Teoria Cinética dos Gases

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1 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 1 Teora Cnétca dos Gases 19.1 Introdução Um gás consste em átomos que preenchem o volume de seu recpente. As varáves volume, pressão e temperatura, são conseqüêncas do movmento dos átomos. olume resultado da lberdade dos átomos; Pressão resultado das colsões dos átomos com as paredes do recpente; Temperatura relaconada com a energa cnétca dos átomos. 19. Número de Avogadro mol número de átomos em uma amostra de 1g do carbono-1. Num mol de qualquer substânca exstem 3 1 N A 6,0x10 mol NÚMERO DE AOGADRO O número de moles n contdos em uma amostra de qualquer substânca é gual a razão entre o número de moléculas N na amostra e o número de moléculas N A em 1mol: N n O número de moles n pode ser encontrado dvdndo a massa M am da amostra pela sua massa molar M. M am M am n M mn A onde m é a massa de uma molécula. N A

2 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 19.3 Gases Ideas Expermentos mostraram que, para densdades sufcentemente baxas, todos os gases tendem a obedecer à relação: p nrt LEI DOS GASES IDEAIS Onde p é a pressão absoluta (não manométrca), n é o número de moles do gás confnado e T é a temperatura em kelvns. R é a constante dos gases deas. R 8,31J / mol. K Em termos da constante de Boltzmann, temos: k R N A 8,31J / mol. K 3 1,38x10 J / K 3 1 6,0x10 mol Podemos escrever, R kn A o que nos permte usar a equação e obtermos nr Nk n N / N, Substtundo na equação dos gases deas temos p NkT Trabalho Realzado por um Gás Ideal a Temperatura Constante Em um dagrama p, uma soterma é uma curva que conecta pontos que possuem a mesma temperatura. Para n moles de um gás deal, ela é o gráfco da equação 1 1 p nrt ( cons tan te) A

3 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 3 Para encontrar o trabalho realzado durante qualquer varação de volume de qualquer gás, podemos usar p nrt para substtur p, W f nrt W W f d nrt f pd 1 d nrtln f nrt ln GÁS IDEAL, PROCESSO ISOTÉRMICO. Trabalho Realzado a olume Constante e a Pressão Constante Se o volume do gás é constante, a equação anteror nos fornece W 0 PROCESSO ISOCÓRICO Se o volume vara enquanto a pressão é mentda constante, a equação f W pd nos dá W f p d p( ) PROCESSO ISOBÁRICO f f p Exercíco Um clndro contém 1L de oxgêno a 0 o C e 15atm. A temperatura é aumentada para 35 o C e o volume é reduzdo para 8,5L. Qual é a pressão fnal do gás em atmosferas? Suponha que o gás seja deal.,3atm.

4 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 4 Exercíco: Um mol de oxgêno (suponha deal) se expande a uma temperatura constante de 310K de um volume ncal =1L até um volume fnal f =19L. Que trabalho é realzado pelo gás durante a expansão? (1183J) 19.4 Pressão, Temperatura e elocdade Méda Quadrátca. Consdera n moles de um gás deal confnado numa caxa cúbca de volume. As paredes da caxa são mantdas a temperatura T. Qual a lgação entre a pressão p exercda pelo gás sobre as paredes e as velocdades das moléculas? Quando a molécula da fgura coldr com a parede, a varação do momento ao longo do exo x é dada por: p ( mv ) ( mv ) mv x x x x A molécula va atngr a parede váras vezes. O tempo entre duas colsões na mesma parede será dado por L t A taxa méda com que o momento é transmtdo para a parede sombreada é v x

5 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 5 px mvx mvx t L / vx L De acordo com a ª le de Newton ( F dp / dt ), a taxa com a qual o momento é transferdo para a parede é a força que atua sobre a mesma. A pressão exercda devdo a contrbução de todas as moléculas na parede do cubo é Fx mvx 1 / L mvx / L... mvxn / L p L L m p ( v 1... ), 3 x vx vxn L onde N é o número de moléculas na caxa. Como N nn A, exstem nn A termos no segundo conjunto entre parêntess da equação anteror. Substtundo esta quantdade por nn A( v x ) méd, onde ( v x ) méd é o valor médo do quadrado da componente x de todas as velocdades moleculares. A equação da pressão torna-se então nmn p A ( v x ) 3 méd L Como há mutas moléculas, v vx v y vz, os valores médos dos quadrados das componentes da velocdade são guas, 1 de modo que vx v. Consderando que mn M 3 A, L 3 e substtundo na equação teremos: nm p ( v ) méd 3 A raz quadrada de ( v ) méd vrms é uma velocdade conhecda como velocdade méda quadrátca, smbolzada por v rms. Assm nm p v rms 3

6 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 6 A equação anteror pode ser Algumas elocdades RMS à nvertda para se calcular a Temperatura Ambente (T=300K) Massa Molar Gás v (10-3 rms kg/mol) (m/s) velocdade quadrátca méda. 3p 3RT v rms nm M sendo que p nrt. Exercíco: (a) Encontre o valor médo dos números: 5, 11, 3, 67, e 89 (resp 40,8) n médo 40,8 5 (b) Encontre o valor rms destes números n rms , Energa Cnétca Translaconal Consderando uma molécula coldndo com outras moléculas do gás no nteror da caxa, sua energa cnétca translaconal méda será dada por K méd 1 mv méd 1 m( v ) méd 1 mv rms que pode ser escrta na forma 1 3RT K méd m M K méd mas M mn A, logo 3RT N, sendo k R / N A A m 1 M 3 K méd kt Hdrogêno,0 190 (H ) Hélo (He) 4, apor d água (H O) Ntrogêno (N ) Oxgêno (O ) Dóxdo de carbono (CO ) Dóxdo de enxofre (SO ) 64,1 34 Em uma dada temperatura T, todas as moléculas de um gás deal, ndependentemente de suas massas, têm a mesma energa cnétca translaconal méda, 3 kt. N A

7 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr Camnho Lvre Médo O Camnho lvre médo descreve o movmento aleatóro que ndca a dstânca méda percorrda por uma molécula entre colsões. Espera-se que este parâmetro vare nversamente com N/, o número de moléculas por undade de volume ( densdade de moléculas). Quanto maor for N/, maor o número de colsões e menor o camnho lvre médo. Esperase também que vare nversamente com o tamanho das moléculas. A expressão para o camnho lvre médo é: 1 d N / Na fgura ao lado, (a) ocorre uma colsão quando os centros de duas moléculas estverem a uma dstânca d. Se consderarmos nossa molécula (b) com rao d e as demas como sendo puntformes, o crtéro para colsão não muda. Entre uma colsão e outra, a molécula varre uma dstânca compreendda por um clndro de área de seção d. Num tempo t a molécula percorre uma dstânca v t, e o volume do clndro será dado por ( d )( vt).

8 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 8 O número de colsões que ocorrem num ntervalo de tempo t é gual ao número de moléculas puntformes que estão no volume do clndro. Como N / é o número de moléculas por undade de volume, ( N / )( d vt), que é o número de colsões que ocorrem neste ntervalo de tempo. O camnho lvre médo será o comprmento da trajetóra (do clndro) dvddo por este número. vt 1 d vtn / d N / Esta equação leva em conta que somente uma das moléculas do gás está em movmento. Se consderarmos o movmento das outra, ela se transforma em. 1 d N / Consderando as moléculas do ar: 0, 1m ao nível do mar; 16cm 100km de alttude; 0km 300km de alttude. Exercíco: (a) Qual é o camnho lvre médo para moléculas de oxgêno na temperatura T 300K e pressão p 1, 0atm? Suponha que o dâmetro molecular seja d 90 pm e que o gás seja deal. (b) Suponha que a velocdade méda das moléculas de oxgêno é v 450m / s. Qual é o tempo médo t entre colsões sucessvas para qualquer molécula? A que taxa as moléculas coldem, ou seja, qual a freqüênca f das colsões? (resp. 1,1 x10 m ;,44x10 s ; 4,1x 10 s )

9 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr A dstrbução de elocdades Moleculares A fgura (a) mostra uma dstrbução para as moléculas de oxgêno na temperatura ambente (T=300K). A fgura (b) compara este resultado com a dstrbução a T=80K. Le da Dstrbução de elocdades de Maxwell (185) - Encontra a dstrbução das velocdades moleculares de um gás. P(v) M Mv / RT P( v) 4 v e RT é a função dstrbução de probabldade de velocdade A área sob a curva será 0 P( v) dv 1 A fração (fr) das moléculas com velocdades em um ntervalo de v1 a v será. 3 / fr v v 1 P( v) dv

10 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 10 elocdades Méda, RMS e Mas Provável. A velocdade méda v méd, é obtda multplcando-se v pela fração P ( v) dv das moléculas com velocdades em um ntervalo dferencal dv centrado em v. Adconando todos estes valores, de vp ( v) dv. Substtundo P (v) por P( v) 4 M RT 3 / v e Mv / RT v méd 0 vp( v) dv e usando o resultado genérco da ntegral (0 apêndce E) para encontrar, 8RT v méd M ELOCIDADE MÉDIA Para encontrar a méda dos quadrados da velocdades fazse: 0 ( ) v P( v) dv v méd Substtundo P (v) e resolvendo através da ntegral (16 em apêndce), encontramos: 3RT ( v ) méd M A raz quadrada de ( v ) méd é a velocdade méda quadrátca v rms : M v rms 3RT ELOCIDADE RMS

11 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 11 A velocdade mas provável vp é aquela na qual P(v) é máxma. Fazendo dp / dt 0 temos um valor máxmo na curva e então, RT v p M ELOCIDADE MAIS PROÁEL Exercíco: Um recpente com gás oxgêno é mantdo na temperatura ambente de (300K). Qual é a fração das moléculas que possuem velocdades no ntervalo de 599 a 601 m/s? A massa molar M do oxgêno é 0,030 kg/mol. Resp.,6x10-3. A massa molar M do oxgêno é 0,030kg/mol. (a) Qual a velocdade méda vméd das moléculas do gás oxgêno a T=300K? (b) Qual é a velocdade méda quadrátca rms em v T=300K? (c) Qual a velocdade mas provável Resp. 445m/s; 483m/s; 395m/s. vp a 300K? 19.8 Os Calores Específcos Molares de um Gás Ideal Energa Interna E nt - Supondo um gás deal monoatômco (hélo, neôno, argôno...), cuja energa nterna esteja assocada apenas as energas de cnétcas de translação de seus átomos, teremos: 3 E nt ( nn A ) K méd ( nn A )( kt )

12 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 1 Usando k R / N A, teremos: E nt 3 nrt GÁS IDEAL MONOATÔMICO A energa nterna de um gás deal é função apenas da temperatura do gás; ela não depende de qualquer outra varável. Calor Específco Molar a olume Constante Na fgura ao lado, o gás é elevada lentamente de T a T T, enquanto a pressão passa de p para p p em um processo a volume constante. O calor é adconado, mas nenhum trabalho é realzado, como mostra o dagrama p-. Neste caso, o calor Q está relaconado com a varação da temperatura por: Q nc v T C v é uma constante chamada calor específco molar a volume constante. Usando a 1ª le da termodnâmca e substtundo Q, teremos: nt E ncvt W

13 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 13 Como o volume é mantdo constante, W 0 e então: E 3 C v nrt Ent nt Sabemos que, de modo que a varação da energa nterna seja da forma E nt 3 nrt nt, logo: 3/ nrt 3 C v R nt, assm, C v 1,5J / mol. K Gás monoatômco Generalzando para qualquer gás deal temos, E nc T nt v, o que nos leva a uma varação de energa do tpo: E nc nt v T Gás deal, qualquer processo. Uma varação na energa nterna Ent de um gás deal confnado depende apenas da varação na temperatura do gás; ela não depende do tpo de processo que produz a varação de temperatura Calores Específcos Molares a olume Constante Molécula Exemplo ( J / mol. K) Monoatômca Datômca Polatômcas Na fgura acma, os três processo, volume constante (1), pressão constante() e sem troca de colar com o meo (3), A varação da energa nterna é a mesma, pos ad temperaturas ncal e fnal são as mesmas. C v Ideal 3 R 1, 5 Real He 1,5 Ar 1,6 Ideal 5 R 0, 8 Real N 0,7 O 0,8 Ideal 3R 4, 9 Real NH 4 9,0 CO 9,7

14 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 14 Calor Específco Molar a Pressão Constante Nesta stuação, a temperatura de um gás deal é elevada de T para T T em um processo a pressão p constante. Calor é adconado e trabalho é realzado levantando o pstão carregado. Este processo é mostrado no dagrama p- abaxo. O valor de Q está assocado com a varação de temperatura T por: Q nc p C p é uma constante chamada calor específco molar a pressão constante. T Usando a 1ª le da termodnâmca, temos: E nt Q W mas E nc nt v T, Q ncpt e W p, logo: ncv T nc pt p, como C e p nrt, chegamos a uma relação entre p C v nc C v v T nc C p R logo: p T nrt C p C v R

15 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 15 Exercíco: Uma bolha de 5,00mol de hélo está submersa a uma certa profunddade na água quando a água (e, portanto o hélo) sofre um aumento de temperatura de 0 0 C a pressão constante. Como resultado, a bolha se expande. O hélo é monoatômco e deal. (a) Quanta energa é adconada ao hélo sob a forma de calor durante esta expansão com o aumento de temperatura? (b) Qual é a varação Ent do hélo durante o aumento de temperatura? (c) Que trabalho W é realzado pelo hélo quando ele se expande contra a pressão da água ao seu redor durante o aumento de temperatura? Respostas: Q 077, 5J ; Ent 146, 5J ; W 831J 19.9 Graus de Lberdade e Calores Específcos Molares. 3 Na últma tabela, verfcou-se que C v R concorda para gases monoatômco, mas falha para gases datômcos e polatômcos. Isto ocorre porque as moléculas com mas de um átomo armazenam energa numa forma dferente do que a cnétca translaconal Teorema da equpartção da energa de James Clerk Maxwell Todo tpo de molécula tem um certo número f de graus de lberdade, que são maneras ndependentes pelas quas uma molécula pode armazenar energa. Cada grau de lberdade tem a ele assocada 1 na méda uma energa de kt por molécula (ou por mol).

16 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 16 Para os gases datômcos e polatômcos, é necessáro 3 refazer os cálculos. Prmero, trocamos a equação Ent nrt por E nt ( f / ) nrt, onde f é o número de graus de lberdade lstado na tabela abaxo. Graus de Lberdade Para áras Moléculas Calores Específcos Graus de Lberdade Molares Prevstos f Molécula Exemplo Translação Rotação Total ( f ) C v R C C Monoatômca He R Datômca O 3 5 R Fazendo sto, podemos prever que: f C v R 4,16 f ( J Gás datômco e polatômco / mol. K) Exercíco: Uma cabana de volume está preenchda com ar (que vamos consderar um gás deal datômco) em uma temperatura ncal T 1. Após acender uma larera, a temperatura do ar aumenta para T. Qual é a varação resultante E na energa nterna do ar na cabana? Resposta: 0 nt p v R 3 5 R 5 7 R Polatômca CH R 4R

17 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr Uma Sugestão da Teora Quântca. Se a temperatura do gás for sufcentemente alta, outro movmento (outro grau de lberdade) pode aparecer, o osclatóro. No caso do O, os átomos começaram a osclar um em relação ao outro, como se conectados por uma mola A Expansão Adabátca de um Gás Ideal Este processo ocorre sem troca de calor entre o sstema e o meo, ou seja, Q 0. Na fgura, o volume de um gás deal é expanddo removendo-se massa do pstão processo adabátco de para f - como mostra o dagrama p-. Neste caso, podemos escrever, p const. Processo Adabátco Onde C / C p.

18 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 18 nrt Num processo adabátco, p p ff. Usando p, podemos elmnar p, fcando com; nrt const. Como nr são constantes, podemos escrever: 1 T const. Processo Adabátco Quando o gás va de um estado ncal até um estado fnal: T 1 1 Tf f Processo Adabátco Expansões Lvres: É um processo adabátco que não envolve trabalho realzado pelo gás ou sobre o gás e nem vara sua energa nterna. Logo as equações anterores não se aplcam. As temperaturas ncal e fnal devem ser a mesma, ou seja, o processo ocorre sobre uma soterma. T T f Expansão Lvre Se não há varação na temperatura, não pode haver varação no produto p, logo: p p Expansão Lvre Exercíco: No segundo exercíco, 1 mol de oxgêno (por hpótese, um gás deal) se expande sotermcamente (a 310K) a partr de um volume ncal 1L a um volume fnal 19L. (a) Qual sera a temperatura fnal se o gás tvesse expanddo adabatcamente até este mesmo volume fnal? O oxgêno é datômco e aqu possu rotação, mas não oscla. (b) Qual sera a temperatura fnal e a pressão fnal se, em vez dsso, o gás tvesse expanddo lvremente para o novo volume a partr de uma pressão de,0pa? Resp. 58K; 310K e 1,3Pa. f f

19 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 19 Resumndo, os quatro processos em gases: 1- Isobárco - Isotérmco 3- Adabátco 4- Isocórco (sovolumétrco) Quatro Processos Especas Trajetóra do gráfco acma Grandeza constante 1 p 3 4 T 1 p, T Tpo de processo Isobárco Alguns resultados especas Ent Q W Ent ncvt (para todas as trajetóras) Q nc pt W p Isotérmco Q W nrt ln Adabátco Isocórco E nt 0 Q 0 W E nt Q Ent ncv W 0 f T

20 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 0 Exercícos do Cap 19 1) Encontre a massa em qulograma de 7,50x10 4 átomos de arsênco, que tem uma massa molecular de 74,9g/mol. 3) Calcule (a) o número de moles e (b) o número de moléculas em 1,00cm 3 de um gás deal numa pressão de 100Pa e numa temperatura de 0K. 5) Uma amostra de gás oxgêno tendo volume de 1000cm 3 a 40 o C e 1,01x10 5 Pa se expande até que seu volume seja de 1500cm 3 e sua pressão seja de 1,06x10 5 Pa. Encontre (a) o número de moles do oxgêno presente e (b) a temperatura fnal da amostra. 7) Uma certa quantdade de um gás deal a 10,0 o C e 100kPa ocupa um volume de,50m 3. (a) Quantos moles do gás estão presentes? (b) Se a pressão for aumentada para 300kPa e a temperatura elevada para 30,0 o C, que volume o gás passará a ocupar? Suponha que não há vazamento. 11) No ntervalo de temperatura de 310K para 330K, a pressão p de um certo gás não deal está relaconada com seu volume e temperatura T por T T p ( 4,9J / K) (0,0066J / K ). Que trabalho é realzado pelo gás se a sua temperatura aumentar de 315K para 35K a pressão constante? 17) A menor temperatura possível no espaço sderal é,7k. Qual é a velocdade rms de moléculas de hdrogêno nesta temperatura? (A massa molar das moléculas de hdrogêno (H ) é dada na tabela 19-1). 19) (a) calcule a velocdade rms de uma molécula de ntrogêno a 0,0 o C. A massa molar das moléculas de (N ) é dada na tabela Em que temperatura a velocdade rms será (b) metade desse valor e (c) o dobro desse valor? 1) Um fexe de moléculas de hdrogêno (H ) está dreconado para uma parede, em um ângulo de 55 o com a normal à parede.

21 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 1 Cada molécula no fexe tem uma velocdade de 1,0km/s e uma massa de 3,3x10-4 g. O fexe atnge a parede sobre uma área de cm, a uma taxa de 10 3 moléculas por segundo. Qual é a pressão do fexe sobre a parede? 4) Determne o valor médo da energa cnétca de translação das moléculas de um gás deal a (a) 0,00 o C e (b) 100 o C. Qual é a energa cnétca de translação méda por mol de um gás deal a (c) 0,00 o C e (d) 100 o C? 7) A densdade atmosférca em uma alttude de 500km está em torno de uma molécula/cm 3. (a) Supondo que o dâmetro da molécula seja de,0x10-8 cm, determne o camnho lvre médo 1 prevsto por. (b)explque se o valor prevsto é sgnfcatvo. d N / 30) A 0 o C e a uma pressão de 750torr, os camnhos lvres médos para o gás argôno (Ar) e o gás ntrogêno (N ) são 6 6 Ar 9,9x10 cm e N 7,5x10 cm. (a) Encontre a razão entre o dâmetro de um átomo de Ar e o de uma molécula de N. Qual é o camnho lvre médo do argôno a (b) 0 o C e 150torr, e (c) 40 o C e 750torr? 3) As velocdades de partículas são as seguntes (N representa o número de partículas que têm velocdade v ): N (m/s) 1,0,0 3,0 4,0 5,0 Quas são (a) v méd, (b) v rms, (c) v p? 39) A fgura abaxo mostra uma dstrbução de velocdades hpotétca para uma a mostra de um gás com N partículas (note que P( v) 0 para velocdades v v0 ). Quas são os valores de (a) av v 0, (b) méd v e (c) rms, (d) qual a v 0 v 0 fração das partículas que têm velocdades entre 1,5v 0 e,0v 0?

22 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 41) A temperatura de,00mol de um gás deal monoatômco aumenta de 15,0K a volume constante. Quas são (a) o trabalho realzado pelo gás, (b) a energa transferda como calor, (c) a varação da energa nterna do gás e (d) a varação da energa cnétca méda por átomo. 44) Quando 0,9J foram adconados como calor a um gás deal partcular, o volume do gás varou de 50,0cm 3 para 100cm 3 enquanto a pressão permaneceu em 1,00atm. (a) De quanto varo a energa nterna do gás? Se a quantdade de gás presente era de,00x10-3 mol, encontre (b) C p e (c) C v. 46) Um mol de um gás deal datômco va de a para c ao longo da trajetóra dagonal na fgura abaxo. Durante a transção, (a) qual é a varação na energa nterna do gás e (b) quanta energa é adconada ao gás como calor? (c) Que calor é necessáro se o gás va de a para c ao longo da trajetóra abc? 49) Quando 1 mol de gás oxgêno (O ) é aquecdo a pressão constante ncando a 0 o C, quanta energa deve ser adconada ao gás como calor para dobrar seu volume? 51) Suponha que 4,00 mol de um gás deal datômco, com rotação molecular, mas sem osclação, sofrem um aumento de temperatura de 60,0K sob pressão constante. Quas são (a) a energa transferda como calor Q, (b) a varação Ent na energa nterna do gás, (c) o trabalho realzado pelo gás e (d) a varação K na energa cnétca translaconal total do gás? 53) Um certo gás ocupa um volume de 4,3L na pressão de 1,atm e uma temperatura de 310K. Ele é comprmdo adabatcamente para um volume de 0,76L. Determne (a) sua pressão fnal e (b) a temperatura fnal, supondo que o gás é deal e que 1, 4.

23 Cap 19: Teora Cnétca dos Gases - Prof. Wladmr 3 55) A fgura abaxo mostra duas trajetóras que podem ser segudas por um gás de um ponto ncal até um ponto fnal f. A trajetóra 1 consste em uma expansão sotérmca (o trabalho tem módulo de 50J), uma expansão adabátca (trabalho com módulo de 40J), uma compressão sotérmca (trabalho 30J em módulo) e então uma compressão adabátca (o trabalho tem módulo de 5J). Qual é a varação na energa nterna do gás se ele for do ponto para o ponto f segundo a trajetóra?