FLOW SHOP HÍBRIDO COM ESTÁGIOS GARGALOS. João Vitor Moccellin. Marcelo Seido Nagano

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1 A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN FLOW SHOP HÍBRIDO COM ESTÁGIOS GARGALOS João Vitor Moccellin Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo Av. Trabalhador São-Carlense, 400, CEP São Carlos-SP jvmoccel@sc.usp.br Marcelo Seido Nagano Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade, Universidade de São Paulo Av. dos Bandeirantes, 3900, CEP Ribeirão Preto-SP drnagano@usp.br Resumo Neste artigo é proposto um método heurístico para o problema de programação flow shop com máquinas paralelas e estágios gargalos de produção, tendo como objetivo minimizar a duração total da programação. O gargalo é diferenciado dos demais estágios de produção por ter um número menor de máquinas paralelas, porém mantendo a mesma amplitude dos tempos de processamento das tarefas. O método proposto apresenta duas etapas. Na primeira, o problema original é transformado em um flow shop paralelo fictício (sem gargalo), cuja solução é factibilizada na segunda etapa por meio de uma reprogramação das tarefas no estágio gargalo. Palavras-chave: flow shop híbrido, estágios gargalos, métodos heurísticos. Abstract This paper introduces a heuristic method for the minimal makespan hybrid flow shop scheduling with bottleneck configurations, i.e. at some production stage the number of machines is decreased, compared to other stages, while maintaining, at all stages, the same job processing time distribution. The proposed heuristic has two phases. In the first one, the original scheduling problem is transformed into artificial parallel flowshops (without bottleneck). In the second phase, the first-phase solution is made feasible by rescheduling the jobs in the original bottleneck production stage. Keywords: hybrid flow shop, bottleneck configurations, heuristics. 1. Introdução A Programação da Produção visa alocar materiais, máquinas, pessoas e estoques, determinando quando e onde cada operação da fabricação de um produto deve ser realizada, respeitando as restrições tecnológicas, tendo como objetivo uma medida de desempenho. Além das tecnológicas, existem as restrições de recursos humanos, materiais e financeiros. As restrições tecnológicas são definidas pela seqüência de fabricação dos produtos e determinadas principalmente pelo fluxo das operações das tarefas (produtos) nas máquinas. Assim, os problemas de programação de operações nas máquinas podem ser classificados, tradicionalmente, em: a) Job Shop: cada tarefa tem sua própria seqüência de processamento no conjunto de máquinas; b) Flow Shop: todas as tarefas têm a mesma seqüência de processamento no conjunto de máquinas; c) Open Shop: não há uma seqüência específica ou preestabelecida para o processamento das tarefas nas máquinas; d) Flow Shop Permutacional: é um Flow Shop no qual em cada máquina a seqüência das tarefas é a mesma;

2 e) Máquina Única: existe uma única máquina disponível para o processamento das tarefas; f) Máquinas Paralelas: são disponíveis diversas máquinas, geralmente idênticas, para as mesmas operações. Nos últimos anos, duas outras classes de problemas têm merecido gradativa atenção dos pesquisadores da área. Tais classes são: Job Shop com Máquinas Múltiplas, que é um Job Shop no qual existe um conjunto de máquinas paralelas em cada estágio de produção; Flow Shop com Máquinas Múltiplas, que consiste em um Flow Shop no qual existe um conjunto de máquinas paralelas em cada estágio de produção. A Figura 1 ilustra a relação entre as classes dos problemas de programação de operações em máquinas, conforme a classificação dada: Job Shop com Máquinas Múltiplas fluxo idêntico Flow Shop com Máquinas Múltiplas Open Shop sem fluxo padrão Job Shop M s = 1 s = 1, 2,..., K Flow Shop K= 1 K= 1 Máquina Única K = número de estágios de produção mesma seqüência das tarefas em todas as máquinas Flow Shop Permutacional K= 1 M 1 = 1 Máquinas Paralelas M s = número de máquinas do estágio s Figura 1 Relação entre as classes de problemas de programação de operações em máquinas. Este artigo trata do problema Flow Shop com Máquinas Múltiplas, o qual pode ser encontrado em diversos Sistemas de Produção, geralmente intermitentes repetitivos, como é o caso das indústrias têxteis e de vestuário. Tal problema também é conhecido na literatura como o Problema Flow Shop Híbrido (FSH), Gupta (1988), Lee & Vairaktarakis (1994). O problema FSH, neste artigo, é caracterizado pela existência de um estágio gargalo de produção, no qual o número de máquinas paralelas é menor que nos demais. 2. Uma revisão sobre Programação FSH O problema de programação Flow Shop Híbrido consiste de um flowshop de múltiplos estágios de produção, onde cada estágio s ε {1,..., K}, K > 2, é composto de M s máquinas paralelas, as quais podem processar uma única tarefa de cada vez. Um flow shop multi-estágios é um FSH se pelo menos em um dos estágios existirem duas ou mais máquinas. 1550

3 O problema consiste em programar um conjunto de tarefas I = {1,..., n}, onde cada tarefa tem uma única operação em cada estágio. As operações de uma tarefa devem ser efetuadas seqüencialmente, passando por todos os estágios. Além disso, as operações uma vez iniciadas não devem ser interrompidas e também não podem ser subdivididas em operações simultâneas e independentes. Cada tarefa i tem um tempo de processamento conhecido estágio s, i ε I e s ε {1,..., K}. A Figura 2 ilustra o problema geral Flow Shop Híbrido com K estágios de produção. p i s no estágio 1 estágio 2 estágio s estágio K n tarefas M K M 1 M 2 M s Figura 2 Flow Shop Híbrido genérico com K estágios de produção O ambiente FSH pode ser visto como uma combinação do flowshop clássico ( M s = 1, K > 1) com o problema de máquinas paralelas ( M > 2, K = 1), os quais têm sido intensivamente estudados. Estudos gerais sobre Programação de Operações em Máquinas podem ser encontrados em Baker (1974) e Pinedo (1995). A seguir, são apresentados alguns trabalhos que tratam do problema FSH com 2 estágios e do caso geral, com 3 ou mais estágios. 2.1 O problema FSH com 2 estágios Gupta (1988) estudou o problema de minimização do makespan (duração total da programação) no caso de M 1 > 2 e M 2 = 1. Ele constatou que o problema é NP-hard quando max ( M 1, M 2 ) > 1. Este resultado é importante pelo fato de mostrar que qualquer problema FSH com K estágios, objetivando a minimização do makespan, é NP-hard. Sriskandarajah & Sethi (1989) estudaram os desempenhos de algumas heurísticas, quanto ao makespan, para problemas com M 1 > 2 e M 2 = 1, e com M 1 > 2 e M 2 > 2. As soluções são obtidas baseadas na regra de Johnson (1954). Gupta & Tunc (1991) estudaram o problema com M 1 = 1 e M 2 > 2. Eles mostraram que tal problema é o inverso daquele apresentado em Gupta (1988) e que também é NP-hard. Guinet et al. (1992), propuseram inicialmente uma formulação em Programação Inteira Mista para o problema geral com K > 2, e posteriormente baseado na regra de Johnson foi proposto um método heurístico para o problema de minimização do makespan em um FSH com 2 estágios. Eles compararam tal método com as regras de programação conhecidas por SPT (Shortest Processing Time) e LPT (Longest Processing Time), concluindo que esta última fornece boas soluções para o problema. Lee & Vairaktarakis (1994) estudaram o problema de minimização do makespan em um FSH com 2 estágios quando é permitido, no primeiro estágio, a subdivisão de operações (splitting). 1551

4 Oguz (1997) abordou o FSH 2-estágios tendo no primeiro estágio 2 máquinas paralelas não-relacionadas. Nesse caso, uma tarefa é processada em apenas uma delas. No segundo estágio, existe uma única máquina. O autor apresentou uma heurística baseada na regra de Johnson para encontrar uma solução, avaliando o desempenho do método a partir de uma experimentação computacional. Sundararaghavan et al. (1997) estudaram o FSH 2-estágios com M 1 = M 2 = 2. Consideraram o problema como flow shops paralelos com máquinas uniformes, ou seja, um com máquinas novas e rápidas e o outro com máquinas antigas e lentas, formulando-o como um modelo de programação inteira mista com solução obtida por um método branch-and-bound, para problemas de pequeno porte. Para problemas maiores, foram propostos métodos heurísticos também utilizando a regra de Johnson. Elmaghraby & Soewandi (1998a) e (1998b) estudaram os problemas de minimização do makespan em FSHs de 2 estágios com máquinas idênticas em um caso, e máquinas uniformes (proporcionais) no outro. Eles concluíram que, até aquele momento, o melhor método para solução do problema era um que utilizava uma variação do algoritmo de Johnson. 2.2 O problema FSH com múltiplos estágios Hunsucker et al. (1989) efetuaram uma simulação computacional com o propósito de avaliar o desempenho de diversas Regras de Prioridade para os casos em que a função-objetivo refere-se ao Tempo Médio de Fluxo e também para o makespan. Com o propósito de obter a solução ótima para o problema de minimização do makespan em um ambiente multi-estágios FSH, Brah & Hunsucker (1991) apresentaram um algoritmo branch-and-bound, adaptando o Método de Enumeração proposto por Bratley et al. (1975) para a programação do problema clássico de máquinas paralelas. O procedimento de ramificação consiste em enumerar todas as seqüências possíveis das tarefas nas máquinas de todos os estágios de produção. Como esperado, o método proposto teve um interesse somente teórico, uma vez que o tempo de CPU mesmo para problemas de pequeno porte alcança valores excessivos. Hunsucker & Shah (1994) realizaram uma análise comparativa do desempenho de Regras de Prioridade em problemas multi-estágios FSH com restrições quanto ao número máximo de tarefas a serem programadas. Em Vignier et al. (1995) pode-se encontrar, para aquele momento, uma descrição do estado-da-arte para o problema geral de programação FSH. Portmann et al. (1996) utilizaram um Algoritmo Genético para minimizar o makespan no problema multi-estágios FSH. Nesse trabalho, o algoritmo genético foi usado para calcular limitantes superiores para os nós de um algoritmo branch-and-bound usando o esquema de ramificação de Brah & Hunsucker (1991). Os autores testaram o algoritmo para problemas com 5, 10 e 15 tarefas em flowshops com 2, 3 e 5 estágios. A maioria dos exemplos testados apresentava gargalos, ou seja: em alguns estágios o número de máquinas era inferior ao dos demais estágios, mantendo para todos os estágios de produção a mesma distribuição dos tempos de processamento das operações. Todos os testes foram interrompidos após 2 horas de tempo computacional em um microcomputador 486 / 33MHz. Como esperado, somente os problemas de menor porte (5 tarefas) foram resolvidos fornecendo a solução ótima. Guinet & Solomon (1996) foram os primeiros a adaptar métodos heurísticos do Flow Shop tradicional para programar um Flow Shop Híbrido. Assim como no trabalho de Portmann et al. (1996), a maioria dos problemas testados (90%) apresentava estágios de produção com gargalos. Riane et al. (1998) abordaram um problema de minimização do makespan em um FSH 3-estágios com M 1 = M 3 =1 e M 2 =2, idênticas. Propõem um algoritmo heurístico para solucionar o problema e apresentam resultados computacionais para problemas de vários tamanhos. Pocket & Moursli (2000) investigaram o FSH K-estágios com a presença de gargalos. Apresentaram um algoritmo branch-and-bound para determinar o makespan ótimo. Várias 1552

5 heurísticas são utilizadas no cálculo dos limites superiores, enquanto os limites inferiores são obtidos pela relaxação do subproblema de um único estágio. Esse algoritmo mostra que a solução é convergente e tenta reduzir a lacuna entre os limites inferior e superior. O algoritmo apresenta interesse teórico, uma vez que somente deve ser utilizado em problemas de pequeno porte. Nagano & Moccellin (2000) e Moccellin & Nagano (2001) propuseram métodos heurísticos para o problema FSH com múltiplos estágios e duas máquinas em cada um deles, sendo que no primeiro trabalho as máquinas são idênticas e no segundo elas são máquinas uniformes (proporcionais). 3. Um Método de Programação FSH K-estágios com gargalo de produção O problema tratado neste artigo é ilustrado na Figura 3. Em cada estágio de produção as máquinas paralelas são idênticas. estágio 1 estágio 2 estágio gargalo g estágio s estágio K n tarefas Figura 3 Flow Shop Híbrido K-estágios com estágio gargalo O método de solução proposto neste trabalho é dividido em duas etapas. A primeira delas obtém uma solução inicial infactível para o problema, utilizando-se o método heurístico construtivo N&M (Nagano & Moccellin, 2002), aplicado em uma transformação do problema original (com gargalo) em um flow shop paralelo fictício (sem gargalo). Essa transformação é feita por meio da criação de máquinas fictícias, no gargalo, para formar um conjunto de flowshops paralelos. A segunda etapa trata da factibilização da solução encontrada na primeira etapa, considerando o problema original. Nessa etapa, busca-se solucionar o problema de seqüenciamento de operações em máquinas paralelas idênticas no estágio gargalo, ou seja, onde o número de máquinas é menor. O objetivo consiste em obter a melhor programação para as tarefas, de forma a minimizar o makespan. A seguir, apresenta-se o algoritmo para solução do problema flow shop híbrido considerado neste trabalho. Primeira Etapa: Obtenção de uma solução para o Problema Fictício Flow Shop Paralelo 1553

6 Passo 1. Criar máquinas fictícias no estágio gargalo g, que tem o menor número de máquinas. Seja M o número de máquinas dos outros (K 1) estágios. Determinar uma Partição do conjunto I das tarefas em M subconjuntos I 1, I 2,..., I M de forma que I1 U I2 U... U I M = I ={1,..., n}, e tal que o módulo da diferença, para cada subconjunto de tarefas I m (m = 1, 2,..., M), entre a soma dos tempos de processamento das tarefas de I m e a média aritmética dos tempos de processamento das tarefas do conjunto total I, considerando as M máquinas paralelas, seja o mínimo possível, ou seja, determinar I m para m = 1, 2,..., M, de forma a minimizar K 1 K pis pis i Im s= 1 M i I s= 1. Passo 2. Denominar FS 1 ao primeiro Flow Shop relacionado ao subconjunto de tarefas I 1 com n 1 tarefas; FS 2 ao segundo Flow Shop relacionado ao subconjunto de tarefas I 2 com n 2 tarefas e assim, até o FS M relacionado ao subconjunto de tarefas I M com n M tarefas. Resolver cada Flow Shop utilizando o Método Heurístico N&M (Nagano & Moccellin, 2002). Seja D m o melhor makespan relativo ao FS m, para m = 1, 2,..., M. O makespan de uma solução inicial para o Problema Flow Shop Paralelo Fictício é dado por D = max ( D1, D2,..., DM ). Passo 3. Enquanto Tempo de CPU Condição de Parada: Gerar números aleatórios inteiros (u, j), ambos pertencentes ao conjunto I 1 = {1,.., n 1 }. Inserir a tarefa u na j-ésima posição da melhor seqüência de tarefas atual com relação ao FS 1, precedendo v na posição (j+1), se e somente se a seguinte inequação for satisfeita: K 1 s 2 LBY uv < MAX LBYu + MAX LBYv s= 1 onde 1 K 1 MAX LBY i = max LBY h = 1 s = 1 n h i h s i s LBY h i = um limitante inferior para o tempo de espera da tarefa i entre o final de sua operação no estágio s e o início no estágio (s +1), quando a tarefa h precede imediatamente a tarefa i (Nagano & Moccellin, 2002). Repetir o mesmo procedimento para o FS 2, FS 3,..., FS M. Selecionar a melhor solução atual para o problema de M Flow Shops Paralelos. Condição de Parada O método heurístico encerra a busca por melhores soluções, na primeira etapa, quando o tempo de computação (CPU) atingir um determinado limite superior, o qual foi estabelecido por experimentação prévia tendo como objetivo resolver o problema dentro de um esforço 1554

7 computacional não excessivo. Essa Condição de Parada, em função do número de tarefas a serem programadas, é apresentada na Tabela 1. Número de tarefas (n) Tempo de computação (segundos) a Tabela 1 - Condição de Parada da primeira etapa do algoritmo Segunda Etapa: Factibilização da solução Na etapa de factibilização da solução para o problema original, considera-se o estágio gargalo g com o número de máquinas real M g, como um problema de programação de n tarefas (operações do estágio g ) em um conjunto de M g máquinas paralelas idênticas, conforme ilustra a Figura 4. Assim, as datas de liberação das tarefas no estágio gargalo g serão dadas pelas suas datas de término no estágio anterior (desde que g > 2). Se g for o primeiro estágio de produção, tais datas de liberação assumem o usual valor zero. estágio gargalo g n tarefas Figura 4 Problema de programação de n tarefas em M g máquinas paralelas idênticas Seja R i g a data de liberação da operação da tarefa i, a ser programada no estágio gargalo g, para i = 1, 2,..., n. Passo 1. Ordenar as n tarefas segundo a ordem não-decrescente das datas acordo com a regra de ordenação SRD (Shortest Release Date). A última data é denominada max R i g. i R i g, ou seja, de Passo 2. Ordenar as n tarefas segundo uma Regra de Prioridade RP previamente estabelecida. 1555

8 Passo 3. Programar as M g tarefas com as menores datas R i g da ordenação SRD, uma em cada máquina, a partir de sua respectiva data de liberação R i g. Passo 4. Determinar a menor data de liberação das máquinas do estágio gargalo ( MRD min Minimal Machine Release Date), dentre as M g máquinas paralelas. Passo 4a. Se MRD min < max Ri g, prosseguir no passo 5. i Passo 4b. Caso contrário, se MRD min max Ri g i Programar na máquina com a menor quantidade de processamento já alocado (menor carga), a próxima tarefa ainda não programada da ordenação segundo RP. Repetir esse procedimento até que todas as tarefas sejam programadas. Passo 5. Identificar as tarefas ainda não programadas, cujas datas de liberação R i g são menores ou iguais a MRD min. Obs: Se não existirem tarefas remanescentes que atendam a condição R i g MRD min, programar a próxima tarefa remanescente da ordenação SRD, designando-a à máquina de menor carga. Voltar ao passo 4. Passo 6. Programar a primeira tarefa remanescente da ordenação segundo RP, dentre aquelas identificadas no passo 5, designando-a à máquina de menor carga. Voltar ao passo 4. Reprogramação dos estágios subseqüentes ao gargalo e cálculo do makespan final Passo 7. A partir da programação das n tarefas no estágio gargalo (Passos 1 a 6), seja C i g = data de término da tarefa i no estágio gargalo g, para i = 1, 2,..., n. Passo 7a. Se g = K (último estágio) o makespan da solução do Problema Flow Shop Original será D = max Ci g i = 1, 2,..., n. i Passo 7b. Caso contrário, se g < K Para cada Flow Shop FS m (m = 1, 2,..., M) calcular o makespan D m, a partir do estágio (g + 1), considerando: I) A mesma seqüência de tarefas, fornecida pela primeira etapa do algoritmo; II) As novas datas de término das n tarefas, para o estágio gargalo g, ou seja, as datas C i g, como novas datas para o cálculo do makespan. O makespan da solução do Problema Flow Shop Original, será: D = max Dm m = 1, 2,..., M. m 1556

9 4. Experimentação computacional A experimentação computacional reportada neste artigo teve por objetivo avaliar o desempenho de Regras de Prioridade (RP) clássicas da literatura, tais como: LPT Longest Processing Time, MWKR Most Work Remaining e SPT Shortest Processing Time, na segunda etapa do algoritmo proposto, referente à programação das tarefas no estágio gargalo. Para tanto, foram considerados problemas com o número de tarefas n {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200} em ambientes flowshop com 4 estágios de produção. Duas situações híbridas foram utilizadas: cada estágio de produção não-gargalo com M = 2 ou 4 máquinas paralelas idênticas. Na primeira situação, o estágio gargalo tem uma única máquina, enquanto que na segunda, o gargalo foi constituído de uma a três máquinas. Na simulação computacional, o estágio gargalo foi escolhido aleatoriamente dentre os quatro estágios de produção. Os desempenhos das Regras de Prioridade LPT, MWKR e SPT foram avaliados a partir de uma amostra de 600 problemas envolvendo 20 classes (n, M). Para cada classe foram gerados 30 problemas, com os tempos de processamento das operações sendo números inteiros aleatórios a partir de uma distribuição uniforme no intervalo [1, 10]. As estatísticas de desempenho utilizadas foram a Porcentagem de Sucesso e o Efeito do Gargalo. A Porcentagem de Sucesso é calculada pelo quociente entre o número de vezes em que uma mesma Regra de Prioridade obteve o melhor makespan e o número total de problemas resolvidos. Obviamente, quando duas ou as três RP obtiverem o melhor makespan, para o mesmo problema, todas elas obtêm sucesso e conseqüentemente suas respectivas porcentagens de sucesso são melhoradas. O Efeito do Gargalo (EG) fornece o quanto o makespan é acrescido pela existência do estágio gargalo, sendo dado por EG = (D 2 D 1 ) / D 1, onde D 1 = melhor makespan obtido na 1ª etapa do algoritmo, considerando flowshops paralelos sem gargalo; D 2 = melhor makespan do problema original (com gargalo) obtido no final do algoritmo. Os resultados da experimentação computacional são apresentados nas Figuras 5 e 6. Pode-se notar claramente a superioridade da Regra de Prioridade LPT Longest Processing Time. Tais resultados consubstanciam outros já reportados a respeito de tal regra, quando se deseja minimizar o makespan. Por outro lado, a regra MWKR teve um desempenho inferior ao esperado, tendo em vista sua similaridade com a LPT e o fato de levar em conta o tempo de processamento das tarefas após o estágio gargalo. A Figura 6 quantifica os resultados indicados pelas porcentagens de sucesso da Figura 5. Note-se que o acréscimo no makespan, pela existência do estágio gargalo, apresenta uma tendência de aumento à medida que aumenta o porte do problema. 1557

10 Porcentagem de Sucesso Número de tarefas Figura 5 Porcentagem de Sucesso em função do número de tarefas SPT LPT MWKR Efeito do Gargalo (%) SPT LPT MWKR Número de tarefas Figura 6 Efeito do Gargalo em função do número de tarefas 5. Considerações finais 1558

11 Na literatura encontram-se relativamente poucas pesquisas que reportam o desenvolvimento de métodos heurísticos para a programação FSH com múltiplos estágios e gargalos de produção. Assim como o trabalho de Guinet & Solomon (1996), o método apresentado procura adaptar métodos heurísticos do Flow Shop tradicional para o Flow Shop Híbrido. Extensões deste trabalho poderiam envolver: a avaliação do efeito do gargalo em função de sua posição nos estágios de produção; a comparação de desempenho do melhor método proposto (utilizando a regra de prioridade LPT) com outros heurísticos da literatura que possam ser utilizados na solução do problema de Programação da Produção tratado neste artigo. Bibliografia BAKER K.R., Introduction to Sequencing and Scheduling, John Wiley & Sons Inc, New York. BRAH S. A. and J.L. HUNSUCKER, Branch and bound algorithm for the flow shop with multiprocessors, European Journal of Operational Research, vol. 51, BRATLEY P., M. FLORIAN and P. ROBILLARD, Scheduling with earliest start and due date constraints on multiple machines, Naval Research Logistics Quarterly, vol. 22, n. 1, ELMAGHRABY S.E. and H. SOEWANDI, 1998a. Sequencing Jobs on Two-Stage Hybrid Flowshop with Uniform Machines to Minimize makespan, Technical Report, Department of Industrial Engineering, North Carolina State University, Raleigh, NC, USA. ELMAGHRABY S.E. and H. SOEWANDI, 1998b. Sequencing Jobs on Two-Stage Hybrid Flowshop with Identical Machines to Minimize makespan, Technical Report, Department of Industrial Engineering, North Carolina State University, Raleigh, NC, USA. GUINET A. and M. SOLOMON, Scheduling hybrid flow shops to minimize maximum tardiness or maximum completion time, Int. J. Prod. Res., vol. 34, GUINET A., F. ECHALIER and A. DUSSAUCHOY, Scheduling jobs on parallel machines: a survey, EURO 12, TIMS XXXI, Helsinki, Finland. GUPTA J.N.D. and E.A. TUNC, Schedules for a two-stage hybrid flowshop scheduling with parallel machines at the second stage, Int. J. Prod. Res., vol. 29, GUPTA J.N.D., Two-stage, hybrid flowshop scheduling problem, Journal of The Operational Research Society, vol. 39, HUNSUCKER J.L. and J.R. SHAH, Comparative performance analysis of priority rules in a constrained flow shop with multiple processor environment, European Journal of Operational Research, vol. 72, HUNSUCKER J.L., S.A. BRAH and D.L. SANTOS, Simulation study of a flow shop with multiple processors scheduling, TIMS/ORSA joint National Meeting in New York City, JOHNSON S.M., Optimal two and three stage production schedules with setup time included, Naval Res. Logist. Q., vol. 1,

12 LEE C.Y. and G.L. VAIRAKTARAKIS, Minimizing makespan in hybrid Flow Shops, Operational Research Letter, vol. 16, MOCCELLIN J.V. and M.S. NAGANO, Flow Shop Heuristic Scheduling with Parallel Uniform Processors, INFORMS Annual Meeting, Miami Beach-FL, USA, Bulletin p.118 ( NAGANO M.S. and J.V. MOCCELLIN, Heuristics for Hybrid Flow Shop Scheduling, Brazilian Symposium on Operations Research, Proceedings, NAGANO M.S. and J.V. MOCCELLIN, A High Quality Solution Constructive Heuristic for Flow Shop Sequencing, Journal of The Operational Research Society, vol. 53, OGUZ C. et al., Two-stage flowshop scheduling with a common second-stage machine, Computers and Operational Research, vol. 24, PINEDO M., Scheduling: Theory, Algorithms, and Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. POCHET Y. and O. MOURSLI, A branch-and-bound algorithm for the hybrid flowshop, International Journal of Production Economics, vol. 64, PORTMANN M-C, A. VIGNIER, D. DARDILHAC and D. DEZALAY, Some Hybrid flowshop scheduling by crossing branch and bound and genetic algorithms, 5th International Workshop on Project Management and Scheduling, Poznan-PL, RIANE F. et al., A hybrid three-stage flowshop problem: Efficient heuristic to minimize makespan, European Journal of Operational Research, vol. 109, SRISKANDARAJAH C. and S. P. SETHI, Scheduling algorithms for flexible flowshops: worst and average case performance, European Journal of Operational Research, vol. 43, SUNDARARAGHAVAN P.S., A.S. KUNNATHUR and I. VISWANATHAN, Minimizing makespan in parallel flowshops, Journal of the Operational Research Society, vol. 48, VIGNIER A., J-C BILLAUT and C. PROUST, Les problèmes de type flow shop hybride : état de l art, in Journée d études : Affectation et Ordonnancement, CNRS / GdR Automatique/ Pôle SED /GT3, Tours, France, A pesquisa relatada neste artigo teve o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq. 1560