x = x 2 x x t = = méd Unidade no SI metro/segundo (m/s), mas é também bastante usado a unidade de quilômetro por hora (km/h).

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1 8 CAPÍTULO. MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO O moimento dos corpos é estudado pela Cinemática. Esta área da Física estuda os corpos considerando-os como pontos materiais. Qualquer corpo pode ser considerado como um ponto material, desde que tenha suas dimensões desprezíeis em relação às dimensões do moimento consideradas... Deslocamento A figura. mostra um carro na posição x no instante t e a posição do mesmo carro em x no instante t. A modificação da posição do carro, o deslocamento, é dada pela diferença x x. A letra grega (delta maiúsculo) indica a ariação de uma grandeza. Então a ariação de x se escree x : Unidade no SI: metro (m) x x. Figura.: Um carro desloca-se sobre uma reta que tem um ponto como origem, O. Os outros pontos são identificados pela distância x a O. Os pontos à direita de O têm coordenadas positias e os pontos à esquerda, negatias. Quando o carro passa do ponto x para o ponto x, o seu deslocamento é x x... Velocidade Média Se define como a razão entre o deslocamento e o interalo de tempo t t. méd x t. x t Unidade no SI metro/segundo (m/s), mas é também bastante usado a unidade de quilômetro por hora (km/h). O deslocamento e a elocidade podem ser positios ou negatios. Um alor positio mostra que o moimento ocorre no sentido do x positio. Na linguagem corrente, a elocidade média (elocidade escalar média) de um móel é a razão entre a distância total percorrida pelo móel e o interalo de tempo entre a partida e a chegada.

2 9 elocidade escalar distância total média tempo total (sempre positia). Exemplos -: Numa corrida de m, os primeiros 5m são cobertos com a elocidade média de m/s e os 5m restantes com a elocidade média de 8m/s. Qual a elocidade média do corredor sobre os m? Solução: méd méd +,5 s 8,89 m/s 5 5 s 5 6,5 s 8 Exemplo -: Imagine que ocê corra m em s e depois retorne ao ponto de partida caminhando 5m durante s. Calcule: a) A elocidade escalar média (sentido triial); b) A elocidade média definida pelo deslocamento. Figura. Solução: a) b) méd méd ( total) ,9 m/s,57 m/s.. Velocidade Média (Interpretação Geométrica) A elocidade média é o coeficiente angular (inclinação) da reta que passa pelos pontos (t,x ) e (t,x ), como ilustrado na figura..

3 4 Figura.: Gráfico de x contra t do moimento de uma partícula em uma dimensão. Cada ponto da cura corresponde à posição x num instante t. Entre as posições P e P traçamos um segmento de reta. O deslocamento x x e o interalo de tempo t t, entre os dois pontos, ficam bem identificados. O segmento de reta de P até P é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são e. A razão / é o coeficiente angular (inclinação) do segmento de reta. Em termos geométricos, o coeficiente angular é a medida da inclinação da reta. inclinação méd.4..4 Velocidade Instantânea É a elocidade da partícula num certo ponto. Se a partícula está num certo ponto, como pode ter uma elocidade? Para definir um moimento é preciso ter a posição de um corpo em dois ou mais instantes. Se considerarmos interalos de tempo cada ez mais curtos, entre um ponto e outro, do moimento, a elocidade média em cada um desses interalos se aproximam do coeficiente angular da tangente à cura no ponto P. A inclinação desta tangente é a elocidade instantânea em t. A elocidade instantânea é a deriada da posição quando tende a zero. dx.5 O moimento que possui elocidade constante é chamado de Moimento Uniforme. A inclinação de uma reta pode ser positia, negatia ou nula. Por isso, a elocidade instantânea (no moimento unidimensional) pode ser positia (x cresce com o tempo), ou negatia (x decresce com o tempo). O módulo (alor absoluto) da elocidade instantânea é a elocidade escalar instantânea.

4 4 Figura.4: Gráfico de x contra t. Veja a seqüência de interalos de tempo t t, t,..., cada ez menores. A elocidade média, em cada interalo, é a inclinação do segmento de reta correspondente ao interalo. Quando os interalos de tempo tendem a zero, esta inclinação tende para a inclinação da reta tangente à cura no ponto t. A inclinação (o coeficiente angular) corresponde à elocidade instantânea no instante t. Exemplo -: A posição de uma pedra que cai de um rochedo pode ser descrita, aproximadamente, por x 5t, em que x, em metros, é medida para baixo, a partir da posição inicial da pedra em t, e t está em segundos. Achar a elocidade em qualquer instante de tempo t. Solução: 5 5 t posição (m) 5 t 5 t tempo (s) Queremos calcular a elocidade da pedra num instante qualquer t. Para isso, deemos saber como deriar a equação da posição em relação ao tempo.

5 4 (t) dx (t) 5 t d (t) t ( 5t ) As deriadas, como se sabe, são calculadas facilmente mediante regras simples. Uma regra especialmente útil é Se x C t n, então..5 Aceleração Média dx A aceleração média é a taxa temporal de ariação da elocidade...6 Aceleração Instantânea n C n t.6 a.7 zero. A aceleração instantânea é a deriada da elocidade em relação ao tempo, quando tende a d a (t).8 O moimento que possui aceleração constante é chamado de Moimento Uniformemente Acelerado (ou ariado). Exemplo -4: O carro esportio BMW M pode acelerar, na terceira marcha, de 48, km/h até 8,5 km/h em apenas,7s. a) Qual a aceleração média deste carro em m/s? b) Se o carro mantier esta aceleração durante outro segundo, que elocidade atingirá? Solução: a) b) 48, km/h 8,5 km/h a,4 -,4,7 m,4 m/s,4 m/s,4 m/s + a t,4 +,4 4,8 m/s

6 Exemplo -5: Para o gráfico abaixo responda as seguintes perguntas: a) Em que instantes as acelerações dos corpos são positias, negatias ou nulas? b) Em que instantes as acelerações são constantes? c) Em que instantes as elocidades instantâneas são nulas? 4 Moimento Amortecido posição (m) tempo (s) Solução: a) Positia (a>): de s a s; de 6s a 8s Negatia (a<): de s a 6s; de 8s a 9s Nula(a): s; 6s; 8s. b) A aceleração depende do tempo. c) Velocidade nula ( ) : s; 6s; 8s. Se o moimento for uniformemente acelerado, ou seja, a aceleração for constante, ale a seguinte relação para a elocidade média: ( ).9 méd + A elocidade em função da posição pode ser obtida atraés da expressão: + a. Graficamente podemos resumir os dois tipos de moimento estudados da seguinte maneira:

7 44 Moimento Uniforme: x a x x x + t t t a t Moimento Uniformemente Acelerado: x a x x + t + at t t t + a t a(t) a Exemplo -6: Num tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado do repouso, com uma aceleração de 5,. m/s, durante,5 µs ( µs -6 s ). O elétron, então se desloca, com elocidade constante, durante, µs. Finalmente chega ao repouso com uma aceleração de -,67. m/s. Que distância o elétron percorre? Solução: t t,5µs t,45µs t

8 Primeiro interalo de tempo: t t t,5 5, m / s 6 a (o elétron parte do repouso) Cálculo de : s 45 + a 6 ( 5, m / s ) (,5 s) 5 8, m / s Cálculo de : + 5, 6, a m ( ) m / s ou 6 (,5 s) 6, cm Segundo interalo de tempo: Se a elocidade é cons tan te a t t 8,, 5 m / s 6 s Cálculo de : a t + ( ) 5 6 ( 8, m / s) (, s),6 m ou 6cm Terceiro interalo de tempo: a 5 8, m / s ( elétron retorna ao repouso),67 Cálculo de : m / s

9 46 Cálculo de : + a a, 6 s 8,,67 5 m / s m / s m ( ) [( ) ( )] ( m / 6,67 s ) 8, m / s, s ( 6 +, s ), a + m Distância total percorrida pelo elétron: ou,cm total total +, cm + Exemplo -7: A posição de uma partícula é dada por x Ct, onde C é uma constante com as unidades de m/s. Achar a elocidade e a aceleração em função do tempo. Solução: dx d x Ct a d 6Ct. Moimento em Duas e Três Dimensões.. Vetor Posição O etor posição de uma partícula é um etor com a origem na origem do sistema de coordenadas xy e a extremidade no ponto da posição xy da partícula. Então, se a posição for no ponto (x,y), o etor posição r é r xi + yj. A figura.5 mostra a trajetória da partícula. (Não confundir a trajetória com o gráfico de x contra t que imos anteriormente). No instante t a partícula está em P, com o etor posição r. Em t, a partícula chegou a P e o seu etor posição é r. A ariação de posição da partícula é o etor deslocamento r r r r. Do moimento em uma dimensão sabemos que x x + x t + (/)a x t e que y y + y t + (/) a y t. Logo, a equação. pode ser reescrita como

10 r(t) x r(t) ( x i + y j) + ( i + j) t + ( a i + a j) t + x t + a x x t i + y y + y t + x a y y t j 47 onde, e finalmente, r x i + y j x i + a a i + a j x y y j. r(t) r + t + at.4 Figura.5: O etor deslocamento r é a diferença entre os etores posição, r r r. Ou então, r é o etor que somado a r lea ao etor posição r... Vetores Velocidade Média e Instantânea média A razão entre o etor deslocamento e o interalo de tempo t t é o etor elocidade media r.5 Esse etor tem direção coincidente com a do deslocamento. O módulo do etor deslocamento é menor do que a distância percorrida sobre a trajetória, a menos que a partícula se desloque em linha reta. Porém, se considerarmos interalos cada ez menores, o módulo do deslocamento se aproxima cada ez mais da distância percorrida sobre a cura e a direção de r se aproxima da direção da reta tangente à cura no ponto inicial do interalo (figura.6).

11 48 Figura.6: À medida que os interalos de tempo ficam menores, o etor deslocamento se aproxima da tangente à cura. O etor elocidade instantânea é a deriada temporal do etor posição. dr d (t) r (t) + at + t + at.6 Exemplo -8: Um barco a ela tem coordenadas (x, y ) ( m, 8 m) no instante t 6 s. Dois minutos depois, no instante t, as suas coordenadas são (x, y _ ( m, 5 m). (a) Achar a elocidade média sobre este interalo de dois minutos. Dar med em termos das componentes cartesianas. (b) Determinar o módulo e a direção desta elocidade média. (c) Quando t s, a posição do barco, em função do tempo, é x(t) m + [(/6) m/s]t e y(t) m + (8 m.s)t -. Determinar a elocidade instantânea num instante qualquer t além de s. Solução: As posições inicial e final do barco a ela aparecem na figura acima. (a) O etor elocidade média aponta da posição inicial para a final. (b) As componentes da elocidade instantânea se calculam pela equação.4. (a) As componentes x e y do etor elocidade média se calculam diretamente a partir das respectias definições:

12 x x m m s x,med y,med y y med,67 m / s 5m 8m,8 m / s s (,67m / s) i (,8m / s) j (b). O módulo de med se calcula pelo teorema de Pitágoras. A direção é dada por ( ) + ( ),99 m / s med x,med y,med,8m / s θ arctg,67m / s Como o etor elocidade encontra-se no quarto quadrante, temos θ (c) Determina-se a elocidade instantânea pelo cálculo das deriadas de x e y em relação ao tempo:.. O Vetor Aceleração (t) 6 m / s dx i + i dy j ( 8m s) t j O etor aceleração média é a razão entre a ariação do etor elocidade instantânea e o interalo de tempo a méd.7 O etor aceleração instantânea é o limite dessa razão quando tende a zero. Em outras palaras, é a deriada da elocidade em relação ao tempo: d a lim.8 t Para calcular a aceleração instantânea é coneniente exprimir em função da deriada da posição em relação ao tempo: d d x a lim.9

13 5 Exemplo -9: A posição de uma bola arremessada é dada por r(t),5m i + m / s i + 6m / s j t 4,9m / s j t. Determinar a elocidade e a aceleração. ( ) Solução: As componentes x e y da elocidade são determinadas por simples deriação dx d x [,5m + ( m / s) t] m / s Assim, na notação etorial y y (t) [( 6m / s) t ( 4,9m / s ) t ] dy d 6m / s ( 9,8m / s )t ( m / s) i + [ 6m / s ( 9,8m / s ) t] j Se deriarmos as equações acima outra ez, chegamos à aceleração Assim, na notação etorial a a x y d d. Leis de Newton.. Primeira Lei de Newton x y d d ( m / s) [ 6m / s ( 9,8m / s ) ] t 9,8m / s a(t) 9,8m / s Um corpo em repouso permanece em repouso a menos que sobre ele atue uma força externa. Um corpo em moimento desloca-se com elocidade constante a menos que sobre ele atue uma força externa. j.. Segunda Lei de Newton A aceleração de um corpo tem a direção da força externa resultante que atua sobre ele. É proporcional ao módulo da força externa resultante e inersamente proporcional à massa do corpo. F res a Fres ma. m A força externa resultante é a soma de todas as forças que atuam sobre o corpo F F res, logo F Fres ma... Terceira Lei de Newton As forças sempre atuam aos pares de forças iguais porém opostas. Se um corpo A exerce uma força sobre outro B, este exerce sobre A uma força de mesmo módulo da primeira, porém com sentido oposto.

14 ..4 A Força da Graidade: O Peso 5 Quando um corpo cai nas proximidades da Terra, ele é acelerado para baixo. Desprezandose a resistência do ar, todos os corpos tem a mesma aceleração de queda que é a aceleração da graidade g (nas proximidades da Terra). A força que prooca essa aceleração é a força peso F P. Sendo m a massa do corpo, a segunda lei de Newton define a força peso como: Unidades de força: N ( kg) (m/s ) kg. m/s..5 Diagrama de Forças mg. F P O diagrama que mostra esquematicamente as forças que atuam sobre um sistema é um diagrama de forças. Exemplo -: Um caminhão descarrega olumes por uma rampa de roletes (um plano inclinado sem atrito). O ângulo da rampa é de θ em relação ao plano horizontal. Determinar a aceleração de um olume de carga m, que escorrega pela rampa, e calcular a força normal da rampa sobre ele. Solução: a) Diagrama de Forças b) Soma das forças em x e y Fx FP sen θ ma a gsen θ Fy FP cosθ + N N mgcosθ

15 5 Exemplo -: Um quadro, pesando 8 N, está suspenso por dois fios com as tensões T e T, como mostra a figura. Calcular o alor de cada tensão. Solução: a) Diagrama de Forças T T x y T cos T T sen T T T x y T cos 6 T T sen 6 T b) Soma das forças em x e y F x Tx Tx T T (I) Fy Ty + Ty mg T + T 8N (II) Substituindo (I) em (II), temos que: T 4 N T 6,9 N

16 .4 Atrito.4. Atrito Estático 5 Quando se aplica uma pequena força horizontal a uma grande caixa em forma de paralelepípedo que está sobre um piso, a caixa pode não se moer em irtude da ação de uma força de atrito estático, f s, exercida pelo piso, que equilibra a força aplicada A força de atrito estático, que sempre se opõe à força aplicada, pode ariar entre zero até um certo alor máximo, f s,max. A força de atrito máximo independe da área de contato e é proporcional à força normal exercida por uma das superfícies sobre a outra. Em geral, f N. s max µ s onde µ s é o coeficiente de atrito estático, que depende da natureza das superfícies em contato. Se a força horizontal exercida sobre a caixa for menor que f s,max, a força de atrito equilibra esta força horizontal f sn.4 s max µ Seja um corpo, inicialmente em repouso, apoiado em uma superfície não lisa sob a ação de uma única força F, paralela à superfície, e do atrito entre as superfícies. Aumentando o módulo da força F o módulo da força de atrito também aumenta até um certo limite, conhecido como força de atrito estático, quando, então, o corpo inicia o moimento. Após o corpo iniciar seu moimento, passa a existir uma noa força de atrito atuante, a força de atrito dinâmico ou cinético, com intensidade menor. A razão entre a força de atrito e a reação normal da superfície de apoio é uma constante denominada coeficiente de atrito (µ). Os coeficientes de atrito estático e dinâmico dependem dos tipos de superfícies em contato..4. Atrito Cinético Se a caixa for empurrada com bastante força, ela escorrega sobre o piso. Ligações entre as moléculas formam-se e rompem-se continuamente, e pequeninos fragmentos das superfícies são arrancados, conforme mostra a figura.7.

17 54 Caixa Superfície Figura.7 Este complicado efeito decorre do atrito cinético, f c, que se opõe ao moimento. Para manter a caixa deslizando com elocidade constante, é preciso exercer sobre ela uma força de módulo igual ao da força de atrito cinético, mas de direção oposta. Por definição, f c µ cn.5 onde µ c é o coeficiente de atrito cinético, e depende da natureza das superfícies em contato. Exemplo -: Plano Horizontal Vamos considerar que o bloco está em repouso sobre o plano horizontal (figura.8), e conseqüentemente, em equilíbrio com o bloco. N F at T P T P Figura.8: Forças que atuam num sistema formado por dois blocos conectados por um fio inextensíel. Atrito Estático: Para que não exista moimento, a resultante das forças que atua nos blocos dee ser nula, e o atrito entre o bloco e o plano dee ser máximo. Temos a seguinte distribuição de forças:

18 Bloco 55 T F N P at T F at N P () Bloco T P T () P Igualando as equações e, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito estático F µ.n P µ at s mg/ m g s / µ s m m Atrito Cinético: Aumentando-se a massa do bloco, o bloco entrará em moimento. Consideremos então, m > m, de forma que o bloco entre em MRUV. Consideremos que o moimento apresenta aceleração constante a. A força resultante que atua no sistema pode ser escrita, para cada bloco, como: Bloco T Fat N P Bloco m a T m a + F N m g at () P T m a (4) Igualando as equações e 4, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito cinético m a + µ m g m g c m a µ c m(g a) ma m g

19 56 Exemplo -: Plano Inclinado Vamos considerar que o bloco está em repouso sobre o plano inclinado (figura.9), e em equilíbrio com o bloco. T T N F at P P θ Figura.9: Forças atuantes num sistema de dois blocos unidos por um fio inextensíel, num plano inclinado. Atrito Estático: Quando o sistema estier parado, mas com tendência de que o bloco (com massa m ) se moa para baixo, o bloco tenderá a se moer no sentido ascendente, teremos as seguintes equações de moimento: Bloco T Fat P sen θ T µ sn + mg sen θ N Py N mg cos θ () Bloco T P T m g () Igualando as equações e, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito estático µ s. mg cos θ + mg sen θ mg µ s mg mg sen θ m g cos θ O mesmo ale se o bloco estier com tendência para se moer para cima. Atrito Cinético: Se considerarmos que o plano está inclinado de um certo ângulo θ, deido a atuação da força da graidade, o corpo é acelerado com uma aceleração gsenθ na direção do plano, onde g é a aceleração da graidade e θ a inclinação do plano. Se não desprezarmos a ação da força de atrito entre as superfícies de contato do corpo e o plano, e usando a segunda lei de Newton, teremos as seguintes possibilidades que são apresentadas a seguir.

20 57 Considerando-se o moimento do bloco no sentido ascendente (figura.9), ao longo do plano inclinado, deemos lear em consideração que agora a massa do bloco ( m ) é maior do que aquela necessária para manter o equilíbrio do sistema (m ). Podemos escreer: Bloco T Fat P sen θ ma T µ cn + mg sen θ + ma N P cos θ N mg cos θ () Bloco P T m a T m g m a (4) Igualando as equações e 4, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito cinético no moimento ascendente µ m g cos θ + m g sen θ + m a m c ( g a) µ c m ( g a) mg sen θ ma m g cos θ Ao analisarmos a situação na qual o mesmo corpo moimenta-se no sentido descendente (figura.9), ao longo do plano inclinado, deemos lear em consideração que agora a massa do " bloco ( m ) é menor do que aquela necessária para manter o equilíbrio do sistema (m ), e que a aceleração do sistema é a. Neste caso teremos as seguintes equações: Bloco P sen θ T F N P cos θ at m a N m g cos θ T m g sen θ µ N m a c (5) Bloco ( a g) T P m a T m + (6) Igualando as equações 5 e 6, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito cinético no moimento descendente m g sen θ µ cmg cos θ ma m ( a g) + µ c m θ g sen ma m m g cos θ ( a + g)

21 58 Exemplo -4: Um bloco está em repouso sobre um plano inclinado, conforme mostra a figura.. O ângulo de inclinação é lentamente aumentado até atingir um alor crítico, θ c, no qual o bloco principia a escorregar. Calcular o coeficiente de atrito estático µ s. Figura. a) Diagrama de Forças: b) Soma das forças em x e em y: Fx mgsen θc fs mgsen θc µ sn (I) Fy N mgcosθ mg c N cosθc (II) Substituindo (II) em (I), temos µ s sen θ cosθ c c tgθ c

22 59 Exemplo -5: A massa m da figura. foi escolhida de tal modo que o bloco de massa m está prestes a escorregar. (a) Se m 7 kg e m 5 kg, qual o coeficiente de atrito estático entre a superfície da prateleira e o bloco? (b) Com um pequeno empurrão, os dois blocos moimentam-se com aceleração a. Calcular a aceleração a se o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície for µ c,54. a) Diagrama de Forças: Figura. Soma das forças em x e em y para o sistema em equilíbrio estático: Bloco Fx T fs T µ F y N m g s N N m g Logo, combinando as duas equações T µ s m g Bloco F F x y Logo, T m g T m g T m g

23 6 Como a tensão nos dois blocos é a mesma, deemos ter: T T. Dessa forma, o coeficiente de atrito estático será m 5 µ s mg m g µ s,7 m 7 b) Sistema em moimento: µ s,7 Bloco Fx T fc ma T µ sn + ma Fy N mg N mg Logo, combinado as duas equações µ m g T s + m a Bloco F F x y Logo, T m g m a T m g m a T m g m a Como a tensão nos dois blocos é a mesma, deemos ter: T T. Dessa forma, a aceleração do sistema será m a + m g µ m g m a a ( m m ) m g µ m g a g c ( m µ cm) ( m + m ) c a,996 m /s

24 6 ª LISTA DE EXERCÍCIOS. Um carro faz uma iagem de km a uma elocidade média de 4 km/h. Um segundo carro, partindo, hora mais tarde, chega ao ponto de destino no mesmo instante que o primeiro. Qual é a elocidade média do segundo carro no interalo de tempo em que estee em moimento? R: 5 km/h. Uma partícula se moe sobre o eixo dos x de acordo com a equação x + t - t, onde x está em metros e t em segundos. Em t, s, achar (a) a posição da partícula, (b) a elocidade da partícula e (c) sua aceleração. R: (a), m ; (b)-, m/s ; (c), m/s. Um aião a jato aterrissa com elocidade de m/s e pode desacelerar à taxa máxima de -5, m/s até ficar em repouso. (a) A partir do instante em que toca na pista, qual é o interalo de tempo mínimo necessário para que atinja o repouso? (b) Esse jato poderia aterrissar no aeroporto de uma pequena ilha, com uma pista de,8 km? Justifique. R: (a) s ; (b) não 4. O gráfico abaixo apresenta duas retas, às quais correspondem ao moimento de dois automóeis. O que acontece no ponto em que estas duas retas se interceptam? Calcule a elocidade dos dois automóeis. R: A 8, m/s ; B 6,7 m/s B A posição (km) tempo (min) 5. Este gráfico representa o moimento de dois ciclistas. O ciclista A parte de Lages rumo a São Joaquim às h. No mesmo instante, o ciclista B parte de São Joaquim para Lages. Calcule a elocidade de cada um deles e o instante em que se encontram. R: A, km/h ; B, km/h ; encontro em t,5 horas. 5 Moimento Uniforme 4 A x (km) B 4 t (h)

25 6 6. Este gráfico mostra o espaço percorrido por um objeto em função do tempo. Calcule as diferentes elocidades (em metros por minuto) que o objeto apresenta ao longo do seu moimento. Calcule também sua elocidade média. R: < t < min: m/min min < t <,5 min:, m/min,5 min < t <, min: 5 m/min, min < t < 4 min: 4 7,4 m/min med m/min x (m) t (min) 7. Um trem parte do repouso e se moe com aceleração constante. Em um determinado instante, ele iaja a m/s, e 6 m adiante, trafega a 5 m/s. Calcule (a) a aceleração, (b) o tempo necessário para percorrer os 6 m mencionados, (c) o tempo necessário para atingir a elocidade de m/s e (d) a distância percorrida desde o repouso até o instante em que sua elocidade era de m/s. R: (a) 5, m/s ; (b) 4, s ; (c) 6, s ; (d) 9 m 8. Um carro se moendo com aceleração constante percorre, em 6, s, a distância entre dois pontos separados de 6, m. Quando passa pelo segundo ponto, sua elocidade é de 5, m/s. (a) Qual é a elocidade no primeiro ponto? (b) Qual é a aceleração? (c) A que distância do primeiro ponto o carro estaa em repouso? R: (a) 5, m/s ; (b),7 m/s ; (c) 7,5 m 9. Uma partícula moe-se com a elocidade 8t 7, com em m/s e t em segundos. (a) Calcular a aceleração média sobre interalos de um segundo, principiando em t s e em t 4s. (b) Traçar contra t. (c) Qual a aceleração instantânea em qualquer instante? R: a) a 8 m/s ; c) a 8 m/s em cada instante.. Um aião, para aterrissar num naio aeródromo, dispõe de 7m de pista. Se a elocidade inicial for de 6 m/s. (a) Qual dee ser a aceleração na aterrissagem, admitindo-se seja constante? (b) Quanto tempo lea o aião até parar? R: a) 5,7 m/s ; b), s. As coordenadas da posição de uma partícula, (x,y), são (m, m) no instante t s; (6m, 7m) em t s; e (m, 4m) em t 5s. (a) Calcular a elocidade média méd entre t s e t s. (b) Calcular a méd entre t s e t 5s. R: a) m,8 m/s; b) m, m/s. Uma partícula desloca-se no plano xy com aceleração constante. No instante inicial (t s) a partícula está em x 4m, y m e tem a elocidade ( m / s) i ( 9m /s)j. A aceleração é dada por a ( 4m / s) i + ( m /s)j. (a) Calcular o etor elocidade no instante t s. (b) Calcular o etor posição no instante t 4s. (c) Dar o módulo e a direção do etor posição.

26 R: a) (s) ( m / s) i ( m /s)j ; b) r(4s) ( 44m) î ( 9m)ĵ ; c) r 44,9m e θ, 56 6, com r em metros e t em segundos. Determinar, em função de t, os etores elocidade instantânea e aceleração instantânea. R: (t) i + ( 4 t) j e a(t) j a 6 i + 4 j m /s. No instante t, a elocidade é nula e o etor posição é r ( m)i. (a) Determinar os etores elocidade e posição em qualquer instante t. (b) Determinar a equação da trajetória da partícula no plano xy e desenhar esta trajetória. R: a) r(t) ( m) i + ( i + j) t e (t) ( 6 i + 4 j) t b) y x. Uma partícula tem o etor posição r t i + ( 4t 5t ) j 4. A aceleração constante de uma partícula é dada por ( ) 5. A posição r de uma partícula em moimento, num plano xy é dada por 4 r ( t 5t) i + ( 6 7t ) j. Com r em metros e t em segundos. (a) Encontre () t e a ( t). (b) Quando t s, calcule r() t, () t e a ( t). t r s 6, i R: a) () t (6, t 5,) i 8, t j ; a ( ), t i 84, t j ; b) ( ) 6, j ; ( s) 9, i 4, j ; a ( s) 4, i 6, j. 6. Um barco à ela desliza na superfície gelada de um lago, com aceleração constante produzida pelo ento. Em um determinado instante, sua elocidade é de 6, i 8,4 j, em metros por segundo. Três segundos depois, deido à mudança do ento, o barco para de imediato. Qual a sua aceleração média, durante este interalo de s? R: ( t) a - (, m/s ) i + (,8 m/s ) j. na 7. Em t, uma partícula que se moe no plano xy tem a elocidade ( i j) m / s origem. Em t s, sua elocidade é ( 9 i + 7 j) m / s (b) sua coordenada em qualquer instante t. R: a) ( i + j ) m/s ; b) (t + t ) i + (-t +,5t ) j.. Achar (a) a aceleração da partícula e 8. Ao aumentar a altitude em relação ao níel do mar, o alor da aceleração da graidade diminui de x - m/s para cada m de eleação. Calcule qual é seu peso (em newtons) ao níel do mar (g 9,86 m/s ) e sobre uma montanha de 48m. Considere uma massa de 7 kg. R: Ao níel do mar:686,4 N Na montanha: 685,4 N 9. Em Marte, onde a aceleração da graidade é de aproximadamente 4 m/s, um objeto pesa 4N. Calcule seu peso na Terra. R: 98 N. A massa de um objeto é de 7 kg na Terra. Calcule o peso (em newtons) quando ele se encontra numa astronae situada a uma distância do centro da Terra igual ao dobro do raio terrestre. Nesse local, a aceleração da graidade é de,45 m/s. R: 7,5 N. Um homem empurra um trenó, carregado com massa m 4 kg, por uma distância d, m, sobre a superfície sem atrito de um lago gelado. Ele exerce sobre o trenó uma força horizontal constante, com módulo F N. Se o trenó parte do repouso, qual a sua elocidade final? R:,58 m/s

27 64. Um caixote de massa m 6 kg está parado sobre a carroceria de um caminhão que se moe com uma elocidade km/h. O motorista freia e diminui a elocidade para 6 km/h em 7 s. Qual a força (suposta constante) sobre o caixote, durante esse interalo de tempo? Suponha que o caixote não deslize sobre a carroceria do caminhão. R:-4 N. Se um corpo de kg tem uma aceleração de, m/s, fazendo um ângulo de com o semieixo positio x, então, a) quais são as componentes x e y da força resultante sobre o corpo e b) qual a força resultante, em notação de etores unitários? R:,88 N;,68 N;,9 i +,7 j 4. Se o corpo de kg é acelerado por F (, N)i + (4, N) j e F (-, N)i + (-6, N) j, então, a) qual a força resultante, em notação de etores unitários, e b) qual o módulo e o sentido da força resultante? R:,i -,j ;, N; Suponha que o corpo de kg é acelerado a 4, m/s, fazendo um ângulo de 6 com o semieixo positio x, deido a duas forças, sendo uma delas F (,5 N)i + (4,6 N) j. Qual é a outra força em a) notação de etores unitários e b) módulo e sentido? R: - 6,6i -,j; 7,4 N; 7 6. Na caixa de, kg, da figura, são aplicadas duas forças, mas somente uma é mostrada. A aceleração da caixa também é mostrada na figura. Determine a segunda força a) em notação de etores unitários e b) em módulo e sentido. R: - i - j; 8, N; 5. Um armário de quarto com massa de 45 kg, incluindo gaetas e roupas, está em repouso sobre o assoalho.(a) Se o coeficiente de atrito estático entre o móel e o chão for,45, qual a menor força horizontal que uma pessoa deerá aplicar sobre o armário para colocá-lo em moimento? (b) Se as gaetas e as roupas, que têm 7 kg de massa, forem remoidas antes do armário ser empurrado, qual a noa força mínima? R: a) 98 N; b) N 6. Um disco de hóquei de g desliza cerca de 5 m sobre o gelo antes de parar. (a) Para uma elocidade escalar inicial de 6, m/s, qual é o módulo da força de atrito sobre o disco durante o deslizamento? (b) Qual o coeficiente de atrito entre o disco e o gelo? R: a), N; b), 7. Um agão aberto de trem está carregado com caixas que têm um coeficiente de atrito estático de,5 com o assoalho do agão. Se o trem se moe a 48 km/h, qual a menor distância em que pode ser parado, com uma desaceleração constante, sem proocar o deslizamento das caixas? R: 6, m

28 65 8. Dois blocos são ligados atraés de uma polia, conforme mostrado na figura. A massa do bloco A é de kg e o coeficiente de atrito cinético é,. O bloco A desliza para baixo sobre o plano com elocidade constante. Qual a massa de B? R:,7 kg Polia sem massa e sem atrito ) o A B 9. O bloco m na figura tem massa de 4, kg e m de, kg. O coeficiente de atrito entre m e o plano horizontal é,5. No plano inclinado não há atrito. Determine: (a) a tensão na corda e (b) a aceleração dos blocos. R: a) N; b),6 m/s Polia sem massa e sem atrito ) o m m µ,5 4. Um aluno deseja determinar os coeficientes de atrito estático e cinético entre uma caixa e uma prancha. Ele coloca a caixa sobre a prancha e lentamente ai leantando uma das extremidades. Quando o ângulo de inclinação faz com a horizontal, ela começa a deslizar, descendo a prancha cerca de,5 m em 4, s. Quais os coeficientes de atrito que o aluno deseja determinar? R: a),58; b),5 4. Um bloco de kg está sobre um outro de 5 kg, como mostra a figura ao lado. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de 5 kg e a superfície onde repousa é,. Uma força horizontal F é aplicada ao bloco de 5 kg. (a) Traçar o diagrama de forças de cada bloco. (b) Qual a força necessária para empurrar os dois blocos para a direita, com uma aceleração de m/s. (c) Achar o coeficiente de atrito estático mínimo entre os dois blocos, a fim de que o bloco de kg não escorregue com a aceleração de m/s. R: b) 4,7 N ; c),6 4. Os blocos A e B da figura ao lado pesam 44 N e N, respectiamente. (a) Determine o peso mínimo do bloco C para impedir que o bloco A deslize se µ c entre o bloco A e a mesa for de,. (b) O bloco C é remoido subitamente de cima do bloco A. Qual será a aceleração do bloco A se µ c entre A e a mesa for de,5? R: a) 66 N; b), m/s

29 66 4. Os três blocos da figura abaixo estão ligados por fios lees e flexíeis que passam por polias sem atrito, e possuem massas m kg, m 5 kg e m kg. A aceleração do sistema se direciona para a esquerda em m/s e as superfícies têm atrito. Achar (a) as tensões nos fios e (b) o coeficiente de atrito cinético entre os blocos e as superfícies (Admitir o mesmo µ para os dois blocos que escorregam.) R: a) 78, N e 5,9 N; b),655