA. Observemos que y ColAseesóseexistex R n talqueax=y. (b) NulA = {x R n :Ax=0} é um subespaço de R n, designado por subespaço nulodamatriza. 4.3 Característica e nulidade de uma matriz DadaumamatrizA(m n),àdimensãodosubespaçocolachama-secaracterística dea,quedesignaremosporc(a): c(a)=dim(cola). AdimensãodoespaçonulodeAtomaonomedenulidadedeAeserádesignadaporn(A): n(a)=dim(nula). Característica e nulidade satisfazem as seguinte relação fundamental: c(a)+n(a)=n. 4.4 Teorema da matriz inversa Estes novos conceitos permitem-nos actualizar o teorema da matriz inversa do seguinte modo: SejaAumamatrizn n.entãosãoequivalentesasseguintesafirmações: (1) A é invertível. (2) Paraqualquerd R n,osistemaax=dépossíveledeterminado. (3) OsistemahomogéneoAx=0sótemasoluçãonula. (4) ColA=R n. (5) NulA={0}. (6) c(a)=n. (7) n(a)=0. 9

10 4.5 Exercícios Exercício 22 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano, identificandoosquesãosubespaçosder 2 : a)s={(x,y) R 2 :x=0}. b)s={(x,y) R 2 :x+y=0}. c)s={(x,y) R 2 :x+y=0ex y=0}. d)s={(x,y) R 2 :x+y=1}. e)s={(x,y) R 2 :x 2 +y 2 =1}. Exercício 23 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do espaço, identificandoosquesãosubespaçosder 3 : a)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0}. b)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=1}. c)s={(x,y,z) R 3 :x+y=0ex y+2z=0}. d)s={(x,y,z) R 3 :x+y=1ex y+2z=0}. e)s={(x,y,z) R 3 :x 2 +y 2 +z 2 =1}. f)s={(x,y,z) R 3 :xyz=0}. Exercício 24 Considere as matrizes A= [ ] eb= a)(1,3) ColA? b)(1,0,0) ColB? c)qualanulidadedea?edeb? d) Represente geometricamente ColA. Exercício 25 Determine a característica de cada uma das matrizes indicadas a seguir. Que conclui sobre a sua invertibilidade? a) b) c) Exercício 26 Para cada uma das matrizes indicadas a seguir, determine bases para o espaço dascolunaseparaoespaçonulo. Indiqueaindaacaracterísticaeanulidadedecadauma 10

11 delas. a)a= [ 1 0 ]. d)a= g)a= [ 1 1 b)a= 1 1. e)a= h)a= ] [ c)a= f)a=. i)a= ] Exercício27 Paraa,b,c R\{0}quaisquer,quevaloresdeveassumirdparaqueamatriz [ ] a b c d tenha característica 1?.. Exercício28 Comh Rseja A= h a)paraquevaloresdehtemacaracterísticamáxima? b)seh= 5qualanulidadedeA? Exercício29 SejaAumamatriz5 5.Éverdadeirooufalsoque: a)senula={0},entãoax=btemumaeumasósolução,qualquerquesejab R 5. b)sedim(cola)=4,entãoax=béumsistemapossível,qualquerquesejab R 5. c)sec(a)=3,entãoax=0éumsistemapossívelcom3variáveislivres. d)sec(a)=3,entãoc ( A T) =2. e)sec(a)=5,entãoamatrizanãoéinvertível. Exercício 30 Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços: a)s={(x,y) R 2 :x+y=0}. b)s={(x,y,z) R 3 :x+y+2z=0}. c)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0ex+y+2z=0}. d)s={(x,y,z,w) R 4 :x+y+z+w=0ex+y+2z=0}. e)s=l{(1,1),(2,1),(1,2)}. f)s=l{(1, 1,1),(1,1,3),(0,1,1)}. g)s=l{(1,4, 2,3),(3,6,0,3),(3,4,2,1)}. 11

12 5 Espaços e subespaços vectoriais UmconjuntoE diz-seumespaçovectorialsobrek=rouc,seestivermunido deduasoperações,umaentreelementosdeeaquechamaremossomaeoutraentreelementos dee eelementosdekaquechamaremosprodutoescalar, verificando os seguintes axiomas: +:u,v E u+v, :α K,v E α v, i) Associatividadedasoma: (u+v)+w=u+(v+w), u,v,w E. ii) Comutatividadedasoma: u+v=v+u, u,v E. iii) Existênciadeelementoneutroouzero: u+0=u, u E. iv) Existênciadeelementosimétrico: u+( u)=0, u E. v) DistributividadedoprodutoporescalaresemrelaçãoàsomaemE: α(u+v)=αu+ αv, u,v E, α K. vi) DistributividadedoprodutoporescalaremrelaçãoàadiçãoemK:(α+β)u=αu+βu, u E, α,β K. vii) AssociatividadeentreoprodutoporescalareamultiplicaçãoemK: α(β u)=(αβ) u, u E, α,β K. viii) AunidadedeKcomoelementoneutrodoprodutoporescalares: 1 u=u, u E. O primeiro exemplo de espaço vectorial (sobre R) que nos pode ocorrer é o de R n. Podemos mesmo observar ser um espaço vectorial algo com uma estrutura algébrica idêntica àder n.daíqueosdiversosconceitosapresentadosrelativamentear n possamanalogamente ser formulados num qualquer espaço vectorial E sobre K. Muito brevemente recordamo-los seguidamente: UmsubconjuntoS EéditoumsubespaçodeEsesatisfizerasseguintescondições: 1) 0 S. 2) x+y S, x S, y S. 3) αx S, x S, α K. Nestas condições, S verifica todos os axiomas i)-viii), constituindo ele próprio um espaço vectorial sobre K. Dadosv 1,v 2,...,v n,elementosdee,v Ediz-seumacombinaçãolineardev 1,v 2,..., v n,seexistiremescalaresx 1,...,x n Ktaisque x 1 v 1 +x 2 v x n v n =v. Oconjuntodetodasascombinaçõeslinearesdev 1,v 2,...,v n designa-sepor L({v 1,v 2,...,v n })eformaosubespaçodee geradopor{v 1,v 2,...,v n }. 12

13 Os elementos de E, v 1, v 2,..., v n, dizem-se linearmente dependentes sempre que um delesécombinaçãolineardosrestantes. Emcasocontráriodiremosquev 1,v 2,...,v n, sãolinearmenteindependentes;v 1,v 2,...,v n sãolinearmenteindependentesseesóse x 1 v 1 +x 2 v x n v n =0 x 1 =x 2 =...=x n =0. B={v 1,v 2,...,v n }diz-seumabasedeesel(b)=eesev 1,v 2,...,v n foremvectores linearmente independentes. TeoremadeSteinitz. DadoumespaçovectorialE sobrek: a) Se B = {v 1,v 2,...,v n } é uma base de E então todas as bases de E possuem n elementos;ndiz-seadimensãodee (dime=n). b) Se dim = n e v 1,v 2,...,v n, são vectores linearmente independentes então B = {v 1,v 2,...,v n }éumabasedee. c) SedimS =n,el({v 1,v 2,...,v n })=E entãob={v 1,v 2,...,v n }éumabasede E. 5.1 Exemplos Vejamos alguns exemplos significativos de espaços vectoriais. 1. C n ={(z 1,...,z n ):z 1,...,z n C} munidode somaedeprodutoescalaranálogosaos definidosparar n,constituiumespaçovectorialsobrer.facilmenteseverificaque B={(1,0,...,0),...,(0,...,0,1),(i,0,...,0),...,(0,...,0,i)} éumabasedec n enquantoespaçovectorialreal. Asuadimensãoserápois2n. 2. MasdomesmomodoC n tambémconstituiumespaçovectorialsobrec,tendocomo base B={(1,0,...,0),...,(0,...,0,1)}. Asuadimensãoserápoisigualan. 3. Designemos por M m n (R) o conjunto de todas as matrizes reais m n. Munido da somadematrizesedoprodutodeumescalarrealporumamatriz,obtemosumespaço vectorialsobrerdedimensãomn: dimm m n (R)=mn. PorexemploM 2 2 (R)temcomobase edimm 2 2 (R)=4. {[ ] [ 0 1, 0 0 ] [ 0 0, 1 0 ] [ 0 0, M m n (C),conjuntodasmatrizescomplexasm n,munidodasmesmasoperaçõesde soma de matrizes e de produto de um escalar complexo por uma matriz, forma um espaço vectorial sobre C, cuja dimensão é igualmente mn. 13 ]}

14 5. SejaF(R)oconjuntodetodasasfunçõesreaistendocomodomínioR.Consideremos asomadeduasfunçõesf 1 ef 2 comosendoafunçãof 1 +f 2 dadapor (f 1 +f 2 )(t)=f 1 (t)+f 2 (t), t R, eoprodutodeumescalarrealαporumafunçãof comosendoafunçãoαf talque (αf)(t)=αf(t), t R. Munido destas operações F(R) constitui um espaço vectorial sobre R. Contudo, F(R) não admite nenhuma base finita, dizendo-se por isso de um espaço de dimensão infinita. 6. Facilmente se observa que o conjunto dos polinómios de coeficientes reais com grau nãosuperioran, P n (R)={a 0 +a 1 t+...+a n t n :a 0,a 1,...,a n R} éumsubespaçovectorialdef(r).aocontráriodef(r),p n (R)temdimensãofinita, pois P n ={1,t,...,t n } constituiumabasedep n (R),sendoportantodimP n (R)=n Também o conjunto de todos os polinómios de coeficientes reais, independentemente doseugrau, P(R)={a 0 +a 1 t+...+a n t n :n N, a 0,a 1,...,a n R}, constitui um subespaço vectorial de F(R), igualmente de dimensão infinita. 5.2 Exercícios Exercício31 IndiqueseosseguintessubconjuntosdoespaçovectorialP 3 (polinómioscom graumenorouiguala3)constituemsubespaçosdep 3 : U = {p(t) P 3 :p(0)=p(1)}. V = {p(t) P 3 :p( 1)=p(0)=p(1)=0}. W = { a+bt+ct 2 +dt 3 :a,b,c,d Z }. Exercício32 OsubconjuntodoespaçovectorialP 2 (dospolinómioscomgrau 2), U ={p(t) P 2 :p(0)=a}, éumsubespaçodep 2 paraqualquervalordea R? Exercício33 Relativamenteaoespaçovectorial, F, dasfunçõesf :R R, indiquequais dos seguintes conjuntos são subespaços de F: U = {f F:f(t)+f( t)=0, t R}. V = {f F:f(t)=cos(πt), t Z}. W = {f F:f(t)=sin(πt), t Z}. X = {f F:f édiferenciávelef (t)=f(t), t R}. 14

15 Exercício34 SejaM n n (R)oespaçovectorialdasmatrizesreaisn n.quaisdosseguintes subconjuntosdem n n (R)sãosubespaçosdeM n n (R)? U = {A M n n (R):Aéinvertível}. V = {A M n n (R):Anãoéinvertível}. W = {A M n n (R):trA=0}. X = {A M n n (R):Aésimétrica}. Y = {A M n n (R):AédeMarkov}. Exercício35 ConsidereemP 2 oconjuntodepolinómiosg={1+t,1 t 2 }. a)mostrequeopolinómiot+t 2 écombinaçãolineardoselementosdeg. b)mostrequeopolinómiotnãoécombinaçãolineardoselementosdeg. c)ggerap 2? d)determineaformageraldospolinómiosp(t) L(G). Exercício 36 Mostre que os polinómios geramp 2. p 1 (t)=1+2t t 2, p 2 (t)=3+t 2, p 3 (t)=5+4t t 2, p 4 (t)= 2+2t t 2 Exercício 37 Mostre que no espaço vectorial, F, das funções reais de variável real, cada um dos seguintes conjuntos é constituído por funções linearmente dependentes. a) { 2,sin 2 (t),cos 2 (t) } b) { cos(2t),sin 2 (t),cos 2 (t) } c) {e t,e t,cosh(t)} d) { 1,t,t 2,(t+1) 2}. Exercício38 Dadasnfunçõesf 1 :R R,f 2 :R R,...,f n :R R,doespaçovectorial, F, das funções reais devariável real, mostre que se existiremnúmerost 1,t 2,...,t n Rtais queamatriz f 1 (t 1 ) f 2 (t 1 )... f n (t 1 ) f 1 (t 2 ) f 2 (t 2 )... f n (t 2 ).... f 1 (t n ) f 2 (t n )... f n (t n ) éinvertível,entãof 1,f 2,...,f n sãolinearmenteindependentes. Exercício 39 Aplicando o exercício anterior, mostre que os conjuntos { 1,t,e t } e {sin(t),cos(t),tcos(t)} são constituídos por funções linearmente independentes. (Sugestão: no primeiro caso faça t 1 =0,t 2 =1,t 3 = 1;nosegundofaçat 1 =0,t 2 =π/2,t 3 =π). 15

16 Exercício40 SejaB={p 1,p 2,p 3 }osubconjuntodep 2 constituídopelospolinómios a)mostrequebéumabasedep 2. p 1 (t)=1+t, p 2 (t)=1+2tep 3 (t)=t 2. b)qualéopolinómioquenestabasetemcoordenadas(1,3, 2)? c)determineascoordenadasdopolinómio2+2t t 2 nabaseb. d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um polinómioa+bt+ct 2 nabaseb. Exercício41 ConsidereoespaçovectorialP 3 easuabasecanónicap 3 ={1,t,t 2,t 3 }. a)mostrequeb={1+t,1 t t 2,t 2,t 3 }étambémumabasedep 3. b)qualamatrizdemudançadebasedep 3 parab? c)quaisascoordenadasdopolinómio1 2t+t 3 nabaseb? Exercício42 SejamU ev subespaçosdeummesmoespaçovectoriale. a)mostrequeintersecçãou V éumsubespaçodee. b)dêexemplosemque: i)auniãou V éumsubespaçodee. ii)auniãou V não éumsubespaçodee. Exercício43 SejamU ev subespaçosdeumespaçovectorial E econsidere-seosubconjunto soma U+V def = {u+v:u U ev V}. Mostre que: a)oconjuntou V estácontidonoconjuntou+v. b)asomau+v éumsubespaçodee. c)sew forumsubespaçodee quecontému V,entãoW tambémcontému+v. d)asomau+v éomenorsubespaçodee quecontému V. Exercício44 RelativamenteaossubespaçosdeR 3 descritosaseguir, determineumabase easuadimensão. a)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0} {(x,y,z) R 3 :x+y 3z=0}. b)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0} L({(1,1,1),(0,1,1)}). c)s=l({(1,0,0),(0,0,1)}) L({(1,1,1),(0,1,1)}). d)s=l({(1,0,0),(0,0,1)})+l({(1,1,1),(0,1,1)}). e)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0}+l({(1,1,1),(0,1,1)}). f)s={(x,y,z) R 3 :x+y+z=0}+{(x,y,z) R 3 :x+y 3z=0}. 16

17 Exercício45 Considere os seguintes subespaços U e V de R 3 e determine uma base do subespaçosomau+v eumabasedosubespaçointersecçãou V. a)u={(0,0,0)}ev ={(0,0,0)}. b)u ={(0,0,0)}eV =L{(1,1,1)}.. c)u =L{(1,0,0)}eV =L{(0,1,0)}. d)u=l{(1,0,0)}ev =L{(1,0,0)}. e)u =L{(1,0,0)}eV =L{(0,1,0),(0,0,1)}. f)u =L{(1,0,0)}eV =L{(0,1,0),(1,1,0)}. Exercício46 Considere os seguintes subespaços U e V de R 4 e determine uma base do subespaçosomau+v eumabasedosubespaçointersecçãou V. a)u=l{(0,1, 1,1),(1,0,1,0),(1,1,0,1)}eV =L{(0,1,0,0),(1,0,0,0),(1,1,0,0)}. b)u =L{(0,1, 1,1),(1,0,1,0),(1,1,0,1)}eV =L{(0,1,0,0),(1,0,0,0),(1,2, 1,1)}. c)u =L{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,0,1)}eV =L{(1,1,1,0),(1,1, 1,0),(0,0,0,1)}. d)u=l{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)}ev =L{(1,0, 1,0),(0,1,0, 1),(1,1,1,1)}. e)u =L{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)}eV =L{(1,0, 1,0),(0,1,0, 1)}. f)u =L{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)}eV =L{(1,0, 1,1),(0,1,0, 2)}. g)u =L{(1,1,0,0),(1,1,1,1),(0,0,1,1)}eV =L{(1,0,1,0),(2,1,2,1)}. Exercício47 DetermineumabaseparacadaumdosseguintessubespaçosdeP 3 : a)s={p(t) P 3 :p(0)=0}. b)s={p(t) P 3 :p(1)=0}. c)s={p(t) P 3 :p(1)=p(0)}. Exercício48 ConsidereoespaçovectorialM m n (R),dasmatrizesreaism n. a)mostreques= { A M 2 3 (R): [ 1 1 ] A=0 } éumsubespaçodem 2 3 (R).Determine uma base deste subespaço. b)mostrequeoconjuntos= { A M 2 2 (R):A=A T} (dasmatrizesquesãosimétricas) éumsubespaçodem 2 2 (R)edetermineumasuabase. c)mostrequeoconjuntos={a=[a ij ] M 3 3 (R):a ij =0sei+j épar}éumsubespaço dem 3 3 (R).Encontreumabaseparaestesubespaço. Exercício49 No espaço vectorial C 2 (R) das funções reais de variável real que são duas vezes diferenciáveis, considere o subconjunto a)mostreques éumsubespaçodec 2 (R). S= { f C 2 (R):f 2f +f =0 }. b)mostrequeoconjunto{e t,te t }éumabasedes. (Sugestão: mostrequesef S,então f(t)e t éumpolinómiocomgrau 1). c) Tendo em conta a alínea anterior mostre que, dados a e b R, existe uma e uma só funçãof S talquef(0)=aef (0)=b. 17

18 6 Soluções 1)b)Não. c)não. d)l(g)={(a,b) R 2 :a=b}. 2)c)GnãogeraR 3.d)L(G)={(a,b,c) R 3 :b=c}. 3)a)Não. b)simc)não. d)não. 4)a)Sim. b)sim. c)não. d)não. 5)a=3. 6)(a,b)=(0,1). 7)a=1. 9)a)L.D.b)L.I. 10)a)L.I.b)L.I.c)L.D.d)L.D.e)L.D.f)L.I.g)L.I.h)L.D. 11)a=2. 13)a)Sim. b)sim. c)não. d)não. e)não. 14)a)ÉbasedeR 3.b)NãoébasedeR 3.c)NãoébasedeR 3.d)NãoébasedeR 3. 15)a)NãoébasedeR 4.b)NãoébasedeR 4.c)ÉbasedeR 4.d)NãoébasedeR 4. 16)a)(4,2).b)( 2,5).c)(a b,b). 17)a)(8,8,5).b)(1, 1,1).c) ( 1 2 a 1 2 b,b c,c). 19)A,B={(1/5,0),(0,1/4)}.B,B={( 1,3),(1, 2)}.D,B={(1/2, 1/2),(1/2,1/2)}. C nãoématrizdemudançadebase. [ ] 3/7 2/7 20)a)M B1 E 2 =. 2/7 1/7 b)x=(1/18,5/18),y=( 2/9, 1/9). [ ] 10 8 c)m B2 B 1 =. 7 7 [ 21)M B2 B 1 = /3 4/3 ] em B1 B 2 = [ 2/3 1/2 5/3 1/2 22)a)ÉsubespaçodeR 2.b)ÉsubespaçodeR 2.c)ÉsubespaçodeR 2. d)nãoésubespaçoder 2.e)NãoésubespaçodeR 2. 23)a)ÉsubespaçodeR 3.b)NãoésubespaçodeR 3.c)ÉsubespaçodeR 3. d)nãoésubespaçoder 3.e)NãoésubespaçodeR 3.f)NãoésubespaçodeR 3. 24)a)Não. b)sim. c)1e0. d)rectay=x. 25)a)3;invertível. b)2;nãoinvertível. c)2;nãoinvertível. 26)a){1}ébasedeColA,c(A)=1,{(0,1)}ébasedeNulA,n(A)=1. b){(1,1)}ébasedecola,c(a)=1,{( 1,1)}ébasedeNulA,n(A)=1. c){(1,1),(2,1)}ébasedecola,c(a)=2, 18 ].

19 {( 3,1,1)}ébasedeNulA,n(A)=1. d){(1,2,1),(1,1,2)}ébasedecola=,c(a)=2, ébasedenula,n(a)=0. e){(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}ébasedecola,c(a)=3, ébasedenula,n(a)=0. f){(1,1,0),( 1,1,1)}ébasedeColA=,c(A)=2, {( 2, 1,1)}ébasedeNulA,n(A)=1. g){(1,3,3),(4,6,4)}ébasedecola=,c(a)=2, {( 2,1,1,0),(1, 1,0,1)}ébasedeNulA,n(A)=2. h){(1,0, 1,0),(4,0, 3,1)}ébasedeColA,c(A)=2, {(2, 1,1)}ébasedeNulA,n(A)=1. i){(1,2,3,4),(2,1,2,3),(3,2,1,0)}ébasedecola,c(a)=3, {( 1,0, 5,4)}ébasedeNulA=,n(A)=1. 27)d=bc/a. 28)a)h 5.b)n(A)=2. 29)a)V.b)F.c)F.d)F.e)F. 30)a){( 1,1)}éumabasedeS,dimS=1. b){( 1,1,0),( 2,0,1)}éumabasedeS,dimS=2. c){( 1,1,0)}éumabasedeS,dimS=1. d){( 1,1,0,0),( 1, 1,1,1)}éumabasedeS,dimS=2. e){(1,1),(1,2)}éumabasedes,dims=2. f){(1, 1,1),(1,1,3)}éumabasedeS,dimS=2. g){(1,4, 2,3),(3,6,0,3)}éumabasedeS,dimS=2. 31)U ev sãosubespaçosdep 3.W não. 32)U ésubespaçodep 3 seesósea=0. 33)U,W ex sãosubespaçosdef.v não. 34)W ex sãosubespaçosdem n n (R).U,V ey não. 35)c)GnãogeraP 2.d)L(G)={b c+bt+ct 2 :b,c R}. 40)b)4+7t 2t 2 ;c)(2,0, 1);d)(2a b,b a,c). 1/2 1/ )b)M P3 B= 1/2 1/ /2 1/

20 c)( 1/2,3/2,3/2,1). 44)a){( 1,1,0)}éumabasedeS,dimS=1. b){( 2,1,1)}éumabasedeS,dimS=1. c){(1,0,0)}éumabasedes,dims=1. d){(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1)}éumabasedes,dim(s)=3. e){(1,1,1),(0,1,1),( 1,1,0)}éumabasedeS,dimS=3. f){( 1,1,0),( 1,0,1),(3,0,1)}éumabasedeS,dimS=3. 45)a)AbasedeU V edeu+v éoconjuntovazio. b)abasedeu V éoconjuntovazio. UmabasedeU+V é{(1,1,1)}. c)abasedeu V éoconjuntovazio. UmabasedeU+V é{(1,0,0),(0,1,0)}. d)umabasedeu V edeu+v é{(1,0,0)}. e)abasedeu V éoconjuntovazio. UmabasedeU+V é{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. f)abasedeu V é{(1,0,0)}. UmabasedeU+V é{(1,0,0),(0,1,0)}. 46)a)AbasedeU V éoconjuntovazio. UmabasedeU+V é{(0,1, 1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0)}. b)umabasedeu V é{(0, 1,1, 1)}. UmabasedeU+V é{(0,1, 1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0)}. c)umabasedeu V é{(1,1,0,0),(0,0,0,1)}. UmabasedeU+V é{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}. d)umabasedeu V é{(1,0, 1,0),(0,1,0, 1),(1,1,1,1)}=U =V. UmabasedeU+V é{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)}. e)umabasedeu V é{(1,0, 1,0),(0,1,0, 1)}. UmabasedeU+V é{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)}. f)umabasedeu V é{(1,1, 1, 1)}. UmabasedeU+V é{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(1,0, 1,1)}. g)umabasedeu V é{(1,1,1,1)}. UmabasedeU+V é{(1,1,0,0),(1,1,1,1),(1,0,1,0)}. 47)a){t,t 2,t 3 }éumabasedes.b){t 1,t 2 1,t 3 1}éumabasedeS. c){1,t 2 t,t 3 t}éumabasedes. {[ ] [ ] [ ]} )a),, b) {[ ] 1 0, 0 0 [ ] 0 0, 0 1 [ ]} c) , , ,