Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos I - INTRODUÇÃO GERAL

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1 Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos I - INTRODUÇÃO GERAL Ao se definir uma ciência, procura-se, normalmente, com poucas palavras, naturalmente insuficientes, transmitir uma visão geral de seus princípios, meios e fins. Neste capítulo, inicialmente é feito um paralelo entre Topografia e Geografia procurando definir e relacionar estas duas ciências. A seguir, é apresentado o estado da arte da Topografia, realizado um breve estudo em metrologia e algarismos significativos e são sugeridos alguns exercícios relativos à unidades de medida. 1- DEFINIÇÕES Etimologicamente, TOPOGRAFIA ( do grego topos = lugar, local e grafo = descrição) significa a descrição minuciosa de uma localidade e GEOGRAFIA (do grego Geografia) é a ciência que tem por objeto a descrição da superfície da Terra, o estudo dos acidentes físicos, climas, solos, e vegetações, e das relações entre o meio natural e os grupos. Daí, pode-se observar semelhanças e diferenças entre estas duas ciências. Enquanto a Geografia preocupa-se com a descrição de uma ampla superfície da Terra, a Topografia trata da descrição minuciosa de um local ou até mesmo de um objeto. Na superfície terrestre, aproximadamente esférica, entende-se por local, uma região limitada por um raio de, aproximadamente, trinta quilômetros (Domingues, 1979), por outro lado, vale observar, que não se atribui um limite inferior de ação a nenhuma das duas ciências. Usando diferentes formas de expressão - gráfica, numérica, matemática ou física - o topógrafo (geógrafo), para descrever um local ou objeto (a superfície da terra) deve transmitir informações topográficas (geográficas) que são: informações posicionais - a posição de objetos e fenômenos em relação a um sistema de referência -, informações geométricas - ângulos, distâncias, áreas e volumes - e informações temáticas - clima, vegetação, obras de engenharia, relevo, solos, etc. 2- SUBDIVISÕES E APLICAÇÕES DA TOPOGRAFIA Tanto em Topografia como em Geografia a descrição não deve ser puramente sensorial; é necessário dar dimensão as formas, ou seja, transformar o sensorial em numérico. A fim de livrar-se das aparências sensoriais o topógrafo e o geógrafo devem saber medir, pesar e contar. Portanto, estas duas ciências agrupam técnicas de medição, de tratamento dos valores medidos e de representação das medidas. Obviamente, o topógrafo (geógrafo) deve saber extrair informações topográficas (geográficas) de expressões numéricas, gráficas e/ou matemáticas e analisá-las. Devido a amplitude de tais ciências, elas são subdivididas. Na Geografia, a Geodésia se ocupa com as informações posicionais e geométricas, e diferentes temas dão origem a outros diferentes ramos, como Geografia Humana, Geografia Política, Oceanografia, Climatologia, etc. Didaticamente, pode-se subdividir a Topografia em: planimetria, que se ocupa em medir, tratar e representar informações de um local, em um plano horizontal; altimetria, onde as medidas, o tratamento e representação são realizadas em um plano vertical; e planialtimetria onde se trabalha com o espaço tridimensional. Pode-se ainda subdividir a planimetria, altimetria e planialtimetria em quatro tópicos: TOPOMETRIA, título dado aos processos de medição; TOPOPROCESSAMENTO, que se ocupa do tratamento matemático dos valores medidos; TOPOLOGIA, que tem por objeto o estudo das formas exteriores da localidade e das leis a que deve 1

2 Rodrigues, D. D Introdução Geral obedecer seu modelado; DESENHO TOPOGRÁFICO, constituindo-se da representação, em escala reduzida, do local a ser descrito e ANÁLISE que trata da extração e interpretação de informações de arquivos topográficos. A Figura 1.1 mostra as diversas etapas da topografia. Utilizando métodos e instrumentos adequados é realizado o levantamento de campo onde são medidos ângulos, distâncias, etc. Uma vez que as medidas topográficas são naturalmente contaminadas por erros, é fundamental o emprego da estatística no processamento dos dados levantados a fim de avaliar a qualidade das medições, estimar coordenadas e avaliar a precisão e a confiabilidade dessas estimativas. Um conjunto de coordenadas e seus desvios padrões forma o modelo numérico ou digital do terreno. A partir do modelo numérico é possível extrair informações topográficas - inclusive aquelas que não foram diretamente levantadas em campo - descrever o limite de um lote em uma língua falada e escrita confeccionando o memorial descritivo e descrever graficamente o terreno, confeccionando a planta. È sob uma planta gráfica que o Arquiteto projeta a construção, o Engenheiro civil a ponte, o Agrônomo a irrigação e o Engenheiro agrimensor o sistema cartográfico. A partir da planta também é possível extrair informações topográficas e redigir o memorial descritivo. Levantamento de dados, utilizando métodos e instrumentos adequados. Grandezas medidas: Ângulos, distâncias, pseudodistâncias, fases da portadora, etc. Estas medidas, naturalmente, estarão contaminadas com erros acidentais, sistemáticos e grosseiros. Processamento empregando a estatística, eliminando as observações com erros grosseiros, corrigindo os sistemáticos e avaliando a precisão interna (ou seja, estimando o desvio padrão σ ). Modelo Numérico (ou Digital) do Terreno: (MNT ou MDT) X, σ X Y, σ Y Z, σ Z Descrição Temática Desenho Digitalização Transcrição Representação Gráfica ou Planta Medições, cálculos, leituras, interpretações e trabalho sobre a planta Transcrição Memorial Descritivo Processamento Informações Topográficas (posicionais, geométricas e temáticas) Projetos de Engenharia, Arquitetura e/ou Agronomia Figura 1.1 Etapas da topografia 2

3 Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos A Topografia pode ser aplicada a vários temas. Qualquer trabalho de Engenharia, Arquitetura ou Urbanismo se desenvolve em função do terreno sobre o qual se assenta como, por exemplo, obras viárias, núcleos habitacionais, edifícios, aeroportos, hidrografia, irrigação e drenagem, usinas hidrelétricas, telecomunicação, sistemas de água e esgoto, cadastramento e planejamento urbano e rural, paisagismo, etc. Se se pode sintetizar a atividade de Engenharia utilizando os verbos: descrever, projetar, definir materializar e monitorar, evidencia-se a importância da Topografia que fornece diretamente meios para descrever, definir e monitorar espaços físicos Figura 1.2. Se o topógrafo tem em mente que todo levantamento topográfico deve, para a sistematização do mapeamento, ser ligado à planta geral da região, torna-se possível a obtenção de mapas geográficos a partir de um conjunto de plantas topográficas. Atualmente, com auxílio do sistema de Posicionamento Global GPS, a conexão de sistemas topográficos tornou-se relativamente fácil e não há necessidade de se ater ao princípio: ir do geral para o detalhe. Um conjunto de plantas topográficas pode, a posteriori, ser conectado a um sistema de referência municipal, que pode ser ligado a um sistema estadual, que por sua vez pode ser ligado a um sistema nacional. Obviamente os sistemas de referência devem ser devidamente materializados. A Figura 1.2 mostra ainda que a atividade de mapear envolve outras atividades como projetar, criar, organizar, manter e atualizar arquivos de informações topográficas e/ou geográficas. Descrever Projetar Definir ou locar Materializar Monitorar Mapear = Projetar, criar, organizar, manter e atualizar arquivos de informações topográficas e/ou geográficas. Figura 1.2: Atividades de Engenharia relacionadas com a Topografia Seria oportuno finalizar esta introdução com a seguinte frase de Espartel "Laboram em erro aqueles que julgam a Topografia uma simples aplicação da geometria, pois cada vez mais se alarga seu campo de ação e cresce a exigência em precisão e perfeição dos trabalhos que lhe estão afetos no campo da prática profissional, principalmente da Engenharia." 3- ESTADO DA ARTE O avanço tecnológico das últimas décadas tem influenciado consideravelmente a Topografia. O desenvolvimento de instrumentos de medida, incluindo sistemas de satélites; de hardwares e de softwares, propiciando um rápido, seguro e preciso tratamento, representação e análise das medidas topográficas, faz da Topografia uma ciência em constante evolução. Atualmente as medidas podem ser realizadas por estações totais (teodolito eletrônico e distanciômetro incorporados) e por receptores de sinais transmitidos por satélites de navegação. Estas 3

4 Rodrigues, D. D Introdução Geral medidas podem ser descarregadas diretamente ao computador e processadas por softwares de boa qualidade. A descrição gráfica do objeto levantado pode ser realizada utilizando-se pacotes gráficos, comumente denominados CAD - "Computer-Aided Design" e o resultado final pode ser analisado utilizandose Sistemas de Informações Geográficas - SIG. No entanto, não basta desenvolver softwares e hardwares, é necessário rever termologias, conceitos e métodos. 4- QUALIDADE EM MAPEAMENTO TOPOGRÁFICOS A qualidade de um levantamento topográfico, é bem verdade, está diretamente relacionada com a precisão obtida no final do processo (coleta de dados no campo, processamento matemático e representação gráfica). No entanto, a pretensão aqui, não é discutir métodos e instrumentos que melhoram a precisão; mas apresentar os seguintes princípios básicos, que podem melhorar a qualidade de trabalhos topográficos: - empregar a INFORMÁTICA e a ESTATÍSTICA como ferramentas usuais e rotineiras em todas as etapas do levantamento topográfico; - o levantamento de detalhes deve ser realizado pensando-se na futura conexão com a planta municipal; - topografar além dos limites da área inicialmente definida para ser descrita; - ter sempre em mente questões sociais e ambientais; - o levantamento deve ter caráter multifinalitário (mapear vegetação, hidrografia, obras de engenharia, relevo, solos, etc.) e - sempre que possível, o trabalho deve ser executado por uma equipe multidisciplinar. Sendo função do Engenheiro Agrimensor, fundamentalmente, descrever, definir e monitorar espaços físicos, é evidente a sua necessidade de dominar totalmente a linguagem das medidas. Ele deve saber empregá-las, representá-las e materializá-las convenientemente. A seguir é apresentado um estudo resumido sobre metrologia. 5- METROLOGIA É a ciência que trata das medições. A metrologia abrange todos os aspectos teóricos e práticos relativos às medições, em quaisquer campos da ciência ou da tecnologia. Medir é o ato de comparar uma grandeza com uma outra, de mesma natureza, tomada como padrão. Medição é o conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza. Medida é o resultado de uma medição. Na Agrimensura e Cartografia emprega-se também o termo observação como sinônimo de medida. As medidas de grandezas físicas podem ser classificadas em duas categorias: medidas diretas e indiretas. A medida direta de uma grandeza é o resultado da leitura de uma magnitude mediante o uso de um instrumento de medição, como por exemplo, um comprimento com uma régua graduada ou um intervalo de tempo com um cronômetro. Uma medida indireta é a que resulta da aplicação de uma relação 4

5 Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos matemática que vincula a grandeza a ser medida com outras diretamente mensuráveis, como por exemplo, a distância satélite-receptor obtida multiplicando a velocidade da luz pelo tempo de propagação do sinal. O conceito de grandeza,ou observável, é fundamental para se efetuar qualquer medição. Grandeza pode ser definida, resumidamente, como sendo o atributo físico de um corpo que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado. Em Topografia trabalha-se com quatro espécies de grandezas, a saber: - lineares; - superficiais; - volumétricas e - angulares Sistema Internacional de Unidades - SI A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. Por longo tempo cada país, cada região, teve seu próprio sistema de medidas. As unidades de medidas, entretanto, eram geralmente arbitrárias e imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Essa diversidade de sistemas criava muitos problemas para o comércio, uma vez os padrões adotados eram, muitas vezes, subjetivos e variavam de região para região. As quantidades eram expressas em unidades de medir pouco confiáveis, diferentes umas das outras e sem correspondência entre si. Em 1789, numa tentativa de resolver esse problema, a Academia de Ciência da França criou o Sistema Métrico Decimal (SMD) - um sistema de medidas baseado numa "constante natural", não arbitrária - constituído inicialmente de três unidades básicas: o metro, que deu nome ao sistema, o litro e o quilograma. Em 1960, a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM) substituiu o Sistema Métrico Decimal pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), mais complexo e sofisticado que o anterior que foi ampliado de modo a abranger os diversos tipos de grandezas físicas, compreendendo não somente as medições que ordinariamente interessam ao comércio e à indústria, mas estendendo-se completamente a tudo o que diz respeito à ciência da medição. No Brasil o SMD passou ser o sistema oficial com a promulgação da lei 1.157/1862, mas somente em Janeiro de 1894 seu uso passou a ser obrigatório. Já o Sistema Internacional de Unidades SI passou a ser oficial em A Resolução nº 12 de 1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - CONMETRO, ratificou a adoção do SI no País e tornou seu uso obrigatório em todo o território nacional. Em 1975 e em 1988, o Congresso Americano votou leis adotando as unidades métricas como unidades preferenciais. No Reino Unido, a partir 01/01/2000, por decreto, todas as unidades de medidas devem estar de acordo com o Sistema Internacional (SI) (Silva, 2004) Unidades de medida linear: 5

6 Rodrigues, D. D Introdução Geral Dentro do Sistema Métrico Decimal, a unidade de medir a grandeza comprimento foi denominada metro e definida como "a décima milionésima parte da quarta parte do meridiano terrestre". Em 1799, para materializar o metro, construiu-se uma barra de platina de secção retangular, com 25,3mm de espessura e com 1m de comprimento de lado a lado, que ficou conhecida como o "metro do arquivo". Em 1889 mudou-se o padrão para uma barra da liga de platina irradiada com traços separados pela distância de 1m. Em 1969 a Conferência Geral mudou o padrão de comprimento para uma constante atômica, o comprimento de onda da luz vermelho-alaranjada emitida pelos átomos individuais do Criptônio-86, e o metro passou a ser definido como: 1 metro = ,73 comprimentos de onda da luz vermelhoalaranjada emitida pelos átomos individuais do Criptônio-86. Essa nova definição permitiu aumentar a precisão da unidade-padrão em cerca de cem vezes (Silva, 2004) e apresenta como vantagens não ser destrutível, de reprodução confiável e fácil de ser internacionalizada. A partir da 17ª Conferência Geral de pesos e medidas, realizada em 1983, o metro passou a ser definido como sendo comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/ de segundo. No sistema internacional de medidas os múltiplos e submúltiplos do metro mais utilizados são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). A Tabela 1.1 mostra os prefixos dos múltiplos e submúltiplos do SI. Embora o SI seja o padrão internacional, nos EUA e Inglaterra, principalmente, ainda é muito comum o uso das seguintes unidades: 1 polegada = 1 in = 2,54 cm 1 pé = 1 ft = 12 in = 30,48 cm 1 jarda = 1 yd = 3 ft = 91,44 cm 1 milha = 1 mi = ft = 1.609,344 m. No Brasil emprou-se oficialmente, num passado recente, as seguintes unidades lineares: 1 légua = braças = m 1 légua marítima = 5 555,55 m 1 quadra = 60 braças = 132 m 1 corda = 15 braças = 33 m 1 braça = 2 varas = 2,20 m 1 vara = 5 palmos = 1,10 m 5.3- Unidades de medida superficial: No SI a unidade fundamental é o metro quadrado representado por m 2. Os múltiplos e submúltiplos mais empregados são representados por: km 2, hm 2, dam 2, dm 2, cm 2 e mm 2. Para quantificar áreas rurais emprega-se ainda o hectare, ha, sendo, 1 hectare (ha) = 1 hm² = m² que tem com submúltiplos 1 Are (a) = 10-2 ha = 100 m 2 e 1 Centiare (ca) = 10-4 ha = 1 m 2. 6

7 Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos Portanto, 84,3562 ha, por exemplo, pode ser lido como 84 hectares, 35 ares e 62 centiares. Na Resolução nº 12 de 1988 do CONMETRO o hectare está classificado como outras unidades fora do SI e admitidas temporariamente. Tabela 1.1: Prefixos do Sistema Internacional de medidas (IPEM-SP) Nome Símbolo Fator pelo qual a Unidade é Multiplicada exa E = peta P = tera T = giga G 10 9 = mega M 10 6 = quilo k 10 3 = hecto h 10 2 = 1 00 deca da 10 deci d 10-1 = 0,1 centi c 10-2 = 0,01 mili m 10-3 = 0,001 micro µ 10-6 = 0, nano n 10-9 = 0, pico p = 0, femto f = 0, atto a = 0, No passado, que se pode verificar em escrituras antigas, adotou-se no Brasil as unidades de superfície mostradas na Tabela 1.2. Ainda hoje é comum falar-se em Alqueire, unidade que deve ser substituída por hectare ou unidades do SI Unidades de medida volumétrica: No SI a unidade fundamental é o metro cúbico, m 3. Para volume menor emprega-se também o litro, (l ou L), cujos múltiplos e submúltiplos são: kl, hl, dal, dl, cl, ml. Sendo 1 litro = 1 dm 3. Na Resolução de 1988 do CONMETRO o litro está classificado como Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo. 7

8 Rodrigues, D. D Introdução Geral Tabela 1.2: Medidas agrárias do sistema antigo brasileiro com suas respectivas igualdades (Chagas, 1965) Unidade superficial antiga Dimensões Em hectares m x m ha litro 0,0605 prato 0,0968 Palmo de Sesmaria 0,22 x ,1452 Selamim de terras 55 x 27,5 0,1512 Meia quarta 110 x 27,5 0,3025 Quarta de Terra 110 x 55 0,6050 Hectare de Terra 100 x Meio Alqueire 110 x 110 1,2100 Braça de Sesmaria 2,2 x 6,6 1,4520 Quadra Quadrada 132 x 132 1,7424 Alqueire (ou alqueire menor) 110 x 220 2,4200 Alqueire Mineiro 165 x 165 2,7200 Alqueire geom. 220 x 220 4,8400 Lote Colonial 2200 x ,2000 Lote Colonial x Quadra de Sesmaria 132 x ,1200 Milhão de Metro x ,0000 Data de Campo x ,2500 Data de Mato x ,5000 Sesmaria de Mato x ,0000 Légua de Sesmaria x ,0000 Sesmaria de Campo x , Unidades de medida angular: Baseia-se na divisão da circunferência em partes iguais No Sistema Internacional de medidas: radianos No SI a unidade fundamental para ângulo plano é o Radiano, (rad), que é o ângulo central subtendido por um arco de círculo de comprimento igual ao do respectivo raio sendo, portanto, uma circunferência dividida em 2π partes iguais. Vale lembrar que π (PI) é o valor da razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Esse número irracional é expresso por uma dizima infinita não periódica, que nos dias de hoje, com a ajuda dos computadores, já é possível determinar com centenas de milhões de casa decimais. Com cinqüenta casas decimais o valor de PI é ( ): π = 3, ! Um ângulo θ qualquer, Figura 1.3, é a razão entre o comprimento do arco de circunferência, l, formado pelo ângulo e o raio da circunferência, R, ou seja, 8

9 Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos l m cm km θ = radianos = = = = (1.1) R m cm km R θ l Figura 1.3: relação entre medidas lineares e angulares Sistema sexagesimal: Neste sistema, a circunferência é divida em 360 partes iguais, sendo cada parte denominada grau ( o ). Um grau é dividido em 60 partes iguais denominadas, minutos ( ). Um minuto é dividido em 60 partes iguais denominadas, segundos ( ). Na Resolução de 1988 do CONMETRO, grau, minuto e segundos estão classificadas como Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo. Verifique que um minuto é da ordem de 10-2 graus (1 = 0,02º) e um segundo é da ordem de 10-4 graus (1 = 0,000 3º ). O seno de 1 é da ordem 10-4 (sen1 = 0,000 3) e o co-seno de 1 difere de 1 na ordem de O seno de 1 é da ordem 10-6 (sen1 = 0, ) e o co-seno de 1 difere de 1 na ordem de Por isso, se se está trabalhando com métodos e instrumentos com precisão de 1 deve-se trabalhar com, no mínimo, oito casas decimais do seno e do co-seno e se a precisão do instrumento e método empregados for 1, com onze casa decimais. Sabendo que no sistema sexagesimal uma circunferência é dividida em 360 partes iguais e que em radianos, em 2π partes iguais, constata-se que: um grau é da ordem de 10-2 radianos (1º = 0,02 rad), um minuto da ordem de 10-4 radianos (1 = 0,000 3) e um segundo da ordem de 10-6 rad (1 = 0, rad). Assim, deve-se tomar cuidado nos arredondamentos de ângulos em radianos. Verifique ainda que o 1 1 rad = 57, = =. (1.2) sen 1" O valor é representado pela letra grega ρ e muito utilizado em Agrimensura e Cartografia. Ele diz quantos segundos há em cada radiano ( ρ = "/ rad ). Portanto, para transformar um ângulo em radianos para segundos do sistema sexagesimal basta multiplicar o valor em radianos por ρ ou o dividi-lo pelo seno de Sistema Centesimal: Este sistema não está definido no SI. Nele a circunferência é divida em 400 partes iguais, sendo cada parte denominada GRADO ( g ). Um grado é dividido em 100 partes iguais denominadas, 9

10 Rodrigues, D. D Introdução Geral MINUTOS ( ) ou centígrados. Um minuto é dividido em 100 partes iguais denominadas, SEGUNDOS ( )ou decimiligrados. Sendo 380,2345 grados = 380 grados, 23 centígrados e 45 decimiligrados ou 380 g ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS: A Figura 1.4 mostra a medição de uma distância d com uma régua milimétrica. Nela verifica-se que o valor numérico da distância é um pouco maior que 5,6 cm. Pode-se verificar ainda que esse um pouco maior está por volta de 0,3, 0,4 ou 0,5 mm, portanto, a medida está entre 5,63 e 5,65 cm e pode-se anotar o valor 5,64 para a distância d, convicto dos algarismos 5 e 6 e não tão convicto do algarismo 4. Os algarismos 5 e 6 são tidos como corretos e 4 como duvidoso. Esses são os algarismos significativos (A.S.) usados para expressar a distância d. Ao anotar, expressar, uma medida só se emprega um, e somente um, algarismo duvidoso. d cm Figura 1.4 : Medição de uma distância com uma régua milimétrica. A medida de uma grandeza física é sempre aproximada e, por mais preciso que seja o aparelho e o método e o número de algarismos significativos usado para representar a medida, deve expressar a precisão do instrumento e do método. Quanto maior a precisão, maior o número de algarismos significativos e o vice-versa deve ser verdadeiro. Com uma régua milimétrica é impossível precisar os décimos de milímetros e a medida deve ser anotada com no máximo três algarismos significativos. A medida de d é portanto 56,4 mm = 5,64 cm = 0,0564 m = 0, km, todas anotações com três A.S. Deve-se observar que: Zeros à esquerda do primeiro algarismo significativo não são significativos; Zeros entre A.S. são significativos; Zeros a direita de A.S. são significativos. Dessa forma 5,640 cm tem quatro A.S. e é, portanto, fisicamente diferente de 5,64 cm; embora, matematicamente iguais. Zeros ao final de um número inteiro podem ou não ser significativos. Uma medida representada por 1500, por exemplo, pode ter dois, três ou quatro A.S. Para eliminar esta ambigüidade recomenda-se o uso da notação científica. Na notação científica escreve-se o número referindo à potência de 10 conveniente e, conservando-se à esquerda da vírgula, apenas um dígito diferente de zero. Por exemplo: 1500 = 1,500 x 10 3, com quatro A.S., 1,50 x 10 3, com três e 1,5 x 10 3, com dois A.S; 12 = 1,2 x 10 (dois A.S.); 10 = 1,0 x 10 (dois A.S.) 10 = 1 x 10 (um A.S.); 1,000 2 = 1,000 2 ( cinco A.S.); 10

11 Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 0, = 5,64 x 10-5 (três A.S.), etc. A notação científica tem a vantagem de mostrar claramente a ordem de grandeza e o número de A.S. Quando valores observados são envolvidos em operações matemáticas de adição, subtração, multiplicação e divisão é necessário que o número de A.S. na resposta seja consistente com o número de A.S. das medidas envolvidas. Normalmente há necessidade de arredondar a notação. 6.1 Arredondamento Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, utiliza-se a seguinte regra: 1. Quando o algarismo posterior ao último A.S. a ser anotado for menor que 5, este e os subseqüentes são abandonados; 2. Quando o algarismo posterior for igual a 5 arredonda-se o último A.S. para o número par mais próximo e 3. Quando o algarismo posterior for maior que 5, soma-se uma unidade ao último A.S. a ser anotado. Por exemplo: Se o número 7,2752 deve ser expresso com um, dois, três e quatro A.S. ele deve ser arredondado para 7; 7,3; 7,28 e 7,275, respectivamente. Observe que o 7,2852 com três A.S. também é 7,28. Os procedimentos 1 e 3 são prática padrão. Já o procedimento 2 não. Alguns simplesmente abandonam os próximos dígitos e outros adicionam uma unidade ao último A.S. Usando a regra do par mais próximo estabelece-se um procedimento uniforme e produzem-se resultados melhor balanceados numa série de cálculos, ( Wolf, 2006). 6.2 Operações com algarismos significativos Soma e subtração: os três passos seguintes devem ser seguidos, (Wolf, 2006): 1. Executar a adição ou subtração sem nenhum arredondamento considerando todas as casas decimais; 2. Identificar a coluna que contém o A.S. mais a esquerda entre as medidas envolvidas e 3. Arredondar a resposta para que seu A.S. mais a direita esteja na coluna identificada no passo 2. Por exemplo: ,1875 3,243 22,13 105,2 230,7605 ( Resposta: 230,8); 22,321 0, ,3204 (R: 22,320); Outros exemplos: 734, ,52 + 5,0 = 762,9 e 439 4,5 = 434. Resumindo, na soma ou subtração o último A.S. do resultado deve estar na coluna do algarismo duvidoso mais a esquerda entre as medidas envolvidas. 11

12 Rodrigues, D. D Introdução Geral Obviamente as medidas envolvidas devem estar na mesma unidade. Não se soma ou subtrai metros a centímetros, metros quadrados, radianos ou segundos! 2,653 m + 53,8 cm +375 cm + 3,782 m = 2,653 m + 0,538 m + 3,75 m +3,782 m = 10,72 m. Multiplicação e divisão: a regra é anotar o resultado da operação com o mesmo número de A.S. da medida que tiver o menor número de A.S. Por exemplo: 32,74 cm x 25,2 cm = 825,048 cm 2 = 825 cm 2. 32,74 cm 2 x 3,8 cm = 124,412 cm 3 = 1,2 x 10 2 cm Algarismos significativos na Topografia Em Topografia o número de A.S. das medidas é que ditam o número de A. S. dos resultados derivados de cálculos envolvendo-as. Para as distâncias são empregados, normalmente, instrumentos com precisão milimétrica e para os ângulos instrumentos com precisão de minutos e até mesmo segundos. Nos cálculos intermediários é prática comum considerar ao menos um digito a mais que o necessário e arredondar o resultado final para o número correto de A.S. Cada fator pode não causar igual variação. Por exemplo, no cálculo de uma distância inclinada, ou espacial, a partir de distâncias horizontal e vertical como mostrado na Figura 1.5. DV = 8,0 Di = 100,32 DH = 100,00 Figura 1.5 : Distância inclinada a partir das distâncias horizontal e vertical A distância vertical, DV, é dada com dois A.S. e a horizontal, DH, com cinco. Destes dados a distância inclinada é calculada com cinco A.S., uma vez que, para pequenos ângulos de inclinação, uma variação considerável na distância vertical produz uma pequena variação na diferença entre distância inclinada e distância horizontal, (Wolf,2006). Na conversão de unidades, uma boa regra é manter o número de A.S. da medida original. 7 - EXERCÍCIOS 1) Transformar a área de 21 alqueires, 3 quartas e 15 litros em hectare. 2) Qual a altura de lâmina d'água de 1000 litros distribuídos uniformemente em 5 m²? 3) Transformar - 30,4560 graus, em graus, minutos e segundos; e ' 50" em graus. 4) Qual a distância linear entre dois traços mais próximos de um círculo com 10 cm de raio, dividido em 720 partes iguais (0,5 graus/parte)? E se o raio fosse 7 cm? 5) Verifique em uma calculadora o valor do seno de 1. E o inverso desse valor, qual é? 6) Transformar " em radianos e 1 rad em segundos sexagesimais. TRABALHO: Elaborar algoritmos para transformar graus em graus, minutos e segundos e vice-versa. 12