NOÇÕES DE ESTATÍSTICA PARA O ENEM

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1 NOÇÕES DE ESTATÍSTICA PARA O ENEM MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (MÉDIA MEDIANA MODA) PROFESSOR MARCELO RENATO M. BAPTISTA AGOSTO/0

2 ESTATÍSTICA PARA O ENEM Medidas de Tendência Central Professor Marcelo Renato M Baptista. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL As medidas de tendência central são assim chamadas por indicarem um ponto em torno do qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados, ou o centro de gravidade dos dados. Para resumir a quantidade de informação contida em um conjunto de dados, os estatísticos definem medidas que descrevem, através de um só número, as características dos mesmos. Algumas dessas medidas descrevem a tendência central, isto é, a tendência que os dados têm de se agrupar em torno de certos valores. Dentre as Medidas de Tendência Central, destacamos:.. MÉDIAS Média Mediana Moda Para um conjunto de dados numéricos, a Média é o número capaz de representar todo o conjunto em operações matemáticas e possibilitar a obtenção de resultados satisfatórios. Estudaremos, em nossas aulas de Noções de Estatística o ENEM, a Média Aritmética Simples e a Média Aritmética Ponderada. a) MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( x ) A média aritmética simples é a idéia que ocorre à maioria das pessoas quando se fala em média. E como ela possui certas propriedades matemáticas convenientes, é a mais importante das três medidas de tendência central (de posição) que estudaremos. A média aritmética simples ( x ) de um conjunto de dados X { x; x ; x3 ; ; xn } é a soma dos mesmos dividida pela respectiva quantidade. x x x x x 3 n n Exemplo: Calcule a média dos dados: A = { 0; ; 4; 6; 8 } x 5 x 4 Observação-: É comum, no cálculo da média aritmética simples, depararmos com casos em que os dados apresentam repetições (frequências diferentes de ). Exemplo: Seja o conjunto X de dados abaixo. X { ;;;;;;;6}, determine a média aritmética dos seus elementos. Resolução: ( 4) (3) 6 () x 43 Percebe-se claramente que se trata de um cálculo envolvendo Média Aritmética Simples, entretanto, otimizada com a utilização das frequências dos respectivos dados, ou seja: x ( f ) x ( f ) x3 ( f3 ) x f f f3 Maneira específica para o cálculo da Média Aritmética Simples envolvendo dados agrupados (em frequências). x Observação-: A principal desvantagem da Média Aritmética é que ela é afetada por valores extremamente grandes ou extremamente pequenos (em relação aos demais elementos do conjunto). Por isso, a média nem sempre é a medida de localização central mais significativa. Essa desvantagem pode tornar-se séria, se estivermos lidando com pequenos conjuntos de números. Exemplo: A Média Aritmética Simples dos elementos do conjunto. X { ;;;;;3;3;50} ( ) (3) 3 ( ) 50() x 3 b) MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ( xp ) x 8 Na Estatística surgem muitas situações em que se deseja levar em conta a importância relativa de diferentes quantidades ao se calcular uma média. Seja x,x,... x n um conjunto de números e p,p,... p n um segundo conjunto de números denominados pesos. Define-se a média ponderada como: x (p) x (p ) xn (pn ) xp p p pn Exemplo: As notas, em Cálculo II, obtidas pelo aluno Raiworld Feyssibuki (RAI-MUNDO, quando estudante do Curso de Arquitetura na UFES) encontram-se apresentadas no quadro abaixo, no qual também são informados os pesos das provas I e II: Avaliação Nota Peso Prova I 8 4 Prova II 6 6 A média final MF alcançada por Raiworld Feyssibucki foi: 8 ( 4) 6 (6) MF MF 0 MF 6,8. Observação-3: A Média Aritmética Simples para dados agrupados (exemplo apresentado na Observação- no índice a anterior) é um caso especial da Média Aritmética Ponderada, em que todos os pesos são iguais a (um). Exemplos Resolvidos (Cálculo de Médias): ) (Vunesp adaptada) Numa certa empresa, os funcionários desenvolvem uma jornada de trabalho, em termos de horas diárias trabalhadas, de acordo com o gráfico. Em média, quantas horas eles trabalham por dia durante uma semana? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) Resolução: x 5 Alternativa E. x 8h

3 ) (PUC-SP) A média aritmética de 00 números é igual a 40,9. Retirando-se um desses números, a média aritmética dos 99 números restantes passará a ser 40,5. O número retirado equivale a. a) 9,5 % b) 75 % c) 95 % d) 765 % e) 950 % Resolução: ( x x x3 x99 ) x00 00 Retirando-se o número Em ( ): Em ( ): " x 00 ", teremos: ( x x x3 x99 ) 40, ,9... ( )... ( x x x3 x99 ) 4.009,5 ( 4009,5) x00 40,9 00 ( ) x % ( ) 9, x Alternativa E 3) (UFCG PB 007) Um jogador de basquete participou de 60 partidas e obteve uma média de 8 pontos por partida. Sabendo-se que tais partidas foram realizadas durante duas temporadas e que na primeira temporada a média de pontos foi de 0 pontos e na segunda foi de 4 pontos, a quantidade de partidas jogadas na primeira temporada foi: a) 5 b) 40 c) 0 d) 0 e) 8 Resolução: n n n = nº de partidas da ª temporada n = nº de partidas da ª temporada P = nº de pontos da ª temporada P = nº de pontos da ª temporada P n P n () 0 4 e P P 60 P 0n P 4n n (3)...( 4 )...( ) Substituindo (3) e (4) em (), temos: 0n 4n 480 Alternativa B. n n 60 4) (UNIVILA-W.Torezani) Em uma faculdade a média semestral de cada disciplina é calculada considerando as duas médias bimestrais com peso 3 cada uma é um exame final com peso 4. Se um aluno obtém 8,0 no º bimestre; 9,0 no º bimestre e 9,6 no exame final de Estatística, qual será a sua média semestral (MS) em Estatística? Resolução: O cálculo da média aritmética deve levar em conta os pesos desiguais das notas. Assim, para esse aluno temos: Logo, 8 (3) 9 (3) 9,6 (4) MS , 4 MS 94 0 MS 8, (Resposta) Observação-4: MÉDIA ARITMÉTICA ENVOLVENDO CLASSES (intervalos) de VALORES (como calculá-la?) 5) (UFPI 003 USPI-III) O histograma abaixo apresenta as alturas de 30 atletas de uma equipe de futebol. Com estes dados, podemos concluir que a média das alturas dos atletas é aproximadamente: a),58 b),65 c),74 d),8 e),9 Resolução: No histograma apresentado no enunciado verificamos os intervalos (classes) e calculamos os Pontos Médios: Ponto Alturas (m) Médio da Classe Frequência,50,60,55 3,60,70,65 8,70,80,75 0,80,90,85 6,90,00,95 3 Os Pontos Médios de cada Classe serão utilizados no cálculo da média (Dados Agrupados em Classes):,55(3),65(8),75(0),85(3) 55(3) x x,74 Alternativa C.

4 TESTES ) (UERJ adaptada) O gráfico a seguir representa o número de pacientes atendidos mês a mês, em um ambulatório, durante o período de 6 meses de determinado ano. 4) (ESPM SP 009) O gráfico de barras mostra a distribuição das notas de uma classe na prova de Matemática. Podemos afirmar que a média aritmética dessas notas foi: a) 7,5. b) 7,6. c) 7,7. d) 7,8. e) 7,9. O número total de pacientes atendidos durante o semestre e a média mensal de pacientes atendidos no período considerado são, respectivamente: 5) (FGV-RJ 0) O gráfico abaixo apresenta os lucros anuais (em milhões de reais) em 008 e 009 de três empresas A, B e C de um mesmo setor. a) 50 e 50 b) 300 e 60 c) 300 e 50 d) 350 e 50 e) 350 e 60 ) (PUCCamp SP) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios. A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos funcionários de uma empresa que usam a bicicleta para ir ao trabalho. Faixa Salarial em Reais Número de Funcionários TOTAL 00 O salário médio desses trabalhadores é: a) R$ 400,00 b) R$ 45,00 c) R$ 480,00 d) R$ 5,00 e) R$ 565,00 3) (Mack-SP 003) A média das notas de todos os alunos de uma turma é 5,8. Se a média dos rapazes é 6,3 e a das moças é 4,3, a porcentagem de rapazes na turma é: a) 60 % b) 65 % c) 70 % d) 75 % e) 80 % A média aritmética dos crescimentos percentuais dos lucros entre 008 e 009 das três empresas foi de aproximadamente: a) 8,% b) 8,5% c) 8,9% d) 9,3% e) 9,7% 6) (Mack SP 006) A média aritmética de n números positivos é 7. Retirando-se do conjunto desses números o número 5, a média aritmética dos números que restam passa a ser 8. O valor de n é a) b) 3 c) 5 d) 6 e) 9 7) (UFMG 006) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Matemática valendo 00 pontos. A nota média da turma foi de 70 pontos e apenas 5 dos alunos conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média dos alunos que não obtiveram a nota máxima. Então, é CORRETO afirmar que o valor de M é: a) 53. b) 50. c) 5. d) 5. 3

5 8) (FGV-SP adaptada) Numa pequena ilha, há 00 pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte distribuição de frequências (vide tabela): A média dos salários das 00 pessoas é igual a: a) $ 75,00 b) $ 80,00 c) $ d) $ 90,00 e) $ 95,00 Salários Frequência $ 50,00 30 $ 00,00 60 $ 50,00 0 ) (UEG-GO 006 adaptada) A média de idade dos jogadores titulares da atual seleção brasileira é de 9 anos. Se um dos jogadores que tem 36 anos de idade se contundir e for substituído por outro de 4, a média será alterada. No caso de ocorrer essa hipótese, qual seria a nova média de idade dos jogadores da seleção brasileira? a) 6,7 anos b) 7,9 anos c) 8,5 anos d) 8,0 anos e) 9,7 anos 9) (ENEM 00 Cancelado) Considere que as médias finais dos alunos de um curso foram representadas no gráfico a seguir. ) (UFMG) No início de uma partida de futebol, a altura média dos jogadores de um dos times era,7 m. Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com,77 m de altura, foi substituído. Em seu lugar, entrou um outro que media,68 m de altura. No segundo tempo, outro jogador do mesmo time, com,73 m de altura, foi expulso. Ao terminar a partida, a altura média dos 0 jogadores desse time era: a),69 m b),70 m c),7 m d),7 m Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos aprovados? a) 8% b) % c) 36% d) 50% e) 7% 0) (UFG GO/008) De acordo com diagnóstico do Banco Central a respeito de meios de pagamento de varejo no Brasil, no ano de 006, constata-se que 4% dos pagamentos foram feitos com cheque e 46%, com cartão. O valor médio desses pagamentos foi de para os cartões. O valor médio, quando se consideram todos os pagamentos efetuados com cheque e cartão, é, aproximadamente, R$ 63,00 para os cheques e de a) R$ 79,00. b) R$ 40,00. c) R$ 56,00. d) R$ 30,00. e) R$ 344,00. R$ 65,00 3) (UP 0) Numa avaliação de Geometria, aplicada numa turma da ª série do Ensino Médio do Centro Educacional UP-JC (Jardim Camburi), 60% dos alunos eram do sexo feminino e obtiveram, em média, 70 pontos na prova. Sabe-se que a média geral dos candidatos (meninos e meninas) naquela prova foi de 64 pontos. Qual foi a média de pontos dos meninos na mesma prova? a) 55 b) 35 c) 64 d) 60 e) 68 4) (UFCG PB 008) Em um concurso, dois candidatos participaram de duas etapas, consistindo de uma prova escrita e de uma prova didática. Pelas normas do concurso, os candidatos foram identificados pelas letras A e B. Suas notas, em cada etapa do concurso, aparecem na tabela abaixo: NOTA DA NOTA DA NOTA CANDIDATO PROVA PROVA FINAL ESCRITA DIDÁTICA A 8,0 6,0 7,6 B 7,0 7,0 7,0 Sabendo-se que a nota final é a média ponderada das notas em cada uma das duas etapas e que a soma dos pesos das duas é 0, os pesos das provas escrita e didática são, respectivamente: a) 6 e 4 b) 5 e 5 c) 7 e 3 d) 8 e e) 4 e 8 4

6 5) (Vunesp 009) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. PROVA I II III IV V NOTA 6,5 7,3 7,5? 6, PESO 3 Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi: a) 9,0 b) 8,5 c) 8,3 d) 8,0 e) 7,5 6) (PUC-SP) O histograma a seguir apresenta a distribuição de frequência das faixas salariais numa pequena empresa: Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é, aproximadamente: a) R$ 40,00. b) R$ 536,00. c) R$ 56,00. d) R$ 640,00. e) R$ 708,00. 7) (UFCG PB 006) Após corrigir uma prova de Álgebra, o professor constatou que todas as notas foram superiores a 4,0 e apresentaram a seguinte distribuição: Notas 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 % 6% 48% 56% 7% 94% 00% Analisando a distribuição acima, pode-se afirmar que a média das notas foi a) 6,6 b) 6,58 c) 6,6 d) 6,70 e) 6,64.. MODA e MEDIANA a) MODA (Mo) A moda é o valor que ocorre com maior frequência num conjunto de dados. Uma distribuição de frequências pode ser AMODAL (não há moda), UNIMODAL ou MODAL (uma única moda), BIMODAL (duas modas) ou MULTIMODAL (três ou mais modas). Exemplos: ROL Mo / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 (*) / 3 / 3 / 3 / 3 / 5 / 5 / 6 3 / 3 / 3 / 3 / 4 / 5 / 5 / 5 3 e 5 A moda funciona como medida descritiva quando se trata de contar dados. Essa medida não se presta a manipulações matemáticas. De um ponto de vista puramente descritivo, a moda indica o valor típico em termos de maior ocorrência. Além disso, se as frequências são razoavelmente uniformes, a moda perde muito de sua importância como medida descritiva. Por outro lado, a utilidade da moda se acentua quando um ou dois valores, ou um grupo de valores, ocorre com muito mais frequência que os outros. Quando há perda de informação, a moda se refere a uma classe modal, e não a um valor único. Ela mostra a tendência central dos dados identificando a área em que os dados estão mais concentrados. Finalmente, a moda também pode ser usada para descrever dados qualitativos. Como, nesse caso, a moda é a categoria que ocorre com maior frequência, ela mostra a categoria que mais concentra dados. Exemplo: O site de Veja na Internet perguntou que gastos as pessoas cortam devido à crise econômica. Qual é a moda? A moda foi não cortar gastos, o que não significa que seja esse o comportamento da população em geral. TESTES 8) (UFU-MG 006) As 0 medidas colhidas por um cientista num determinado experimento, todas na mesma unidade, foram as seguintes:,,,4,5,5,0,0,0,0, Ao trabalhar na análise estatística dos dados, o cientista esqueceu-se, por descuido, de considerar uma dessas medidas. Dessa forma, comparando os resultados obtidos pelo cientista em sua análise estatística com os resultados corretos para esta amostra, podemos afirmar que: a) a moda e a média foram afetadas. b) a moda não foi afetada, mas a média foi. c) a moda foi afetada, mas a média não foi. d) a moda e a média não foram afetadas. 5

7 9) (CESP 006) No livro de registros de visitação de uma exposição, o expositor observou que 87 pessoas assinaram no primeiro dia, 0, no segundo dia, 96, no terceiro dia, 43, no quarto dia, 00, no quinto dia, 96, no sexto dia e 35, no sétimo dia. O gráfico de barras abaixo mostra essa distribuição. No período considerado, a média aritmética e a moda dos números de registros das assinaturas são, respectivamente, iguais a a) 0 e 43. b) e 96. c) e 87. d) 3 e 96. e) 4 e 98. 0) (UP 0) Numa das turmas de º ano do Ensino Médio do UP, o professor Favalessa registrou as notas obtidas em uma das avaliações, conforme apresentado no gráfico abaixo. Considerando: n o número de alunos da turma em questão; a média das notas da turma e " x " "M " o a respectiva moda das notas. Qual o valor encontrado para a soma (n x M o )? a) 79 b) 78 c) 77 d) 76 e) 75 b) MEDIANA (Md) Outra medida de tendência central de um conjunto de números é a Mediana. Ela é o valor que ocupa a posição central do conjunto dos dados ordenados (no ROL). Da definição de mediana, segue-se que sua característica principal é dividir um conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais; a metade terá valores inferiores à mediana, a outra metade terá valores superiores à mediana. I. MEDIANA para uma quantidade ímpar de dados Exemplo: ROL: 3 / 3 / 4 / 5 / 6 / 6 / 7 / 7 /8 Md 6 Exemplo: (ENEM - 009) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 007 e 008. Mês Cotação Ano Outubro R$ 83, Novembro R$ 73,0 007 Dezembro R$ 8, Janeiro R$ 8, Fevereiro R$ 85, Março R$ 84, Abril R$ 84, De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a a) R$ 73,0. b) R$ 8,50. c) R$ 8,00. d) R$ 83,00. e) R$ 85,30. Resolução: Primeiramente temos que organizar o ROL ROL: 73 / 8,6 / 8 / 83 / 84 / 84,6 / 85,3 Como a quantidade de dados é ímpar, Md 83 II. MEDIANA para uma quantidade par de dados Exemplo: ROL: 3 / 4 / 5 / 6 / 6 / M d 5 Md 5, Exemplo: (FGV SP 007) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado,7 m e,70 m, respectivamente. A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é igual a a),70. b),7. c),7. d),73. e),74. Resolução: Considerando as alturas, em ordem crescente, por A, B, C e D, teremos: A D? A B C D A B C D Média: x, Mediana: Assim: A + ( B + C ) + D = 6,88... ( ) B C,70 B + C = 3,40... ( ) ( ) ( ) : A + ( 3,40 ) + D = 6,88 A D 3, 48 A D Por conseguinte:, 74 Alternativa E. 6

8 III. MEDIANA para dados agrupados Exemplo: Uma equipe de futebol realizou um levantamento das massas dos seus 40 atletas e chegou à distribuição de frequências dada pela tabela a seguir: Com base nesses dados, pode-se afirmar que o valor da MEDIANA das massas é igual a: a) 75 b) 7 c) 74 d) 73 e) 70 Massa (Kg) Frequência Total 40 Resolução: º passo: encontrar a Classe que contenha o Valor Central da variável analisada (Massa). Como, neste exemplo, há 40 dados (total de atletas), precisamos verificar em qual intervalo de massas encontra-se o Valor Central (MEDIANA), ou seja, ) (IBEMEC SP) Chama-se mediana de um conjunto de 50 dados ordenados em ordem crescente o número x dado pela média aritmética entre os 5º e o 6º dado. Observe no gráfico a seguir uma representação para as notas de 50 alunos do primeiro semestre de Ciências Econômicas numa determinada prova. A mediana das notas dos 50 alunos de Ciências Econômicas nesta prova é igual a a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. º passo: encontrada a Classe que contenha o Valor Central (MEDIANA): 7 76, com frequência, devemos proceder com os cálculos da seguinte forma: TESTES Md Md 7 Md 73 ) (UNEB) Em um curso de inglês, as notas atribuídas variam de 0 a 5. A tabela abaixo mostra a distribuição das notas da avaliação de uma turma de 0 alunos. Notas Frequência Com base nessas informações, pode-se afirmar: a) A média aritmética das notas é menor que a mediana. b) A média aritmética das notas é igual à moda. c) A média aritmética das notas é maior que a moda. d) A média das notas é maior que a mediana. e) A mediana das notas é igual à média aritmética. 3) (ENEM 00) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então a) X = Y < Z. b) Z < X = Y. c) Y < Z < X. d) Z < X < Y. e) Z < Y < X. Gols marcados Quantidade de partidas ) (ENEM 00 CANCELADO) Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de a 6, por 0 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construía-se a seguinte tabela de distribuição de frequências. A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são respectivamente: a) 3, e b) 3, 3 e c) 3, 4 e d) 5, 4 e e) 6, e 4 Número Frequência obtido

9 5) (ENEM 00) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 930 até a de 006. Aracaju 7 ºC Fernando de Noronha 30 ºC Fortaleza 3 ºC João Pessoa 30 ºC Maceió 7 ºC Natal 30 ºC Recife 30 ºC Salvador 6 ºC São Luís 3 ºC Teresina 3 ºC A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols b) 6,5 gols c) 7 gols d) 7,3 gols e) 8,5 gols Com base nessas informações, pode-se afirmar: 6) (UFU) Uma empresa seleciona 6 funcionários fumantes e promove um ciclo de palestras com os mesmos para esclarecimentos sobre os efeitos prejudiciais do cigarro à saúde. Após essas palestras, são coletados dados sobre a quantidade de cigarros que cada um desses fumantes está consumindo diariamente. Tais dados são expressos da seguinte maneira: Os dados e 34 são chamados discrepantes, pois são dados muito menores ou muito maiores que a maioria dos dados obtidos. Segundo esta coleta de dados, podese afirmar que a) os cálculos da média, da mediana e da moda não sofrem influência dos dados discrepantes. b) o cálculo da mediana sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. c) o cálculo da moda sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. d) o cálculo da média sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. 7) (UFBA modificada) De acordo com o Boletim do Serviço de Meteorologia de 07 de junho de 000, o quadro abaixo apresenta a temperatura máxima, em graus Celsius, registrada em Fernando de Noronha e nas capitais da Região Nordeste do Brasil e respectivo histograma. a) A média aritmética das temperaturas indicadas no quadro corresponde a 30 ºC. b) A frequência relativa da temperatura de 3 ºC é igual a 0%. c) A mediana das temperaturas registradas é igual à temperatura modal. d) A temperatura modal é 3 ºC. e) Representando-se a frequência relativa por meio de um gráfico de setores, a região correspondente à temperatura de 7 ºC tem ângulo de 36º. 8) (FGV-SP 0) A tabela indica a frequência de distribuição das correspondências, por apartamento, entregues em um edifício na segunda-feira. NÚMERO DE CORRESPONDÊNCIAS QUANTIDADE DE APARTAMENTOS A mediana dos dados apresentados supera a média de correspondências por apartamento em a) 0,0. b) 0,4. c) 0,36. d) 0,7. e),4. 8

10 9) (UFJF) Um professor de matemática elaborou, através do computador, um histograma das notas obtidas pela turma em uma prova cujo valor era 5 pontos. Entretanto, o histograma ficou incompleto, pois este professor esqueceu-se de fornecer o número de alunos que obtiveram notas iguais a, 4 ou 5. Veja a ilustração a seguir. INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES Total de alunos que fizeram a prova: 40 Média aritmética das notas:,6 Mediana das notas:,5 A moda dessas notas é: a). b). c) 3. d) 4. e) 5. 30) (UP 0) O professor Favalessa efetuou um levantamento das alturas (em cm) dos 00 alunos da escolinha de basquete-up, cujo resultado está apresentado na tabela de frequências abaixo. Podemos afirmar que (em cm), respectivamente, a média e a mediana dos valores das alturas são iguais a: (considerar valores inteiros mais próximos) a) 75 e 70 b) 70 e 75 c) 75 e 85 d) 80 e 78 e) 85 e 80 Altura (cm) Frequência Total de alunos 00 GABARITO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL. C. E 3. D 4 D 5. A 6. B 7. D 8. D 9. E 0. C. B. C 3. A 4. D 5. B 6. E 7. E 8. B 9. B 0. E. C. D 3. E 4. B 5. B 6. D 7. C 8. B 9. D 30. D Bibliografia: CURY, Marcus Vinicius Quintella, Estatística,ª, Rio de Janeiro: FGV Management Cursos de Educação Continuada, 007. DOWNING, D. e JEFFREY, C., Estatística Aplicada, Rio de Janeiro, Saraiva, 998. TOREZANI, Walquiria, Estatística I, p. Notas de Aula. Apostila. 9

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