Programa Delta DEEC/FEUP Combinatória e Algoritmos 1

Transcrição

1 Programa Delta DEEC/FEUP Combinatória e Algoritmos 1 Suponha que tem uma caixa branca com 60 bolas brancas e uma caixa preta com 60 bolas pretas. Considere o seguinte procedimento: 1. Retiram-se 20 bolas da caixa branca, que se colocam na caixa preta. 2. Misturam-se bem as bolas da caixa preta. 3. Retiram-se 20 bolas da caixa preta (provavelmente algumas destas serão brancas e outras pretas) e colocam-se na caixa branca. Sem fazer esta experiência, responda à seguinte questão: No final do procedimento, há mais bolas brancas na caixa preta ou mais bolas pretas na caixa branca? Conjetura: Prova da conjetura: 1 O texto que se segue foi traduzido e adaptado do livro A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience (Msri Mathematical Circles Library) (v. 1), de Zvezdelina Stankova e Tom Rike (Editores). 1

2 Faça a experiência indicada na página anterior e teste a conjetura. A conjetura verificou-se? Repita a experiência e, se necessário, reformule a conjetura. Conjetura : Prove a Conjetura. Para tal, não basta dizer que o resultado das experiências é sempre o mesmo! Terá de se questionar: O que é que se está a passar? Porque razão o resultado do procedimento é sempre este? Uma prova é uma resposta a esta questão. Não só servirá para convencer amigos e familiares incrédulos que não realizaram a experiência, como o que é mais importante ainda permitirá um conhecimento mais profundo do problema. Esse tipo de entendimento mais profundo ajudará a resolver outros problemas mais difíceis no futuro. Uma boa prova é uma prova que nos faz mais sábios. Yuri Manin Tente explicar porque razão o resultado tem necessariamente de ser como a experiência faz induzir. Escreva todos os argumentos que conceber, mesmo que não os considere satisfatórios. Pegue em lápis e papel e escreva! Vai perceber que é difícil explicar as ideias cruciais. É frequente que determinada justificação pareça muito mais convincente na sua cabeça do que no papel. Um dos desafios de uma prova é tornar precisos os palpites vagos e as intuições. Mas uma prova tem a grande vantagem de permitir comunicar as ideias a outros e, o que é mais importante ainda, perceber melhor as ideias próprias. Prova da conjetura :.. 2

3 .. 3

4 Provas ou Não-Provas? Nesta altura decerto já chegou à conclusão experimental: O número de bolas brancas na caixa preta é sempre igual ao número de bolas pretas na caixa branca. Não-Provas camufladas de provas Vejamos algumas provas inválidas deste resultado. Compare-as com a(s) sua(s) própria(s) prova(s) e veja se os comentários ajudam a melhorar os seus argumentos. Prova 1. Os dois números são iguais porque o número de bolas pretas que colocarmos na caixa branca é igual ao número de bolas brancas que têm de ficar na caixa preta.?!! Este argumento pode parecer uma explicação, mas se o ler com cuidado verá que está simplesmente a afirmar de outra forma aquilo que se queira provar! Tenha muito cuidado com provas que reformulam a conclusão usando termos que parecem mais convincentes, mas que não dão nenhum argumento. Prova 2. Quando movemos inicialmente as 20 bolas brancas para a caixa preta, a proporção de bolas brancas na caixa preta é 20/80 = 1/4. Logo das 20 bolas que movemos da caixa preta para a caixa branca, um quarto (isto é, 5 bolas) serão brancas e três quartos (isto é, 15 bolas) serão pretas. Portanto, no final a caixa branca terá 15 bolas pretas e a caixa preta terá 15 bolas brancas (porque primeiro acrescentámos-lhe 20 bolas brancas e depois retirámos 5).?!! Esta prova introduz um elemento irrelevante: probabilidade. Não é por um quarto das bolas da caixa preta serem brancas que temos a garantia de que das 20 bolas que deslocaremos para a caixa branca, 5 serão brancas. É verdade que 5 é o número mais provável de bolas brancas, mas qualquer número entre 0 e 20 é possível, em teoria. A não ser que a indicação seja outra, um problema não almeja apenas a solução mais provável, mas todas as soluções possíveis, mesmo que improváveis. 4

5 Prova 3. Se no final ficarem menos de 20 bolas pretas na caixa branca, então algumas das bolas que foram colocadas nessa caixa eram brancas. Assim, a caixa preta terá menos de 20 bolas brancas, já que algumas regressaram à caixa branca. Estes números têm de ser iguais, porque das duas vezes foram deslocadas 20 bolas, logo, no final do processo, o número de bolas da cor errada em cada caixa será o mesmo.!! Este argumento já está no caminho certo, mas é demasiado vago para ser uma prova. Porque razão o facto de ambas as caixas terem menos de 20 bolas da cor errada implica que tenham o mesmo número de bolas da cor errada? Não é dada uma explicação para a afirmação Estes números têm de ser iguais ; nem é claro o significado dessa afirmação. Prova 4. Os dois números são iguais porque, qualquer que seja o número de bolas pretas que colocarmos na caixa branca, é esse o número de bolas brancas que têm de ficar na caixa preta. Por exemplo, se movermos 13 bolas pretas e 7 bolas brancas da caixa preta para a caixa branca, então na caixa preta restarão 13 bolas brancas (porque inicialmente deslocámos 20 bolas brancas para a caixa preta, das quais 7 regressam a essa caixa). Desta forma, os números acabam sempre por ser iguais.!! Provavelmente terá a sensação de que esta explicação revela bastante bem o processo referido no problema. O problema é que assenta num exemplo específico. Embora um exemplo possa ser ótimo para desenvolver a intuição e sugerir ideias, não convencerá o seu amigo mais cético: Eu entendo que os números serão iguais nesse exemplo, dirá ele, Mas como sabemos que eles serão iguais sempre, em todos os casos concebíveis? Não é dada nenhuma explicação para isso. Pode parecer uma picuinhice, mas o amigo cético tem razão: o exemplo dá a sensação de ser representativo; mas o facto de termos de depender desta sensação mostra que ainda não chegámos ao fundo da questão. Mas estamos muito próximos!! Veja se consegue modificar esta última prova de forma a que passe a ser uma Prova! 5

6 Finalmente uma prova! Melhor ainda, duas. Prova 1. Suponhamos que o conjunto de bolas que foram colocadas na caixa branca era constituído por k bolas pretas e 20 k bolas brancas. Então a caixa branca terá k bolas pretas, enquanto que a caixa preta terá 20 (20 k) = k bolas brancas, já que inicialmente lhe pusemos 20 bolas brancas e depois destas retirámos 20 k, que regressaram à caixa branca. Logo cada caixa ficou com o mesmo número de bolas da cor errada. Repare que esta prova é bastante curta! Tal é frequente: assim que entendemos a essência do problema, podemos dar uma justificação que vai diretamente ao ponto, sem invocar questões acessórias. Note-se ainda que a prova é muito semelhante ao exemplo da Prova 4. A diferença reside em substituir os números específicos do exemplo (13 bolas pretas e 7 bolas brancas) por uma variável representativa do caso geral (k bolas pretas e 20 k bolas brancas). Um exemplo não é uma prova, mas em determinadas situações é muito fácil adaptá-lo para obter uma prova. Heurística para resolução de problemas Na presença de uma quantidade desconhecida (como o número de bolas pretas na caixa branca), dê-lhe um nome! Um nome é como uma pega que podemos agarrar e usar da forma que nos for mais conveniente. Assim que dermos um nome a uma das quantidades desconhecidas do problema (por exemplo, k bolas pretas), poderá ser possível determinar outra quantidade desconhecida (por exemplo, 20 (20 k) = k bolas brancas). É possível repetir a prova acima sem atribuir um nome à quantidade desconhecida, mas seria mais difícil explicar precisamente o argumento. Prova 2. Há um total de 120 bolas: 60 brancas e 60 pretas. No final, haverá 60 destas bolas na caixa branca e 60 na caixa preta. Se no final a caixa branca contiver k bolas pretas e 60 k bolas brancas, então as restantes 60 k bolas pretas e as restantes k bolas brancas têm de estar na caixa preta. Logo o número de bolas da cor errada em cada uma das caixas é k. Esta prova é ainda melhor (e um pouco mais curta), porque realmente nos torna mais conhecedores do que está por trás do problema: Heurística para resolução de problemas Por vezes há vantagens em esquecermos os detalhes sobre como determinado processo se desenrola (por exemplo, que bolas foram movidas e como foram movidas, neste problema) e focarmos a atenção no resultado final. Outra forma de pensar no que está envolvido no problema é a seguinte: Deitamos todas as bolas, brancas e pretas, numa tômbola e depois extraímos o mesmo número de bolas para cada uma das caixas. Logo, não só não temos de pensar em como foi efetuado o movimento das bolas, como agora entendemos que, seja qual for o número de bolas que transferimos de 6

7 uma caixa para a outra e seja qual for o número de vezes que efetuamos a transferência de bolas entre as duas caixas, o resultado será sempre que o número de bolas da cor errada em cada caixa é igual, desde que nos certifiquemos que no final cada caixa tem o mesmo número total de bolas (e que não foram perdidas bolas!). Este raciocino permite resolver imediatamente a seguinte variação do problema anterior: Leite e café Suponhamos que temos uma chávena branca com leite e uma chávena preta com a mesma quantidade (volume) de café. Tiramos três colheres de leite da chávena branca para a chávena preta contendo café, mexemos o conteúdo da chávena preta e de seguida transferimos três colheres de ĺıquido dessa chávena para a chava branca. Qual das percentagens é maior: café no leite da chávena branca ou leite no café da chávena preta? Como é que a resposta a esta pergunta varia se repetirmos o processo? 7