NOTAS DE AULAS DE CÁLCULO II

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE EDUCAÇÃO E SAÚDE UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO PROFESSORA: CÉLIA MARIA RUFINO FRANCO Aluno (): NOTAS DE AULAS DE CÁLCULO II

2 Cpítulo Teorem d Função Invers e Funções Trnscendentes. Funções Inverss A idei d função invers é resolver um equção y = f(x) pr x como função de y; digmos x = f (y) de tl mneir que s igulddes i) f (f(x)) = x; 8 x no domínio de f, ii) f(f (y)) = y; 8 y no domínio de f sejm stisfeits. De nição. (Função Injetor) Um função f(x) é injetor no domínio D se f(x ) 6= f(x 2 ) sempre que x 6= x 2 em D: De nição.2 (Função Invers) Sej f um função injetor num domínio D com imgem S: A função invers f é de nid por f () = b se f(b) = : O domínio de f é S e imgem de f é D:

3 Exemplo. As funções f(x) = x 3 e f (y) = 3p y são funções inverss: Observção. É importnte entender que um função está determind pel lei que de ne e não pel letr usd pr vriável independente. Assim, f (y) = 3p y; f (x) = 3p x; etc. Observção.2 Nem tod função possui invers. Por exemplo, f : R! R de nid por f(x) = x 2 não possui invers. Ms, se de nirmos f de R + em R + então y = f(x) = x 2 dmite invers x = f (y) = p y: Observção.3 Um função que é estritmente crescente em ddo intervlo, stisfzendo f(x 2 ) > f(x ) qundo x 2 > x ; é injetor e tem invers. Funções estritmente decrescentes tmbém têm inverss. Exemplo.2 Determine invers de f(x) = x + e represente gr cmente. Clcule 2 tmbém derivd de f e derivd de f : Qul relção existente entre sus derivds?.2 Derivds de Funções Inverss Existe um relção de reciprocidde entre s derivds ou os coe cientes ngulres ds rets tngentes os grá cos de f e f : Se o coe ciente ngulr d ret tngente o grá co de y = f(x) no ponto (; f()) é f 0 () e f 0 () 6= 0, então o coe ciente ngulr d ret tngente o grá co de y = f (x) no ponto (f(); ) é o recíproco =f 0 (): Considerndo que b = f() se, e somente se; = f (b); então (f ) 0 (b) = f 0 () = f 0 (f (b)) : Teorem. (Regr d derivd pr funções inverss ou Teorem d função invers) Se y = f(x) é um função de nid em um intervlo berto I e f 0 (x) existe e nunc é nulo em I, então f tem um invers f ; f é derivável em qulquer ponto de seu domínio e (f ) 0 (b) = 2 f 0 (f (b)) : (.)

4 Isto é, o vlor de (f ) 0 no ponto b do domínio de f é recíproc do vlor de f 0 no ponto = f (b): Exemplo.3 Sej f(x) = x 2 pr x > 0: Aplique o Teorem. pr determinr (f ) 0 (x): Observção.4 A equção (.) s vezes nos permite encontrr vlores prticulres de f sem sber fórmul pr f : Exercício Sej f(x) = x 3 chr um fórmul pr f : 2: Determine o vlor de ( f ) 0 (6) sbendo que 6 = f(2) sem.3 Funções Exponencil e Logrítmic.3. A Função Logrítmic Nturl O logritmo nturl de um número positivo x; denotdo por ln x; é o vlor de um integrl de nid. De nição.3 A função logrítmic nturl é de nid por ln x = x dt; x > 0: t O domínio d função logrítmic nturl é o intervlo (0; +): Se x > ; então ln x é áre sob o grá co d curv y = =t de t = t = x: Pr 0 < x < ; ln x fornece o negtivo d áre sob o grá co d curv y = =t de t = x x t = : Neste cso, ln x = t dt = t dt: x Pr x = ; temos ln = dt = 0: t 3

5 A Derivd d Função Logrítmic Nturl Como ln x = R x Logo, dt pr x > 0; segue do Teorem Fundmentl do Cálculo que t d d x (ln x) = dx dx t dt = x : Teorem.2 Se u é um função derivável de x; então:. 2. d dx (ln u) = du ; se u > 0: u dx d dx (ln juj) = du ; se u 6= 0: u dx Exercício 2 Ddo y = ln(3x 2 d dx (ln x) = ; x > 0: (.2) x 6x + 8); clcule dy dx : Exercício 3 Ddo f(x) = 5x ln( p cos x); clcule f 0 (x): Exercício 4 Ddo y = ln j4 + 5x 2x 3 j ; clcule dy dx : Exercício 5 Ddo f(x) = jxj ; clcule f 0 (x): Proprieddes d Função Logrítmic Nturl A função ln x tem s seguintes proprieddes lgébrics:. ln(x) = ln + ln x; > 0; x > 0: 2. ln = ln ln x; > 0; x > 0: x 3. ln = ln x; x > 0: x 4. ln (x r ) = r ln x; sendo r qulquer número rcionl. Esss proprieddes são decorrentes d equção (.2) e do teorem do vlor médio pr derivds. 4

6 O Grá co e Imgem d Função Logrítmic Nturl Proposição. A função ln x é crescente pr x > 0: Demonstrção. A derivd d dx (ln x) = é positiv pr x > 0; logo ln x é um função x crescente de x: Proposição.2 O grá co d função ln x é côncvo pr bixo. Demonstrção. A segund derivd, pr bixo. =x 2 ; é negtiv, logo o grá co de ln x é côncvo Observção.5 Segue d noss intuição geométric que qundo x se torn muito grnde positivo, ln x se torn muito grnde positivo. Isto é, Temos tmbém, lim ln x = : x! lim ln x = lim ln = lim ( ln t) = lim ln t = : x!0 + t! t t! t! A função ln x é contínu (pois é derivável) em (0; +) e pelo Teorem do Vlor Intermediário ssume qulquer vlor rel. Portnto, concluímos que su imgem é ret rel inteir, o que lev o grá co de y = ln x mostrdo cim. Integris envolvendo função Logrítmic Nturl Temos, pois d dx (ln jxj + C) = x : Exemplo.4 Vmos clculr s integris: ) 5 9 dx = ln jxj + C x dx b) x + 5 x x dx

7 Integris ds Funções: Tngente, Cotngente, Secnte e Cossecnte. R tn x dx = ln jcos xj + C 2. R cot x dx = ln jsin xj + C 3. R sec x dx = ln jsec x + tn xj + C 4. R csc x dx = ln jcsc x cot xj + C: Exemplo.5 Vmos clculr s integris: ) tn(4x)dx b) dx c) cos(5x) x cot(x 2 )dx:.3.2 A Função Exponencil Nturl A função ln; por ser um função crescente é tmbém injetiv com domínio (0; ) e imgem ( ; ): Dest form, possui um invers com domínio ( ; ) e imgem (0; ) chmd Função Exponencil Nturl e denotd por " exp ": De nição.4 A cd número rel x corresponde extmente um número rel positivo y tl que x = ln y: A função Exponencil Nturl, denotd por exp; é invers d função logrítmic nturl. Assim, y = exp x () x = ln y; pr todo número rel x: Como consequênci de exp ser invers de ln; temos: i) exp(ln x) = x, 8 x > 0 ii) ln(exp x) = x, 8 x 2 R: O grá co de y = exp x pode ser obtido re etindo-se o grá co de ln x em relção à ret y = x: Note que lim exp x = e lim exp x = 0: x! x! 6

8 De nição.5 (O número e): A letr "e" denot o número rel positivo tl que ln(e) = ; isto é, Logo, ln(e) = e exp() = e: t dt = Mostr-se ind que e = lim x!0 ( + x) =x e que "e" é um número irrcionl, proximdmente igul 2; 7828 Se r é um número rcionl rbitrário, então ln e r = r ln e = r = r: (.3) Um vez que ln x é injetor e ln(exp r) = r; segue de (.3) que e r = exp r: Isto motiv de nição de e x pr todo número rel x. De nição.6 Se x é um número rel, então e x = y se e somente se ln y = x: Como função exp é função invers de ln; então exp x = y se e somente se ln y = x: 7

9 Comprndo est relção com de nição nterior, segue que e x = exp x; pr todo x 2 R: Est é rzão pr chmrmos exp um função exponencil e referimo-nos el como função exponencil de bse e: A prtir de gor escreveremos e x em vez de exp x pr denotr vlores d função exponencil nturl. Assim, i) ln e x = x pr todo x 2 R ii) e ln x = x pr todo x > 0: Teorem.3 Se x; x e x 2 são números reis e r é um número rcionl, então: i) e x e x 2 = e x +x 2 ii) e x = iii) ex e x e = x ex x 2 iv) (e x ) r = e rx : A Derivd e Integrl de e x A função exponencil nturl é derivável, um vez que é invers de um função derivável cuj derivd nunc é zero. Clculremos su derivd usndo o Teorem (.). Teorem.4 A função y = e x é derivável e d dx (ex ) = e x : Observção.6 Como e x > 0; su derivd tmbém é positiv em qulquer ponto, portnto é um função crescente e contínu pr qulquer x Teorem.5 Se u = g(x) e g é derivável, então d dx (eu ) = e u du dx : Exemplo.6 Clcule derivd de cd função bixo. ) y = x 2 e x b) y = e p x 2 + : 8

10 Integrl inde nid d função exponencil nturl: e x du = e x + C: Exemplo.7 Clcule s integris 2 ) x 2 e 3=x e x3 dx b) x dx: 2.4 Funções Exponenciis e Logrítmics Geris.4. A Função Exponencil Gerl Como = e ln pr qulquer número positivo, podemos pensr em x como e ln x = e x ln : Estbelecemos, ssim, seguinte de nição. De nição.7 (Funções Exponenciis Geris): Sejm > 0; 6= e x um número rel qulquer. A função exponencil de bse é de nid por: x = e x ln : Pel primeir vez, temos um signi cdo preciso pr um expoente irrcionl. Se = e; de nição lev x = e x ln = e x ln e = e x = e x : O Teorem (.3) tmbém é válido pr x : Por exemplo, se > 0 e x, x 2 são números reis quisquer então: Tem-se ind que: x x 2 = e x ln e x 2 ln = e x ln +x 2 ln = e (x +x 2 ) ln = x +x 2 :. Se > e x < x 2 então x < x 2 ; isto é, função f(x) = x é estritmente crescente se > : 9

11 2. Se 0 < < e x < x 2 então x > x 2 ; isto é, função f(x) = x é estritmente decrescente se 0 < < : Teorem.6 Se > 0; 6= então d dx (x ) = x ln : Teorem.7 Se > 0; 6= e u é um função derivável de x, então u é um função derivável de x e d dx (u ) = u ln du dx Exemplo.8 Clcule derivd ds funções: ) y = 0 x b) y = 2 x2 c) y = 3 tn x d) y = (x 2 + ) x2 + : Teorem.8 (Regr Gerl d Potênci): Sej c 2 R e sej f(x) = x c de nid pr qulquer x > 0: Então f 0 (x) = cx c : Exercício 6 Clcule derivd ds funções: ) f(x) = x p 2 b) f(x) = ( + e 2x ) c) f(x) = x x ; x > 0: Teorem.9 Se > 0, 6= então x dx = x ln + C: Exemplo.9 Clculr s integris ) 3 x dx b) x3 (x2) dx c) 0 3 x dx d) 5 sin(2x) cos(2x)dx: 0

12 .4.2 A Função Logrítmic Gerl Se é qulquer número positivo diferente de, função x é injetor e tem um derivd não nul em qulquer ponto. Tem, portnto, um invers derivável chmd de logritmo de x n bse e denotd por log x: De nição.8 Sejm > 0; 6= e x > 0 dois números reis quisquer. O único número rel y tl que y = x denomin-se logritmo de x n bse e indic-se por log x: Assim, y = log x se, e somente se, y = x: Por exemplo, 2 = log 6 36; pois 6 2 = 36: Exercício 7 Clcule: () log 2 4 (b) log 2 2 (c) log 5 Qundo = e; temos que y = log e x se, e somente se, x = e y : Por outro ldo, y = ln x se, e somente se, x = e y : Portnto, ln x = log e x: ou sej, Vmos expressr log x em termos de logritmos nturis: De x = y ; tem-se: Como y = log x; então log x: ln x = ln( y ) = y ln y = ln x ln : log x = ln x ln : (.4) A prtir dest relção percebe-se que s proprieddes de ln x tmbém são válids pr Teorem.0 Pr quisquer números reis x > 0 e x 2 > 0; > 0; 6= ; b > 0; b 6= ; s seguintes proprieddes são válids:. log x x 2 = log x + log x 2

13 2. log x x 2 = log x log x 2 3. log x = log x 4. log x x 2 = x 2 log x 5. (Mudnç de bse) log x = log b x log b 6. Se > e x < x 2 ; então log x < log x 2 7. Se 0 < < e x < x 2 ; então log x > log x 2 : Derivd d Função Logrítmic Gerl A função y = log x é derivável pr x > 0; > 0 e 6=. A prtir d fórmul (.4) de mudnç de bse, obtemos Se u é um função derivável de x; então: d dx (log x) = x ln : d dx (log juj) = u ln du dx : Exemplo.0 Clcule derivd ds funções ) y = log 2 (x 2 + 5) b) y = log 3p (2x + 5) 2 : Exercício 8 Mostre que lim x!0 ( + x) =x = e: Modelo de Crescimento (ou decrescimento) Exponencil Se tx de vrição dy de um função y = f(t) é diretmente proporcionl y e dt y(0) = y 0 ; isto é, se dy dt = cy y(0) = y 0 então, y = y 0 e ct : Se y ument com t, fórmul y = y 0 e ct é um lei de crescimento, e se y decresce, temos um lei de decrescimento. 2

14 Exemplo. O número de bctéris em um cultur ument de 600 pr 800 em dus hors. Supondo que tx de umento sej diretmente proporcionl o número de bctéris presentes, determine: () um fórmul pr o número de bctéris no instnte t; (b) o número de bctéris o m de qutro hors..5 Derivd ds Funções Trigonométrics Inverss.5. A Função Arco Seno Consideremos função f(x) = sin x de nid em [ =2; =2]. Temos que imgem de f é o intervlo [ ; ] e f 0 (x) = cos x > 0; pr todo x 2 ( =2; =2) : Logo, f é crescente em [ =2; =2] e portnto é injetiv. Pelo Teorem (.), função f(x) = sin x possui invers de nid no intervlo [ ou f (x) = sin x: Assim, Temos ind que ; ], chmd função rco seno e denotd por f (x) = rcsin x y = rcsin x se e somente se x = sin y: f 0 (x) = f 0 (f (x)) = cos(rcsin x) = ; 8x 2 ( ; ): (.5) cos y Ms, ou sej, cos 2 y + sin 2 y = ) cos 2 y = sin 2 y cos y = p x 2 ; pois cos y > 0 8y 2 ( =2; =2): (.6) Substituindo (.6) em (.5), obtemos f 0 (x) = p ; pr todo x 2 ( ; ): x 2 Dest form, função rco seno é derivável no intervlo ( ; ) e d dx (rcsin x) = p : x 2 3

15 .5.2 A Função Arco Cosseno Consideremos função f(x) = cos x de nid em [0; ]. Temos que imgem de f é o intervlo [ ; ] e f 0 (x) = sin x < 0; pr todo x 2 [0; ] : Logo, f é decrescente em (0; ) e portnto é injetiv. Pelo Teorem (.), função f(x) = cos x possui invers de nid no intervlo [ f (x) = cos x: Assim, Além disso, ; ], chmd função rco cosseno e denotd por f (x) = rccos x ou y = rccos x se e somente se x = cos y: f 0 (x) = f 0 (f (x)) = sin(rccos x) = ; 8x 2 ( ; ): (.7) sin y Ms, ou sej, cos 2 y + sin 2 y = ) sin 2 y = cos 2 y sin y = p x 2 ; pois sin y > 0 8y 2 (0; ): (.8) Substituindo (.8) em (.7), obtemos f 0 (x) = p ; pr todo x 2 ( ; ): x 2 Dest form, função rco cosseno é derivável no intervlo ( ; ) e.5.3 A Função Arco Tngente d dx (rccos x) = p : x 2 Consideremos função f(x) = tn x de nid em ( =2; =2). Qundo x se proxim de =2 tn x ssume vlores positivos rbitrrimente grndes e qundo x se proxim de =2 tn x ssume vlores negtivos rbitrrimente grndes. Isto signi c que s rets x = =2 e x = =2 são ssíntots verticis d função f(x) = tn x: Temos que imgem de f é o conjunto dos números reis e f 0 (x) = sec 2 x = + tn 2 x > 0; pr todo 4

16 x 2 ( =2; =2) : Logo, f é crescente em ( =2; =2) e portnto é injetiv. Pelo Teorem (.), função f(x) = tn x possui invers de nid em R, chmd função rco tngente e denotd por f (x) = rctn x ou f (x) = tn x: Assim, Além disso, y = rctn x se e somente se x = tn y: f 0 (x) = f 0 (f (x)) = sec 2 (rctn x) = sec 2 y = + tn 2 y = ; 8x 2 R: (.9) + x2 Dest form, função rco tngente é derivável em R e d (rctn x) = dx + x : A Função Arco Cotngente Consideremos função f(x) = cot x de nid no intervlo (0; ). Temos que f 0 (x) = csc 2 x < 0; pr todo x 2 (0; ) : Logo, f é decrescente em (0; ) e portnto é injetiv. Além disso, imgem de f é o conjunto dos números reis. Pelo Teorem (.), função f(x) = cot x possui invers de nid em R, chmd função rco cotngente e denotd por f (x) = rccot x ou f (x) = cot x: Assim, Usremos identidde, y = rccot x se e somente se x = cot y: rccot x = 2 pr obter derivd d função rccot x: Temos, rctn x; 8x 2 R d d (rccot x) = dx dx ( rctn x) 2 = d (rctn x) dx = + x : 2 5

17 Dest form, função rco cotngente é derivável em R e.5.5 A Função Arco Secnte d dx (rccot x) = + x : 2 Consideremos função f(x) = sec x de nid em [0; =2) [ (=2; ] : Temos que f 0 (x) = sec x tn x = cos x sin x cos x = sin x > 0; pr todo x 2 (0; =2) [ (=2; ): cos 2 x Logo, f é crescente em [0; =2) [ (=2; ] e portnto é injetiv. Pelo Teorem (.), função f(x) = cot x possui invers de nid em ( ; ] [ [; +), chmd função rco secnte e denotd por f (x) = rcsec x ou f (x) = sec x: Assim, y = rcsec x se e somente se x = sec y: Além disso, f 0 (x) = f 0 (f (x)) = f 0 (rcsec x) = sec y tn y (.0) Ms, = ; 8x 2 ( ; ) [ (; +): x tn y tn 2 y = sec 2 y =) tn y = p sec 2 y = p x 2 : (.) Substituindo (.) em (.0), obtemos f 0 (x) = x p x 2 : Como (f ) 0 (x) > 0; 8x 2 ( ; ) [ (; +) então f 0 (x) = jxj p x 2 : Dest form, função rco secnte é derivável em ( ; ) [ (; +) e d dx (rcsec x) = jxj p x 2 : 6

18 .5.6 A Função Arco Cossecnte Consideremos função f(x) = csc x de nid em [ =2; 0) [ (0; =2] : Temos que f 0 (x) = csc x cot x = cos x sin 2 < 0; 8x 2 ( =2; 0) [ (0; =2): Logo, f é decrescente em x [ =2; 0) [ (0; =2] e portnto é injetiv. Pelo Teorem (.), função f(x) = csc x possui invers de nid em ( ; ] [ [; +), chmd função rco cossecnte e denotd por f (x) = rccsc x ou f (x) = csc x: Assim, y = rccsc x se e somente se x = csc y: Usremos identidde, rccsc x = 2 rcsec x; jxj > : pr obter derivd d função rccsc x: Temos, d d (rccsc x) = dx dx ( rcsec x) 2 = d (rcsec x) dx = jxj p x 2 : Dest form, função rco cossecnte é derivável em ( ; ) [ (; +) e d dx (rccsc x) = jxj p x 2 : Resumo Se u é um função derivável de x; então: d du (rcsin u) = p dx u 2 dx ; juj < d dx (rccos u) = p du u 2 dx ; juj < d du (rctn u) = dx + u 2 dx d dx (rccot u) = du + u 2 dx 7

19 5. 6. d dx (rcsec u) = juj p u 2 d dx (rcsec u) = juj p u 2 du dx ; juj > du ; juj > : dx Exercício 9 Derive s seguintes funções: ) y = rcsin(x 2 ) b) y = cos (=x) c) y = rctn( p x) 2x 2 p d) y = rccot e) y = rcsec f) y = rccsc x x.6 Integris que Produzem Funções Trigonométrics Inverss. R p dx = rcsin x + C; jxj < x 2 2. R dx = rctn x + C + x2 3. R x p dx = rcsec jxj + C; jxj > : x 2 As integris (), (2) e (3) podem ser fcilmente generlizds:. R p 2 x x dx = rcsin + C; > 0; jxj < 2 + C: 2. R 2 + x 2 dx = rctn x 3. R x p x 2 dx = 2 jj rcsec x + C; 6= 0 e jxj > jj : Exercício 0 Clcule s integris: ) d) p dx b) 4 x 2 dx p 8x x 2 x 2 dx c) 5 + x6 3x + 2 e) p dx: x 2 x p x 4 9 dx 8

20 Cpítulo 2 Técnics de Integrção 2. Integrção por Prtes Se f e g são funções deriváveis de x; regr do produto diz que d dx [f(x)g(x)] = f 0 (x)g(x) + f(x)g 0 (x): Em termos de integris inde nids, ess equção se torn d [f(x)g(x)] dx = dx [f 0 (x)g(x) + f(x)g 0 (x)] dx ou d [f(x)g(x)] dx = dx f 0 (x)g(x)dx + f(x)g 0 (x)dx: Assim, f(x)g 0 (x)dx = d [f(x)g(x)] dx dx f 0 (x)g(x)dx o que lev à fórmul d integrção por prtes f(x)g 0 (x)dx = f(x)g(x) f 0 (x)g(x)dx: (2.) Sejm u = f(x) e v = g(x): Então, du = f 0 (x)dx e dv = g 0 (x)dx 9

21 e substituindo em (2.), obtemos: udv = uv vdu: (2.2) Supondo que tnto f 0 qunto g 0 sejm contínus o longo do intervlo [; b] ; o Teorem Fundmentl do Cálculo nos lev fórmul de integrção por prtes pr integris de nids: b f(x)g 0 (x)dx = f(x)g(x)] b b udv = uv] b b b f 0 (x)g(x)dx ou (2.3) vdu; se u = f(x) e v = g(x): Exemplo 2. (Integrl do Logritmo Nturl) R ln xdx = x ln x x + C Exemplo 2.2 Vmos clculr s integris ) x cos xdx b) xe x dx c) x 2 e x dx 4 d) rcsin xdx d) xe x dx e) e x cos xdx: Integrção de Funções Rcionis por Frções Prciis Recorde que um função rcionl é d form p(x) ; onde p(x) e q(x) são polinômios e q(x) q(x) 6= 0: Qundo o gru de p(x) é menor que o gru de q(x); função rcionl p(x) q(x) é chmd função rcionl própri. Vmos descrever um método pr clculr R p(x) p(x) dx; onde é um função rcionl q(x) q(x) própri. A idéi básic é escrever função rcionl dd como um som de frções mis simples. presentdos seguir. Pr isto, usremos lguns resultdos importtntes d Álgebr, que serão Proposição 2. Se q(x) é um polinômio com coe cientes reis, q(x) pode ser expresso como um produto de ftores lineres e/ou qudráticos, todos com coe cientes reis. 20

22 Exemplos ) q(x) = x 2 3x+2 = (x 2)(x ): b) q(x) = x 3 x 2 +x = (x 2 +)(x ): c) q(x) = x 2 2x 3 = (x + )(x 3): De nição 2. Um polinômio qudrático é irredutível se não puder ser escrito como o produto de dois ftores lineres com coe cientes reis. Proposição 2.2 Tod função rcionl própri pode ser express como um som p(x) q(x) = F (x) + F 2 (x) + + F n (x) (2.4) onde F (x); F 2 (x); : : : ; F n (x) são funções rcionis d form A (x + b) k ou Ax + B (x 2 + bx + c) k (2.5) nos quis os denomindores são ftores de q(x): A som (2.4) é decomposição em frções prciis de p(x) q(x) e cd termo F i(x); i = ; : : : ; n é um frção prcil. Exemplo 2.3 A função rcionl 5x 3 x 2 2x 3 pode ser escrit como 5x 3 x 2 2x 3 = 2 x x 3 : No cso do exemplo cim, o método ds frções prciis consiste em chr constntes A e B tis que 5x 3 x 2 2x 3 = A x + + B x 3 : Diretrizes pr obter decomposição de um função rcionl p(x)=q(x)em frções prciis. O gru de p(x) deve ser menor que o gru de q(x): Se não for, divid p(x) por q(x) e trblhe com o resto. 2. Devemos ftorr q(x) completmente em ftores lineres (x + b) k e/ou qudráticos irredutíveis (x 2 + bx + c) k ; onde k é um inteiro não negtivo. 2

23 3. As forms ds respectivs frções prciis são ssegurds por resultdos d Álgebr e não serão demonstrds: () Ftores Lineres: Pr cd ftor d form (x+b) m ; onde m é mior potênci de x + b que divide q(x); ssocie som de m frções prciis A x + b + A 2 (x + b) A m (x + b) : m (b) Ftores Qudráticos: Pr cd ftor d form (x 2 + bx + c) n ; onde n é mior potênci de x 2 +bx+c que divide q(x); ssocie som de n frções prciis B x + C x 2 + bx + c + B 2 x + C 2 (x 2 + bx + c) + + B nx + C n 2 (x 2 + bx + c) : n 4. A ; A 2 ; : : : ; A m ; B ; B 2 ; : : : ; B n e C ; C 2 ; : : : ; C n são constntes serem determinds. Exemplo 2.4 (Ftores Lineres Distintos) Clcule s integris usndo frções prciis. x 2 + 4x + ) dx b) x 2 (x )(x + )(x + 3) dx Exemplo 2.5 (Um Ftor Liner Repetido) Clcule integrl 6x + 7 (x + 2) 2 dx: Exemplo 2.6 (Integrndo com um ftor qudrático irredutível no denomindor) Clcule s integris ) x(x 2 + ) b) 2x + 4 (x 2 + )(x ) 2 dx: Exemplo 2.7 (Um ftor qudrático irredutível repetido) Clcule integrl 4x 3 x (x 2 + 5) 2 dx: Exemplo 2.8 (Integrndo um frção imprópri) Clcule integrl 2x 3 4x 2 x 3 dx: x 2 2x 3 22

24 2.3 Integris Trigonométrics 2.3. Produtos de Potêncis de Senos e Cossenos Vmos clculr integris d form sin m x cos n xdx (2.6) onde m e n são inteiros não negtivos (positivos ou zero). descritos seguir. Os três csos possíveis estão Cso : Se m é ímpr; escrevemos m = 2k + e usmos identidde sin 2 x = pr obter sin m x = sin 2k+ x = sin 2 x k sin x = ( cos 2 x) k sin x: Então, relizmos substituição u = cos x; du = sin xdx: cos 2 x Cso 2: Se m é pr e n é ímpr; escrevemos n = 2k + e usmos identidde cos 2 x = sin 2 x pr obter cos n x = cos 2k+ x = cos 2 x k cos x = ( sin 2 x) k cos x: Então, relizmos substituição u = sin x; du = cos xdx: Exemplo 2.9 Clculr s integris ) sin 3 xdx b) cos 5 xdx c) sin 3 x cos 2 xdx d) sin 2 x cos 5 xdx: Cso 3: Se tnto m qunto n são pres em (2.6), usmos s identiddes trigonométrics sin 2 x = cos 2x 2 e cos 2 x = que são consequêncis d fórmul do cosseno d som: + cos 2x 2 cos(2x) = cos(x + x) = cos x cos x sin x sin x: Exemplo 2.0 Clcule s integris ) sin 2 xdx b) cos 2 (2x)dx c) sin 2 x cos 4 xdx d) =4 0 p + cos 4xdx: 23

25 2.3.2 Integris de Potêncis de tn x e sec x Já sbemos como integrr tngente e secnte e seus qudrdos. potêncis miores, usmos s identiddes Pr integrr sec 2 x = + tn 2 x e tn 2 x = sec 2 x e integrmos por prtes qundo necessário, m de reduzir potêncis miores potênci menores. Exemplo 2. Clcule s integris ) tn 4 xdx b) sec 3 xdx c) tn 3 x sec 5 xdx d) tn 2 x sec 4 xdx: Produtos de Senos e Cossenos Se um integrndo tem um ds forms sin(mx) cos(nx); sin(mx) sin(nx) ou cos(mx) cos(nx) podemos plicr integrção por prtes dus vezes pr clculr tis integris. Neste cso é mis simples usr s identiddes:. sin () cos (b) = [sin( + b) + sin( b)] 2 2. sin() sin(b) = [cos( b) cos( + b)] 2 3. cos() cos(b) = [cos( b) + cos( + b)] 2 Exemplo 2.2 Clcule s integris ) sin(3x) cos(5x)dx b) cos(5x) cos(3x)dx: Exercício Clcule s integris ) sin(5x) cos(2x)dx b) cos(4x) cos(3x)dx c) sin(7u) sin(3u)du: 24

26 2.4 Integrção por Substituição Trigonométric Usmos substituição trigonométric pr clculr integris envolvendo expressões do tipo p p 2 x 2 ; 2 + x 2 ou p x 2 2 onde é um constnte positiv. temos: Cso : A função integrndo envolve p 2 x 2 : Neste cso, usmos x = sin : Então, dx = cos d: Supondo que p p 2 x 2 = 2 2 sin 2 x q = 2 ( sin 2 x) 2 2 ; = p 2 cos 2 x = cos : temos: Cso 2: A função integrndo envolve p 2 + x 2 : Neste cso, usmos x = tn : Então, dx = sec 2 d: Supondo que p p 2 + x 2 = tn 2 q = 2 ( + tn 2 ) 2 < < 2 ; = p 2 sec 2 = sec : Cso 3: A função integrndo envolve p x 2 2 : Neste cso, usmos x = sec : Então, dx = sec tn d: Supondo que 0 < 2 ou 25

27 < 3 2 ; temos: p x 2 2 = p 2 sec 2 2 = p 2 (sec 2 ) = p 2 tn 2 = tn : Exemplos 2 Clcule s integris. R p 9 x 2 dx 2x 2 2. R x 2p x dx 3. R dx x 3p x R x 2 dx (4 x 2 ) 3=2 5. R dx p 25x 2 4 ; x > R 2 0 dx (x 2 + 4) 2. 26

28 Cpítulo 3 Aplicções d Integrl De nid 3. Áre de um região no plno 3.. Áres sob curvs Se f é um função contínu em [; b] e f(x) 0 8x 2 [; b] ; áre d região limitd pelo grá co de f; pels rets x =, x = b e o eixo x é dd por A = b f(x)dx: Se f(x) 0 8x 2 [; b] ; então áre d região limitd pelo grá co de f; pels rets x =, x = b e o eixo x é dd por A = b f(x)dx: Exemplo 3. Clcule áre d região limitd pel curv y = x 2 4x; o eixo x e s rets x = e x = 3: Exemplo 3.2 Clcule áre d região limitd pelo grá co d função y = x; o eixo x e s rets x = e x = 2: Exemplo 3.3 Clcule áre d região limitd pel curv y = 4 x 2 e o eixo x: 27

29 3..2 Áre entre curvs Consideremos dus funções f e g contínus no intervlo [; b] ; tl que f(x) g(x) 8x 2 [; b] : A áre d região limitd pels curvs y = f(x), y = g(x) e s rets x = e x = b é A = b [f(x) g(x)] dx: Exemplo 3.4 Clcule áre d região limitd pels curvs y = x 2 e y = x 2 + 4x: Exemplo 3.5 Clcule áre d região limitd pels curvs y = x 2 e y = x + 2: Exemplo 3.6 Clcule áre d região limitd por y = p x; y = 0 e y = x 2: 3..3 Integrção em y Consideremos gor um região compreendid entre os grá cos de dus funções x = f(y) e x = g(y); com f e g contínus e f(y) g(y) 8y 2 [c; d] : Neste cso, áre d região limitd pels curvs x = f(y) e x = g(y) e s rets y = c e y = d é dd por A = d c [f(y) g(y)] dy: Exemplo 3.7 Clcule áre d região limitd pels curvs y 2 = 2x 2 e y = x 5: Exemplo 3.8 Clcule áre d região limitd por y = p x; y = 0 e y = x 2: Exemplo 3.9 Clcule áre d região limitd por x = y 2 e x = 2: Exercício 2 Encontre áre d região delimitd pel curv y = xe x e pelo eixo x de x = 0 té x = 4: Exercício 3 Encontre áre d região delimitd pel circunferênci x 2 + y 2 = 9: 28

30 3.2 Volume de um sólido 3.2. Método ds Ftis De nição 3. Um seção trnsversl de um sólido S é região pln formd pel interseção entre S e um plno. D geometri clássic, sbemos que o volume de um cilindro que tem um áre de bse A e ltur h é V = A h: Ess equção serve de bse pr de nirmos os volumes de muitos sólidos não cilíndricos usndo o método ds ftis. Se seção trnsversl do sólido S em cd ponto x no intervlo [; b] é um região de áre A(x); e A é um função contínu de x; podemos de nir e clculr o volume do sólido S como um integrl de nid como veremos seguir. Dividimos [; b] em n subintervlos de lrgur x i e ftimos o sólido por plnos perpendiculres o eixo x nos pontos de prtição = x 0 < x < x n < x n = b: Aproximmos fti situd entre o plno em x i e o plno em x i por um sólido cilíndrico com áre de bse A(x i ) e ltur x i = x i x i : O volume V i desse sólido cilíndrico é A(x i ) x i, proximdmente o mesmo vlor d fti: Volume d i-ésim fti V i = A(x i ) x i : O volume V do sólido inteiro S é, então, proximdo pel som desses volumes cilíndricos: nx nx V V i = A(x i ) x i i= i= que é um som de Riemnn pr função A(x) em [; b] : Espermos que s proximções desss soms melhorem à medid que umentmos o número de ftis, isto é, fzendo n! : Assim, teremos V = lim n! i= nx A(x i ) x i = 29 b A(x)dx:

31 De nição 3.2 O volume de um sólido compreendido entre os plnos x = e x = b e cuj áre d seção trnsversl por x é um função integrável A(x) é V = b A(x)dx: Exemplo 3.0 Um pirâmide com 3 m de ltur tem um bse qudrd com 3 m de ldo. A seção trnsversl d pirâmide, perpendiculr à ltur x m bixo do vértice, é um qudrdo com x m de ldo. Determine o volume d pirâmide Sólidos de Revolução: O método do disco Um sólido de revolução é obtido trvés d rotção de um região do plno xy em torno de um ret chmd eixo de rotção. Pr determinr o volume de um sólido de revolução precismos observr que seção trnsversl é um disco e, portnto, A(x) = (rio) 2 : Cso : O volume do sólido obtido com rotção, em torno do eixo x; de um região compreendid entre o eixo x e curv y = R(x); x b é: V = b [R(x)] 2 dx onde R(x)é o rio d seção trnsversl, que corresponde distânci entre fronteir d região bidimensionl e o eixo de revolução. Exemplo 3. Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d região compreendid entre curv y = p x; 0 x 4 em torno do eixo x: Exemplo 3.2 O círculo x 2 + y 2 = 2 é girdo em torno do eixo x pr gerr um esfer. Determine seu volume. Cso 2: O volume do sólido obtido com rotção, em torno do eixo y; de um região compreendid entre o eixo y e curv x = R(y); c y d é: V = d c [R(y)] 2 dy 30

32 onde R(y)é o rio d seção trnsversl, que corresponde distânci entre fronteir d região bidimensionl e o eixo de revolução. Exemplo 3.3 Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d região de nid pel curv y = x 3 e pels rets x = 0 e y = 8 em torno do eixo y: Cso 3: O volume do sólido obtido com rotção, em torno d ret y = c; de um região compreendid entre ret y = L e curv y = R(x); x b é: V = b [R(x) L] 2 dx: Cso 4: O volume do sólido obtido com rotção, em torno d ret x = c; de um região compreendid entre ret x = M e curv x = R(y); c y d é: V = d c [R(y) M] 2 dy: Exemplo 3.4 Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d região de nid pel curv y = p x e pels rets y = e x = 4 em torno d ret y = : Exemplo 3.5 Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d região de nid pel curv x = 2 y2 + e pels rets x = ; y = 2 e y = 2 em torno d ret x = : Sólidos de Revolução: o método do nel Se região que girmos pr gerr um sólido não tingir ou cruzr o eixo de revolução, o sólido resultnte terá um orifício no meio. As seções trnsversis perpendiculres o eixo de revolução serão néis e não discos. As dimensões de um nel típico são Rio externo: R(x) e Rio interno: r(x): A áre do nel é A(x) = [R(x)] 2 [r(x)] 2 = [R(x)] 2 [r(x)] 2 : De cordo com de nição de volume, temos V = b [R(x)] 2 [r(x)] 2 dx: 3

33 Exemplo 3.6 Determine o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno do eixo x; d região de nid pel curv y = x 2 + e pel ret y = x + 3: Exemplo 3.7 Determine o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno do eixo x; d região de nid pel curv y = 4 (3 x2 ) e pel ret y = (x + 5): 2 Exemplo 3.8 Determine o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno do eixo y; d região de nid pel curv y = x 2 e pel ret y = 2x no primeiro qudrnte Método ds cscs cilíndrics Suponhmos que um sólido S é gerdo pel rotção, em torno d ret verticl x = L; d região D delimitd pelo grá co de um função contínu não negtiv y = f(x) e o eixo x o longo do intervlo fechdo nito [; b] : Pressupomos L; portnto ret verticl x = L pode tocr região, ms não trvessá-l. O eixo de rotção é perpendiculr o eixo que contém o intervlo nturl de integrção. Sej P um prtição do intervlo [; b] formd pelos pontos = x 0 < x < < x n = b e sej c i o ponto médio do i-ésimo subintervlo [x i ; x i ] : Aproximmos região D usndo retângulos com bse ness prtição de [; b] : O i-ésimo retângulo tem ltur f(c i ) e lrgur x i = x i x i : Girndo esse retângulo em torno d ret verticl x = L; germos um csc cilíndric de volume V i. Imgine gor que estmos cortndo e desenrolndo ess csc cilíndric pr obter um sólido plno retngulr (proximdmente) plno. O volume d csc cilíndric é o volume d fti retngulr (proximdmente) pln, isto é, lrgur ltur espessur ou sej, V i = 2(c i L)f(c i )x i : Fzemos um proximção pr o volume do sólido S somndo os volumes ds cscs gerds pelos n retângulos com bse em P: Assim, nx V V i : i= 32

34 O limite dess som de Riemnn qundo n! fornece o volume do sólido como um integrl de nid: V = lim n! i= nx V i = lim n! i= nx 2(c i L)f(c i )x i = b 2(x L)f(x)dx: Exemplo 3.9 A região compreendid pelo eixo x e pel prábol y = f(x) = 3x x 2 gir em torno d ret x = pr gerr o formto de um sólido. Qul o volume do sólido? Exemplo 3.20 A região limitd pel curv y = p x; pelo eixo x e pel ret x = 4 gir em torno do eixo x gerndo um sólido. Determine o volume desse sólido usndo o método ds cscs cilíndrics. Exemplo 3.2 A região limitd pelos grá cos de y = p x; y = e x = 4 gir em torno d ret y = 2 gerndo um sólido. Determine o volume desse sólido usndo o método. Exercício 4 Use o método ds cscs cilíndrics pr clculr o volume do sólido gerdo pl rotção d região de nid pel curv y = p x pelo eixo x e pel ret x = 4 em tono do eixo indicdo ) x = 4 b) y = 2 c) eixo y: 3.3 Comprimento de Curvs Plns Sbemos o que signi c o comprimento de um segmento de ret, ms, sem o recurso do cálculo diferencil e integrl, não temos um noção precis do comprimento de um curv ondulnte. Por exemplo, como um engenheiro de rodovis estim o custo pr pvimentr um rodovi montnhos e chei de curvs com bse em seu comprimento totl? Pr responder ess pergunt, você precis sber clculr o comprimento de um curv. A idei de proximr o comprimento d curv que vi do ponto A o ponto B subdividindo- em váris prtes e unindo os sucessivos pontos de divisão com segmentos de ret remont à Gréci ntig, qundo Arquimedes usou esse método pr proximr o 33

35 perímetro de um circunferênci. Assim, o perímetro de um circunferênci é de nido como o limite dos perímetros dos polígonos regulres nel inscritos inscritos. O grá co de um função y = f(x) num intervlo [; b] pode ser um segmento de ret ou um curv qulquer. Sej C um curv dd pelo grá co d função y = f(x) no intervlo [; b] : Queremos determinr o comprimento d curv C: Se o grá co de y = f(x) no intervlo [; b] é um segmento de ret, então, pelo Teorem de Pitágors, o comprimento L do segmento AB; onde A(; f()) e B(b; f(b)) é: L = p (b ) 2 + (f(b) f(c)) 2 = d(a; B): Suponhmos gor que o grá co de y = f(x) no intervlo [; b] é um curv qulquer. Sej C um curv de equção y = f(x); onde f é contínu e derivável em [; b] : Vmos determinr o comprimento d curv C: Sej P um prtição de [; b] dd por = x 0 < x < < x n = b: Sejm Q 0 ; Q ; : : : ; Q n os correspondentes pontos sobre curv C: Unindo os pontos Q 0 ; Q ; : : : ; Q n ; obtemos um poligonl cujo comprimento nos dá um proximção do comprimento L d curv C; de A té B: Assim, L d(q 0 ; Q ) + d(q ; Q 2 ) + + d(q n ; Q n ) = nx d(q i ; Q i ): i= Ms, d(q i ; Q i ) = p (x i x i ) 2 + (f(x i ) f(x i )) 2 (3.) e como f é derivável em [:b] podemos plicr o Teorem do Vlor Médio em cd subintervlo [x i ; x i ] ; i = ; : : : ; n e escrever: f(x i ) f(x i ) = f 0 (c i )(x i x i ) (3.2) 34

36 pr lgum c i 2 (x i ; x i ): Fzendo x i = x i x i e substituindo (3.2) em (3.), obtemos Assim, q d(q i ; Q i ) = (x i ) 2 + [f 0 (c i )x i ] 2 q = (x i ) 2 ( + [f 0 (c i )] 2 ) q = + [f 0 (c i )] 2 x i L nx q + [f 0 (c i )] 2 x i (3.3) i= que é um som de Riemnn d função g(x) = q + [f 0 (x)] 2 no intervlo [; b] : Fzendo n!, temos que cd x i ; i = ; : : : ; n torn-se muito pequeno e som (3.3) se proxim do que entendemos ser o comprimento d curv C; de A té B: Dest form, desde que o limite exist. L = lim n! i= Se f 0 (x) é contínu em [; b] ; então g(x) = o limite (3.4) existe e L = b nx q + [f 0 (c i )] 2 x i (3.4) q + [f 0 (x)] 2 é contínu em [; b] e portnto q + [f 0 (x)] 2 dx: (3.5) Observção 3. Se curv tem equção x = f(y) no intervlo [c; d] em vez de y = f(x); então seu comprimento é ddo por L = d c q + [f 0 (y)] 2 dy: Exemplo 3.22 Clcule o comprimento d curv dd por y = x 2=3 A(8; 3) e B(27; 8): entre os pontos Exemplo 3.23 Clcule o comprimento d curv dd por x = 2 y3 + 6y ; y 3: x 2=3 Exemplo 3.24 Determine o comprimento d curv y = de x = 0 x = 2: 2 35

37 3.3. Comprimento de um curv dd por sus equções prmétrics Sejm 8 < : x = x(t) y = y(t) (3.6) dus funções d mesm vriável rel t; t 2 [; b] : Então, cd vlor de t correspondem dois vlores x e y: Considerndo estes vlores como s coordends de um ponto P; podemos dizer que cd vlor de t corresponde um ponto bem determindo no plno xy: Se s funções x = x(t) e y = y(t) são contínus, qundo t vri de té b; o ponto P (x(t); y(t)) descreve um curv C no plno. As equções (3.6) são chmds equções prmétrics d curv C e t é chmdo prâmetro. Tlvez jude imginr curv como trjetóri de um prtícul que prte do ponto A = (x(); y()); no instnte t = ; e se dirige o ponto B = (x(b); y(b)): Muits curvs importntes costumm ser representds n form prmétric. gerl, s equções prmétrics são úteis porque, em diverss situções, els simpli cm os cálculos. Se função x = x(t) dmite um invers t = t(x); então s equções prmétrics (3.6) de nem um função de x que podemos representr pel compost y = y(t(x)): Exemplo 3.25 As equções 8 < x = 2t + : y = 4t + 3 de nem um função y(x) n form prmétric. Exemplo 3.26 As equções prmétrics de um ret são: 8 < x = x 0 + t : y = y 0 + bt ; t 2 R e ; b 2 R: 8 < x = cos t Exemplo 3.27 As equções : y = sin t ; t 2 [0; 2] ; onde é um constnte positiv, representm um circunferênci de centro n origem e rio : Em 36

38 8 < x = cos t Exemplo 3.28 As equções ; t 2 [0; 2] ; onde e b são constntes : y = b sin t positivs, representm um elipse de centro n origem e semi-eixos e b: Derivd de um função n form prmétric: Sej y um função de x de nid pels equções prmétric 8 < : x = x(t) y = y(t) ; t 2 [; b] : (3.7) Suponhmos que s funções y = y(t); x = x(t) e su invers t = t(x) são deriváveis. Podemos ver função y = y(x); de nid pels equções (3.7) como um função compost y = y(t(x)): Invers, Aplicndo regr d cdei, temos: dy dx = y0 (t(x)) t 0 (x): (3.8) Como x = x(t) e su invers t = t(x) são deriváveis, então pelo Teorem d Função t 0 (x) = Substituindo (3.9) em (3.8), obtemos x 0 (t(x)) = x 0 (t) : (3.9) dy dx = y0 (t) x 0 (t) : Exemplo 3.29 Clculr derivd d função y(x) de nid pels equções prmétrics 8 < x = 2t + : : y = 4t + 3 Vmos, gor, clculr o comprimento L de um curv C; dd n form prmétric, pels equções 8 < x = x(t) ; t 2 [t 0 ; t ] : y = y(t) onde x = x(t) e y = y(t) são funções contínus com derivds contínus e x 0 (t) 6= 0 pr todo t 2 [t 0 ; t ] : Tis funções são chmds continumente deriváveis, e curv C de nid por els de curv lis. 37

39 Se y = y(x) é equção crtesin d curv C; então já vimos que s b 2 dy L = + dx; x(t 0 ) = e x(t ) = b: (3.0) dx Fzendo mudnç de vriável x = x(t); dx = x 0 (t)dt e usndo que dy dx = y0 (t) x 0 (t) obtemos s b 2 dy L = + dx dx s t y 0 2 (t) = + x 0 (t)dt x 0 (t) t 0 em (3.0), onde x(t 0 ) = e y(t ) = b: Portnto, L = t t 0 q [x 0 (t)] 2 + [y 0 (t)] 2 dt: 8 < x = cos t Exemplo 3.30 Clcule o comprimento d circunferênci : y = sin t Exemplo 3.3 Clculr o comprimento d hipociclóide (ou stóide) t 2 [0; 2] : 8 < : ; t 2 [0; 2] : x = 2 cos 3 t y = 2 sin 3 t ; 3.4 Áre de um região no plno (Form Prmétric) Cso : Sej R um região do plno limitd pelo grá co de f; pels 8 rets x = ; < x = x (t) x = b e o eixo x; onde y = f(x) é contínu, f(x) 0 8x 2 [; b] é dd por ; : y = y (t) t 2 [t 0 ; t ] ; com x(t 0 ) = e x(t ) = b: Se x = x(t) tem invers t = t(x); então podemos escrever y = y(t(x)): Neste cso, áre d região R é A = b f(x)dx = b y(t(x))dx: 38

40 Fzendo substituição x = x(t), dx = x 0 (t)dt; obtemos A = t t 0 y(t)x 0 (t)dt: 8 < x = 2 cos t Exemplo 3.32 Clculr áre d região limitd pel elipse : y = 3 sin t ; t 2 [0; 2] : Cso 2: Sej R um região do plno limitd pelos grá cos de f e g; pels rets x = e x = b; onde f e g são funções contínus em [; b] ; com f(x) g(x); 8x 2 [; b] ; dds n form prmétric: y = f(x) é dd por y 2 = g(x) é dd por 8 < : 8 < onde x (t 0 ) = x 2 (t 2 ) = e x (t ) = x 2 (t 3 ) = b: Neste cso, áre d região R é : x = x (t) y = y (t) x 2 = x 2 (t) y 2 = y 2 (t) ; t 2 [t 0 ; t ] ; t 2 [t 2 ; t 3 ] A = = = b b t t 0 [f(x) f(x)dx g(x)] dx b y (t)x 0 (t)dt Exemplo 3.33 Clculr áre entre s elipses t 2 [0; 2] : g(x)dx t3 t 2 8 < : y 2 (t)x 0 2(t)dt: x = 2 cos t y = 4 sin t ; e 8 < : x = 2 cos t y = sin t ; 39

41 Cpítulo 4 Integris Imprópris 4. Integris com Limites de Integrção In nitos De nição 4. Sej f um função contínu em [; +) : De ne-se: + f(x)dx = lim b!+ b f(x)dx: Se o limite existe, dizemos que integrl imprópri R + f(x)dx converge e o limite é o vlor d integrl imprópri. Cso contrário, integrl imprópri diverge. Exemplo 4. A integrl imprópri R + dx converge ou diverge? x2 De nição 4.2 Sej f um função contúnu no intervlo ( ; b] : De ne-se: b f(x)dx = b lim! f(x)dx: Se o limite existe, dizemos que integrl imprópri R f(x)dx converge e o limite é o vlor b d integrl imprópri. Cso contrário, integrl imprópri diverge. Exemplo 4.2 A integrl imprópri R 0 ex dx converge ou diverge? De nição 4.3 Sej f contínu no intervlo ( ; +) : De ne-se: + f(x)dx = c f(x)dx + c 40 + f(x)dx:

42 onde c é qulquer número rel. Se cd integrl imprópri R c f(x)dx e R + f(x)dx c converge, dizemos que integrl imprópri R + f(x)dx converge. Se qulquer um dels divergir, integrl imprópri R + f(x)dx diverge. Exemplo 4.3 A integrl imprópri R + Exemplo 4.4 A integrl imprópri R + dx converge ou diverge? + x2 dx converge ou diverge? x 4.2 Integris Imprópris com Integrndos In nitos De nição 4.4 Se f é contínu em [; b) e lim x!b f(x) = ; de ne-se: b f(x)dx = lim t!b t f(x)dx: Se o limite existe, dizemos que integrl imprópri R b f(x)dx converge e o limite é o vlor d integrl imprópri. Cso contrário, integrl imprópri diverge. Exemplo 4.5 A integrl imprópri R 0 p x dx converge ou diverge? De nição 4.5 Se f é contínu em (; b] e lim x! +f(x) = ; de ne-se: b f(x)dx = lim t! + b t f(x)dx: Se o limite existe, dizemos que integrl imprópri R b f(x)dx converge e o limite é o vlor d integrl imprópri. Cso contrário, integrl imprópri diverge. Exemplo 4.6 A integrl imprópri R 0 Exemplo 4.7 A integrl imprópri R 0 p x dx converge ou diverge? dx converge ou diverge? x2 4

43 De nição 4.6 Se f é contínu em [; b] ; exceto no ponto c; < c < b e tem limites lteris in nitos em c; de ne-se: b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx: Se cd integrl imprópri R c f(x)dx e R b f(x)dx converge, dizemos que integrl imprópri c R b f(x)dx converge. Se qulquer um dels divergir, integrl imprópri R b f(x)dx diverge. Exemplo 4.8 A integrl imprópri R 4 Exemplo 4.9 A integrl imprópri R + 0 dx converge ou diverge? (x 2) 2=3 p x dx converge ou diverge? Exemplo 4.0 Pr quis vlores de p integrl imprópri R + vlores de p el diverge. dx x p converge e pr quis 42

44 Cpítulo 5 Forms Indeterminds e Regr de L Hôpitl (Regr de L Hôpitl) Sejm f e g funções deriváveis em um intevlo berto I contendo c e tl que g 0 (x) 6= 0 em I se x 6= c: Se f(c) = g(c) = 0; isto é, se f(x) tem form g(x) indetermind 0 0 em x = c; então desde que o limite lim x!c f 0 (x) g 0 (x) Exemplo 5. Clcule os limites f(x) lim x!c g(x) = lim f 0 (x) x!c g 0 (x) f 0 (x) exist ou lim x!c g 0 (x) = : sin x () lim x!0 x (b) lim x! 2 2x 2 + 3x 2 3x 2 x 4 (c) lim x!0 e x + e x 2 cos(2x) : A regr de L Hôpitl tmbém plic-se à form indetermind : Se f(x)! e g(x)! qundo x! c; então f(x) lim x!c g(x) = lim f 0 (x) x!c g 0 (x) f 0 (x) f 0 (x) desde que o limite lim exist ou lim = : N notção x! c; o c pode ser nito x!c g 0 (x) x!c g 0 (x) ou in nito e, lém disso, x! c pode ser substituído pelos limites lteris x! c + ou x! c : 43

45 Exemplo 5.2 Clcule os limites () ln x lim x!+ x 2 (b) lim x!+ e x x 2 : As Forms Indeterminds 0 e Podemos, às vezes, lidr com s forms indeterminds 0 e usmos álgebr pr convertê-ls ns form 0 0 ou :. Neste cso, Exemplo 5.3 Clculr os limites () lim x!+ x2 (e =x ) (b) lim +x ln x (c) lim x!0 x!0 + csc x : x Potêncis Indeterminds 0 0 ; 0, Se f(x) = [g(x)] h(x) tem um ds forms indeterminds 0 0 ; 0, em x = c plicmos o lgritmo nturl, isto é, ln f(x) = ln [g(x)] h(x) ; e usmos Regr de L Hôpitl pr encontrr o limite lim ln f(x): Clculndo exponencil do vlor encontrdo, obtemos o x!c limite d função originl. Esse procedimento é justi cdo pel continuidde d função exponencil. Se lim ln f(x) = L; então limf(x) = lime ln f(x) = e lim ln f(x) x!c = e L : x!c x!c x!c Aqui c pode ser nito ou in nito. Exemplo 5.4 Clcule os limites () lim x!0 +x= ln x (b) lim x!+ x=x (c) lim x!0 +( + 3x)=2x : 44

46 Cpítulo 6 Sequêncis e Séries de Números Reis 6. Sequêncis de Números Reis De nição 6. Um sequênci de números reis é um função f : N! R n 7! f(n) = n ; n : Notção: ( n ) n2n ou ( ; 2 ; 3 ; : : : ; n ; : : :) ou simplesmente ( n ): n é dito o termo gerl d sequênci. Exemplo 6. (n) n2n ou (; 2; 3; 4; : : : ; n; : : :) Exemplo 6.2 ou ; 2 n ; 3 ; : : : ; n ; : : : Exemplo 6.3 n2n 2 n n2n ou ; 2 ; 2 ; : : : ; 2 2 ; : : : n Exemplo 6.4 (( ) n ) n2n ou ( ; ; ; ; : : : ; ( ) n ; : : :) Exemplo 6.5 (2) n2n ou (2; 2; 2; : : : ; 2; : : :) Exemplo ; 2; 3 ; 2; 5 < ; : : : ou : 2; se n é pr n ; se n é ímpr : 45

47 De nição 6.2 A sequênci ( n ) converge pr o número L se, pr cd número positivo ; existe um inteiro positivo N (possivelmente dependendo de ) tl que Se ( n ) converge pr L; escrevemos e chmmos L de limite d sequênci. n > N ) j n Lj < : lim n = L ou n! L n!+ Se esse número L não existe, dizemos que ( n ) diverge. Exemplo 6.7 Mostre que lim n!+ n = 0: Exemplo 6.8 As sequêncis (n) n2n e ( p n) n2n divergem, pois conforme n ument, os seus termos cm miores que qulquer número prede nido. Descrevemos o comportmento desss sequêncis d seguinte mneir: lim n = e lim p n = n! n! 6.. Subsequêncis Sej ( n ) um sequênci de números reis e considere o subconjunto in nito de N : fn < n 2 < n 3 < < n k < n k+ < g : A nov sequênci b k = f(n k ) = nk é dit um subsequênci de ( n ): Exemplo 6.9 Considere sequênci (( ) n ) n2n ou ( ; ; ; ; : : : ; ( ) n ; : : :) : Temos que ( ) 2n n2n = () n2n = (; ; ; ; : : :) e são subsequêncis de (( ) n ) n2n : ( ) 2n n2n = ( ) n2n = ( ; ; ; : : :) 46

48 Teorem 6. Se n! então tod subsequênci ( nk ) de ( n ) tmbém converge pr : Observção 6. "Se um sequênci possui dus subsequêncis convergindo pr limites distintos então sequênci não converge." Exemplo 6.0 (( ) n ) n2n não converge, pois ( ) 2n! e ( ) 2n! : Exemplo 6. (; 3 ; 5 ; : : : ; 2n ; 2; 3 ; 2; 5 ; : : : não converge, pois s subsequêncis (2; 2; 2; : : :) e ; : : :) convergem pr limites diferentes Sequêncis Monótons Um sequênci ( n ) é dit crescente se n e é dit decrescente se n Qundo < 2 < 3 < 4 < < n < ; ( n ) é dit estritmente crescente e no cso em que ( n ) é dit estritmente decrescente. > 2 > 3 > 4 > > n > Um sequênci ( n ) que é crescente ou decrescente é dit monóton. Exemplo 6.2 n n2n é estritmente decrescente. Exemplo 6.3 (n) n2n é estritmente crescente. Exemplo 6.4 A sequênci (; 2; 2; 3; 3; : : :) é crescente: Exemplo 6.5 A sequênci ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; : : : é decrescente. 47

49 6..3 Sequêncis Limitds Um sequênci ( n ) é dit limitd qundo existe um número C 0 tl que j n j C; 8n 2 N: Exemplo 6.6 (( ) n ) n2n é limitd, pois j( ) n j ; 8n 2 N: Exemplo 6.7 (sin(n)) n2n é limitd, pois jsin(n)j ; 8n 2 N: Exemplo 6.8 A sequênci (n) n2n = (; 2; 3; 4; : : : ; n; : : :) é limitd inferiormente por, ms não tem limite superior. Logo, não é limitd. Observção 6.2 "Tod sequênci convergente é limitd, no entnto um sequênci limitd pode não ser convergente."por exemplo, sequênci (( ) n ) n2n é limitd ms não é convergente. Teorem 6.2 Tod sequênci monóton e limitd é convergente. Exemplo 6.9 Aplique o Teorem nterior pr mostrr que sequênci convergente. n n + n2n é Teorem 6.3 (Teorem d Função Contínu pr Sequêncis) Sej ( n ) um sequênci de números reis. Se n! L e se f for um função contínu e de nid pr todo n ; então f( n )! f(l): r n Exemplo 6.20 Mostre que n +! : 6..4 Proprieddes dos Limites de Sequêncis Sejm ( n ) e (b n ) sequêncis de números reis.. lim n! ( n + b n ) = lim n! n + lim n! b n : 2. lim n! ( n b n ) = lim n! n lim n! b n : 48

50 n 3. lim = n! b n lim n n! lim b n n! ; se lim n! b n 6= 0: 4. lim k = k e lim (k n ) = k lim n! n! 5. lim n! j n j = n (pr qulquer número k). n! lim n ; isto é, se n! então j n j! jj : n! 6. Se n b n ; então lim n! n lim n! b n : 7. Se n b n c n e lim n! n = lim n! c n = L, então lim n! b n = L: 8. Se n 0 então lim n! p n = q lim n! n : Exemplo 6.2 Determinr o limite ds sequêncis. 2n 2 + pn p ) b) + n c) n 2 + n n2n n2n n sin(n) n2n d) n n + n2n Observção 6.3 Todo múltiplo não nulo de um sequênci divergente ( n ) tmbém diverge. O Teorem seguir nos permite plicr regr de L Hôpitl pr encontrr o limite de lgums sequêncis. Teorem 6.4 Sej f(x) um função de nid pr todo x n 0 e tl que lim f(x) = L: x!+ Então sequênci ( n ) onde n = f(n) pr n n 0 é convergente e seu limite é L: Se lim f(x) = ; então sequênci ( n) é divergente. x!+ Exemplo 6.22 Determine o limite ds sequêncis. n ln(n) ) b) e n n2n n 6..5 Limites Especiis. lim + n = e n! n 2. lim n! x n = 0 se jxj < : : n2n 49

51 3. lim n! x =n = se x > 0: 4. lim xn n! = 0; 8x 5. lim np n = : Exemplo 6.23 Determine o limite ds sequêncis.. 2 n np ) b) n 2 3 n+ n2n n2n b) + n : 3n 6.2 Série de Números Reis Algums vezes um som in nit de termos result em um número, como em onde cd prcel represent áre de um retângulo obtido dividindo in nitmente o qudrdo unitário o meio. prciis: Pr tribuirmos signi cdo ess expressão, consideremos sequênci (S n ) de soms S = 2 = 0; 5 S 2 = = 3 4 = 0; 75 S 3 = = 7 = 0; S 4 = = 5 = 0; Assim sequênci de soms prciis (S n ) pode ser escrit d seguinte form: (0; 5; 0; 75; 0; 875; 0; 9375; ) 50

52 O que contece qundo fzemos lim n! (S n )? Esse limite é ; ou sej, S n! ; neste cso, dizemos que é som d série in nit, isto é = Outrs vezes é impossível chegr o resultdo de um som in nit, como em De nição 6.3 Um série de números reis é um som in nit d form: X n + = n ; onde n 2 R é chmdo n-ésimo termo d série. n= Exemplo 6.24 ) n + b) n + c) + + De nição 6.4 A sequênci (S n ) ds soms prciis d série X n é de nid por n= S = S 2 = + 2. S n = n. Se sequênci ds soms prciis convergir pr um limite S; dizemos que série converge e que su som é S: Neste cso, escrevemos n + = X n= n = S = lim n! S n : Se sequênci ds soms prciis d série não converge, dizemos que série diverge. 5

53 X Exemplo 6.25 Considere série 2 : n n= ) Encontre S ; S 2 ; S 3 ; S 4 b) Encontre S n c) Mostre que série converge. De um modo gerl, série X q n = + q + q q n + n= qul é chmd Série Geométric converge se jqj < e su som é q : Exemplo 6.26 Considere série X ( ) n : n= ) Encontre S ; S 2 ; S 3 ; S 4 b) Encontre S n c) Mostre que série diverge Operções com Séries Convergentes X X Se n e b n são séries convergentes e c 2 R; então: n= n=. X ( n + b n ) converge e n= X ( n + b n ) = n= X n + n= X b n : n= 2. X c n converge e n= X X c n = c n : n= n= Observção 6.4 Se X n diverge e c 2 R; c 6= 0 então n= X c n tmbém diverge. n= Observção 6.5 Se X n converge e n= X b n diverge, então n= X ( n + b n ) diverge. n= Teorem 6.5 Se então X n= X n diverge. n= n converge, então lim n! n = 0: Ou equivlentemente, se lim n! n 6= 0 52

54 Exemplo 6.27 Aplique o Teorem nterior pr mostrr que série X n 2n + diverge. Se lim ( n ) = 0; então é necessário um investigção dicionl pr determinr se n! X série n é convergente ou divergente. n= Testes d Integrl Sej f(x) um função contínu, positiv e decrescente pr todo x : Se ( n ) é um sequênci de nid por n = f(n); então X n converge, n= n= + f(x)dx converge. Exemplo 6.28 A p-série X n = p + p 2 + p p n + p onde n 2 R; converge se p > e diverge se p : Note que, se p = temos X n que é chmd série hrmônic. Exemplo 6.29 Vmos mostrr que série Teste d Comprção Sejm (i) Se (ii) Se X n e n= n= X n p n converge. n= X b n séries de termos posivivos. n= X b n converge e n b n pr todo inteiro positivo n; então n= X n diverge e n b n pr todo inteiro positivo n; então n= n= X n converge. n= X b n diverge. Exemplo 6.30 Vmos determinr convergênci ou divergênci ds séries seguir: X X 3 X ) b) p c) n n n2 n n= n= 53 n= n=