A descoberta do princípio p do barômetro ("tubo de Torricelli", "vácuo de Torricelli") aconteceu

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1 Caítulo Estática dos luidos. exeriência de Torricelli descoberta do rincíio do barômetro ("tubo de Torricelli" "vácuo de Torricelli") aconteceu em 64. Evangelista Torricelli ( ) físico e matemático italiano (foi aluno de Galileu). oi omenageado com a unidade de ressão torricelli (símbolo torr).

2 exeriência

3 Pe Pressão atmosférica oféi normal Consideramos a ressão atmosférica normal quando ela é caaz de equilibrar uma coluna de mercúrio de 76cm de altura. eresentamos simbolicamente atm = 76 cm Hg = 0 x 0 5 Pa ou aroximadamente: atm 0 5 Pa 0 MPa. Proriedades da tmosfera adrão mericana ao nível do mar Temeratura T 885 K (5 o C) Pressão 0 kpa (abs)* Massa esecífica ρ 5 kg/m Peso esecífico γ = ρ g 04 N/m Viscosidade dinâmica μ 789 x 0-5 Ns/m

4 . Variação de Pressão num Líquido em reouso o (versão simlificada) Nos casos nos quais a iótese do eso esecífico constante é considerada (líquidos) temos: 0 ( ) onde ( ) é interface a líquido ressão coluna do Líquido. m fluido g ( ) m m V V Logo ( ) g e relativa atmosfera e Isto é à da 0 g 4

5 Exercício ) Os batiscafos são utilizados ara mergulos rofundos no oceano. Qual a ressão no batiscafo se a rofundidade de mergulo é 6 km? dmita que o eso esecífico da água do mar é constante e igual a 0 kn/m. 5

6 Solução ressão devido aos 6 km de água sobre o batiscafo é N água mar m m N m ressão absoluta or sua vez vale ( abs) atm 0 kpa 6060 N m ( abs) 6070 kpa

7 Ponderações Variações de ressão de um fluido em reouso ou em movimento (versão moderada). Com o tratamento matemático adequado mostra-sese que:. Para um fluido em reouso ou em movimento no qual a tensão de cisalamento é nula tem-se que a ressão indeende da direção já que ela é o resultado do bombardeamento das moléculas do fluido como vimos no caítulo (Lei de Pascal). 7

8 . ressão ao longo de um lano aralelo à interface líquido-atmosfera é constante. B C Os ontos B e C são ditos isóbaros. 8

9 Vasos comunicantes. Constatação exerimental. 9

10 . O Gradiente de ressão é: x i y j z k k ou z Isto significa que em um fluido em reouso ou em movimento no qual a tensão de cisalamento seja inexistente a ressão aumenta no sentido oosto ao determinado elo eixo-z (Isto é no mesmo sentido da gravidade e devido ao eso da massa de fluido sobre o onto considerado). Como vimos no slide 4 isto indeende da área da suerfície ao redor do onto considerado. 0

11 Daí integrando a última equação: z d dz d dz dz dz Lembrando que d dz dz d z d dz ( Suondo constante ) z Logo : ( z z ) ou ( z z )

12 Se estiver na interface líquido-atmosfera então = 0 e ou 0 0 g ( g) quantidade é camada de carga e é interretada como a altura do coluna de fluido de eso esecífico necessária ara rovocar uma diferença de ressão. Existe uma rova matemática mais abrangente no livro texto t (Young).

13 Exercício. igura abaixo mostra o efeito da infiltração de água em um tanque subterrâneo de gasolina. Se a densidade da gasolina é 068; determine a ressão na interface gasolina- água e no fundo do tanque.

14 Solução ç é P onto o está onde água gasolina interface na ressão ou gasolina 0 g gasolina 0 m kg SG lado outro Por gasolina C água gasolina o N k Daí m N kpa s m m m kg kpa kpa kpa kpa

15 Pressãonofundodotanque P t ã á li it f ã É ) ( água m de de coluna a devida ressão à somada P onto no ressão a água gasolina interface na ressão a É. ) ( ou água fundo g água fundo m s m m kg kpa fundo fundo 464kPa 44 5

16 lgumas alicações do Princíio de Pascal Todo acréscimo de ressão exercido num onto da massa líquida se transmite integralmente ara todos os ontos do líquido. B 6

17 licações Consideremos dois cilindros contendo um líquido e fecados or êmbolos de áreas e. licando-se sobre o êmbolo de área uma força Produz-se um acréscimo de ressão = / que se transmite integralmente ara o outro êmbolo o que acarreta = / ou seja as forças são roorcionais às áreas. 7

18 Exercício Considereoesquemamostradonafiguraemqueamassado automóvel é de 500 kg = 05 m e = 7m.Determine a força que deve ser alicada à área ara manter o sistema em equilíbrio. 8

19 Pressãonofundodotanque dá nos Pascal de rincíio do direta alicação N Logo ) ( kg de massa uma de eso ao corresonde N que Notemos

20 .4 luido comressíveis (gases) em reouso ou movimento dmitindo que as tensões de cisalamento sejam nulas também nesse caso. Para os gases ideais: =ρt. Então g g T T d Logo substituindo em dz d g. Integrando dz T d g z dz ou T vem que d dz T ( ) se T z z z g ) z T ( z) 0

21 dmitindo que a temeratura não varie em função de z. Isto equivale a considerar que a ressão varia em função de z em uma camada isotérmica do gás erfeito. Temos d g T z dz g ln ( z z T ) Logo z g( z z) ex T Para distribuições de ressões em camadas não isotérmicas o rocedimento é o mesmo.

22 .5 Medições de ressão Manometria: Corresonde às técnicas de construção de instrumentos ara medir a ressão bem como as técnicas alicadas às medidas. Pressão Manométrica: É a diferença entre aressão em um local ea ressão atmosférica. Exemlo brindo oregistro oco escaa do inte- rior do cilindro enquanto a sua ressão for maior que a ressão atmosférica. Quando as ressões se igualam o fluxo CO 5 atm cessa. ressão utilizada do CO éasua ressão manométrica m = atm

23 Manômetros: São disositivos utilizados ara medir a ressão manométrica.

24 Barômetro de Mercúrio atm Hg vaor 4

25 Tubo Piezométrico Pressão relativa Pressão absoluta atm 5

26 Exercício O tubo em U mostrado na figura abaixo contém três líquidos distintos. Óleo água e um fluido desconecido. Determine a densidade do fluido desconecido considerando as condições oeracionais indicadas na figura. 6

27 Solução : mm que mostra lado ao figura Temos óleo 7 0 m ou q fg mm que mostra lado ao figura lado outro Por água Dí m mm m e ou então g Como vem que Daí água óleo g g g então g Como água óleo água óleo 7

28 Solução gora vamos dividir a equação óleo água or água óleo água água Mas or definição SG. Daí água SG óleo SG Por fim SG SG SG 077 óleo

29 Manômetro com Tubo em U Temos : Pressão relativa em () Mas e a ressão relativa em () é Daí ou ressão absoluta em atm é Se for um gás noreciiente: i γ = 0. 9

30 Exercício O tanque fecado mostrado na igura abaixo contém ar comrimido e um óleo que aresenta densidade 09. O fluido manométrico utilizado no manômetro em U conectado ao tanque é mercúrio (densidade igual a 6). Se = 94 mm = 5 mm e = 9 mm determine a leitura no manômetro localizado no too do tanque. 0

31 Solução ) ( : Temos óleo m kg SG e Hg Hg / : ) ( Hg óleo m kg Hg g Hg / 46 Logo Logo ) 05 ( ) ( ) ( óleo Hg Hg óleo kpa 406 ) ( : SG Como / m kg SG óleo óleo óleo

32 Manômetro diferencial em U B 5 Logo ainda e B Portanto B B

33 Exercício igura abaixo mostra o esboço de um disositivo utilizado ara medir a vazão em volume em tubos Q que será aresentado no ca.. O bocal convergente cria uma queda de ressão B no escoamento que está relacionada com a vazão em volume através da equação Q =K( B ) / (ondekéumaconstantequeéfunçãodas dimensões do bocal e do tubo). queda de ressão normalmente é medida com um manômetro diferencial em U do tio ilustrado na figura. (a) Determine a equação B em função do eso esecífico do fluido que escoa doesoes- ecífico do fluido manométrico e das várias alturas indicadas na figura. (b) Determine a queda de ressão se =980kN/m = 56 kn/m =0me =05m.

34 Solução d d fl d d d orção a tubo do larga mais arte na escoamento aver de esar ).. a idrostárica da conceitos os usar odemos Portanto em reouso estão manômetro do dentro fluidos dois dos : ) vez sua Por em Pressão a e já 5 ) ( lado outro Por B 4 ) ( : temos acima igualdades as em conta Levando B 4 4

35 Seguindo teremos ( ) B que vem e como ( ) B ( ) B B ( ) B b B ) (56 ) 5 Pa B 0 9

36 Manômetro com tubo inclinado (usado ara medir equenas variações de ressão) Pressão em ( ) : também corresond e à ressão devida à coluna de altura lsen do fluido de eso esecífico fluido de eso esecífico Dí Daí e l sen lsen B lsen B B e à ressão devida à coluna mais a ressão em B. Ou seja de 6

37 Se os fluidos de esos esecíficos e forem gases então as ressões devidas às colunas e odem ser desrezadas. Nesse caso 0 0 Logo e l B l sen B sen 7

38 Exercício O manômetro inclinado da figura abaixo indica que a ressão no tubo em é 08 si. O fluido que escoa nos tubos e B é água e o fluido manométrico aresenta densidade 6. Qual é a ressão notubobque corresonde à condição mostrada. 8

39 Solução ) ( m mm o ) (0 0 m mm m mm o sen / 556 / / m N m N ol lb si esquema o nalisando água l e B água B água g sen l Logo 9 l água água B sen

40 l continuando água água B sen l Como B água água B () sen calcular Precisamos m kg SG C água o / m N g ssim C água / kpa kpa kpa kpa kpa em valores os todos substituindo inalmente B B ()

41 .5 orça Hidrostática em suerfícies lanas o caso suerfície aralela à interface líquido-ar (fundo de um tanque aberto or exemlo) Por definição d d o d d ou k 4

42 o caso suerfície lana de forma arbitrária e inclinada em relação à interface líquido-ar (Diques reresas...) d d y sen e C y C sen 4

43 Logo d y send sen integral ordem da área. y d y d d sen y C Portanto y d é o momento de rimeira y C sen = C y C sen ou C 4

44 intuição sugere que a direção de ação da força resultante deveria assar elo centróide da suerfície. Mas isso não acontece. ordenada do onto de ação da força resultante y ode ser determinada ela soma dos momentos em torno do eixo-x. Isto é o momento da força resultante recisa ser igual aos momentos das forças devidas a ressão. Isto é total y y sen y d y d y ( sen y d) sen y d como y C y sen sen y C sen então y d y y y C d 44

45 integral do numerador da última equação é o momento de inércia em relação ao eixo-x I X (eixo formado ela intersecção do lano que contém a suerfície arbitrária e a suerfície livre). ssim y I y C x I x ode ser obtido elo teorema dos eixos aralelos I x I Logo y xc I y C xc y C y C nalogamente mostra se que x I y xyc C x C 45

46 Mostra-se que a força resultante não assa através do centróide mas semre atua abaixo dele orque (I xc /y c >0). Momentos de inércia de algumas suerfícies 46

47 Momentos de inércia de algumas suerfícies (continuação) 47

48 Exercício figura abaixo mostra o esboço de uma comorta circular inclinada que está localizada num grande reservatório de água (=980 kn/m ). comorta está montada num eixo que corre ao longo do diâmetro orizontal da comorta. Se o eixo está localizado a 0 m da su- erfície livre determine: a) o módulo e o onto de alicação da força resultante na comorta. b) o momento que deve ser alicado no eixo ara abrir a comorta. 48

49 Solução ) força da alicação de onto e Módulo a C 0 4 () 0 / 9.80 ) ( 6 C N m m N água da esecífico eso ) ( 4 () y x alicação de Ponto r ) ( C C xyc x y I x y x alicação de Ponto 0; 0 ) ( 0 xyc C C x I figura x y 49 xyc

50 y y I y C xc m y fi y y C C C ) ( 55 0 sen r I I figura m y o C ) ( 55 ) sen(60 4 m y e x N Então I I yc xyc m y e x N Então

51 b) Momento De acordo com a figura ( do slide 48) a distância entre o e o centro de ressão ( ao longo da comorta ) é eixo da comorta d y y C Considerando o diagrama de está em reouso temos coro livre ( ao lado ) quando a comorta MC M orçaesultante Mbatente 0 M orçaesultante d 6 ( 0 N) (009m) Nm 5

52 Exercício barragem mostrada na figura abaixo é construída em concreto ( = 6 kn/m ) eestá simlesmente aoiada numa fundação rígida. Determine o coeficiente de atrito estático entre a barragem e a fundação ara que a barragem não escorregue. dmita que a água não rovoca qualquer efeito na suerfície inferior da barragem (infiltrações or exemlo). 5

53 Solução / 980 ) ( m N água C tan / 980 ) ( m N água o 4 4 total rofundidade ) cos(866 ) cos(90 barragem da largura m o C ) ( temos orizontal direção Na N Logo barragem da largura ) ( ) cos(866 N temos orizontal direção Na o H 5 ) ( 6690 ) sen(866 N vertical direção Na o V

54 .. ela caso Neste la calculá Precisamos normal força a é N N movimente se barragem não a que Para trito H barragem. da eso força da módulo ao corresonde. barragem da massa a é m g m N barragem barragem 0 6 g g onde V m barragem barragem barragem barragem barragem or dado barragem da volume o é V barragem ) ( 0 )5 6 ( m V barragem 54 ) ( 0 m V barragem

55 g g m N ssim V barragem t i ld d à Vlt d g g g V barragem : temos igualdade à Voltando trito H

56 .6 Prismas de ressão Considere a distribuição de ressão ao longo da arede vertical de um tanque de largura b e que contém um líquido de eso esecífico. ressão varia linearmente com a rofundidade = γ. É nula na suerfície do líquido e igual a γ no fundo do reservatório. 56

57 Cálculodocentroderessão(x y ). I I y y I y e x y I x C C xc C C xyc 0 b x x simetria or e I C xyc b E b y x b b y Isto significa que o centro de ressão está a uma altura de ó 57 / do fundo do reservatório (ou do leito da reresa).

58 figura a seguir mostra o camado de risma de ressão. força resultante que atua na suerfície vertical é mumericamente igual ao volume desse risma ( ressão média sobre a área retangular) área N Volume ( )( b ) 58

59 Exercício figura abaixo mostra o esboço de um tanque ressurizado que contém óleo (SG = 09). laca de inseção instalada no tanque é quadrada e aresenta largura igual a 06 m. Qual o módulo e a localização da lina de ação da força resultante que atua na laca quando a ressão relativa no too do tanque é igual a 50 kpa. dmita que o tanque está exosta à atmosfera. 59

60 Solução à e óleo do suerfície na comrimido ar do ressão da soma ela dada é laca da suerfície na ressão a que mostra lado ao figura será então laca a sobre resultante força óleo rório ao devida ressão à e óleo do suerfície na comrimido ar do ressão da soma ela :. suerfície ) ( Searadamente suerfície ) ( laca a sobre óleo de orção a e arcomrimido do ressão à devido orça Searadamente ) N suerfície ) ( 60 f

61 ) laca com a em contato óleo do ressão à devido orça (06) (0) 98) 0 (09 N m i l i l ã E N N N ssim (0) (0) y temos onto ao e vertical eixo ao Em relação O ) ( (0) (0) 0 44 inferior borda da acima m y Logo O

62 .7 orças idrostáticas em suerfícies curvas Consideremos a seção curva BC do tanque aberto. 6

63 = orça feita elo líquido sobre a suerfície imaginária (); = orça feita elo líquido sobre a suerfície imaginária (β); W = Peso da massa do fluido considerado (age no CG); H é a comonente orizontal da força feita elo tanque sobre o líquido. É colinear a ; V éacomonenteverticalda força feita elo tanque sobre líquido. É aralela a W e ; o 6

64 s linas de ação V H e assam elo onto O. Condição de equilíbrio: C H W V e W 64 H V

65 Exercício igura abaixo mostra o esboço de um conduto utilizado na drenagem de um tanque que está arcialmente ceio de água. Sabendo que a distância entre os ontos e B é igual ao raio do conduto determine o módulo a direção e o sentido da força que atua sobre a curva BC devida à resença da água. dmita que a seção tena comrimento de m. 65

66 Solução a) figura ao considerada. lado mostra o diagrama do coro livre da orção de água Condição de equilíbrio : H e V W Cálculo de : 09 C 980 ( 09) 97 N Cálculo de : mg Vg V 980 [ (09) ] 64 N 4 V volume do cilindro [ r 4 4 ] 66

67 V H N W e N equilíbrio de condição a licando : V H N Logo 798 (64) (97) : da força da direção a da O ângulo lado ao figura a Consideremos força da sentido o e direção a falta agora magnitude a Encontramos b. ) V H figura Da soma ela determinado o é sentido o curva suerfície a sobre água da força da direção a da O ângulo lado ao figura a Consideremos. :. o H V H fg 5 tan V tan 5 67

68 .8 Emuxo lutuação e Estabilidade Emuxo Todo coro mergulado num fluido em reouso sofre or arte do fluido uma força vertical ara cima cuja intensidade é igual ao eso do fluido deslocado elo coro. (Princíio i de rquimedes) B B m g gv V k B Vg V Está força é camada de EMPUXO e é o resultado do Gradiente de ressão que aumenta com a rofundidade. 68

69 lina de ação da força emuxo B assa elo centróide do volume deslocado e o onto de alicação dessa força é camado de centro de emuxo. O centro de emuxo corresonde ao centro de gravidade do massa de fluido deslocado. 69

70 Exercício figura a seguir mostra o esboço de uma bóia com diâmetro e eso iguais a 5 m e 85 kn resectivamente e que está resa ao fundo do mar or um cabo. Normalmente abóiaflutuanasuerfíciedomarmasemcertasocasiões o nível do mar sobe e a bóia fica comletamente submersa. Determine a força que tensiona o cabo na condição mostrada na figura. (γ água do mar = 0 kn/m ) 70

71 Solução é equilíbrio de condição a que se verifa lado ao livre coro do diagrama do artir : T T T W B B emuxo do magnitude a é Onde B : cabo no tensão a é T boia da eso do magnitude a é W g B. boia ela deslocado água de massa de volume do eso B 4 enunciado no dado N W N água V B ). ( (075) N T Portanto

72 Estabilidade Existem duas condições de equilíbrio: estável; instável. s situações de estabilidade e instabilidade deendem: Localização do coro no fluido: submerso ou flutuando. Posição relativa entre os centro de gravi- dade CG e do centro de emuxo c. Lembrando que o centro de emuxo corresonde ao centro de gravidade do massa de fluido deslocado. 7

73 Coro submerso com Centro de gravidade CG abaixo do centro de emuxo c. Note: feita uma rotação a artir da osição de equilíbrio o binário B e W criará um momento de restauração. Esta é uma situação de equilíbrio estável ois a osição de equilíbrio original é restaurada. 7

74 Coro submerso com Centro de gravidade CG acima do centro de emuxo c. Note: feita uma rotação a artir da osição de equilíbrio o binário B e W criará um momento de emborcamento. Esta é uma situação de equilíbrio instável ois o coro se moverá ara outra osição de equilíbrio. 74

75 Coro flutuando com Centro de gravidade CG acima do centro de emuxo c mas dentro do volume deslocado Note: feita uma rotação a artir da osição de equilíbrio o binário B e W criará um momento restaurador. Esta é uma situação de equilíbrio estável ois a osição de equilíbrio original é restaurada. 75

76 Coro flutuando com Centro de gravidade CG acima do centro de emuxo c e acima do volume deslocado. Note: feita uma rotação a artir da osição de equilíbrio o binário B e W criará um momento de emborcamento. Esta é uma situação de equilíbrio instável ois o coro se moverá ara outra osição de equilíbrio. 76

77 .8 Variação da ressão num fluido em movimento Estamos considerando fluidos em reouso ou em movimento nos quais as tensões de cisalamento sejam nulas. Para um fluido em reouso ou MU k ou k 0 Para um fluido em movimento todas as moléculas se movimentam com a mesma velocidade mesmo que esta varie com o temo isto é com a mesma aceleração caso exista. Este é um comortamento similar a de um coro rígido. Logo k a 77

78 De modo análogo se um fluido estiver contido em um tanque que rotaciona em torno de um eixo fixo então este fluido rotacionará junto com o tanque como se fosse um coro rígido desde que não aja tensões de cisalamento. 78