Metodologias de Construção de Tábuas Biométricas Seletas e Finais a Partir de Modelos Paramétricos e Não-Paramétricos

Transcrição

1 Fábo Garrdo Leal Martns Metodologas de Construção de Tábuas Bométrcas Seletas e Fnas a Partr de Modelos Paramétrcos e Não-Paramétrcos Dssertação de Mestrado Dssertação apresentada como requsto parcal para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Cêncas Atuaras do Insttuto de Gestão de Rscos Fnanceros e Atuaras da PUC- Ro. Orentadora: Fernanda Chaves Perera Ro de Janero, setembro de 2007

2 Lvros Gráts Mlhares de lvros gráts para download.

3 Fábo Garrdo Leal Martns Metodologas de Construção de Tábuas Bométrcas Seletas e Fnas a Partr de Modelos Paramétrcos e Não-Paramétrcos Dssertação apresentada como requsto parcal para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Cêncas Atuaras do Insttuto de Gestão de Rscos Fnanceros e Atuaras da PUC- Ro. Prof.ª Fernanda Chaves Perera Orentadora e Presdente Insttuto de Gestão de Rscos Fnanceros e Atuaras - PUC-Ro Prof. Álvaro de Lma Vega Flho Departamento de Engenhara Elétrca - PUC-Ro Prof. Roberto Westenberger Insttuto de Gestão de Rscos Fnanceros e Atuaras - PUC-Ro Ro de Janero, 06 de setembro de 2007

4 Todos os dretos reservados. É probda a reprodução total ou parcal do trabalho sem autorzação da unversdade, do autor e da orentadora. Fábo Garrdo Leal Martns Graduou-se em Cêncas Atuaras pela UFRJ em 2002 e obteve o grau de Mestre em Admnstração - Área de concentração: Fnanças também pela UFRJ em Desde 2003 é Atuáro do Prev-Ro e ncou suas atvdades docentes em 2007 como professor substtuto do Departamento de Métodos Estatístcos da UFRJ. Martns, Fábo Garrdo Leal Fcha Catalográfca Metodologas de Construção de Tábuas Bométrcas Seletas e Fnas a Partr de Modelos Paramétrcos e Não- Paramétrcos / Fábo Garrdo Leal Martns; orentadora: Fernanda Chaves Perera f. ; XX cm Dssertação (Mestrado em Cêncas Atuaras) - Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero, Ro de Janero, Inclu referêncas bblográfcas. CDD: XXX.XX

5 Para meus pas, Jorge e Elana, que sempre me ncentvaram.

6 Agradecmentos

7 Resumo Martns, Fábo Garrdo Leal. Metodologas de Construção de Tábuas Bométrcas Seletas e Fnas a Partr de Modelos Paramétrcos e Não- Paramétrcos. Ro de Janero, p. Dssertação de Mestrado Insttuto de Gestão de Rscos Fnanceros e Atuaras, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. O estudo aborda as dversas metodologas de construção de tábuas bométrcas: desde as técncas de graduação tradconalmente utlzadas para os casos em que há grande quantdade de dados, até um método específco de aplcação para o caso de poucos dados. Inclu uma dscussão sobre as formas de construção de tábuas seletas, em partcular de sobrevvênca de nváldos. A população de servdores públcos estatutáros da admnstração dreta do muncípo do Ro de Janero é utlzada para a graduação de tábuas de sobrevvênca de váldos e de nváldos, enquanto que a dos aposentados urbanos por nvaldez do INSS serve de base para a tábua seleta de sobrevvênca de nváldos. Palavras-chave graduação; modelos não-paramétrcos; modelos paramétrcos; tábuas bométrcas; tábuas seletas; tábuas fnas.

8 Abstract Martns, Fábo Garrdo Leal. Graduaton methods under parametrc and non-parametrc models for select and ultmate tables. Ro de Janero, p. Dssertação de Mestrado Insttuto de Gestão de Rscos Fnanceros e Atuaras, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. Ths study represents an approach to the man methods of lfe tables constructon. It shows tradtonal graduaton technques for cases ncludng many eposure data, as well a methodology for few data. Further more, ths study generates a dscusson about select lfe tables constructon, n partcular dsablty mortalty tables. Data set from Ro de Janero offcals populaton were used for mortalty and dsablty mortalty tables constructon. In addton, a select dsablty mortalty table was constructed based on the INSS urban dsablty retred populaton. Keywords graduaton; non-parametrc models; parametrc models; lfe tables; select tables; ultmate tables.

9 Sumáro 1 Introdução 14 2 Referencal Teórco Defnções do Evento Gerador Modelo Bnomal Modelo Posson Formas de Graduação Tradconas Graduação Paramétrca Gompertz-Makeham Helgman-Pollard Modelo Lnear Generalzado Graduação Não-Paramétrca Whttaker-Henderson Graduação de Kernel Graduação por Polnômos Locas Construndo o Fm da Tábua Testes de Adequação Análse de Resíduos sob Normaldade Teste Qu-Quadrado de Pearson Teste dos Desvos Acumulados Teste dos Snas de Mann-Whtney Teste de Agrupamento dos Snas de Stevens Teste da Rodada Teste de Correlação Seral Teste dos Lmtes 40 3 Improvement das Taas 42 4 Graduação com Poucos Dados 44

10 5 Estruturação dos Dados 50 6 Populações Estudadas 57 7 Resultados Característcas das Populações Graduação de Tábua de Sobrevvênca de Váldos Segregada por Seo Whttaker-Henderson Hellgman-Pollard Gompertz-Makeham Comparação entre Modelos Comparação com Outras Tábuas Segregada por Seo e Cargo Graduação de Tábua de Sobrevvênca de Inváldos Aposentados por Invaldez do INSS Aposentados por Invaldez da PCRJ Comparação com outras Tábuas Consderações Fnas Referêncas Bblográfcas 105 Apêndce I Tábua de Sobrevvênca da PCRJ por WH 109 Apêndce II Tábua de Sobrevvênca da PCRJ por HP 112 Apêndce III Tábua de Sobrevvênca da PCRJ por GM 115 Apêndce IV Tábua de Sobrevvênca da PCRJ por cargo 118 Apêndce V Tábua de Sobrevvênca de Inváldos do INSS 133 Apêndce VI Tábua de Sobrevvênca de Inváldo da PCRJ 139

11 Lsta de fguras Fgura 1 Eemplo de qq-plot de resíduos não-normas. 36 Fgura 2 Eemplo de onze resíduos perfazendo quatro rodadas. 39 Fgura 3 - Eemplo de Teste dos Lmtes para um ntervalo de confança de 95%. Fgura 4 - Eemplo de Dagrama de Les. 51 Fgura 5 - O Trângulo de Run-off 53 Fgura 6 - Eposção central (vdas-das) e número de óbtos para o seo femnno. 62 Fgura 7 - Eposção central (vdas-das) e número de óbtos para o seo masculno. 62 Fgura 8 - Taas brutas de mortaldade de váldos para homens e mulheres, em escala logarítmca. 63 Fgura 9 - Taas brutas graduadas por WH para SMRJ00/06-F e SMRJ00/06-M, em escala logarítmca. 64 Fgura 11 - Evolução do ajuste e suavzação em relação a 41 K + t para o seo femnno. 67 Fgura 12 - Evolução do ajuste e suavzação em relação a K + t para o seo masculno. 67 Fgura 13 - Comparação da graduação eleta em relação a graduações utlzando valores de K + t ecessvamente ajustados ou suavzados: taas em escala logarítmca. 68 Fgura 14 - Comparação entre as parcelas relatvas à taa de mortaldade para ambos os seos: taas em escala logarítmca. 69 Fgura 15 - Taas brutas e graduadas por HP para SMRJ00/06-F e SMRJ00/06-M, em escala logarítmca. 70 Fgura 17 - Taas brutas e graduadas por WH, HP e GM para SMRJ00/06-F e SMRJ00/06-M, em escala logarítmca. 77 Fgura 18 - Prncpas tábuas bométrcas para o seo femnno, em escala logarítmca. 79 Fgura 19 - Prncpas tábuas bométrcas para o seo masculno, em escala

12 logarítmca. 80 Fgura 20 - Taas brutas de mortaldade segregadas por cargo para o seo femnno, em escala logarítmca. 81 Fgura 21 - Taas brutas de mortaldade segregadas por cargo para o seo masculno, em escala logarítmca. 82 Fgura 24 - Taas suavzadas, em escala logarítmca, de mortaldade seleta e fnal de nváldos dos segurados do INSS para o seo femnno. 93 Fgura 25 - Taas suavzadas, em escala logarítmca, de mortaldade seleta e fnal de nváldos dos segurados do INSS para o seo masculno. 93 Fgura 26 - Taas, em escala logarítmca, suavzadas e corrgdas de mortaldade seleta e fnal de nváldos dos segurados do INSS para o seo femnno. 95 Fgura 27 - Taas, em escala logarítmca, suavzadas e corrgdas de mortaldade seleta e fnal de nváldos dos segurados do INSS para o seo masculno. 95 Fgura 30 - Taas brutas de mortaldade de nváldos para seo masculno e femnno, em escala logarítmca. 97 Fgura 31 - Taas, em escala logarítmca, brutas e suavzadas de mortaldade de nváldos dos servdores do muncípo do Ro de Janero para o seo femnno. 99 Fgura 32 - Taas, em escala logarítmca, brutas e suavzadas de mortaldade de nváldos dos servdores do muncípo do Ro de Janero para o seo masculno. 100 Fgura 33 - Comparação com prncpas tábuas bométrcas fnas de sobrevvênca de nváldos. 101

13 Lsta de tabelas Tabela 1 Parte de um banco de dados estruturado para observação no ano de Tabela 2 - Dstrbução da população por seo, escolardade e stuação funconal. 60 Tabela 3 - Dstrbução de transção de estados por motvo e seo. 61 Tabela 4 - P-valores dos testes estatístcos de qualdade de ajuste para o modelo WH. 66 Tabela 5 - Sensbldade do ajuste e suavzação em relação a K + para o seo femnno. 66 Tabela 6 - Sensbldade do ajuste e suavzação em relação a K + para o seo masculno. 67 Tabela 7 - P-valores dos testes estatístcos de qualdade de ajuste para o modelo HP. 71 Tabela 8 - Coefcentes dos modelos GM ajustados para o seo femnno. 72 Tabela 9 - Coefcentes dos modelos GM ajustados para o seo masculno. 73 Tabela 10 - Log-verossmlhanças dos modelos GM ajustados para o seo femnno. 74 Tabela 11 - Log-verossmlhanças dos modelos GM ajustados para o seo masculno. 74 Tabela 12 - P-valores dos testes estatístcos de qualdade de ajuste para o modelo GM. 76 Tabela 13 - Comparação entre epectatvas de vda de váldos seo femnno. 78 Tabela 14 - Comparação entre epectatvas de vda de váldos seo masculno. 78 Tabela 15 - Resultados da Teora da Credbldade aplcada às cnco classes seo femnno. 83 Tabela 16 - P-valores dos testes estatístcos de qualdade de ajuste para o modelo de Credbldade seo femnno. 84 Tabela 17 - Resultados da Teora da Credbldade aplcada às cnco classes seo masculno. 85 t t

14 Tabela 18 - P-valores dos testes estatístcos de qualdade de ajuste para o modelo de Credbldade seo masculno. 86 Tabela 19 - Característcas dos dados utlzados para as tábuas seletas e fnal seo femnno. 88 Tabela 20 - Característcas dos dados utlzados para as tábuas seletas e fnal seo masculno. 88 Tabela 21 - Resdual Devance dos modelos GLM para a tábua fnal dos segurados do INSS seo femnno. 89 Tabela 22 - Resdual Devance dos modelos GLM para a tábua fnal dos segurados do INSS seo masculno. 90 Tabela 23 - Resultados do GLM para a tábua fnal dos segurados do INSS seo femnno. 90 Tabela 24 - Resultados do GLM para a tabua fnal dos segurados do INSS seo masculno. 91 Tabela 25 - Resultados do GLM para a tábua seleta dos segurados do INSS seo femnno. 92 Tabela 26 - Resultados do GLM para a tábua seleta dos segurados do INSS seo masculno. 92 Tabela 27 - Resultados do GLM para a tábua dos servdores do muncípo do Ro de Janero seo femnno. 98 Tabela 28 - Resultados do GLM para a tábua dos servdores do muncípo do Ro de Janero seo masculno. 99 Tabela 29 - Comparação entre epectatvas de vda de nváldos. 101

15 Introdução 14 1 Introdução Todo plano de prevdênca ou seguro de vda tem como uma das premssas técncas a adoção de tábua(s) bométrca(s). A tábua escolhda deve ser aquela que reflta a realdade mas próma possível da massa de segurados, pos sua adoção nfluenca dretamente o cálculo do custeo, dos benefícos, das provsões e reservas matemátcas, além das projeções fnanceras. Os seguradores e resseguradores, sejam públcos ou prvados, costumam adotar tábuas amercanas e européas na ausênca de tábuas bométrcas construídas com base em eperênca própra. Por vezes, o órgão regulamentador ou fscalzador se nveste na responsabldade da construção de tábuas de referênca. Na hpótese de utlzação de uma tábua relatva a uma população dstnta daquela de nteresse são fetos testes estatístcos de forma a escolher a que apresente o melhor ajuste em relação à realdade observada. Porém, o deal é utlzar uma tábua bométrca com base na sua própra eperênca, pos se pode assm obter uma representação mas fel de sua população. O objetvo deste estudo é ser uma referênca sobre como construr tábuas bométrcas. Portanto, serão apresentadas as metodologas de graduação tradconalmente utlzadas para os casos em que há grande quantdade de observação. Também será apresentada uma metodologa sobre como ncorporar a nformação de uma eperênca reduzda a uma eperênca maor, como a do mercado. Por fm, será ncada uma dscussão sobre as formas de construção de tábuas seletas, em partcular de sobrevvênca de nváldos. Para uma tábua bométrca ser consderada referênca para um cálculo atuaral, ela deve ser um espelho da eperênca da população segurada. Além dsso, para que esta seja estatstcamente robusta, uma espéce de censo desta população deve ser feto, de forma que as probabldades brutas de morte em cada dade sejam defndas com o mínmo de varânca possível. Conseqüentemente, a prncípo, só é possível construr tábuas de referênca com um grande volume de dados.

16 Introdução 15 No mundo, estudos sobre construção de tábuas são freqüentes. Como eemplo de centros de referênca na construção de tábuas pode-se ctar o Contnuous Mortalty Investgaton (CMI) na Inglaterra (Contnuous Mortalty Investgatons Bureau, 2004) e a Socety of Actuares (SOA) nos Estados Undos (Socety of Actuares, 2001). Este últmo, na elaboração da tábua de sobrevvênca RP-2000, foram acompanhados 11 mlhões de ndvíduos/ano e observadas 190 ml mortes em apromadamente 100 fundos de pensão. Já na elaboração da tábua de mortaldade CSO-2001 (Amercan Academy of Actuares, 2002) fo observada uma eposção de 4,1 trlhões de dólares para apólces cobrndo rsco do seo masculno e 1,6 trlhão para o seo femnno. Já no Brasl, os prmeros estudos foram concluídos somente na década de 90. Utlzando dados dos funconáros da empresa Sada, Conde (1991) construu uma tábua de sobrevvênca de atvos para os funconáros da empresa que aderram ao fundo de pensão. Beltrão et al (1995) também construíram para os servdores do Banco do Brasl, utlzando dados até 1994 e posterormente estenddos até 2000 por Rbero e Pres (2001). Beltrão e Sugahara (2002a) utlzaram dados do mercado de entdades abertas de prevdênca complementar, envados à Superntendênca de Seguros Prvados (SUSEP), para obter uma referênca desses segurados. Beltrão e Sugahara (2002b) também utlzaram dados dos servdores públcos cvs federas do poder admnstratvo, analsando o período de 1993 a Neves (2004) utlzou novamente dados obtdos pela SUSEP para realzar estudos de mortaldade. Recentemente, Rbero (2006) nvestgou a mortaldade dos nváldos benefcáros do Regme Geral de Prevdênca Socal que é gerencado pelo Insttuto Naconal do Seguro Socal (INSS). Como objeto do estudo temos duas populações dstntas. A prmera é a população de servdores públcos estatutáros da admnstração dreta do muncípo do Ro de Janero que será utlzada para a graduação de tábuas de sobrevvênca de váldos e de nváldos. A segunda é a população dos aposentados urbanos por nvaldez do INSS, servndo de base para a tábua seleta de sobrevvênca de nváldos.

17 Referencal Teórco 16 2 Referencal Teórco De acordo com Bowers et al (1997) a tábua bométrca é uma forma de sumarzar a sobrevda dos ndvíduos de uma população, onde a probabldade de morte ou nvaldez será dependente de covaráves como a dade, gênero, raça, profssão, renda ou tabagsmo. A dade é o fator de rsco mas mportante sendo fundamental e nerente à construção de qualquer tábua bométrca. Uma das prmeras questões que são abordadas é a escolha de qual tpo de segregação da população será feta. O que se observa normalmente é que para as tábuas de sobrevvênca a segregação é dada por seo e para as demas tábuas (entrada em nvaldez e sobrevvênca de nváldos) não costuma haver esse tpo de segregação por estr pouca quantdade de dados ou nfluênca menor do fator seo frente aos demas. Na hpótese de estr um volume de dados sufcente, é nteressante avalar também o efeto da segregação entre fumantes e não fumantes como na elaboração da CSO-2001, bem como a segregação por escolardade, renda ou profssão, esta últma prncpalmente com relação ao evento de entrada em nvaldez. Uma vez defnda a segregação, cabe utlzar-se de dversas técncas e dentfcar qual revela a melhor graduação para a tábua construída, através de testes estatístcos de valdação. A graduação é uma metodologa de suavzação das taas brutas de mortaldade para que as probabldades de morte estmadas sejam monótonas e crescentes em relação às dades, pos esse comportamento teórco sempre ocorre a partr de um momento, normalmente na fase adulta Defnções do Evento Gerador Para o estudo da sobrevda, em termos estatístcos defne-se ncalmente X como a varável aleatóra que defne a dade no momento de morte de um recém-nascdo. Outro evento gerador como a entrada em nvaldez ou a mortaldade de nváldo podera ser analogamente defndo.

18 Referencal Teórco 17 + F = P X. Da A função de dstrbução de X é dada por ( ) ( ), mesma forma pode-se defnr a função de sobrevvênca de X, ( ) = 1 ( ) = ( > ). Deste modo, temos que F ( 0) = 0 e ( ) S F X P X Com tas funções dervamos algumas probabldades condconas. t p ( + t) S ( ) S 0 = 1. S = é a probabldade de o ndvíduo de dade eata sobrevver até completar + t anos de dade. Conseqüentemente, = S ( ). p 0 Pode-se também defnr a força de mortaldade como a probabldade de X estar num pequeno ntervalo após, dada a sobrevvênca até a dade. Assm, ( ) ( ) ' S µ = é denomnado força de mortaldade ou taa nstantânea de S mortaldade. Uma das formas de equvalênca de tas probabldades é através das seguntes fórmulas: t t t µ + s 0 q p ds = (1) ds t t p = ep µ + s 0 (2) Estas são fundamentas para se compreender os dversos modelos propostos. Uma tábua de sobrevvênca normalmente possu tabulações por dades das funções báscas q, d e l, onde: l 0 é a raz da tábua que representa o número ncal de pessoas no grupo. l é o número esperado de sobrevventes à dade. l l = = é a probabldade de o ndvíduo de dade + n n q 1 n p l falecer antes de completar + n anos de dade. Para n=1, a notação smplfcada é q = q. 1 d = l l + é o número esperado de mortes na dade. 1 ω é a dade máma alcançada pelo grupo.

19 Referencal Teórco 18 Ao se obter q para todas as dades = 0,..., ω e se defnr l pode-se 0 então obter os valores de l. Normalmente a dade máma ω é defnda de acordo com a eposção da população estudada e um método de construção a ser escolhdo, sendo este problema abordado na seção 2.3. Atualmente as tábuas bométrcas atngem a dade máma de até 120 anos. aleatóra esperado de Normalmente o estudo da sobrevda passa por compreender a varável A defnda como o número de mortes em certa dade. O valor =. A corresponde a d l q Depos de assumr as taas brutas para cada valor de os métodos de graduação são utlzados para suavzar nas dades os estmadores obtdos para q ou µ. Para compreender a varável aleatóra A devem ser fetas hpóteses ncas do processo do evento gerador (mortaldade de váldo, entrada em nvaldez ou mortaldade de nváldo) para se dervar um modelo. Os prncpas modelos são o Bnomal e o de Posson Modelo Bnomal A hpótese que possu uma forte característca ntutva é a do modelo Bnomal e tem como parâmetro a probabldade de morte na dade. Ele parte do prncípo de que cada uma das dades possu n vdas ndependentes e dentcamente dstrbuídas todas no níco precso da dade. Seja a varável aleatóra A representatva do número de óbtos e d seu valor observado, podese então defnr este modelo da segunte forma: (3) n d n d A ~ Bnomal ( n, q ) P( A = d ) = q (1 q) d = 0,..., n d ( ) ( ) ( 1 ) E A = n q e Var A = n q q (4) A função de verossmlhança L( ) pode ser mamzada através da aplcação da função monótona logarítmca, facltando os cálculos e chegando-se à n Log ( L q ) = log + d log( q ) + ( n d ) log(1 q ) d epressão ( ).

20 Referencal Teórco 19 Dervando o logartmo da verossmlhança em relação a d n d ( ) =. q q 1 q resultado log L( q ) q temos o O estmador de máma verossmlhança de q é dado quando se encontra o zero da função prmera dervada, mamzando a função de verossmlhança, sendo defndo então por qˆ d n =. Assm, o estmador q ˆ possu méda gual a q e varânca q ( 1 q ) além de ter dstrbução assntótca Normal como qualquer estmador de máma verossmlhança. Infelzmente estem problemas que fazem com que este modelo não seja realístco e necesste de adaptações devdo à censura nos dados. Prmeramente nem todos os ndvíduos observados rão estar no mesmo ntervalo de dade, o que lmta as observações a ndvíduos com dade no níco do estudo entre e + 1 e consderamos também que nem todos os ndvíduos serão observados por um ano ntero, ou seja, a vda estará no epermento somente no ntervalo [ t, u ] n, + +, com 0 t < u 1. Além dsso, nem todos os ndvíduos saem somente por morte, havendo o evento de entrada em nvaldez. Tas questões alteram o modelo Bnomal de forma que a função de verossmlhança não mas poderá ser smplfcada, devendo ser dervada dretamente da dstrbução Bernoull, sendo escrta com base nas probabldades de morte em períodos fraconáros da segunte forma: N d 1 d ( u ) (1 ) 0,1 t q + t u t q + t d = 1 = (5) entre 1 t q E para encontrarmos o estmador de q temos que utlzar alguma relação e + t q, o que pode ser feto de váras formas de apromação, como a unforme e a eponencal (vde Bowers et al, 1997). A mas utlzada é a de Balducc, assumndo que 1 u q+ u é uma nterpolação harmônca das probabldades de morte em u, 0 u 1. Logo, podemos escrever ( ) 1 u q u 1 u q + = e utlza-se a segunte relação:

21 Referencal Teórco 20 q = q p q (6) u t + t 1 t + t u t + t 1 u + u Pode-se fnalmente substtur na função de verossmlhança e encontrar o estmador de máma verossmlhança, também chamado de estmador atuaral, que assume a forma já conhecda de qˆ rsco e possu a segunte epressão: E N = ( u t) + (1 u ) = 1 : A = 1 d =, onde E E é a eposção ncal ao Observa-se que esta epressão adcona à eposção pura, aquela que consdera somente o período eposto do ndvíduo realmente ( ) ( ) + u + t = u t, o tempo restante de eposção na dade para os ndvíduos que saíram da observação. É nteressante observar que a epressão da eposção ncal ao rsco pode ser escrta também como E = E + (1 u ), onde C : A = 1 (7) C E é chamada de eposção central ao rsco, sendo a soma das eposções puras ndvduas. Na ausênca de nformações, a eposção ncal pode ser apromada para C d E = E +, 2 assumndo que as mortes ocorrem segundo uma dstrbução unforme para cada dade. Com estas defnções, o modelo Bnomal é geralmente escrto dretamente na forma da dstrbução de probabldade do número de óbtos ( ) A ~ Bnomal E, q. No entanto o modelo Bnomal não é de amplo uso atualmente. Ele pressupõe que as vdas são como elementos sob reamostragem com reposção, o que não é condzente com a realdade, além de consderar somente um estado de transção. Sendo assm, parte-se para os modelos de Posson ou de Markov que estudam a força de mortaldade dretamente e possuem resultados equvalentes entre s.

22 Referencal Teórco Modelo Posson No modelo Posson assume-se que o número de mortes numa determnada dade segue uma dstrbução de Posson. A dstrbução é utlzada para modelar eventos raros a ocorrer num pequeno ntervalo de tempo e só assume valores nteros e não-negatvos. Não há chance de ocorrer dos snstros ao mesmo tempo, para uma mesma vda, no caso, e anda qualquer snstro ndepende dos anterores. Conseqüentemente, essa dstrbução se adequa melhor à defnção de mortaldade ou de entrada em nvaldez. assumrmos Podemos defnr a eposção central C E como o tempo observado e µ constante ao longo da dade, µ = µ, 1 < 0, como sendo + s s a taa nstantânea de óbto. Assm, a dstrbução terá a segunte forma: C ( ) A ~ Posson E µ C ( ) ( ) C d ( E µ ) e P( A = d ) = d! C C E µ E A = E µ e Var A = E µ (9) A função de verossmlhança pode ser mamzada através da aplcação da função monótona logarítmca. C C ( ( µ )) ( µ ) ( µ ) Log L = d log E + log E log d! (10) (8) Dervando a função em relação a µ chegamos a: d log L q µ µ C ( ( )) = E (11) O estmador de máma verossmlhança de µ é dado quando se encontra o zero da função prmera dervada, mamzando a função de verossmlhança, d sendo defndo então por µ =. C E µ Assm, o estmador ˆ µ possu méda gual a µ e varânca, além de ter dstrbução assntótca Normal como qualquer estmador de máma verossmlhança. O modelo de Posson, assm como o Bnomal, pressupõe somente uma forma de transção de estado. Para ambos também ocorre que a eposção é C E

23 Referencal Teórco 22 conhecda e não consderada como uma varável aleatóra. Para casos de mas de uma transção de estado, chega-se à etensão natural que é o modelo de Cadeas de Markov. Numa stuação de dados sob censura, modelos não-paramétrcos como o de Kaplan-Meer (1958) ou o de Nelson-Aalen (Nelson, 1972 e Aalen, 1978) podem ser aplcados quando não serão objeto deste estudo. C E é uma varável aleatóra. Porém, esses modelos Assm, podemos analsar mas de uma forma de decremento da população, por eemplo, no estudo do comportamento de nvaldez temporára. Isto porque no caso das tábuas de entrada em nvaldez e de mortaldade de nváldos, uma atenção especal deve ser dada ao fato que o ndvíduo pode retornar à atvdade. Ou seja, o modelo é útl para quando se deseja estudar além das transções ATIVO INVÁLIDO, ATIVO MORTO e INVÁLIDO MORTO, também a movmentação reversa INVÁLIDO ATIVO. Outros estados não absorventes também podem ser adconados ao modelo, como o de deslgado do plano. Sendo assm, a teora de múltplos decrementos descrta por Haberman & Ptacco (2001) deve ser utlzada. No caso de retorno à atvdade seu comportamento deverá ser estudado de forma a necessaramente partcpar do estudo de transção de estados. Quando estem somente dos estados (vvo e morto, por eemplo) o modelo de Markov é denomnado modelo de Markov de dos estados: ATIVO µ MORTO. O prmero estado é ATIVO e o segundo estado é MORTO onde a transção é em uma únca dreção, pos o estado MORTO é absorvente. Por defnção, o modelo assume que a probabldade de uma vda se stuar na dade segunte num dos estados depende somente das dades envolvdas e do estado atualmente ocupado (Hpótese de Markov). Ou seja, o modelo é sem memóra. Também assume que a probabldade de morte num ntervalo nfntesmal de tempo tem uma relação lnear com a força de mortaldade q = du µ e que µ + u tem valor constante µ para 0 u < 1. du + u + u No entanto todos estes modelos (Bnomal, Posson e Cadeas de Markov) assumem ndependênca entre as dades. Ou seja, os estmadores são calculados ndvdualmente por dade e nenhum tpo de suavzação é feto entre elas. Então

24 Referencal Teórco 23 os modelos de graduação são nserdos para garantr que nenhum comportamento brusco entre as dades seja observado, havendo monotoncdade para certas faas da tábua bométrca Formas de Graduação Tradconas Após obter as probabldades ou taas brutas de mortaldade em cada dade, nca-se o processo de graduação que é a técnca de suavzação de curvas aplcado à construção da tábua bométrca. A razão mas mportante do processo de suavzação é que os estmadores não devem varar bruscamente com as dades. Desta forma os valores de contrbuções/prêmos não se alteram bruscamente ao se aumentar ou dmnur a dade em um ano. Por eemplo, não sera justfcável num plano de repartção cobrar menos de um segurado mas doso, eposto a um rsco teórco maor, no caso de benefíco pago pelo evento gerador morte. O processo de graduação assume que o estmador para certa dade possu nformações sobre as dades adjacentes. Por eemplo, a dade nos traz algumas nformações sobre dades anterores ( 1, 2,... ) e posterores ( + 1, + 2,... ). O procedmento envolve um trade-off (balanceamento) entre suavzação e ajuste, sendo que o objetvo é produzr taas suavzadas, mas não ecessvamente ao ponto de se perderem as característcas ntrínsecas da população. Ao mesmo tempo, o grau de aderênca (ajuste) aos dados não deve ser ecessvo, pos sera construída uma tábua representando a aleatoredade amostral que é nerente a qualquer processo de nferênca estatístca. As formas de graduação são dvddas em dos tpos báscos: paramétrco (global) e não-paramétrco (local). Modelos paramétrcos são ndcados prncpalmente para quando há poucos dados dsponíves. Estes normalmente devem ser bem analsados para evtar sobreparametrzação, refletndo ecessvamente as especfcdades amostras, sendo a suavzação preterda em relação ao ajuste. Já os não-paramétrcos são mas fleíves, justamente por não estarem vnculados às funções pré-defndas. Neles, os dados falam por s. São útes para graduar varáves outras que mortaldade (entrada em doença, por eemplo). Entretanto, estes modelos têm como problema a subjetvdade na escolha do grau de suavzação.

25 Referencal Teórco Graduação Paramétrca Estem algumas funções matemátcas reconhecdas atualmente no meo acadêmco quanto à representatvdade do comportamento da mortaldade humana ao longo das dades alcançadas. Estes são os modelos paramétrcos, conhecdos também como modelos globas, justamente por consderarem a eperênca de todas as dades observadas e ncorporarem essa nformação em uma únca função. A vantagem de se trabalhar com uma função matemátca analítca está no fato de que podemos faclmente obter fórmulas eplíctas que representam as probabldades de vdas ndvduas ou conjuntas. Porém, ao não se consderar dretamente a relação entre as dades adjacentes, pode ocorrer para as dades ncas e fnas da tábua uma graduação bem dferente dos dados brutos observados. Para soluconar essa dstorção, uma mstura de modelos paramétrcos pode ser utlzada para cada grupo de dade dferente, por eemplo. O problema nesse caso é como determnar a transção de uma função para outra de forma a evtar descontnudade. Uma forma usual de contornar o problema é forçar numercamente que as dferentes funções tenham o mesmo valor nas dades de ntersecção. A prmera tentatva de se modelar as probabldades relaconadas à sobrevvênca fo sugerda por De Movre em 1724, representando uma apromação ecessvamente smples. Em seu modelo, a força de mortaldade era modelada como 1 µ =. Essa fórmula fo utlzada por algumas décadas ϖ devdo a sua fácl mplementação. Os três modelos mas utlzados em graduação paramétrca, Gompertz- Makeham, Helgman-Pollard e o Modelo Lnear Generalzado são eplcados nas subseções posterores.

26 Referencal Teórco Gompertz-Makeham O prmero modelo a se tornar amplamente conhecdo e aceto para fns atuaras fo o modelo de Gompertz (1825), apud Duchene e Wünsch (1988), que possu a lmtação de só consderar o fator de morte natural Bc em seu modelo matemátco. Posterormente, Makeham (1860), apud Duchene e Wünsch (1988), ncluu na função uma parcela, A, correspondente a mortes acdentas, a qual ndepende da dade da pessoa. Os modelos de Gompertz e de Makeham podem ser descrtos por: Gompertz: µ = Bc (12) Makeham µ = A + Bc (13) Makeham também propôs outro acréscmo, contendo uma tercera componente que aumenta em progressão artmétca com o passar das dades, mplcando µ = A + Bc + H. A Le de Makeham fo usada na construção das conhecdas tábuas CSO-41 e AT-49. A mportânca desses modelos fo tamanha que deu orgem aos atualmente conhecdos modelos de Gompertz-Makeham (GM). O modelo GM de ordem (r,s) possu a forma geral dada por: r 1 s 1 = GM ( r, s) = + ep = 0 = 0 µ α β (14) Nota-se que a fórmula GM é um polnômo de grau r-1 somado à eponencal de um polnômo de grau s-1. Então uma lnha reta é ajustada se defnrmos r=2 ou então s=2 para uma escala logarítmca natural. O modelo orgnal de Gompertz pode ser escrto como ( log B log C) ( + ) e e β β =. Já o modelo 0 ncal de Makeham é um GM(1,2) onde A = α0, B = e β 1 e C = e β, enquanto que o modfcado é um GM(2,2) onde H = α1. O procedmento para escolher a ordem do GM é partr de um modelo mas smples para modelos de ordem mas altas. Cabe então decdr se o aumento da ordem do modelo gera melhora sgnfcatva no ajuste da função. Para avalar a ntensdade dessa melhora estem testes estatístcos que ajudam a nvestgar a nclusão de novos parâmetros aos modelos. O teste mas utlzado é a estatístca de razão de verossmlhança.

27 &!! Referencal Teórco 26 Suponha que um modelo está ajustado com p parâmetros. Seja L p a logverossmlhança nesse caso e suponha também que queramos avalar o efeto no ajuste devdo à nclusão de mas q parâmetros, decdndo-se então por um modelo com p+q parâmetros. Assm, L p + q será a log-verossmlhança nesse caso. Então, sob a hpótese nula de que os q parâmetros etras não têm efeto na presença dos p parâmetros orgnas, a estatístca 2( Lp L p + q ) 2 χ com q graus de lberdade. tem uma dstrbução assntótca Os parâmetros podem ser estmados por máma verossmlhança, por mínmos quadrados, ou anda mnmzando a estatístca N = 0 " # $ d d % 2 2 χ de valor " &, onde d' é o número de óbtos de acordo com o modelo graduado. # Var d $ % Observe que se pode aplcar GM tanto em q quanto em µ. Deve-se, no entanto, levar em consderação o modelo para calcular a verossmlhança sobre o número de mortes na dade. Caso ele tenha sdo o modelo de Posson, em função da força de mortaldade, teremos que a dstrbução de probabldade e a função de verossmlhança serão dadas por: C ( ) C E µ d A ~ Posson E µ P( A = d ) e ( µ ) (15) Aplcando GM em µ, a log-verossmlhança será proporconal a C d log( GM ) E GM que no caso de Gompertz se smplfca a C ( α1 + α 2 ). d E e α α Já para o modelo Bnomal, em função da probabldade de morte anual, as estatístcas são: ( ) d E d A ~ Bnomal E, q P( A = d ) q (1 q ) (16) q Aplcando GM em 1 q, a log-verossmlhança será proporconal a q 1 d log( ) E log( ) = d log( GM ) E log(1 GM ) 1 q 1 q 1 2 Gompertz se smplfca a d ( ) E log(1 e α + α + α α ). 1 2 que no caso de

28 Referencal Teórco 27 dstrbução Deste modo, partndo das log-verossmlhanças chega-se à estatístca com 2 χ que fornecerá evdênca estatístca sobre a nclusão ou não de mas varáves no modelo Helgman-Pollard O modelo de Helgman e Pollard (1980) é uma equação composta pela soma de três parcelas correspondendo, respectvamente, à mortaldade nfantl, mortaldade por causas eternas e mortaldade por senescênca. Este é o modelo utlzado no Brasl para o cálculo das tábuas de mortaldade da população. O modelo Helgman-Pollard (HP) do tpo 1 assume a forma: 2 ( ( ) ) C ( + B) GH µ = A + D ep E log log F + (17) 1 + IGH Já para o modelo tpo 2, a parcela de mortaldade por senescênca sofre alteração, levando a uma nova função. Em ambos, temos que A q1 e B q0 q1. 2 ( ( ) ) C ( + B) GH µ = A + D ep E log log F + (18) I 1 + GH I O parâmetro D balancea a mortaldade por causas eternas, defnda pelos valores E e F. Quanto maor o D, maor será o valor da parcela de mortaldade correspondente aos adultos. Por estar multplcado pela função eponencal atnge prncpalmente as dades ncas, pouco nfluencando as maores que 80 anos. O parâmetro G é também um fator multplcador, da tercera parcela, no caso. Seu efeto é provocar uma soma em log(g) na abcssa (dade), transladando a curva de mortaldade para cma e para esquerda, conforme seu aumento. Já o parâmetro H é responsável pela defnção do ponto de nfleão da curva, passando de concavdade acma para uma concavdade abao. O ponto de ( ) ( ) log IG nfleão ocorre no zero da segunda dervada da função, onde =. log H Por fm, o parâmetro I defne a assíntota horzontal para as dades superores, que será gual à D + I -1. Portanto, quanto menor for I, postvo, maor será o valor da assíntota. Se I assumr um valor negatvo não haverá assíntota horzontal, permanecendo a curva sempre côncava.

29 Referencal Teórco Modelo Lnear Generalzado O modelo de Gompertz-Makeham pode ser vsto como um caso partcular do Modelo Lnear Generalzado (GLM). O GLM é descrto como uma regressão na soma lnear de funções pré-defndas, segundo à eq. (19). Y = ψ β j j j (19) Assume-se que o vetor Y composto de n observações é a realzação de uma varável aleatóra cujos componentes são ndependentes e dentcamente dstrbuídos (..d) com méda µ. O GLM é defndo por três componentes: uma varável aleatóra, uma determnístca e uma função de lgação. A varável aleatóra é representada pelos elementos de Y que pertencem à famíla eponencal, sendo..d. com E ( Y ) = µ. A componente determnístca é formada pelas varáves eplcatvas 1, 2,..., n que defnem um predtor lnear da forma η p = β, onde = 1 representa os parâmetros desconhecdos a serem estmados pelo modelo. A função de lgação relacona a varável aleatóra à componente sstemátca, sendo uma função monótona, dferencável em seu domíno e que possu nversa defnda. Conseqüentemente, é possível defnr mas de uma função de lgação para cada famíla de dstrbução de probabldade. As escolhas elencadas a segur levam a estmatvas em uma função com estatístca sufcente e mnmal para os parâmetros do predtor lnear. Dstrbução Normal: função Identdade Dstrbução Bnomal: função Logto Dstrbução Posson: função Logarítmca Dstrbução Gama: função Inversa Estas funções de lgação são conhecdas como funções canôncas. Além de possuírem as propredades estatístcas desejáves, atuam de forma que a componente sstemátca torna-se adtva na escala da própra função, facltando o objetvo de aplcação prátca. β

30 Referencal Teórco 29 No caso clássco, os elementos Y são normalmente dstrbuídos com varânca constante e função de lgação Identdade. Y ( Normal µ σ d µ β (20) 2 ( ) p,... = = 1 Para a graduação de tábuas bométrcas, consdera-se geralmente que o número de mortes segue uma dstrbução Posson quando a eposção central ao rsco é conhecda. Utlza-se, portanto, a função de lgação logarítmca. Outra forma utlzada é a da dstrbução Bnomal quando a eposção ncal é conhecda, utlzando-se a função de lgação Logto. Regra geral, nas dstrbuções pertencentes à famíla eponencal a varânca da varável dependente pode ser epressa em função da méda. A constante φ representa o parâmetro de escala para a varânca e possu valor constante, mas não necessaramente conhecdo. Var Y ( ) φ f ( µ ) = (21) Na dstrbução Gama, temos que a função varânca é proporconal ao quadrado da méda. Na Bnomal, a varânca é gual à méda multplcada por um menos a probabldade de ocorrênca do evento. Já na dstrbução de Posson, a varânca é gual à méda. Por vezes, pode haver sub ou sobredsposção nos dados, refletdo pelo valor de φ menor que 1 ou maor que 1, respectvamente. Renshaw e Haberman (1996) mostram que a modelagem por apólce, e não por vda, gera φ > 1. Dversos testes podem ser aplcados para dentfcar a sobredsposção nos dados, como os testes apresentados por Gano e Schafer (1992), Dean (1992) e Smth e Hetjan (1993), além do tradconal teste Qu-quadrado de Pearson. Já para testar a adequação dos modelos, utlza-se o teste Qu-quadrado quando a amostra não é pequena. Num modelo ajustado com p parâmetros, o Resdual Devance possu dstrbução Qu-quadrado com p graus de lberdade. Analogamente, um modelo de p+q parâmetros possu dstrbução com p+q graus de lberdade. Sendo assm, a dferença entre o Resdual Devance dos modelos possu também dstrbução Qu-quadrado, mas com q graus de lberdade. A estatístca pode ser utlzada para testar a hpótese nula de que não há melhora estatstcamente sgnfcatva partndo de um modelo com menos para outro com mas parâmetros.

31 Referencal Teórco Graduação Não-Paramétrca Se os modelos paramétrcos são os mas utlzados no Brasl (Conde, 1991, Beltrão et al, 1995, Rbero e Pres, 2001, Beltrão e Sugahara, 2002a e 2002b, Neves, 2004 e Rbero, 2006) e possuem uma grande acetação pela sua estrutura formal, os modelos não-paramétrcos, também conhecdos como modelos locas, foram objeto de estudo no Brasl por Neves (2004) e também utlzados pela SOA na elaboração da últma tábua de sobrevvênca RP-2000 pelo fato de que geram resultados satsfatóros para a stuação em que este uma grande quantdade de dados Whttaker-Henderson Whttaker-Henderson (1952) é o modelo não-paramétrco mas utlzado ultmamente, sendo adotado pela Socety of Actuares (2001) e Amercan Academy of Actuares (2002). Este método consste em mnmzar a segunte epressão, onde o prmero termo mede a qualdade do ajuste e o segundo a suavzação: ) ) ϖ ϖ z 2 z 2 w ( q q t ) K ( q t ) t t + t= 0 t= 0 (22) w : coefcente de ponderação. q : probabldades brutas (observadas). q* : probabldades graduadas. z : dferença fnta de ordem z. 5 +-, +-, +., +/, +0, z 1 z z z z 2 5 z 1 z 2 q = q q 1+ q 2 q ( 1) /4 304 q z z K : peso postvo. Este método possu uma ponderação clara entre o ajuste do modelo e a sua suavzação. O prmero termo mede a promdade entre as taas graduadas e as

32 7 Referencal Teórco 31 brutas (ajuste) e o segundo a suavdade com que as taas graduadas se alteram com as dades (suavzação). Ele também possu um forte componente subjetvo, já que as regras de defnção dos parâmetros z, K + t e possuem crtéros de comparação pré-estabelecdos. w + t não são rígdas e nem Os estmadores graduados são obtdos mnmzando a epressão defnda anterormente, em função dos q6, obtendo-se um sstema de equações lneares. Estem dos tpos de métodos de Whttaker-Henderson (WH): tpo A e tpo B, assumndo hpóteses quanto ao coefcente de ponderação w + t. No tpo A assume-se que este é nestente ( w + t = 1 para 0 + t ω, t > 0 ). No tpo B, mas ndcado para quando há um grande volume de dados, os coefcentes serão defndos de acordo com a eposção. Uma possível formulação é w + t E = (1 q7 + t ) q + t. Mutas vezes os parâmetros do modelo são defndos de forma a garantrem consstênca teórca na tábua. Por eemplo, a SOA afrma que como crtéro para seleção dos parâmetros, a graduação fnal deverá apresentar nenhum ou poucos casos em que: q > q + 1, q < 0 e q > 1. Tas defnções são muto vagas e por sso normalmente envolvem um grupo de especalstas para fazê-las. No entanto, se do ponto de vsta acadêmco tal método parece ser menos robusto por seu caráter dscrconáro, ele certamente apresenta resultados coerentes se utlzado corretamente Graduação de Kernel Já a Graduação de Kernel é outra forma de graduação não-paramétrca que representa um processo de utlzação de médas móves ponderadas. Fo ncalmente aplcado ao processo de graduação por Copas e Haberman (1983) e Ramlau-Hansen (1983). A técnca estma a probabldade q como:

33 8 AA C BB D F H J L G I K Referencal Teórco 32 q = d K b( ) E n = 1 n = 1 K ( ) b (23) Uma forma alternatva para a graduação é dada pela estmação da taa por: qˆ = d n 2 = 1 E n = 1 Kb K ( ) b K ( ) b 9 : (24) + = K ; = > < b e K ( ) é uma função Kernel dada por K( ) d = 1 b, sendo comumente escolhda a função de densdade da dstrbução Normal Padrão. A constante b mede o grau de suavzação do modelo, podendo ser arbtrado ou calculado por valdação cruzada, quando terá seu valor dado na stuação em que se mnmza a função n 1 d ( qe ), onde n E = valor estmado para o caso em que não se utlza a nformação da dade. O problema deste modelo consste na sua aplcação aos etremos da tábua bométrca, onde o valor de b pode não revelar uma constante que suavze satsfatoramente os dados. 2 q é o Graduação por Polnômos Locas A técnca proposta por Cleveland (1979) consste em se traçar város polnômos em cada segmento de dades, utlzando-se uma regressão. A vantagem deste método em relação à Graduação de Kernel é de não haver o problema do mau ajuste com relação às dades etremas da tábua bométrca (Verrall, 1996). d Prmero defne-se a vznhança N( 0) como o conjunto dos k vznhos a 0 0 =. Por eemplo, se k 4, N ( 0 ) { 2, 1, 0, 1, 2} E 0 = =. Após, calcula-se

34 M O N P Referencal Teórco 33 ( ) ma = e dervam-se os pesos 0 0 N ( 0 ) w 0 = T OQ R P, onde ( ) 0 3 ( ) = ( 1 u ) 3 T u. Por fm, traça-se a regressão polnomal (lnear, quadrátca, cúbca etc.) na regão N( 0) usando os pesos { w1, w2,..., w k + 1}. O valor estmado qs é ( ) 0 f, 0 onde f ( ) é a função da regressão polnomal ajustada Graduação do Fm da Tábua A dade ω deve ser estendda ao mámo, pos nterfere dretamente nos produtos de aposentadora e pensão. Este pratcamente um consenso sobre a dade ω de 120 anos ser consderada sufcente para a elaboração das tábuas bométrcas atuas, uma vez que há em toda a hstóra, comprovados documentalmente, menos de uma dezena de ndvíduos que veram a falecer em dades superores a 120. Hustead (2005) apresenta as técncas utlzadas para a construção do fnal da tábua e demonstra baseado nas taas brutas da RP-2000 que os efetos fnanceros da utlzação de dferentes métodos provocam mpacto fnancero relevante apenas na hpótese de planos contratados por ndvíduos centenáros, o que, no entanto, sempre é vedado pela polítca de subscrção usual das entdades. Estem bascamente quatro formas de construção do fm da tábua bométrca. O Forced Method smplesmente defne a taa medatamente posteror à últma taa bruta suavzada como valor de probabldade gual a um. Essa teora assume que a duração da vda tem um lmte (que aumenta com o passar dos anos), justfcando esse salto para a probabldade untára. O problema é que essa descontnudade da penúltma para a últma dade gera varações abruptas para o cálculo de contrbuções/prêmos e provsões/reservas de ndvíduos com dades avançadas. As tábuas construídas pelo Insttuto Braslero de Geografa e Estatístca (IBGE) para a população braslera se baseam neste método forçando a últma dade ω = 80 a ter probabldade untára, o que corresponde a uma dade ecessvamente baa devdo ao fato de a população do país oferecer uma grande quantdade de óbtos para dades superores a este patamar.

35 Referencal Teórco 34 No Blended Method utlzam-se somente as últmas dades (95 ou mas, por eemplo) para gerar um padrão de graduação que é estenddo até a probabldade atngr o valor um. A CSO-2001 utlzou este método capturando nformações desde a dade 95 para a construção da tábua até ω = 120. Este também fo o método eleto para a graduação do fm das tábuas bométrcas deste estudo. O Pattern Method é semelhante ao Blended Method, mas consderando todas as dades para o estabelecmento do padrão matemátco e não só as últmas. Segundo essa teora, a curva deve mudar de concavdade para bao nas dades altas até tangencar a probabldade untára, assumndo que em tese a morte nunca é certa ( q 1, ) Method. < T e a vda não tem lmte, como mplícto no Forced O Lass-Than-One Method consdera que a probabldade para dades avançadas tange a um valor menor que um. Esse método é normalmente utlzado em tábuas censtáras elaboradas pelos órgãos governamentas, onde não há preocupação quanto à sua utlzação em um plano pago pelo evento gerador sobrevvênca ou morte. A tábua RP-2000 utlzou essa forma para dades superores, onde a probabldade atnge 0,4 na dade 115 para o seo femnno e 106 para o masculno Testes de Adequação Para decdr se a graduação é satsfatóra devemos analsar se o resultado suavza os dados observados e também se é aderente aos mesmos. No entanto, essas característcas são confltantes: a suavzação dos dados deve ser sufcente apenas para não haver saltos na função construída. Anda assm, deve-se lembrar que no seguro de vda a mortaldade não deve ser subestmada e no plano de aposentadora não deve ser superestmada, de forma a evtar o rsco de nsolvênca. Para tanto, testes estatístcos são normalmente defndos, sendo que os prncpas são os que avalam a qualdade de ajuste do modelo dante dos dados. Normalmente os tpos de graduação já produzem estmadores suavzados, então os testes de suavzação de dados são menos mportantes que os testes de adequação.

36 W Y [ [ X Z Referencal Teórco 35 Os testes de quanto os dados foram suavzados são normalmente utlzados em modelagem não-paramétrca que possblta a defnção de um modelo com alto grau de ajuste. Para medr suavzação, a tercera dferença entre os estmadores deve ser calculada e ser pequena em magntude comparada com os própros estmadores e progredr regularmente. A tercera dferença é a dferença entre as segundas dferenças, que por sua vez é a dferença entre as prmeras dferenças. o o o q q q 1 = e o o o 2 q q q 1 = (25) Assm, temos que a tercera dferença é dada por: o o o o o 3 q q 3q 1 3q 2 q 3 = + (26) Já para mensurar o grau de ajuste (aderênca) aos dados, dversos testes podem ser utlzados sobre as taas graduadas comparando-as às taas brutas, sendo aqu apresentados os mas mportantes Análse de Resíduos sob Normaldade Para avalar o ajuste de uma graduação os resíduos devem ser eamnados. É usual analsar os desvos dvddos pelo estmador de seu erro padrão: Z d d = U V Var d (27) Eamnam-se qualtatvamente os gráfcos dos resíduos, sendo muto útl a observação do gráfco qq-plot ou mesmo do hstograma dos resíduos que podem deflagrar uma não-normaldade vsualmente clara nos resultados do modelo ajustado, conforme eemplfcado na Fgura 1.

37 b d f b d f h c e g c e g ^ ` _ Referencal Teórco 36 Fgura 1 Eemplo de qq-plot de resíduos não-normas. Utlzando a mesma déa pode-se verfcar se os resíduos Z possuem dstrbução Normal Padrão através de testes estatístcos de qualdade de ajuste. O teste de Kolmogorov-Smrnov (K-S), cuja hpótese nula é a varável segur a dstrbução de probabldade pela qual os dados foram ajustados, compara as dferenças mámas entre a função de dstrbução acumulada teórca (Normal, para o caso) e a obtda pelos dados. Já o teste Jarque-Bera (Jarque e Bera, 1980), cuja hpótese nula é a varável segur a dstrbução Normal de probabldade, leva em consderação a assmetra (A) e o ecesso de curtose (C) nos dados através da estatístca JB \ ] 2 n C a que possu dstrbução = A + assntótca Qu-Quadrado com dos graus de lberdade. Adconalmente, uma medda quanttatva que pode ser aplcada é o Teste Qu-Quadrado. Sob a hpótese nula de que o modelo adere bem aos dados, os resíduos Z possuem dstrbução Normal Padrão e então a soma quadrátca dos resíduos possu uma dstrbução Qu-Quadrado cujo número de graus de lberdade é dado pelo número de resíduos menos o número de parâmetros do modelo. n = 0 d d Var d 2 2 χ ( n p) h (28)

38 k m p r t o j l n v q s u ~ y y Referencal Teórco Teste Qu-Quadrado de Pearson Um teste de aderênca usual é o que compara o número observado de eventos geradores (óbtos, por eemplo) com o número esperado, de acordo com a tábua bométrca construída. Sob a hpótese nula de que os números observados e esperados são guas para todas as dades, podemos construr um teste unlateral à 2 dreta sobre a dstrbução qu-quadrado ( χ ) cujo número de graus de lberdade é dado pelo número dades menos um. n = 0 d d 2 o d 2 χ ( n 1) (29) Teste dos Desvos Acumulados Neste teste, as dades devem ser dvddas em um número aleatóro de grupos de tamanhos guas. É mportante que este número seja realmente aleatóro para não ser nfluencado pelas observações. O teste procura por vícos ou um grande período de desvos do mesmo snal. Assumndo que os resíduos absolutos (dferença entre os números graduados e observados de mortes) são ndependentes e possuem méda zero, a soma dos resíduos de um grupo terá méda zero e varânca gual à soma das varâncas. Para a graduação de µ e q, temos que para cada grupo: d E C E C z { µ d E q } v w Normal ( 0,1 ) ~ Normal ( 0,1) z ~ { (30) E q 1 q } µ A maor estatístca (em módulo) dentre os grupos pode ser confrontada com a dstrbução Normal Padrão, a fm de se realzar um teste bcaudal cuja hpótese nula é que não há blocos que apresentam desvos acumulados.

39 Referencal Teórco Teste dos Snas de Mann-Whtney O teste dos snas também é conhecdo como teste de Mann-Whtney. Se os resíduos são aleatóros, espera-se que haja apromadamente tantos resíduos postvos quanto negatvos. Para verfcar tal afrmação defne-se que a dstrbução do número de resíduos postvos n 1 (ou negatvos n 2 ) segurá a segunte dstrbução de probabldade: ( 1 ) n1 ~ Bnomal n, onde n n1 n2 2 = + é o número de resíduos observados Como n > 50, pode-se utlzar a apromação pela dstrbução Normal: ( n n ) n ~, 1 Normal 2 4 Logo, a estatístca n n 1 2 n 2 tem dstrbução Normal Padrão e pode ser utlzada a fm de se realzar o teste bcaudal cuja hpótese nula é que não há ecesso ou falta de resíduos postvos em relação aos negatvos Teste de Agrupamento dos Snas de Stevens O teste dos snas também é conhecdo como teste de Stevens. Seja G o número de grupos formados por resíduos postvos, onde foram observados n 1 e n 2 números de resíduos postvos e negatvos respectvamente. A estatístca G convergrá para a segunte dstrbução de probabldade: G Normal 2 n1 ( n2 + 1 ), ( n1 n2 ) ƒ ƒ 3 n + n ( n + n ) (31) Pode-se então efetuar o teste a fm de se rejetar ou não a hpótese nula de que os grupos de snas são formados de acordo com o comportamento estatístco esperado.

40 Œ Referencal Teórco Teste da Rodada Segundo a déa de análse de snas, pode ser observada a seqüênca de resíduos postvos e negatvos. Defne-se então o número de rodadas como o número de vezes em que há troca de snas nos resíduos (ordenados por dade) mas um. Sendo assm, temos como eemplo a seqüênca de snas de resíduos epostos na Fgura a a 1 rodada 2 rodada 3 rodada 4 a a rodada Fgura 2 Eemplo de onze resíduos perfazendo quatro rodadas. Se estes forem ndependentes o número de rodadas tem méda e varânca 2n1n 2 dadas respectvamente por 1 n + n e 1 2 ˆŠ n1n 2 n1n 2 ( n1 + n2 ) 2 ( n + n ) ( n + n 1) , onde novamente pode-se utlzar a estatístca da dstrbução Normal Padrão para o teste de hpótese bcaudal sob hpótese nula de que as rodadas são formadas de acordo com o comportamento estatístco esperado Teste de Correlação Seral A segunte seqüênca não deve ser autocorrelaconada, como a eemplfcada a segur que possu tamanho m-1 e lag gual a 1: z 1, z 2, z 3,..., z m-2, z m-1 z 2, z 3, z 4,..., z m-1, z m (32) E assm para todos os lags, seja o coefcente de correlação da seqüênca 1 m j z = 1 (1) dos j-ésmos lags dado pela epressão a segur, onde z = m j z (2) = m 1 m j z+ j j = 1. e

41 Ž Referencal Teórco 40 r j = m j = 1 (1) (2) ( z z )( z+ j z ) (1) (2) ( z z ) ( z+ j z ) m j m 2 j 2 = 1 = 1 (33) r j Se m é grande o sufcente podemos apromar o coefcente de correlação: m j = 1 ( z z )( z+ j z ) (34) m j m j 2 ( z z ) ( z+ j z ) = 1 = 1 2 Então é possível utlzar a dstrbução Normal para testar o ajuste do modelo. Valores altos ndcam uma tendênca para os desvos do mesmo snal se agruparem, rejetando a hpótese de aleatoredade. Outra forma é aplcar o teste de Ljung-Bo (Ljung e Bo, 1978) também conhecdo como teste Portmanteau, cuja hpótese nula é a ausênca de autocorrelação. A estatístca do teste é defnda como LB = n( n + 2) h j= 1 r 2 j n j possu dstrbução Qu-Quadrado com h graus de lberdade, onde h é o número de lags a serem testados. e Teste dos Lmtes Este teste consste em construr um ntervalo de confança de γ % em torno das taas graduadas e checar se as taas brutas estão dentro destes lmtes em pelo menos γ % das vezes. A varânca deve ser calculada de acordo com o modelo eleto, se Posson ou Bnomal. Como a dstrbução assntótca do estmador é Normal, constró-se o ntervalo de confança a partr a função de dstrbução acumulada da mesma. É nteressante também procurar volações sstemátcas nvestgando faas de dade com mau ajuste. Na Fgura 3 não há volações sstemátcas e estem três pontos fora do ntervalo de confança de 95%. A ocorrênca de 3 pontos em 81 observações (3,7%) está dentro no esperado para o grau de confança escolhdo.

42 Referencal Teórco 41 1, , , , , , Taas Graduadas IC nf 95% IC sup 95% Taas Brutas Fgura 3 - Eemplo de Teste dos Lmtes para um ntervalo de confança de 95%.

43 Improvement das Taas 42 3 Improvement das Taas Improvement das taas e reducton factor (fator de redução) são termos vnculados ao fenômeno de redução da mortaldade atual aplcado à tábua de sobrevvênca e conseqüente melhora na epectatva de vda da população estudada. Porém, para se mensurar esse fenômeno devemos possur dados referentes a mutos anos de observação, eceto para os casos de uma grande massa populaconal, o que não ocorre para os avalados neste estudo. Uma abordagem mas detalhada sobre o tema pode ser obtda em Santos (2007), onde são utlzados os métodos de Lee-Carter (1992) e GLM. Não obstante, será feta uma breve eplanação sobre o assunto devdo a sua relevânca. Um modelo estátco mplctamente admte que o tempo não é fator atuante. Os dados são consderados com o mesmo peso em cada ano, assumndo que não há aumento ou dmnução nas taas observadas com o passar dos anos. Já um modelo dnâmco modela uma evolução no tempo dos parâmetros a serem estmados. Neste caso, as taas de mortaldade geralmente dmnuem com o tempo, prncpalmente para as dades avançadas. Para projetar o reducton factor, váras técncas podem ser utlzadas: processos que analsem as característcas sublnhares bológcas, modelos causas envolvendo relações bométrcas e modelos de tendênca que são etrapolatvos em sua natureza. Na Inglaterra o CMI faz projeções do reducton factor para a mortaldade de aposentados e pensonstas. O procedmento normalmente envolve dos estágos: Para um período de nvestgação defndo os dados são graduados e tábuas de mortaldade produzdas; Tábuas de mortaldade projetadas são produzdas através da aplcação de fatores de redução da mortaldade dervados da ncorporação de mprovements passados e prováves mprovements futuros na taa de mortaldade.

44 Improvement das Taas 43 Um eemplo smples de aplcação do reducton factor é dado pela segunte forma, onde (, ) RF t é o fator de redução ao longo dos anos e q, t sgnfca a probabldade de morte entre as dades e + 1 dado que se está no ano de calendáro t, t=0, 1, 2,... t 20 = ( ), onde RF (, t) = α ( ) + 1 α ( ) 1 f ( ) q q RF t, t,0, ( ) α = c < 60 ( ) ( 1 c) ( 110) = = 1 > 110 f = p < 60 ( 110 ) ( 60) p + q = = q > 110 (35) No cálculo do mprovement são consderadas duas covaráves, uma mensurando o padrão de mortaldade da população e outra o padrão de evolução desta mortaldade ao longo do tempo. O uso de GLM e de séres temporas é freqüente nos estudos sobre o tema. Modelos que utlzam análse de séres temporas requerem um período de observação mas longo, enquanto que para o GLM esse tempo pode ser reduzdo, desde que haja grande quantdade de dados.

45 Graduação com Poucos Dados 44 4 Graduação com Poucos Dados Conforme vsto na fundamentação teórca, dversas formas de construção de tábuas bométrcas podem ser utlzadas. No Brasl, para a mortaldade de váldos, Beltrão e Sugahara (2002a e 2002b) utlzaram o modelo de Helgman e Pollard. Neves (2004) utlzou modelos dnâmcos paramétrcos sob a ótca bayesana. Já Rbero (2006) construu tábuas seletas através de GLM para mensurar a mortaldade seleta de nváldos. Nos Estados Undos a SOA utlzou o modelo de Whttaker-Henderson Tpo B na construção das tábuas CSO-2001 e RP Na mplementação prátca desses modelos é necessáro que haja uma grande quantdade de observações para que de acordo com a Le dos Grandes Números as taas brutas não varem aleatoramente em ecesso. No entanto, é bastante comum que atuáros se deparem com uma realdade onde a eperênca a ser nferda é pequena, comprometendo ou até nvablzando o processo de graduação através da utlzação das técncas tradconas, abordadas na seção 3. A prátca observada no meo atuaral é que na stuação em que há poucos dados, utlzam-se os testes de adequação da seção 2.4 a fm de se averguar um grande número de tábuas bométrcas, construídas com base em outras populações, e por consegunte escolher a que fornece o melhor ajuste. Por vezes, agravamentos e desagravamentos também são utlzados. Este estudo propõe uma solução alternatva a esse problema, onde uma tábua bométrca nova é construída a partr dos dados dsponíves em quantdade reduzda. Propõe-se a utlzação da Teora da Credbldade combnada à teora tradconal de graduação de tábuas bométrcas. Esta metodologa pode ser aplcada ao caso onde um ressegurador deseja avalar a eperênca de um novo clente, sendo esta pequena, e compará-la à sua tábua de referênca construída pela eperênca geral aferda até então, com o objetvo de conceder descontos ou até mesmo agravar o prêmo ou contrbução, afastando assm a ant-seleção ou seleção adversa.

46 Graduação com Poucos Dados 45 Outra aplcação é a utlzação por parte das entdades fechadas de prevdênca complementar (fundos de pensão). A utlzação de tábuas bométrcas dferencadas para cada patrocnadora (ou até mesmo plano) cuja eperênca observada é pequena, representa uma forma mas precsa de precfcação e projeção de recetas e despesas. É possível também utlzar essa técnca no setor públco, como nos regmes própros, onde se ecetuando as grandes captas e estados, há sempre problemas quanto à nsufcênca de dados observados sobre mortaldade e entrada em nvaldez de seus partcpantes. A Teora da Credbldade Maor Eatdão ou Teora da Credbldade Européa é a teora mas aceta atualmente por possu maor embasamento teórco matemátco. Nela, pretende-se determnar um estmador de Credbldade que seja lnear em função dos dados, mnmzando o erro quadrátco da estmação. Utlzaremos a Teora da Credbldade com abordagem na Estatístca Clássca, de acordo com o desenvolvdo por Hardy e Panjer (1988). Uma eperênca menor, sem credbldade total, é combnada a uma maor, gerando como resultado uma medda de comparação smples e dreta entre as duas. Parte-se da stuação em que se possu um banco de dados com a eperênca de N companhas/regões agrupados por anos de observação. Sendo assm, a eperênca pequena de um novo setor será nvestgada. No modelo adotado por este estudo, defne-se S j como a varável aleatóra que representa o número de eventos observados (óbtos, na aplcação proposta) para o setor no ano j, sendo = 1, 2,..., N e j = 1, 2,..., n. Já P j é o número esperado de eventos observados, de acordo com a epectatva da tábua de referênca construída com a eperênca passada e possudora de credbldade total. Hardy e Panjer menconam esta defnção, mas também outra onde X j é tda como a snstraldade na quanta monetára despendda pelo número de óbtos ocorrdos. Essa é utlzada no caso aplcado a seguradoras do Canadá cujos resultados estão epostos no artgo.

47 œž Ÿ Graduação com Poucos Dados 46 X j S j = é a razão entre o número de eventos ocorrdos e esperados, dados P j e j, representando uma espéce de snstraldade. Para a varável as seguntes hpóteses: X j, assummos 1. A dstrbução de X j depende do parâmetro de rsco θ e seu volume P j ; 2. Dado θ, as varáves θ µ ( θ ) θ X j são ndependentes para 2 σ E X j = e Var X j = P ( θ ) š O quarto momento é dado por µ X θ = σ ( θ ) j ; 4 j 2 Pj j = 1, 2,..., n, sendo que: 4. Os parâmetros de rsco θ são ndependentes e dentcamente dstrbuídos; θ θ são ndependentes para k. 5. Os pares (, X ), (, X ) j k kl ; A segunda hpótese é assumda por Straub no modelo de Bühlmann-Straub (1970) de Credbldade, onde são atrbuídos pesos à Var X j θ 2 σ = P ( θ ) Já a tercera hpótese pressupõe que não há ecesso de curtose em relação à dstrbução Normal para os rscos ndvduas. Por fm, a qunta hpótese pressupõe que as observações dos setores são ndependentes (eceto com relação a θ ) com o passar dos anos. Sendo assm, o j. mprovement não é consderado, ao defnrmos X j como a snstraldade sobre o número de eventos (óbtos). Já se fosse defndo X j como a snstraldade na quanta monetára despendda pelo número de óbtos ocorrdos (reas), a nflação, além do mprovement, seram desconsderados no modelo. O objetvo é descobrr a melhor estmatva para E X θ = µ ( θ ) estmador de Bühlmann-Straub µ de ( ) erro quadrátco E ( µ ( )) 2 µ θ n + 1. O µ θ é lnear em X,..., 1 X n e mnmza o ao se encontrar o zero da prmera dervada. Conseqüentemente, chegamos à eq. (36) de credbldade, onde Z - eq. (38) - é o

48 ª Á ÃÅ Å Â ÄÆ Æ ½ ¾ Graduação com Poucos Dados 47 fator de credbldade do setor e ˆµ - eq. (37) - representa a eperênca de todos os setores. ( 1 ) ˆ µ = Z X + Z µ e Var ( µ ) = ( 1 Z ) Var «µ ( θ ) (36) Z X ± ² = 1 ˆ µ = E µ ( θ ) = E ± ± ² E X j θ ² = N Z n P Z = P + φ, onde P = Pj e φ j= 1 N = 1 (37) ³ µ 2 E σ ( θ ) = ³ µ (38) Var µ ( θ ) A Teora da Credbldade nos revela que quanto maor a eposção de um determnado setor, maor é a credbldade ndvdual Z do mesmo. Por outro lado, quanto menor a varânca dentro do setor com o passar dos anos, também maor será a credbldade ndvdual. Já quanto à varânca entre os setores, observa-se que dados cujas dspersões são muto grandes levarão a uma menor credbldade para a eperênca geral ˆµ. De fato, na eq. (38) defne-se φ como a dvsão da varânca dentro de ¹ 2 º» E σ θ - pela varânca entre os setores - Var µ ( θ ) ¼, cada setor - ( ) confrmando a déa do parágrafo anteror. Para a obtenção desses valores necessta-se de um cálculo numérco recursvo na varânca (39) e (41). Á À  À À ( ) ˆ Á \ \  = = j j = N = E σ θ σ E P Var X θ X N C = 1 S C 2 2 S eposta nas eq. (39) 1 S P X X n 2 = j j n 1 j= 1 ( ) 2 1 C =, onde ϕ 2 1+ ϕ n 1, onde X 4 E σ ( θ ) = Ã Ä 2 Var σ ( θ ) n 1 Pj X j P j = 1 = (40) (41)

49 Ô ÐÒ Úà êè î ð Õ éë ÑÓ Ûá ï ñ Ø Ú Ü Þ â à Ï ÇÉ ô äæ ò ô ÈÊ õ åç ó õ Û á ß Ë Ì Ù Ý ã ÇÉ ÈÊ Graduação com Poucos Dados 48 2 Para a defnção de ( ) E σ θ por Centeno (1989), onde σ = C s + ( 1 C ) E Í σ ( θ ) Î na equação (39), utlzou-se a forma dada, utlzando as eq. (40) e (41). A eq. (40) leva em consderação a ponderação dos pesos do número de eventos ocorrdos dervados das dferentes eposções (hpótese de Straub). 4 Nas eq. (42), (43) e (44), as estatístcas não-vesadas de ( ) 2 ( ) Var σ θ foram obtdas também a partr de Centeno (1989). E σ θ e E Var Ö ( ) N ˆ = = σ θ σ = ( ) = ˆ = 2 σ θ ν 2 σ 2 ( n 1) ( S ) N = 1 ( n 1) N = ( n 1) ( S 2 ˆ σ 2 ) 2 ˆ σ 4 ( N 1) R (42) (43) N = 1 ( n 1) R = N = 1 N = 1 ( n 1) 2 ( n 1) (44) Já para a defnção de ( ) Var µ θ, nas eq. (45) e (46), fo utlzada a estatístca não-vesada em Klugman et al (1997). Var ˆ 2 P Ψ σ µ ( θ ) = ˆ" ν = Π P P N n j = 1 j= 1 P Ψ = ì í N = 1 ( X ˆ ) 2 j µ n 1 P N ö 1 = 1 P P Π = ò ó N ö n = 1 P 1 (45) (46) Depos de efetuados os cálculos, obtemos o número µø que ao ser multplcado pela tábua de referênca construída com base na eperênca maor, de credbldade total, representará a tábua bométrca que reflete a nova eperênca avalada. A hpótese nerente a esta metodologa, e necessára devdo à pouca quantdade de dados, é que as taas desenham o mesmo formato ao longo das

50 ú Graduação com Poucos Dados 49 dades, ou seja, a mortaldade estmada por esse procedmento sempre desenhará uma curva paralela à tábua bométrca de referênca. Essa mposção é necessára e corresponde a um artfíco para dmnur a varânca do estmador das taas, tornando a tábua teorcamente consstente. A conclusão sobre esse processo de graduação é que se o valor encontrado de µù for maor que um, podemos dzer que a nova eperênca do setor é a tábua de referênca agravada em ( ) µ %. Se for menor que um a nova ú %. eperênca é a tábua de referênca desagravada em ( ) µ

51 Estruturação dos Dados 50 5 Estruturação dos Dados Normalmente um banco de dados recolhdo por um amplo período de observação é requerdo de modo a se obter um grande volume de dados para o processo de graduação, de forma a mnmzar as varações naturas e garantr dados bem representatvos nas dades etremas (nfânca e velhce), onde há menos segurados. As estatístcas das dades avançadas são as que mas mpactam o custo de um plano, e qualquer alteração que aumente a epectatva de vda nessas dades faz com que o custo do pagamento de benefícos mude consderavelmente. Deste modo, para que as tábuas bométrcas sejam defndas, necessta-se de um banco de dados contendo toda a eposção e eventos geradores. A nformação necessára para o desenvolvmento das tábuas propostas é conhecer durante um determnado período do tempo (período de observação) o número total de vdas epostas para cada dade, seo, cobertura (mortaldade de atvos, sobrevvênca de atvos, entrada em nvaldez ou mortaldade de nváldos), profssão, escolardade, tabagsmo etc. Como eemplo, a Tabela 1 traz as nformações mínmas necessáras já estruturadas. X (IDADE) SEXO C E (EXPOSIÇÃO CENTRAL DE NÃO- INVÁLIDOS EM VIDAS-ANOS) d (NÚMERO DE ÓBITOS) 68 M 1.146, M 1.037, M 941, M 908, M 844,5 32 Tabela 1 Parte de um banco de dados estruturado para observação no ano de 2005.

52 Estruturação dos Dados 51 Para se obter esses dados é necessáro avalar para cada ndvíduo as datas de entrada e de saída do plano. Além dsso, deve estar dentfcado o motvo de saída, como deslgamento do plano, óbto ou nvaldez. Assm, pode ser melhor lustrado através do Dagrama de Les o camnho da vda de um ndvíduo, onde a abscssa é o tempo e a ordenada a dade. Fgura 4 - Eemplo de Dagrama de Les. O Dagrama de Les da Fgura 4 corresponde ao período observado de 1º de janero 2005 a 31 de dezembro de 2005, lustrando o caso de ses segurados: 1. Nascdo em 04/11/57 que entrou no plano em 12/03/03 e sau em 06/09/04; 2. Nascdo em 30/04/58 que entrou no plano em 02/02/04 e faleceu em 07/10/05; 3. Nascdo em 31/03/59 que entrou no plano em 11/05/05 e sau em 23/12/05; 4. Nascdo em 13/02/61 que entrou no plano em 09/06/03 e sau em 29/11/06; 5. Nascdo em 28/05/63 que entrou no plano em 08/09/05 e faleceu em 16/02/07; 6. Nascdo em 26/10/64 que entrou no plano em 19/04/05 e sau em 09/01/07.

53 Estruturação dos Dados 52 Observe que o óbto do caso 5 não é consderado para o estudo, pos o período de observação defndo se encerra antes, em 31/12/05. Segundo a mesma lógca, as eposções anterores a 01/01/05, relatvas aos casos 1, 2 e 4, bem como as posterores a 31/12/05, referentes aos casos 4, 5 e 6, não são consderadas. O objetvo fnal é agrupar as eposções por dade, a fm de utlzá-las no processo de obtenção das probabldades ou taas brutas. No eemplo lustrado, a eposção para as dades de 40 a 47 são de 231, 108, 157, 87, 366, 135, 434 e 208 vdas-das respectvamente. Apesar de a eposção e o evento gerador (óbto, nvaldez) serem descrtos de uma forma smples, alguns problemas de dentfcação podem ocorrer e por sso nformações acessóras são normalmente utlzadas. Como alguns eemplos valem ctar três stuações especas. A prmera stuação a ser observada é que a data de avso do snstro normalmente é requerda para verfcar o tempo médo de atraso e com sso fazer ajustes aos dados para os snstros tdos como ocorrdos, mas não avsados. Esse cálculo é fundamental para que não esta uma subestmação da probabldade de morte. E mesmo que o período eposto estudado seja de mutos anos atrás (há mas de dos anos, por eemplo) o comportamento de eventos ocorrdos mas não avsados deverá ser estudado para que se certfque realmente da nestênca de snstros fora da stuação esperada. A metodologa de cálculo poderá segur um trângulo run-off de desenvolvmento (Fgura 5), ncalmente calculado por meses, mas podendo ser agregado em períodos mas longos, caso necessáro, onde a lnha será dada pela época de ocorrênca e a coluna o tempo de demora para ser avsado. Uma metodologa do tpo Chan-ladder pode ser utlzada para modelar o trângulo.

54 Estruturação dos Dados 53 Ano do Evento Gerador () Ano do Avso (j) j... J-1 J 1 X 11 X X 1j... X 1(J-1) X 1J 2 X 21 X X 2j... X 2(J-1) I X 1 X 2... X j I-1 X (I-1)1 X (I-1)2 I X I1 Fgura 5 - O Trângulo de Run-off A observação feta por um longo período também mnmza o problema dos atrasos que ocorrem no avso de snstro. Como um eemplo comum deste tpo de problema, tem-se o caso onde o segurado possu um seguro de vda, vem a falecer e o benefcáro que desconhece o seguro avsa o snstro só muto tempo após o evento. No Brasl este problema se agrava, pos com a cultura do seguro anda em desenvolvmento, seguros contratados atrelados a cartão de crédto ou venddos por telefone, por eemplo, tendem a possur um grande atraso na notfcação do snstro. Este tpo de seguro, onde uma regra mas concedente de subscrção é utlzada, é por vezes gnorado nos estudos. A segunda stuação é a respeto da dentfcação ndvdual no banco de dados. Ao se trabalhar num pool de seguradores a dentfcação ndvdual de cada segurado, como o CPF, pode se fazer necessára, pos não se devera contar mas de uma vez o mesmo óbto, por eemplo. Mesmo com todo o esforço e qualdade dos dados esta dentfcação pode ser dfícl de ser conseguda na totaldade da população segurada. Na Inglaterra e nos Estados Undos os últmos estudos de tábua foram fetos por apólce. Assm, as tábuas produzdas refletem a mortaldade de apólces ao nvés da mortaldade de ndvíduos. Apesar de pouco nstntvo, este uma lnha de pensamento de alguns atuáros que o estudo deve realmente ser feto por apólce ao nvés de ndvíduo, já que tas probabldades

55 Estruturação dos Dados 54 serão utlzadas por apólce, não havendo a probção de compra de cobertura de duas companhas dferentes, salvo algumas eceções. No entanto a probabldade de morte de ndvíduos e mortaldade de apólce se relaconam dretamente através do conhecmento da dstrbução de apólces por ndvíduo (MacDonald e Hardy, 2003). Ou seja, ao conhecer a dstrbução de quantas apólces um ndvíduo possu a relação entre aquelas probabldades é dreta. Desta forma, caso o estudo seja somente capaz de ser calculado sobre as apólces, a nferênca sobre a mortaldade de ndvíduos não será prejudcada. No entanto, para utlzação futura, será necessáro acompanhar a dstrbução do número de apólces por ndvíduo. Por sso, mesmo que somente a tábua por apólce seja capaz de ser feta, o estudo do número de apólces por ndvíduo não deve ser gnorado para que o estudo acompanhe qualquer varação futura; Por fm, a tercera stuação se refere aos dstntos concetos de nvaldez estentes. Especfcamente no caso braslero a defnção do evento entrada em nvaldez deve estar claramente dentfcada. Para o mercado de prevdênca complementar aberta este uma questão atual de alteração da defnção de nvaldez de acordo com a cobertura oferecda além da nclusão da cobertura da nvaldez laboratva. Torna-se necessára uma dscussão mas ampla sobre a capacdade do mercado de prover nformações sobre esse evento. Pode-se afrmar que este alguma herarqua entre as defnções quando se avala a entrada em nvaldez. Em termos geras o problema surge, pos estem atualmente quatro defnções de nvaldez no mercado braslero de seguro de pessoas, de acordo com a Crcular SUSEP 302 de 19/09/05: 1. Invaldez Total e Permanente: aquela para a qual não se pode esperar recuperação ou reabltação com os recursos terapêutcos dsponíves no momento de sua constatação; 2. Invaldez Permanente Total ou Parcal por Acdente: resulta em perda, redução ou mpotênca funconal defntva, total ou parcal, de membro ou órgão por lesão físca decorrente de acdente pessoal. Desta forma, após conclusão do tratamento ou esgotados os recursos terapêutcos dsponíves para recuperação, e constatada e avalada a nvaldez permanente quando da alta médca defntva, a seguradora

56 Estruturação dos Dados 55 deve pagar uma ndenzação de acordo com os percentuas estabelecdos nas condções geras; 3. Invaldez Laboratva Permanente Total por Doença: em caso de nvaldez para a qual não se pode esperar recuperação ou reabltação, com os recursos terapêutcos dsponíves no momento de sua constatação, para a atvdade laboratva prncpal do segurado. A atvdade laboratva prncpal é aquela através da qual o segurado obteve maor renda, dentro de determnado eercíco anual defndo nas condções contratuas; 4. Invaldez Funconal Permanente Total por Doença: a stuação de nvaldez conseqüente de doença que cause a perda da estênca ndependente do segurado, na forma estabelecda no plano de seguro. É consderada perda da estênca ndependente do segurado a ocorrênca de quadro clínco ncapactante que nvablze de forma rreversível o pleno eercíco das relações autonômcas do segurado, comprovado na forma defnda nas condções geras do seguro. Já nos regmes públcos de prevdênca, a defnção de nvaldez é dferente, onde o ncso I do parágrafo 1º do artgo 40 da Consttução Federal defne as regras geras e a le de cada ente (unão, estado, muncípo ou dstrto federal) dspõe sobre os casos concretos. Este então a dscrmnação do conceto de nvaldez em somente dos tpos: 1. Doença Grave ou Acdente de Trabalho: molésta profssonal ou doença grave, contagosa ou ncurável; 2. Demas casos: aqueles não englobados na outra classfcação. A conseqüênca dessa dvsão é que as aposentadoras por nvaldez conceddas por motvo de doença grave ou acdente de trabalho possuem valor ntegral da remuneração do empregado quando atvo, enquanto que nos demas casos é concedda no valor proporconal ao tempo de contrbução, lmtado nferormente ao saláro mínmo. Vale lembrar também que a aposentadora por nvaldez concedda por nsttuções públcas de prevdênca não caracterza por s só o estado de nvaldez permanente para um seguro de pessoa no âmbto prvado. Os laudos percas do regme públco não são váldos como declaração médca do regme prvado.

57 Estruturação dos Dados 56 Devdo a essas dferenças concetuas, uma tábua bométrca de entrada em nvaldez construída para o setor de prevdênca prvada não pode ser utlzada para o setor públco, assm como o contráro. Por fm, tão somente após resolvdas as stuações dos problemas de dentfcação e de posse de dados consstentes e estruturados na forma apresentada, deve-se partr para a metodologa de graduação.

58 Populações Estudadas 57 6 Populações Estudadas A prmera população analsada é a dos servdores públcos estatutáros da admnstração dreta do muncípo do Ro de Janero. O período temporal observado va de 1º de abrl de 2000 a 18 de dezembro de 2006, envolvendo regstros de CPF (vdas), sendo 77% do seo femnno, refletndo a característca de que o cargo mas freqüente na prefetura da cdade do muncípo do Ro de Janero (PCRJ) é o de professora. Durante os anos analsados, ocorreram óbtos para o seo femnno e para o masculno. Fazem parte do banco de dados servdores da atva e servdores aposentados. Os pensonstas que não são servdores foram desconsderados para o estudo. A fonte de dados fo obtda através do sstema ERGOM que gerenca a folha de pagamentos e dados cadastras dos servdores públcos efetvos do muncípo do Ro de Janero. O grupo dos servdores da admnstração dreta representa 98% do total na muncpaldade e somava pessoas ( atvos e aposentados) em 18 de dezembro de O estudo, portanto, não ncorpora a eperênca dos servdores da Câmara, do Prev-Ro e do Trbunal de Contas cujas nformações cadastras estão descentralzadas e em processo de transferênca para o sstema ERGOM. Os servdores muncpas são segurados de um plano de benefíco defndo captalzado coletvamente que oferece cobertura por sobrevvênca (aposentadora) e por morte (pensão). A adesão ao plano é obrgatóra, de acordo com a Le Complementar Muncpal 94 de 14/03/1979 (Le Orgânca do Muncípo do Ro de Janero) e a Le Muncpal de 28/12/2001 (Le do Prev-Ro). Não este a possbldade de se aderr ao plano de aposentadora ou de pensão soladamente, não havendo então ant-seleção ou seleção adversa. Quanto ao estudo aqu proposto, o regstro de óbtos dos segurados do Regme Própro do Muncípo do Ro de Janero é feto através do avso ao Prev- Ro do famlar ou procurador do segurado que dará entrada a um processo de concessão de pensão, se possudor do dreto. Outra forma de obtenção da

59 Populações Estudadas 58 nformação é através do Sstema Informatzado de Controle de Óbtos (SISOBI) gerencado pela Unão e que consolda a nformação dos regstros de falecmentos de todo o Brasl, por ntermédo dos cartóros. Esse sstema dsponblza os óbtos a partr do da 10 de cada mês, sempre relatvos ao período até o mês anteror, de acordo com o art. 68 da Le de 24/07/91. Esta nformação é confrontada mensalmente com o banco de dados muncpal (ERGOM), a fm de se detectarem os óbtos não avsados ao Insttuto, mas avsados a algum cartóro. Dante desse mecansmo, ecetuando-se os casos em que este má fé quanto ao não avso, a totaldade dos casos os óbtos são dentfcados em até dos meses. Os demas casos não detectados somente o são quando da realzação do processo de recadastramento dos aposentados e pensonstas. A segunda população é a dos aposentados por nvaldez do INSS, que rege a prevdênca básca compulsóra dos trabalhadores do setor prvado na ncatva urbana. O período temporal observado va de 1999 a 2003, compreendendo uma eposção central de 3,0 e 4,6 mlhões de vdas-anos para os seos femnno e masculno respectvamente. Durante os anos analsados, ocorreram óbtos para o seo femnno e para o masculno. Os segurados partcpam de um plano de benefíco defndo que oferece cobertura por sobrevvênca (aposentadora) e por morte (pensão), de acordo com a Le de 24/07/1991. A adesão ao plano é obrgatóra, conforme artgo 201 da Consttução Federal. Não este a possbldade de se aderr ao plano de aposentadora ou de pensão soladamente, não havendo então ant-seleção ou seleção adversa.

60 Resultados 59 7 Resultados No caso dos servdores do muncípo do Ro de Janero, objeto de estudo para tábuas de sobrevvênca de váldos e nváldos, constatou-se emprcamente que o volume de dados é satsfatóro para segregar-se a mortaldade de váldos entre homens e mulheres somente, vsto que ocorreram mortes para o seo femnno e para o masculno. Portanto, na seção fo aplcada dretamente a graduação, paramétrca ou não-paramétrca, cuja teora é abordada na seção 3. Já para segregar-se a mortaldade também por grau de nstrução (seção 7.2.2), stuação na qual estram dados nsufcentes para uma graduação precsa através dos métodos tradconas, a teora apresentada na seção 4 é de grande vala, utlzando-se da Teora da Credbldade Maor Eatdão. Quanto à graduação das taas de mortaldade de nváldos (seção 7.3) deseja-se construr tábuas seletas, a eemplo do estudo de Rbero (2006), pos segundo Benjamn e Pollard (1980) a mortaldade é maor logo após a transção para o estado de nvaldez, decando com o passar do tempo. Isso sgnfca que entre dos aposentados por nvaldez com a mesma dade, aquele que recentemente se nvaldou terá a taa de mortaldade maor do que outro aposentado há mas tempo. Deparamo-nos então também com o problema de nsufcênca no volume de dados para a eperênca em partcular dos servdores aposentados por nvaldez da PCRJ. A solução adotada fo a utlzação de uma graduação desconsderando o fator de seletvdade (duração do tempo de benefíco). Já os dados dos servdores aposentados por nvaldez do INSS foram utlzados para a construção de tábua bométrca de sobrevvênca de nváldos. O banco de dados apresenta eposção bem maor, vsto que ocorreram mortes para o seo femnno e para o masculno. Este fato possbltou uma graduação que envolvesse a tábua seleta e a tábua fnal de sobrevvênca de nváldos.

61 Resultados Característcas das Populações A partr do banco de dados podemos etrar nformações relevantes a fm de se caracterzar o perfl da população dos servdores do muncípo do Ro de Janero. As vdas estudadas entre 01/04/2000 e 18/12/2006 possuíam ao fnal da observação a segunte dstrbução de quantdade por seo, escolardade e stuação funconal, de acordo com a Tabela 2. ESCOLARIDADE / SEXO ATIVOS INATIVOS TOTAL Nível Superor seo femnno Nível Médo seo femnno Nível Fundamental seo femnno Nível Elementar seo femnno Nível Superor seo masculno Nível Médo seo masculno Nível Fundamental seo masculno Nível Elementar seo masculno TOTAL Tabela 2 - Dstrbução da população por seo, escolardade e stuação funconal. Depos de caracterzada a estrutura de população sob análse, podemos dentfcar as transções de estado dos atvos e nváldos aos eventos de morte e de entrada em nvaldez. As nformações de saídas são dscrmnadas na Tabela 3, quando apuramos a rotatvdade méda no funconalsmo muncpal de 1% ao ano, sendo 0,9% para as mulheres e 1,5% para os homens.

62 Resultados 61 EVENTO GERADOR FEMININO MASCULINO TOTAL Falecmento Invaldez Váldos Inváldos Acdente de Trabalho ou Doenças Graves Outros Deslgamento Tabela 3 - Dstrbução de transção de estados por motvo e seo. Quanto à população dos aposentados do INSS, etraímos as nformações necessáras a partr das tabelas de eposção e número de óbtos em Rbero (2006). O estudo do autor compreende o período temporal de 1999 a 2003 e uma eposção central de 3,0 e 4,6 mlhões de vdas-anos para os seos femnno e masculno respectvamente. Durante os anos analsados, ocorreram óbtos para o seo femnno e para o masculno Graduação de Tábua de Sobrevvênca de Váldos Segregada por Seo O objetvo é construr uma tábua bométrca de sobrevvênca de váldos segregada somente por seo, que denomnaremos SMRJ00/06-F e SMRJ00/06-M, representando os servdores do muncípo do Ro de Janero para o seo femnno e masculno respectvamente. Constata-se pelas Fguras 6 e 7 que a eposção total das servdoras (seo femnno) é 3,5 vezes a dos servdores (seo masculno). Porém, o número de óbtos para os dos seos pratcamente se equvale, refletndo a estênca de taas de mortaldade mas altas para o seo masculno, conforme fenômeno observado em quase todas as populações no mundo.

63 Resultados Eposção Número de Óbtos Fgura 6 - Eposção central (vdas-das) e número de óbtos para o seo femnno Eposção Número de Óbtos Fgura 7 - Eposção central (vdas-das) e número de óbtos para o seo masculno. Podemos observar pela Fgura 8 que as taas brutas tanto para os homens como para as mulheres confrmam o aumento da taa de mortaldade entre os(as) jovens com dades no ntervalo de 18 a 30 anos, devdo a causas acdentas. Lemare (2002) cta o fato de o homem estar mas eposto a mortes por causas acdentas como um dos fatores que levam à epectatva de vda superor das mulheres em relação aos homens. Para o caso do muncípo do Ro de Janero notou-se que os jovens de ambos os seos sofrem nfluênca de mortes acdentas.

64 Resultados Taa Bruta Femnna Taa Bruta Masculna Fgura 8 - Taas brutas de mortaldade de váldos para homens e mulheres, em escala logarítmca. Como era de se esperar, a mortaldade masculna se stua em patamares superores à femnna, com eceção para as dades avançadas, onde parece haver uma apromação entre as taas de mortaldade. Como este uma quantdade sufcente de eposção para os homens e também para as mulheres, não é necessáro ncorporar outra eperênca à eperênca própra. Por este fato, utlzou-se a graduação tradconal, sem a necessdade de obter auílo da Teora da Credbldade. Para a defnção do evento gerador (mortaldade de váldos) utlzou-se o modelo de Posson por ser aquele que melhor se adapta ao conceto da mortaldade. Já quanto ao modelo de graduação, foram utlzados os modelos de Whttaker-Henderson (WH), Helgman-Pollard (HP) e Gompertz-Makeham (GM) Whttaker-Henderson Pela graduação não-paramétrca de Whttaker-Henderson do Tpo B fo possível captar o fenômeno do aumento da mortaldade entre os jovens adultos

65 û Resultados 64 de 18 a 30 anos devdo a causas acdentas mas freqüentes, o que não ocorreu com o Tpo A, razão pela qual fo essa a varação do modelo utlzada. Os coefcentes de ponderação relatvos ao ajuste da graduação foram defndos como E w = (1 qû t ), representando o modelo WH tpo B. Já os + t + q + t pesos relatvos à parcela de suavzação K + foram escolhdos como 200 e t w + t 100 w + t para o seo femnno e masculno respectvamente, utlzando dferenças ü ü ü ü 2 de ordem dos das taas brutas ( q = q 2q + q Os valores de K f ( w ) + t + t 1 2 ). = foram escolhdos de forma que fossem os menores a gerarem uma suavzação satsfatóra, revelando dferenças de ordem ý ý ý ý ý 3 três ( q = q 3q + 3q q ) nferores a um valor arbtraramente defndo como 0,0005 para o seo femnno e 0,001 para o seo masculno nas dades menores que 95 anos, conforme as Tabelas 5 e 6. A dade de 95 anos fo escolhda como teto pos a partr desta se usa uma metodologa dferencada para a construção do fm da tábua, de acordo com a teora da seção 2.3 e aplcação a segur Bruta Femnno Bruta Masculno Whttaker Fem Whttaker Masc Fgura 9 - Taas brutas graduadas por WH para SMRJ00/06-F e SMRJ00/06-M, em escala logarítmca.

66 Resultados 65 As últmas taas brutas observadas foram aos 99 anos para ambos os seos, concdentemente. Optou-se pela metodologa Blended para a estmação das taas suavzadas superores a esse patamar, utlzando-se as taas brutas desde a dade 95 e as estendendo por uma regressão eponencal até a dade 107 (femnno) e 108 (masculno), onde se atngu q ω = 1, conforme pode ser vsualzado na Fgura 10. Conseqüentemente, essa metodologa presume um modelo Gompertz com nformações de 95 a 99 anos ajustadas até as dades de 107 (femnno) ou 108 (masculno) Taas Suavzadas - Seo Femnno Taas Suavzadas - Seo Masculno Taas Brutas - Seo Femnno Taas Brutas - Seo Masculno Fgura 10 - Taas brutas e suavzadas, em escala logarítmca, no fnal da tábua de acordo com o modelo Blended from 95. As taas suavzadas e os respectvos lmtes do ntervalo de confança em 95% para todas as dades estão epostas no Apêndce I. As taas possuem logcamente maor precsão nas dades ntermedáras, onde há maor eposção. Estem nclusve algumas dades ncas e fnas para as quas não foram observados óbtos no período de observação do estudo. A fm de testarmos o ajuste da graduação aos dados brutos, conforme teora abordada na seção 2.4, foram calculados e epostos na Tabela 4 os p- valores das estatístcas: Normaldade de Jarque-Bera (1); Pearson (2); Desvos Acumulados para grupos de tamanho 5 (3); Snas (4); Agrupamento dos Snas (5); Rodada (6); e Correlação Seral de Ljung-Bo (7).

67 Resultados 66 Jarque- Bera (1) Pearson (2) Desvos Acumulados (3) Snas (4) Agrupamento dos Snas (5) Rodada (6) Ljung- Bo (7) Seo Femnno 0,0649 1,0000 0,1238 0,5737 0,2083 0,2945 0,0000 Seo Masculno 0,0000 1,0000 0,1799 0,9104 0,3662 0,3124 0,0000 Tabela 4 - P-valores dos testes estatístcos de qualdade de ajuste para o modelo WH. Os resultados evdencam que o ajuste da graduação fo satsfatóro, apesar de o teste Ljung-Bo ndcar a presença de autocorrelação seral para ambos os seos e o de Jarque-Bera ndcar ausênca de Normaldade somente para o seo masculno devdo ao ecesso de curtose nos resíduos. Com o objetvo de lustrarmos o efeto no ajuste da escolha do valor da parcela de suavzação K + t, fo feta uma análse de sensbldade cujos resultados estão epostos nas Tabelas 5 e 6 e lustrados nas Fguras 11 e 12. O grau de ajuste fo mensurado pelo erro quadrátco (quanto menor, maor o ajuste) e o grau de suavzação meddo pela maor dferença de ordem 3 encontrada para dades menores que 95 anos (quanto menor, maor a suavzação). SEXO FEMININO K + t = 20 w + t K + t = w + t K + t = 200 w + t K + t = w + t K + t = 2000 w + t Erro Quadrátco Maor Dferença de Ordem 3 (para <95) 0, , , , , Tabela 5 - Sensbldade do ajuste e suavzação em relação a K + para o seo femnno. t

68 Resultados , , , , , , , K=2000w K=632w K=200w K=63w K=20w Erro Quadrátco Maor Dferença de Ordem 3 0, Fgura 11 - Evolução do ajuste e suavzação em relação a SEXO MASCULINO Erro Quadrátco K + t = 10 w + t K + t = w + t K + t = 100 w + t K + t para o seo femnno. K + t = w + t K + t = 1000 w + t Maor Dferença de Ordem 3 (para <95) 0, , , , , Tabela 6 - Sensbldade do ajuste e suavzação em relação a K + para o seo masculno. t , , , , , , , K=1000w K=316w K=100w K=32w K=10w Erro Quadrátco Maor Dferença de Ordem 3 0, Fgura 12 - Evolução do ajuste e suavzação em relação a K + t para o seo masculno.

69 Resultados 68 Como a graduação do fm da tábua será defnda pela metodologa descrta na seção 2.3, concluímos que as dades nferores devem ser nvestgadas, prncpalmente pelo fato de desejarmos uma graduação a qual não seja ecessvamente suavzada a ponto de não capturar o efeto do aumento da mortaldade para os jovens adultos. Pela Fgura 13, analsamos as dades nferores a 40 anos e constatamos que a utlzação de uma graduação ecessvamente suavzada, com por eemplo K = 2000 w ( FEM ) e K = 1000 w ( MASC), não captura o aumento da + t + t + t + t mortaldade para os jovens adultos. Já uma graduação ecessvamente ajustada, com por eemplo K = 2 w ( FEM ) e K = 1 w ( MASC), gera uma função + t + t + t + t que não oferece a monotoncdade desejada, o que se reflete na presença de város pontos de mámos e mínmos relatvos. 0,0100 0,0010 0, Brutas FEM K=2w FEM K=200w FEM K=2000w FEM Brutas MASC K=1w MASC K=100w MASC K=1000w MASC Fgura 13 - Comparação da graduação eleta em relação a graduações utlzando valores de K + t ecessvamente ajustados ou suavzados: taas em escala logarítmca Hellgman-Pollard Pela graduação paramétrca de Helgman-Pollard (HP), não fo possível captar o fenômeno do aumento da mortaldade entre os jovens adultos de 18 a 30 anos devdo a causas acdentas mas freqüentes.

70 Resultados 69 O modelo tpo 2 apresentou melhor ajuste que o tpo 1 pelo erro quadrátco para ambos os seos, justfcando a sua escolha. O erro para o seo femnno fo de versus Já para o seo masculno fo de contra função Como não há dados para a mortaldade nfantl, a prmera parcela da ( B) A + C fo gnorada em ambos os seos. Para o seo femnno, o melhor 2 ( ) não fo ajuste ocorreu quando a segunda parcela D ep E ( log log F ) consderada, ou seja, para D = 0. Já para o seo masculno, esta parcela gerou melhora no ajuste e fo ncluída no modelo. O comportamento da mortaldade por causas eternas e por senescênca pode ser vsualzado na Fgura 14. 1,0000 0,1000 0,0100 0,0010 0, Mortaldade por causas eternas MASC Mortaldade pos senescênca MASC Mortaldade pos senescênca FEM Fgura 14 - Comparação entre as parcelas relatvas à taa de mortaldade para ambos os seos: taas em escala logarítmca. Assm, as funções foram ajustadas de modo que a soma dos erros quadrátcos resultou em para o seo femnno e para o seo masculno. Assm, os modelos Helgman-Pollard ajustados tomaram a segunte forma: Seo Femnno: 0, , = 1 + 0, , , µ 1,

71 Resultados 70 Seo Masculno: 2 ( ( ) ) µ = 0, ep 0, log log 0, , , , , , , ,0000 0,1000 0,0100 0,0010 0, Váldos Femnno Váldos Masculno HP Masc HP Fem Fgura 15 - Taas brutas e graduadas por HP para SMRJ00/06-F e SMRJ00/06-M, em escala logarítmca. As últmas taas brutas observadas foram aos 99 anos para ambos os seos, concdentemente. Optou-se pela metodologa Pattern para a estmação das taas suavzadas superores a esse patamar, utlzando-se a etensão do modelo Helgman-Pollard ajustado até a dade fnal ω = 120. As taas suavzadas e os respectvos lmtes do ntervalo de confança em 95% para todas as dades estão epostos no Apêndce II. As taas possuem logcamente maor precsão nas dades ntermedáras, onde há maor eposção. Estem nclusve algumas dades ncas e fnas para as quas não foram observados óbtos no período de observação do estudo. A fm de testarmos o ajuste da graduação aos dados brutos, conforme teora abordada na seção 2.4, foram calculados e epostos na Tabela 7 os p- valores das estatístcas: Normaldade de Jarque-Bera (1); Pearson (2); Desvos Acumulados para grupos de tamanho 5 (3); Snas (4); Agrupamento dos Snas (5); Rodada (6); e Correlação Seral de Ljung-Bo (7).

72 Resultados 71 Jarque- Bera (1) Pearson (2) Desvos Acumulados (3) Snas (4) Agrupamento dos Snas (5) Rodada (6) Ljung- Bo (7) Seo Femnno 0,0875 1,0000 0,1048 0,4310 0,3481 0,2769 0,0000 Seo Masculno 0,0000 1,0000 0, ,7357 0,4568 0,4428 0,0000 Tabela 7 - P-valores dos testes estatístcos de qualdade de ajuste para o modelo HP. Os resultados evdencam que o ajuste da graduação fo satsfatóro, apesar de o teste Ljung-Bo ndcar a presença de autocorrelação seral para ambos os seos e o de Jarque-Bera ndcar ausênca de Normaldade somente para o seo masculno devdo ao ecesso de curtose nos resíduos Gompertz-Makeham Pela graduação paramétrca de Gompertz-Makeham, dependendo da ordem do modelo fo possível captar o fenômeno do aumento da mortaldade entre os jovens adultos de 18 a 30 anos devdo a causas acdentas mas freqüentes. Foram testados os modelos de ordem (r,s) com r varando de 1 a 5 e s varando de 2 a 5. Valores de r guas a 1 foram gnorados pos mplcam um modelo ndependente de na parte eponencal da função, o que gera um ajuste nadequado para as taas de mortaldade. Os coefcentes encontrados constam nas Tabelas 8 e 9 a segur.

73 Resultados 72 Tabela 8 - Coefcentes dos modelos GM ajustados para o seo femnno.

74 Resultados 73 Tabela 9 - Coefcentes dos modelos GM ajustados para o seo masculno.