ELEMENTOS DE AUTOMAÇÃO PAULO GARRIDO DEI-UM

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1 ELEMENTOS DE AUTOMAÇÃO PAULO GARRIDO DEI-UM

2 . INTRODUÇÃO. Controlo de Acontecimentos Discretos Dispositivos Usados no Controlo de Acontecimentos Discretos Sensores Actuadores Controladores lógicos... 8 Tecnologia electromecânica...8 Tecnologia pneumática... Electrónica digital ÁLGEBRA DE BOOLE E CONTROLADORES COMBINACIONAIS 3 2. Álgebra de Boole Definição Teoremas Funções e expressões booleanas... 6 Tabelas de verdade Simplificação de Expressões Lógicas Utilização dos teoremas da álgebra de Boole Mapas de Karnaugh Grupos de adjacência e simplificação dos termos...27 Leitura de mapas na forma mínima soma de produtos...29 Condições indiferentes PROJECTO DE CONTROLADORES LÓGICOS SEQUENCIAIS O Método de Huffman O Método do Grafcet Princípios do Grafcet Descrição de um sistema automatizado...37 Definição dos elementos do Grafcet...38 Regras de sintaxe...40 Regras de evolução...4 Estruturas de base Exemplo de aplicação Especificações do projecto...45 Caracterização do sistema automatizado...46 Diagrama Grafcet de nível (especificações funcionais)...48

3 Diagrama Grafcet de nível 2 ( especificações tecnológicas)...49 Alterações da especificação...50 Implementação do sistema automatizado Linguagens de Programação...52 Bibliografia 55

4 . INTRODUÇÃO A Automação é uma área do conhecimento científico e tecnológico que teoriza a automatização dos dispositivos ou sistemas artificiais, em particular, dos dispositivos ou sistemas de produção. Por automatização de um dispositivo entender-se-á a obtenção do seu funcionamento minimizando a intervenção humana. A automatização tem grandes implicações sócio-económicas pois permite libertar o Homem de tarefas de rotina, melhorar a fiabilidade dos processos automatizados, e a qualidade e quantidade dos produtos fabricados. Não será excessivo dizer que a existência e o nível de vida das sociedades (pós)-industriais depende criticamente da automatização conseguida em todo o tecido produtivo. A questão da automatização dos sistemas de produção pode ser estudada a diferentes níveis onde se colocam problemas específicos com uma abordagem e resolução próprias. A Prodútica que é um conceito novo global baseado na automatização prevê uma estrutura com 4 níveis.. Comando individual de máquinas e processos onde se procura automatizar as acções realizadas por uma determinada máquina. 2. Comando centralizado de máquinas e processos envolvendo: a) Coordenação de estações de trabalho constituídas por máquinas ferramentas, robôs e unidades de armazenamento interligadas. b) Coordenação de células flexíveis de produção (sala ou linha de produção) que são um conjunto de estações de trabalho onde se realiza uma tarefa específica. 3. Gestão da produção com monitorização em tempo real de todo o processo de modo a detectar anomalias e ainda assegurar uma gestão correcta dos recursos.

5 Cap. Introdução 2 4.Planificação da gestão global "off-line" onde se determina a alocação das máquinas para a realização das várias operações tendo em vista a obtenção de determinados níveis de produção. Os conceitos e técnicas de projecto de dispositivos automatizados, a apresentar neste texto, são orientados à aplicação no nível acima e, em alguma medida, no nível 2a). Globalmente, podem considerar-se como uma introdução ao ramo da Teoria do Controlo, designado por controlo de acontecimentos discretos ('discrete events control', na terminologia inglesa).. Controlo de Acontecimentos Discretos No controlo de grandezas contínuas, estudado anteriormente, pretende-se regular a(s) variável(is) do processo de acordo com o(s) valor(es) de referência especificado(s), veja-se a figura.. O objectivo deste tipo de controlo é restringir o comportamento do sistema, entendido como a evolução no tempo de um conjunto especificado de variáveis a controlar, a uma vizinhança da evolução das variáveis de referência. A estratégia de controlo estudada baseia-se no conceito de realimentação também conhecido como "feedback". Variável de Referência Controlador Variável de Comando Processo Variável Controlada Fig.. Estrutura de um sistema de controlo monovariável de grandezas contínuas. As variáveis presentes na malha de controlo, são vistas como tomando valores num certo intervalo real. Processo e controlador são então descritos por um conjunto de equações algébricas ou diferenciais que relacionam as variáveis do sistema. Para a definição do controlo de acontecimentos discretos, podemos partir de um modelo de estrutura do sistema de controlo basicamente idêntico, veja-se a figura.2. O controlador interage com o processo a ser controlado enviando-lhe ordens ou comandos e recebendo informações que definem o estado do processo. Pode considerar-se que, implicitamente, o controlador tem como variável de referência, um conjunto ou sequência de acontecimentos que se pretende desencadear ou garantir no processo. O objectivo do controlo será então desencadear no processo este conjunto ou sequência de acontecimentos especificados, em função de condições no estado do processo. Os acontecimentos, que também designaremos como acções, correspondem

6 Cap. Introdução 3 frequentemente a movimentações de elementos no processo. Uma fundamental característica deste tipo de controlo é que o estado do processo a estudar é bem caracterizado pelo valor de um conjunto de variáveis binárias. O valor de uma variável indica se uma determinada condição se verifica ou não, ou se uma determinada acção se realizou ou não no processo. Assim, o controlo de acontecimentos discretos significa uma fundamental mudança na natureza (e nível hierárquico) do modelo de comportamento do processo controlado. Uma acção é, conceptualmente, uma entidade mais complexa do que a evolução de uma variável contínua, como posição ou temperatura. Poderá mesmo definir-se uma acção, como um conjunto de evoluções de variáveis contínuas que satisfaz certos requisitos. Por exemplo, a acção:deslocação de uma peça, implica uma determinada evolução das variáveis de posição x, y e z da peça num certo intervalo de tempo. Conjunto ou Sequência de Acontecimentos Controlador de Acontecimentos Discretos Processo Fig..2 Diagrama de um sistema de controlo de acontecimentos discretos. Tipicamente, as informações que um controlador de acontecimentos discretos recebe são binárias, mas também o são as ordens que envia para o processo. Se se virem as variáveis binárias como variáveis lógicas que podem tomar os valores de v (0) e f () - verdadeiro e falso, respectivamente -, então um controlador de acontecimentos discretos pode ser descrito por um conjunto de equações lógicas que especificam as suas saídas (ou ordens que envia para o processo) como valores defunções booleanas das suas entradas (ou informações que recebe do processo). Mais expeditamente, referir-nos-emos então ao controlador, como sendo um controlador lógico. Um sistema de controlo de acontecimentos discretos não será constituído apenas por controlador e processo. Tal como no controlo de variáveis contínuas, as ligações do controlador ao processo são realizadas por actuadores e sensores, veja-se a figura.3.

7 Cap. Introdução 4 Conjunto ou Sequência de Acontecimentos Controlador de Acontecimentos Discretos ou Controlador Lógico Actuadores Processo Sensores Fig.3 A comunicação entre controlador e processo realiza-se através de actuadores e sensores..2 Dispositivos Usados no Controlo de Acontecimentos Discretos Referem-se agora brevemente os dispositivos presentes no diagrama de blocos da figura.3: sensores, actuadores e controladores lógicos..2. Sensores Como referido, os sensores a utilizar neste tipo de controlo têm usualmente apenas 2 valores de saída possíveis, que são feitos corresponder a dois estados definidos do processo ou dos seus elementos. Discriminam assim se uma determinada acção ou condição (como a movimentação de uma carga ou o aquecimento de um banho) foi realizada ou atingida. Para a discriminação da movimentação ou posição de cargas ou objectos, usam-se detectores de proximidade que, atendendo ao seu princípio de funcionamento, podem agrupar-se em: mecânicos, capacitivos, indutivos ou ópticos. Um detector de proximidade mecânico não é mais que um interruptor accionado pelo objecto numa determinada posição do seu curso. O accionamento do interruptor provoca o fecho ou abertura de um circuito eléctrico, provocando a variação de um potencial ou de uma corrente eléctrica numa entrada do controlador. A variação é interpretada por este, como a passagem de uma variável lógica de um valor f a v ou vice-versa, veja-se a figura.4. Os detectores capacitivos, indutivos ou ópticos funcionam de forma análoga. Do ponto de vista do controlador são dispositivos eléctricos com dois terminais. A presença de um objecto na posição definida pelo detector provoca uma mudança de capacidade ou indutância, ou a interrupção de um feixe luminoso. Esta mudança é convertida na variação da impedância ou resistência eléctrica entre os dois terminais de um valor próximo de zero a um valor muito elevado ou vice-versa. Ou seja, o detector comporta-se como um interruptor.

8 Cap. Introdução 5 x0 Controlador lógico Objecto Fig..4 Quando um certo objecto do processo atinge a posição x 0 do interruptor, provoca o seu fecho e, logo, uma mudança bem definida no estado do circuito eléctrico em que este está inserido. Esta mudança é interpretada como a comutação do valor de uma variável lógica, cujo significado é "(é verdade/falso que) o objecto está na (atingiu a) posição x 0 ". A abertura do interruptor, quando o objecto se afasta, é assegurada por uma mola ligada ao contacto. Em geral, e do ponto de vista do projecto do controlador, o funcionamento de qualquer sensor pode ser abstraído e representado simplesmente como um interruptor ou contacto, cujo estado é descrito por uma variável lógica (dita variável lógica de entrada). Uma distinção básica entre contactos é o valor do seu estado na situação de repouso, isto é, quando não estão a ser actuados. Se em repouso, o contacto está aberto, é dito normalmente aberto (abreviadamente NA) e é-lhe associada uma variável lógica não negada, exemplo a. Se em repouso o contacto está fechado, é dito normalmente fechado (abreviadamente NF), e é-lhe associada uma variável lógica negada, exemplo a/. Veja-se a tabela.. Uma representação gráfica usual de contactos normalmente abertos ou normalmente fechados e respectivas variáveis associadas é apresentada na figura.5. Contacto NA Valor de a NF Valor de a/ em repouso Aberto 0 Fechado 0 actuado Fechado Aberto Tabela. Valores do estado de contactos NA e NF e respectivas variáveis lógicas associadas, nas situações de repouso e de actuação. a a/ Contacto normalmente aberto Contacto normalmente fechado

9 Cap. Introdução 6 Fig..5 Representação esquemática de contactos normalmente abertos ou fechados. Consideraremos também como sensores, as botoneiras ou selectores usadas pelos operadores para iniciar ciclos de trabalho das máquinas ou seleccionar modos de operação. A justificação para esta perspectiva é que, embora em termos de operação do processo a sua função seja diferente da dos sensores referidos anteriormente, em termos de projecto comportam-se como variáveis de entrada dos controladores..2.2 Actuadores Os actuadores são os responsáveis directos pelas mudanças no processo provocadas pelos controladores lógicos. Como se disse anteriormente, essas acções traduzem-se muitas vezes por movimentações. Os dispositivos que se usam mais frequentemente para este fim são os motores eléctricos e os cilindros electropneumáticos. Os motores eléctricos convertem energia eléctrica em energia mecânica. Atendendo ao seu princípio de funcionamento podem considerar-se 2 grupos: motores de corrente contínua e motores de corrente alternada. Num cilindro electropneumático, movimenta-se linearmente um êmbolo com uma haste solidária. O ar comprimido constitui a sua fonte de energia, a admissão do ar comprimido no cilindro sendo feita geralmente por válvulas de comando eléctrico. A passagem de informação dos controladores para os actuadores será normalmente realizada através de circuitos amplificadores de potência, como relés electromecânicos ou do estado sólido. Um relé electromecânico é basicamente constituído por uma bobine e uma armadura móvel. Ao ser percorrida por uma corrente eléctrica, a bobine cria um campo magnético que atrai a armadura móvel onde estão fixados contactos. Quando a corrente é interrompida, o regresso da armadura à posição de repouso é assegurado por uma mola, vejase a figura.6. Contactos Mola Alimentação da bobina Fig.,6 Representação esquemática de um relé com 3 contactos normalmente abertos. O número e tipo (NA ou NF) de contactos num relé varia com o modelo deste. Como caso particular, interessa mencionar os contactores. São relés electromecânicos com ou 3 contactos NA construídos para comutar correntes eléctricas mono ou trifásicas elevadas, como as que são muitas vezes exigidas na alimentação de motores.

10 Cap. Introdução 7 Os relés do estado sólido são assim chamados porque a comutação das correntes eléctricas se obtém, não com bobinas e contactos, mas sim com dispositivos semicondutores de potência como tiristores ou 'triacs'. Do ponto de vista do projecto do controlador, o estado dos actuadores é descrito por uma variável lógica (dita variável lógica de saída), cujos dois valores, 0 e, correspondem respectivamente aos estados de excitação da bobina do relé que liga ou desliga o actuador. A figura.7 apresenta representações gráficas usuais de relés e actuadores. Note-se que também se considerarão as lâmpadas usadas para sinalização aos operadores de condições do processo, como sendo actuadores. M Bobina de relé Motor Lâmpada Fig..7 Representação gráfica de alguns elementos referenciados no texto. Os contactos de relés e contactores não se apresentam, pois normalmente eles serão representados, não junto das bobinas, mas sim nos pontos dos circuitos eléctricos em que se inserem..2.3 Controladores lógicos Os controladores lógicos caracterizar-se-ão por um conjunto de equações, que descrevem as saídas do controlador como funções booleanas: - apenas das suas entradas. Neste caso, diremos que o controlador é combinacional. - das suas entradas e de variáveis internas de memória. Neste caso, diremos que o controlador é sequencial, pois reage não só ao valor instantâneo das entradas, mas também a sequências específicas que estes valores podem tomar no tempo. Sejam u,...,u m as variáveis de entrada, x,...,x r as variáveis internas e y,..., y n as variáveis de saída do controlador. Ter-se-á então que uma variável y i de um controlador combinacional tem por expressão y i = f i (u,...,u m ) em que f i representa uma função booleana. Da mesma forma, para um controlador sequencial, ter-se-á: y i = f i (u,...,u m, x,...,x r ) A implementação das equações em termos de dispositivos físicos sofreu uma grande evolução. Referiremos as tecnologias: - Electromecânica

11 Cap. Introdução 8 - Pneumática - Electrónica digital. Tecnologia electromecânica Neste caso, cada saída do controlador tem associado um relé. A função lógica associada a essa saída é implementada directamente no circuito da bobina do relé (circuito de comando) recorrendo a ligações série e paralelo dos contactos correspondentes às entradas do controlador (botões de comando e sensores). No caso de controladores sequenciais, as variáveis internas do controlador, são também implementadas por um relé associado que funciona como elemento de memória. Vejamos um exemplo combinacional e um exemplo sequencial. A representação gráfica usará os chamados diagramas de escada (do inglês 'ladder diagrams'). Exemplo Por questões de segurança, pretende-se que o motor de uma prensa só seja energizado se o operador carregar simultaneamente em dois botões afastados entre si. Se forem b e b 2, as variáveis lógicas associadas a cada um dos botões e M a variável lógica associada à saída do controlador, então a equação lógica, que descreve este, é M = b.b 2, ou seja, a variável de saída, que determina a energização do motor, é o "E" lógico das duas variáveis de entrada. Graficamente, o controlador será então representado como: 24 V b b2 M 0 V A alimentação de sensores e controladores lógicos é muito usualmente realizada com uma tensão de 24 Volt. Neste caso e em termos de circuito eléctrico, o controlador consiste na colocação em série, entre os 24 V e os 0 V de alimentação, dos contactos dos botões e da bobina do relé que liga o motor. Suponhamos que este é trifásico, requerendo portanto uma alimentação de 220 Volt trifásica. O sistema total pode ser representado simplificadamente por: 220 V m M 0 V Circuito de potência 24 V b b2 M 0 V Circuito de comando Os 3 contactos do relé M que ligam o sistema de alimentação trifásico são representados por um só contacto m. Esta é uma convenção usual: enquanto que a variável lógica (de saída) associada a um relé se designa por uma letra maiúscula, os contactos do relé são designados pela mesma letra, mas

12 Cap. Introdução 9 minúscula. Se não se realizarem ligações instáveis, claramente, o valor lógico da variável que descreve a energização da bobina do relé e das variáveis que descrevem o estado dos seus contactos NA, é o mesmo. Note-se que, falando estritamente, a representação de sensores e actuadores não faz parte da representação de um controlador lógico. O que se representa no diagrama de um controlador lógico são as variáveis lógicas que descrevem o estado de sensores e actuadores. Nesta metáfora gráfica, que teve origem na implementação electromecânica dos controladores, as variáveis são representadas por contactos e relés. No caso anterior, o controlador é combinacional pois o valor da variável de saída só depende dos valores (instantâneos) das variáveis de entrada. Vejamos agora um exemplo sequencial. Exemplo Suponha-se uma mesa que transporta peças entre duas posições sobre uma linha, xe e xd. A mesa é deslocada em cada um dos sentidos por dois motores eléctricos, E e D. Dois interruptores de fim-decurso, l e r, detectam a chegada da mesa a cada uma das posições extremas. Dois botões, be e bd, devem, quando premidos, provocar a movimentação da mesa para a esquerda e direita respectivamente. Se forem largados, o movimento deve manter-se até a mesa chegar à posição extrema. Veja-se a figura: E D l r be bd xe xd O diagrama de um controlador ou circuito de comando respondendo às especificações, apresenta-se na figura seguinte: e be bd/ l/ E d bd be/ r/ D Notem-se os seguintes pontos: - a colocação de um contacto de cada relé em paralelo com o contacto NA do botão que provoca a sua

13 Cap. Introdução 0 energização permite que a mesa se continue a deslocar mesmo depois de cessar a actuação sobre os botões. Com efeito, a energização dos relés E e D provoca o fecho dos seus contactos auxiliares e e d, constituindo um 'by-pass' aos contactos NA dos botões que mantém os relés energizados, mesmo que os botões sejam largados. - a colocação em série de contactos NF dos fins-de-curso garante que os relés, e logo os motores, sejam desligados quando a mesa atinge as posições extremas. - a colocação em série de contactos NF dos botões impossibilita que os motores sejam ligados ao mesmo tempo (uma situação a evitar claramente), mesmo que se carregue simultaneamente nos dois botões. Este controlador pode ser descrito pelas seguintes equações lógicas: E = (be + e) bd / l / D = (bd + d ) be / r / O controlador tem 4 variáveis de entrada (be, bd, l e r), duas variáveis de saída (E e D), e duas variáveis internas (e e d). É portanto um controlador sequencial em que as variáveis internas e de saída são as mesmas. Repare-se que a resposta à actuação em qualquer um dos botões é diferente consoante a mesa esteja parada ou não. Tecnologia pneumática A tecnologia pneumática usa elementos que funcionam tendo como fonte de energia ar comprimido. Existem elementos capazes de realizar funções lógicas (como o "E" ou o "Ou"). A existência de sensores e actuadores funcionando com o mesmo princípio, permite constituir sistemas totalmente baseados em ar comprimido. A sua utilização é de especial interesse em ambientes explosivos ou sujeitos a fortes campos electromagnéticos onde a tecnologia anterior pode ser perigosa ou sofrer interferências. O principal inconveniente é a necessidade de estabelecimento de um circuito de ar comprimido próprio, com custos elevados de instalação e manutenção, bem como o volume ocupado pelos dispositivos. Electrónica digital A electrónica digital começou a ser utilizada em Automação a partir do momento em que se criaram os circuitos lógicos integrados em pequena e média escala (SSI e MSI). Mas foi com o aparecimento dos microprocessadores, que se abriram perspectivas de larga aplicação, nesta área devido à generalização dos dispositivos conhecidos como Controladores Lógicos Programáveis (abreviadamente PLC's na literatura inglesa, também referidos como Autómatos na literatura francesa). Um controlador lógico programável é fundamentalmente um microcomputador cujo

14 Cap. Introdução 'hardware' é concebido para aplicação industrial em tarefas específicas de Automação. Uma configuração básica contém CPU, memória volátil e não volátil e módulos de 'interface' com o processo. O 'software' de base permite a sua programação de forma a configurá-lo como um controlador lógico, basicamente limitado apenas pelo número de entradas e saídas 'hardware' disponíveis e pelo tamanho de memória. As linguagens de programação podem usar diferentes metáforas tipo, como a simulação de um circuito electromecânico, a simulação de um circuito lógico SSI, uma descrição textual das funções lógicas a implementar, ou diagramas de estado de circuitos lógicos, frequentemente, encontrando-se uma mistura destes tipos. A flexibilidade introduzida por um dispositivo programável, permite incluir nas instruções de programação comandos complexos, como funções lógicas de selecção, contadores, temporizadores, geradores de 'streams' de 'bits' com propriedades especificadas, etc. O 'interface' humano com o PLC pode ser realizado por consolas dedicadas, ou usando um computador de uso geral, que simplifica bastante as tarefas de desenvolvimento, teste e implementação dos programas ou controladores lógicos requeridos. A aparente sofisticação introduzida com a sua utilização é largamente compensada pelas vantagens resultantes: - a possibilidade de programação permite a utilização do mesmo controlador para executar tarefas distintas, procedendo apenas à alteração do programa introduzido; - a duplicação dos programas é também um processo simples permitindo, em caso de necessidade, a criação rápida de vários controladores idênticos. - a melhoria registada na instalação e manutenção dos sistemas automatizados, dado que esta solução reduz substancialmente o número de ligações a estabelecer fisicamente, pois todo o processamento é realizado por "software". A grande evolução registada nos microprocessadores (capacidades e preço) reflectiu-se positivamente nos controladores programáveis tornando-os uma opção aliciante também do ponto de vista económico para a maioria das aplicações. No caso de se pretender automatizar processos industriais de média ou grande complexidade deve-se optar pela utilização de PLC's, porque, nesse caso, o tempo de desenvolvimento, instalação e manutenção tem importância fundamental no custo total do projecto, tornando pouco significativo os gastos com o equipamento. No entanto os controladores cableados (na literatura inglesa WLC) ainda surgem frequentemente nos pequenos sistemas, dado que o investimento inicial fixo necessário num PLC, poderá não se justificar, sobretudo se o controlador lógico a implementar for de pequena complexidade.

15 2. ÁLGEBRA DE BOOLE E CONTROLADORES COMBINACIONAIS Tradicionalmente, o projecto (síntese) de um controlador lógico comporta 3 fases. - Inicialmente ter-se-á de elaborar o caderno de encargos do controlador, ou seja, especificar o seu funcionamento. As especificações devem ser sujeitas a uma validação. Sempre que se registem faltas ou incongruências, devem corrigir-se as especificações. 2 - A fase seguinte começa com a identificação dos sinais de entrada e de saída do controlador, que receberão a informação e actuarão sobre o processo que se pretende controlar. Nesta altura, aplica-se um método de síntese mais ou menos intuitivo que visa a realização do controlador. Por método de síntese, entende-se um método que permite transformar as especificações em linguagem corrente em equações lógicas. O resultado obtido no fim desta fase é um conjunto de funções lógicas que definem o autómato. 3 - Numa última fase, procede-se à implementação das equações obtidas, utilizando uma dada tecnologia. A distinção entre esta fase e a anterior poderá não ser perfeitamente nítida, na medida em que, muitas vezes, o método de síntese tem já em vista uma dada tecnologia. Partindo deste padrão básico, que é sempre útil ter em mente, podem realizar-se diferentes variações, de maior ou menor sofisticação, na metodologia de projecto. Em qualquer caso, dada a natureza dos controladores, a utilização da álgebra de Boole das proposições aparece como uma ferramenta conceptual indispensável. Recorde-se que os controladores lógicos combinacionais ficam perfeitamente definidos 2

16 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 3 através de equações lógicas que caracterizam as saídas como funções booleanas apenas das entradas. Para este tipo de controladores, a álgebra de Boole fornece um método praticamente directo, não só para a síntese das equações, como também para a simplificação destas, de modo a reduzir o custo e complexidade da implementação. 2. Álgebra de Boole A designação "álgebra de Boole" como entidade genérica, é actualmente algo enganadora pois, existe, não uma, mas sim uma infinidade de álgebras de Boole. Estaremos interessados na álgebra de Boole dos valores lógicos v e f, que representaremos respectivamente por e 0. Começamos por definir formalmente o conceito. 2.. Definição Seja um sistema algébrico B definido como um quíntuplo ordenado: B = (B,+,,O,U) em que B é um conjunto com mais de um elemento, + e são operações binárias em B, O e U são elementos distinguidos de B. B será uma álgebra de Boole no domínio B, se forem satisfeitos os seguintes postulados: Comutatividade: A a,bib a + b = b + a a b = b a Distributividade: A a,b,cib a + ( b c ) = ( a + b) ( a + c ) a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ) Identidades: A aib a O = O a + U = U Existência de complementar: A aib, a IB a + a = U a a = O Defina-se B por B = { 0, }, 0 e representando como se disse os valores de verdade

17 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 4 ou valores lógicos v e f, e definam-se as duas operações + e pelas tabelas: a b + a b ( {0,}, +,,0, ) é a álgebra de Boole dos valores lógicos v e f. A Então o quíntuplo operação + significa a operação de adição lógica ou disjunção ("Ou") e a operação significa a operação de multiplicação lógica ou conjunção ("E"). O complementar de uma variável, a, significa "Não" a. Destaque-se que as condições da teoria das álgebras de Boole, chamadas axiomas ou postulados, são simétricas relativamente às operações + e, donde resulta o princípio da dualidade: - todo o teorema relativo a álgebras de Boole, enunciado em termos de adição (+) e/ou multiplicação ( ), continua a ser verdadeiro se se trocarem entre si estas operações e os respectivos elementos identidade, 0 e Teoremas A partir dos postulados de uma qualquer álgebra de Boole, podem deduzir-se como teoremas as seguintes propriedades: Associatividade: A a,b,cib ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( a b ) c = a ( b c ) Idempotência: A aib a + a = a a a = a Absorção: A a,bib a + ( a b ) = a a ( a + b ) = a Involução:

18 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 5 A aib a = a Leis de De Morgan A a,bi B ( a + b ) = a b ( a b ) = a + b Teorema do termo / factor "menor": A a,bi B a + ( a b ) = a + b a ( a + b ) = a b Teorema da adjacência lógica: A a,bi B ( a b ) + ( a b ) = a ( a + b ) ( a + b ) = a Teorema do termo / factor "incluído": A a,b,ci B ( a b ) + ( a c ) + ( b c ) = ( a b ) + ( a c ) ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = ( a + b ) ( a + c ) 2..3 Funções e expressões booleanas Dada uma álgebra booleana B, uma função booleana f B é uma projecção de B n para B: f B : B n B Exemplo Seja B = { 0, }. Então, B 2 = { (0,0), (0,), (,0), (,) }. Existem 6 funções de B 2 para B. A função "Ou Exclusivo", por exemplo, corresponde à seguinte associação de elementos de B 2 a elementos de B: f OuX {((0,0),0),((0,),),((, 0),), ((,), 0) } = Dada uma álgebra booleana B com domínio B define-se uma expressão booleana por - os elementos de B são expressões, - as variáveis x, x 2,...x i,... são expressões e - se F e G são expressões então também o são ( F ) + (G ) ( F ) (G) F

19 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 6 Na escrita de uma expressão booleana omitir-se-ão os parênteses, desde que tal não cause ambiguidade, assumindo-se que a operação tem precedência sobre +. A expressão ((a ) (b)) + (c) será assim mais simplesmente escrita a b + c. Uma expressão booleana determina ou representa univocamente uma função booleana, mas o contrário não é verdade: em geral, para uma função booleana, existirá uma infinidade de expressões booleanas que a representam. Dado que estamos a considerar a álgebra de Boole dos valores lógicos v e f, no seguimento referiremos funções e expressões booleanas como funções e expressões lógicas. Estamos agora em posição de entender, de uma forma um pouco mais precisa, as questões de projecto de um controlador lógico como um dispositivo que realiza um conjunto de funções lógicas. O ponto de partida para a síntese do controlador são as especificações do automatismo a implementar. Estas especificações - definem as variáveis de entrada e de saída do controlador. (Implicitamente, definirão também as variáveis internas se implicarem um controlador sequencial.) - e podem ser traduzidas num conjunto de equações que definem cada uma das variáveis de saída (e cada uma das variáveis internas) do controlador à custa de uma expressão lógica envolvendo as variáveis de entrada (e as variáveis internas). Confrontem-se os exemplos no capítulo anterior. A tradução das especificações em equações em que o membro esquerdo é uma variável de saída (ou interna) e o membro direito é uma expressão lógica é efectivamente o passo crucial no projecto. Não estamos em posição de apresentar um método sistemático para a sua realização. Um tal método envolveria a análise das especificações como determinando um conjunto de proposições ou frases elementares sobre o estado do processo. A cada proposição elementar é atribuído uma variável lógica cujo valor de verdade corresponde à saída do sensor associado. As especificações implicam também que as proposições elementares sejam combinadas em proposições compostas à custa de conectivas lógicas. Esta combinação traduz-se nas expressões lógicas que definem as variáveis de saída à custa das variáveis de entrada. De momento, deveremos confiar no conhecimento obtido por experiência para realizar esta tradução. Agora, visto que uma expressão lógica determina univocamente uma função lógica, torna-se claro que qualquer saída de um controlador lógico é uma função das entradas (e das variáveis internas). Mas, visto que uma função pode ser representada por diferentes expressões, não há garantia que a expressão obtida, como resultado do processo intuitivo de tradução seja a mais eficiente (ou elegante) em termos de implementação física. Isto coloca o problema de minimizar ou, pelo menos, simplificar as expressões lógicas obtidas. Esta questão tem métodos sistemáticos de resolução e dedicaremos o resto deste capítulo a uma

20 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 7 abordagem elementar. Existem 4 formas das expressões lógicas que tem interesse referir: - forma canónica soma de produtos - forma canónica produto de somas - forma mínima soma de produtos - forma mínima produto de somas Uma expressão lógica está na forma soma de produtos quando é constituída por somas lógicas de produtos lógicos (estes produtos são também designados por termos). Exemplo: ( a b c ) + ( b d ) + ( a c d ) Uma expressão lógica está na forma produto de somas quando é constituída por produtos lógicos de somas lógicas (estas somas são também designadas por factores). Exemplo: ( a + b + d ) ( b + d ) ( a + c + d ) ( a + d ) As formas canónicas são úteis na análise de circuitos lógicos e constituem ponto de partida de alguns métodos (gráficos, tabulares, etc.) de simplificação de funções lógicas. Diz-se que uma expressão lógica está na forma canónica soma de produtos quando todos os seus termos contêm todas as variáveis (da função que implicitamente a expressão define). Estes produtos são também designados por produtos desenvolvidos, termos desenvolvidos ou mintermos. A forma canónica soma de produtos é também designada por soma de produtos desenvolvidos. Exemplo: F(a,b,c,d) = (a b c d) + (a b c d ) + ( a b c d ) + ( a b c d ) + (a b c d ) + + (a b c d ) Diz-se que uma expressão lógica está na forma canónica produto de somas quando todos os seus factores contêm todas as variáveis (da função que implicitamente a expressão define). Estas somas são também designados por somas desenvolvidas, factores desenvolvidos ou maxtermos. A forma canónica produto de somas é também designada por produto de somas desenvolvidas.

21 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 8 Exemplo: F(a, b, c, ) = (a + b + c ) ( a + b + c) ( a +b +c ) É normalmente a partir das formas mínimas que se procede à implementação de circuitos lógicos com "portas lógicas" (gates) discretas porquanto conduzem normalmente a implementações mais simples. Há várias definições possíveis para as formas mínimas: - menor número de literais (um literal é uma variável não-negada ou uma variável negada); - menor número de termos / factores - somatório do número de termos / factores e de literais mínimo. Adoptar-se-á a última definição. Assim, uma expressão lógica está na forma mínima soma de produtos quando a expressão lógica é constituída por uma soma de produtos tal que o somatório do número de termos e do número de literais é mínimo. Uma expressão lógica está na forma mínima produto de somas quando a expressão lógica é constituída por um produto de somas tal que o somatório do número de factores e do número de literais é mínimo. Tabelas de verdade As tabelas de verdade constituem outro processo de descrever as funções lógicas. A sua utilização deve-se ao modo simples como são obtidas a partir da especificação informal da função. Além disso, permitem a obtenção directa das formas canónicas das expressões algébricas das funções. A tabela de verdade apresenta todas as combinações possíveis das variáveis da função, juntamente com os correspondentes valores assumidos pela função para cada uma dessas combinações. Exemplo a b c F

22 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais Esta tabela descreve uma função F de 3 variáveis a, b e c que assume o valor lógico 0 para as seguintes combinações dos valores das variáveis: a b c, a b c, a b c, a b c, a b c E assume o valor lógico para as combinações: a b c, a b c, a b c A obtenção da expressão lógica da função na forma canónica soma de produtos reduzse a escrever a função como uma soma das expressões das combinações de valores das variáveis para os quais o valor da função é. Exemplo Para a tabela anterior, tem-se: F (a,b,c) = a b c + a b c + a b c Para se obter a expressão lógica na forma canónica produto de somas, pode escrever-se o complementar da função como uma soma de produtos e complementar a expressão resultante, usando as leis de De Morgan. Exemplo Para a tabela anterior, tem-se: F(a,b,c)= (a b c ) + (a b c) + (a b c ) + (a b c)+ (a b c) F(a,b,c)= F(a,b,c)= = (a b c ) + (a b c) + (a b c ) + (a b c)+ (a b c) = = (a b c ) ( a b c) (a b c ) (a b c) (a b c) = = (a + b + c) (a + b + c ) ( a + b + c) ( a + b + c ) ( a + b + c ) A partir da tabela de verdade também se preenchem facilmente os mapas de Karnaugh que constituem a principal ferramenta gráfica de simplificação de funções lógicas.

23 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais Simplificação de Expressões Lógicas 2.2. Utilização dos teoremas da álgebra de Boole A simplificação de expressões lógicas recorrendo aos teoremas da álgebra de Boole não é um processo sistemático. O processo de aplicação dos teoremas repete-se até que já não existam mais partes da expressão susceptíveis de serem simplificadas. Não existe, no entanto garantia que a expressão obtida esteja realmente minimizada. Os teoremas mais utilizados na simplificação de expressões lógicas são: Teorema da absorção : A a,bib a + ( a b ) = a a ( a + b ) = a Teorema do termo / factor "menor" A a,bib a + ( a b ) = a + b a ( a + b ) = a b Teorema da adjacência lógica A a,bib ( a b ) + ( a b ) = a ( a + b ) ( a + b ) = a O teorema da absorção aplica-se quando um termo ou expressão está incluído num termo "maior". Esse termo "maior" tem uma parte que é idêntica ao termo "menor" para além da ocorrência de outras variáveis. O termo maior, nestes casos, é redundante. Se um termo ou uma expressão ocorre num termo "maior" na forma negada da que ocorre num termo "menor", então essa ocorrência na forma negada é redundante (teorema do termo/factor "menor"). O teorema da adjacência lógica aplica-se no caso de dois termos de uma expressão diferirem apenas numa variável, que ocorre na sua forma directa num dos termos e inversa no outro termo. Neste caso essa variável é redundante em ambos os termos. Exemplo F = c d + a b c + b c d Aplicando o teorema de absorção, pois o primeiro termo está incluído no terceiro termo, obtém-se: F = c d + a b c

24 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 2 Em algumas expressões estes teoremas não podem ser aplicados directamente. Exemplo Seja a função F = a b + b e f + a c d + b c d No entanto, recorrendo à propriedade da distributividade F = a b + b e f + a c d ( a + b ) e pela lei de De Morgan F = a b + b e f + c d ( a b ) Agora o primeiro termo aparece incluído na forma de complemento no terceiro termo pelo que se pode aplicar o teorema do termo/factor menor. F = a b + b e f + c d Exemplo Seja agora a função: F = a b c + a b c + a b c + a b c Aqui pode aplicar-se directamente o teorema da adjacência lógica F = a b + a b Recorrendo apenas aos teoremas nem sempre se obtêm a expressão mais simples, pelo que não constituem a ferramenta mais eficaz para a minimização de expressões lógicas. Os mapas de Karnaugh e os métodos tabulares (em particular o de Quine-McCluskey) são alternativas a considerar. Para a utilização manual os mapas de Karnaugh afiguram-se mais convenientes Mapas de Karnaugh Os mapas de Karnaugh constituem outra representação para as funções lógicas. Têm especial utilidade por permitirem obter de forma quase totalmente sistemática, e relativamente expedita, as expressões mínimas das funções lógicas. A minimização não é totalmente sistemática, no sentido de que há casos em que uma parte do processo de obtenção da forma mínima tem que ser feita por tentativa e erro. O mapa de Karnaugh para uma dada função consiste num quadro com tantas células quantas os possíveis mintermos da função, em que as células são dispostas por forma a possibilitarem uma aplicação mecânica do teorema da adjacência lógica (os mintermos a que

25 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 22 é possível aplicar o teorema da adjacência lógica ficam colocados em células 'adjacentes'). Ora pode demonstrar-se que, quando o ponto de partida é a forma canónica soma de produtos, o teorema da adjacência lógica é o único necessário para alcançar a forma mínima - assim, o mapa de Karnaugh permite a minimização através da detecção gráfica de mintermos adjacentes. Exemplo O mapa de Karnaugh para uma função de 3 variáveis A, B e C poderia ser: B A C A função é representada no mapa de Karnaugh inscrevendo um nas células correspondentes aos mintermos que fazem parte da expressão da função, e inscrevendo um 0 nas células correspondentes aos mintermos que não fazem parte da expressão da função. Seja a função cuja expressão algébrica é dada a seguir na forma canónica soma de produtos: F (A, B, C) = A B C + A B C + A B C A sua representação no Mapa de Karnaugh acima seria: B 0 0 A C Examinando a expressão da função pode verificar-se que é possível aplicar o teorema da adjacência aos dois últimos termos. A B C + A B C = B C Observando agora o mapa de Karnaugh, verifica-se que aqueles dois termos correspondem a células geometricamente 'adjacentes' com o inscrito. A simplificação pode ser assinalada "agrupando" essas células como se ilustra na figura seguinte.

26 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 23 B 0 0 A C A expressão simplificada resulta agora directamente do mapa de Karnaugh. O isolado, que não foi possível 'agrupar' com outro(s), corresponde ao termo ( A B C ) enquanto o 'par' de s corresponde ao termo ( B C ) A expressão 'simplificada', forma mínima soma de produtos, é assim: F (A, B, C) = A B C + B C No mapa que temos vindo a utilizar como exemplo, a correspondência entre células e mintermos é, pois, a que se ilustra a seguir: B A.B.C. A.B.C. A.B.C. A.B.C. A A.B.C. A.B.C. A.B.C. A.B.C. C São obviamente possíveis outras correspondências entre células e mintermos. A única condição a cumprir é a de que essa correspondência seja tal que fiquem colocados em células geometricamente 'adjacentes' mintermos aos quais seja aplicável o Teorema da Adjacência Lógica. Só deste modo será possível a aplicação 'mecânica' desse teorema. Usando a convenção de que a uma variável negada corresponde o símbolo 0 e que a uma variável na forma directa corresponde o símbolo, podemos representar os mintermos por um código binário. Fazendo corresponder aos números do código binário os respectivos equivalentes decimais, podemos numerar os mintermos como se ilustra a seguir: A B C A B C 00 4 A B C 00 A B C 0 5 A B C 00 2 A B C 0 6 A B C 0 3 A B C 7

27 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais B A C Duas células são adjacentes se os mintermos a elas associados forem iguais a menos da ocorrência de uma das variáveis (que aparece directa num e complementada noutro). Assim, células com um lado comum são adjacentes e células com um vértice comum não são. Células nos extremos opostos do mapa também são adjacentes. Por exemplo as células 0 e 2 do mapa acima são adjacentes. Um mapa de Karnaugh para uma função de 3 variáveis requer 8 células, uma para cada termo desenvolvido (mintermo) possível - 23 = 8. Um mapa de Karnaugh para uma função de 2 variáveis terá 22 = 4 células, um mapa de Karnaugh para uma função de 4 variáveis terá 24 = 6 células, etc. B B 2 Variáveis A 3 Variáveis A C C 4 Variáveis B A D 5 Variáveis E C E C B B A A D D

28 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 25 Grupos de adjacência e simplificação dos termos Até agora considerou-se apenas a simplificação resultante do agrupamento de 2 células adjacentes, por aplicação directa do teorema da adjacência lógica. Podem, no entanto, existir grupos de adjacência com mais células, que levam a simplificações maiores. Por exemplo, num mapa para 4 variáveis podem existir grupos de adjacência com 2, 4 e 8 células. Um grupo de adjacência é um grupo de mintermos que mantêm ocorrências idênticas de uma parte das variáveis, ao passo que as restantes tomam todas as possíveis combinações de ocorrências. Exemplo O grupo A B C D, A B C D, A B C D, A B C D mantêm ocorrências idênticas de A e D, do mesmo passo que inclui todas as combinações possíveis das ocorrências de C e B. Considerando a soma lógica dos mintermos do grupo, podemos aplicar a propriedade associativa: F ( A, B, C, D ) = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D = A D ( B C + B C + B C + B C ) Notando que dentro dos parêntesis está a soma lógica de todos os mintermos de uma função das variáveis B e C, temos F ( A, B, C, D ) = A D = A D De uma maneira geral, a soma do grupo de mintermos que constituem um grupo de adjacência é equivalente ao obtido tomando as variáveis com ocorrências idênticas e suprimindo todas as outras.

29 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 26 Exemplos de grupos de adjacência de 2 células: C A.B.D B A B.C.D D A.B.C Exemplos de grupos de adjacência de 4 células: B.C C C A.B B B A A D D C C B.D A.D B B A A D D

30 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 27 Exemplos de grupos de adjacência de 8 células: C B C D B B A A D D Leitura de mapas na forma mínima soma de produtos Porventura a utilização mais comum (se bem que não a única) dos mapas de Karnaugh é a obtenção da forma mínima soma de produtos (FMSP) para uma função, quando o ponto de partida é a forma canónica soma de produtos. Para chegar a um processo sistemático (ou quase...) de obtenção da FMSP vamos começar por definir, grupos (de adjacência) primários: Um grupo de adjacência diz-se primário se não está totalmente incluído em outro grupo maior. Exemplo: C Grupo nº A.B.C A D B Grupo nº2 A.B.C Grupo nº3 B.C O grupo nº2 não é primário, pois está totalmente incluído no grupo nº3. Os grupos nº e 3 são primários. É bem claro que um termo relativo a um grupo não-primário não deve aparecer na FMSP, uma vez que os s por ele "representados" são englobados num termo mais simples correspondendo a um grupo primário que o inclua. Por outras palavras, na FMSP só aparecem termos correspondentes a grupos primários.

31 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 28 Resta o problema de escolher quais os grupos primários que formam a FMSP. Cada célula deve estar incluída em pelo menos um dos grupos primários escolhidos. Ora, haverá muitas vezes s que estão incluídos em apenas um grupo primário. Um grupo primário diz-se essencial se incluir uma ou mais células que não estão incluídas em qualquer outro grupo primário. Também é claro que todos os grupos primários essenciais devem estar incluídos na FMSP. No entanto, nem sempre a FMSP consta apenas de grupos primários essenciais. Isso acontece se, após remoção dos s contidos em grupos primários essenciais, subsistirem um ou mais s. Exemplo C C * * B B A * A D Grupos primários D Após remoção dos grupos primários essenciais "*" assinala as células que só são incluídas num grupo primário e que portanto definem os grupos primários essenciais - estas células são chamadas células essenciais. Após a remoção dos s contidos em grupos primários essenciais haverá que "representar" os s remanescentes por termos adicionais o mais simples possíveis. Para esses termos adicionais pode-se, se isso resultar em termos menores, retomar s já incluídos nos grupos primários essenciais que tinham sido removidos, de maneira a formar grupos o maior possível. No exemplo anterior, isso corresponde a incluir o remanescente no grupo do quadrado central. Pode acontecer que depois da remoção dos grupos primários essenciais exista inclusivamente mais de um remanescente. Nesse caso, a obtenção da FMSP faz-se através de um processo de tentativa e erro. Exemplo: Grupos primários ª tentativa de extracção 2ª tentativa de extracção essenciais dos restantes s dos restantes s

32 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 29 A.C C B.C.D A.B.C C B.C.D A.B.D B.C.D C A B B A A * * B D D D Uma análise simples permite verificar que a 2ª tentativa fornece já a FMSP. Os 4 s restantes, depois da remoção do grupo primário essencial, não podem ser agrupados num grupo de 4, nem num grupo de 4 mais um grupo de 2. Assim por ordem de simplicidade decrescente a melhor hipótese a seguir é a de 2 grupos de 2. Este é precisamente o agrupamento efectuado na 2ª tentativa. Se bem que o processo de obtenção da FMSP a partir do mapa de Karnaugh não seja inteiramente sistemático, podem delinear-se, de acordo com o já exposto, os passos para um método a seguir: - Identificar no mapa os grupos que é possível formar, não omitindo nenhum dos maiores. 2 - Dos grupos identificados, manter e marcar ("rodear") apenas os primários. Neste ponto, verificar: - todos os s estão incluídos? - não há grupos maiores que por lapso ainda falta identificar? - por lapso não se terão marcado grupos não primários, isto é, totalmente incluídos dentro de outros grupos maiores? 3 - Dos grupos primários, salientar os essenciais. Por exemplo, distinguindo com asteriscos as células essenciais, pertencentes só a um grupo primário. 4 - "Extrair" os termos correspondentes aos grupos primários essenciais. 5 - Se depois de removidos os s incluídos nos grupos primários essenciais ainda restarem s no mapa, encetar um processo de tentativa e erro para minimizar os termos que representam esses s restantes Começar por identificar quais os grupos maiores que é possível formar com os s

33 Cap. 2 Álgebra de Boole e Controladores Combinacionais 30 restantes. "Extrair" esses grupos, notando que se isso simplificar os termos que se estão a extrair, devem ser utilizados, para formar grupos maiores, os s já considerados em passos anteriores Como o número de s restantes é reduzido, geralmente é fácil ver qual é o melhor nível de simplificação dos s que ficaram depois do passo 4. Assim que se chegar a uma solução com esse nível de simplificação, dá-se por concluída a minimização. Exemplo: Grupos primários s restantes A maior simplificação (há 2 grupos essenciais) é 2 grupos de 2 * C C C A B B * * A A B D D D Nota: se não fosse possível cobrir os 3 s restantes por meio de 2 grupos de 2, teríamos de ensaiar a seguir a hipótese de grupo de 2 e grupo de, e assim sucessivamente. Geralmente, ao resolver um problema de minimização não se explicitam todos os passos indicados, passando-se, por exemplo, directamente aos grupos primários sem identificar todos os grupos menores. Condições indiferentes Há funções lógicas para as quais certas combinações das variáveis de entrada nunca podem ocorrer, pelo menos, em termos de funcionamento normal dos dispositivos.. Também surgem casos em que para determinadas condições de entrada, que podem ocorrer, as saídas do circuito simplesmente não são utilizadas. Exemplo (combinações de entrada que não podem surgir): Num tanque de líquido os sensores e 2 ficam a "" quando imersos. A combinação S2=, S=0 nunca poderá surgir.