Escopo in situ. 1 Introdução. 2 Recursos iniciais. Luiz Arthur Pagani (UFPR) 2.1 Sintaxe

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1 Escopo in situ Luiz Arthur Pagani (UFPR) 1 Introdução A ambigüidade devido à interação entre quanticadores já é conhecida há muito tempo, na semântica, e pode ser encontrada em diversos manuais de de introdução a esta disciplina, como [1, p. 180], [8, p. 97], [5, p. 39], [7, p. 194], [4, p. 380], [2, p. 71]. Um exemplo clássico desta ambigüidade é o da sentença, que pode ser interpretada em duas situações: 1. há única que é da por cada, ou 2. cada a sua respectiva (no limite, diferente para cada ). a maioria destes manuais, essa ambigüidade é explicada através do alçamento dos quanticadores ([5, p. 157], [4, p. 373]; bem como em [11, p. 194]). 1 Assim, cada destas interpretações seria representada pelas seguintes estruturas: i j j e j i e j e i e i o presente texto, apresento alternativa mais semântica (e até onde sei, inédita), pois os sintagmas quanticados não precisam ser movidos (quanticação in situ) e o seu escopo é construído por operadores representados por termos-λ puros (nos quais não aparece nenh constante). 2 Recursos iniciais 2.1 intaxe Como vamos adotar semântica composicional, na qual o signicado das expressões complexas é dado em função do signicado das expressões mais simples que a compõem, levando ainda em consideração a maneira como essas expressões mais simples são combinadas, precisamos de um conjutno de regras sintáticas que nos diga como a sentença está estruturada. Para lidar apenas com o exemplo apresentado, precisamos de sintaxe bastante simples, do seguinte tipo: Regras sintagmáticas X X Regras lexicais masc fem masc fem 1 Em [1, p. 186], fala-se de quantifying in; e em [8, p. 97], além deste, fala-se ainda de armazenamento de Cooper. O primeiro também é solução essencialmente sintática, enquanto o segundo é solução computacional. 1

2 Com estas regras, podemos construir a seguinte árvore para : ão há nada de controverso n árvore como esta, além do fato evidente de que ela é apenas das muitas possibilidades estruturais para se construir sentenças em português, e portanto aquele conjunto de regras está muito longe de ser empiricamente exaustivo. o entanto, como nosso objetivo aqui não é empírico, mas sim o de apresentar ferramenta formal que pode vir a ser depois aplicada a outros fenômenos, mas que primeiro precisa ser integralmente compreendida, passaremos a apresentar as regras de interpretação semântica para esta pequena sintaxe. 2.2 emântica De acordo com a semântica formal, a interpretação das expressões de língua pode ser denida indutivamente, identicando a interpretação das unidades básicas (no caso das línguas naturais, estas unidades são os itens lexicais) e denindo, para cada regra sintagmática, o modo como os signicados de suas partes interagem para resultar na interpretação do sintagma. Para dar conta de, vamos assumir os seguintes signicados para cada um dos itens lexicais: [[]] = λx m.λx n. x o.((x m x o ) (x n x o )) [[]] = λx m.λx n. x o.((x m x o ) (x n x o )) [[]] = H [[] = M [[]] = A Para os determinantes e, os signicados são tradicionais e correspondem à noção de quanticador generalizado, em que a interpretação do determinante é função que toma dois predicados (primeiro a interpretação do nome ao qual ele se combina diretamente, e depois a interpretação de um predicado). Os nomes comuns e denotam, como de costume, os conjuntos H, dos homens, e M, das es (ou, mais precisamente, as funções características H e M aplicadas ao universo do discurso, essas funções características separam respectivamente o conjunto dos homens e o conjunto das es). Finalmente, o verbo denota a relação A, que se estabelece entre dois indivíduos de tal forma que um deles o outro (na notação que será empregada aqui, para dizermos que x y, escreveremos ((A y) x)). 2 Além dos signicados dos itens lexicais, a interpretação de cada das regras sintagmáticas deve ser as seguinte: [[]] = ([[ ] [[ ]]) [[ ] = ([[]] [[]]) [[ ]] = λx m.([[]] λx n.(([[ ]] x n ) x m )) A primeira regra nos informa que a interpretação do sintagma nominal é função que toma como argumento a interpretação do sintagma verbal e resulta na interpretação da sentença. A interpretação dos sintagmas nominais têm exatamente a mesma estrutura: o signicado do determinante é função que toma como argumento o signicado do nome comum e resulta na interpretação do sintagma nominal. A interpretação do sintagma verbal é um pouco mais complexa porque precisa lidar com as posições 2 Há pequena variação em relação à notação mais comum A(x, y); mas o formato escolhido se justica pela comodidade para manipular as fórmulas que usaremos para a representação das interpretações. 2

3 argumentais da relação denotada pelo verbo; 3 mas ela também é essencialmente a aplicação funcional da interpretação do sintagma nominal que é o objeto direto ao signicado do verbo. 4 Finalmente, vamos recorrer também a operação de redução que se aplica a certas fórmulas que vamos construir. Ainda que não seja necessidade lógica, a redução- β permite a simplicação de certos termos-λ, de forma que a leitura das fórmulas ca bastante facilitada. A redução-β é parte de um dos três axiomas do cálculo-λ [3, p. 50] e pode ser denido da seguinte maneira: (λα.β γ) = β α γ De acordo com esta denição, um termo-λ (λα.β) aplicado a um argumento (γ) é igual ao mesmo termo sem o operador-λ e sua respectiva variável (β), no qual se substituem todas as ocorrências livres da variável α pelo termo γ. Assim, por exemplo, o termo ((λx 1.λx 2.((x 1 x 2 ) x 2 ) R) a) pode ser simplicado, em dois passos, primeiro para (λx 2.((R x 2 ) x 2 ) a) e depois para ((R a) a). (este exemplo, λx 1.λx 2.((x 1 x 2 ) x 2 ) é um operador que toma o predicado de dois argumentos R e o transforma num predicado reexivo λx 2.((R x 2 ) x 2 ) que, depois de aplicado ao argumento a, resulta em ((R a) a).) 2.3 Construindo a interpretação Para colocarmos em uso os itens lexicais e as regras de interpretação das estruturas sintagmáticas, as suas variáveis precisam receber identicação para evitar o casamento indevido das variáveis. Por isso, os índices m, n e o devem ser substituídos por números inteiros que ainda não tenham sido usados na construção da interpretação. Tomando esta precaução de não confundir a identidade das variáveis e aplicando as regras, podemos construir a seguinte árvore para a interpretação de : : (λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 )) λx 7. x 6.(((A x 6 ) x 7 ) (M x 6 ))) = red.β x 3.((H x 3 ) (λx 7. x 6.(((A x 6 ) x 7 ) (M x 6 )) x 3 )) = red.β x 3.((H x 3 ) x 6.(((A x 6 ) x 3 ) (M x 6 ))) : (λx 1.λx 2. x 3.((x 1 x 3 ) (x 2 x 3 )) H) = red.β λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 1 x 3 )) : λx 7.(λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 )) λx 8.((A x 8 ) x 7 )) = red.β λx 7. x 6.((M x 6 ) (λx 8.((A x 8 ) x 7 ) x 6 )) = red.β λx 7. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 7 )) : λx 1.λx 2. x 3.((x 1 x 3) (x 2 x 3)) : H : A : (λx 4.λx 5. x 6.((x 4 x 6) (x 5 x 6)) M) = red.β λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 )) : λx 4.λx 5. x 6.((x 4 x 6 ) (x 5 x 6 )) : M ela, como se vê depois da última redução-β no nó relativo à sentença, obtemos a interpretação x 3.((H x 3 ) x 6.(((A x 6 ) x 3 ) (M x 6 ))). De acordo com esta fórmula, a sentença recebe interpretação que poderia ser parafraseada como `para indivíduo, se esse indivíduo é, então existe um indivíduo que é e o primeiro indivíduo este segundo indivíduo'. 3 Uma alternativa que deixaria a interpretação do sintagma verbal mais simples envolveria modicação na atribuição lexical do verbo, que caria como [[]] = λx m.λx n.((a x m) x n); dessa maneira, a regra poderia ser reescrita mais simplesmente apenas como [[ ]] = ([[]] [[ ]]). Como ambas as opções são completamente equivalentes, preferimos aqui manter os itens lexicais inalterados, já que o objetivo é manipular explicitamente as interpretaçoes das regras sintagmáticas. 4 Ainda que esta regra de interpretação do sintagma verbal não seja comum nos manuais de semântica, forma parecida aparece nos manuais de lingüística computacional em que se acrescenta capacidade interpretativa aos analisadores sintáticos, como [10, p. 91] e [6, p. 196]. É neste último também que encontramos a inspiração para elaborar as árvores com nós anotados também com interpretações semânticas [6, p. 65]; ainda que as apresentadas aqui sejam um pouco mais complexas. 3

4 o entanto, com as regras propostas até aqui, esta é a única interpretação possível para ; a outra interpretação, na qual `existe um indivíduo que é e para indivíduo, se este indivíduo é, então o segundo indivíduo o primeiro indivíduo', não poderia ser construída. 3 Operadores de ecopo Para conseguirmos chegar também à segunda interpretação, a alternativa proposta aqui depende da postulação de quatro operadores de escopo (dois para a relação entre o verbo e o objeto direto, e dois para a relação entre o sujeito e o predicado), além da reformulação das regras de interpretação dos sintagmas. Para manipular a inversão de escopo entre os quanticadores nas posições de sujeito e objeto, é preciso de um par de operadores para cada um dos escopos: um dos operadores do par cuida da relação entre o verbo e o objeto, enquanto o outro cuida da combinação do sujeito com o predicado. Os quatro operadores são: Entre sujeito e predicado Escopo = λx m.λx n.(x n x m ) Escopo = λx m.λx n.(x m x n ) Entre verbo e objeto Escopo = λx m.λx n.λx o.(x n λx p.((x m x p ) x o )) Escopo = λx m.λx n.λx o.(x n λx p.(x o (x m x p ))) a lista acima, os primeiros operadores de cada subcategoria serão responsáveis pela construção do escopo maior de em relação a ; os segundos operadores, por sua vez, construirão o escopo amplo de em relação a. Com o intuito de facilitar o uso dos operadores, vamos apresentá-los abaixo n tabela de duas dimensões, de forma que nas colunas se diferenciem as funções sintáticas dos operadores (na segunda coluna da tabela, cam os operadores de combinação da interpretação do verbo com a interpretação do objeto direto; e na terceira coluna cam os operadores que combinam a interpretação do sujeito com a interpretação do predicado), e nas linhas se identique as relações de escopo (na segunda linha, cam os operadores que dão ao sujeito escopo mais amplo do que o do objeto direto; na terceira linha, temos os operadores que fazem com que o objeto direto tenha escopo maior do que o do sujeito). Entre erbo e Objeto Entre ujeito e Predicado ujeito sobre Objeto λx m.λx n.λx o.(x n λx p.((x m x p ) x o )) λx m.λx n.(x n x m ) Objeto sobre ubjeito λx m.λx n.λx o.(x n λx p.(x o (x m x p ))) λx m.λx n.(x m x n ) As novas regras para interpretação das estruturas sintagmáticas passam a ser as seguintes: [[]] = ((Escopo [[ ]]) [[]]) [[ ] = ([[]] [[]]) [[ ]] = ((Escopo [[ ]]) [[]]) Estas regras são mais uniformes do que as anteriores porque tanto a regra de interpretação de quanto a de são os operadores que manipulam s os posicionamentos, inclusive o dos argumentos do predicado de dois lugares do. Em ambos os casos, o operador de escopo corresponde semanticamente a função que toma a interpretação do (no caso da interpretação do ) ou do (no caso da intepretação de ) e resulta n função que ainda vai tomar a interpretação de um para construir a interpretação do respectivo sintagma. 4

5 4 Derivações dos escopos A partir das especicações acima, a interpretação em que o escopo do sujeito é maior do que o do objeto direto é construída de acordo com a seguinte árvore: : ((λx 12.λx 11.(x 11 x 12 ) λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 ))) λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 ))) = red.β (λx 11.(x 11 λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 ))) λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 ))) = red.β (λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 )) λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 ))) = red.β x 3.((H x 3 ) (λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 )) x 3 )) = red.β x 3.((H x 3 ) x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 3 ))) : (λx 1.λx 2. x 3.((x 1 x 3 ) (x 2 x 3 )) H) = red.β λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 )) : λx 1.λx 2. x 3.((x 1 x 3 ) (x 2 x 3 )) : H : ((λx 7.λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.((x 7 x 10 ) x 9 )) A) λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 ))) = red.β (λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.((A x 10 ) x 9 )) λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 ))) = red.β λx 9.(λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 )) λx 10.((A x 10 ) x 9 )) = red.β λx 9. x 6.((M x 6 ) (λx 10.((A x 10 ) x 9 ) x 6 )) = red.β λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 )) : A : (λx 4.λx 5. x 6.((x 4 x 6 ) (x 5 x 6 )) M) = red.β λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 )) : λx 4.λx 5. x 6.((x 4 x 6 ) (x 5 x 6 )) : M a árvore acima, a construção da interpretação dos s é exatamente a mesma da árvore da seção 2.3; dessa maneira, elas não precisam ser comentadas. A diferença começa a ser percebida na construção da interpretação do nó que envolve, além da interpretação do e do -objeto (A e λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 )), respectivamente), o operador de escopo λx m.λx n.λx o.(x n λx p.((x m x p ) x o )). Como já havíamos empregado x 1, x 2 e x 3 para a interpretação de, e x 4, x 5 e x 6 para, e precisamos de variáveis novas para o operador de escopo, fazemos com que suas variáveis tenham a seguinte identidade: λx 7.λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.((x 7 x 10 ) x 9 )). 5 Este operador toma como primeiro argumento a interpretação de (λx 7.λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.((x 7 x 10 ) x 9 )) A) e, depois da redução-β, resulta em λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.((A x 10 ) x 9 )). a seqüência, o outro argumento tomado é a interpretação de (λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.((A x 10 ) x 9 )) λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 ))) que, depois de três reduções-β, resulta na interpretação do : λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 )). 6 Esta interpretação do é empregada depois, na construção da interpretação de, porque o operador de escopo entre sujeito e predicado, depois de ter a identidade de suas variáveis estabelecida, a toma como primeiro argumento (λx 12.λx 11.(x 11 x 12 ) λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 ))) e, ao passar por redução-β, resulta em λx 11.(x 11 λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 ))). Em seguida, toma como segundo argumento a interpretação de (λx 11.(x 11 λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 ))) λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 ))) e, novamente depois de passar por três reduções-β, resulta na interpretação de em que tem escopo maior do que : x 3.((H x 3 ) x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 3 ))). 5 Para garantir que as variáveis não acabem sendo indevidamente ligadas, os índices m, n, o e p são substituídos por números naturais que não apareceram antes na derivação, como é exigido pelas teorias de demonstração de teoremas. Carpenter [3, p. 156], por exemplo, falando das hipóteses, diz que devemos garantir que as variáveis usadas nas hipóteses sejam novas, no sentido de que elas ainda não tenham sido empregadas em nenh outra hipótese usada anteriormente na derivação; apesar de Carpenter mencionar apenas as hipóteses, à medida que os itens lexicais também introduzem variáveis na derivação, também era de se esperar que eles não fossem responsáveis por ligações indevidas. 6 Tanto neste, quanto nos outros operadores de escopo, a ordem de combinação com os argumentos poderia ser outra (tomando primeiro a interpretação do e depois a do ou a do ), o que resultaria em termos-λ diferentes para representá-los; no entanto, se as relações adequadas forem mantidas, os resultados são exatamente os mesmos obtidos aqui. Portanto, como esta inversão é operação mecânica e trivial, depois de compreendido o processo de abstração, não a discutiremos aqui. 5

6 Para a derivação do escopo do objeto sobre o sujeito, precisamos do outro par de operadores, e sua construção pode ser apresentada como na árvore abaixo: : ((λx 11.λx 12.(x 11 x 12 ) λx 9. x 6.((M x 6 ) (x 9 (A x 6 )))) λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 ))) = red.β (λx 12.(λx 9. x 6.((M x 6 ) (x 9 (A x 6 ))) x 12 ) λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 ))) = red.β (λx 9. x 6.((M x 6 ) (x 9 (A x 6 ))) λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 ))) = red.β x 6.((M x 6 ) (λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 )) (A x 6 ))) = red.β x 6.((M x 6 ) x 3.((H x 3 ) ((A x 6 ) x 3 ))) : (λx 1.λx 2. x 3.((x 1 x 3 ) (x 2 x 3 )) H) = red.β λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 )) : λx 1.λx 2. x 3.((x 1 x 3 ) (x 2 x 3 )) : H : ((λx 7.λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.(x 9 (x 7 x 10 ))) A) λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 ))) = red.β (λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.(x 9 (A x 10 ))) λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 ))) = red.β λx 9.(λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 )) λx 10.(x 9 (A x 10 ))) = red.β λx 9. x 6.((M x 6 ) (λx 10.(x 9 (A x 10 )) x 6 )) = red.β λx 9. x 6.((M x 6 ) (x 9 (A x 6 ))) : A : (λx 4.λx 5. x 6.((x 4 x 6 ) (x 5 x 6 )) M) = red.β λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 )) : λx 4.λx 5. x 6.((x 4 x 6 ) (x 5 x 6 )) : M Desta vez, o escopo do quanticador existencial do objeto direto sobre o quanticador universal do sujeito começa com a aplicação do operador λx m.λx n.λx o.(x n λx p.(x o (x m x p ))). Depois que suas variáveis são devidamente identicadas para evitar a ligação indevida, este operador, como o anterior, toma como argumento primeiro a interpretação do verbo (λx 7.λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.(x 9 (x 7 x 10 ))) A) e, após redução-β resulta em λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.(x 9 (A x 10 ))). A seguir, toma-se a interpretação do objeto direto como segundo argumento (λx 8.λx 9.(x 8 λx 10.(x 9 (A x 10 ))) λx 5. x 6.((M x 6 ) (x 5 x 6 ))) que, depois de passar pela mesma seqüência de três reduções-β, nos faz chegar à interpretação do : λx 9. x 6.((M x 6 ) (x 9 (A x 6 ))). (este ponto, convém lembrar a diferença entre a interpretação do que acabamos de calcular e a anterior λx 9. x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 9 )). Antes, a variável x 9 marcava o lugar de um argumento de tipo e (ou seja de um termo individual); agora, a mesma variável x 9 ocupa a posição de função (de tipo e, t, t ) que tomará o predicado (A x 6 ) como argumento.) Com esta nova interpretação do como argumento do operador λx m.λx n.(x m x n ), com suas variáveis adequadamente identicadas, podemos começar a combinar o predicado com o sujeito (λx 11.λx 12.(x 11 x 12 ) λx 9. x 6.((M x 6 ) (x 9 (A x 6 )))) que se resolve como λx 12.(λx 9. x 6.((M x 6 ) (x 9 (A x 6 ))) x 12 ), com redução-β. A seguir, este termo toma como argumento a interpretação do sujeito (λx 12.(λx 9. x 6.((M x 6 ) (x 9 (A x 6 ))) x 12 ) λx 2. x 3.((H x 3 ) (x 2 x 3 ))) e, mais vez com três reduções-β, resulta na interpretação da sentença com escopo do quanticador existencial sobre o universal: x 6.((M x 6 ) x 3.((H x 3 ) ((A x 6 ) x 3 ))). Dessa maneira, recorrendo aos quatro operadores de escopo, foi possível construir composicionalmente as duas fórmulas que representam a ambigüidade de escopo entre os quanticadores existencial e universal: x 3.((H x 3 ) x 6.((M x 6 ) ((A x 6 ) x 3 ))) x 6.((M x 6 ) x 3.((H x 3 ) ((A x 6 ) x 3 ))) 5 Interação dos operadores Como os operadores de escopo são usados aos pares, um possível problema seria o controle da aplicação de um operador condicionado à aplicação do outro, para que eles não interagissem inadequadamente; no entanto, como os operadores tomam argumentos de tipos difetentes, e ainda geram expressões de 6

7 tipos diferentes, esse controle decorre automaticamente da teoria de tipos, de forma que não precisa ser estipulado arbitrariamente. Comecemos observando os contextos em que os operadores de escopo que combinam o verbo e o objeto direto atuam: [[ ]] e,t = ((Escopo [ ] e, e,t ) [[]] e,t,t ) [[ ]] e,t,t,t = ((Escopo [[ ]] e, e,t ) [[]] e,t,t ) Ambos os operadores tomam como argumentos primeiro a interpretação do verbo e depois a do objeto direto; como o verbo transitivo denota relação de tipo e, e, t e o quanticador generalizado sempre é do tipo e, t, t, o tipo do operador de escopo entre verbo e objeto direto será do tipo e, e, t, e, t, t,?, de forma que a identidade da incógnita? depende do tipo que a interpretação do precisará ter. Observando a árvore em que o escopo do universal é mais amplo do que o do existencial, constatamos que a interpretação do toma um indivíduo como argumento ( e) para resultar n proposição (t); portanto, seu tipo é e, t o que faz com que o operador de escopo λx m.λx n.λx o.(x n λx p.((x m x p ) x o )) tenha o tipo e, e, t, e, t, t, e, t. a árvore em que o existencial tem escopo sobre o universal o tipo da interpretação do é e, t, t, t, porque ela será função que tomará um quanticador generalizado (de tipo e, t, t ) para resultar n proposição (de tipo t); assim, o operador de escopo λx m.λx n.λx o.(x n λx p.(x o (x m x p ))) tem que ser do tipo e, e, t, e, t, t, e, t, t, t. Dessa maneira, os operadores de escopo que combinam o verbo e o objeto direto têm tipos distintos, basicamente em relação a seus resultados diferentes, por isso seus produtos não podem ser usados nos mesmos lugares um do outro. Observemos agora os operadores de escopo que combinam sujeito e predicado: [[]] t = ((Escopo [[ ]] e,t ) [[ ] e,t,t ) [[]] t = ((Escopo [[ ]] e,t,t,t ) [[]] e,t,t ) Como se pode perceber, eles herdam a interpretação do, que será seu primeiro argumento, para depois tomar a interpretação do -sujeito, e nalmente resultarem n proposição. Assim, o operador de escopo do universal sobre o existencial, λx m.λx n.(x n x m ), é do tipo e, t, e, t, t, t. Já o operador para o existencial com escopo sobre o universal, λx m.λx n.(x m x n ), é do tipo e, t, t, t, e, t, t, t. a tabela abaixo, resumimos estas informações, colocando lado a lado s os operadores e seus respectivos tipos, para facilitar a visualização de que seus tipos não permitiriam que eles fossem empregagos em outra ordem a não ser aquela utilizada nas duas árvores da seção anterior. Tipo Operador 1o. arg. 2o. arg. res. λx m.λx n.(x n x m ) e, t, e, t, t, t λx m.λx n.(x m x n ) e, t, t, t, e, t, t, t λx m.λx n.λx o.(x n λx p.((x m x p ) x o )) e, e, t, e, t, t, e, t λx m.λx n.λx o.(x n λx p.(x o (x m x p ))) e, e, t, e, t, t, e, t, t, t 6 Conclusões O objetivo deste texto era apenas o de apresentar os operadores de escopo que permitem as derivações das duas leituras de escopo para a sentença. Como o que se pretendia exclusivamente era apresentar ferramenta formal, a proposta não se constitui n contestação das soluções transformacionalistas ou computacionais; da mesma maneira, o único exemplo apresentado apenas ilustra a questão, e portanto nem chega a tocar na questão empírica da abrangência desse tipo de ambigüidade. É sabido que nem sempre dois quanticadores interagem para resultar n ambigüidade de escopo [9, p. 42]; construção relativa, por exemplo, bloqueia a ambigüidade de escopo, pois o quanticador que aparecer dentro da relativa não pode ter escopo maior do que o quanticador fora dela. Assim, para o que, não é possível a interpretação segundo a qual 'existe tal que a '. Como não tratamos da questão da subordinação, os operadores de escopo 7

8 apresentados aqui não seriam capazes de gerar esse escopo amplo para o quanticador da relativa; mas, claro, tudo dependeria ainda da denição sobre como interpretar o pronome relativo. o entanto, seria impossível deixar de ressaltar um aspecto positivo dos operadores de escopo, em relação às alterantivas de alçamento do quanticador (quantier raising) [11, p. 194] e de introdução do quanticador (quantifying-in) [9, p. 28]. Ainda que a introdução da quanticação seja pior do que o alçamento, já que a primeira permite a quanticação vazia, enquanto a segunda não, 7 ambas permitem igualmente proliferação de estruturas que não afetam a interpretação. Das três estruturas abaixo, as duas últimas são construídas a partir da primeira através do alçamento do quanticador. o entanto, para todas elas, a interpretação seria exatamente a mesma, com o quanticador universal com escopo sobre o existencial. i e i i j e i e j Com os operadores de escopo apresentados aqui, essa proliferação não acontece, porque as duas interpretações são obtidas a partir da mesma estrutura sintática. Finalmente, gostaria de ressaltar que a presente proposta parece ser inédita. Os termos- λ puros apresentados aqui como operadores de escopo não foram retirados, ou mesmo inspirados, em nenh proposta conhecida. Ainda que, em essência, este tenha sido apenas um exercício de formalização, suas conseqüências para a análise de fenômenos lingüísticos (que, do ponto de vista empírico, seria o mais interessante para um lingüista) parecem ser promissoras à medida que oferece alternativa com menos menos efeitos colaterais (como a multiplicação de estruturas com mesma interpretação), apesar dos custos formais; estes, no entanto, poderiam ser facilmente implementados computacionalmente. Referências [1] Ronnie Cann. Formal emantics. Cambridge University Press, Cambridge, [2] Márcia Cançado. Manual de emântica. Editora UFMG, Belo Horizonte, [3] Bob Carpenter. Type-Logical emantics. The MIT Press, Cambridge, MA, [4] Gennaro Chierchia. emântica. Editora da Unicamp & Editora da UEL, Campinas & Londrina, Trad. por Luiz Arthur Pagani, Lígia egri & Rodolfo Ilari. [5] Gennaro Chierchia and ally McConnell-Ginet. Meaning and Grammar. The MIT Press, Cambridge, MA, second edition, a quanticação vazia, segundo o exemplo de Morrill [9, p. 37], a sentença Pedro caminha pode ser resultado da combinação dela própria com o quanticador toda, de forma que ela signicaria algo como 'para indivíduo, se esse indivíduo é, então Pedro caminha', o que é claramente falha. 8

9 [6] Michael A. Covington. atural Language Processing for Prolog Programmers. Prentice Hall, Englewood Clis, [7] Roberta Pires de Oliveira. emântica Formal. Mercado das Letras, Campinas, [8] Henriëtte de wart. Introduction to atural Language emantics. CLI, tanford, [9] Glyn. Morrill. Type Logical Grammar. Kluwer, Dordrecht, [10] Fernando C.. Pereira and tuart M. hieber. Prolog and atural Language Analysis. CLI, tanford, [11] Henk van Riemsdijk and Edwin Williams. Introdução à Teoria da Gramática. Martins Fontes, ão Paulo, Trad. por Miriam Lemle, Maria Angela Botelho Pereira & Marta Coelho. 9