Variáveis Aleatórias Discretas

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1 Costa, S.C. 1 Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estatística Variáveis Aleatórias Discretas Silvano Cesar da Costa Londrina - Paraná

2 Costa, S.C. 2 Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo: Um pesquisador desenvolveu uma nova técnica de inseminação artificial que, segundo ele, garante 60% de sucesso. Um fazendeiro resolveu aplicar esta nova técnica em seus animais. Para isso ele selecionou 3 animais de seu rebanho. Considere inicialmente, o experimento: aplicar a nova técnica de inseminação e observar o resultado. Sejam os eventos: E o animal emprenhar e Ē o evento o animal não emprenhar. a) Construir o espaço amostral associado a esse experimento; b) Calcular as probabilidades associadas a cada um dos elementos do espaço amostral; c) Considerar Y o número de animais prenhes e associar um valor y a cada um dos elementos do espaço amostral.

3 Costa, S.C. 3 Resultados Possíveis Probabilidades y E E Ē E EEE 0,216 3 Ē EEĒ 0,144 2 E EĒE 0,144 2 Ē EĒĒ 0,096 1

4 Costa, S.C. 4 Resultados Possíveis Probabilidades y Ē E E ĒEE 0,144 2 Ē ĒEĒ 0,096 1 Ē E ĒĒE 0,096 1 Ē ĒĒĒ 0,064 0

5 Costa, S.C. 5 Variável Aleatória Discreta Uma função definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num conjunto enumerável de pontos do conjunto real é dita uma variável aleatória discreta. Distribuição de uma Variável Aleatória O conjunto dos valores da variável e as respectivas probabilidades, ou seja, y i e P (y i ), i = 1,..., n é chamado distribuição da variável aleatória Y. n Observação: P (y i ) = 1. i=1 Costuma-se adotar, também, a notação P (Y = y i ) para designar a probabilidade de a variável aleatória Y assumir o valor y i. Portanto, a distribuição da variável aleatória (v.a.) Y é dada por:

6 Costa, S.C. 6 Tabela 1: Distribuição da variável aleatória Y = Número de animais prenhe. y P(Y=y) 0 0, , , ,216 cuja representação gráfica é apresentada na Figura 1.

7 Costa, S.C Probabilidades Número de Sucessos Figura 1: Gráfico das probabilidades de prenhez dos animais.

8 Costa, S.C. 8 Qual é a porcentagem esperada de : i) três animais emprenharem? ii) nenhum animal emprenhar? iii) pelo menos um animal emprenhar?

9 Costa, S.C. 9 Para elaborar a Tabela 1 e construir o gráfico usando o R, bastam os comandos: vacas = 0:3 prob_suc = 0.6 prenhe = data.frame(pr = dbinom(vacas, 3, prob_suc)) rownames(prenhe) = 0:3 cbind(prenhe) plot(vacas, dbinom(vacas, size=3, prob=prob_suc), xlab="número de Sucessos", ylab="probabilidades", main=, axes=f, type="h", col= blue ) points(vacas, dbinom(vacas, size=3, prob=prob_suc), pch=16,, col= blue ) axis(1, vacas) axis(2, seq(0, 0.45,.05), las=1) abline(h=0, col="gray", cex=2.5, lwd=2) box(bty= l )

10 Costa, S.C. 10 Função de Probabilidade A função que fornece as probabilidades de ocorrências dos valores que a variável aleatória pode assumir é chamada função de probabilidades. Exemplo: A função de probabilidades da variável Y ={ Número de animais prenhe} é dada por: P (Y = y) = ( ) 3 y 0, 3 y (1 0, 3) 3 y, y = 0,..., 3. em que ( ) 3 y = 3! y!(3 y)!

11 Costa, S.C. 11 Exercícios: Calcular P (Y = 0), P (Y = 1), P (Y = 2) e P (Y = 3), através da função de probabilidades e interpretar o resultado. Valor médio ou Esperança Matemática de Y Para responder sobre qual o número médio esperado de animais emprenhados? é necessário calcular o valor médio definido por: Dada a variável aleatória Y, assumindo os valores y 1, y 2,..., y n com as respectivas probabilidades P (y 1 ), P (y 2 ),..., P (y n ), chamamos valor médio ou esperança matemática de Y ao valor: µ Y = E(Y ) = n y i P (y i ) (1) i=1

12 Costa, S.C. 12 Exemplo: Para os dados da Tabela 1, calcula-se a esperança de Y como: y P (Y = y) y P (Y = y) 0 0, , , ,216 Total 1,000 Portanto, E(Y ) = animais emprenhados. animais em- Interpretação: Espera-se obter um número médio de prenhados.

13 Costa, S.C. 13 Propriedades da Esperança Matemática Supondo k uma constante e X e Y variáveis aleatórias, podemos definir as seguintes propriedades da esperança matemática: a) E(k) = k b) E(kX) = ke(x) c) E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ) d) E(X ± k) = E(X) ± k e) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então: E(XY ) = E(X)E(Y )

14 Costa, S.C. 14 Variância de Y Dada a variável aleatória Y, chamamos de variância de Y, ao valor: σ 2 Y = V (Y ) = Logo, para o exemplo dado: n i=1 [ y i E(Y )] 2 P (yi ). (2) y P (Y = y) [ ] 2 [ 2 y i E(Y ) y i E(Y )] P (Y = y) 0 0,064 3,24 0, ,288 0,64 0, ,432 0,04 0, ,216 1,44 0,31104 Total 1,000 0,72

15 Costa, S.C. 15 Portanto, V (Y ) = 0, 72. Assim, o Desvio Padrão e o Coeficiente de Variação são dados, respectivamente, por: σ Y = 0, e CV = σ Y µ Y 100 = 47, 14%. Uma maneira mais prática para o cálculo da variância de Y é: σ 2 Y = V (Y ) = E(Y 2 ) [ ] 2 E(Y ) em que E(Y ) = E(Y 2 ) = n i=1 n i=1 y i P (Y = y i ) y 2 i P (Y = y i )

16 Costa, S.C. 16 Logo, y P (Y = y) yi 2 yi 2 P (Y = y) 0 0, , , , , , , ,944 Total 1,000 3,960 Assim, V (Y ) = E(Y 2 ) [ E(Y ) ( ) 2 V (Y ) = 3, 96 1, 8 V (Y ) = 0, 72. ] 2

17 Costa, S.C. 17 Propriedades da Variância Supondo k uma constante e X e Y variáveis aleatórias, pode-se definir as seguintes propriedades para a variância: a) V (k) = 0 b) V (kx) = k 2 V (X) c) V (X ± Y ) = V (X) ± V (Y ) + 2 COV (X, Y ) d) V (X ± Y ) = V (X) ± V (Y ), se X e Y são independentes. e) V (X ± k) = V (X) f) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então: COV (XY ) = E(XY ) E(X) E(Y ) = 0. Obs.: O fato de COV (X, Y ) = 0 não implica que X e Y sejam independentes.

18 Costa, S.C. 18 Distribuição acumulada de uma variável aleatória O conjunto dos valores da variável e as probabilidades acumuladas até os respectivos valores, ou seja, y i e F (y i ) = P (Y y i ) i = 1, 2,..., n é chamada distribuição acumulada da variável aleatória Y. Obter a tabela de distribuição acumulada de probabilidades da variável aleatória Y ou distribuição acumulada de Y relativos à inseminação artificial dos apresentados na Tabela 1. y P (Y = y) F (y) = P (Y y) 0 0, , , ,216

19 Costa, S.C. 19 Distribuição acumulada de uma variável aleatória O conjunto dos valores da variável e as probabilidades acumuladas até os respectivos valores, ou seja, y i e F (y i ) = P (Y y i ) i = 1, 2,..., n é chamada distribuição acumulada da variável aleatória Y. Obter a tabela de distribuição acumulada de probabilidades da variável aleatória Y ou distribuição acumulada de Y relativos à inseminação artificial dos apresentados na Tabela 1. y P (Y = y) F (y) = P (Y y) 0 0,064 0, ,288 0, ,432 0, ,216 1,000

20 Costa, S.C. 20 Os valores completos da função de distribuição são os seguintes: 0 se y < 0; 0, 064 se 0 y < 1 F (y) = 0, 352 se 1 y < 2 0, 784 se 2 y < 3 1 se y > 3 cujo gráfico é apresentado na Figura 2

21 Costa, S.C Probabilidades Número de Sucessos Figura 2: Distribuição acumulada da prenhez dos animais. Interpretar o valor F (1) = P (Y 1) = P (Y = 0) + P (Y = 1).

22 Costa, S.C. 22 Exercício 1: Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0, 4. Para dois lançamentos independentes dessa moeda, estude o comportamento da variável número de caras e faça um gráfico de sua função de probabilidade. Exercício 2: Considere um pasto com 3 vacas da raça Holandesa e 5 vacas da raça Gir. Serão retirados do pasto 3 animais, através de sorteio e sem reposição. Defina a variável Y como sendo o número de animais da raça Gir. Pede-se: a) obter uma tabela contendo todos os possíveis resultados desse experimento e as probabilidades associadas a cada um deles; b) obter a distribuição da variável aleatória Y e um gráfico que a represente. Exercício 3: Seja Y a variável aleatória discreta número de óbitos observados mensalmente no Hospital Veterinário, cuja distribuição de probabilidades é dada por: y P (y) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1

23 Costa, S.C. 23 Pede-se: a) obter a função de distribuição acumulada F (y) para a variável aleatória Y e um gráfico que a represente; b) calcular o número médio de ovos; c) calcular: E(4Y ), E(Y + 1), E(Y 2 ) e a variância de Y; d) calcular V ar(2y ) e V ar(y + 1). Exercício 4: Em um experimento com chocadeira automática são colocados 5 ovos e observado o número de ovos eclodidos. Sabendo-se que teoricamente, 90% dos ovos eclodem, obter: a) a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y = {número de ovos eclodidos} e um gráfico que a represente; b) a probabilidade de pelo menos 3 ovos eclodirem; c) a esperança e a variância de Y.

24 Costa, S.C. 24 Principais Distribuições de Probabilidades Distribuição de Bernoulli; Distribuição Binomial; Distribuição de Poisson; Distribuição Geométrica; Distribuição Hipergeométrica; Distribuição Uniforme; Distribuição Binomial Negativa. Serão estudadas apenas as 5 primeiras.

25 Costa, S.C. 25 Distribuição de Bernoulli Nos experimentos de Bernoulli a o espaço amostral é composto por apenas dois resultados possíveis: sucesso (resultado de interesse) ou fracasso (resultado pelo qual não estamos interessados). Exemplos: a) Lançar uma moeda. Pode sair cara ou coroa; b) Inseminar um animal. Pode emprenhar ou não; c) Colocar uma estaca em um vaso com terra. Pode enraizar ou não; d) Plantar uma semente. Pode germinar ou não; a Jakob Bernoulli (Nascido em 27/12/1654 em Basel, Suíça e falecido em 16/08/1705), também conhecido como Jacob, Jacques ou James Bernoulli.

26 Costa, S.C. 26 Seja Y a variável aleatória número de sucessos e p a probabilidade de ocorrer sucesso. Assim, Resultados Possíveis Probabilidades y S (Sucesso) p 1 F (F racasso) 1 p 0 A distribuição de probabilidade de Y com distribuição de Bernoulli, com parâmetro p é dada por:

27 Costa, S.C. 27 Tabela 2: Distribuição da v.a. Y de Bernoulli. y P(Y=y) 0 1 p 1 p Total 1 Pode-se calcular a média desta distribuição utilizando-se a Equação (1). Assim: n µ Y = E(Y ) = y i P (Y = y i ) i=1 µ Y = E(Y ) = 0 (1 p) + 1 p µ Y = E(Y ) = p

28 Costa, S.C. 28 Da Equação (1), pode-se calcular a variância que é: Portanto, V (Y ) = n i=1 [ y i E(Y )] 2 P (Y = yi ) V (Y ) = (0 p) 2 (1 p) + (1 p) 2 p V (Y ) = p 2 (1 p) + p(1 p) 2 V (Y ) = p(1 p) E(Y ) = p Notação: Y Be(p). e V (Y ) = p(1 p) Função de Probabilidades: A função de probabilidades de uma distribuição de Bernoulli é dada por: P (Y = y) = p y (1 p) 1 y, y = 0, 1.

29 Costa, S.C. 29 Distribuição Binomial a) Supor uma série de n experimentos independentes (o resultado de um experimento não é afetado pelo resultado dos outros) de Bernoulli; b) A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre igual a p; c) O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n. Então diz-se que a variável aleatória Y = {número de sucessos} nos n ensaios tem distribuição binomial com parâmetros n e p. Notação: Y Bin(n, p).

30 Costa, S.C. 30 Função de Probabilidades: A função de probabilidades de uma variável Y com distribuição binomial Bin(n, p) é dada por: P (Y = y) = ( ) n p y (1 p) n y, y = 0, 1,..., n. y em que ( ) n y = n! y!(n y)!.

31 Costa, S.C. 31 É a mais importante das distribuições de probabilidades discretas. Tem esse nome devido ao cálculo das probabilidades ser feito usando termos da expansão do binômio de Newton. O teorema do binômio de Newton é dado por: n ( ) (x + y) n n = x n k y k k k=0 = ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n x n 0 y 0 + x n 1 y 1 + x n 2 y x n n y n n (x + y) n = ( ) ( ) n n x n + n x n 1 y 1 + x n 2 y 2 + x n 3 y y n 2 3 em que ( ) n k = n! k!(n k)!.

32 Costa, S.C. 32 Exemplo: Se considerarmos uma variável aleatória com distribuição binomial Bin(10; 0, 3), ou seja, o estudo de uma variável, cujo número de ensaios seja igual a 10 realizações e a probabilidade de sucesso é igual a 30%, o gráfico desta situação (apresentado na Figura 3) será:

33 Costa, S.C Probabilidades Número de Sucessos Figura 3: Gráfico da distribuição Binomial, para n = 10 ensaios com probabilidade de sucesso p = 0, 30.

34 Costa, S.C. 34 A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição binomial Bin(n, p) são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = np e V (Y ) = np(1 p) Para gerar o gráfico da distribuição no R bastam os seguintes comandos: db <- 0:10 plot(db, dbinom(db, size=10, prob=0.3), las=1, main=, type="h", xlab="número de Sucessos", ylab="probabilidades", bty= l, col= blue ) points(db, dbinom(db, size=10, prob=0.3), pch=16,, col= blue ) abline(h=0, col="gray") Se o interesse for apenas nos valores das probabilidades, os mesmos podem ser obtidos com: data.frame(pr=dbinom(0:10, size=10, prob=0.3))

35 Costa, S.C. 35 Exemplo 1: Uma moeda é lançada dez vezes; qual a probabilidade de se obter duas caras? Determine a esperança e a variância. Exemplo 2: Uma infecção experimental em camundongos determina morte de 30% dos animais a ela submetidos. Qual a probabilidade de obter num lote de 10 animais, uma mortalidade de, no máximo 20%? Exemplo 3: Você leva sua cadela ao veterinário e descobre através de um exame de ultrasonografia que ela está grávida com uma ninhada de 8 filhotes. a) Qual é a probabilidade de que exatamente 3 dos filhotes sejam fêmeas? b) Qual é a probabilidade de que existam um número igual de machos e fêmeas? c) Qual é a probabilidade de que existam mais machos do fêmeas?

36 Costa, S.C. 36 Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson a é largamente empregada quando se deseja contar o número de ocorrências de um evento de interesse, por unidade de tempo, comprimento, área ou volume. É também chamada de distribuição dos eventos raros. Exemplos: a) Número de insetos de uma espécie coletados por armadilha por dia; b) Número de furos em pneus por km rodado; c) Número de bactérias por ml de urina; d) Número de pacientes que chegam a um pronto atendimento de uma pequena cidade durante a madrugada; e) Número de árvores de uma certa espécie, por ha. Note que os possíveis valores que as variáveis descritas podem assumir são: 0, 1,...,. a Siméon-Denis Poisson, matemático Francês,

37 Costa, S.C. 37 O comportamento dessas variáveis pode ser descrito pela chamada distribuição de Poisson. Função de Probabilidades: A função de probabilidades de uma variável Y com distribuição Poisson, Y P ois(λ) é dada por: P (Y = y) = e λ y! λ y, y = 0, 1,... em que λ é igual ao número médio de ocorrências do evento de interesse por unidade de tempo, distância, área,... Notação: Y P oi(λ). O gráfico gerado pela função de probabilidades de uma distribuição de Poisson, para λ = 4, é apresentado na Figura 4. Obs.: Para valores de Y maiores que 12, com λ = 4, as probabilidades tendem a zero.

38 Costa, S.C Probabilidades Figura 4: Gráfico da distribuição de Poisson, cuja média (λ) é 4,0. Os pressupostos básicos para a utilização do modelo são: x

39 Costa, S.C. 39 1) as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do tempo; 2) intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre o número de ocorrências em um intervalo nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo. A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição Poisson P ois(λ) são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = λ e V (Y ) = λ

40 Costa, S.C. 40 Exemplo 1: Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) três animais b) dois animais ou mais Exemplo 2: Um pesquisador está interessado no número de ovos depositados por uma espécie de pássaro. Na primavera, ele procura e acha 80 ninhos. O número médio de ovos por ninho foi 3,8 e a variância foi 3,1. Porque a variância é aproximadamente igual á média, ele acha que pode ser razoável descrever o número de ovos por ninho como tendo uma distribuição Poisson com média 3,8. a) Construa o gráfico dessa distribuição de probabilidades; b) Se esta realmente representa a distribuição populacional, qual seria a probabilidade de não encontrar ovo num ninho? c) Qual seria a probabilidade de encontrar um ninho com mais que 5 ovos? d) Qual a probabilidade de encontrar de 3 a 6 ovos?

41 Costa, S.C. 41 Exemplo 3: O número de consultas médicas anuais (Y) de um associado de um plano de saúde é, naturalmente, um número finito. Uma aproximação, que simplifica a especificação de sua distribuição, é supor que Y pode assumir qualquer valor do conjunto {0, 1, 2,... }. Em um plano de saúde com filiados, ao fim de um ano, foram realizadas consultas, de acordo com a Tabela 3. Tabela 3: Número de consultas realizadas pelos associados. Número de consultas Frequências Número de consultas Frequências Pede-se: a) Especifique o modelo de Poisson para esses dados. b) Qual a probabilidade de se ter 7 consultas ou mais? c) Compare os valores observados com o esperado pelo modelo.

42 Costa, S.C. 42 Distribuição Geométrica Destinada ao cálculo de probabilidades de situações em que são feitas sucessivas tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório até que apareça o 1 o sucesso. As principais características da distribuição geométrica são: a) experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso; b) a variável aleatória é o número de falhas até obter o primeiro sucesso. Assim, se designarmos S como sucesso e F como fracasso, e realizarmos n ensaios até que ocorra o primeiro sucesso, o espaço amostral deste experimento será o conjunto: Ω = {S, F S, F F S,..., F F F S,...} c) as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p;

43 Costa, S.C. 43 Função de Probabilidade Y é o número de falhas até obter o primeiro sucesso; as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p; A função de probabilidade é dada por: P (Y = y) = (1 p) y p y = 0, 1, 2,... Notação: Y G(p). A esperança e a variância de uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica é dada por: E(Y ) = 1 p p e V (Y ) = 1 p p 2

44 Costa, S.C. 44 Exemplo 1: A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? Exemplo 2: Um casal com problemas para engravidar, recorreu a uma técnica de inseminação artificial no intuito de conseguir o primeiro filho. A eficiência da referida técnica é de 0, 40. Qual a probabilidade de que o casal obtenha êxito na terceira tentativa?

45 Costa, S.C. 45 Distribuição Hipergeométrica Exemplo: Em uma sala há 40 alunos, dos quais 32 são mulheres. Serão selecionados 5 alunos para um estágio. Qual a probabilidade de que 4 sejam homens? Exemplo: Num canil para adoção há 20 animais, dos quais 15 são SRD (Sem Raça Definida). Todo final de semana são adotados 4 animais. Qual a probabilidade de, no próximo final de semana, serem adotados 3 animais SRD? Construa a distribuição de probabilidades para SRD. Exemplo: Um baralho de cartas tem 4 naipes de 13 cartas: espadas, paus, ouros e copas. a) Qual é a probabilidade de que em uma mão de 5 cartas exatamente 3 sejam paus? b) Qual é a probabilidade de que em uma mão de 5 cartas exatamente 3 sejam do mesmo naipe?

46 Costa, S.C. 46 As principais características da distribuição hipergeométrica são: a) a distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se baseia em amostragem feita sem reposição; b) Este tipo de modelo surge da contagem de objetos de certo tipo, retirados ao acaso e sem reposição, de um conjunto contendo dois tipos de objetos. Esquematicamente, teremos: n elementos { m Tipo 1 n m Tipo 2 r amostras { k Tipo 1 r k Tipo 2

47 Costa, S.C. 47 Assim, há ( m k ) formas diferentes de se escolher k elementos em m do Tipo 1. Da mesma forma, haverá ( n m r k ) formas diferentes de se escolher (r k) elementos em (n m) do Tipo 2. Logo, o número de resultados favoráveis ao evento que se quer estudar será dado por: ( )( ) m n m k r k O número total de resultados possíveis será dado por: ( ) n r

48 Costa, S.C. 48 Função de Probabilidade Se a população tem n elementos, m de um tipo e (n m) de outro e é retirada uma amostra de r elementos, sem reposição, a função de probabilidade é dada por: ( m )( n m ) k r k P (Y = k) = ( n, k = 0, 1,..., min(r, m) r)

49 Costa, S.C. 49 A esperança e a variância de uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica é dada por: E(Y ) = r m V (Y ) = m [ (n m) 1 r 1 ] n n n n 1 e

50 Costa, S.C. 50 Exemplo: Em uma sala há 40 alunos, dos quais 32 são mulheres. Serão selecionados 5 alunos para um estágio. Qual a probabilidade de que 4 sejam homens?

51 Costa, S.C. 51 Exemplo: Num canil para adoção há 20 animais, dos quais 15 são SRD (Sem Raça Definida). Todo final de semana são adotados 4 animais. Qual a probabilidade de, no próximo final de semana, serem adotados 3 animais SRD? Construa a distribuição de probabilidades para SRD.

52 Costa, S.C. 52 Exemplo: Probabilidades de acerto na megasena.

53 Costa, S.C Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? 2. Qual a probabilidade de acertar a quina num jogo de 8 números?