Neste capítulo, apresentamos um dos conceitos centrais do Cálculo em Várias Variáveis, as derivadas parciais e a diferenciação de funções.

Transcrição

1 Capítulo 6 DERIVADAS PARCIAIS 6.1 Definições Neste capítulo, apresentamos um dos conceitos centrais do Cálculo em Várias Variáveis, as derivadas parciais e a diferenciação de funções. Definição6.1. Sejam A R 3 umconjunto abertoef : A R umafunção. 1. Aderivada parcialde f emrelaçãoàvariável x, noponto (x, y, z) Aédenotada por (x, y, z)edefinidapor: x se o limite existe. f(x + t, y, z) f(x, y, z) (x, y, z) = lim x t 0 t. Aderivada parcialde f emrelaçãoàvariável y,noponto (x, y, z) Aédenotada por (x, y, z)edefinidapor: y se o limite existe. f(x, y + t, z) f(x, y, z) (x, y, z) = lim y t 0 t 3. Aderivada parcialde f emrelaçãoàvariável z, no ponto (x, y, z) Aédenotada por (x, y, z)edefinidapor: z 117

2 118 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS f(x, y, z + t) f(x, y, z) (x, y, z) = lim z t 0 t se o limite existe. Observações De forma análoga são definidas as derivadas parciais para funções de duas variáveis.. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x A é necessário que x + te i A, onde i = 1,, 3; o que é verdadeiro se t < η (η > 0 pequeno). Veja a bibliografia. Exemplos 6.1. [1]Se z = f(x, y) = xy,calcule suasderivadasparciais. Estamos nocaso n = : f(x + t, y) f(x, y) (x + t) y xy (x, y) = lim = lim x t 0 t t 0 t f(x, t + y) f(x, y) x (t + y) xy (x, y) = lim = lim y t 0 t t 0 t t y = lim t 0 t t x = lim t 0 t = y, = x. []Se w = f(x, y, z) = x y z, calcule suasderivadasparciais. Estamos nocaso n = 3:

3 6.1. DEFINIÇÕES 119 f(x + t, y, z) f(x, y, z) (x + t) y z x y z (x, y, z) = lim = lim x t 0 t t 0 t xy z t + t yz = lim = xy z, t 0 t f(x, t + y, z) f(x, y, z) x (t + y) z x y z (x, y, z) = lim = lim y t 0 t t 0 t t x z = lim = x z, t 0 t f(x, y, t + z) f(x, y, z) x y (t + z) x y z (x, y, z) = lim = lim z t 0 t t 0 t t x y + t x y z = lim = x y z. t 0 t Observação Seja y = c, fixado econsideremos g(x) = f(x, c); logo: g g(x + t) g(x) f(x + t, c) f(x, c) (x) = lim = lim = (x, c). t 0 t t 0 t x. Se h(y) = f(c, y),então: h h(y + t) h(y) f(c, y + t) f(c, y) (y) = lim = lim = (c, y). t 0 t t 0 t y Analogamente para mais variáveis. 3. Consequentemente, para derivar parcialmente uma função em relação a x, as demais variáveis são consideradas como constantes e a derivaçãoéfeita como em R. 4. Em relação às outras variáveis o procedimento é análogo. Assim, todas as regras de derivação estudadas para funções em R podem ser aplicadas.

4 10 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS Exemplos 6.1. [1]Se z = f(x, y) = x + y, calcule suasderivadasparciais. Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Pela observação anterior consideramos z = x + c, onde c = y ; derivando como em R: x (x, y) = x analogamente para y: fazemos c = x : y (x, y) = y x + c = c + y = x x + y ; y x + y. [] Se z = f(x, y) = (x + y ) cos(xy), calcule suas derivadas parciais no ponto (1, π). Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Pela observaçãoanteriorconsideramos z = (x +c ) cos(c x),onde y = c;derivando como em R: x (x, y) = ( (x + c ) cos(c x)) = xcos(c x) c (x + c ) sen(c x) = xcos(xy) y (x + y ) sen(xy); analogamente para y: fazemos z = (c + y ) cos(c y): y (x, y) = ( (c + y ) cos(c y) ) = y cos(c y) c (c + y ) sen(c y) = y cos(xy) x (x + y ) sen(xy)); (1, π) =, (1, π) = π. x y [3]Se w = f(x, y, z) = ln(x + y + z ), calcule suasderivadasparciais. Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Seja w = ln(x + c), onde c = y + z ;derivando comoem R, temos: (x, y, z) = x x x + c = x x + y + z ; analogamente para y: fazemos c = x + z epara z: c = x + y :

5 6.1. DEFINIÇÕES 11 e: (x, y, z) = y (x, y, z) = z y y + c = z c + z = y x + y + z z x + y + z. [4]Se w = f(x, y, z) = sen ( xy), calcule suasderivadasparciais. z Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x: Seja w = sen(c x), onde c = y z ; derivando: x (x, y, z) = c cos(c x) = y z cos( xy) ; z analogamente para y;fazemos c = x z e para z; fazemos c = xy: y (x, y, z) = c cos(c y) = x z cos( xy) e z z (x, y, z) = c z cos( c z ) = xy z cos( xy). z De forma análoga ao Cálculo de uma variável, as derivadas parciais de uma função são funções e, portanto, podemos calcula-lás em pontos de seus domínios. [5]Seja f(x, y) = ln (x + y + 1);então: (x, y) = x Temos duas novas funções: x x + y + 1 e (x, y) = y y x + y + 1. Logo,: g(x, y) = x x + y + 1 e h(x, y) = y x + y + 1. g(1, 1) = h(1, 1) = 3, g(3, ) = 3 7 e h(1, ) = 7.

6 1 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS Figura 6.1: Gráfico de f. Observações 6.. Figura 6.: Gráficos de g e h, respectivamente. 1. A não existência das derivadas parciais de uma função contínua de duas variáveis num ponto indica que o gráfico da função apresenta "arestas"nesse ponto.. De fato, seja z = f(x, y) = x + y ; então, asderivadas parciais existem, exceto na origem. Figura 6.3: Gráfico de f(x, y) = x + y.

7 6.. GENERALIZAÇÕES Generalizações Definição 6.. Seja A R n um conjunto aberto, x = (x 1, x,..., x n ) A e f : A R uma função. A derivada parcial de f em relação à j-ésima variável noponto x Aédenotada por x j (x) edefinida por: se o limite existe. f(x 1,..., x j + t,.., x n ) f(x 1,..., x n ) (x) = lim, x j t 0 t Fazendo j = 1,..., n,temosasderivadasparciaisde f emrelaçãoàprimeira, à segunda, à terceira,..., à n-ésima variáveis, respectivamente. Denotando por e j = (0,..., 1,...0) o vetor que tem todas as componentes zero exceto a j-ésima, queéigual a 1,temos: f(x + te j ) f(x) (x) = lim. x j t 0 t 6.3 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x, y) é, em geral, uma superfície em R 3. A interseção desta superfície com um plano paralelo ao plano xz, que passa pelo ponto (0, y 0, 0) é uma curva plana (ou um ponto) que satisfaz às condições: { z = f(x, y) y = y 0. Comoacurvaéplana,podemosconsiderá-lacomoográficodeumafunção deumavariável,asaber: g(x) = f(x, y 0 ). Logo,ocoeficienteangulardareta tangente à curva noponto x 0, relativa ao plano,é: g (x 0 ) = x (x 0, y 0 ) Analogamente, a curva plana definida pela interseção do gráfico de f com o plano que passa por (x 0, 0, 0) paralelo ao plano yz pode ser definida por h(y) = f(x 0, y). Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto y 0, relativa ao plano,é:

8 14 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS h (y 0 ) = y (x 0, y 0 ) Desenhos à esquerda e à direita, respectivamente: Figura 6.4: Figura 6.5: Exemplos 6.. [1] Seja z = f(x, y) = x + y. Determine a equação da reta tangente à interseção dográfico de f com oplanodeequação y =,noponto (,, 8). Pela observação anterior: z = x + 4; logo, z = g(x) = x + 4 e a equaçãoda reta tangente é: z g(x 0 ) = g (x 0 )(x x 0 ), onde x 0 =, ou seja: z 4x = 0.

9 6.3. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Figura 6.6: Exemplo[1]. [] Seja z = f(x, y) = y. Determine a equaçãoda reta tangente à interseção dográfico de f com oplanode equação x = x 0, noponto (x 0, 1, 1). Pela observação anterior: z = y ; logo z = h(y) = y e a equação da reta tangente é: z h(y 0 ) = h (y 0 ) (y y 0 ),onde y 0 = 1, ou seja: z y + 1 = 0. 1 Dos parágrafos anteriores temos: Figura 6.7: Exemplo[]. Proposição 6.1. Seja f : A R R uma função tal que as derivadasparciais existam no conjunto aberto A, então: x (a, b) = g (a) se g(x) = f(x, b) y (a, b) = h (b) se h(y) = f(a, y) A prova segue das definições e observações anteriores. Esta proposição se estende naturalmente para n.

10 16 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS Exemplos 6.3. [1]Se f(x, y) = 4 x 4 + y 4, calcule (0, 0)e (0, 0). x y Seja g(x) = f(x, 0) = x e h(y) = f(0, y) = y;logo g (x) = 1 e h (y) = 1; então: (0, 0) = (0, 0) = 1. x y []Se f(x, y) = x (x + y ln(y + 1)) 5 e tg(x y+y 3 x ),calcule (1, 0). x Seja g(x) = f(x, 0) = x 3 e g (x) = 3 x 4 ; logo: x (1, 0) = g (1) = 3. cos(x + y + z) [3]Se f(x, y, z) =, calcule (π, 0, 0). ln(x + y + z ) x Seja g(x) = f(x, 0, 0) = cos(x) ln(x) e xln(x) sen(x) + cos(x) g (x) = ; logo: ln (x) x (π, 0, 0) = 1 g (π) = π ln (π). 6.4 Derivadas Parciais como Taxa de Variação As derivadas parciais também podem ser interpretadas como taxa de variação ou razão instantânea. Defato, sejam A R abertoef : A Rumafunçãotal queasderivadas parciaisexistem noponto (x 0, y 0 ). Definição 6.3. A derivada parcial x (x 0, y 0 ) é a taxa de variação de f ao longo dareta quepassa peloponto (x 0, y 0 )ena direção e 1 = (1, 0). Observações Istoé, ataxa devariação de f aolongo d a reta: tal que( t pequeno). c(t) = (x 0, y 0 ) + t (1, 0) = (x 0 + t, y 0 ),

11 6.4. DERIVADAS PARCIAIS COMO TAXA DE VARIAÇÃO 17. Deforma análogainterpretamosaoutra derivadaparcial: y (x 0, y 0 )é a taxa de variação de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x 0, y 0 ) ena direção e = (0, 1),istoé, d(t) = (x 0, y 0 ) + t (0, 1) = (x 0, y 0 + t),( t pequeno). y 0 +t c(t) c(t) y 0 e e 1 A x x d(t) 0 0 +t d(t) Figura 6.8: 3. Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da variação parcial da função em relação a cada variável, quando as outras estão fixadas. Exemplos 6.4. [1] A lei de um gás ideal confinado é P V = 8 T, onde P é a pressão em N/cm, V é o volume em cm 3 e T é a temperatura em graus. Se o volume dogás éde 150 cm 3 e a temperatura é de 100 o, pede-se: (a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura para ovolume fixo de 150 cm 3. (b) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão para a temperatura fixa de 100 o. (a) Escrevamos a pressão em função do volume e da temperatura: logo, P(V, T) = 8 T V ; então, P T (V, T) = 8 V ; P T (150, T) = N/cm /kal.

12 18 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS A variação da pressão em relação à temperatura cresce a uma razão de N/cm /kal. Note que P nãodependede T. T (b) Escrevemos o volume em função da pressão e da temperatura: V (P, T) = 8 T P ; então, V P (P, T) = 8 T P. Por outro lado, P = 8 T 16 epara T = 100eV = 150,obtemos P = V 3 ; logo: V P (16 3, 100) = 8.13 cm3 /N. Avariação dovolume em relaçãoàpressão diminui auma razãode: 8.13 cm 3 /N. []Opotencial elétrico noponto (x, y, z) é dadopor: V (x, y, z) = x x + y + z, onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variação instantânea de V emrelação à distância em (1,, 3)na direçãodo: (a)eixodos x; (b)eixodos y; (c)eixo dos z. (a)devemoscalcular V x (1,, 3). Seja g(x) = f(x,, 3) = x V x (x,, 3) = 13 g (x) = (x + 13) 3/, x + 13 ; então: logo; V 13 (1,, 3) = x volts/cm. (b)devemoscalcular V y (1,, 3): Seja h(y) = f(1, y, 3) = 1 y + 10 ; então: V y = y h (y) = (y + 10) 3/, logo; V y (1,, 3) = volts/cm. (c)devemos calcular V z (1,, 3): Seja k(z) = f(1,, z) = 1 z + 5 ; então:

13 6.4. DERIVADAS PARCIAIS COMO TAXA DE VARIAÇÃO 19 V z = z k (z) = (z + 5) 3/, logo; V 3 (1,, 3) = z volts/cm. [3] Quando materiais tóxicos são despejados ou manipulados num aterro podem ser liberadas partículas contaminadas para a atmosfera circundante. Experimentalmente, a emissão destas partículas pode ser modelada pela função: E(V, M) = K V 1.3 M 1.4, onde E é a emissão(quantidade de partículas liberadas na atmosfera por tonelada de solo manipulado), V é a velocidade média do vento(mph=metros por hora), M é a umidade contida no material (dada em porcentagem) e K é umaconstante quedependedotamanhodaspartículas. Calculeataxa de variação da emissão para uma partícula tal que K = 0., V = 10 e M = 13 em relação: (a) ao vento; (b) à umidade Figura 6.9: Curvasde nívelde E. (a)calculamos E E (10, 13): Então, V V (V, M) = V 0.3 M 1.4 ; logo, E (10, 13) = V (b)calculamos E E (10, 13): Então, M M (V, M) = V 1.3 M.4 ;logo,

14 130 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS E (10, 13) = M Interprete os resultados obtidos no último exemplo. 6.5 Diferenciabilidade No caso de uma variável sabemos que se uma função é derivável num ponto, ela é contínua no ponto. Gostaríamos de ter um comportamento análogo para funções de várias variáveis; no entanto, a existência das derivadas parciais não garante a continuidade da função. De fato, a existência de depende do comportamento da função f somente na direção do eixo dos x e a existência de depende do comporta- x y mentodafunção f somentenadireçãodoeixodos y. Porexemplo,sabemos que a função: xy se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x + y, 0 se (x, y) = (0, 0) não é contínua na origem. No entanto, as derivadas parciais existem em todos os pontos, inclusive na origem. De fato, sejam g(x) = f(x, 0) = 0 e h(y) = f(0, y) = 0;logo: x (0, 0) = g (0) = 0 Asderivadasparciais para (x, y) (0, 0)são: x = y3 x y e (x + y ) e y (0, 0) = h (0) = 0. y = x3 xy (x + y ). Em uma variável, a existência da derivada de uma função num ponto, garante que nas proximidades desse ponto o gráfico da função fica bastante próximo da reta tangente a esse gráfico no ponto considerado. Seguiremos esta idéia para estender o conceito de diferenciabilidade para funções de várias variáveis. Correspondendo à reta tangente num ponto do gráfico de umafunçãoem Rtemoso"planotangente"num pontodo G(f)eeste plano deve ser uma "boa"aproximação para o G(f) numa vizinhança do ponto.

15 6.5. DIFERENCIABILIDADE 131 Definição 6.4. Seja f : A R n R uma função definida no conjunto aberto A. Dizemos que f é diferenciável no ponto x 0 A se existem as derivadasparciaisde f em x 0 e: lim h 0 f(x) f(x0 ) h n x j (x 0 )h j j=1 = 0, onde h = x x 0, h j é a componente j-ésima de hex A. Para n =,este limite expressa oque pensamosaodizerque: f(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + y (x 0, y 0 ) (y y 0 ), é umaboa aproximação para f numa vizinhança de x 0 = (x 0, y 0 ). Definição6.5. f édiferenciávelem A R n,seédiferenciávelemcadaponto de A. Exemplos 6.. Considere a função: x y se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x + y, 0 se (x, y) = (0, 0) f écontínua em (0, 0);suas derivadasparciais são: e: (0, 0) = (0, 0) = 0, x y (x, y) = x xy3 (x + y ) y (x, y) = x (x y ) (x + y ). Agora, apliquemos a definição de diferenciabilidade para f no ponto (0, 0): lim (x,y) (0,0) considere y = k x, k > 0: f(x, y) (x, y) = lim (x,y) (0,0) x y (x + y ) x + y ;

16 13 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS lim (x,k x) (0,0) x y (x + y ) 3 kx 3 = lim (x,k x) (0,0) (x + k x ) 3 k = ± ; (1 + k ) 3 = lim (x,k x) (0,0) ±k (1 + k ) 3 olimite dependede k; logo f nãoédiferenciável em (0, 0). Figura 6.10: Gráfico de f. Observação 6.. Aplicar diretamente a definição de função diferenciável pode ser, em muitos casos, bastante complicado. Por isso, apresentamos o seguinte teorema: Teorema 6.1. Seja f : A R n R uma função definida no conjunto aberto A tal que existem todas as derivadas parciais em cada ponto de A e cada uma delas é contínua no ponto x 0 A. Então f é diferenciável em x 0. Observação 6.3. O teorema estabelece apenas uma condição suficiente, ou seja,nemtodasasfunçõesdiferenciáveisnumponto x 0 devemterderivadas parciais contínuas numa vizinhança de x 0. Para a prova do teorema, veja o apêndice. Exemplos 6.5.

17 6.5. DIFERENCIABILIDADE 133 [1] Considere a seguinte função x y se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x + y 0 se (x, y) = (0, 0). As derivadas parciais são: (0, 0) = (0, 0) = 0, x y (x, y) = xy4 x (x + y ) e (x, y) = x4 y y (x + y ). As derivadas parciais existem em todo ponto. Aplicaremos o teorema para provar a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0). Para isto provaremos que as derivadas parciais são contínuas no ponto (0, 0). lim (x,y) (0,0) (x, y) = x lim (x,y) (0,0) xy 4 (x + y ) = (0, 0) = 0. x Defato, x x + y e y 4 (x +y ) x y ;logo, 4 x (x +y ) + y ;se δ = ε, teremos xy 4 < ε se 0 < x + y (x + y ) < δ. Analogamente para a outra derivada parcial. Figura 6.11: Exemplo[1]. [] Os polinômios em várias variáveis são claramente diferenciáveis em todo ponto de R n. [3] A função z = f(x, y) = x + y é diferenciável em R {(0, 0)}. De fato:

18 134 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS x = x x + y e y = y x + y eambassão funçõescontínuas em R {(0, 0)}. Definição 6.6. Uma função é dita de classe C 1 em A quando existem as derivadas parciais em cada ponto de A e estas são contínuas. Logo f de classe C 1 implica em f diferenciável. Proposição 6.. Se f e g sãofunções de classe C 1 noponto x 0, então: 1. f + g éde classe C 1 em x 0.. f g é declasse C 1 em x Se g(x 0 ) 0, f g éde classe C1 em x 0. As provas seguem da aplicação direta da definição. Exemplos 6.6. [1]Asfunçãodefinidasporpolinômiosdeváriasvariáveissãodeclasse C 1. []Afunção f(x, y) = xy y + x + y + 1 édiferenciávelemtodo R. Defato, escrevendo: f(x, y) = f 1 (x, y) + f (x, y) f 3 (x, y), onde f 1 (x, y) = xy, f (x, y) = y e f 3 (x, y) = x + y + 1, vemos que as três funções são diferenciáveis em todo o plano, pois são polinômios e f 3 não se anula em nenhum ponto do plano. Pelas propriedades anteriores, f é diferenciável em R. Teorema6.. Se f édiferenciável no ponto x 0, então f é contínua em x 0. Para a prova, veja o apêndice. Se f é de classe C 1, então f é diferenciável e portanto f é contínua.

19 6.5. DIFERENCIABILIDADE 135 Observações O plano tangente ao gráfico de uma função f num ponto é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto.. Se todas as retas tangente a esse ponto não são co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe. 3. Nos próximos parágrafos daremos uma justificativa para a seguinte definição: Definição 6.7. Seja f : A R R uma função diferenciável no ponto (x0, y0 ). A equação do plano tangente ao G(f ) no ponto (x0, y0, f (x0, y0 )) é: z = f (x0, y0 ) + (x0, y0 ) (x x0 ) + (x0, y0) (y y0 ) x y Figura 6.1: Plano tangente ao G(f ). Segue, de imediato, que os vetores normais ao plano tangente no ponto (x0, y0, z0 ), onde z0 = f (x0, y0 ), são: n(x0, y0, z0 ) = ± (x0, y0), (x0, y0 ), 1 x y

20 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS 136 Exemplos 6.7. [1] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de: z = (x + y + 1) e (x +y ) no ponto (0, 0, 1). Observemos que f (x, y) = (x + y + 1) e (x +y ) é uma função diferenciável em R. Sejam g(x) = f (x, 0) = (1 + x ) e x e h(y) = f (0, y) = (1 + y ) e y ; logo, g (x) = x3 e x e h (y) = y 3 e y e: (0, 0) = g (0) = 0; x (0, 0) = h (0) = 0 y e f (0, 0) = 1. A equação do plano tangente no ponto (0, 0, 1) é: z = 1. Figura 6.13: Plano tangente do exemplo [1]. [] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = x 6 y nos pontos (1, 1, f (1, 1)) e ( 1, 1, f ( 1, 1)). Como f é diferenciável em R : f (1, 1) = 5 e f ( 1, 1) = 7. Por outro lado: (x, y) = 1, x (x, y) = 1 y. y As equações dos planos tangente ao G(f ) nos pontos (1, 1, 5) e ( 1, 1, 7) são:

21 6.6. APROXIMAÇÃO LINEAR 137 respectivamente. z = x 1 y + 6 e z = x + 1 y + 6, Figura 6.14: Plano tangente do exemplo[]. [3] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = e x y + xy no ponto (1, 1, ). Note que f é diferenciável em R : f(1, 1) =, x (x, y) = ex y + y Aequaçãodoplanotangente ao G(f)no ponto (1, 1, )é: e z = x + y 1. y (x, y) = ex y + xy. Osvetores normaisno ponto (1, 1, )são n = (, 1, 1)en=(, 1, 1). 6.6 Aproximação Linear Como em Cálculo I, podemos usar a "boa"aproximação do plano tangente ao gráfico numa vizinhança de um ponto para efetuar cálculos numéricos aproximados. Definição 6.8. Seja f diferenciável no ponto x 0. A aproximação linear de f aoredor de x 0 é denotadapor l e definidacomo:

22 138 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS 1. se n = e z 0 = f(x 0, y 0 ): l(x, y) = z 0 + x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ). se n = 3, x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e w 0 = f(x 0 ): l(x, y, z) = w 0 + x (x 0) (x x 0 ) + y (x 0) (y y 0 ) + z (x 0) (z z 0 ) Seja ε > 0pequeno. Para todo x B(x 0, ε),oerro daaproximação é: esatisfaz: E(x) = f(x) l(x) lim x x 0 E(x) x x 0 = 0. Em outras palavras l(x) aproxima f(x) numa vizinhança de x 0. A função l(x) também échamada linearizaçãode f numa vizinhançade x 0. Exemplos 6.8. [1] Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver os seguintes problemas: (a) Se: T(x, y) = xe x y representa a temperatura num ponto (x, y) numa certa região do plano, calcular as seguintes temperaturas T(1.003, ) e T(0.0001, 1.003). (b) Se: ρ(x, y, z) = ln( x + y + z ) representa a densidade de um ponto (x, y, z) numa certa região do espaço que não contem a origem, determine ρ(1.005, 0.007, 1.01). (c)calcule,aproximadamente, ovalor de (a)como (1.003, )estápertode (1, 0)acharemosalinearizaçãode T numavizinhança de (1, 0). Istoé:

23 6.6. APROXIMAÇÃO LINEAR 139 l(x, y) = T(1, 0) + T T (1, 0) (x 1) + (1, 0) y x y = 1 + T T T (1, 0) x + (1, 0) y (1, 0). x y x T x (x, y) = ex y (1 + xy) e T y (x, y) = ex y x ; então, numa vizinhança do ponto (1, 0), temos: xe x y x + y. Oponto (1.003, )está pertodo ponto (1, 0),logo: e = Figura 6.15: Vista de xe x y e x + y aoredor de (1, 0). Analogamente, como (0.0001, 1.003) está perto de (0, 1) acharemos a linearizaçãode T numa vizinhança de (0, 1). Isto é: l(x, y) = T(0, 1) + T T (0, 1) x + (0, 1) (y 1) x y = T T T (0, 1) x + (0, 1) y (0, 1) x y y = x. Então, numa vizinhança do ponto (0, 1), temos:

24 140 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS Logo: T(0.0001, 1.003) xe x y x. (b) Devemos determinar a linearização de ρ numa vizinhança de (1, 0, 1). Isto é: l(x, y, z) = ρ(1, 0, 1) + ρ x Temos: (1, 0, 1) (x 1) + ρ y ρ (1, 0, 1) y + (1, 0, 1) (z 1). z ρ x (x, y, z) = x x + y + z, ρ z (x, y, z) = z x + y + z. ρ y (x, y, z) = y Então, numa vizinhança do ponto (1, 0, 1), temos: x + y + z e Logo: ρ(1.005, 0.007, 1.01) ln( x + y + z ) x + z + ln() 1. (c)seja a função f(x, y, z) = x + y + z. Consideremos o ponto (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 4, 8) e determinemos a linearização de f numa vizinhançado ponto (1, 4, 8): l(x, y, z) = f(1, 4, 8)+ (1, 4, 8) (x 1)+ (1, 4, 8) (y 4)+ (1, 4, 8) (z 8). x y z Temos: e x (x, y, z) = x f(x, y, z), y (x, y, z) = y f(x, y, z) z (x, y, z) = z f(x, y, z). Logo, f(1, 4, 8) = 9, x (1, 4, 8) = 1 9, y (1, 4, 8) = 4 9 e z (1, 4, 8) = 8 9 ; então, numavizinhança doponto (1, 4, 8),temos:

25 6.6. APROXIMAÇÃO LINEAR 141 x + y + z 1 (x + 4 y + 8 z), 9 Em particular, no ponto (1.01, 4.01, 8.00): ( (4.01) + 8 (8.00)) [] Lei de gravitação de Newton. A força de atração entre dois corpos de massa mem, respectivamente, situados a uma distância r é dadapor: F(m, M, r) = G m M r, onde G é a constante de gravitação. Determinemos a linearização da função F aoredor doponto (m 0, M 0, r 0 ). F G M (m, M, r) = m r, F G m (m, M, r) = M r e: logo, noponto (m 0, M 0, r 0 ),temos: F G m M (m, M, r) = ; r r 3 l(m, M, r) = G (M r0 3 0 r 0 m + m 0 r 0 M m 0 M 0 r + m 0 M 0 r 0 ). Por exemplo, se m 0 = 1, M 0 = e r 0 = 1, temosque: F(m, M, r) G ( m + M 4 r + ), para todo (m, M, r)numa vizinhança de (1,, 1). [3] Um depósito de material radioativo tem o formato de um cilindro circular reto e deve possuir altura no lado interno igual a 6 cm, raio interno com cm e espessura de 0.1 cm. Se o custo de fabricação do depósito é de 10 cv por cm 3. (cv=centavos), determine ocusto aproximado domaterial usado.

26 14 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS Figura 6.16: Depósito de material radioativo. O volume exato do depósito é a diferença entre os volumes dos cilindros C 1 e C, onde C 1 tem raio r 1 =.1 e altura h 1 = 6. e C tem raio r = e altura h = 6. Determinemos a aproximação linear do volume do cilindro: V (r, h) = π r h. Como V (, 6)) = 4 π, V (r, h) = π r h r e V h (r, h) = π r ; então, numavizinhança doponto (, 6),temos: l(r, h) = 4 π(6 r + h 1). O volume de C 1 é V C1 = l(.1, 6.) = 7. π e o volume total é V = ( 7. π 4 π ) cm 3 = 3. π cm 3. Logo o custo aproximado é de π = cv. O argumento desenvolvido neste parágrafo se generaliza facilmente para mais de 3 variáveis: [4] Suponha que 4 resistores num circuito são conectados em paralelo; a resistência R do circuito é dada por: R(r 1, r, r 3, r 4 ) = ( ) 1. r 1 r r 3 r 4 Determine a linearização de R numa vizinhança do ponto (10, 0, 40, 10), onde os r i são medidosemohms. Seja x = (r 1, r, r 3, r 4 ): R (x) = (R(r 1, r, r 3, r 4 )), r 1 r 1 R (x) = (R(r 1, r, r 3, r 4 )), r 3 r 3 R (x) = (R(r 1, r, r 3, r 4 )), r r R (x) = (R(r 1, r, r 3, r 4 )). r 4 r 4

27 6.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 143 Logo, numa vizinhança do ponto (10, 0, 40, 10), temos: R(r 1, r, r 3, r 4 ) 1 11 (16 r r + r r 4 ). 6.7 Derivadas Parciais de Ordem Superior Seja f : A R R uma função tal que suas derivadas parciais existem em todos os pontos (x, y) A. As derivadas parciais são, em geral, funções de x e y e podemos perguntar se as derivadas parciais destas funções existem: x, y : A R R. Definição 6.9. As derivadas parciais de segunda ordem de f são definidas e denotadas por: ( ) (x, y) = lim S x x t 0 ( x y ) (x, y) = lim t 0 y x (x + t, y) (x, y) x t (x + t, y) (x, y) y t ( ) (x, y) = lim y x t 0 ( ) y y se os limites existem. As notações usuais são: (x, y) = lim t 0 x y (x, y + t) (x, y) x t (x, y + t) y t (x, y), ( ) f (x, y) = (x, y) x x x ( ) f (x, y) = (x, y) y x y x ( ) f (x, y) = (x, y) x y x y ( y y ) f (x, y) = (x, y) y

28 144 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS Exemplos 6.9. [1] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de: f(x, y) = x y 3. Primeiramente, calculamos as de primeira ordem: x = xy3 e y = 3 x y ; logo: f x = ( ) ( ) = xy 3 = y 3, x x x f y = ( ) ( = 3 x y ) = 6 x y, y y y f x y = ( ) ( = 3 x y ) = 6 xy, x y x f y x = ( ) ( ) = xy 3 = 6 xy. y x y [] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de: = f(x, y) = ln(x + y ). Primeiramente, calculamos as de primeira ordem: x = x x + y e y = y x + y; logo: f x = ( ) x x x + y f y = ( ) y y x + y f x y = x f y x = y ( ) y x + y ( ) x = x + y = (y x ) (x + y ), = (x y ) (x + y ), = 4xy (x + y ), 4 xy (x + y ).

29 6.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 145 Em geral, se f : A R n R é uma função tal que suas derivadas parciais existem em todos os pontos x A, definimos as derivadas parciais de segunda ordem de f da seguinte forma: ( x j ) (x) = lim x i t 0 x i (x + te j ) f x j x i (x). Logo, defini- se os limites existem. A notação é ( ) (x) = x j x i mos n funções: x j ( x i ) : A R n R. t x i (x), Se n = temos 4 derivadas parciais de segunda ordem e se n = 3 temos 9 derivadasparciaisde segunda ordem. Se i = j: ( ) f (x) = x i x i Analogamente, definimos as derivadas de ordem 3, 4, etc. Por exemplo, para i, j, k = 1...n: x i (x). 3 f x j x i x k (x) = x j ( f x i x k ) (x). Primeiramente, calculamos as de primeira ordem: Exemplos [1] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de: Calculemos as de primeira ordem: x = y z, y = xz e z = xy,logo: f(x, y, z) = xy z. f x = (y z) = 0, x f z = (xy) = 0, z f y = (xz) = 0, y f x y = (xz) = z, x

30 146 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS f x z = (xy) = y, x f y z = (xy) = x, y f y x = (y z) = z, y f z x = (y z) = y, z f z y = (xz) = x. z [] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de: Calculemos as de primeira ordem: x f x == y z sen(xy z), f y = x z sen(xy z), f z = x y sen(xy z), f x y = z cos(xy z) xy z sen(xy z), f x z = y cos(xy z) xy z sen(xy z), = y z cos(xy z), y f(x, y, z) = sen(xy z). = xz cos(xy z) e = xy cos(xy z); logo: z f y x = z cos(xy z) xy z sen(xy z), f y z = xcos(xy z) x y z sen(xy z), f z x = y cos(xy z) xy z sen(xy z), f z y = xcos(xy z) x y z sen(xy z). [3]Equaçãode Laplace: Seja u = u(x, y)uma funçãoduas vezesdiferenciável num conjunto aberto doplano. A equaçãode Laplaceé: u x + u y = 0. A equação de Laplace está associada a fenômenos estacionários, isto é, independentes do tempo, como por exemplo potenciais eletrostáticos. As soluções desta equação são chamadas funções harmônicas. A função u(x, y) = sen(x) e y éharmônica. De fato: u = sen(x) ey e x u y = sen(x) ey.

31 6.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Figura 6.17: Curvasde nívelda função u(x, y) = sen(x) e y. [4] Equação da onda: Seja u = u(x, t) uma função duas vezes diferenciável num conjunto abertodo plano. A equaçãohomogênea da ondaé: u t = u c x, onde c > 0 (c é chamada a velocidade de propagação da onda). u(x, t) descreve o deslocamento vertical de uma corda vibrante. A função : u(x, t) = (x + c t) n + (x c t) m, satisfaz à equaçãoda onda. De fato. n, m N u x = m (m 1) (x c t)m + n (n 1) (x + c t) n, u t = c (m (m 1) (x c t) m + n (n 1) (x + c t) n ). Figura 6.18: Gráfico de z = u(x, t) para c = 1 6, n = m = 3.

32 148 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS Analogamente, a função: sen(x + c t) + cos(x c t) u(x, t) = satisfaz àequaçãoda onda. De fato. u x = 1 (sen(x + c t) + cos(x c t)), u t = c (sen(x + c t) + cos(x c t)). Figura 6.19: Gráfico de z = u(x, t) para c =. Definição A função f : A R é de classe C quando existem as derivadasparciaisaté a segunda ordem em todos os pontos de Aeasfunções são contínuas, para todo i, j. ( ) : A R n R x j x i Notamos que nos exemplos estudados sempre verificamos que: x j ( x i ) = x i ( x j ). Isto é consequencia do seguinte teorema. Teorema 6.3. (Schwarz) Se f : A R n R é uma função de classe C no ponto x 0 A, entãopara todo i, j = 1...ntem-se: x j ( x i (x 0 ) ) = x i ( x j (x 0 ) )

33 6.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 149 Para a prova veja oapêndice. Exemplos 6.3. xy (x y ) se (x, y) (0, 0) Consideremos afunção: f(x, y) = x + y 0 se (x, y) = (0, 0). Figura 6.0: Gráfico de f. Se (x, y) (0, 0), f(x, y) possui derivadas parciais de todas as ordens; em (0, 0)asderivadasparciaisde f(x, y)existem e sãotodas nulas: x = y (x4 y 4 + 4x y ) (x + y ) e y = x (x4 y 4 4x y ) (x + y ). Para todo y 0, f(0, y) = 0, (0, y) = y, (0, y) = 0 e: x y f (0, y) = 1, x y Logo, a funçãonãoédeclasse C. Observações 6.5. f (0, y) = 0. y x 1. Em geral, as funções "bem comportadas", como as polinomiais, exponenciais e a maioria das funções utilizadas neste livro são de classe C.. A seguir apresentamos os gráficos e as curvas de nível da função de classe C :

34 150 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS f(x, y) = (x y ) e (x +y ) e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem mistas, respectivamente: Figura 6.1: Gráficos de f e x, respectivamente. Figura 6.: Gráficos de y e f x y, respectivamente.

35 6.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Figura 6.3: Curvas de diversos níveis de f e , x 1 respectivamente Figura 6.4: Curvas de diversos níveis de -1 y e 0 f, x y 1 respectivamente. O teorema de Schwarz também é valido para derivadas mistas de ordem superior a dois. De fato, se as terceiras derivadas de f são contínuas (f de classe C 3 ), temos: 3f f 3f f = = =. x x y x x y x y x x y x Por outro lado, fazendo g = : x 3f g g 3f = = =. x y x x y y x y x x Fica como exercício determinar as outras igualdades. Em geral, f é de classe C k (k 1), no conjunto aberto A se as derivadas parciais até ordem k existem e são contínuas em A. f e de classe C se é de classe C k para todo k 1.

36 15 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS 6.8 Regra da Cadeia Teorema 6.4. Se n =, z = f(x, y) é uma função de classe C 1, x = x(r, s) e y = y(r, s)sãofunções taisque suasderivadasparciaisexistem, então: z r = z x x r + z y y r e z s = z x x s + z y y s z x y r s r s Figura 6.5: A regra da cadeiapara n =. Emparticular, se x = x(t) e y = y(t)sãoderiváveis, então: dz dt = z x dx dt + z y dy dt z x y t Figura 6.6: Casoparticular daregra da cadeiapara n =. Se n = 3, w = f(x, y, z)éumafunçãodeclasse C 1, x = x(r, s, t), y = y(r, s, t) e z = z(r, s, t) sãotaisque asderivadasparciaisexistem, então: w r = w x x r + w y y r + w z z r, w s = w x x s + w y y s + w z z s e w t = w x x t + w y y t + w z z t

37 6.8. REGRA DA CADEIA 153 w x y z r s t r s t r s t Figura 6.7: Aregra dacadeia para n = 3. Em particular, se x = x(t), y = y(t) e z = z(t) sãoderiváveis, então: w x z y t Figura 6.8: Casoparticular da regra da cadeiapara n = 3. dw dt = w x dx dt + w y dy dt + w z dz dt Exemplos [1] Calcule dw dt se w = f(x, y, z) = xy z onde x = x(t) = t, y = y(t) = t e z = z(t) = t 4. dw dt = w x dx dt + w y dy dt + w z w x = y z = t t4 = t 5, w y = xz = t t 4 = t 6 e w z = xy = t t = t 3. Por outro lado, temosque dx dy = t, dt dt = 1eSdz dt = 4 t3 ; então; dw dt = t6 + t t 6 = 7 t 6. Observe que podemos obter o mesmo resultado fazendo a composição das funções: dz dt, w = f(t, t, t 4 ) = t t t 4 = t 7, então dw dt = 7 t6.

38 154 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS Pode explicar por que isto ocorre? []Seja w = f(x, y, z) = x + y + z, se: x(ρ, α, θ) = ρ sen(α) cos(θ), y(ρ, α, θ) = ρ sen(α) sen(θ) z(ρ, α, θ) = ρ cos(α). e Calcule w ρ, w α e w θ. w ρ = w x x ρ + w y y ρ + w z z ρ = = xsen(α) cos(θ) + y sen(α) sen(θ) + 4 z cos(α); logo, utilizandoadefiniçãodasfunções x, y e z temos: w ρ = ρ sen (α) ( cos (θ) + sen (θ) ) + 4 ρ cos (α) = ρ + ρ cos (α). Comoantes, se fazemos w = f(ρ, α, θ) = ρ + ρ cos (α),obtemos: w ρ = ρ + ρ cos (α), w α = ρ cos(α) sen(α) e w θ = 0. [3] Em um instante dado, o comprimento de um lado de um triângulo retânguloé10 cmecresceàrazãode 1 cm/seg;ocomprimentodooutroladoé 1 cmedecresceàrazãode cm/seg. Calculearazãodevariaçãodamedida doânguloagudoopostoaoladode 1 cm,medidoemradianos, noinstante dado. y θ x Figura 6.9: Exemplo[3].

39 6.8. REGRA DA CADEIA 155 Sejam x = x(t) e y = y(t) os lados no instante t e θ = arctg ( y x) o ângulo em questão; pela regra da cadeia: dθ dt = θ x dx dt + θ y dy dt = y dx x + y dt + x x + y dy dt ; temos x = 10, dx dy = 1; y = 1, =, pois y decresce. Substituindo dt dt estes valores na expressão anterior dθ dt = 8 ; logo, decresce à razão de rad/seg. [4] A resistência R, em Ohms, de um circuito é dada por R = E I, onde I é a corrente em ampères e E é a força eletromotriz, em volts. Num certo instante,quando E = 10voltse I = 15ampères, E aumentanumavelocidade de 0.1 volts/seg e I diminui à velocidade de 0.05 ampères/seg. Determine a taxa de variaçãoinstantânea de R. Como R = R(E, I) = E. Sejam E = E(t) a força eletromotriz no instante t I e I = I(t) acorrente noinstante t. Pelaregra dacadeia: dr dt = R E de dt + R I di dt = 1 I de dt + [ E I ] di dt. Temos E = 10, de di = 0.1, I = 15, = 0.05,pois I decresce. Substituindo dt dt estes valores na expressão anterior: dr dt = 1 30 Ohm/seg. [5] A lei de um gás ideal confinado é P V = k T, onde P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura e k > 0 constante. O gás está sendo aquecido à razão de graus/min e a pressão aumenta à razão de 0.5 kg/min. Se em certoinstante,atemperaturaéde 00grauseapressãoéde 10 kg/cm,ache a razãocom que varia ovolume para k = 8. Escrevemos ovolume dogásem função dapressão eda temperatura: V (P, T) = 8 T P = 8 T P 1. Sejam P = P(t) a pressão do gás no instante t e T = T(t) a temperatura do gásno instante t. Pela regra dacadeia eusandoque dt dp = e dt dt = 0.5:

40 156 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS dv dt = V T dt dt + V P dp dt = 4 P (4 T P ). Como T = 00eP = 10, substituindo estesvalores na expressãoanterior: dv dt = 3 5 cm3 /min. Ovolume decresce à razãode 3 5 cm3 /min. [6] De um funil cônico escoa água à razão de 18 πcm 3 /seg. Se a geratriz faz com o eixo do cone um ângulo α = π, determine a velocidade com que 3 baixaoníveldeáguanofunil,nomomentoemqueoraiodabasedovolume líquidoéigual a 6 cm. r h α Figura 6.30: Funil. Sejam r = r(t) o raio do cone no instante t, h = h(t) a altura do cone no instante t. O volume docone é V (r, h) = r hπ dh. Devemoscalcular 3 dt. sabemos que: dv dt = V r dr dt + V h dh dt = π ( dr rh 3 dt + rdh ) ; dt dv dt = 18π e tg(α) = r/h, logo r = h tg(π/3) = 3he dr dt = 3 dh dt e: 18 π = π 3 Logo, temos dh dt = 18 r = 1 cm/seg. [7] Suponha que z = f ( bx ) é diferenciável, a, b R. Então, f satisfaz à equação: ( dr rh dt + rdh ) = π r dh dt dt. a y3 3

41 6.8. REGRA DA CADEIA 157 a y z x + bx z y = 0. De fato, seja u = bx a y3 ; então, z = f(u). Pela regra da cadeia: 3 z x = dz u du x = f z (u) bx e y = dz u du y = f (u) a y ; logo, a y z z + bx x y = f (u) (a bxy a bxy ) = 0. [8] Equação da onda: Seja u = u(x, t) de classe C. A equação homogênea da onda édadapor: u t = u c x, A solução (chamada de d Alambert) desta equação é dada por: u(x, t) = f(x + c t) + g(x c t), onde f e g são funções reais de uma variável duas vezes diferenciáveis. De fato, pela regra da cadeia: u x = f (x + c t) + g (x c t) ou seja: e u t = c (f (x + c t) + g (x c t)), u t = c u x.

42 158 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS 6.9 Exercícios 1. Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: (a) z = x y xy (b) z = x 3 y 3 (c) z = x y 3 3 x 4 y 4 (d) z = arctg(x + y) (e) z = sec(x y) (f) z = senh( xy) (g) z = xy x + y (h) z = x y x + y 1 (i) z = x + y (j) z = tg( 4 y x ) (k) z = arcsec( x y 3) (l) z = cos(xy 4 ) (m) w = xy z + z sen(xy z) (n) w = e xyz (o) w = x + y + z x + y + z (p) w = arctg(x + y + z) (q) w = arcsec(xy z) (r) w = argsenh(xy z) (s) w = x y 3 z 4 (t) w = cos(xy + z x) (u) w = 6 xy z (v) w = ln(x y 3 z 4 ) (w) w = xy + z x 1 + x + y 3 z 4 (x) w = sen(ln(xy z )) (y) w = e x y 3 z 4 (z) w = cos(ln(xy z )). Seja w x + w y + w z àequação: = 0. Verifique se as seguintes funções satisfazem (a) w = e x y +cos(y z)+ z x (b) w = sen(e x + e y + e z ) (c) w = ln(e x + e y + e z ) (d) w = cos(x + y + z ) 3. Ligando-se em paralelo n resitências R 1, R,..., R n a resistência total R édada por Verifique que: R R i = ( R R i ). 1 n R = 1. R i i=1

43 6.9. EXERCÍCIOS Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f no ponto P se: (a) z = x + y, P = (1, 1, f(1, 1)). (b) z = x y, P = (0, 0, 0). (c) z = x + 4 y, P = (, 1, f(, 1)). (d) z = x y + y 3, P = ( 1,, f( 1, )).. x (e) z = P = (3, 4, f(3, 4)). x + y, (f) z = sen(xy), P = (1, π, 0). (g) z = x + 4 y, P = (3,, 5). 5 (h) z = 4 xy, P = (,, f(, )). x + y (i) z = xe x y, P = (,, f(, )). (j) z = 3 x 3 y xy, P = (1, 1, f(1, 1)). (k) z = 1, P = (1, 1, f(1, 1)). xy (l) z = cos(x) sen(y), P = (0, π, f(0, π )). 5. Determine o plano tangente ao gráfico de z = xy que passa pelos pontos (1, 1, )e( 1, 1, 1). 6. Determineoplanotangenteaográficode z = x +y quesejaparalelo aoplano z x y = Verifique que o plano tangente ao gráfico de z = x y na origem intersecta o gráfico segundo duas retas. 8. Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados: (a) f(x, y) = sen(xy), (0, 1). (b) f(x, y, z) = 4 x + y + z, (1, 0, 0). (c) f(x, y, z) = xy z, (1, 1, 1).

44 160 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS (d) f(x, y, z) = (xy) z, (1, 10, 1). (e) f(x, y, z) = xy 3 + cos(π z), (1, 3, 1) (f) f(x, y, z) = x y z + xy z, (1, 1, 0) 9. Calcule,aproximadamente: (a) (b) (c) (.003) 3 cos((1.00) π). (d) ( ) (e) (f) cos(1.0001π). 10. Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de: (a) z = x 3 y x y + 5 xy x (b) z = xcos(xy) y sen(xy) (c) z = cos(x 3 + xy) (d) z = arctg(x xy) (e) z = e x +y (f) w = x y 3 z 4 (g) w = cos(x + y + z) (h) w = x 3 y z + (x + y + z) (i) w = x3 y 3 x + y 3 (j) w = e xyz (k) w = log 4 (x + y z + xy z) (l) w = e xy z Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace: (a) f(x, y) = e x cos(y). (b) f(x, y) = ln( x + y ). f x + f y = 0. (c) f(x, y) = arctg ( y x ), x > Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensão 3: f x + f y + f z = 0.

45 6.9. EXERCÍCIOS 161 (a) f(x, y, z) = x + y z. (b) f(x, y, z) = e 3x+4y cos(5z). 13. Usando a regra da cadeia para z = f(x, y) e w = f(x, y, z), calcule dz dt e dw dt : (a) z = x + y, x = sen(t),, y = cos(t) (b) z = arctg( y ), x = ln(t), y = et x (c) z = tg( x ), x = t, y = et y (d) z = e xy, x = 3t + 1, y = t (e) z = x cos(y) x, x = t, y = 1 t (f) z = ln(x) + ln(y) + xy, x = e t, y = e t (g) w = xyz, x = t, y = t 3, z = t 4 (h) w = e x y sen(z), x = t, y = t, z = 3t (i) w = x + y + z, x = e t, y = e t cos(t), z = e t sen(t) x + y (j) w = 1 + x + y + z, x = cos(t), y = sen(t), z = et (k) w = x + y + z x + y + z, x = cos(t), y = sen(t), z = et (l) w = (x y ) ln( z 3 x y), x = cosh(t), y = senh(t), z = t 14. Usandoaregra da cadeiapara z = f(x, y)ew = f(x, y, z),calcule: z t, z s e w t, w s e w r. (a) z = x y, x = 3t s, y = t + s (b) z = e y x, x = s cos(t), y = 4s sen(t) (c) z = x + y, x = cosh(s) cos(t), y = senh(s) sen(t) (d) z = x y, x = s t, y = st (e) z = cosh( y x ), x = 3t s, y = 6te s

46 16 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS (f) ) z = 1 + x + y, x = se t, y = se t (g) z = arcsen(3x + y), x = s, y = sen(st) (h) w = xe y, x = arctg(rst), y = ln(3rs + 5st) (i) w = x + y + z, x = rcos(s), y = rsen(t)sen(s), z = rcos(t) (j) w = x + y + z, x = tg(t), y = cos(r), z = sen(s) (k) w = xy + yz + zx, x = tr, y = st, z = ts (l) w = log 5 (xy + yz + zx), x = t r, y = st, z = t s 15. Se o raio r e a altura h de um tanque cônico decrescem à razão de 0.3 cm/h e 0.5 cm/h respectivamente, determine a razão de decrescimentodovolume dotanquequando r = 6 cmeh = 30 cm. 16. Numcertoinstante,aalturadeumconeé30 cmeoraiodabaseé0 cm ecresce àrazãode 1 cm/seg. Qualéavelocidadecomqueaaltura aumentano instante em queovolume cresce àrazãode π cm 3 /seg? 17. Considere a lei de um gás ideal confinado, para k = 10. Determine a taxa de variação da temperatura no instante em que o volume do gás é de 10 cm 3 e o gás está sob pressão de 8 din/cm, sabendo que o volume cresce à razão de cm 3 /seg e a pressão decresce à razão de 0.1 din/cm. 18. Se z = f(x, y)édiferenciável, x = rcos(θ) e y = rsen(θ), verifique: z x = z z sen(θ) cos(θ) r θ r e z y = z r sen(θ) + z θ cos(θ). r 19. Sejam f(x, y)eg(x, y)funções diferenciáveistais que: x = g y e y = g x. Se x = rcos(θ), y = rsen(θ) verifique que: r = 1 g r θ e g r = 1 r θ.

47 6.9. EXERCÍCIOS Verifique quese w = f(x, y, z)édiferenciável e homogênea degrau n, então: x x + y y + z z = nf(x, y, z).

48 164 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS

49 Capítulo 7 DERIVADA DIRECIONAL 7.1 Introdução Suponha que estamos numa ladeira de uma montanha e desejamos determinar a inclinação da montanha na direção do eixo dos z. Se a montanha fosse representada pelo gráfico da função z = f(x, y), então, já saberíamos determinar a inclinação em duas direções diferentes, a saber, na direção do eixodos xutilizando (x, y)enadireçãodoeixodos yutilizando (x, y). x y Neste parágrafo veremos como utilizar derivada para determinar a inclinação em qualquer direção; para isto definimos um novo tipo de derivada chamada direcional. Este conceito generaliza o de derivada parcial, isto é, as derivadas parciais de uma função podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais. Definição 7.1. Sejam A R n aberto, f : A R n R uma função, x A e v um vetor unitário em R n. A derivada direcional de f no ponto x e na direção v é denotada por: e definida por: se o limite existe. v (x) f(x + t v) f(x) (x) = lim, v t 0 t 165

50 166 CAPÍTULO 7. DERIVADA DIRECIONAL Observações Se n = 3, A R 3 aberto, f : A R 3 R uma função, x = (x, y, z) Ae v = (v 1, v, v 3 ) um vetor unitário em R 3.. Aderivadadirecionalde f noponto (x, y, z)enadireção védenotada por: (x, y, z)edefinidapor: v f(x + t v 1, y + t v, z + t v 3 ) f(x, y, z) (x, y, z) = lim v t 0 t se o limite existe. 3. Analogamente para n = : se o limite existe. f(x + t v 1, y + t v ) f(x, y) (x, y) = lim v t 0 t Exemplos 7.1. [1] A função: x y se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 4 + y, 0 se (x, y) = (0, 0) não é contínua na origem. No entanto, as derivadas direcionais no ponto (0, 0)eem qualquerdireção v = (v 1, v ) existem. De fato: então: f ( (0, 0) + t (v 1, v ) ) f(0, 0) = f ( ) t v t v 1, t v = 1 v t v1 4 + ; v

51 7.1. INTRODUÇÃO 167 f ( (0, 0) + t (v 1, v ) ) f(0, 0) (0, 0) = lim v t 0 t v1 = lim v t 0 t v1 4 + v v1 se v 0 = v 0 se v = 0. []Calculeaderivada direcional de f(x, y) = x + y na direção (, ). (, ) Ovetor (, )não éunitário; logo v = (, ) = ( ) 1, 1 éunitário e: f ( t t x +, y + ) ( t ) ( t ) ; = x + + y + então, f ( t t x +, y + ) f(x, y) = t + t(x + y); logo, v = lim f ( x + t, y + ) t f(x, y) ( ) = lim t + (x + y) = (x + y). t 0 t t 0 [3]Calculeaderivada direcional de f(x, y, z) = xy z nadireção (1, 1, 1). (1, 1, 1) 3 O vetor (1, 1, 1)não é unitário; logo v = (1, 1, 1) = ( ) 1, 1, 1 é unitário. 3 Denote por (x 0, y 0, z 0 ) = ( 3 t 3t 3t x + 3, y + 3, z + ) ; logo: 3 f(x 0, y 0, z 0 ) = ( x + t 3) ( t 3)( t 3) y + z + ; então: f(x 0, y 0, z 0 ) f(x, y, z) = logo, 3t t (x + y + z) 3 + t 3(xy + xz + y z) ; 3 v = lim ( 3t t (x + y + z) 3 (xy + xz + xy) ) + + t (xy + xz + xy) =. 3

52 168 CAPÍTULO 7. DERIVADA DIRECIONAL A derivada direcional é a generalização natural das derivadas parciais. De fato, se v = e 1 = (1, 0, 0), então, a derivada direcional de f na direção v é a derivadaparcial de f emrelação a x: f(x + t, y, z) f(x, y, z) (x, y, z) = lim = (x, y, z). e 1 t 0 t x Analogamentese v = e = (0, 1, 0)e v = e 3 = (0, 0, 1): (x, y, z) = (x, y, z) e y e Adefiniçãopara n = éanáloga. (x, y, z) = (x, y, z). e 3 z Observações Notemos que na definição de derivada direcional o vetor v deve ser unitário. A razão disto é a seguinte: se o vetor não fosse unitário, a derivada direcional não dependeria somente do ponto e da direção, mas também do comprimento do vetor.. Para n =, v determina a direção do plano secante que intersecta o gráfico de f. Figura 7.1: 3. Pode acontecer que a derivada direcional de uma função num ponto numa certa direção exista e a derivada direcional da mesma função no mesmo ponto em outra direção não exista.

53 7.. DERIVADA DIRECIONAL COMO TAXA DE VARIAÇÃO Derivada Direcional como Taxa de Variação De forma análoga ao que ocorre com as derivadas parciais, a derivada direcional de f no ponto x A na direção v exprime a taxa de variação de f ao longo da reta: c(t) = x + t v ou, equivalentemente, a taxa de variação de f em relação à distância, no plano xy,na direção v. c(t) y 0 +t e v A y 0 e 1 x 0 x 0 +t Figura 7.: Novamente, a existência de todas as derivadas direcionais de uma função num ponto não garante a continuidade da função no ponto, pois, equivale a aproximar-se do ponto por retas. Exemplos 7.1. Opotencial elétriconuma região doespaçoédadopor: V (x, y, z) = x + 4 y + 9 z. Ache a taxa de variação de V no ponto (, 1, 3) e na direção de (, 1, 3) para a origem. O vetor (, 1, 3) não é unitário; logo, v = Então: f ( x+ t 14, y t, z + 3 t ) ( t ) ( = x+ +4 y (, 1, 3) (, 1, 3) = 1 14 (, 1, 3 ). t 14 ) +9 ( z + 3 t 14 ) ;

54 170 CAPÍTULO 7. DERIVADA DIRECIONAL e, f ( x+ t, y t, z+ 3 t ) 1 f(x, y, z) = t ( 89 t+ 14( x 4 y+7 z) ). Logo, v = lim Então: t 0 1 ( ) t + 14( x 4 y + 7 z) = ( x 4 y + 7 z) (, 1, 3) =. v 7 Se f é diferenciávelnoponto x 0,então, f possui todasasderivadasdirecionaisem x 0. Arecíproca é falsa. Procure exemplos. 7.3 Gradiente de uma Função Definição 7.. Sejam A R n aberto, x A e f : A R n R uma função tal que as derivadas parciais existem em x. O gradiente de f no ponto x é ovetor do R n denotado por f(x) e definidopor: f(x) = ( x 1 (x), x (x),..., x n (x) ). Observações Equivalentemente: f(x) = x 1 (x) e 1 + x (x) e x n (x) e n.. Se n = 3, A R 3 aberto, f : A R 3 R uma função, o ponto x = (x, y, z) Aogradiente de f noponto (x, y, z) édefinidopor: f(x, y, z) = ( (x, y, z), (x, y, z) (x, y, z)) x y z

55 7.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO Analogamente para n = : f(x, y) = ( (x, y), x y (x, y)). 4. A rigor f é uma função que associa a cada ponto x A R n um único vetor f(x) R n. Este tipo de função é chamado campo de vetores. O nome se justifica se expressarmos graficamente f do seguintemodo: emcadaponto x Adesenhamosumvetorcomorigem em x ecom ocomprimento edireção de f(x). A Figura 7.3: O gradiente como campo de vetores. Exemplos 7.. [1]Se f(x, y) = x + y ; então, f(x, y) = ( x, y). (x, y) f(x, y) f(x, y) (0, 0) (0, 0) 0 (1, 0) (, 0) (x, 0) (x, 0) x (0, y) (0, y) y (1, 1) (, ) (x, y) (x, y) (x, y)

56 17 CAPÍTULO 7. DERIVADA DIRECIONAL À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresce e fica igual a duasvezesadistância doponto à origem. Figura 7.4: Esboço de f e dascurvas denível de f. []Se f(x, y) = x y ; então, f(x, y) = ( x, y). (x, y) f(x, y) f(x, y) (0, 0) (0, 0) 0 (1, 0) (, 0) (x, 0) (x, 0) x (0, y) (0, y) y (1, 1) (, ) (x, y) (x, y) (x, y) À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresce ficando igual a duasvezesadistância doponto àorigem. Figura 7.5: Esboço de f e dascurvas denível de f.

57 7.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO 173 [3]Se f(x, y) = sen(x) sen(y); então: f(x, y) = (cos(x) sen(y), sen(x) cos(y)). Figura 7.6: Esboço de f edascurvas denível de f. [4]Se f(x, y, z) = x y + z, então: f(x, y, z) = ( x, y, z) e: f(x, y, z) = x + y + z. Figura 7.7: Esboço de f.

58 174 CAPÍTULO 7. DERIVADA DIRECIONAL Proposição 7.1. Se f é uma funçãode classe C 1, então: Para aprova, veja o apêndice. (x) = f(x) v v Se n =, qualquervetor unitário v pode serescrito na forma: onde θ éoângulodiretor de v. Logo: v = ( cos(θ), sen(θ) ), (x, y) = cos(θ) (x, y) + sen(θ) (x, y) v x y Exemplos 7.3. [1] Calcule as derivadas direcionais de z = f(x, y) = ln( x + y ) na direçãodovetor (1, 1). Oânguloformado por (1, 1)eoeixopositivo dos x é θ = π 4, logo: v (x, y) = cos(π 4 ) x x + y + sen(π 4 ) y x + y = ( x + y ). x + y [] Calcule as derivadas direcionais de w = f(x, y, z) = xy z na direção do vetor (1,, ). (1,, ) Consideremosovetor unitário v = (1,, ) = ( 1 3, 3, ) ; logo: 3 v (x, y, z) = ( y z, xz, xy ) (1 3, 3, ) y z + xz + xy =. 3 3 [3] Calcule as derivadas direcionais de w = f(x, y, z) = e x + y z na direção dovetor ( 1, 5, ). Ovetor ( 1, 5, ) nãoéunitário; logo v = 1 30 ( 1, 5, ). 1 (x, y, z) = (e x, z, y) ( 1, 5, ) = ex + 5 z y. v 30 30

59 7.4. OBSERVAÇÕES GEOMÉTRICAS SOBRE GRADIENTES Observações Geométricas sobre Gradientes Sejam f : A R n R uma função diferenciável tal que f 0, v um vetor unitário e α o ânguloformado por v e f. Então: f v = f v cos(α) = f cos(α); como cos(α)atinge o máximoem α = 0,então: v f. Note que, se α = 0, então, f e v são paraleloscom a mesmadireção. Se consideramos ovetor unitário v = f f, então, v = f f f = f f = f. Logo, temos aigualdade quandoderivamosna direçãode f. Proposição 7.. Se f 0, então: 1. Ataxamáximadecrescimentode f noponto x 0 ocorrenadireçãoeno sentido do gradiente. Analogamente, a taxa mínima de crescimento de f noponto x 0 ocorre na direçãocontrária a dogradiente.. Ovalor máximode v no ponto x 0 é f(x 0 ). 3. Se f(x) = 0,então, v = 0 para todo v. O gradiente de f no ponto x 0 indica a direção, no plano xy (Dom(f)), de maiorcrescimento de f numa vizinhança doponto x 0.